4.4 区组设计数据分析回顾

用数学语言来说， BIBD k , b, r , t , 的这些参数满足 1. kr bt； 2. k 1 r t 1； 3. b k 或 r t .
如果 t k , r b，则为完全区组设计.
例 4.3 比较四种材料(k 4)在四个部位(b 4)的磨损. 数据可写成下面两种形式：
当处理组非常大，而同一区组的所有样本数又不允许太大时， 在一个区组中可能不能包含所有的处理， 此时只能在同一区组内安排部分处理. 即 不是所有的处理都被用于各区组的试验中，这种区组设计称为 不完全区组设计(incomplete block ).
在不完全区组设计中，最易处理的是平衡的不完全区组设计 (Balanced Incomplete Block Design, BIBD). 简称 BIB 随机区组设计.
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统计量 F 在 H0 下的分布为自由度为 b 1, k 1b 1 的 F 分布.
若 F F b 1, k 1b 1 ，则考虑拒绝零假设 H0 .
随机化完全区组设计的基本使用条件
(1) 试验材料为异质，试验者根据需要将其分为几组，几个性质 相近的试验单位为一区组 (如一个人的血液分成四份，此人即为 同一区组，不同人为不同区组)，使区组内试验个体之间的差异 相对较小，而区组之间的差异较大；
即： 对于随机化完全区组试验，正态总体条件下， 若检验“区组之间是否有显著性差异”问题，则检验统计量为 MSB F MSE
k x
j 1
b
j
x
2
b 1
2
x
i 1 j 1
k
b
ij
xi x j x
b 1 k 1
4.4
区组设计数据分析回顾
• 前面的 Kruskal Wallis 检验和 Jonckheere Terpstra 检验都是 针对完全随机试验数据的分析方法.
• 当各处理的样本重复数据存在区组之间的差异时，就必须考虑
在没有区组影响的单因子试验设计的分析中，假定在每一个 样本中的观测值是相互独立的，样本之间也是独立的. 每一个样本代表了一个变量或因素，习惯上称为 “处理(treatment )”.
i 1 i 1 j 1
k
b
统计量 F 在 H0 下的分布为自由度为 k 1, k 1b 1 的 F 分布.
若 F F k 1, k 1b 1 ，则考虑拒绝零假设 H0 .
——“不同处理是否有显著性差异”问题 是进行区组设计试验的主要目的.
当然，如果要检验区组之间是否有区别，只要把上面公式中的 i 和 j 交换、 k 和 b 交换，并考虑对称的问题即可.
对于随机化完全区组试验，在正态总体条件下
因素 区组 处理 误差 合计 自由度 b 1 k 1 平方和 SSB SSt SSE SST 均方 MSB MSt MSE
b 1 k 1
n 1
对于随机化完全区组试验，正态总体条件下， 对于假设检验问题，即“不同处理是否有显著性差异”问题， 则检验统计量为 F MSt MSE
b x
i 1
k
i
x
2
k 1
2
x
i 1 j 1 k i 1
k
b
ij
xi x j x
k
k 1 b 1
，
其中 xi xij b ，x j xij k ，x xij n ，n kb.
区组(职业)
处理（城市）
I 80
II 100
III 51
IV 65
A
B
C
52
40
76
52
52
34
53
35
这里，每一个处理在每一个区组中出现并仅出现一次. 这是一个完全区组设计，每个处理和区组的组合都有一个 观测值.
不完全区组设计
完全随机区组设计要求每一个处理都出现在每一个区组中.
但在实际问题中，并不一定能够保证每一个区组都能有对应的 样本出现(即不一定把每一个处理分配到每一个区组中)， 这样就产生了不完全区组设计.
区组数据的影响，这时非参数检验情形适用于多个相关样本情形.
然而，在实践中，除了处理之外，往往还有别的因素起作用， 这种因素习惯上称为 “区组(Block ) ”.
试验目的主要是看这些处理的效果是否一样.
完全区组设计
例如：在关于肥料(处理)效能的农业试验中，不同条件的土壤 就构成了另一个因素. 而土壤条件的差异并不是我们关心的，我们只关心不同化肥的 影响如何.
这里仅考虑对于每对 i, j 只有一个观测值的情况.
假设检验问题为 H 0 : 1 2 k H1 : i, j，i j .
如果随机地把所有处理分配到所有的区组中， 使得总的变异可以分解为： (1). 处理造成的不同； (2). 区组内的变异； (3). 区组之间的变异.
具体而言，每个区组安排相等处理数的不完全区组设计.
BIBD 通常有五个参数：处理数 k，区组数 b， 每一区组的处理数 t，每一处理的区组数 r， 每两个处理在一个区组中的相遇次数 . 记作 BIBD k , b, r , t , .
平衡的不完全区组设计 BIBD k , b, r , t , 满足下面条件： (1). 每个处理在同一区组中最多出现一次； (2). t k ( t 为每个区组设计的样本量， t 小于处理个数 k )； (3). 每个处理都出现在相同多的 r 个区组中； (4). 每两个处理在一个区组中相遇次数一样 次 .
xij i j ij , i 1, 2, , k (处理数)，j 1, 2, , b (区组数)
其中 xij 表示第 i 个处理在第 j 个区组的观测值， 区组数 b 表示每个处理的观测量， 处理数 k 表示每个区组的观测量，
i 是第 i 个处理的效应， j 是第 j 个区组的效应.
(2) 每一个区组内的试验个体按照随机安排全部参加试验的 各种处理；
(3) 每个区组内的试验数等于处理数.

在没有正态总体的假定时，检验统计量的构造思路
和 F 统计量类似，只不过是用秩来代替观测值.
例 4.2 在不同的城市对不同的人群进行血液中铅含量的测试， 一共有 A, B, C 三个城市，代表着三种不同的处理 (k 3). 对试验者按职业分成四组 (b 4) 取血. 他们血铅含量如下表所示：
再比如，假设需要对 A, B, C , D 四种处理血液凝固时间设计比较 试验. 每种处理方法重复观测 5 次. 现只取 5 位正常人的血液，不同条件的人构成了另一个因素， 称为区组. 这就是完全随机区组设计，其中人为区组.
如果将 5 位正常人的血液，每人分成 4 份随机分配 4 种处理方法，
影响结果的因素有各处理效应和区组两个.
为此我们要利用一种称为“区组”的实验设计方案， 来消除不同土壤这个因素对不同化肥的效能的分析的影响.
设计的主要做法是把不同条件的土壤，分成不同的组(blocks)， 条件相同的土壤分在一组.
如果完全随机地把所有处理都分配到所有区组中， 这就是随机化完全区组设计(Randomized Complete Block Design).
区组
I
处理
II 28
III 36
IV
I
II
III 48(C)
IV 59(D)
A
34
34(A) 30(B)
B
C D
36
40
30
48 44 54
45
60 59
36(B) 28(A) 54(D)
40(C) 44(D) 36(A)
60(C)
45(B)
从右边表中，可以很容易看出 BIB 的平衡性质. 这里 BIBD k , b, r , t , BIBD 4, 4,3,3, 2 .
区组 处理 1 2
1
x11 x21
2
x12 x22
…
… …
b
X1b X2b
k
xk1
xk2
…
xkb
当区组存在时，表示 处理的样本的独立性就不再成立了.
为进行和前两节类似的检验，就需要应用不同的检验统计量.
在传统的统计中，正态总体条件下，通常需要用 两因子方差分析模型表示. 为简单起见，这里只给出主效应的表示模型， 这表示处理因素与区组之间不考虑交互作用，模型如下所示：
在正态总体的假定下，对于平衡的不完全区组试验， 由于并不是对每组下标 i, j 都存在观测值，检验统计量的公式 比完全区组试验时要稍微复杂一些，但基本思想都是一样的.
在没有正态总体的假定时，检验统计量的构造思路 和 F 统计量类似，只不过是用秩来代替观测值.