2021届吉林省长春市东北师大附中高三年级上学期第三次摸底数学(理)试题

2020届吉林省长春市东北师大附中高三年级上学期第三次摸底数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．12i 12i+=- A ．43i 55-- B ．43i 55-+ C ．34i 55-- D ．34i 55-+ 2．已知集合{}2230A x N x x =∈--≤，{}1B x Z x =∈≤，则AB =（ ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1C ．{}11x x -≤≤D ．{}13x x -≤≤ 3．角θ的终边与单位圆O交于点13P ⎫-⎪⎪⎝⎭，则cos2θ=（ ）A ．79B ．89C ．79-D ．89- 4．已知向量()1,3a =，()0,3a b +=，设a 与b 的夹角为θ，则θ=（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 5．设3log 2a =，432b =，2312c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．a c b >>6．若,x y 满足01026x y y y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则x y -的最大值为A ．4B ．2C ．1D ．0 7．函数()cos x x x f x e e-=-的图像大致是（ ） A ． B ． C ． D ．8．设R θ∈，则“66ππθ-<”是“1cos θ2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且6322S S -=，则789a a a ++的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．6D ．410．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,,2A N πωϕ⎛⎫>∈< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．22,2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．2,2,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 11．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当()0,1x ∈时，()sin f x x π=.记当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 的极大值点从小到大依次记为123,,,...,,...n a a a a 并记相应的极大值为123,,,...,,...n b b b b ，则()101k k k a b =+=∑（ ）A ．561B ．611C ．1073D ．209712．已知O 为锐角ABC ∆的外心，且三边,,a b c 与面积S 满足2224b c a S +-=，若AO AB AC λμ=+（其中,λμ是实数），则λμ的最大值是（ ）A．22- B．22+C．32+ D．32-二、填空题13．曲线cos y x x =+在点(0,1)处的切线方程为__________．14．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，记AB a =，从点A ､B ､C ､D ､E ､F 这六点中任取两点为向量b 的起点和终点，则a b ⋅的最大值为______.15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值为方程210x x +-=的正根10.6182≈，这一数值也可以表示为2sin18，则sin54sin18-=______. 16．已知函数()2,0,1,0,x e x x f x ax x ⎧->=⎨-<⎩若存在实数0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则实数a 的取值范围是______.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，12n n S a +=-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n b 满足22log 1n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证111334n k k T =≤<∑. 18．如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()cos 2cos c B a b C =-，点D 在边BC 上.（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若5b =，11cos 14B =，且ABD ∆的面积与ADC ∆的面积之比为3:1，求AD . 19．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11AC CA 是正方形，平面11AC CA ⊥平面11BCC B ，11BC C C ⊥，11BC C C =，点E 在AC 上，3AC EC =，F 是11A B 的中点.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1FBC ； （Ⅱ）判断平面1FBC 与平面1ABC 是否垂直，直接写出结论，不必说明理由； （Ⅲ）求二面角1C BF E --的余弦值.20．已知ABC ∆的两个顶点,A B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，且,CA CB 所在直线的斜率之积等于34-，记顶点C 的轨迹为Γ. （Ⅰ）求顶点C 的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与曲线Γ交于,M N 两点，点P 在曲线Γ上，且O 为PMN ∆的重心（O 为坐标原点），求证：PMN ∆的面积为定值，并求出该定值. 21．已知函数()()21ln 12f x ax a x x =-+-，()1xg x e x =--. （Ⅰ）若0x =为函数()f x 的极小值点，求a 的取值范围，并求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0x ∀≥，()()212g x f x x ≥+，求a 的取值范围. 22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 23πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为cos ,2sin x m y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0m >）. （Ⅰ）当2m =时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且与曲线C 交于,M N 两点，且15PM PN ⋅=，求m 的值.23．设0a >，0b >，0c >.（Ⅰ）若1a b c ++=，求111a b c++的最小值；（Ⅱ）若1abc =111a b c≤++.参考答案1．D【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：212(12)341255i i i i ++-+==∴-选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2．B【分析】求出集合,A B ，利用集合的交运算即可求解.【详解】{}{}{}2230130,1,2,3A x N x x x N x =∈--≤=∈-≤≤=，{}{}{}1111,0,1B x Z x x Z x =∈≤=∈-≤≤=-， {}0,1A B ∴⋂=.故选：B【点睛】本题考查了集合的交运算，同时考查了一元二次不等式的解法以及绝对值不等式的解法，属于基础题.3．A【分析】利用三角函数的定义可得cos θ=cos2θ 【详解】由题意可得cos 3θ=， 所以287cos22cos 12199θθ=-=⨯-=. 故选：A【点睛】本题考查了三角函数的定义以及二倍角公式，需熟记公式，掌握三角函数的定义是关键，属于基础题.4．C【分析】根据向量的坐标运算求出向量b ，再利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】设(),b x y =，由()1,3a =，()0,3a b +=，可得()(()0,31,0b =-=-，设a 与b 的夹角为θ，且[]0,θπ∈ 则21cos 21a b a b θ⋅===-+，所以θ=23π. 故选：C【点睛】本题考查了向量坐标表示、向量数量积的坐标运算，属于基础题.5．B【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.【详解】由3log y x =单调递增，所以333log 1log 2log 3<<，即01a <<. 由2x y =为增函数，则42033222>>，所以24233312212b c -⎛⎫=>==> ⎪⎝⎭， 综上可得b c a >>.故选：B【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，属于基础题. 6．A【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用线性规划求最值得解. 【详解】当x≥y时，设z=x-y,由题得1026 x yyy xx y⎧⎪+≥⎪⎪+≤⎨⎪≥-⎪≥⎪⎩，不等式组对应的可行域如图所示，当直线z=x-y经过点B(2,-2)时，直线的纵截距-z最小，z最大，此时z取最大值2-(-2)=4.当x＜y时，设z=y-x,由题得1026x yyy xx y⎧⎪+≥⎪⎪+≤⎨⎪≥-⎪<⎪⎩，不等式组没有可行域，所以该情况不存在.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7．A【解析】因为()()f x f x -=- ，所以去掉B,D;当π(0,)2x ∈ 时，()0f x > 所以去掉C,选A. 8．A【分析】运用绝对值不等式的解法和余弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．【详解】 ∵0666663ππππππθθθ-<⇔-<-<⇔<<，1cos 22,233k k k Z ππθπθπ>⇔-+<<+∈， 则0,2,2,333k k k Z πππππ⎛⎫⎛⎫⊆-++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得“66ππθ-<”是“1cos 2θ>”的充分不必要条件，故选A. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时考查余弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．9．B【分析】根据{}n a 是等比数列，由6322S S -=，即6332S S S -=+可得36396,,S S S S S --也是等比数列，结合基本不等式的性质即可求出789a a a ++的最小值.【详解】 {}n a 是等比数列，6322S S -=，即6332S S S -=+，∴36396,,S S S S S --也是等比数列，且96789S S a a a -=++，()()263396S S S S S ∴-=⋅-，可得：()2233396333324444S S S S S S S S S +++-===++48≥=，当且仅当32S =时取等号， ∴789a a a ++的最小值为8.故选：B 【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和性质以及基本不等式求和的最小值，熟记等比数列的前n 项和性质是关键，属于基础题. 10．C 【分析】由图可知函数的周期T π=，进而根据周期公式求出ω，利用对称轴以及ϕ的范围可求出ϕ，再由正弦函数的单调递增区间整体代入即可求解. 【详解】 由图可知22362T πππ=-=，解得T π=，所以22πωπ==， 又()2262k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得()26k k Z πϕπ=+∈.2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0A > 由()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ， 解得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故选：C 【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式以及整体代入法求函数的单调区间，属于基础题. 11．C 【分析】根据()()12f x f x +=以及极值点与极值的定义求出123,,,a a a 123,,,b b b 判断{}{},n n a b 分别为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由()()12f x f x +=，即()()21=-f x f x ，当()0,1x ∈时，()sin f x x π=， 由题意可知112a =，11b =， 当12x <<时，则011x <-<，()()()212sin 1f x f x x π=-=- 则232a =，22b =， 当23x <<时，则021x <-<，()()()414sin 2f x f x x π=-=-， 则352a =，34b =，所以{}n a 是以12为首项，1为公差的等差数列， {}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以()()()101212101kk n k ab a a a b b b =+=+++++++∑()1011121091105010231073212a ⨯-⨯⨯=++=+=-.故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的性质、极值点以及极值的定义、等差数列、等比数列的前n 项和公式，需熟记定义与公式，属于中档题. 12．D 【分析】利用余弦定理以及三角形的面积公式求出cos A =BC 边所在的直线为x 轴，BC 边的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系（D 为BC 边的中点），由外接圆的性质可得BOD COD BAC ∠=∠=∠,由cos A =2R =，则2OA OB OC ===,可得,,B C O 的坐标，设(),A m n ，则ABC ∆的外接圆的方程为：(224x y +-=，利用向量的坐标运算可得())m m mn n nλμλμ⎧-=+⎪=--，从而求出,m n ，代入外接圆方程可得()221λμλμ+=+，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由2224b c a S +-=，可知12cos 4sin 2bc A bc A =⨯， 解得tan 1A =，所以cos A =如图所示，以BC 边所在的直线为x 轴，BC 边的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系 （D 为BC 边的中点）由外接圆的性质可得BOD COD BAC ∠=∠=∠,由cos A =2R =， 则2OA OB OC ===,cos OD COD OC ∠==OD DC ∴===,())((),,,,B O CO A m n ∴，则ABC ∆的外接圆的方程为：(224x y +-=，AO AB AC λμ=+，()()),,m n m n m n λμ∴-=-+-，())m m mn n nλμλμ⎧-=+⎪∴=-- ，1λμ+≠，否则,,C O B 三点共线，由图可知不可能的.∴可化为)1m n μλλμ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪=⎪⎩，代入ABC ∆的外接圆的方程可得()()2222411μλλμλμ⎛-+= +-+-⎝， 化为()221λμλμ+=+， 化为()2122λμλμ+=+≥⨯12+12≤-， 又01λμ<<，所以302λμ-<≤， 所以λμ的最大值为32-. 故选：D 【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、向量的坐标运算以及基本不等式求最值，综合性比较强，属于难题. 13．10x y -+= 【分析】由题可判断出点在曲线上，所以通过求导求出切线的斜率，把斜率和点代入点斜式方程即可． 【详解】∵点（0，1）在曲线上，又由题意，1sin y x '=-，∴斜率k ＝0101x y ==-='，∴所求方程为：10y x -=-，即y ＝x +1．故答案为：10x y -+=． 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题． 14．2 【分析】向量的数量积最大，需要两个向量的模以及两个向量的夹角的余弦函数值的乘积取得最大值即可. 【详解】由题意可知：则cos ,cos ,a b a b a b b a b ⋅==，由图可知2,cos ,1b a b b FC ≤<>≤∴=时，所以cos ,2a b b a b ⋅==， 故a b ⋅的最大值为2. 故答案为：2 【点睛】本题考查了向量数量积的定义，掌握向量数量积的定义是关键，属于基础题. 15．12【分析】利用诱导公式以及二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】2sin54sin18cos36sin1812sin 18sin18-=-=--()()1112sin181sin18111242⎛⎫⎛⎫-=--+=---= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：12【点睛】本题考查了诱导公式以及二倍角的余弦公式，需熟记公式，属于基础题. 16．[)2,e -+∞ 【分析】由已知条件令00x >可得02001x ax e x +=-，分离参数可得00001x e a x x x =--，令 ()000001x e g x x x x =--，求出()0g x 的值域即可求解.【详解】()2,0,1,0,x e x x f x ax x ⎧->=⎨-<⎩，且()()00f x f x -=-令00x >，∴()02001xax e x --=--，即02001x ax e x +=-，从而可得00001x e a x x x =--， 令()000001x e g x x x x =--， 则()()()0000002220001111x x x x e x e x e g x x x x ---⋅-'=-+=， 令()0001xh x e x =--，则()001xh x e '=-，因为00x >，所以()0010xh x e '=->，即()0h x 在()0,∞+上为增函数，所以()()00h x h >，即()00010xh x e x =-->，所以()()()00002011xx e x g x x ---'=，当01x>时，()00g x '>，当001x <<时，()00g x '<，所以()0g x 在()0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，所以()()012g x g e ≥=-， 所以2a e ≥-，实数a 的取值范围是[)2,e -+∞. 故答案为：[)2,e -+∞ 【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于难题.17．（Ⅰ）2nn a =（Ⅱ）证明见解析【分析】（Ⅰ）根据n S 与n a 的关系，可得12n n a a +=，从而判断{}n a 为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，22log 121n n b a n =+=+，利用等差数列的求和公式可得()2n T n n =+，再利用裂项求和法可求出11nk kT =∑，令()31114212f n n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，易知()f n 单调递增，借助函数的单调性即可求解. 【详解】（Ⅰ）因为12n n S a +=-，① 当2n ≥时，12n n S a -=-，②由①-②得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=， 当1n =时，2124a a =+=，21422a a ==， 所以数列{}n a 为等比数列，其首项为12a =，公比为2，所以112n nn a a q -==；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，22log 121n n b a n =+=+，所以()2n T n n =+，所以()11111222k T k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以11111111111...2324112nk k T n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭令()31114212f n n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，易知()f n 单调递增， 所以()()314f f n ≤<，即()1334f n ≤<， 所以111334n k k T =≤<∑. 【点睛】本题考查了n S 与n a 的关系、等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式、裂项求和法以及函数的单调性求值域，综合性比较强，属于中档题. 18．（Ⅰ）3C π=（Ⅱ）AD =【分析】（Ⅰ）利用正弦定理边化角可得2sin cos sin cos sin cos A C C B B C =+，再利用两角和的正弦公式的逆应用即可求解.（Ⅱ）在ABC ∆中，0B π<<，11cos 14B =，从而可得sin B =进而求出sin BAC ∠，在ABC ∆中，由正弦定理可得BC ，根据ABD ∆的面积与ADC ∆的面积之比为3:1，可得2DC =，在ADC ∆中，利用余弦定理即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，∵()2cos cos a b C c B -=，由正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A B C C B -=， 即2sin cos sin cos sin cos A C C B B C =+， ∴()()2sin cos sin sin sin A C B C A A π=+=-=， 在ABC ∆中，0A π<<，∴sin 0A ≠. ∴cos 12C =，又在ABC ∆中，0C π<<， ∴3C π=.（Ⅱ）在ABC ∆中，0B π<<，11cos 14B =，∴sin B ==由（Ⅰ）可知3C π=，∴()111sin sin sin cos cos sin 214BAC B C B C B C ∠=+=+=+=， 在ABC ∆中，由正弦定理可得5sin 8sin b BACBC B∠===，∵ABD ∆的面积与ADC ∆的面积之比为3:1， ∴3BD DC =，∴2DC =. 在ADC ∆中，由余弦定理可得2222212cos 52252192AD AC DC AC DC C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，∴AD =【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟记定理，属于中档题.19．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）平面1FBC ⊥平面1ABC （ 【分析】（Ⅰ）连结1B C 交1BC 于D ，因为F 为中点，所以1//FD A C ，利用线面平行的判定定理即可证出（Ⅱ）首先利用面面垂直的判定定理即可得出结论.（Ⅲ）建立空间直角建立坐标系，分别求出平面1FB C 的一个法向量、平面EBF 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】（Ⅰ）如图所示，连结1B C 交1BC 于D ，因为F 为中点，所以1//FD A C ，又因为FD ⊂平面1FBC , 1AC ⊄平面1FBC , 所以1//A C 平面1FBC .（Ⅱ）平面1FBC ⊥平面1ABC .（Ⅲ）如图建立坐标系，设1CC a =，()1,0,0C B a =，1,,222a a a C F ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 设平面1FB C 的一个法向量为(),,n x y z =，则1100n C B n C F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，00222ax a a ax y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩， 令1y =，则()0,1,1n =，同理可得平面EBF 的一个法向量为()2,1,3k =，所以()2cos ,7n k n k n k⋅===+， 因为二面角为锐二面角，所以求二面角1C BF E --.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理以及空间向量法求二面角，考查了推理能力以及空间想象能力，属于中档题.20．（Ⅰ）()221243x y x +=≠±（Ⅱ）证明见解析，定值为92.【分析】（Ⅰ）设(),C x y ，根据题意列方程即可求解.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，由O 为PMN ∆的重心，可得0OP MO NO ++=，从而1230x x x ++=，1230y y y ++=，将直线与椭圆方程联立整理利用韦达定理求出点P 坐标，代入椭圆方程可得22443m k =+，再利用弦长公式以及三角形的面积公式即可求解.【详解】（Ⅰ）设(),C x y ，因为点A 的坐标为()2,0-，所以直线AC 的斜率为()22AC y k x x =≠-+ 同理，直线BC 的斜率为()22BC y k x x =≠- 由题设条件可得，()32224y y x x x ⋅=-≠±+-. 化简整理得，顶点C 的轨迹Γ的方程为：()221243x y x +=≠±. （Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，因为O 为PMN ∆的重心，所以0OP MO NO ++=，所以1230x x x ++=，1230y y y ++=， 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224384120k x kmx m +++-=，()()()2222264443412484320k m k m k m ∆=-+-=+->122843km x x k -+=+，()121226243m y y k x x m k +=++=+， 32843km x k =+，32643m y k =-+，∴2286,4343km m P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 又点P 在椭圆上，所以()()2222222161214343k m m k k +=++，∴22443m k =+，因为O 为PMN ∆的重心，所以PMN ∆是OMN ∆的3倍，21MN x=-=，原点O到直线MN的距离为d=12OMNS MN d∆=⋅=32==.所以932PMN OMNS S∆∆==，所以，PMN∆的面积为定值，该定值为92.【点睛】本题考查了直接法求曲线的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.21．（Ⅰ）1a>，()f x的递减区间()1,0-和()1,a-+∞，递增区间为()0,1a-，（Ⅱ）1a≤【分析】（Ⅰ）首先求出函数()f x导数，分类讨论10a-≤或10a->，判断()f x'的正负即可求解.（Ⅱ）令()()()()()()21ln11102xF x g x f x x e a x a x x=--=++-+-≥，且()00F=，求出()()()1111xF x e x axx⎡⎤'=-+-⎣⎦+，令()()()()110xg x e x ax x=-+-≥，且()00g=，求出()g x'在[)0,+∞上单调递增，进而分类讨论10a-≥或10a-<，求出()g x的单调区间，即可求出()F x的单调区间，判断()F x的正负即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意知：()1,x∈-+∞，且()()11x x aaf x a xa x x---⎡⎤⎣⎦'=--=-+，若10a-≤，即1a≤时，当0x>，()0f x'<，所以0x=不可能为()f x的极小值点；若10a ->，即1a >时，令()001f x x a '>⇒<<-；令()010f x x '<⇒-<<或1x a <-，所以()f x 的递减区间()1,0-和()1,a -+∞，递增区间为()0,1a -，所以0x =为函数()f x 的极小值点，综上：1a >，()f x 的递减区间()1,0-和()1,a -+∞，递增区间为()0,1a -.（Ⅱ）令()()()()()()21ln 11102x F x g x f x x e a x a x x =--=++-+-≥， 则()00F =， ()()()11111111x x x a x F x e a e a e x ax x x x ⎡⎤'=+--=--=-+-⎣⎦+++， 令()()()()110x g x e x ax x =-+-≥，则()00g =， 因为()()()21xg x x e a '=+-+，令()()()0h x g x x '=≥， 则()()30xh x x e '=+>，()0x ≥， 所以()g x '在[)0,+∞上单调递增，所以()()01g x g a ''≥=-，（1）当10a -≥，即1a ≤时，()0g x '≥，0x ≥，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增，所以()0g x ≥对0x ≥恒成立.所以()()101F x g x x '=≥+恒成立，所以()F x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00F x F ≥=，0x ≥，符合题意；（2）当10a -<，即1a >时，因为()010g a '=-<，又10a ->且()()()()1111110a g a a e a a a -'-=+-+>+-+=，又()g x '在[)0,+∞上连续且单调递增，所以存在00x >，使得()00g x '=，此时，当()00,x x ∈时，()0g x '<，所以()g x 单调递减，所以()()00g x g <=，所以()()101F x g x x '=<+，所以()F x 在()00,x x ∈单调递减， 所以()()00F x F <=，()00,x x ∈，矛盾，舍去.综上：1a ≤.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性以及导数在研究不等式恒成立中的应用，考查了转化与化归的思想、分析问题与解决问题的能力，属于难题.22．（Ⅰ）直线l 与曲线C 相切（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）将极坐标方程以及参数方程化为普通方程，再利用点到直线的距离公式即可判断.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P 点坐标为()0,4，且直线的斜率为k =l 的倾斜角为3π，将直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，利用参数t 的几何意义即可求解.【详解】（Ⅰ）当2m =时，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x a y a=⎧⎨=⎩， ∴曲线C 的普通方程为224x y +=，表示以原点O 为圆心，2为半径的圆， ∵sin 23πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1sin cos 22ρθρθ=，∴直线l 的直角坐标方程为122y x =，40y -+=，∵O 到直线l 的距离为2d ==，∴直线l 与曲线C 相切；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P 点坐标为()0,4，且直线的斜率为k =∴直线l 的倾斜角为3π，∴直线l的参数方程为1242x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 曲线C 的普通方程为222244x m y m +=，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理，得()222243480m t t m +++=，∵直线l 与曲线C 交于,M N 两点，设,M N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，∴()()()2222224484319240m m m m ∆=-⨯⨯+=->， 且21224843m t t m =+， ∵121215PM PN t t t t ⋅===， ∴22481543m m =+，解得m >0∆），∴m的值为【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查了参数方程中参数的几何意义，属于基础题.23．（Ⅰ）9（Ⅱ）证明见解析【分析】（Ⅰ）将1用a b c ++替换，利用基本不等式即可求解.（Ⅱ）根据1111111111122a b c a b c a b c ⎛⎛⎫++=+++++≥ ⎪ ⎝⎭⎝，由1abc =代入即可证出.【详解】（Ⅰ）因为111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++111b c a c a b a a b b c c =++++++++339b c a c a b a a b b c c =++++++≥≥， （当a b c ==时，等号成立） 所以111a b c++的最小值为9；（Ⅱ）证明：因为1111111111122a b c a b c a b c ⎛⎛⎫++=+++++≥ ⎪ ⎝⎭⎝， 又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，∴()111a b c ++≥， 当a b c ==时等号成立，即原不等式成立.【点睛】本题考查了基本不等式证明不等式，注意验证等号成立的条件，属于基础题.。