5.1认识分式(2)
北师大版(新)八年级下册数学5.1 认识分式(2)
（1）
b by ( y 0) 2 x 2 xy
（2）
ax a bx b
例 2、化简下列分式：
ab 2 c （1） ab
x2 1 （2） 2 x 2x 1
实际教学例 1
下列等式的右边是怎样从左边得到的?
（1）
b by ( y 0) 2 x 2 xy
（2）
ax a bx b
八年级数学导学案第 2 课时
主备人：王文锦 审核人：王文锦 审批人：王文锦 认识分式 教师个性化设计、学 法指导或学生笔记
课题：第 2 课时
教学目标：1.理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分； 2.通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察，类比，推理的能力； 3.让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能 力和数学表达能力． 第一环节 知识准备 活动内容：
课堂小结
活动内容和目的：通过问题的形式让学生自己总结出这节课的主要内容，谈谈在学习 过程中有哪些困难和新发现． 1、 这节课你有哪些收获？
பைடு நூலகம்
课后反思：
八年级数学导学案第 2 课时
第四环节 课堂反馈 活动内容
主备人：王文锦 审核人：王文锦 审批人：王文锦
做一做 1．填空 （1）
________ 2x x y x y x y
（2）
y2 1 2 y 4 _______
2．化简
（1）
5 xy 20x 2 y
（2）
a ( a b) b( a b)
议一议
在
5x 5 xy 5 xy 时，米仓和阿呆出现了分歧，米仓认为 = 2 2 20x y 20x y 20 x 2
分式的基本性质
（1）x3 xy
（x2 ）， y
3x2 3xy 6x2
x （
2 x） y（x
0）；
（2） 1 ab
（
a a2b
），
2a a2
b
（
2ab a2b
b2 ）（b
0）.
想一想: 运用分式的基本性质应注意什么? (1)“都” (2) “同一个” (3) “不为0”
二 分式的约分
m2 2m 1 m 12 m 1;
1 m2
m 1m 1 m 1
a b2 a b2
1
b a4 a b4 a b2 .
6.约分
（1）2bc ；（2）（x ac
y）y xy2
；（3
） x2
x2 xy 2xy
2x 5y
（3）原式= 10m
3n
3a （2）原式= 7b
当堂练习
1.下列各式成立的是（ D ）
A.
c ba
c ab
C.
c ba
c ab
B.
c ab
c ab
D. c c
ba ab
2.下列各式中是最简分式的（ B ）
A. a b B. x2 y2 C. x2 4 D. x y
知识要点
最简分式 分子和分母都没有公因式的分式叫做最简分式.
注意 判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判 断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项 式时，要先把分子、分母因式分解.
典例精析
例3 约分:（1）1255aab2b2cc3 ； (公因式是5abc)
分析：为约分要先找出分子和分母的公因式.
5.1认识分式(2)
泗县三中八年级数学下册学案年级 八年级学科 数学 课题 5.1分式的基本性质（2）授课时间撰写人袁玉柱撰写时间2014-2-16学 习 目 标1、掌握分式的基本性质，并能用分式的基本性质进行分式的变形2、知道什么是最简分式3、会进行约分、通分自主学习题型1：分式基本性质的理解应用1．（辨析题）不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．90 2．（探究题）下列等式：①()a b a b c c ---=-;②x y x y x x -+-=-;③a b a bc c-++=-; ④m n m nm m---=-中,成立的是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④3．（探究题）不改变分式2323523x xx x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ）A ．2332523x x x x +++-B ．2332523x x x x -++-C ．2332523x x x x +--+D ．2332523x x x x ---+题型2：分式的约分4．（辨析题）分式434y xa+，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（技能题）约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+-．题型3：分式的通分 6．（技能题）通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261a -．师生互动：7．根据分式的基本性质，分式aa b--可变形为（ ） A ．a a b-- B ．a a b + C ．-a a b - D ．aa b +8．下列各式中，正确的是（ ）A ．x y x y x y x y -+-=--+;B ．x y x y x y x y -+--=--;C ．x y x y x y x y -++=---;D ．x y x y x y x y-+-=-+ 9．下列各式中，正确的是（ ）A ．a m a b m b +=+B ．0a b a b +=+C ．1111ab b ac c --=-- D ．221x y x y x y -=-+ 10．若23a =，则2223712a a a a ---+的值等于_______．11．计算222a aba b +-=_________．12．公式22(1)x x --，323(1)x x --，51x -的最简公分母为（ ）A ．2(1)x -B ．3(1)x -C ．(1)x -D ．23(1)(1)x x --13．21?11x x x -=+-，则？处应填上_________，其中条件是__________． 拓展创新题14．（学科综合题）已知2249650a a b b -+++=，求11a b-的值．15．（巧解题）已知2310x x ++=，求221x x +的值．16．（妙法求解题）已知13x x+=，求2421x x x ++的值．17．（妙法巧解题）已知13x y 1-=，求5352x xy yx xy y+---的值．。
5.1认识分式(2)
b bm b bm ， ( m 0) 符号表示： a a m a am
学以致用
学以致用
a 2bc ab ac 解： (1) ac ab ab x2 1 ( x 1)( x 1) x 1 (2) 2 2 x 2x 1 ( x 1) x 1
第五章 分式与分式方程
5.
3 1 = 是怎样得到的？ 6 2
【分数的基本性质】 分数的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的数, 分数的值不变。
2 a 1 n n 与 相等吗？ 与 呢？ 2a 2 m mn
类比分数的基本性质，
归纳分式的基本性质。
认识新知
【分式的基本性质】
2、我对因式分解存在以下困惑 3、我认为自己还应该做出以下努力
课后作业
见学案 必做：A组；选做：B组
一个分式的分子和分母不含公因式，
这样的分式称为最简分式. ★注意★ 分式化简时，通常要使结果成为 最简分式或整式.
训练内化
训练内化
训练内化
探究拓展
分式的符法： x x x x x (1) ;(2) y y y y y
检测反馈
检测反馈
课堂小结
1、通过学习，我学到了以下知识和方法
认识约分
【分式的约分】
把一个分式的分子和分母的公因式约去， 这种变形称为分式的约分.
约分小技巧
约分时应注意：
①当分子和分母是单项式的时候， 应先找出分子和分母的公因式，再约分； ②当分子和分母是多项式的时候， 应先把分子和分母分解因式，再约分. ③分式化简的结果中， 分子和分母没有公因式.
最简分式
北师大版八年级数学下册 5.1 认识分式(2) 课件
A.
2a 3a 2b
a B. a2 3a
C.
a a2
b b2
a2 ab D. a 2 b2
18
2、下列各式中正确的是（ D ）
A.
xy 3x2
3x2 xy 9x3
C. 0.2a b 2a b a 0.2b a 2b
B. m n m n mm
D.
x 1
x
1 2
y y
2x y x2y
路 程
1s00 2s
3s
ns
（km）
时
间 t6 2t 3t nt
(h)
4
s ? ns (n 0) t nt
5
分数的基本性质：分数的分子与 分母都乘以（或除以）同一个不 等于零的数，分数的值不变.
类比分数的基本性质，你能得到分 式的基本性质吗？说说看！
6
分式的基本性质：分式的分子与 分母都乘以（或除以）同一个不 等于零的整式 ，分式的值不变.
§5.1 认识分式（2）
• 教授年级： 八年级下 • 教材版本： 北师大版 • 教授章节： 第五章第一节第2课时
1
温故而知新:
1、下列式子中，是分式的是（ D ）
A. a
B. x y
3
2
C. x y
D. 4 3 2x
2
§5.1 认识分式（2）
b bm (m 0) a am
3
1、一辆匀速行驶的汽车，
1、已知1 1 3,求分式2x 3xy 2y 的值。
xy
x 2xy y
22
23
用字 母可 以 表 示 为:
b a
b m ,b am a
bm am
(a,b,m为整式，其中m 0)
5.1认识分式.1认识分式 (2)
}
2.下列各式中是分式的有 (B )
1 , x y 8 1 , , 2 8
3m , 2 2 m n
2 a 3y 2 , x 2 4
A. 1个
B. 2个
x x
2
C. 3个
D. 4个
3.弱弱的问问：
是分式吗？
核心提示：判断分式时主要看分母中是否含有字母，不能将分式化简后 再判断。
关于分式的几点注意
三个条件 分式无意义的条件
分式的值为零的条件 分子等于零 且分母不等于零
小测试
1、在下面四个有理式中,分式为( ) 2x 5 1 x8 A、 B、 C、 7 3x 8
1 x D、 - + 4 5
２、当x=-1时，下列分式没有意义的是( A、x 1 B、 x C、 2 x x x 1 x 1 ３、⑴ 当x
同学们： 要想跑得快，你可以独自前行， 要想走得远，你需要团队合作！
知识回顾
下列代数式那些是整式？
18 ，5a+10b 70 18 70
5a 10b ab
5a 10b ab
81 x
m ab
5a+10b
81 x
m ab
北师大版八年级下册
第五章 分式与分式方程
1.会用分式表示简单问题中的数量之间的关 系； 2.了解分式的概念，能区分整式和分式;
大显身手
1.当x取什么值时，下列分式有意义？ 1 8 ; （ 1） x 1 （ 2） x2 9 解⑴：由分母x－1=0，得 x=1. 8 所以当x≠1时，分式 x 1 有意义. (2)：由分母 x2－9=0，得 x=±3。
1 所以当 x 3 时，分式 x 2 9 有意义。
北师大版八年级数学(下)课件：5.1认识分式(2)
2．在括号内注明下列各式成立时，x的取值应满足的条件.
1 x3 x 3 (x 3)(x 3)
（ x ≠3
）．
3．把分式
x
x
y
中的字母x、y的值都扩大10倍，则分式
的值（ C ）．
A．扩大10倍 C．不变
B．扩大20倍
D．是原来的
1 10
当堂检测
4．化简下列分式：
（1）192xx32yy23
2.填空： 2x ( 2x·（x+y）)
x y (x y)(x y)
例题讲解：
例3： 化简下列各式：
a2bc
（1）
； （2）
x2 1 ．
ab
x2 2x 1
解：（1） a2bc ab ac ac ； ab ab
（2）
x2
x2 1 2x
1
x
1 x 1 x 12
当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式 称为最简分式．
注意：化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式．
想一想
（1）
3 与 5
3 有什么关系？那么 5
x y
与
x y
有什么关系？
（2）
3 5
，3 5
与
3 5
有什么关系？
那么 x ，x 与 x 有什么关系？ y y y
分式的分子、分母及分式的本身，任意改变其中的两
．
（1）
5xy 20x2 y
1 4x
（2）
a2 b2
ab ab
a b
a a
b b
a b
议一议
5.1认识分式2
第五章分式方程1认识分式第2课时分式的化简课题第2课时分式的化简授课人教学目标知识技能理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分.数学思考通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察、类比、推理的能力.问题解决让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.情感态度通过丰富的现实情境，使学生在已有数学经验的基础上，了解数学的价值，发展“用数学”的信心.教学重点理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分.教学难点准确、灵活地运用分式的基本性质化简分式.授课类型新授课课时教具多媒体课件（续表）教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.什么是分式？2．分式的值为零的条件是什么？学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】问题1：下列分数是否相等？可以进行变形的依据是什么？，，，，.问题2：分数的基本性质是什么？需要注意的是什么？问题3：根据分数的基本性质，你认为与相等吗？与呢？小组交流你能猜想出分式有什么性质？通过具体例子，引导学生回忆小学学过的分数通分、约分的依据——分数的基本性质，再用类比的方法得出分式的基本性质．在这个活动中，首先激活了学生原有的知识，体现了学生的学习是在原有知识上自我生成的过程.活动二：实践探究交流新知【探究1】分式的基本性质问题1：对照分数的基本性质，改写成分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：＝，＝(m≠0)其中a，b，m是整式．问题2：分式的基本性质(小组内议一议)．分式中的a，b，m，三个字母都表示整式，其中a必须含有字母，除b可等于零外，a，m，都不能等于零．因为若a＝0，分式无意义；若m＝0，那么不论乘或除以，都将使分式无意义．引导学生理解用分式表示的形式，让学生小组讨论问题，进而学生描述、总结、归纳得出分式的基本性质；学生交流感知并形成共识．师：我们利用分数基本性质可以对一个分数进行等值变形，那么我们同样可以利用分式的基本性质对分式进行等值变形．下面我们来看一个例题．例1下列等式的右边是如何从左边变来的？(1)＝(y≠0)；(2)＝.学生用两分钟时间思考然后小组讨论，然后()展示解题过程．例2化简下列各式：(1)；(2).留给学生五分钟，学生各自静静地思考、解答．教师只是巡视，不出声，看到没有集中精力的学生，悄悄地提醒一下．学生解答完，让小组成员互相交流纠错，最后师生共同类比分数的约分得出分式的约分．【探究2】分式的约分化简下列分式：(1)；(2).每题两位学生板演，对于出现的问题，引导学生分析得出最简分式．具体如下：(1)确定分子和分母的最大公因式，思考时参照提公因式的思考过程.1．通过讨论使学生理解从分数到分式是把“数”引伸到“式”，分数是分式的特殊情形．加强学生的抽象概括能力的培养，使学生进一步概括出分式的基本性质．2．通过学生观察分式的分子、分母的特点，独立思考，动手操作，引导学生合作交流，进一步归纳“约分的定义”．3．通过学生自学，总结归纳分式的约分原则及方法步骤，提高学生的解题能力.通过引导学生类比有理数乘除法的符号确定法则总结归纳分式的符号变化规律．学生会用即可.(2)约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式．(3)约分前后分式的值相等．【探究3】探究符号关系(1)和有什么关系？和有什么关系？(2)和－有什么关系？与－有什么关系？有理数乘除法法则，是如何确定积(商)的符号的？活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1根据分式的基本性质填空：(1)＝）)；(2)＝）)；(3)＝）).变式1不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是()变式2不改变分式的值，把分式中的分子、分母的各项系数化为整数，并使次数最高项的系数为正数．变式3不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号．，，－，－，－.例2约分：(1)；(2).变式4化简－的结果是()A．x＋1B．x－1C．1－x D．－x－1变式5要使＝成立，必须满足()A．x≠－2 B．x≠－2且x≠3C．x≠3 D．以上都不对变式6将分式约分时，分子和分母的公因式是．从基础题入手，先练后训，再反复变化，从数到性质，从方法到技巧都进行完美设计，达到学生学有所用，学有会用，学会变通.【拓展提升】例3分式，，，中是最简分式的有()A．1个B．2个C．3个D．4个例4使等式＝自左到右变形成立的条件是()A．x<0B．x>0C．x≠0D．x≠0且x≠－2例5如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值()A．扩大10倍B．缩小10倍C．是原来的D．不变例6等式＝成立的条件是．例7化简：(1)；(2).例8化简求值：，其中x＝－1，y＝2.拓展提升，提高学生应用知识的能力.活动四：课堂总结反思【当堂训练】1．如果把分式中的正数x，y都扩大到原来的2倍，那么分式的值()A．不变B．扩大到原来的2倍C．缩小到原来的D．缩小到原来的2．下列各式变形正确的有()(1)＝；(2)＝－；(3)＝.A．0个B．1个C．2个D．3个3．分式的基本性质是：分式的分子与分母都，分式的值不变．4．化简下列各式：(1)；(2).5．化简分式，再求值：，其中x＝2.及时巩固新知，加深对所学知识的理解运用，激发学生的学习热情，特别是对学困生树立学好数学的信心起到很好的促进作用，可以利用这个机会对这部分同学积极表扬鼓励.【课堂总结】学生活动：这节课大家是通过自己的努力和小组的合作完成的，相信每个同学都有所收获．整理一下本节课的所学，写下来．我掌握的概念：；我学会了：；我还知道了：.教学说明：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学内容进行梳理、分类，融入自己的知识系统；养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．作业：1．教材P112随堂练习．2．教材P113习题5.2中1，2，3，4.巩固、梳理新知，对学生进行鼓励和思想教育.【知识网络】框架图式总结，更容易形成知识网络.【教学反思】①[授课流程反思]通过分数的约分复习分数的基本性质，类比学习分式的基本性质．可以使教学内容自然过渡，学生便于接受和对比学习，提高课堂效率．②[讲授效果反思]新课学习以学生自主探究为主，教师引导与点拨为辅的方式进行，让全体学生通过查看、探究、反思，更进一步提升.展示、交换、小结等活动，一步一步地从化简分式(最简分式)的具体过程中抽象出约分的概念．学生也在约分的探究学习中相互交换了自己的想法和做法．通过合作交换增进了学生对约分方法的理解和控制．③师生互动反思④[习题反思]好题题号错题题号。
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x2 1 x2 2x 1
(x 1)(x 1) (x 1)2
x x
1 1
同除以的ab、
(x-1)在原分式中 充当了分母的因
式，所以默认是 不等于0的，否 则原分式无意义。
这就不再交代ab、
(x-1)不等于0。
ห้องสมุดไป่ตู้
• 说明:在(1)中相当于分子、分母同时约去了整式ab ;在（２) 中相当于分子、分母同时约去了整式(x-1)；把一个分式的 分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
• (1)
bx b
•
b
解：（１）因为y≠0，所以 ＝
2x
by 2xy
＝
by 2xy
• （２）因为x≠0，所以
ax ax x a bx bx x b
• 例2 化简下列分式:
(1) a2bc ab
x2 1 (2) x2 2x 1
• 解: (1) a2bc ab ac ac ab ab
(2)
第五章 分式与分式方程
1 认识分式（二）
永登县中堡镇初级中学 刘克南
情景导入
(1) 3 = 1 的依据是什么?
62
解:依据是分数的基本性质,分数的分子与分母都 乘以或除以同一个不为零的数,分数的值不变.
(2)你认为分式 a 与 1 相等吗? n2 与 n 呢?
2a 2
mn m
• 分式的基本性质: • 分式的分子与分母都乘以或除以同一个
式约去。
5xy 20x2 y
5x 20x2
5xy 5xy 1 20x2 y 4x • 5xy 4x
注意：化简分式时，通常把结果成为最简分式或整式。
化简下列分式：
（1）a 2bc ab
(2)
x2 1 x2 2x 1
5xy (3) 20x2y
a(a b) (4) b(b2 a2 )
归纳：
分式的约分：把一个分式的分子和分母的公 因式约去，这种变形称为分式的约分。
4y 3x
4y 3x
x y
x y
1
(2) (x
y)3
(x
y)(x
y)2
(x
y)2
1﹑分式的基本性质。
2﹑分式基本性质的应用。
3﹑化简分式,通常要使结果成 为最简分式或者整式。
习题5.2的1、2、3题。
检测反馈
1.填空
(1) 2x _2_x__x____y__(x y 0) x y (x y)(x y)
(2)
y2 y2 4
1
_y_____2_
• 2.化简下列分式:
12x2 y 3 (1) 9x3 y2
x y (2) (x y)3
解：(1)
12x 9x3
2y y2
3
3x2 y2 3x2 y2
约分的基本步骤：
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约简系数， 并约去相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项 式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因 式．
注意：约分过程中，有时还需运用分式的符号 法则使最后结果形式简捷；约分的依据是分式 的基本性质.
分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因
不为零的整式,分式的值不变.
• 类比理由:因为字母可以表示任何数.
• 强调: 性质中是同时乘以或除以同一个不为零的整式;同乘
以时要交代条件；同除以的时候有时原题已经隐含 了不等于零的条件，可以不用重复交代。仔细阅读 下面的例题，细心体会！
合作探究
• 例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的?
(2) ax a
最简分式：分子和分母没有公因式的分式叫 最简分式。
（化简分式时，通常要使结果成为 最简分式或者整式）
• 做一做
• 化简下列分式
(1)
5xy 20x2 y
(2) a(a b) b(a b)
解：(1)
5xy 20x2 y
5xy 4x 5xy
1 4x
(2) a(a b) a b(a b) b