2.平面直角坐标系中的伸缩变换

2 平面直角坐标系中的伸缩变换

一、导学目标：

知识与技能: 利用类比的方法掌握平面直角坐标系中的伸缩变换，掌握变换公式，能求变换前后的图形方法或变换公式。

过程与方法: 通过类比的方法掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。

情感态度与价值观: 培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。

导学重点：掌握变换公式；

导学难点：掌握、体会伸缩变换公式的应用。通过典型习题的讲解、剖析，及设置相关问题引导学生思考来突破难点。

二、导学策略：

教学方法：探究法、讲授法

教学手段：多媒体辅助教学

三、教学过程：

（一）、新知探究：

1、提出问题：

（1）怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x?

（2）怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx? 写出其坐标变换。

（3）怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。

2、探究结果：

（1）在正弦曲线y=sinx 上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x 。

上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：

设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来1/2，

得到点P'( )x',y'.坐标对应关系为：12x'x y y'⎧=⎪⎨⎪=⎩

如右图：

通常把12x'x y y'⎧=⎪⎨⎪=⎩ 叫做平面直角坐标系中的一

个压缩变换。 （2）在正弦曲线上任取一点P （x,y ），

保持横坐标x 不变，将纵坐标伸长为原来的3

倍，就得到曲线y=3sinx 。

设点P （x,y ）经变换得到点为P'( )x',y',坐标对应关系为：3x'x y'y =⎧⎨

=⎩ 通常把 3x'x y y'=⎧⎨=⎩

叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。 （3）在正弦曲线y=sinx 上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来的1/2，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.

设点P （x,y ）经变换得到点为P ´(x ´,y ´), 则123x'x y'y

⎧=⎪⎨⎪=⎩

通常把123x'x y'y

⎧=⎪⎨⎪=⎩ 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。

3、知识总结归纳：

定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换

ϕ： (0) (>0)x'x y'y λλμμ=>⎧⎨=⎩

的作用下，点P(x,y)对应P ´(x ´,y ´)。称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。 注：（1）λ＞0，μ＞0；

（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；

（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。

（二）、知识应用与练习

例1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换

23x'x y'y =⎧⎨=⎩

后的图形。

（1）2x+3y=0； (2)x 2+y 2=1

练习：在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换公式： (0) (>0)x'x y'y λλμμ=>⎧⎨

=⎩ 使曲线224x +9y =36变为曲线 22x'+y'=1

思考：在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线？

（三）、小结：掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。

（四）、作业：课后习题4.5

教学后记：