人教版八年级数学上册《第十一章三角形复习课件》
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人教版数学八上第十一章三角形复习课件共34张PPT
2
。
（3，3，1；2，2，3）
1、如图，求△ABC各内角的度数。 A
解：3x + 2x + x = 180
35xx
6x=180
X=30
23xx
B
xx C
∴三角形各内角的度数分别为：30°，60°，90°
2、已知三角形三个内角的度数比为1：3：5， 求解这：三设个三内个角内的角度分数别。为x，3x，5x
B A
小莉的设计方案：先在池塘旁取一个能
直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至
D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，
使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，
这个长度就等于A，B两点的距离。请你说
明理由。
解： AC=DC
∠ACB=∠DCE
A
B
BC=EC
C
△ACB≌△DCE(SAS)
E
D
AB=DE
则x + 3x + 5x = 180 x=20
∴三角形三个内角分别为：20°，60°，100°
题型考查
1.符合条件∠A+∠B=62°的三角形是( C )
A、锐角三角形 C、钝角三角形
B、直角三角形 D、不能确定
2.在下列长度的四根木棒中，能与4㎝，9㎝ 两根木棒围成三角形的是( C )
A、4㎝ B、5㎝ C、9㎝ D、14㎝ 3.如图，在△ABC中，∠A=70° A
点，∠1=∠2，AE=DE，
试求AB=DC。
AD
12
BEC
简解：∵E是BC的中点， ∴BE=EC。又∴ ∠1=∠2，AE=DE， △ABE≌△DCE(SAS)，∴AB=DC 。
3.如图，已知BE⊥AD， CF⊥AD，且BE=CF，请你 判断AD是△ABC的中线还是
人教版八年级上册第十一章三角形全章复习课件
2.探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
Байду номын сангаас
已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和
∠BCD，请你利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说
明理由．
B
A P
D 图（2） C
课后作业
2. 探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF如
图（3）所示，请你直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关
A E
D O
B
C
图2
解后反思 思路3：（利用对顶角）
A E
D O
B
C
图2
解后反思 思路3：（利用对顶角）
A E
D O
B
C
图2
解后反思
思路3：（利用对顶角） ∵BD⊥AC ， CE⊥AB，
∴ ∠ BDA= 90°， ∠CEA= 90°. 在四边形AEOD中， ∵ ∠A+ ∠CEA+ ∠BDA+∠EOD=360°, ∴ ∠A+ ∠EOD=180°.
度数.同时，在求∠BOC时，还可以转化 为求其对顶角∠EOD，而求∠EOD，可 以利用四边形的内角和为360°求解.
B
A
E O
图1
D C
变式 将例题中的条件“若∠ABC=40° ， ∠ACB=60°”变成“若
∠A=80°” ，则∠BOC=
．
A
E
D
O
B
C
图1
A
分析：条件②： BD平分∠ABC；
条件④： CE平分∠ACB； 条件⑤：三角形的内角和为180°；
=180°- (180°-∠A)
Байду номын сангаас
已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和
∠BCD，请你利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说
明理由．
B
A P
D 图（2） C
课后作业
2. 探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF如
图（3）所示，请你直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关
A E
D O
B
C
图2
解后反思 思路3：（利用对顶角）
A E
D O
B
C
图2
解后反思 思路3：（利用对顶角）
A E
D O
B
C
图2
解后反思
思路3：（利用对顶角） ∵BD⊥AC ， CE⊥AB，
∴ ∠ BDA= 90°， ∠CEA= 90°. 在四边形AEOD中， ∵ ∠A+ ∠CEA+ ∠BDA+∠EOD=360°, ∴ ∠A+ ∠EOD=180°.
度数.同时，在求∠BOC时，还可以转化 为求其对顶角∠EOD，而求∠EOD，可 以利用四边形的内角和为360°求解.
B
A
E O
图1
D C
变式 将例题中的条件“若∠ABC=40° ， ∠ACB=60°”变成“若
∠A=80°” ，则∠BOC=
．
A
E
D
O
B
C
图1
A
分析：条件②： BD平分∠ABC；
条件④： CE平分∠ACB； 条件⑤：三角形的内角和为180°；
=180°- (180°-∠A)
人教版八年级上册数学课件第十一章三角形复习(共15张PPT)
相交于一点，如图. 中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于
一点（重心），如图. 角平分线：三条角平分线相交于一点，如图.
图
图
图
练习：
4.在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将
△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．
5.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
常用方程思想设未知数列方程求解.
练习：
6.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B， 则∠B= .
7.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°， ∠BCE=30°，则∠EBF的度数是 ，∠FBC的度数是 .
A
Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
B
C
考点四 多边形的内角和与外角和
(2)∠A:∠例B:∠C7＝2:3:4.已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 1 ，
范围是
.
例2 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另两边长.
解：由于题中没有指明边长为6的边是底还是腰，所以分两种情况讨论： 当6为底边长时，腰长为(16-6)÷2=5，这时另两边长分别为5,5； 当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6,4. 综上所述，另两边长为5,5或6,4.
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. ∴边数n=360°÷36°=10.
4
求这个多边形的边数. 20或16
C.
三角形的高、中线与角平分线
内角和：（n-2) ×180 °
解：设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x,则 三角形的内角和与外角 当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6,4.
一点（重心），如图. 角平分线：三条角平分线相交于一点，如图.
图
图
图
练习：
4.在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将
△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．
5.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
常用方程思想设未知数列方程求解.
练习：
6.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B， 则∠B= .
7.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°， ∠BCE=30°，则∠EBF的度数是 ，∠FBC的度数是 .
A
Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
B
C
考点四 多边形的内角和与外角和
(2)∠A:∠例B:∠C7＝2:3:4.已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 1 ，
范围是
.
例2 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另两边长.
解：由于题中没有指明边长为6的边是底还是腰，所以分两种情况讨论： 当6为底边长时，腰长为(16-6)÷2=5，这时另两边长分别为5,5； 当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6,4. 综上所述，另两边长为5,5或6,4.
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. ∴边数n=360°÷36°=10.
4
求这个多边形的边数. 20或16
C.
三角形的高、中线与角平分线
内角和：（n-2) ×180 °
解：设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x,则 三角形的内角和与外角 当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6,4.
人教版初中八年级数学上册第十一章《三角形》复习ppt课件
求∠ACE，∠BDC的度数。
E
pD
400
800
B
C
12.如下图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ADC的中线，若 △ABC的面积是8，求△DEC的面积。
A
A
E E
B
D
CB
D
C
13.如上图，△ABC中，点D是BC上的一点，点E是AD上的一点，若 BD:CD=2:3 ，DE:AE=1:4 ，△ABC的面积是8，求△DEC的面积。
14
4、一个三角形的两边长分别是3和8，而第三边长为 奇数，那么第三边长是 ______ 7或 9 5、已知一个等腰三角形的一边是3cm，一边是7cm， 这个三角形的周长是 ________1_7cm
A
A
12
C 1E
D
B D
（B 第6题）
（第7题）
6、如上图，∠1=60°，∠D=20°，则∠A= 度
三角形的性质 （1）边上的性质：
三角形的两边之和大于第三边 三角形的两边之差小于第三边 （2）角上的性质： 三角形三内角和等于180度 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和
练一练：
1、下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？（单位：
厘米。填“能”或“不能”) （1）3，4，5（ ）能
E
平分线和外角平分线,
则∠ECF的度数=______度.
B
D C
90
10.如图，AD、BF都是△ABC的高线，
若∠CAD=30度，则∠CBF=______度。 30
A
E
F
B
D
C
A
11、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE是AB边上
数学八年级上人教版第十一章全等三角形复习课件
(A)∠DAB (B) ∠ DBA (C) ∠ DBC (D) ∠ CAD
三、解答题：
1 、 已 知 如 图 △ ABC≌△DFE ， ∠A=96º，∠B=25º，DF=10cm。
求 ∠E的度数及AB的长。
A
D
B
CE
F
2 已知如图 CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， △ ABE≌△ACD ， ∠ C=20º， AB=10 ， AD=4，G为AB延长线上的一点。 求 ∠EBG的度数及CE的长。
C E
F
A
D BG
3如图：已知△ABC≌△ADE，BC的延长 线 交 DA 于 F ， 交 DE 于 G ， ∠ ACB=105º， ∠CAD=10º，∠D=25º。 求 ∠EAC，∠DFE，∠DGB的度数。
D
G FC
E
A
B
寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）两个全等三角形最大的边是对应边， 最小的边是对应边； （5）两个全等三角形最大的角是对应角， 最小的角是 对应角；
2、引平行线构造全等三角形
例2 如图2，已知△ABC中，AB＝AC， D在AB上，E是AC延长线上一点，且 BD＝CE，DE与BC交于点F． 求 证：DF=EF．
提示：此题辅助线作法 较多，如： ①作 DG∥AE交BC于G； ②作EH∥BA交BC的延 长线于H； 再通过 证三角形全等得DF＝ EF．
三角形中常见辅助线的作法
1.延长中线构造全等三角形
例1 如图1，已知△ABC中，AD 是△ABC的中线，AB=8，AC=6， 求AD的取值范围．
提示：延长AD至A＇，使 A＇D＝AD，连结 BA＇．根据“SAS”易证 △A＇BD≌△ACD，得AC ＝A＇B．这样将AC转移 到△A＇BA中，根据三角 形三边关系定理可解．
三、解答题：
1 、 已 知 如 图 △ ABC≌△DFE ， ∠A=96º，∠B=25º，DF=10cm。
求 ∠E的度数及AB的长。
A
D
B
CE
F
2 已知如图 CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， △ ABE≌△ACD ， ∠ C=20º， AB=10 ， AD=4，G为AB延长线上的一点。 求 ∠EBG的度数及CE的长。
C E
F
A
D BG
3如图：已知△ABC≌△ADE，BC的延长 线 交 DA 于 F ， 交 DE 于 G ， ∠ ACB=105º， ∠CAD=10º，∠D=25º。 求 ∠EAC，∠DFE，∠DGB的度数。
D
G FC
E
A
B
寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）两个全等三角形最大的边是对应边， 最小的边是对应边； （5）两个全等三角形最大的角是对应角， 最小的角是 对应角；
2、引平行线构造全等三角形
例2 如图2，已知△ABC中，AB＝AC， D在AB上，E是AC延长线上一点，且 BD＝CE，DE与BC交于点F． 求 证：DF=EF．
提示：此题辅助线作法 较多，如： ①作 DG∥AE交BC于G； ②作EH∥BA交BC的延 长线于H； 再通过 证三角形全等得DF＝ EF．
三角形中常见辅助线的作法
1.延长中线构造全等三角形
例1 如图1，已知△ABC中，AD 是△ABC的中线，AB=8，AC=6， 求AD的取值范围．
提示：延长AD至A＇，使 A＇D＝AD，连结 BA＇．根据“SAS”易证 △A＇BD≌△ACD，得AC ＝A＇B．这样将AC转移 到△A＇BA中，根据三角 形三边关系定理可解．
人教版数学八年级上册第十一章 复习课课件
练习1：以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取 值范围是 6<x<12 .
例2 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另 两边长.
解：由于题中没有指明边长为6的边是底还是腰， ∴分两种情况讨论：当6为底边长时，腰长为(166)÷2=5，这时另两边长分别为5,5； 当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长 分别为6,4. 综上所述，另两边长为5,5或6,4.
解：∵五边形的内角和是540°， ∴每个内角为540°÷5=108°， ∴∠E=∠B=∠BAE=108°. 又∵∠1=∠2，∠3=∠4， 由三角形内角和定理可知 ∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36°， ∴∠CAD=∠BAE-∠1-∠3
=108°-36°-36°=36°．
【变式题】如图，六边形ABCDEF的内角都相等， ∠1=∠2=60°，AB与DE有怎样的位置关系？AD与 BC有怎样的位置关系？为什么？ 解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下： ∵六边形ABCDEF的内角都相等， ∴六边形ABCDEF的每一个内角都等于120°， ∴∠EDC=∠FAB=120°. ∵∠1=∠2=60°， ∴∠EDA=∠1=60°，∴AB∥DE. ∵∠C=120°，∠2=60°， ∴∠2+∠C=180°， ∴AD∥BC.
练习6：如图，在△ABC中，CE、BF是两 A
条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则 E
F
∠EBF的度数是 20°，∠FBC的度数
是 40°.
B
C
练习7：如图，在△ABC中，两条角平分
A
线BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°，E
那么∠A的度数是 84°. B
OD C
专题4 多边形的内角和与外角和
例2 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另 两边长.
解：由于题中没有指明边长为6的边是底还是腰， ∴分两种情况讨论：当6为底边长时，腰长为(166)÷2=5，这时另两边长分别为5,5； 当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长 分别为6,4. 综上所述，另两边长为5,5或6,4.
解：∵五边形的内角和是540°， ∴每个内角为540°÷5=108°， ∴∠E=∠B=∠BAE=108°. 又∵∠1=∠2，∠3=∠4， 由三角形内角和定理可知 ∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36°， ∴∠CAD=∠BAE-∠1-∠3
=108°-36°-36°=36°．
【变式题】如图，六边形ABCDEF的内角都相等， ∠1=∠2=60°，AB与DE有怎样的位置关系？AD与 BC有怎样的位置关系？为什么？ 解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下： ∵六边形ABCDEF的内角都相等， ∴六边形ABCDEF的每一个内角都等于120°， ∴∠EDC=∠FAB=120°. ∵∠1=∠2=60°， ∴∠EDA=∠1=60°，∴AB∥DE. ∵∠C=120°，∠2=60°， ∴∠2+∠C=180°， ∴AD∥BC.
练习6：如图，在△ABC中，CE、BF是两 A
条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则 E
F
∠EBF的度数是 20°，∠FBC的度数
是 40°.
B
C
练习7：如图，在△ABC中，两条角平分
A
线BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°，E
那么∠A的度数是 84°. B
OD C
专题4 多边形的内角和与外角和
人教版八上数学第十一章《三角形》复习(共12张PPT)
4、一个三角形的两边长分别是3和8，而第三边长为 奇数，那么第三边长是 _7或___9__ 5、已知一个等腰三角形的一边是3cm，一边是7cm， 这个三角形的周长是 __1_7_c_m____
A
A
12
C 1E
D
B
D
C
B（第6题）
（第7题）
6、如上图，∠1=60°，∠D=20°，则∠A=100 度
7、如上图，AD⊥BC，∠1=40°，∠2=30°，
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
度.
10.如图，AD、BF都是 △ABC的高线，若∠CAD=30度， 则∠CBF=______3度0 。
A EF
B
D
A
11、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，
CE是AB边上的高，BD，CE交于点P。
已知∠ABC=600，∠ACB=700, 求∠ACE，E
p
∠BDC的度数。
400
800
B
C
D C
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021
•
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/8/102021/8/10August 10, 2021
A
A
12
C 1E
D
B
D
C
B（第6题）
（第7题）
6、如上图，∠1=60°，∠D=20°，则∠A=100 度
7、如上图，AD⊥BC，∠1=40°，∠2=30°，
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
度.
10.如图，AD、BF都是 △ABC的高线，若∠CAD=30度， 则∠CBF=______3度0 。
A EF
B
D
A
11、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，
CE是AB边上的高，BD，CE交于点P。
已知∠ABC=600，∠ACB=700, 求∠ACE，E
p
∠BDC的度数。
400
800
B
C
D C
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021
•
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/8/102021/8/10August 10, 2021
人教版初中八年级数学上册第十一章三角形总复习ppt课件
60°
2.如图，__∠__A_D是B △ACD外角，∠ADB=
A
115°,∠CAD= 80°,则∠C = .
35°
B
D
C
3、下列条件中能组成三角形的是（ ）
C
A.5cm, 13cm, 7cm B.3cm, 5cm, 9cm
C.14cm, 9cm, 6cm D.5cm, 6cm, 11cm
4、三角形的两边为7cm和5cm，则第三边
1
B
2
A
0
4
3C
24.在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、 AC边上的高，且相交于一点P，若∠A=50° ，则∠BPC的度数是 __________。
B
A D
PE C
25求.已证知：：∠BPP=、90C°P是- △A∠BAC的12外角的平分线，交于点BP2。1
E
解:∵BP、CP是外角平分线
∴ ∠1=∠2 ∠3=∠4
x 360
A
C
ADC A ABD
AD C 720
17.如图, △ABC中, ∠A= ∠ABD,
∠C= ∠BDC= ∠ABC,求∠DBC的度数
解
设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
:
A
x0
A
A A B D , A B D x 0
BDC A ABD 2x0
又 C ABC BDC
D
C ABC 2x0
当a最长,且有b+c>a时,就可构成三角形.
3. 确定三角形第三边的取值范围:
两边之差<第三边<两边之和.
4. 三角形的主要线段
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间
的线段叫做三角形的高线.
人教版八年级上册数学课件第十一章三角形复习课件
解：设这个多边形的边数是n，则（n-2）·180°=360°，解得 n=4，故这个多边形为四边形。
【思路点拨】抓住多边形的内角和与多边形的外角和的相等关系列 方程，然后解方程可求出多边形的边数。
看你会不会
1、已知一个三角形的三边 长为3、8、x,则x的取值范 围是 5<x<11。
2、已知一个三角形的三边 长3、a+2、8，则a的取值 范围是 3<a<9 。
如图，在△ABC中，D、E分别是BC上两点，∠B=∠EAC，∠ADC=∠DAC。
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
10、在△ABC中，根据下列条件，求∠C的度数。
【思路点拨】根据中线的定义知CD=BD。
1、已知：∠a，线段a，
若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是_____边形。
长3、a+2、8，则a的取值
∠FBC的度 【思路点拨】根据中线的定义知CD=BD。
7、如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A= ，∠BCE= 若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是_____边形。
E ，则∠EBF的度数是
，
F
4、一个三角形的两边长分别是 和 ，第三边的长为奇数，则第三边的长为_____。
数是__24_0_°_。 ∵∠ADC=∠B+∠BAD，
之比为
，则这三个内角的度数分别是_______________。
7、如图，在△ABC中，CE， 11、如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点o，若∠BOC=1200，那么∠A的度数是 。
求作：Rt△ABC，使∠A=∠a ∠C为Rt∠，BC=a（要求尺规作图，保留作图痕迹，写出结论，但不要求写作法） 3、等腰三角形一边的长是
【思路点拨】抓住多边形的内角和与多边形的外角和的相等关系列 方程，然后解方程可求出多边形的边数。
看你会不会
1、已知一个三角形的三边 长为3、8、x,则x的取值范 围是 5<x<11。
2、已知一个三角形的三边 长3、a+2、8，则a的取值 范围是 3<a<9 。
如图，在△ABC中，D、E分别是BC上两点，∠B=∠EAC，∠ADC=∠DAC。
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
10、在△ABC中，根据下列条件，求∠C的度数。
【思路点拨】根据中线的定义知CD=BD。
1、已知：∠a，线段a，
若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是_____边形。
长3、a+2、8，则a的取值
∠FBC的度 【思路点拨】根据中线的定义知CD=BD。
7、如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A= ，∠BCE= 若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是_____边形。
E ，则∠EBF的度数是
，
F
4、一个三角形的两边长分别是 和 ，第三边的长为奇数，则第三边的长为_____。
数是__24_0_°_。 ∵∠ADC=∠B+∠BAD，
之比为
，则这三个内角的度数分别是_______________。
7、如图，在△ABC中，CE， 11、如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点o，若∠BOC=1200，那么∠A的度数是 。
求作：Rt△ABC，使∠A=∠a ∠C为Rt∠，BC=a（要求尺规作图，保留作图痕迹，写出结论，但不要求写作法） 3、等腰三角形一边的长是
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灿若寒星
【配套训练】一个正多边形的每一个内角都等于120 °，则其 边数是 6 . 【解析】 因为该多边形的每一个内角都等于120度，所 以它的每一个外角都等于60 °.所以边数是6.
灿若寒星
专题四 本章中的思想方法
方程思想
A
【例4】如图，在△ABC中， ∠C=∠ABC,BE
⊥AC, △BDE是等边三角形，求∠C的度数. 【解】 设∠C=x °,则∠ABC=x°,因为△BDE是 D 等边三角形，所以∠ABE=60°,所以∠ EBC=x°-
（3）成立，理由如下：
∵AE平分∠BAC, ∴ ∠BAE=
1 2
(180 °- ∠B- ∠C);
∵AD ⊥BC, ∴ ∠BAD=90 °- ∠B.
∴ ∠DAE= ∠BAE- ∠BAD= 1 (180 °- ∠B- ∠C)-90 °+ ∠B=
(∠B- 1 ∠C).
2
A
2
B 灿若寒星
D
E
C
【解】 由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第 三边得: 8-3<a<8+3, ∴ 5 <a<11.
又∵第三边长为奇数, ∴ 第三条边长为 7cm或9cm.
灿若寒星
【归纳拓展】三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条 线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边 的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第 三边.三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的 不等关系中有着重要的作用.
2
C
∠4= ∠1+ ∠A + ∠2+ ∠C ，
故∠A+∠B+∠C=∠ADC获证.
灿若寒星
【归纳拓展】这是一个常见的几何图形模型，因为它像飞镖，
故称之为“飞镖模型”.它利用三角形外角的性质推出四角之间
的数量关系，即∠A+∠B+∠C=∠ADC.运用这一结论，能提高
我们解题的准确性和速度.
其他证法:如下图
∠F＋∠G=（5-2） ×180 °=540
°.
灿若寒星
课堂小结 课堂小结
等腰三角形有 关计算问题
分类讨论和三边关系检验
三角形
重要线段
中线性质 的应用
常见几何
模
型
飞镖模型
8字型
角平分线 夹角模型
灿若寒星
课堂训练 课后训练
1.木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条， 根据是 三角形具有稳定性 . 2.△ABC中，∠A＝80°，∠B-∠C＝20°，则∠B=60 ° ， ∠C = 40 °.按角分类这个三角形属于 锐角 三角形． 3.在△ABC中，已知：3∠A=∠C，3∠B=2∠C，则△ABC 是 直角 三角形（提示设最小角∠A=x °).
【配套训练】以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值
范围是 6<x<12
.
灿若寒星
专题二 三角形内角和及其相关定理
【例2】如图，求证：∠A+∠B+∠C=∠ADC.
【证明】如图，作射线BD.
A
根据三角形外角的性质，则
E 3
有∠3= ∠1+ ∠A ① ；∠4=
4
1
D
∠2+ ∠C ②.由①+ ②得∠3+ B
60°.在△BCE中，根据三角形内角和定理，
E
得90°+x°+x°-60°=180°,解得x=75,所以 B
C
∠C=75 °. 【归纳拓展】在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外
角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
灿若寒星
【配套训练】如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3=
∠C,求∠1的度数.
A
)
【答案】 设∠ 1=x,根据题意可得∠2=x.因为
1
∠3= ∠1+ ∠2， ∠4= ∠2，所以∠3=2x,
∠4=x，又因为∠3= ∠C，所以∠C=2x.
在△ABC中，根据三角形内角和定理，得
2
x+2x+2x=180 °,解得x=36°,所以∠1=36 °.B 4
D 3
C
【解题小结】这种顶角为36度的等腰三角形，我们发现只要做底角
A
A
D
D
B
E
CB
C
证法二
证法三
灿若寒星
【配套训练】如图所示，∠B＝45°，∠A=30°,∠C＝25°， 则∠ADC的度数是 100 ° .
A
D
B
C
灿若寒星
专题三 多边形的内角和与外角和 1
【例3】已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，
4
求这个多边形的边数. 【解】 设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为 4x,则x+4x=180°,解得 x=36°. ∴边数n=360°÷36°=10. 【归纳拓展】在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题 中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求 边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.
们称它为“8字型”图.
A
C O
B
D
灿若寒星
【例6】如图所示：
求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.
【解析】 所求问题不是常见的求
A
多边形的内角和问题，我们发现， 只要连结CD便转化为求五边形的内 B G
E F
角和问题，由“8字型”模型图可
知， ∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,所
C
D
以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋
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第十一章 三角形
复习课
知识网络
专题复习
课堂小结
灿若寒星
课堂训练
知识网络 知识网络
与三角形有 关的线段
三角形的边：三边关系定理 高线 中线：把三角形面积平分
角平分线
三
角
形
与三角形有
关的角
三角形内角和：180° 三角形外角和：360° 内角与外角关系
三角形的分类
定义
对角线
（2）你能猜想出∠BOC 与∠A 之间的数量关系吗？
∠BOC = 90°+1 ∠A 2
A
E O
D
B
C
灿若寒星
6.张老伯家有一块三角形的花棚，如图所示，张老伯准备将其 分成四个面积相等的三角形，分别种上不同颜色的花卉，请 你至少设计三种种植方案，供张老伯选择.
A
A
B E DF C A
B
C
A
B
C
B
CHale Waihona Puke 灿若寒星多边形转化为三角形和 四边形的重要辅助线
多
内角和：（n-2) ×180 °
边
多边形的内外角和
形
外角和：360 °
正多边形
内角= ;外角= （n 2)180 n 灿若寒星
360 n
专题复习 专题复习
专题一 三角形的三边关系
【例1】已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三 角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
∴ ∠BAC=180 °-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°. ∵AE
1
1
平分∠BAC, ∴∠BA2 E= ∠BA灿2若C寒=星 ×80°=40° .
（2）AD ⊥BC, ∠B=70 °,
∴ ∠BAD=90 °- ∠B=90 °-70 °=20 °, ∵ ∠BAE=40 °,
∴ ∠DAE= ∠BAE- ∠BAD=40 °-20 °=20 °.
的平分线它就会得到新的这种等腰三角形，我们称其为“黄金等腰
三角形.
灿若寒星
分类讨论思想
【例5】 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则 三角形的周长是 26或22 ． 【解析】 由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以
要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时
周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.
7.如图所示，在△ABC中，AD⊥ BC,AE平分∠BAC, ∠B=70 ° ,
∠C=30 ° . A
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数；
（3）探究：有同学认为，不论∠B,
∠C的度数是多少，都有∠DAE=
1 2
(∠B-∠C)成立，你同意吗？你能说
B
D
E
C
出成立或不成立的理由吗？
解：（1）在△ABC中， ∠B=70 °, ∠C=30 °,
【配套训练】已知等腰三角形的两边长分别为10 和4 ，则
三角形的周长是 24
．
【易错提示】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也
别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
灿若寒星
化归思想
如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像
数字“8”，我们不难发现有一重要结论：
∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我
灿若寒星
4.如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周 长大6cm,则AB与AC的差为（ B ）
A. 12cm
B. 6cm
A
C. 3cm
D. 2cm
B
D
C
灿若寒星
5.如图，在△ABC 中，∠ABC ，∠ ACB 的平分线BD，CE 交于 点O．（1）若∠A =80°，则∠BOC = 130．°
【配套训练】一个正多边形的每一个内角都等于120 °，则其 边数是 6 . 【解析】 因为该多边形的每一个内角都等于120度，所 以它的每一个外角都等于60 °.所以边数是6.
灿若寒星
专题四 本章中的思想方法
方程思想
A
【例4】如图，在△ABC中， ∠C=∠ABC,BE
⊥AC, △BDE是等边三角形，求∠C的度数. 【解】 设∠C=x °,则∠ABC=x°,因为△BDE是 D 等边三角形，所以∠ABE=60°,所以∠ EBC=x°-
（3）成立，理由如下：
∵AE平分∠BAC, ∴ ∠BAE=
1 2
(180 °- ∠B- ∠C);
∵AD ⊥BC, ∴ ∠BAD=90 °- ∠B.
∴ ∠DAE= ∠BAE- ∠BAD= 1 (180 °- ∠B- ∠C)-90 °+ ∠B=
(∠B- 1 ∠C).
2
A
2
B 灿若寒星
D
E
C
【解】 由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第 三边得: 8-3<a<8+3, ∴ 5 <a<11.
又∵第三边长为奇数, ∴ 第三条边长为 7cm或9cm.
灿若寒星
【归纳拓展】三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条 线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边 的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第 三边.三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的 不等关系中有着重要的作用.
2
C
∠4= ∠1+ ∠A + ∠2+ ∠C ，
故∠A+∠B+∠C=∠ADC获证.
灿若寒星
【归纳拓展】这是一个常见的几何图形模型，因为它像飞镖，
故称之为“飞镖模型”.它利用三角形外角的性质推出四角之间
的数量关系，即∠A+∠B+∠C=∠ADC.运用这一结论，能提高
我们解题的准确性和速度.
其他证法:如下图
∠F＋∠G=（5-2） ×180 °=540
°.
灿若寒星
课堂小结 课堂小结
等腰三角形有 关计算问题
分类讨论和三边关系检验
三角形
重要线段
中线性质 的应用
常见几何
模
型
飞镖模型
8字型
角平分线 夹角模型
灿若寒星
课堂训练 课后训练
1.木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条， 根据是 三角形具有稳定性 . 2.△ABC中，∠A＝80°，∠B-∠C＝20°，则∠B=60 ° ， ∠C = 40 °.按角分类这个三角形属于 锐角 三角形． 3.在△ABC中，已知：3∠A=∠C，3∠B=2∠C，则△ABC 是 直角 三角形（提示设最小角∠A=x °).
【配套训练】以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值
范围是 6<x<12
.
灿若寒星
专题二 三角形内角和及其相关定理
【例2】如图，求证：∠A+∠B+∠C=∠ADC.
【证明】如图，作射线BD.
A
根据三角形外角的性质，则
E 3
有∠3= ∠1+ ∠A ① ；∠4=
4
1
D
∠2+ ∠C ②.由①+ ②得∠3+ B
60°.在△BCE中，根据三角形内角和定理，
E
得90°+x°+x°-60°=180°,解得x=75,所以 B
C
∠C=75 °. 【归纳拓展】在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外
角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
灿若寒星
【配套训练】如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3=
∠C,求∠1的度数.
A
)
【答案】 设∠ 1=x,根据题意可得∠2=x.因为
1
∠3= ∠1+ ∠2， ∠4= ∠2，所以∠3=2x,
∠4=x，又因为∠3= ∠C，所以∠C=2x.
在△ABC中，根据三角形内角和定理，得
2
x+2x+2x=180 °,解得x=36°,所以∠1=36 °.B 4
D 3
C
【解题小结】这种顶角为36度的等腰三角形，我们发现只要做底角
A
A
D
D
B
E
CB
C
证法二
证法三
灿若寒星
【配套训练】如图所示，∠B＝45°，∠A=30°,∠C＝25°， 则∠ADC的度数是 100 ° .
A
D
B
C
灿若寒星
专题三 多边形的内角和与外角和 1
【例3】已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，
4
求这个多边形的边数. 【解】 设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为 4x,则x+4x=180°,解得 x=36°. ∴边数n=360°÷36°=10. 【归纳拓展】在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题 中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求 边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.
们称它为“8字型”图.
A
C O
B
D
灿若寒星
【例6】如图所示：
求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.
【解析】 所求问题不是常见的求
A
多边形的内角和问题，我们发现， 只要连结CD便转化为求五边形的内 B G
E F
角和问题，由“8字型”模型图可
知， ∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,所
C
D
以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋
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第十一章 三角形
复习课
知识网络
专题复习
课堂小结
灿若寒星
课堂训练
知识网络 知识网络
与三角形有 关的线段
三角形的边：三边关系定理 高线 中线：把三角形面积平分
角平分线
三
角
形
与三角形有
关的角
三角形内角和：180° 三角形外角和：360° 内角与外角关系
三角形的分类
定义
对角线
（2）你能猜想出∠BOC 与∠A 之间的数量关系吗？
∠BOC = 90°+1 ∠A 2
A
E O
D
B
C
灿若寒星
6.张老伯家有一块三角形的花棚，如图所示，张老伯准备将其 分成四个面积相等的三角形，分别种上不同颜色的花卉，请 你至少设计三种种植方案，供张老伯选择.
A
A
B E DF C A
B
C
A
B
C
B
CHale Waihona Puke 灿若寒星多边形转化为三角形和 四边形的重要辅助线
多
内角和：（n-2) ×180 °
边
多边形的内外角和
形
外角和：360 °
正多边形
内角= ;外角= （n 2)180 n 灿若寒星
360 n
专题复习 专题复习
专题一 三角形的三边关系
【例1】已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三 角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
∴ ∠BAC=180 °-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°. ∵AE
1
1
平分∠BAC, ∴∠BA2 E= ∠BA灿2若C寒=星 ×80°=40° .
（2）AD ⊥BC, ∠B=70 °,
∴ ∠BAD=90 °- ∠B=90 °-70 °=20 °, ∵ ∠BAE=40 °,
∴ ∠DAE= ∠BAE- ∠BAD=40 °-20 °=20 °.
的平分线它就会得到新的这种等腰三角形，我们称其为“黄金等腰
三角形.
灿若寒星
分类讨论思想
【例5】 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则 三角形的周长是 26或22 ． 【解析】 由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以
要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时
周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.
7.如图所示，在△ABC中，AD⊥ BC,AE平分∠BAC, ∠B=70 ° ,
∠C=30 ° . A
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数；
（3）探究：有同学认为，不论∠B,
∠C的度数是多少，都有∠DAE=
1 2
(∠B-∠C)成立，你同意吗？你能说
B
D
E
C
出成立或不成立的理由吗？
解：（1）在△ABC中， ∠B=70 °, ∠C=30 °,
【配套训练】已知等腰三角形的两边长分别为10 和4 ，则
三角形的周长是 24
．
【易错提示】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也
别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
灿若寒星
化归思想
如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像
数字“8”，我们不难发现有一重要结论：
∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我
灿若寒星
4.如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周 长大6cm,则AB与AC的差为（ B ）
A. 12cm
B. 6cm
A
C. 3cm
D. 2cm
B
D
C
灿若寒星
5.如图，在△ABC 中，∠ABC ，∠ ACB 的平分线BD，CE 交于 点O．（1）若∠A =80°，则∠BOC = 130．°