数学：二次函数课件(人教版九年级下)
九年级数学下册30、5二次函数与一元二次方程的关系第2课时用二次函数的图像解一元二次方程授课课件新版
知1－讲
例1 求方程x2－2x－6＝0的近似值．(结果精确到0.1)
解：如图 ，画出二次函数 y＝x2－2x－6的图像. 观察画出的抛物线，设它与 x轴的交点的横坐标为x1和x2， 不妨设 x1＜x2. 现在来求x1的近似值.
知1－讲
(1) 容易看出：当 x＝－2 时，y＞0； 当x＝－1时，y＜0，且在－2＜x＜－1范围内， y随x的增大二减小，所以－2＜x1＜－1
知1－练
4 【中考·兰州】下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的 自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( C )
A．1
B．1.1
C．1.2
D．1.3
知1－练
5 【中考·包头】已知一次函数y1＝4x，二次函数y2＝ 2x2＋2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个
况，如有公共点，则公共点的横坐标即为ax2＋bx＋ c＝0的根．
知1－练
1 求例题中x2精确到0.1的近似值.
解：如图 ，画出二次函数 y＝x2－2x－6的图像. 观察画出的抛物线，现在求x2 的近似值． (1)容易看出：当x＝3时，y＜0，当x＝4时，y＞0，且 在3＜x＜4范围内，y随x的增大而增大，∴3＜x2＜4.
知1－讲
例2 利用函数的图像，求方程x2＋2x－3＝0的根．
解：先把方程化成x2＝－2x＋3. 如图，在同一直角坐标系中 分别画出函数y＝x2和 y＝－2x＋3的图像，得到它 们的交点为(－3，9)和(1，1)， 则方程x2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1.
总结
知1－讲
利用图像交点法求一元二次方程的根的步骤： (1)将ax2＋bx＋c＝0化为ax2＝－bx－c的形式； (2)在同一坐标系中画出y＝ax2与y＝－bx－c的图像； (3)观察图像：两图像的公共点情况即为方程的根的情
二次函数课件 二次函数PPT
y 2(x 2)2 3
向右平移
向下平移3
2个单位
个单位
y 2x2 向左平移 y 2(x 2)2 向上平移3 y 2(x 2)2 3
2个单位
个单位
（检测学生对该节课的掌握程度，并对该节课的内 容进行巩固。）
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我 们可以利用配方法推导出它的对称轴和 顶点坐标.
画图： 步骤：列表，描点，连线（光滑曲线）
y 3x2 y 3(x 1)2
老师指导学生按照步 骤画出图像，然后让 他们互相讨论，再做 总结，让学生在动手 操作中的过程中学到 知识，感受学习带来 的乐趣。
观察两个图形有什么关系？
老师给予适当的提示，引发学生思考，培养学生勤于思考的习惯。
函数 y 3x2 的图像
式是（A）
4
A、y 1 (x 2)2 2
4
B、y
1 4
(x
2)2
2
C、y 1 (x 2)2 2 4
D、y
1 4
(x
2)2
2
3、抛物线y=3x²先向上平移2个单位，后向右平移3个
单位，所得到的抛物线是（ D ）
A、y=3(x+3)²-2
B、 y=3(x+3)²+2
C、y=3(x-3)²-2
一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图 象:y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴 整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左 平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平 移;当k<0时,向下平移)得到的.
26.1 二次函数及其图像 课件4(数学人教版九年级下册)
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
h，k
直线x h
向上
当x h时, 最小值为 k
h，k
直线x h
向下
当x h时，最大值为 k
练习1
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1:
开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
(1) 抛物线 2 2 y=x +1,y=x －1 的开口方向、对 称轴、顶点各是 什么?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
三、观察三条抛物线：
2 (2)开口大小有没有 1 变化？ -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 没有变化 -3 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
y
三、观察三条抛物线：
2 (3)对称轴是什么？ 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 y 轴 x=-1 x=1 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
抛物线y a ( x h) 2 k有如下特点： （1）当a 0时，开口向上 ____；当a 0，开口向下 ___； x=h ； （2）对称轴是直线____ （3）顶点坐标是 ______ 。 （ h，k）
数学：26.1《二次函数》(第2课时)课件(人教新课标九年级下)
九年级数学人教版第二十二章二次函数22.1.1二次函数定义(同步课本知识图文结合例题详解)
九年级数学第22章二次函数
问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两
年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两
年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x
之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_2_0_(_1_+_x_)件，
再经过一年后的产量是_____2_0_(_1_+_x_)_(_1件+x，) 即两年后的
2
是二次函数关系.
九年级数学第22章二次函数
4.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长 和宽相等,高比长多0.5m. (1)长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积 S(m2)如何表示? (2)如果涂漆每平米所需要的费用是5元,涂漆每个长方体所需 要费用用y(元)表示,那么y的表达式是什么? 解析：（1）S=2x2+x(x+0.5)×4=6x2+2x （2）y=5S=5×(6x2+2x)
2.如果函数y=(k-3)xk2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值
一定是__0____.
九年级数学第22章二次函数
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩 形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一 种函数？ 解析：S=a( 60 -a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.
函 数
关系Leabharlann 一次函数y=kx+b(k≠0)
正比例函数 y=kx(k≠0)
反比例函数
y= k (k≠0)
x
二次函数
九年级数学第22章二次函数
问题1：
正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表 面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿y＿=6＿x2＿＿＿＿.
人教版九年级下册数学第二单元2二次函数图像及性质
XX教育学科教师辅导讲义组长签字：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~二、课前自主学习回顾复习二次函数概念、图像和性质~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~三、知识梳理+经典例题一．知识点回顾（20min.） 考点一：二次函数的概念（1）一般的，形式如2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数，叫做二次函数。
例如：,等都是x 的二次函数（2）等号左边是y ，右边是x 的二次多项式，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项。
（3）任何一个二次函数的解析式都可以化成2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的形式，因此我们也把这个2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)叫做二次函数的一般式 考点二：二次函数的图像及性质（1） 图像：二次函数的图像是一条抛物线，其对称轴是y 轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点坐标是（0,0）（2） 性质：当a>0时，函数的开口方向向上，在对称轴的左边y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边y 随x 的增大而增大；当a<0时，函数的开口方向向下，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小（3） 抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄，|a|越大，抛物线的开口越大 注1：二次函数的图像及其性质是中考的重点考查内容之一，所涉及的内容包括开口，顶点，对称轴，最大（小）值，以及求二次函数的关系式，近几年的中考中常出现利用二次函数的图书图像解决实际问题的题目。
注2：利用函数的增减性进行函数值的大小比较也是重点考查内容之一，此类问题先画出二次函数的（2）在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；例4、将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标；5、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过点B （12,0）和C （0，－6），对称轴为x ＝2．（1）求该抛物线的解析式；（2）点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的结论下，直线x ＝1上是否存在点M 使，△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标，若不存在，请说明理由．x D A C D B 、、、D yxCBOA75. (2010，平谷，一模)已知：关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=（m为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线()()2121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个固定点；（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根，把抛物线()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．6、已知关于x 的二次函数y ＝x 2－（2m －1）x ＋m 2＋3m ＋4.（1）探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.（2）设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A （x 1，0），B （x 2，0），且21x ＋22x ＝5，与y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~三、随堂练(30min.)xyO QPDBCA1． 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点． （1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．2、如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点． （1）求该抛物线的解析式；（2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由．3、已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）.(第2题图1) (第2题图2)（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x＝1上有一点3(1,)4F，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~四、归纳总结1.通过本堂课的学习我收获了什么？在知识点标题上画“√”2.我还有哪些没有解决的困惑？在知识点标题上画“×”课后作业(60min)1．关于x的方程(6)16x x+=的解为（）A 、12x =，22x =B 、18x =，24x =-C 、18x =-，22x =D 、18x =，22x =-2.如图,共有12个大小相同的小正方形,其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分,现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影,能构成这个正方体的表面展开图的概率是 （ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当时，它是菱形 B ．当时，它是菱形 C ．当时，它是矩形 D ．当时，它是正方形4.如图的几何体的左视图是图中的（ ）5. 上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是( ) A ． B ． C ．D ．6. 如图，已知梯形ABCD ，AD//BC ，AD=CD=4，BC=8，点N 在BC 上，CN=2，E 是AB 中点，在AC 上找一点M 使EM+MN 的值最小，此时其最小值一定等于（ ） A ．6 B ．8 C ．4 D ．7.下列函数中，属于反比例函数的是（ ） A ．2x y =B ．12y x=C ．23y x =+D ．223y x =+ 8.设(x + y )(x + 2 + y ) —15 = 0，则x + y 的值为（ ）(A)— 5 或 3 (B)—3 或 5 (C) 3 (D) 5 二、填空题（每小题3分，共21分） 9. 方程x ²-4x =0的解是 ．第14题10. 已知菱形的两对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的面积为 cm 2．11. 如图，一根直立于水平地面上的木杆AB 在灯光下形成影子，当木杆绕A 按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB 垂直于地面时的硬长为AC （假定AC ＞AB ），影长的最大值为m ，最小值为n ，那么下列结论：①m ＞AC ;②m =AC ;③n =AB ;④影子的长度先增大后减小．其中，正确的结论的序号是 ．12.将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则 ．13. 在一个不透明的袋中，装有若干个除颜色不同外其余都相同的球，如果袋中有3个红球且摸到红球的概率为 4(1)，那么袋中球的总数量为 个.14.如图，反比例函数图象上一点A ，过A 作AB ⊥x 轴于B ，若S △AOB =3,则反比例函数解析式为___ __；15.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AD,BC 的中点，点G 、H 在DC 边上，且GH=21DC ．若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16.（8分）计算： （1）241221348+⨯-÷。
人教版九年级数学第22章二次函数 22.1 二次函数讲义
人教版九年级数学第22章二次函数 22.1 二次函数讲义合作探究探究点1 二次函数的概念情景激疑我们知道形如b k b kx y ,(+=是常数,k ≠0)的式子是一次函数，那么什么样的函数是二次函数呢?判断二次函数又需要消足哪些条件?知识讲解一般地，形如c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)的函数，叫做二次函数。
其中，x 是自变量,a,b,c 分别是函数解析式的次项系数、一次项系数和常数项，如73,23,32222+-=+=+-=x y x x y x x y 等都是二次函数。
（1）c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)叫做二次函数的-般式任何一个二次函数的解析式都可以化为c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)的形式.(2)在二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)中，a 必須不等于O,因为若a=0的话，此式子则变为c bx y +=的形式，就不是二次函数了.(3)在二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)中,若y=0.则二次函数可以转化为一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 典例剖析例1 下列哪些函数是二次函数?解析 判断一个函数是不是二次函数，先把关系式化简 整理，再分三个步骤来判断:(1)看它的等号两边是否都是整式，如果不都是整式，则必不是二次函数:(2)当它的等号两边都号林式时，再看它是否含有自变量的二次式，如果含有自变量的二安式，那就可能是二次函数，否则就不是:(3)看它的二次项系数是否为0,如果不为0，那就是二次函教.只要按上述三步来分析。
即可作出正确判断.答案 ①③④是二次函数.⑤不一定是二次函数，只有当a ≠0时，才是二次函数②不是整式，故不是二次函数，易错警示二次涵数关系式的等号两边都是整式.答案 (1)设一次购买x 只.才能以最低价购买，则有0.1(x-10)=20-16,解这个方程得x=50.答:一次至少买50只，才能以最低价购买。
人教版九年级数学下册第26章《二次函数》二次函数ya(xh)^2的图象与性质课件(21张)
2020/3/23
在同一直角坐标系中，
画出函 y2 1数 x2与y2 1(x-22)的图象
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
函数y=-(x+3)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向左平移3个
单位长度得到.
函数y=-(x-2)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向右平移2个
单位长度得到.
y=-(x+3)2
y=-x2 y=-(x-2)2
图象向左移还是向右移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
2020/3/23Leabharlann 这两个函数的图象有什么关系？
y
1 2
x2
y
1( 2
x2
)2
但是对称轴和 顶点坐标不同
的图象向右 平移 h个单位得到，当h<0时，
函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向
平移左个单位得到h 。
(1)函数y=4(x+5)2的图象可由y=4x2的图象 向左 平移5 个单位得到；y=4(x-11)2的图象 可由 y=4x2的图象向右平移11个单位得到。
(2)将函数y=-3(x+4)2的图象向 右 平移4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2(x-7)2的图象向左平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=(x-7)2的图象
向左平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向左平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4(x+3)2。
九年级数学《二次函数(第二节)》课件
x … -3 -2ຫໍສະໝຸດ -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
画一画
在同一坐标系中画出函数y=3x2 和y=-3x2的图象
y ax2
二次函数y=ax2的性质
1.抛物线y=ax2的顶点是原点, y ax2 对称轴是y轴.
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是
,
当x
0时,y<0.
小结
1、二次函数y=ax2的图象是什么？ 2、二次函数y=ax2的图象有何性质？ 3、抛物线y=ax2 与y=-ax2有何关系？
结束寄语
下课了!
只有不断的思考,才会 有新的发现;只有量的 变化,才会有质的进步.
y x2
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
议一议
观察图象,回答问题：
(1)图象是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点？
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
人教版九年级数学课件-二次函数
不是，右邊 是分式.
⑤y=x²+x³+25
不是，x的最 高次數是3.
⑥ y=(x+3)²-x² y=6x+9
方法歸納
判斷一個函數是不是二次函數，先看原函數和整理 化簡後的形式再作判斷.除此之外，二次函數除有一般形 式y=ax2+bx+c(a≠0)外，還有其特殊形式如 y=ax2, y=ax2+bx, y=ax2+c等.
填空： 每個球隊n要與其他 n-1 個球隊各比賽一場，甲隊
對乙隊的比賽與乙隊對甲隊的比賽時同一場比賽，所以比賽
的場次數
.
答： m 1 nn 1
2
m 1 n2 1 n 22
此式表示了比賽的場次數m與球隊數n之間的關係，對於
n的每一個值，m都有唯一的一個對應值，即m是n的函數.
問題3 某工廠一種產品現在的年產量是20件，計畫今後 兩年增加產量.如果每年都比上一年的產量增加x倍，那麼兩年 後這種產品的產量y將隨計畫所定的x的值而確定，y與x之間的 關係怎樣表示？
填空： 這種產品的原產量是20件, 一年後的產量是 20(1+x)件, 再經過一年後的產量是 20(1+x)2 件,即兩年後的產量 y=__2_0_(1_+__x_)2. 答： y=20x2+40x+20； 此式表示了兩年後的產量y與計畫增產的倍數x之間的關係， 對於x的每一個值，y都有唯一的一個對應值，即y是x的函數.
且對於x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應， 那麼我們就說x是引數，y是x的函數.
2.什麼是一次函數？正比例函數？ 一般地，形如y=kx+b（k,b是常數，k≠0）的函數叫做 一次函數.當b=0 時，一次函數y=kx就叫做正比例函數.
人教版 九年级数学讲义 二次函数的图像与性质(含解析)
第5讲二次函数的图象与性质知识定位讲解用时：2分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数的图象与性质，本节课的重点是掌握二次函数的平移法则，能够结合二次函数图象和性质判断a、b、c的之间的关系，而难点在于二次函数的图象和性质的综合考查，需要学生能够根据二次函数的图象与性质正确分析并解决问题。
希望同学们能够认真学习并掌握，为后面二次函数的应用打好基础。
知识梳理讲解用时：25分钟二次函数的图象（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表；①描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点；①连线：用平滑的曲线按顺序连接各点；①在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可，连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来，画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧。
x…-223--112-0121232…2y x= (4)491140141494…（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移|ab2|个单位，再向上或向下平移|abac442-|个单位得到的。
12341234xyxyOO1212----图1图2向上（）或向下（）平移个单位向上（）或向下（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位课堂精讲精练【例题1】抛物线212y x =向左平移8个单位，再向下平移9个单位，所得的抛物线的解析式是___________________。
【答案】218232y x x =++【解析】本题考查了二次函数平移规则，根据二次函数的平移法则，“上加下减，左加右减”，可知平移后的函数解析式为()21892y x =+-，整理即为218232y x x =++讲解用时：2分钟解题思路：牢记平移法则即可。
九年级下册数学二次函数课件精编版
2、正方体的六个面是全等的正方形,高正 方体的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一 个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的 具体关系可以表示为
y=6x2
3、多边形的对角线数d与边数n有什么关系?
由图可以想出,如果多边形有条边,那么它有
_n___个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的 各顶点,可以作_n__-_3____条对角线.
例3、函数y (k 1 ) x 是 2k2 k1 2
二次函数，则k __-1_____ .
练习：函数y (m 1)xm2m mx 1是 二次函数，则m ２_____ .
1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数
的为( C
)
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
设长方形的长为x 米，则宽 为（8-x）米，如果将面积记 为y平方米，那么变量y与x之 间的函数关系式为：
y x2 8x
问题:
问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件, 计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产 量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划 所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是
20(1+x)件,再经过一年后的产量是 20(1+x)件2 ,即两
年后的产量为 y 20 1 x2
即 y 20 x2 40x 20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的 函数.
(5)y= _x1_²-x
(6) v=10π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1
初中数学九年级下册《5.2 二次函数的图象和性质》PPT课件 (9)
的对称轴和顶点坐
标分别是什么?
二次函数y=3(x+1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向左平移了1 个单位.
y 3x2
y 3x 12
抛y同=物；ax线抛2h(a物y≠=线0a)(的xy-=h图a)(2象x、-h形)y2状=可a由(x相+抛h同物)，2(线h只>y0是=)和a位x函2置向数不_右__ 平移 个单位得左到，抛物h线y=a(x+h)2可由 抛物线y=ax2向 平左移加右减个单位得到。
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象 通过上下平移得到.
y 3x 2与y 3( x 1)2
⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间有什么关
系?
x
-3 -2 -1
0
1
2
3
4
y 3x2
27 12
3
0
3
12 27 48
y 3x 12
48
27 12
复习练习
（1）抛物线y=-2x2+7的开口 向下，对称轴是y轴 ， 顶而点增坐大0 ，标在是对(0,称7)，轴在的大对右称侧轴，的y随左x侧的，增y大随而x7的减增小大， 当x= 时，取得最 值，这个值等于 。 （2）抛物线y=2x2-5的开口向上，对称轴是y轴 ， 顶 而点减坐小0 ，标在是对(0称,-5轴)，的小在右对侧称，轴y随的x左的侧增，大y而随-5增x的大增，大 当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
抛物线y=a(x+h)2 (a≠0)的图象可由y=ax2的图
象通过左右平移得到.
当a>0时，抛物线y=a(x+h)2的开口向 对当x称上_(_轴-_h_是,0时)_-，_h_y_随_>__x-h_的__增直__大线_，而小x=顶增-h点大坐，标当是x=
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3、下列函数中，（x是自变量），是二次函数 的有 B C 。
A y=ax2+bx+c
C y=x2
B y2=x2-4x+1
D y=2+ √x2+1
4.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( A C m,n是常数,且m≠0 m,n是常数,且m≠n B D m,n为任何实数
C
)
m,n是常数,且n≠0
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。 解：由题意得： Y=x(40-2x)
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) 当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12 ＝192（m2）
x m
y
m2
x m
在实践中感悟
横看成岭侧成峰，远近高低各不同 ——变换角度分析问题
若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自变量的二次函 数，求m、n的值。
2m+n=2②∵ 2m+n=1 ① ∵ m-n=1
∴ ③∵
2m+n=2
2m+n=2 2m+n=0
⑤ ∵
④ ∵
m-n=2
∴
m-n=2
∴
m-n=0
问题3：某工厂一种产品现在的产量是20
件，计划今后两年增加产量。如果每年都 比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种 产品的产量y将随计划所定的x的值而确定， y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是 20(1+x) 件, 再经过一年后的产量是 20(1+x)(1+x) 件，即两年后的产
知识运用
例2:m取何值时，
m 2 m 1 函数y= (m+1)x
2
+(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=x(k≠0), 反比例函数y= 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。 可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函 数表达式与自变量的关系。
思考：2. 二次函数的一般式y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方 程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么 联系和区别？
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项 （1） y=-x2+58x-112 （2）y=πx2 2、指出下列函数y=ax² +bx+c中的a、b、c （1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6
（3） y=x(1+x)
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。 1 __ (1) y=3(x－1)² +1 (2) y=x+ x (3) s=3－2t² (4) y=(x+3)² －x² 1 __ (5)y= －x (6) v=8π r² x²
问题1:
问题2:
(n-3) 条 点不相邻的各顶点,可以作
对角线.
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从一个顶点出发,连接与
因为像线段MN与NM那样,连接 M N 相同两顶点的对角线是同一条对 角线,所以多边形的对角线总数 1 ②式表示了多边形的 d n n3 对角线数d与边数n之 2 间的关系,对于n的每一 1 3 即 d 2 n② n 个值,d都有唯一的对应 2 2 值,即d是n的函数。
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式. S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2 2. n支球队参加比赛,每两队之间进行 一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队 数 n 之间的关系式. 1 2 1 1 m nn 1 即 m n n 2 2 2
（2）a,b,c为常数，且
a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有 一次项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围是任意实数。
(5) 函数的右边是一个 整 式
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式：
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
量为
y=20(x+1)²
即
y=20x² +40x+20 ③
③式表示了两年后的产 量y与计划增产的倍数x 之间的关系，对于x的 每一个值，y都有唯一 的一个对应值，即y是x 的函数。
观察： 函数①②③有什么共同点? y=6x2①
d 1 n2 3 n② 2 2
y 20 x2 40 x 20③
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
定义：一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式。
k (k≠0) ， x
想一想
函数y ax bx c(其中a, b, c是常数)，
2
当a, b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数 ？
解：（1）a 0
(2)a 0, b0
(3)a 0, b 0,c 0
m2-7 例2、y=（m+3）x
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 2 2 时是正 比例函数。 （２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时是反比例函 数。 （３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
y=kx+b (k≠0)
变 量 之 间 的 关 系
一次函数
正比例函数
y=kx (k≠0) 函 数
二次函数
正方体的六个面是全等的正方形,设 正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个 值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关 系可以表示为 y=6x2①
∴
m-n=2
∴
m=1 n=0
m=1 n=-1
m=4/3 n=-2/3
m=2/3 n=2/3
m=2/3
n=-4/3
+1 解: (1)y=3(x-1)² =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1 即 y=3x2-6x+4
(4) y=(x+3)² -x² =x2+6x+9-x2
即 y=6x+9
不是二次函数.
是二次函数. 1 -x __ (5)y= 二次项系数: 3 x² 一次项系数: -6 不是二次函数. 常数项: 4 (6) v=8π r² 1 不是二次函数. (2) y=x+ __ 是二次函数. x (3) s=3-2t² 是二次函数. 二次项系数: 8π 二次项系数: -2 一次项系数: 0 一次项系数: 0 常数项: 0 常数项: 3
二次函数(1)
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经 过的路线？它会与某种函数有联系吗？
运动场上飞舞的跳绳
奥运赛场腾空的篮球
基础回顾
什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。