2021届吉林省长春市东北师大附中高三年级上学期第三次摸底数学(理)试题

2020届吉林省长春市东北师大附中高三年级上学期第三次摸

底数学（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．12i 12i

+=- A ．43i 55

-- B ．43i 55-+ C ．34i 55-- D ．34i 55-+ 2．已知集合{}2230A x N x x =∈--≤，{}1B x Z x =∈≤，则A

B =（ ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1

C ．{}11x x -≤≤

D ．{}

13x x -≤≤ 3．角θ的终边与单位圆O

交于点13P ⎫-⎪⎪⎝⎭

，则cos2θ=（ ）

A ．79

B ．89

C ．79-

D ．89- 4．已知向量()1,3a =，()0,3a b +=，设a 与b 的夹角为θ，则θ=（ ） A ．6π B ．

3π C ．23π D ．56π 5．设3log 2a =，4

32b =，2312c -⎛⎫= ⎪⎝⎭

，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．a c b >>

6．若,x y 满足01026x y y y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩

,则x y -的最大值为

A ．4

B ．2

C ．1

D ．0 7．函数()cos x x x f x e e

-=-的图像大致是（ ） A ． B ． C ． D ．

8．设R θ∈，则“66π

π

θ-<”是“1cos θ2

”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

9．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且6322S S -=，则789a a a ++的最小值为（ ）

A ．9

B ．8

C ．6

D ．4

10．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,,2A N πωϕ⎛

⎫>∈< ⎪⎝⎭

的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（ ）

A ．2,,63k k k Z ππππ⎡

⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．22,2,63k k k Z ππππ⎡

⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．,,36k k k Z ππππ⎡

⎤

-+∈⎢⎥⎣⎦

D ．2,2,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣

⎦ 11．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当()0,1x ∈时，

()sin f x x π=.记当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 的极大值点从小到大依次记为

123,,,...,,...n a a a a 并记相应的极大值为123,,,...,,...n b b b b ，则()10

1k k k a b =+=∑（ ）

A ．561

B ．611

C ．1073

D ．2097

12．已知O 为锐角ABC ∆的外心，且三边,,a b c 与面积S 满足2224b c a S +-=，若

AO AB AC λμ=+（其中,λμ是实数）

，则λμ的最大值是（ ）

A

．22- B

．22+C

．32+ D

．32

-

二、填空题

13．曲线cos y x x =+在点(0,1)处的切线方程为__________．

14．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，记AB a =，从点A ､B ､C ､D ､E ､F 这六点中任取两点为向量b 的起点和终点，则a b ⋅的最大值为______.

15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值为方程210x x +-=

的正根

10.6182

≈，这一数值也可以表示为2sin18，则sin54sin18-=______. 16．已知函数()2,0,1,0,

x e x x f x ax x ⎧->=⎨-<⎩若存在实数0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则实数a 的取值范围是______.

三、解答题

17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，12n n S a +=-.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）数列{}n b 满足22log 1n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证

111334

n k k T =≤<∑. 18．如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()cos 2cos c B a b C =-，点D 在边BC 上

.

（Ⅰ）求角C ；

（Ⅱ）若5b =，11cos 14

B =，且ABD ∆的面积与AD

C ∆的面积之比为3:1，求A

D . 19．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11AC CA 是正方形，

平面11AC CA ⊥平面11BCC B ，11BC C C ⊥，11BC C C =，点E 在AC 上，3AC EC =，F 是11A B 的中点.

（Ⅰ）求证：1

//AC 平面1FBC ； （Ⅱ）判断平面1FBC 与平面1ABC 是否垂直，直接写出结论，不必说明理由； （Ⅲ）求二面角1C BF E --的余弦值.

20．已知ABC ∆的两个顶点,A B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，且,CA CB 所在直线的斜率之积等于34

-，记顶点C 的轨迹为Γ. （Ⅰ）求顶点C 的轨迹Γ的方程；

（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与曲线Γ交于,M N 两点，点P 在曲线Γ上，且O 为

PMN ∆的重心（O 为坐标原点）

，求证：PMN ∆的面积为定值，并求出该定值. 21．已知函数()()21ln 12

f x ax a x x =-+-，()1x

g x e x =--. （Ⅰ）若0x =为函数()f x 的极小值点，求a 的取值范围，并求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0x ∀≥，()()212

g x f x x ≥+，求a 的取值范围. 22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已