第四节简单三角函数的恒等变换
第四章 三角恒等变换(知识点总结梳理)-高中数学北师大版(2019)必修第二册
2019新教材北师大版数学必修第二册第四章知识点清单目录第四章三角恒等变换§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数公式§3 二倍角的三角函数公式第四章 三角恒等变换 §1 同角三角函数的基本关系一、同角三角函数的基本关系式 1. 平方关系：sin 2α+cos 2α=1. 2. 商数关系：tan α= sin αcos α.3. 公式的常见变形(1)sin 2α=1-cos 2α；cos 2α=1-sin 2α.(2)sin α=±√1−cos 2α；cos α=±√1−sin 2α. (3)cos αtan α=sin α.(4)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α；(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. (5)1+tan 2α=1cos 2α；1+1tan 2α=1sin 2α二、由一个三角函数值求其他三角函数值1. 已知角的正弦、余弦、正切中的一个值，利用同角三角函数的基本关系式可以“知一求二”.2. 若题目中没有指出角终边所在的象限，则必须根据条件推断该角可能是第几象限角，再分情况加以讨论.三、利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明 1. 利用同角三角函数的基本关系化简或证明时常用的方法(1)化切为弦，即把正切函数化成正弦、余弦函数，从而达到化简的目的. (2)对于含有根号的三角函数式，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的.(3)对于含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造出“sin 2α+cos 2α”的形式，以降低次数，达到化简的目的.四、关于sin α，cos α的齐次式的求值问题1. 关于sin α，cos α的齐次式是指式子中的每一项都是关于sin α或cos α的式子，且每一项的次数相等，通常为一次齐次式、二次齐次式.2. 当齐次式为分式时，可将分子与分母同除以cos α的n(n为齐次式的次数)次幂，此时分式的分子与分母都可化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求得式子的值.3. 当二次齐次式为整式时，可将其视为分母为1的式子，然后将分母1用sin2α+cos2α替换，这时再将式子的分子与分母同时除以cos2α，即可化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求得式子的值.五、利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值1. 若已知sin α±cos α，sin αcos α 中的一个,则可以利用方程思想进一步求得sin α, cos α 的值，从而解决相关问题. 常涉及的三角恒等式有：(1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α；(2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α；(3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2；(4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin α·cos α.2. 求sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α的值时，要注意结合角的范围进行符号判断.§2 两角和与差的三角函数公式一、两角和与差的三角函数公式二、知识拓展 1. 公式的记忆方法：(1)公式C α+β，C α-β可记为“同名相乘，符号反”. (2)公式S α+β，S α-β可记为“异名相乘，符号同”.(3)公式T α+β，T α-β的结构特征可记为“分子为正切的和或差，分母为1与正切的积的差或和”，符号规律可记为“分子同，分母反”.2. 两角和与差的正切公式的变形：(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)，tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). (2)1-tan αtan β=tan α+tan βtan(α+β)，1+tan αtan β=tan α−tan βtan(α−β).(3)1+tan α1−tan α=tan π4+tan α1−tan π4⋅tan α=tan (π4+α)，1−tan α1+tan α=tan π4−tan α1+tan π4⋅tan α=tan (π4−α).以上式子中各角应保证各式有意义.三、三角函数的叠加公式1：asin α+bcos α=√a 2+b 2sin(α+φ)，其中sin φ=√a 2+b2，cos φ=√a 2+b 2，a ，b不同时为0.公式2：asin α+bcos α=√a 2+b 2cos(α-φ)，其中sin φ=√a 2+b 2，cos φ=√a 2+b 2，a ，b不同时为0.四、积化和差与差化积公式 1. 积化和差公式(1)cos αcos β=12 [cos(α+β)+cos(α-β)].(2)sin αsin β=-12 [cos(α+β)-cos(α-β)]. (3)sin αcos β=12 [sin(α+β)+sin(α-β)].(4)cos αsin β=12 [sin(α+β)-sin(α-β)].2. 和差化积公式 (1)sin x+sin y=2sinx+y 2cos x−y 2.(2)sin x-sin y=2cosx+y 2sinx−y2.(3)cos x+cos y=2cosx+y 2cos x−y2.(4)cos x-cos y=-2sinx+y 2sinx−y 2.五、利用公式解决给角求值问题利用公式解决给角求值问题的关键是通过公式的合理运用，使所求式中的非特殊角转化为特殊角，或使式中出现可以正负抵消的项，或使式中出现分子、分母能约分的项，从而达到化简求值的目的. 具体注意以下几点：(1)看角：把角尽量向特殊角或可化简或可求出值的角转化，合理拆角，化异为同； (2)看名称：把式子中的三角函数的名称尽量化成同一名称，例如可以把正切函数化为正、余弦函数，或把正、余弦函数转化为正切函数，再解决问题；(3)看式子：看式子是否满足两角和与差的正弦、余弦、正切公式，准确选择公式求解.六、利用公式解决给值求值问题给值求值，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，其关键在于“变角”，即使“所求角”变为“已知角”，常见的技巧如下：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个已知角的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，应注意“已知角”与“所求角”的关系，通过诱导公式或引入特殊角，将“所求角”变成“已知角”；(3)配角技巧：①2α=(α+β)+(α-β)，②α=(α+β)-β=β-(β-α)，③α=(α+π4)-π4=(α−π4)+π4，④α−β2=(α+β2)-(α2+β).七、利用公式解决给值求角问题1. 解决给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.2. 通过求角的某个三角函数值来求角，选取函数是关键，一般遵循以下原则：(1)已知正切函数值，选取正切函数.(2)已知正弦、余弦函数值，选取正弦函数或余弦函数；若角的范围是(0，π2)，选正弦函数、余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围是(−π2，π2)，选正弦函数较好.八、利用三角函数的叠加研究函数的性质1. 公式的作用：利用三角函数的叠加公式可将形如asin α+bcos α(a，b不同时为0)的三角函数式转化为Asin(α+φ)或Acos(α+φ)的形式，从而达到化简或求值的目的，也有利于研究函数的图象和性质.2. 形式选择：化为正弦还是余弦的形式，要由具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.§3 二倍角的三角函数公式一、二倍角公式二、半角公式1. 半角的正弦公式：sinα2=±√1−cos α2.2. 半角的余弦公式：cosα2=±√1+cos α2.3. 半角的正切公式：tanα2=±√1−cos α1+cosα=sin α1+cosα=1−cos αsinα.三、知识拓展 二倍角公式的变形1. 降幂公式：sin αcos α=12sin 2α；sin 2α=1−cos 2α2；cos 2α=1+cos 2α2.2. 升幂公式：1±sin 2α=(sin α±cos α)2；1+cos 2α=2cos 2α；1-cos 2α=2sin 2α.3. 万能公式：sin 2α=2tan α1+tan 2α；cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α.四、半角公式的应用利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的二倍关系.(2)明范围：求出相应半角的范围，为定符号做准备. (3)选公式：涉及正切时，常利用tan α2=sin α1+cos α=1−cos αsin α进行计算；涉及正弦、余弦时，常利用sin 2α2=1−cos α2，cos 2α2=1+cos α2进行计算.(4)下结论：结合(2)求值. 五、三角函数公式的综合应用三角函数公式在三角函数式的化简、求值以及研究与三角函数有关函数的图象与性质等方面具有重要作用，尤其是研究与三角函数有关函数的图象与性质时，需要先对函数解析式进行化简，化简的过程就是运用公式的过程. 通常情况下，需要先对解析式降幂，变为一次式，再利用三角函数的叠加公式将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)+k 或y=Acos(ωx+φ)+k 的形式，最后研究函数的图象与性质.。
2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4-4三角恒等变换课件文
(2)4cos50°－tan40°＝4sin40°－tan40°
＝4sin40°ccooss4400°°－sin40°＝2sin80°－cossin403°0°＋10°
＝2cos10°－12ccooss1400°°－
3 2 sin10°
＝32cos10c°o－s4023°sin10°
＝ 3 cosc3o0s°4＋0°10°＝ 3. [答案] (1)1 (2) 3
第
四
三角函数 解三角形
章
第四节
三角恒等变换
高考概览 1.巧变角：三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察 角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换， 化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问 题顺利获解．对角变换时：(1)可以通过诱导公式、两角和与差的 三角公式等；(2)注意倍角的相对性；(3)注意拆角、拼角技巧，例 如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝α＋2 β－ α－2 β＝(α＋2β)－(α＋β)，α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，
(2)三角函数求值的方法策略
类型
要点
给角 关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角
求值 函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数
类型
要点
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的 给值
三角函数值，解题关键在于“变角”，使其 求值
角相同或具有某种关系
给值 实质是转化为给值求值，关键是变角，把所
求角 求角用含已知角的式子表示，由所得的函数
角度 1：给角求值 (1)化简：sin50°(1＋ 3tan10°)＝________.
(2)4cos50°－tan40°＝________. 化成“一角一
简单的三角恒等变换
复数与三角恒等变换
复数的三角形式
通过三角恒等变换，可以将复数表示为三角形式，这有助于我们更好地理解复数 的性质和运算规则。
复数运算的几何解释
通过将复数表示为极坐标形式，并利用三角恒等变换进行运算，可以直观地理解 复数运算的几何意义。
05
CATALOGUE
特殊角的三角函数值
三十度、四十度和六十度的三角函数值
极坐标系下的方程
极坐标系与直角坐标系转换
三角恒等变换在极坐标系和直角坐标系之间转换时发挥重要作用， 使得在极坐标系下求解某些问题变得简便。
极坐标系下的曲线方程
通过三角恒等变换，可以建立极坐标系下的曲线方程，从而研究该 曲线的性质。
极坐标系下求解物理问题
在一些物理问题中，如带电粒子在磁场中的运动，三角恒等变换可 以帮助我们更好地理解和求解问题。
三十度
sin(30°) = 1/2，cos(30°) = √3/2， tan(30°) = 1/√3
四十度
sin(40°) = 2/5，cos(40°) = √5/5， tan(40°) = 2/√5
六十度
sin(60°) = √3/2，cos(60°) = 1/2， tan(60°) = √3
其他特殊角的三角函数值计算方法
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简单的三角恒等变换
2023-11-10
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目 录
• 三角函数的基础知识 • 三角恒等式 • 正弦定理和余弦定理 • 三角恒等变换的应用 • 特殊角的三角函数值 • 三角恒等变换的例题解析
01
CATALOGUE
三角函数的基础知识
角的概念
周角
等于360度的角。
平角
三角恒等变换课件
解答
根据三角函数的基本关系式，我们有 $cos^2theta = 1 - sin^2theta$，代入 $sintheta = -frac{2}{3}$， 得到 $cos^2theta = 1 - left(-frac{2}{3}right)^2 = 1 - frac{4}{9} = frac{5}{9}$，所以 $costheta = sqrt{frac{5}{9}} = frac{sqrt{5}}{3}$。再根据 $tantheta = frac{sintheta}{costheta}$，得到 $tantheta = frac{-frac{2}{3}}{frac{sqrt{5}}{3}} = sqrt{frac{2}{5}} = -frac{sqrt{10}}{5}$。
举例
利用诱导公式，将cos(π/2 - x) 转换为sin(x)，通过角度的变换
简化表达式。
函数名称的变换
总结词
通过改变函数名称来简化表达式。
详细描述
在三角恒等变换中，有时可以通过改变函数名称来简化表达式。例如，将cos(x)转换为sin(-x)，或将sin(x)转换为 cos(π/2 - x)等。这种变换通常基于三角函数的性质和恒等式。
三角恒等变换课件
目录
• 三角恒等变换概述 • 三角恒等变换的基本公式 • 三角恒等变换的技巧 • 三角恒等变换的实例解析 • 三角恒等变换的习题与解答
01
三角恒等变换概述
定义与性质
定义
三角恒等变换是数学中一种重要 的变换方法，通过代数运算将一 个三角函数式转换为另一个三角 函数式。
性质
三角恒等变换具有一些重要的性 质，如线性性质、乘积性质、幂 的性质等，这些性质在变换过程 中起着重要的作用。
2015届高考数学总复习 第三章 第四节简单三角函数的恒等变换课时精练试题 文(含解析)
1. 若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1解析：∵α为第三象限角，∴sin α<0，cos α<0.∴cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝－1－2＝－3.故选B. 答案：B2．设α，β为锐角，a ＝sin(α＋β)，b ＝sin α＋cos α，则a ，b 之间关系为( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．不确定解析：∵α，β为锐角，∴0<sin β<1，0<cos β<1.又sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β<sin α＋cos α， ∴a <b .故选B. 答案：B3．(2012²肇庆一模)已知函数f (x )＝(cos 2x cos x ＋sin 2x sin x )sin x ，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：∵f (x )＝(cos 2x cos x ＋sin 2x sin x )²sin x ＝cos x sin x ＝12sin 2x ，∴函数f (x )是最小正周期为π的奇函数．故选A.答案：A4．已知sin β－cos β＝2，β∈(0，π)则tan β＝( )A ．－1B ．－22 C.22D ．1解析：因为sin β－cos β＝2，β∈(0，π)，所以1－2sin βcos β＝2，即sin 2β＝－1，所以β＝3π4，得tan β＝－1.答案：A5．(2012²大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( )A ．－53B ．－59 C.59 D.53解析：因为sin β－cos β＝2，β∈(0，π)，所以1－2sin βcos β＝2，即sin 2β＝－1，所以β＝3π4，得tan β＝－1.答案：A6．(2013²大同模拟)已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.35B.45 C ．±35 D ．±45解析：∵θ为第二象限角，∴θ2为第一、三象限角．∴cos θ2的值有两个，由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425，∴cos θ＝－725，∴2cos 2θ2＝1825. ∴cos θ2＝±35.答案：C7．(2012²衡阳八中月考)1＋tan 195°1＋－＝______.解析：1＋tan 195°1＋－＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan 60°＝ 3.答案： 38．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最小值是________．解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x cos x ＝34sin 2x －1＋cos 2x 4＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14≥－12－14＝－34.答案：－349．(2013²河南省十校联考)已知函数f (x )＝1x －a ，若存在φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，使f (sinφ)＋f (cos φ)＝0，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意有1sin φ－a ＋1cos φ－a ＝0，即sin φ＋cos φ＝2a ，因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin φ＋cos φ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4∈(1，2)， 所以12＜a ＜22.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2210．(2013²东莞二模)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2的值； (3)设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋7π2＝－12，求π－α＋α－π2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解析：(1)f (x )的最小正周期为T ＝π13＝3π；(2)将x ＝3π2代入得：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π6－π6＝tan π3＝3；(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋7π2＝－12，得tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝⎛⎭⎪⎫3α＋7π2－π6＝－12，即tan(π＋α)＝－12，∴tan α＝－12，∵cos α≠0，则原式＝sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝－12－1－12＋1＝－3.11．(2013²汕尾二模)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数y ＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )的最大值及对应的x 的值．解析：(1)因为角α终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，所以sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33，所以sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36.(2)因为f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，所以y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，所以y max ＝2－1＝1，此时sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1，得2x －π6＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )．12．在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →²OQ →＝－12.(1)求cos 2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值．解析：(1)因为OP →²OQ →＝－12，所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12()1－cos 2θ－cos 2θ＝－12， 所以cos 2θ＝23，所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝13.(2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23在角α的终边上，所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010， cos β＝1010，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45³1010＋35³⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010.13．(2013²肇庆一模)已知函数f (x )＝A sin(4 x ＋φ)(A ＞0，0＜φ＜π)在x ＝π16时取得最大值2.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；(3)若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＋π16＝65，求sin2α－π4的值．解析：(1)∵函数表达式为：f (x )＝A sin(4 x ＋φ)，∴ω＝4，可得f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝π2.(2)∵f (x )在x ＝π16时取得最大值2，∴A ＝2，且x ＝π16时，即4x ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， ∵0＜φ＜π，∴取k ＝0，得φ＝π4，∴f (x )的解析式是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4. (3)由(2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＋π16＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫14α＋π16＋π4＝65，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，可得cos α＝35， ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－45³35＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4 ＝－2425³22＋725³22＝－17250.。
简单的三角恒等变换课件-2025届高三数学一轮复习
10° 10°
＝2
cos
2 2
10°+60° sin 20°
＝2
s2inco2s07° 0°＝2
2
cos 90°−20° sin 20°
＝2
s2insi2n02°0°＝2
2，故选D.
(2)计算sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝________．
答案： 1
16
解析：令m＝sin 10°sin 50°sin 70°，n＝cos 10°cos 50°·cos 70°， 则mn＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70° ＝12sin 20°·12sin 100°·12sin 140° ＝18sin 20°·sin 80°·sin 40° ＝18cos 70°·cos 10°·cos 50°＝18n， 而n≠0， ∴m＝18，从而有sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝116.
巩固训练3 已知f(x)＝4cos x·sin (x＋π6)－1. (1)求f(x)的周期； (2)若f(α)＝65，其中α∈(0，π4)，求cos 2α.
1．[2024·山西吕梁模拟]tan 67.5°－1＝( )
A． 2 C．1+2 2
B． 5
2
D．1+2 5
答案：A
解析：因为tan 135°＝－1，所以tan 135°＝tan (67.5°×2)＝12−ttaann26677.5.5° °＝－1， 整理得tan267.5°－2tan67.5°－1＝0， 解得tan 67.5°＝1＋ 2或tan 67.5°＝1－ 2(舍去)， 所以tan 67.5°－1＝ 2.故选A.
三角恒等变换的所有公式及其推导公式
三角恒等变换的所有公式及其推导公式三角恒等变换是指对于任意角度x，存在一系列等价的三角函数表达式。
这些等价的表达式可以通过一些特定的关系来推导出来。
下面将介绍一些常见的三角恒等变换公式及其推导过程。
1. 倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan^2(x))推导过程：对于sin(2x)，可以利用三角函数的加法公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，将A=B=x代入得到：sin(2x) = sin(x+x) = sin(x)cos(x) + cos(x)sin(x) = 2sin(x)cos(x)对于cos(2x)，可以利用cos(2x)=cos^2(x) - sin^2(x)得到：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)对于tan(2x)，可以利用tan(2x) = sin(2x) / cos(2x)得到：tan(2x) = 2sin(x)cos(x) / (1 - 2sin^2(x)) = 2tan(x) / (1 - tan^2(x))2. 和差公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：对于sin(A+B)，可以利用sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB得到：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB对于sin(A-B)，可以利用sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB得到：sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB对于cos(A+B)，可以利用cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB得到：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB对于cos(A-B)，可以利用cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB得到：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB3. 万能公式：sin^2(x) + cos^2(x) = 11 + tan^2(x) = sec^2(x)1 + cot^2(x) = csc^2(x)推导过程：对于sin^2(x) + cos^2(x)，可以利用三角函数的平方和公式sin^2(x) + cos^2(x) = 1得到：sin^2(x) + cos^2(x) = 1对于1 + tan^2(x)，可以利用tan^2(x) + 1 = sec^2(x)得到：1 + tan^2(x) = sec^2(x)对于1 + cot^2(x)，可以利用cot^2(x) + 1 = csc^2(x)得到：1 + cot^2(x) = csc^2(x)通过以上的公式及其推导过程，我们可以在三角函数的计算中灵活运用，简化计算过程，提高计算的准确性和效率。
第四节 简单的三角恒等变换 课件(共106张PPT)
2．给值求值问题的解题策略 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值． 解题关键：把“所求角”用“已知角”表示． (1)当“已知角”有两个时， “所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差 的形式或者和或差的二倍形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或 倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解．
(2)cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝________.
[解析]
解法一：cos
20°cos
40°·cos
80°＝sin
20°cos
20°cos 40°cos sin 20°
80°
1
＝2sin
40°cos 40°cos sin 20°
80°
＝14sins8in0°2c0o°s 80°
θ .
cos2
cos2
∵0<θ<π，∴0<2θ<π2，∴cos2θ>0，∴原式＝－cos θ.
2．证明：cos θ－cos φ＝－2sin
θ＋φ 2 sin
θ－φ 2.
[证明] 因为θ＝θ＋2 φ＋θ－2 φ，φ＝θ＋2 φ－θ－2 φ，
所以cos θ－cos φ
＝cosθ＋2 φ＋θ－2 φ－cosθ＋2 φ－θ－2 φ
第四章 三角函数 解三角形
第四节 简单的三角恒等变换
[复习要点] 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、 余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但 对这三组公式不要求记忆)．
理清教材•巩固基础
知识点 半角公式(不要求记忆)
1－cos α 1．sin α2＝_±_______2____；
高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数 第四节 三角恒等变换
10
β= 10 ,∴sin
,sin α<sin
2 5
α= 5 .
3 10
β= 10 .
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin
π
0,
2
.
2 5
10
5 3 10
β= 5 × 10 + 5 × 10
π
π
β,∴0<α<β< ,∴- <α-β<0.故
2
2
π
α-β=- .
4
=
2
.又
2
α,β∈
6
6
π
π
1+tan (+ )tan ( -2)
6
6
π
π
解析(1)∵tan( -2β)=tan[2( -β)]=
6
12
2tan ( - )
=
π π
∴tan(α+2β)=tan[(α+ )-( -2β)]=
6 6
(2)∵ 3sin
则
π
α-sin(α+ )=
3π)cos(+π)-1
2sin(sin+cos
2
2 .
对点训练 2 求证:
=
sin-cos
1-2sin2
-2cos sin -1 (sin +cos )2 sin +cos
证明右边=
=- 2
=1-2si n 2
co s -si n 2
cos -sin
π π
例如:α=(α+6)-6=(α-3)+3,α=(α+β)-β=β-(β-α),
新高考数学(理)之三角函数与解三角形 专题04 三角恒等变换(解析版)
新高考数学（理）三角函数与平面向量04 三角恒等变换一、具本目标：1.两角和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；2.简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）3.（1） 已知两角的正余弦，会求和差角的正弦、余弦、正切值. （2） 会求类似于15°，75°，105°等特殊角的正、余弦、正切值. （3） 用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. （4）逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. (5) 会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值. 二、知识概述：知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦公式： ()sin sin cos cos sin α+β=αβ+αβ，()sin sin cos cos sin α-β=αβ-αβ.两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin α+β=αβ-αβ， ()cos cos cos sin sin α-β=αβ+αβ. 两角和与差的正切公式：()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ，【考点讲解】()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ.【特别提醒】公式的条件：1. 两角和与差的正弦、余弦公式中的两个角α、β为任意角.2.两角和与差的正切公式中两个角有如下的条件：(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈知识点二 公式的变用1. 两角和与差的正弦公式的逆用与辅助角公式：()22sin cos sin a x b x a b x +=++ϕ（其中φ角所在的象限由a,b 的符号确定，φ的值由tan baϕ=确定），在求最值、化简时起着重要的作用. 2. ()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α+β=α+β-αβ，()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α+βαβ=-α+β.()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α-β=α-β+αβ，()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α-βαβ=-α-β来使用. 条件为：(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈ 知识点三 二倍角公式： 1.22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+ 2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+ 22tan tan 21tan ααα=-2. 常见变形：（1）22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=（2）()2cos sin 2sin 1ααα+=+，()2cos sin 2sin 1ααα-=-；（3）αα2cos 22cos 1=+，αα2sin 22cos 1=-.3.半角公式：2cos 12sin αα-±=，2cos 12cos αα+±=，αααcos 1cos 12tan+-±=，αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=.1.【2019年高考全国Ⅱ卷文理】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=（ ） A ．15B ．55 C ．33D ．255【解析】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查.2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ． 【答案】B2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈Q ，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【答案】B3.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为 4【真题分析】【解析】本题考查的是二倍角公式及余弦型函数的周期及最值问题.根据题意有()135cos 21(1cos 2)2cos 2222f x x x x =+--+=+，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【答案】B4.【2018年高考全国Ⅰ卷】若1sin 3α=，则cos2α=（ ） A ．89 B ．79 C ．79- D ．89-【解析】本题主要考查二倍角公式及求三角函数的值.2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=.故选B. 【答案】B5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15 B ．55 C ．255D ．1 【解析】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換根据条件，可知,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为22212cos22cos 12131a ⎛⎫=-=⋅-= ⎪+⎝⎭αα，解得215a =，即55a =，所以525a b a a -=-=. 【答案】B6.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A. 【答案】A7.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+23172(cos )48x =-++， 1cos 1x -≤≤Q ，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【答案】4-8.【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．【解析】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，函数()2sin 2f x x ==1cos 42x -，周期为π2. 【答案】π29.【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . 【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-.πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭； 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()2233[]=1210()13⨯-+--⨯-+. 综上，π2sin 2.410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【答案】21010.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知5π1tan()45-=α，则tan =α__________． 【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 【答案】3211.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 【解析】本题主要考查三角恒等变换.因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα所以11sin ,cos 22==αβ， 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【答案】12-12.【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46-=α则tan =α ．【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75． 【答案】7513.【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+-⎪⎝⎭， 所以当1cos 2x <时函数单调递减，当1cos 2x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数()f x 取得最小值，此时33sin ,sin222x x =-=-， 所以()min 33332222f x ⎛⎫=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭，故答案是332-.【答案】332-14.【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()23sin 3cos 4f x x x =+-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 【解析】本题主要考查的是三角函数式的化简及三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”化简三角函数的解析式的综合考查.()2223131cos 3cos cos 3cos cos 1442f x x x x x x ⎛⎫=-+-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，由自变量的范围：π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，函数()f x 取得最大值1.【答案】115.【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【解析】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识.（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2133621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭3π1cos 223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因此，函数的值域是33[1,1]22-+． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）33[1,1]22-+． 16．【2018年高考北京卷文数】已知函数2()sin 3sin cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期； （2）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值. 【解析】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质. （1）1cos 23311π1()sin 2sin 2cos 2sin(2)2222262x f x x x x x -=+=-+=-+， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （2）由（1）知π1()sin(2)62f x x =-+.因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ2[,2]666x m -∈--.要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.【答案】（1）π；（2）π3.1. sin15°sin105°的值是（ ） A ．14 B ．14-C ．34D ．34-【解析】本题的考点二倍角的正弦和诱导公式：sin15°sin105°=sin15°cos15°=12sin30°=14，故选A ． 【答案】A2.已知sin2α=13，则cos 2（π4α-）=（ ） A ．34 B ．23 C ．45 D ．56【解析】本题考点二倍角的余弦，三角函数的化简求值.∵sin2α=13，∴cos 2（π4α-）=π11cos 211sin 22232223αα⎛⎫+-+⎪+⎝⎭===．故选B ． 【答案】B3.已知sin α=45-，α∈（π，3π2），则tan 2α等于（ ） A ．－2 B ．12 C ．12-或2 D ．－2或12【解析】∵sin α=45-，α∈（π，3π2），∴cos α=35-，∴tan α=43.∵α∈（π，3π2），∴2α∈（π2，3π4），∴tan 2α＜0. tan α=22tan21tan 2αα- =43，即2tan 22α+ 3tan2α－2=0，解得tan2α=－2，或tan2α=12（舍去），故选A ．【答案】A【模拟考场】4.设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan α=1sin 2cos 2ββ+，则下列结论中正确的是（ ） A ．2π4αβ-=B ．π24αβ+=C ．π4αβ-=D ．π4αβ+= 【解析】本题的考点二倍角的余弦，二倍角的正弦..tan α=()222sin cos 1sin 2sin cos 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ββββββββββββ++++===---πtan 4β⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,442β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π4αβ-=．故选C ． 【答案】C5．已知角αβ，均为锐角，且cos α=35，tan （α−β）=−13，tan β=（ ） A ．13 B ．913 C ．139D ．3【解析】∵角α，β均为锐角，且cos α=35，∴sin α=21cos α- =45，tan α=43，又tan （α−β）=tan tan 1+tan tan αβαβ-=4tan 341+tan 3ββ-=−13， ∴tan β=3，故选D ．【答案】D6.设α为锐角，若π3cos()65α+=，则πsin()12α-=（ ） A ．210 B ．210- C ．45 D ．45- 【解析】因为α为锐角，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为π3cos()65α+=，所以π4sin()65α+=，故πππππsin()sin sin cos 126464ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ2432cos sin 6425510α⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.【答案】A7.设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【解析】本题考查的是二倍角的降幂公式与三角函数的最小正周期，先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期．21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ． 【答案】B8．已知34cos sin =-αα，则=α2sin （ ） A ．97- B ．92- C ．92 D ．97【解析】本题的考点是二倍角的正弦正逆用，将34cos sin =-αα两边平方()2234cos sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-αα， 化简后可得916cos sin 2cos sin 22=-+αααα即=α2sin 97-.【答案】A 9．函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 的最大值为（ ） A ．56B ．1C ．53D ．51【解析】将()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 化简，利用两角和、差的正余弦公式及辅助角公式，三角函数 最值的性质可以求得函数最大值.由()6sin sin 6cos cos 3sin cos 3cos sin 51ππππx x x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+= x x x x sin 21cos 23cos 103sin 101+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x x x cos 23sin 2156cos 533sin 53⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 56πx ， 因为13sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ，所以函数的最大值为56.【答案】A10.若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【解析】本题考点是两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换. 三角恒等变换的主要是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化简所求式子，利用同角关系式求出使已知条件可代入的值，然后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝333cos cos sin sin sin sin 510510510sin cos 55ππππππππ++ =333cos cos sin 5101010sin cos 55ππππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=13cos sin 1025sin cos 55ππππ+1cos cos 10210sin cos 55ππππ+=1cos cos 1021014sin 210πππ+= 3cos103cos 10ππ==.【答案】C11．已知向量a r =（sin θ，2-），b r =（1，cos θ），且a r ⊥b r ，则sin 2θ+cos 2θ的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．3 【解析】本题考点是三角函数的恒等变换及化简求值，数量积判断两个平面向量的垂直关系.由题意可得a r ·b r =sin θ－2cos θ=0，即tan θ=2．∴sin 2θ+cos 2θ=2222sin cos +cos cos +sin θθθθθ=22tan +11+tan θθ=1，故选A ． 【答案】A12.已知cos θ=－725，θ∈（－π，0），则sin 2θ+cos 2θ=（ ）A ．125B ．15±C ．15D ．15- 【解析】∵cos θ=－725，θ∈（－π，0）， ∴cos 22θ－sin 22θ=（cos 2θ+sin 2θ）（cos 2θ－sin 2θ）＜0，2θ∈（π2-，0）， ∴sin 2θ+cos 2θ＜0，cos 2θ－sin 2θ＞0，∵（sin 2θ+cos 2θ）2=1+sin θ=1－491625-=125，∴sin 2θ+cos 2θ=15-．故选D ．【答案】D13. =+οο75sin 15sin .【解析】本题考查的是三角恒等变换及特殊角的三角函数值的求解. 法一、6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)2+=+=+=o o o o o o . 法二、6sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos302+=-++==o o o o o o o o . 法三、62626sin15sin 75442-++=+=o o . 【答案】62. 14.在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 .【解析】本题考查的是三角恒等变换及正切的性质，本题要求会利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据，同时要记住斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，sin sin(B C)2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C =+=⇒+=，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan 22tan tan tan tan tan tan 8A B C A B C A B C A B C A B C =++=+≥⇒≥，即最小值为8.【答案】8.15.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-． （1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【解析】（1）因为，，所以． 4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以．又因为，所以， 因此．因为，所以， 因此，． 16.【2016高考山东理数】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A +=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC ，由基本不等式求cos C 的最小值.试题解析：()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.从而sin sin =2sin A B C +.由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a b c +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立.故 cos C 的最小值为12. 17.已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ 22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈5cos()5αβ+=-225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+(I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 【解析】本题考点两角和与差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质.综合运用三角 知识，从正确求函数解析式出发，考查最小正周期的求法与函数单调性的应用，从而求出函数的最大值与最小值，体现数学思想与方法的应用.(I) 由已知，有1cos 21cos211313()cos2sin 2cos2222222x x f x x x x π⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭ 311sin 2cos2sin 24426x x x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p -上是增函数， 113(),(),()346244f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34p p -上的最大值为34，最小值为12-. 【答案】(I)π; (II) max 3()4f x =,min 1()2f x =-.。
三角恒等变换简单的三角恒等变换ppt
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
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总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用， 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点，为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题，如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
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总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出 三角形中的角度和边的长度，以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直，从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证 明恒等式等。
第四节 三角恒等变换
第四节 三角恒等变换高考概览：能运用两角和的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．[知识梳理]1．公式的常用变式(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；(3)cos2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.2．降幂公式 (1)sin 2α＝1－cos2α2； (2)cos 2α＝1＋cos2α2； (3)sin αcos α＝12sin2α. 3．升幂公式 (1)1＋cos α＝2cos 2α2； (2)1－cos α＝2sin 2α2；(3)1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22. 4．半角公式 (1)sin α2＝±1－cos α2；(2)cos α2＝± 1＋cos α2；(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.以上称之为半角公式，符号由α2所在象限决定．[辨识巧记]常用拆角、拼角技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)； α－β＝(α－γ)＋(γ－β)； 15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等． [双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意角α都有1＋sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22.( )(2)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( ) (3)sin 4x ＋cos 4x ＝1－sin 22x .( ) (4)tan α2＝1＋cos αsin α.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2018·河北保定一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3，则tan α的值为( )A ．－1B ．1 C. 3 D ．－ 3[解析] 由已知得12cos α－32sin α＝12sin α－32cos α，整理得，⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32cos α，即sin α＝cos α，故tan α＝1.故选B.[答案] B3．(2019·浙江苍南县三校联考)若sin α＋sin β＝75，cos α＋cos β＝－75，则cos(α－β)＝( )A ．－2425 B.2425 C ．－150 D.150[解析] sin α＋sin β＝75，① cos α＋cos β＝－75，② ①2＋②2，得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝49×225，∴cos(α－β)＝2425.故选B. [答案] B4．(2019·安徽十校联考)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 [解析] sin47°－sin17°cos30°cos17° ＝sin (30°＋17°)－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋sin17°cos30°－sin17°cos30°cos17° ＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.故选C. [答案] C5．(必修4P 46A 组T 4(2)改编)tan20°＋tan40°＋3tan20°·tan40°＝________.[解析] ∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝3， ∴tan20°＋tan40°1－tan20°·tan40°＝ 3∴tan20°＋tan40°＝3－3tan20°·tan40°， ∴tan20°＋tan40°＋3tan20°·tan40°＝ 3. [答案]3考点一 三角函数式的化简【例1】 化简下列各式：(1)sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos2α·cos2β； (2)2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.[思路引导] (1)用二倍角公式向α、β转化→进行式的变换、化简(2)利用二倍角公式进行降次→合理拆角→变换化简 [解] (1)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12(cos 2α－sin 2α)·(cos 2β－sin 2β)＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β－ 12sin 2α·sin 2β＋12cos 2α·sin 2β＋12sin 2α·cos 2β ＝12sin 2α·sin 2β＋12cos 2α·cos 2β＋12cos 2α·sin 2β＋12sin 2α·cos 2β ＝12sin 2α·(sin 2β＋cos 2β)＋12cos 2α·(sin 2β＋cos 2β) ＝12sin 2α＋12cos 2α＝12. (2)解法一：原式＝cos 2α－sin 2α2×1－tan α1＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2＝(cos 2α－sin 2α)(1＋tan α)(1－tan α)(cos α＋sin α)2 ＝(cos 2α－sin 2α)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α⎝⎛⎭⎪⎫1－sin αcos α(cos α＋sin α)2＝1. 解法二：原式＝cos2α2tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos2αcos2α＝1.化简三角函数式的策略[对点训练]1．化简：sin2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4. [解] 原式＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α(sin α－cos α)sin α－cos α＝22cos α.2．已知α∈(0，π)，化简： (1＋sin α＋cos α)·⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α.[解] 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α24cos 2α2＝cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2 α2－sin 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2. 因为0<α<π，所以0<α2<π2，所以cos α2>0，所以原式＝cos α.考点二 三角函数式的求值三角函数求值问题主要考查角的变换和公式的灵活运用，是高考命题的热点，难度适中．常见的命题的角度有： (1)给角求值； (2)变角求值； (3)给值求角． 角度1：给角求值【例2－1】 求值：(1)sin110°sin20°cos 2155°－sin 2155°；(2)3tan12°－3sin12°(4cos 212°－2). [思路引导] 角的变换→式的变换→约分求值 [解] (1)原式＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12. (2)原式＝3×sin12°cos12°－3sin12°(4cos 212°－2)＝3sin12°－3cos12°2sin12°cos12°(2cos 212°－1)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin12°－32cos12°sin24°cos24°＝23sin (12°－60°)12sin48°＝－4 3. 角度2：变角求值【例2－2】 (1)(2018·贵阳监测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13 D ．－79(2)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为________． [思路引导]观察所求角与已知角的联系→用已知角表示未知角的三角函数→结合已知值求值[解析] (1)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79.故选D. (2)∵0<β<π2<α<π，∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝53， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729. [答案] (1)D (2)－239729 角度3：给值求角【例2－3】 (2019·成都诊断考试)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值为________．[思路引导]所求角用已知角表示→表示出所求角的范围→求出α＋β的一个三角函数值→求角[解析] 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，故2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，又sin2α＝55，故2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴cos2α＝－255，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，故β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，于是cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22，且α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4.[答案] 7π4三角函数求值的方法策略类型 要点给角求值 关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数变角求值 给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系 给值求角 实质是转化为给值求值，关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围[对点训练]1．(2019·开封模拟)设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2tan13°1－tan 213°，c ＝1－cos50°2，则( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a[解析] ∵a ＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin24°，b ＝tan26°，c ＝sin25°，∴a <c <b ，故选C.[答案] C2．已知2tan αsin α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( )A ．0 B.22 C ．1 D.12[解析] 由2tan αsin α＝3，得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，∴cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．∵－π2<α<0，∴sin α＝－32，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝0.故选A.[答案] A3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．[解析] tan α＝tan(α－β＋β)＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)·tan β＝12－171＋12×17＝13，所以tan(2α－β)＝tan(α＋α－β)＝tan α＋tan (α－β)1－tan α·tan (α－β)＝13＋121－13×12＝1.由tan α＝13，得tan α<1, 则0<α<π4，得0<2α<π2.由tan β＝－17，知β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，得－π <2α－β <0，所以2α－β＝－34π. [答案] －34π考点三 三角恒等变换【例3】 (2019·河北唐山二模)已知α，β均为锐角，且sin2α＝2sin2β，则( )A ．tan(α＋β)＝3tan(α－β)B ．tan(α＋β)＝2tan(α－β)C ．3tan(α＋β)＝tan(α－β)D ．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)[解析]解法一：因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，已知sin2α＝2sin2β，所以sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，利用和角、差角公式展开，可得sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2[sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)·sin(α－β)]，整理得sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，两边同时除以cos(α＋β)cos(α－β)，得tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A.解法二：因为sin2α＝2sin2β，所以tan(α＋β)tan(α－β)＝sin(α＋β)cos(α－β)cos(α＋β)sin(α－β)＝12(sin2α＋sin2β)12(sin2α－sin2β)＝3sin2βsin2β＝3，即tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A.[答案] A三角恒等式变换的关注点(1)看角：分析角的差异，消除差异，向结果中的角转化．(2)看函数：统一函数，向结果中的函数转化．[对点训练]已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin2θ＝2sin 2β，则( ) A ．cos β＝2cos α B ．cos 2β＝2cos 2α C ．cos2β＝2cos2αD ．cos2β＝－2cos2α[解析] 由同角三角函数的基本关系可得sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1＋sin2θ.由已知可得(2sin α)2＝1＋2sin 2β，即4sin 2α＝1＋2sin 2β.由二倍角公式可得4×1－cos2α2＝1＋2×1－cos2β2，整理得cos2β＝2cos2α.故选C. [答案] C审题系列④——角的范围对三角函数求值的影响素养解读：在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．绝大部分题目都会设置一定的障碍，特别是角的范围，往往所给的范围较大，需要根据条件缩小范围．缩小角的范围，经常采用以下策略：①由三角函数值的符号缩小角的范围；②借助缩小三角函数值的范围缩小角的范围；③由特殊角或特殊值缩小角的范围．【典例1】 已知α、β∈(0，π)，tan α＝2，cos β＝－7210，求2α－β的值．[切入点] 利用α，β的三角函数值求2α－β的三角函数值． [关键点] 缩小角的范围，保证各角三角函数值的唯一性． [规范答题] 解法一：因为tan α＝2>0，α∈(0，π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.因为cos β＝－7210，β∈(0，π)，所以β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且tan β＝－17.所以α－β∈(－π，0)，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3>0，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，所以2α－β∈(－π，0)．因为tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－1，所以2α－β＝－π4.解法二：因为tan α＝2>1，α∈(0，π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.因为cos β＝－7210，β∈(0，π)，所以β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 因为tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－1， 所以2α－β＝－π4.三角函数值的符号与角的范围有直接关系，借助三角函数值的符号可有效缩小角的范围．本题缩小角的范围分为两层：先由条件中tan α、cos β的符号缩小α、β的范围，得到α－β的范围，再由α－β的范围，结合tan(α－β)的符号进而缩小α－β的范围，得到2α－β的范围．难点是想到缩小α－β的范围．另外，本题还可以采用缩小三角函数值的范围来缩小角的范围． 解法二较解法一在求角的范围上运算量小了许多，这也显示出运用三角函数值的范围缩小角的范围的优势．【典例2】 设α、β∈(0，π)，sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β＝________.[切入点] 求出α和α＋β的三角函数值．[关键点] 保证cos β＝cos[(α＋β)－α]的唯一性． [规范答题]因为tan α2＝12，所以sin α＝2tan α21＋tan 2α2＝45，cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22.又α∈(0，π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3，又β∈(0，π)，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，4π3.又sin(α＋β)＝513∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π，所以cos(α＋β)＝－1213，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1665.[答案] －1665本题缩小角的范围分为两层：(1)由cos α＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，结合α∈(0，π)，缩小角α的范围，得到α＋β的范围；(2)由sin(α＋β)＝513∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，结合α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，4π3，缩小α＋β的范围．其中难点是后者，这是因为y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，4π3上不单调，解决办法是画图．[感悟体验]1．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( )A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π4[解析] 由sin α＝55，cos β＝－31010，且α，β为钝角，可知cos α＝－255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝⎛⎭⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22，又π<α＋β<2π，故α＋β＝7π4.故选C.[答案] C2．已知α，β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β的值为________．[解析] 因为0<α<π，cos α＝17， 所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2，又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32， 所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π， 由π3<α<π2知2π3<α＋β<π，所以cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. [答案] 12课后跟踪训练(二十三)基础巩固练一、选择题1．已知sin2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A.13 B.12 C.23 D.16 [解析] cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin2α2＝1＋132＝23.故选C. [答案] C2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( ) A.2941 B.129 C.141 D ．1[解析] tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β ＝37＋251－37×25＝1，故选D. [答案] D3．(2019·广东七校联考)锐角α，β满足cos α＝1213， cos(2α＋β)＝35，那么sin(α＋β)＝( ) A.6365 B.5365 C.4365 D.3365[解析] 由于α，β均为锐角，cos(2α＋β)＝35，cos α＝1213，所以sin α＝513，sin(2α＋β)＝45，所以sin(α＋β)＝sin[(2α＋β)－α]＝sin(2α＋β)cos α－cos(2α＋β)sin α＝45×1213－35×513＝3365，故选D.[答案] D4．(2019·湖南邵阳二模)若tan π12cos 5π12＝sin 5π12－m sin π12，则实数m 的值为( )A ．2 3 B. 3 C ．2 D ．3[解析] 由tan π12cos 5π12＝sin 5π12－m sin π12， 可得sin π12cos 5π12＝cos π12sin 5π12－m sin π12cos π12，即sin π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π12＝cos π12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π12－m sin π12cos π12， 即sin 2π12＝cos 2π12－m 2sin π6， 亦即m 2sin π6＝cos π6，∴m 2·12＝32， ∴m ＝23，故选A. [答案] A5．(2019·河北名师俱乐部3月模拟)已知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝( )A.23B.43C.34D.32[解析] 解法一：由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴0<π4－θ<π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34.故2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.故选D.解法二：由sin θ－cos θ＝－144，sin 2θ＋cos 2θ＝1，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，解得sin θ＝32－148，cos θ＝14＋328， ∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝2(sin θ＋cos θ)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－148＋14＋328＝32.故选D. [答案] D 二、填空题6．(2019·湖南长沙一模)化简：2sin (π－α)＋sin2αcos 2α2＝________. [解析] 2sin (π－α)＋sin2αcos 2α2＝2sin α＋2sin α·cos α12(1＋cos α)＝2sin α(1＋cos α)12(1＋cos α)＝4sin α. [答案] 4sin α7．(2018·河南统考)已知tan α，tan β是lg(6x 2－5x ＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.[解析] 由lg(6x 2－5x ＋2)＝0，得6x 2－5x ＋1＝0，由题意知tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.[答案] 18．对于锐角α，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________. [解析] 由α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12sin π4＝45×22－35×22＝210，于是cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2102－1＝－2425.[答案] －2425 三、解答题9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．[解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32.所以sin2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)由(1)知tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×⎝⎛⎭⎪⎫－3212＝2 3.10．(2018·江苏如东高中上学期期中)已知α，β都是锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．[解] (1)因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π2<α－β<π2.又因为tan(α－β)＝－13，所以－π2<α－β<0. 由sin 2(α－β)＋cos 2(α－β)＝1和sin (α－β)cos (α－β)＝－13，解得sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1－110＝31010.因为α为锐角，sin α＝35， 所以cos α＝1－sin 2α＝1－925＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. 能力提升练11．(2019·湖北八校第一次联考)已知3π<θ<4π，且1＋cos θ2＋1－cos θ2＝62，则θ＝( ) A.10π3或11π3B.37π12或47π12C.13π4或15π4D.19π6或23π6[解析] ∵3π<θ<4π，∴3π2<θ2<2π， ∴cos θ2>0，sin θ2<0， ∴ 1＋cos θ2＋1－cos θ2＝cos 2θ2＋sin 2θ2＝cos θ2－sin θ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4＝62，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4＝32， ∴θ2＋π4＝π6＋2k π，k ∈Z 或θ2＋π4＝－π6＋2k π，k ∈Z ， 即θ＝－π6＋4k π，k ∈Z 或θ＝－5π6＋4k π，k ∈Z ， 又∵3π<θ<4π， ∴θ＝19π6或23π6.故选D. [答案] D12．(2019·安徽二模)sin40°(tan10°－3)＝( ) A ．－12 B ．－1 C.32 D ．－33[解析] sin40°(tan10°－3)＝sin40°(sin10°－3cos10°)cos10°＝sin40°·2sin (10°－60°)cos10°＝－2sin40°cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－cos10°cos10°＝－1.故选B.[答案] B13．cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝________.[解析] cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－239π＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°cos20°cos40°cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20° ＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18. [答案] －1814．(2019·北京西城区模拟)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f (β)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，求β的值． [解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，得x ≠k π＋π4，k ∈Z . 所以函数f (x )的定义域是{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }． (2)依题意，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，整理得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4－1＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0，或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12. 因为β∈(0，π)，所以β＋π4∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0，得β＋π4＝π，即β＝3π4；由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12，得β＋π4＝π3，即β＝π12. 所以β＝π12，或β＝3π4.拓展延伸练15．(2018·安徽淮南一模)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且tan α＝1＋sin2βcos2β，则下列结论中正确的是( )A ．α－β＝π4 B ．α＋β＝π4 C ．2α－β＝π4D ．2α＋β＝π4[解析] tan α＝1＋sin2βcos2β＝(sin β＋cos β)2cos 2β－sin 2β＝sin β＋cos βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以α＝β＋π4，即α－β＝π4.故选A.[答案] A16．(2019·河南百校联盟4月联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6等于( ) A ．－1010 B.1010 C ．－31010 D.31010 [解析] tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2⇒tan α＋tan π121－tan αtan π12＝－2⇒tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2<0， ∵α为第二象限角，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝255，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－55，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π4－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π4＝－31010.故选C.[答案] C。
三角函数式的恒等变换
三角函数式的恒等变换三角函数式在数学中是一个非常重要的概念，它们用来描述几何形状，求解非线性方程组和测量角度等。
它们与微积分有着密不可分的关系，要求我们熟悉其基本形式以及各种变换规律。
在这些规律中，恒等变换是最基本也是最常用的。
本文将介绍三角函数式的恒等变换，包括有关变量以及一些具体变换实例，以便读者能够更好地理解相关内容。
首先，让我们来看看三角函数式的定义。
它是一种微积分方法，它可以将某个角度度量的函数变换为求解特定几何形状或成果的过程。
在这种过程中，主要用到的有以下三个变量：角α，正弦值s，以及余弦值c。
角α是这种变换中最常用的变量，它是面对的角度，又称度量角。
正弦值s表示该角的线段与x轴的夹角，而余弦值c表示该角的圆形弧与x轴的夹角。
此外，在三角函数的恒等变换中，还有一些具体的变换定义：1、正弦定理：对任意角α，sinx=c/a，其中s是正弦值，a是角α的度量值，c是余弦值。
2、余弦定理：对任意角α，cosx=a/b，其中c是余弦值，a是角α的度量值，b是正弦值。
3、正切定理：对任意角α，tanx=s/c，其中s是角的正弦值，c 是角的余弦值。
以上三个变换定义就是三角函数的恒等变换。
它们是对横纵坐标系统中的角度度量精确反映的结果，可以更有效地计算出角度变换后的正弦值、余弦值以及正切值等。
此外，恒等变换还涉及到三角函数式的反函数变换。
反函数变换是指从三角函数式定义的变换公式得出反函数变换公式，反函数变换公式中包括反正弦函数asin、反余弦函数acos以及反正切函数atan。
在使用反函数变换时，由于三角函数的恒等变换也是逆变换的一种，因此需要注意反函数变换的细节，以便能够推出正确的结果。
最后，尽管三角函数的恒等变换乍看之下似乎比较复杂，但只要掌握了其中的基本概念及相应的变换规律，就能更容易地推出正确的结论。
借助这些规律，我们可以更准确地测量角度及求解非线性方程组，从而更加有效地进行几何形状及成果的推算。
三角函数的应用之三角恒等变换
三角函数的应用之三角恒等变换在数学中，三角函数是一类与角度有关的函数，它们在各个领域中都有着广泛的应用。
其中，三角恒等变换是三角函数的重要应用之一。
三角恒等变换是指一系列的等式和关系，通过这些变换，可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角方程，以及证明一些数学定理和性质。
本文将介绍三角恒等变换的概念、常见的恒等变换公式，以及应用实例。
1. 三角恒等变换的概念三角恒等变换是指将一个三角函数的表达式通过等式和关系转化为另一个等价的三角函数表达式的过程。
这些等式和关系基于三角函数的周期性、对称性以及特殊角值的性质。
三角恒等变换的目的是简化三角函数的计算和求解过程，使得问题的处理更为便捷。
2. 常见的三角恒等变换公式2.1. 余弦函数和正弦函数的关系根据三角函数的定义，余弦函数和正弦函数存在以下关系：cos^2θ + sin^2θ = 1这个等式被称为单位圆上的三角恒等关系，它表明在单位圆上，任意一点的横坐标的平方加上纵坐标的平方等于1。
2.2. 余弦函数和正切函数的关系通过余弦函数和正弦函数的关系，可以得到余弦函数和正切函数之间的关系：cosθ = sinθ / tanθ这个等式表示余弦函数可以通过正弦函数和正切函数的比值来表示。
2.3. 二倍角公式二倍角公式是三角恒等变换中的重要公式之一，它表示某个角的两倍角的三角函数值与原角的三角函数值之间的关系。
以下是常见的二倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθcos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ = 2cos^2θ - 1 = 1 - 2sin^2θtan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)这些公式在简化三角函数表达式和求解三角方程时非常有用。
3. 三角恒等变换的应用实例3.1. 证明恒等式三角恒等变换可以用来证明一些重要的三角函数恒等式。
例如，我们可以利用二倍角公式来证明正弦函数的和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ根据二倍角公式，我们有：sin(α ± β) = 2sin((α ± β)/2)cos((α ± β)/2)然后，通过恒等式sinθ = cos(π/2 - θ)，我们可以进一步将公式化简为：sin(α ± β) = 2sin(α/2)cos(β/2) ± 2cos(α/2)sin(β/2)最后，将其展开即可得到和差公式。
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第三章
第四节 简单三角函数的恒等变换
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利用辅助角公式将三角式化简 【例1】 (1)f(α)＝2cos2 期为 ＋ sin α的最大值是______．
(2)设函数f(x)＝(sin ωx＋cos ωx)2＋2cos2ωx(ω＞0)的最小正周
，则ω的值是________． 思路点拨：先降幂，再引入辅助角(通常是特殊角)将表 达式化为两角和与差的三角函数．
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高考总复习•数学（理科） 点评： (1) 化简时要有整体意识，合理变形，为公式的应
用创造条件，使结果的三角函数名称、角的个数尽可能的少．
(2)对于形如asin x＋bcos x＋c或asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x ＋d的三角函数式的化简通常都可通过引入辅助角配凑成两角 和(差)的三角函数，达到化简的目的．
高考总复习•数学（理科） 解析：(法一)由韦达定理得
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高考总复习•数学（理科） 点评：(1)本例法二比法一要简捷，好的解法来源于熟练 地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发 展区”． (2)运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，
我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的
高考总复习•数学（理科） 变式探究
3．(1)已知0<x<
lg
，化简lgcos x· tan x＋1－2sin2
＋
－lg(1＋sin 2x)．
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高考总复习•数学（理科） 有关sin x，cos x的齐次式问题
思路点拨：正余弦三兄妹“sin x±cos x，sin xcos x”的内 在联系——“知一可求二”．
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点评：有关sin x，cos x的齐次式的问题，一般是先用两角
和与差的三角公式及二倍角公式将表达式化简，再利用同角三
角函数关系式，把表达式化为只含有tan x的式子，将已知tan x 的值代入求值．
高考总复习•数学（理科） 变式探究
高考总复习•数学（理科） 三角函数的给值求角
思路点拨：(1)若注意到化简式是开平方和2α是α的二倍， α是 的二倍，以及其范围，不难找到解题的突破口；
(2) 由于分子是一个平方差，若注意到这一特征，不难
得到解题的切入点．
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高考总复习•数学（理科） 点评： (1) 在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于 2α
上有零点，则实数m的取值范围是(
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高考总复习•数学（理科） 非特殊角三角函数求值 【例2】 不用计算器求sin 50°(1＋ tan 10°)的值．
思路点拨：将切化为弦，再设法应用辅助角公式． 自主解答：
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是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要
注意2α， ＋α， －α三个角的内在联系的作用，cos 2α＝sin ＝2sin 是常用的三角变换．
(2) 化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、
消元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧． (3)注意公式的变形，如cos α＝
关系、次数关系、三角函数名等．抓住公式的结构特征对提 高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的
结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数
式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而 找到解题的切入点。
高考总复习•数学（os(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos α， tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan α＋tan β， tan(α＋β)tan αtan β＝tan(α＋β)－tan α－tan β等．
点评：非特殊角的求值，一般思路是：化为特殊
角求值；化为正、负相反的项，相消求值；化为分子、 分母可以约分求值．
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变式探究
2 ． (2013· 宁夏模拟 ) 在△ ABC 中， sin(C － A) ＝ 1 ， sin B ＝ ，则sin A的值为________．
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变式探究
1．(1)(2013· 湖南郴州)函数y＝2cos x(sin x＋cos x)的最 大值和最小正周期分别是( A．2，π C．2,2π m在 B. D. ) ＋1，π ＋1,2π )
(2)(2013· 上海模拟)函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－2 cos2x－
高考总复习•数学（理科） 三角与代数的综合 【例5】 已知tan α，tan β是方程x2－5x＋6＝0的两个实
根，求2sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)＋cos2(α＋β)的值．
思路点拨：由韦达定理可得到tan α＋tan β及tan αtan β的值，
进而可以求出 tan(α ＋ β) 的值，再将所求值的三角函数式用 tan(α＋β)表示便可知其值．
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变式探究 5．已知f(x)＝2asin2x－2 asin x＋a＋b的定义域是 ，值
域是[－5,1]，求a，b的值．
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