第四十三讲 二元一次不等式(组)与简单线性规划
高中数学二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-知识点解析
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题-知识点解析一、二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线l：Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）.若有Ax0+By0+C=0，则点P在直线l上；若有Ax0+By0+C>0或者Ax0+By0+C<0，则点P在直线l的某一侧，即二元一次不等式Ax+By+C>0和Ax+By+C<0分别表示直线l两侧的平面区域.通常把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式Ax+By+C≥0或Ax+By+C≤0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线.二、简单的线性规划问题和求解步骤求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通称为线性规划问题；满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，生活实际中有许多问题都可以归纳为线性规划问题.解线性规划问题的步骤如下：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：求出目标函数的最大值或最小值.三、利用线性规划解决实际问题的问题类型及步骤利用线性规划来进行优化设计，解决生活中的实际问题通常有以下几种类型：第一类：给定一定数量的人力、物力资源，分析怎样合理利用这些资源，才能使收到的效益最大；第二类：给定一项任务，分析怎样安排，能使完成这项任务的人力、物力资源最小，还要根据条件求最优解，有时候还要分析整数解.解线性规划应用题的步骤如下：第一步：列表，转化为线性规划问题；第二步：设出相关变元，列出线性约束条件对应的不等式（组），写出目标函数；第三步：正确画出可行域，根据条件求出目标函数的最大值或最小值及对应的变元；第四步：写出实际问题的答案.知识探究问题1：对于简单的线性规划问题，正确判断并画出不等式（组）表示的平面区域是解决问题的关键，那么判断一个不等式（组）对应的平面区域主要有哪些方法?探究：1.在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0），（1）若Ax0+By0+C>0，则点P（x0，y0）在直线的上方；（2）若Ax0+By0+C<0，则点P（x0，y0）在直线的下方.2.对于方程中的系数B（B≠0，若B=0，则方程简单化），不外乎两种情况：B>0和B<0，则根据图形的特点可以得出以下结论：（1）当B>0时，Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.（2）当B<0时，Ax+By+C>0⇔-Ax-By-C<0表示直线下方的区域；Ax+By+C<0⇔-Ax-By-C>0，表示直线上方的区域.3.在实际给出直线的条件下，由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x，y），把它的坐标（x，y）代入Ax+By+C，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点（x0，y0），以Ax0+By0+C的正负情况便可判断Ax+By+C>0或者Ax+By+C<0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当C≠0时，直线不过原点，通常把原点作为此特殊点.问题2：在利用线性规划求解有关应用问题时，有时候需要根据实际情况，最优解要求是整数，那么，怎样才能正确地得出整数解?探究：在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解（比如人数、车辆数等），而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，通常处理的方法有两种：（1）利用约束条件画出图形，如果得出的是非整数解，进行适当地调整，可以找与所求出的最优解（非整数解）接近的整数解进行验证；（2）在直线的附近找出与此直线距离最近的整点，根据求出的结果给出最优解的整数解.知识拓展【拓展点1】 △ABC 中,A(3,-1),B(-1,1),C(1,3).写出△ABC 区域所表示的二元一次不等式组.解:如图所示,AB 、BC 、CA 三边所在直线方程分别为x+2y-1=0,x-y+2=0,2x+y-5=0,由区域可得不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+.052,02,012y x y x y x【拓展点2】 利用平面区域求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+>--.01553,0632,032y x y x y x 的整数解.解:设l 1:2x-y-3=0,l 2:2x+3y-6=0,l 3:3x-5y-15=0,l 1∩l 2=A,l 1∩l 3=B,l 2∩l 3=C,则A(815,43)、B(0,-3)、C(1975,-1912).作出不等式组表示的平面区域,如图所示.可以看出区域内点的横坐标在区间(0,1975)内,取x=1,2,3.当x=1时,代入原不等式组,有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-><-<,512,34,1y y y 得-512<y<-1.∴y=-2,区域内有整点(1,-2).同理,可求得另外三个整点(2,0)、(2,-1),(3,-1).练习请和你的同学共同阅读下面资料，根据资料回答问题：某教育集团准备兴办一所中学，投资1200万元用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20到30个班为宜.（1）根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，并计算最大利润.（2）三年之后，如果把这三年利润的80%再投资兴建一个幼儿园，请根据资金进行一次调查（以你所在城市为例），根据调查数据帮助设计一定规模的班级使幼儿园的利润最大。
二元一次不等式组与简单的线性规划
Y
O
X
表示的平面区域
x-y+5=0
x=3
注：不等式组表示的平面区域是各不等式所表示 平面区域的公共部分。
例2、(天津卷)设变量 x , y 满足约束条件
x y 1 ，则目标函数 z 4 x y 的 x y 1 3 x y 3
最大值为 ( A.4 B.11
的点的平行直线
y=
a b
x
z b
在y轴上截距的最大、最小值，
再求出z的最大、最小值. 2．求 z ( x a ) ( y b ) 的最大、最小值就是求可行域内的 点P(x,y)到点（a,b）的距离平方的最大、最小值.
2 2
3．求
z
ya xb
的最大、最小值就是可行域内的点P(x,y)和
与点（a,b）连线的斜率的最大、最小值.
例2、 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件利润分别
为300、500元。甲、乙产品的部件各自在A、B两个车间分别 生产，每件甲、乙产品的部件分别需要A、B车间的生产能力 1，2工时；两种产品的部件最后都要在C车间装配，装配每 件甲、乙产品分别需要3，4工时。A、B、C三个车间每天可 用于这两种产品的工时分别为8，12，36，应如何安排生产 这两种产品才能获利最多？ 下面先列出该问题的数据表：
(1) u 4 x 3 y的 最 大 值 和 最 小 值 ； (2) z x y 的 最 大 值 和 最 小 值 ；
2 2
(3) t
y6 x 10
的最大值和最小值。
(4)s
y 1
x2
的范围。
常见的目标函数的几种形式
1．求z=ax+by的最大、最小值，就是先求经过可行域内
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-图
线性规划问题的概念和特点
线性规划问题是一类最大化或最小化线性目标函数，并满足一组线性约束条件的问题。其特点包括可行解的存 在性和界的性质。
线性规划问题的图解法
通过绘制约束条件对应的直线或区域，并找到目标函数在这些约束条件下的 最优解，可以通过图解法解决线性规划问题。
二元一次不等式(组)与简 单的线性规划问题-图
本演示将介绍二元一次不等式、简单的线性规划问题及其图解法。希望通过 富有趣味性和吸引力的方式，与大家分享这一主题。
二元一次不等式的概念和形式
二元一次不等式是包含两个变量的一次不等式。它们用来表示两个变量之间 的关系，通常以 ax + by ≥ c 的形式出现。
二元一次不等式的解法
解二元一次不等式的关键是确定变量的取值范围。通过绘制方程对应的直线或区域，可以找到使不等式成立的 解。
二元一次不等式组的概念和形 式
二元一次不等式组是包含两个二元一次不等式的集合。它们通常以以下形式 表示：
ax + by ≥ c dx + ey ≤ f
二元一次不等式组的解法
简单Байду номын сангаас性规划问题的求解
通过图解法，我们可以解决一些简单的线性规划问题。通过找到目标函数与 约束条件的交点，我们可以确定最优解。
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0把直角坐标平面分成了三个部分： (1)直线l 上的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c ＝0；(2)直线l 一侧的平面区域内的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c >0； (3)直线l 另一侧的平面区域内的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c <0.所以，只需在直线l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x 0，y 0)，从ax 0＋by 0＋c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．选择题：已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为C若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52 C ．2 D ．2 2解析 ∵直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，∴如图所示的可行域为直角三角形， 易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故|AB |＝2，|AC |＝22，其面积为12×|AB |×|AC |＝2.若x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32 D ．2解析 如图所示，目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )解析 (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎨⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎨⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34解析 由题意得平面区域如图，A (0，43)，B (1，1)，C (0，4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43已知约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析 由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，∴只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与 kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求．变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 解析 画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)．由⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1) 当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n ， 当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，易知A (2，0)， 由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1)．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z . ∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值， ∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选Bx ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1 解析如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a ＜0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5，0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5，0)．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．(0,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 解析不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( )A ．－209 B ．1 C ．2 D ．5 解析 作出可行域，如图所示的阴影部分化目标函数z ＝y －mx (m ＞0)为y ＝mx ＋z ，由图可知，当直线y ＝mx ＋z 过A 点时，直线在y 轴的截距最大，由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1函数y ＝2x 图像上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32 D ．2解析 作出函数y ＝2x的图像及⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图像上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.若变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92 D ．5 解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方，由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎨⎧ y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x 的最小值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1 解析 作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x 的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图像可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1设实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是( ) A ．－5 B ．－12 C.12 D ．5 解析作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，则w ＝y －1x －1的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (1,1)所在直线的斜率，由图像可知当P 位于点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43时，直线AP 的斜率最小，此时w ＝y －1x －1的最小值为43－113－1＝－12已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．[53，5]B ．[0，5]C ．[53，5)D ．[－53，5) 解析 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－53，5)．填空题：不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是____解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，∴只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．∵A (1，1)，B (0，4)，∴AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，∴k ＝73.已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值， 由⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝______解析 显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1，1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1，不符合题意故必有m >2，此时不等式组⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为A (1，1)，B (m －1，1)，C (m ＋13，2m －13)． 由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值，最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3 由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x上的一个动点，则OM →·ON→的最大值是_______ 解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (1，1)．设z ＝OM →·ON→＝2x ＋y ，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时， z ＝2x ＋y 取得最大值3已知向量OA →＝(1,0)，OB →＝(1,1)，O 为坐标原点，动点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤OP →·OA →≤1，0≤OP →·OB →≤2，则点Q (x ＋y ，y )构成图形的面积为________解析 由题意知，OP →·OA →＝x ，OP →·OB →＝x ＋y ，即0≤x ≤1，0≤x ＋y ≤2，设x ＋y ＝a ，y ＝b ，则有0≤a －b ≤1，0≤a ≤2，点Q (a ，b )所在平面区域如图所示，则其面积为1×2＝2设实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________解析 ∵a >0，b >0，∴由可行域得，如图，当目标函数过点(4，6)时z 取最大值，∴4a ＋6b ＝10，a 2＋b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点(0，0)的距离的平方， 那么其最小值是点(0，0)到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，则a 2＋b 2的最小值是2513解答题：实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 解由⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，∴yx 的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)． 由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞)． (2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方， ∴x 2＋y 2的值最小为|OA |2(取不到)，最大值为|OB |2由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)，∴|OA |2＝(02＋12)2＝1，|OB |2＝(12＋22)2＝5， ∴z 的取值范围是(1，5]专项能力提升已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．(－6，－2)B ．(－3，2)C ．(－103，－2)D ．(－103，－3) 解析 作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1，1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解．令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)>0，f (1)>0，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP→＋OQ →|的最小值为( )A.55B.23C.22 D ．1 解析 在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →|＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA→|， 其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y＝0上的投影，如图．∵|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，∴|OP →＋OQ →|min＝55设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1x )≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )A.3π4B.3π5C.4π7D.π2 解析 平面点集A 表示的平面区域就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x≥0与⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0表示的两块平面区域，而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆及圆的内部， 作出它们表示的平面区域如图所示：图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形．由于圆和曲线y ＝1x 关于直线y ＝x 对称，∴阴影部分所表示的图形面积为圆面积的12，即为π2已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49解析 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1，显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6 ∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________． 解析 ∵x 2＋y 2≤1，∴2x ＋y －4＜0，6－x －3y ＞0， ∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝10－3x －4y令z ＝10－3x －4y ，如图，设OA 与直线－3x －4y ＝0垂直，∴直线OA 的方程为y ＝43x ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x ，x 2＋y 2＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，∴当z ＝10－3x －4y 过点A 时，z 取最大值，z max ＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝15已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3，0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12给定区域D ：⎩⎨⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析 作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0，1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．。
2020年高考理科数学复习第34讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第34讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)__不包括__边界直线，把边界直线画成虚线；不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)__包括__边界直线，把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足Ax＋By＋C＞0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足__Ax＋By＋C<0__.(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C 的__符号__就可以判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各不等式所表示的平面区域的__公共部分__.2．线性规划中的基本概念1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( × ) (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )解析 (1)错误．当B <0时，不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域在直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方．(2)错误．当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分时，就无法表示平面上的一个区域．(3)正确．当线性目标函数转化成的直线和某个边界重合时，最优解无穷多． (4)错误．目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，zb 是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．2．点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则( B ) A ．a ＜－7或a ＞24 B ．－7＜a ＜24 C ．a ＝－7或a ＝24D ．以上都不对解析 依题意，(9－2＋a )(－12－12＋a )<0，解得－7<a <24. 3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( C )A ．32B ．23C ．43D ．34解析 不等式组表示的平面区域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4，得交点A 的坐标为(1,1)．又B ，C 两点的坐标分别为(0,4)，⎝⎛⎭⎫0，43.故S △ABC ＝12×⎝⎛⎭⎫4－43×1＝43.4．(2017·山东卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( D )A ．1B ．3C ．5D ．9解析 画出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x ＋2y ，平移直线x ＋2y ＝0，可知当z ＝x ＋2y 过点C (3,3)时，目标函数取得最大值，即z max ＝3＋2×3＝9，故选D ．5．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )．若z 取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是__(1，＋∞)__.解析 如图，依题意，直线x ＋y －4＝0与x －y ＋2＝0交于A (1,3)，此时目标函数取最大值，故a >1.一 二元一次不等式(组)表示的平面区域确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．若直线不过原点，特殊点一般取(0,0)点．(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线．【例1】 (1)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为( A )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≤0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y ＋2≥0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＞0，x －2y ＋2＞0(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( B )A ．－3B ．1C ．43D ．3解析 (1)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方， 可知x －2y ＋2≥0，又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． (2)作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C ⎝⎛⎭⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12||AD ·||y B －y C ＝12(2＋2m )⎝⎛⎭⎫1＋m －2＋2m 3 ＝(1＋m )⎝⎛⎭⎫1＋m －23＝43.解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．二 线性目标函数的最值问题(1)求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．(2)由目标函数的最值求参数．求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．(3)利用可行域及最优解求参数及其范围．利用约束条件作出可行域，通过分析可行域及目标函数确定最优解的点，再利用已知可求参数的值或范围．【例2】 (1)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( B )A ．－4B ．6C ．10D ．17(2)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( D )A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析 (1)由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分)．当直线2x ＋5y －z ＝0过点A (3,0)时，z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B ． (2)作出可行域(如图所示的△ABC 及其内部)．由题设z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数取最大值时对应的直线与可行域某一边界重合．又k AB ＝－1，k AC ＝2，k BC ＝12，∴a ＝－1或a ＝2或a ＝12，验证：a ＝－1或a ＝2时，满足题意；a ＝12时，不满足题意，故选D ．三 非线性目标函数的最值问题非线性目标函数常见类型的几何意义(1)(x －a )2＋(y －b )2为点(x ，y )与点(a ，b )距离的平方． (2)y －b x －a为点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)|Ax ＋By ＋C |是点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍． 【例3】 设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值； (3)求z ＝|2x ＋y ＋4|的最大值与最小值． 解析 画出满足条件的可行域，如图所示．(1)x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图象可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过点(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u max ＝73，u min ＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图象可知，k BD 最大，k CD最小．又因为C (3,8)，B (3，－3)， 所以v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.(3)因为z ＝|2x ＋y ＋4|＝5·|2x ＋y ＋4|5表示可行域内点P (x ，y )到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的5倍，由图象知A 到直线2x ＋y ＋4＝0的距离最小，C 到直线2x ＋y ＋4＝0的距离最大．又因为A ⎝⎛⎭⎫－52，52，C (3,8)， 故当x ＝－52，y ＝52时，z min ＝5·⎪⎪⎪⎪2×⎝⎛⎭⎫－52＋52＋45＝32. 当x ＝3，y ＝8时，z max ＝5·|2×3＋8＋4|5＝18.四 线性规划的实际应用解线性规划应用题的一般步骤第一步：分析题意，设出未知量； 第二步：列出线性约束条件和目标函数； 第三步：作出可行域并利用数形结合求解； 第四步：将数学问题的答案还原为实际问题的答案．【例4】 (2016·天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示.现有A 种原料200吨，肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解析 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.故生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．1．(2017·浙江卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( D )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解析 画出可行域如图阴影部分所示，平移直线x ＋2y ＝0，可知，直线z ＝x ＋2y 过点(2,1)时取得最小值4，无最大值，故选D ．2．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是( D )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 可行域为△ABC 及其内部，如图所示．由图可知，当目标函数t ＝x －2y 过点A 时有最大值，由直线x －2y ＝2与直线x －2＝0的交点坐标为(2,0)，代入直线x ＋2y －a ＝0，得a ＝2，故选D ．3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则k ＝yx ＋1的最大值为( C ) A ．12B ．32C ．1D ．14解析 如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域为△AOB 的边界及其内部区域，k ＝yx ＋1＝y －0x －(－1)表示点(x ，y )和(－1,0)的连线的斜率． 由图知，点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以k max ＝1－00－(－1)＝1，故选C ．4．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为__216_000__元．解析 设生产产品A x 件，生产产品B y 件，利润之和为z 元，则z ＝2 100x ＋900y .根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ，y ∈N ，作出可行域(如图)．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝60，y ＝100. 当直线2 100x ＋900y －z ＝0过点M (60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.故所求的最大值为216 000元．易错点 不能准确确定最优解的位置错因分析：“截距型”最优解问题一是要弄清z 与截距的关系，二是要看与目标函数相应的直线的斜率的正负以及与可行域边界直线斜率的大小关系．【例1】 已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的值最大为12，则2a ＋3b的最小值为________.解析 画出可行域，如图中阴影部分所示．由z ＝ax ＋by 得，y ＝－a b x ＋zb.∵－ab＜0，∴一定是过点A 时z 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6＝0，x －y ＋2＝0得A (4,6)， ∴z max ＝4a ＋6b ＝12，∴a 3＋b 2＝1.∴2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ⎝⎛⎭⎫a 3＋b 2＝23＋32＋b a ＋a b ≥23＋32＋2＝256(当且仅当a ＝b ＝65时，取等号)． ∴2a ＋3b 的最小值为256. 答案256【跟踪训练1】 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ＋y ≥3，若目标函数z ＝x ＋ky (k >0)的最小值为13，则实数k ＝( C )A ．7B ．5或13C ．5或294D ．13解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ＋y ≥3，表示的平面区域，如图所示，可知z ＝x ＋ky (k >0)过点A ⎝⎛⎭⎫12，52或B ⎝⎛⎭⎫75，85时取得最小值，所以12＋52k ＝13或75＋85k ＝13，解得k ＝5或294.课时达标 第34讲[解密考纲]考查线性规划以选择题或填空题的形式出现． 一、选择题1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝4x ＋y 的最大值为( B )A ．10B ．8C ．2D ．0解析 画出可行域，根据图形可知，当目标函数的图象经过点A (2,0)时，z ＝4x ＋y 取得最大值8.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( A )A ．⎣⎡⎦⎤－32，6 B ．⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1,6]D ．⎣⎡⎦⎤－6，32 解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当直线z ＝3x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值6，过点B ⎝⎛⎭⎫12，3时，z 取得最小值－32，故选A ．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋y ≥2，y ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y 2的取值范围为( C )A ．[2,8]B ．[4,13]C ．[2,13]D ．⎣⎡⎦⎤52，13 解析 作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得z min ＝|OA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|0＋0－2|12＋122＝2，z max ＝|OB |2＝32＋22＝13.故z ∈[2,13]．4．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－2，则k ＝( B )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析 当k ≥0时，直线z ＝y －x 不存在最小值，∴k ＜0.当k ＜0时，当有且仅当直线z ＝y －x 经过kx －y ＋2＝0与x 轴的交点，(－2k ，0)时，z 取得最小值－2，∴－2＝2k，即k ＝－1.5．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a ＝( A )A ．3B ．6C ．5D ．4解析 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0对应的区域，如图．因为直线ax －y ＋1＝0过定点(0,1)，且不等式ax －y ＋1≥0表示的区域在直线ax －y ＋1＝0的下方，所以△ABC 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0对应的平面区域．因为A 到直线BC 的距离为1，所以S △ABC ＝12×1×BC ＝2，所以BC ＝4.当x ＝1时，y C ＝1＋a ，所以y C ＝1＋a ＝4， 解得a ＝3.6．设实数x, y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y x ＋xy的取值范围是( D )A ．⎣⎡⎦⎤13，103 B ．⎣⎡⎦⎤13，52 C ．⎣⎡⎦⎤2，52 D ．⎣⎡⎦⎤2，103 解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影所示．解方程组得可行域的顶点分别为A (3,1)，B (1,2)，C (4,2)．由于yx 表示可行域内的点(x ，y )与原点(0,0)的连线的斜率，则k OA＝13，k OB ＝2，k OC ＝12，所示y x ∈⎣⎡⎦⎤13，2.结合对勾函数的图象，得z ∈⎣⎡⎦⎤2，103，故选D ．二、填空题7．(2016·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为__3__. 解析 由约束条件画出可行域，如图．y x 的几何意义是可行域内的点(x ，y )与原点连线的斜率，所以yx的最大值即为直线OA 的斜率，又由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y －4＝0得点A 的坐标为(1,3)，于是⎝⎛⎭⎫y x max ＝k OA ＝3. 8．已知实数x ，y 满足x 2＋(y －2)2＝1，则ω＝x ＋3y x 2＋y 2的取值范围是__[1,2]__.解析 设P (x ，y )，M (1，3)，则cos 〈OP →，OM →〉＝x ＋3y 2x 2＋y 2＝ω2，过原点O 作⊙C 的切线OA ，OB ，切点为A ，B ，易知：∠MOx ＝∠AOx ＝60°，∠BOx ＝120°， ∴0°≤〈OP →，OM →〉≤60°，∴12≤cos 〈OP →，OM →〉≤1，∴1≤ω≤2. 9．已知a >0，实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a的值为__12__.解析 由题意得直线y ＝a (x －3)过x ＝1与2x ＋y ＝1的交点(1，－1)，因此a 的值为12.三、解答题10．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围． 解析 (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)依题意[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0， 即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18,14)． 11．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围． 解析 可行域如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0， 解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)设P (x ，y )，则z ＝y x ＝y －0x －0＝k PO ，由图知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2＝|PO |2，∵|OC |2＝2，|OB |2＝29， ∴由图得2≤z ≤29，即z ∈[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8. ∴16≤z ≤64，即z ∈[16,64]．12．某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解析 设A 型，B 型车分别为x ，y 辆， 相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y . 由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线1 600x＋2 400y＝z经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上的截距z2 400最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆，B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．。
数学《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》高中教案
数学《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》高中教案数学《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》高中教案上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。
学然后知不足，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。
下学生通过自己的分析得出了正确的结论，让他们从中体会到了获取新知后的成就感，从而增加了对数学的学习兴趣.同时也让他们体会人们在认识新生事物时从特殊到一般，再从一般到特殊的认知过程.】（二）实例展示:例1、画出不等式二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的模块单元教学设计表示的平面区域.例2、用平面区域表示不等式组二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的模块单元教学设计的解集.【通过利用多媒体对实例的展示让学生体会到画出不等式表示的平面区域的基本流程:直线定界，特殊点定域，而不等式（组）表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分.同时对具体作图中的细节问题进行点拔.】（三）练习:学生练习P86第1-3题.【及时巩固所学，进一步体会画出不等式（组）表示的平面区域的基本流程】（四）课后延伸:师:我们在今天主要解决了在给出不等式（组）的情况下如何用平面区域来表示出来的问题. 如果反过来给出了平面区域你能写出相关的不等式（组）吗?例如你能写出A（2，4），B（2，0），C（1，2）三点构成的三角形内部区域对应的不等式组吗?你能写出不等式形如二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的模块单元教学设计这种不等式表示的平面区域?（五）小结与作业:二元一次不等式二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的模块单元教学设计表示直线二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的模块单元教学设计某侧所有点组成的平面区域，画出不等式（组）表示的平面区域的基本流程:直线定界，特殊点定域（一般找原点）作业：第93页A组习题1、2，补充作业:若线段PQ的两个端点坐标为P（3，-1），Q（2，4），且直线二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的模块单元教学设计与线段PQ。
高考数学复习讲义：二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
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[解析] (1)作出满足约束条 件的可行域如图中阴影部分所 示．由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.
作直线 l0：y＝－32x. 平移直线 l0，当直线 y＝－32x＋2z过点(2,0)时， z 取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
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(2)
由
条
件
得
x＋1≤y， y≤2x，
即
x－y＋1≤0， 2x－y≥0，
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[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域； (2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形 的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规 则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用 割补法求解． [提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
x<2y 选项 B 所表示的区域，故选 B. 答案：B
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3x＋y－6≥0， 2．(2019·河南豫北联考)关于 x，y 的不等式组x－y－2≤0，
x＋y－4≤0
表示的平面区域的面积为
()
A．3
B．52
C．2
D．32
解析：平面区域为一个直角三角形 ABC，其中 A(3,1)，
B(2,0)，C(1,3)，所以面积为12|AB|·|AC|＝12× 2× 8＝2，
－dc，－ba连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等
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对形如 z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先 点到直线 变形为 z＝ A2＋B2·|Ax＋A2B＋y＋B2C|的形式，将 距离型 问题化为求可行域内的点(x，y)到直线 Ax＋
By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍的最值
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考法三 线性规划中的参数问题
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题要点梳理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的符号即可判断Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．23.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 强化训练1．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为 A.12 B ．1 C.32D ．2 2．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是A ．(1－3，2)B ．(0,2)C ．(3－1,2)D ．(0,1＋3)3．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x 所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A.285B ．4 C.125 D ．2 4．若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是__________．5．如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式____________．6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．7．已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，则z 的最大值为________． 8．已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．. 9．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．10．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人的约束条件是________________．11．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？。
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题讲义
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题讲义一、知识梳理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念3．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．注意：1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．2．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．()(2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( )(3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( )(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．( )(5)线性目标函数的最优解是唯一的．( )(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( )(7)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )题组二 教材改编2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )3．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)题组三：易错自纠4．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( )A ．(0,0)B ．(－1,1)C ．(－1,3)D ．(2，－3)5．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为( ) A. 2 B ．2 2 C ．2 D ．46．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．三、典型例题题型一：二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1：不含参数的平面区域问题典例在平面直角坐标系中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C.12D.14命题点2：含参数的平面区域问题 典例 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43思维升华：(1)求平面区域的面积对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法求解．跟踪训练 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )(2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2题型二：求目标函数的最值问题命题点1：求线性目标函数的最值典例 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0， 则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9命题点2：求非线性目标函数的最值典例 若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12命题点3：求参数值或取值范围典例 变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有 ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．跟踪训练 (1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3 题型三：线性规划的实际应用问题典例 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？思维升华：解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．(5)检验：根据结果，检验反馈．跟踪训练 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 四、反馈练习1．下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－1，2x －y ＋2≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－1，2x －y ＋4≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥－2，2x －y ＋2≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥－2，2x －y ＋4≤02．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3， 则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A.23 B ．1 C.32D ．3 3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A ．－3 B ．1 C.43D ．3 5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元6．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是( ) A ．－2B ．2C ．－1D ．17．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)8．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是________．9．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．10．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x上的一个动点，则OM →·ON →的最大值是________．11．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为__________． 12．若点(1,1)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ mx ＋ny ≤2，ny －mx ≤2，ny ≥1表示的平面区域内，则m 2＋n 2的取值范围是__________．13．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为( ) A ．－1B ．－52＋17 C.13D ．－75 14．设P 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ，y ≥0，x －y ≥－1，x ＋y ≤3表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)，若OP →＝λm＋μn ，则2λ＋μ的最大值为________．15．已知点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y >x ，y <2x ＋1，则x ＋y x 2＋y 2的取值范围为______．。
二元一次不等式(组)与简单线性规划问题
实际问题转化为数学问题
识别问题中的决策变量
在简单线性规划问题中，首先需要识别出问题的决策变量，这些变量通常是问题中需要优化的量，如成本、时间、资源等。
明确问题的目标
确定问题的优化目标，即是求最大值还是最小值，以及对应的数学表达式。
列出约束条件
根据问题的实际情况，列出所有对决策变量的约束条件，这些条件通常以不等式或等式形式给出。
深入研究二元一次不等式(组)的性质和解法
将线性规划方法应用于更多领域，如经济、管理、工程等，解决实际问题。
拓展简单线性规划问题的应用领域
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汇报日期
01
二元一次不等式(组)的基本概念和解法
包括不等式(组)的定义、性质、解法等。
02
简单线性规划问题的建模与求解
包括线性规划问题的定义、建模方法、求解算法等。
学生自我评价报告分享
通过作业、测试和课堂表现等多种方式，展示了学生对本课程内容的掌握情况。
学习成果展示
部分学生分享了他们在学习过程中的有效方法和经验，如定期复习、多做练习、寻求帮助等。
选择一个初始基，并求出对应的基本可行解。
1.确定初始基本可行解
单纯形法计算步骤演示
单纯形法应用举例
1. 生产问题
某工厂生产A、B两种产品，每种产品都需要消耗一定的资源。通过单纯形法可以求解在资源有限的情况下，如何安排生产使得利润最大。
2. 运输问题
有若干个供应点和需求点，每个供应点有一定数量的货物，每个需求点有一定数量的需求。通过单纯形法可以求解如何安排运输方案使得总运费最小。
若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且两者最优值相等。
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题【考情分析】考试要求：线性规划A级要求会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【知识清单】1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域(1) 二元一次不等式表示的平面区域①一般地，直线y＝kx＋b把平面分成两个区域，y>kx＋b表示直线y＝kx＋b上方的平面区域，y<kx＋b表示直线y＝kx＋b下方的平面区域．②选点法确定二元一次不等式表示的平面区域首先任选一个不在直线上的点；然后检验这个点的坐标是否满足所给的不等式：若适合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧区域为不等式所表示的平面区域．(2)二元一次不等式组表示的平面区域不等式组中各个不等式表示平面区域的公共区域．2. 线性规划中的基本概念【课前预习】1. 若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则实数m的取值范围是_____．答案：－5<m<10解析：由题意可得(2×1＋3＋m)[2×(－4)－2＋m]<0，即(m＋5)(m－10)<0，所以－5<m<10.2. （必修481P改编）满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是.答案：2解析：当直线z x y=+过点B(1,1)时，z最大值为2.3. 如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式为_________. 答案 x ＋y －1>0解析：平面区域的边界线方程为x 1＋y1＝1，即x ＋y －1＝0.所以平面区域满足不等式是x ＋y －1>0. 4. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，2x －y ≤4，x －y ≥0所围成的平面区域的面积为 . 答案：3解析：如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC ，其中A (2,0)，B (4,4)，C (1,1)，所求平面区域的面积为S △ABO －S △ACO ＝12(2×4－2×1)＝3. 5. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋y ≥2，y ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y 2的取值范围为 . 答案： [2,13]解析：作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数yxOA看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得z min ＝|OA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|0＋0－2|12＋122＝2， z max ＝|OB |2＝32＋22＝13.故z 的取值范围为[2,13]． 【典型例题】目标1 二元一次不等式(组)表示的平面区域 例1不等式组20,220,0,x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域的面积为.解析：由20220x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得交点为A ()2,0由20x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得交点为B ()1,1．由220x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得交点为C 22,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以面积11212122233S =⨯⨯-⨯⨯=．【借题发挥】变式 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m ＝ . 答案：1解析：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m ，1＋m )．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－43m ，23＋23m ， 所围成的区域为△ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2＝43，解得m ＝－3(舍去)或m ＝1. 【规律方法】二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：（1）直线定界，测试点定域．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．（2）注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．【同步训练】在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a .(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么a 的值为________． 答案：1解析：在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到直线x ＋y ＝0与直线x －y ＋4＝0的交点坐标是(－2,2)，点(－2,2)到直线x ＝a (其中a ＞－2)的距离为a ＋2．易知直线x ＝a 与x ＋y ＝0、x －y ＋4＝0的交点坐标分别是(a ，－a )、(a,4＋a )．结合图形及题意知12[(4＋a )＋a ](a ＋2)＝9，即(a ＋2)2＝9．又易知a ＞－2，因此a ＝1． 目标2 求线性目标函数的最值 例2 若实数x ，y 满足1213y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，求目标函数z x y =-的最值。
二元一次不等式组与简单线性规划
二元一次不等式组与简单线性规划一、重点叙述1.二元一次不等式表示的平面区域：①定义:一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式或表示平面上的区域,称为二元一次不等式表示的平面区域。
如图:②表示:在平面直角坐标系中,二元一次不等式表示直线某一侧所有点组成的平面区域。
把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线,若画不等式表示的平面区域时,此区域包括边界直线,则把边界直线画成实线。
③判断方法:由于对在直线同一侧的所有点,把它的坐标代入,所得的实数的符号都相同,所以只需在这条直线的某一侧取一个特殊点,以的正负情况便可判断表示这一直线哪一侧的平面区域,特殊地,当时,常把原点作为特殊点判断。
2. 简单线性规划问题：①线性规划问题概念的界定:在实际问题中形成的二元一次不等式组是一组对变量的约束条件,由于这组约束条件都是关于的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件(线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示)。
是欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式,我们把它称为目标函数。
由于又是关于的一次解析式,所以又可叫做线性目标函数。
一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。
那么,满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。
在解决实际问题中,可行域是用阴影部分表示的平面区域,其可行解就是使目标函数取得最大值和最小值,无论可行解多少,它们都叫做这个问题的最优解。
②简单线性规划图解法的基本步骤:Ⅰ、根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域);Ⅱ、设,画出直线;Ⅲ、观察、分析,平移直线,从而找到最优解;Ⅳ、最后求得目标函数的最大值及最小值。
③简单线性规划模型方法与应用步骤:Ⅰ、简单线性规划模型方法;Ⅱ、简单线性规划应用步骤:⑴由实际背景寻找线性约束条件,建立线性目标函数;⑵由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;⑶在可行域内求目标函数的最优解;⑷注意检查问题的实际意义。
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高考复习资料
第四十三讲 二元一次不等式（组）与简单线性规划
知识回顾
1、线性规划的有关概念
（1）线性规划的约束条件：由条件列出的不等式组；
（2）目标函数：由条件列出的函数表达式；
（3）可行域：由约束条件得到的平面区域中的每一点构成的集合；
（4）最优解：在可行域中使目标函数取得满足最值条件的解。
2、利用图形解决线性规划问题的一般步骤
（1）作出可行解、可行域，将每个不等式所表示的区域逐个表示出来，再求公共部分。
（2）作出目标函数的等高线
（3）确定最优解，在可行域内平移目标函数的等高线，从而确定最优解。
典型例题
例题1、已知变量x ，y 满足下列条件2132231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，分别求：
（1）设2z y x =-，z 的最大值；（2）设22z x y =+，z 的最值。
例题2、已知变量x ，y 满足约束条件14,22x y x y ≤+≤-≤-≤，若目标函数z ax y =+（其中a>0）仅在点(3,1)处取得最大值，则求a 的取值范围。
专题六第四十三讲
巩固练习题
一、选择题
1、已知点00(,)P x y 不在直线:0(0)l Ax By C B ++=≠上，则在下列各条件中，P 点在直线l 下方的充要条件是( )
A 、000Ax By C ++>
B 、000Ax By
C ++<
C 、00()0B Ax By C ++<
D 、00()0B Ax By C ++>
2、在平面直角坐标系中，不等式组20202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积是 ( )
A 、3
B 、4
C 、5
D 、6
3、实数x ，y 满足1020240y x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则21y x ++的取值范围为 ( ) A 、10(0,]11 B 、10(0,)11 C 、12(0,)11 D 、12(0,]11
4、已知点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩
表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是 ( )
A 、[2,1]--
B 、[2,1]-
C 、[1,2]-
D 、[1,2]
二、填空题
5、满足2x y +≤的点(,)x y 所表示的区域面积为___________________________________。
6、已知变量x ，y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩
，若目标函数(0)z ax y a =+>仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取
值范围为______________________________。
7、如果过点(0,1)斜率为k 的直线l 与圆2240x y kx my +++-=交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线0x y +=对称，
那么直线l 的斜率k=_____________________；不等式1000kx y kx my y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
表示的平面区域的面积是_______________。
8、实系数方程220x ax b ++=的两根为12,x x ，且12012x x ≤<<≤，则
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b a --的取值范围是___________________。
高考复习资料
三、解答题
9、若二次函数()y f x =的图像经过原点，且1(1)2,3(1)4,f f ≤-≤≤≤求(2)f -的范围。
10、设实数x 、y 满足不等式组14223x y y x ≤+≤⎧⎪⎨+≥-⎪⎩。
（1）求点(,)x y 所在的平面区域； （2）设1,a >-在（1）所求的区域内，求函数(,)f x y y ax =-的最大值和最小值。