中考数学第22讲与圆有关的计算复习教案2 (新版)北师大版

北师大版六年级下册教学设计《圆-圆的认识(二)》

北师大版六年级下册教学设计《圆－圆的认识（二）》一. 教材分析《圆－圆的认识（二）》这一课是北师大版六年级下册数学课程的一部分，主要让学生进一步认识圆的性质，掌握圆的周长和面积的计算方法。

通过本节课的学习，学生能够理解圆的周长和面积在实际生活中的应用，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆有了初步的认识。

他们在学习本节课的内容时，需要进一步加深对圆的特征的理解，掌握圆的周长和面积的计算方法。

此外，学生需要通过实际操作和思考，将所学知识应用于解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够掌握圆的周长和面积的计算方法，理解圆的性质。

2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考，培养解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣，感受数学与生活的联系。

四. 教学重难点1.重点：圆的周长和面积的计算方法。

2.难点：理解圆的性质，将所学知识应用于解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境，引导学生认识圆的周长和面积。

2.动手操作法：让学生亲自动手，观察、探讨圆的性质。

3.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和解决问题。

六. 教学准备1.教具：圆的模型、圆规、直尺、绳子等。

2.学具：每位学生准备一个圆，以及用于测量和计算的工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中的圆形物品，如车轮、圆桌等，引导学生关注圆的特征。

提问：“你们知道这些物品为什么是圆形的吗？”激发学生的兴趣，引发思考。

2.呈现（10分钟）教师介绍圆的周长和面积的计算方法，引导学生理解圆的性质。

通过实物演示和讲解，让学生初步掌握圆的周长和面积的计算公式。

3.操练（10分钟）学生分组进行动手操作，用绳子测量圆的周长，用直尺和圆规计算圆的面积。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）教师提出一些有关圆的周长和面积的问题，让学生进行讨论和解答。

中考数学第22讲与圆有关的计算复习教案2

课题：第22讲与圆有关的计算教学目标：1．掌握：正多边形和圆的有关概念；弧长公式及扇形面积公式．2．会：进行正多边形的有关计算，计算弧长及扇形的面积，借助分割的方法与转化的思想巧求阴影部分图形的面积．3．通过本节的复习，进一步体会数学中的化归思想，在解决问题的过程中了解数学的价值，增强“用数学”的信心．重点与难点：重点：正多边形的有关计算，弧长及扇形的面积的计算，与圆有关的阴影面积的计算．难点：与圆有关的阴影面积的计算．课前准备：：制作学案、多媒体课件．教学过程：一、考点自主梳理，热身反馈考点1 正多边形的有关计算（多媒体出示）【热身训练】1．（2013•咸宁）如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（）A．30°B． 36°C． 38°D． 45°2．（2013•天津）正六边形的边心距与边长之比为（）A．：3 B．：2 C． 1：2 D．：23．(2013·绵阳中考)如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为( )A．6 mm B．12 mm C．6 mm D．4 mm4．（2013•自贡）如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【归纳总结】1．概念：正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的；外接圆的半径叫做第2题图这个正多边形的半径，正多边形每一条边所对的叫做正多边形的中心角；中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的．2．计算：设正n 边形的半径为n R ，边心距为n r ，则：⑴正n 边形的每个内角为；每个外角为；中心角为； ⑵正n 边形的边长为； ⑶正n 边形的边心距为； ⑷正n 边形的面积为．处理方式：先让学生独立做【热身训练】，师生共同校对答案，然后自主梳理归纳正多边形的有关概念及正多边形与圆的关系．考点2 弧长及扇形的面积（多媒体出示）【热身训练】1．（2014▪北海）已知一个扇形的半径为12，圆心角为150°，则此扇形的弧长是（）A ．5πB ．6πC ．8πD ．10π 2．（2014▪东营）如图，已知扇形的圆心角为60︒ 则图中弓形的面积为（）ABCD3．（2014▪衡阳）圆心角为120，弧长为12π的扇形半径为（） A ．6 B ．9 C ．18 D ．36 4．（2014•绥化）一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为（结果保留π）5．（2014•河北）如图，将长为8cm 的铁丝首尾相接围成半径为2cm 的扇形．则S 扇形= cm 2．【归纳总结】1．弧长公式：设弧所对的圆心角为︒n ，所在圆的半径为R ，则弧长为． 2．扇形面积公式：设扇形的圆心角为︒n ，所在圆的半径为R ，l 为扇形弧长，那么扇形的面积为，或．处理方式：先让学生独立做【热身训练】，师生共同校对答案，然后自主梳理归纳弧长与扇形面积公式．【知识树】设计意图：通过设计“热身训练”，让学生在解题的过程中回顾正多边形、弧长与扇形的相关知识,再借助知识树让学生将零散、孤立的知识形成网络，完成知识脉络的梳理，明确正多边形、弧长与扇形在相应的知识体系中的位置，有助于学生掌握知识的纵横联系，为下一步灵活运用这些知识打好基础．二、考向互动探究，方法归纳探究一正多边形的有关计算例1 (2014▪天津)正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（） A ． B ． 2 C ． 3 D ． 2处理方式：先找两名学生板演，其余学生在练习本上完成，师生共同纠错，然后教师引导学生归纳这一类题目的解法（多媒体出示）：【方法归纳】：正多边形的有关计算的常用公式(1)有关角的计算：正n 边形的内角和，外角和、中心角； (2)有关边的计算：①2222R a r =⎪⎭⎫⎝⎛+(r 表示边心距，R 表示半径，a 表示边长).②na l =(l 表示周长，n 表示边数，a 表示边长). ③S 正n 边形=lr 21(l 表示周长，r 表示边心距).探究二弧长及扇形的面积例2 （2014•兰州）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A ′B ′C ′，则点B 转过的路径长为（）A ．B ．C ．D ． π例3 （2014•莆田）如图，点D 是线段BC 的中点，分别以点B ，C 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧相交于点A ，连接AB ，AC ，AD ，点E 为AD 上一点，连接BE ， CE ．（1）求证：BE=CE ；（2）以点E 为圆心，ED 长为半径画弧，分别交BE ，CE 于点F ，G ．若BC=4，∠EBD=30°，求图中阴影部分（扇形）的面积．处理方式：先找两名学生板演，其余学生在练习本上完成，师生共同纠错，然后教师引导学生归纳这一类题目的解法（多媒体出示）：【方法归纳】：1．解决动点运动的路线长问题，通过探究得出这个点所经过的路线情况，利用弧长公式求出运动的路线长．2.当已知半径r 和圆心角的度数n 求扇形面积时，应选用3602r n S π=扇；当已知半径r 和弧长l 求扇形面积时，应选用公式lr S 21=扇．探究三与圆有关的阴影面积的计算例4 （2014▪昆明）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，D 是边AC 上的一点，连接BD ，使∠A=2∠1，E 是BC 上的一点，以BE 为直径的⊙O 经过点D. （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若∠A=60°，⊙O 的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）处理方式：先让学生独立思考，然后小组交流，再找两名学生板演，其余学生在练习本上完成，师生共同纠错，然后教师引导学生归纳这一类题目的解法（多媒体出示）：【方法归纳】：与圆有关的阴影面积的计算最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积，常用的方法有：1．直接用公式求解；2.将所求面积分割后，利用规则图形面积的和差求解；3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．4．将所求面积分割后，利用旋转，将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．设计意图：通过本环节复习使学生掌握求解与圆有关的阴影面积的计算的基本方法，在做的过程中逐步领悟转化的思想方法，进而提高学生分析问题及解决问题的能力，培养学生在解题的过程中及时总结的习惯．三、回顾反思，提炼升华活动内容：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．处理方式：学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．四、达标检测，反馈提高（多媒体出示）活动内容：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．1.（2014▪自贡）一个扇形的半径为8cm ，弧长为316cm ，则扇形的圆心角为（） A ．60° B ．120° C ．150° D ．180°2．（2014•莱芜）如图，AB 为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B 顺时针旋转45°，点A 旋转到A ′的位置，则图中阴影部分的面积为（）A ．πB ．2πC ．D ．4π3．（2014•日照）如图，正六边形ABCDEF 是边长为2cm 的螺母，点P 是FA 延长线上的点，在A 、P 之间拉一条长为12cm 的无伸缩性细线，一端固定在点A ，握住另一端点P 拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点P 运动的路径长为（） A ．13πcm B ．14πcmC ．15πcmD ．16πcm4．（2014▪南京）如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD= ．5．(2014▪绵阳)如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为cm2．（结果保留π）6.（2013•内江）如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为cm．7．(2014▪黔西南州)如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生同位互批，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．五、布置作业，课堂延伸（多媒体出示）拓展作业：1．（2014▪南充）如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，将矩形ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转，则点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A ．25π2B．13πC ．25πD ．2．（2014▪烟台）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为4，则阴影部分的面积等于．3．(2014▪河南)如图，在菱形ABCD 中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB ′C ′D ′，其中点C 的运动路径为，则图中阴影部分的面积为．4．（2014•乐山）如图．在正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧．以D 为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S 1、S 2．则S 1﹣S 2= ． 5．（2014•吉林）如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠．若和都经过圆心O ，则阴影部分的面积是（结果保留π）AB CDl第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图板书设计：。

2019-2020学年九年级数学下册 7.4 圆的有关计算复习教案北师大版.doc

2019-2020学年九年级数学下册 7.4 圆的有关计算复习教案北师大版教学目标：1.复习与圆有关的计算公式.2.体验公式的推导过程，会用公式计算弧长、扇形面积、圆锥侧面积和全面积等问题.3.通过多种手段，提高学生复习兴趣和复习效率.教学方法：“圆”是历年中考的重点内容，“圆的有关计算”是其重要组成部分.由于世界上很多著名的建筑都与圆（的计算）有关，为了达到更好的复习效果，本课以“去世界各地旅游”的方式，设计了以下几个环节：一、旅游前的准备——知识网络、考试要求、考点统计、要点回顾；二、旅游中的乐趣——中考真题回顾；三、旅游后的感想——规律方法总结.课前准备：教师：查阅各地中考真题，下载相关图片，制作几何画板、PPT课件；学生：备好《复习指导丛书》，九年级下册数学课本.教学过程：一、旅游前的准备——师：世界上很多著名建筑都与圆有关，当然，在建设它们时，都离不开圆的有关计算.这节课，老师将带领大家去这些地方旅游，一来欣赏壮丽风景，二来领略人类智慧！生1：太好了！我最喜欢旅游了！师：大家知道旅游前要做好哪些准备吗？生2：身份证、银行卡、换洗的衣服、急救的药品……师：呵呵，你真是个行家！只有做好了充分的准备，才能享受到旅游的乐趣！那么要复习好圆的有关计算，需要做好哪些准备呢？准备之一：知识网络师：我们都知道，数学包括“数”和“形”两大部分，“数”中最重要的是“函数”，而“形”的压轴大戏是“圆”，“圆”的压轴部分就是“圆的有关计算”.下面的“知识树”可以反映这一关系：生：（识图、体会圆的地位作用）准备之二：考试要求师：在中考时，圆的有关计算一定会考，请一位同学读一下考试要求（利用PPT出示）：生3：(读考试要求)1.会计算弧长及扇形面积；2.会计算圆锥侧面积和全面积.师：这是我们《复习丛书》上的考试要求，其实，圆的有关计算还应该包括求圆的半径（直径）、弦长、圆心角、圆周角、点到圆心的距离、直线到圆心的距离、两圆的圆心距等等. 生：哦，我们记住了.师：这些内容，我们前面已经复习过了，今天的重点还是放在前两点上.准备之三：考点统计师：关于圆的有关计算，老师针对2012年的中考数学试题，作了一个简单统计.请看下表：考查的知识点考题形式考查频率求面积准备之四：要点回顾师：本节考点以公式为主，你还记得下面这些公式吗？（利用PPT 出示填空）1. 弧长公式：l =______________（其中l 为n °的圆心角所对的弧长）.2. 扇形的面积公式：S =_________=__________.3. 圆锥侧面积公式：S 圆锥侧=__________；圆锥全面积公式：S 圆锥全=__________.生4：1.180n Rl π= 2.213602n R S lR π== 3. S 圆锥侧=rl π S 圆锥全=2()rl r r l r πππ+=+师：还记得它们是怎样推导出来的吗？生5：弧长公式是借助圆的周长公式推导出来的：扇形面积公式是借助圆的面积公式推导出来的：生6：圆锥侧面展开图是扇形，因此圆锥侧面积是借助扇形面积公式推导出来的；全面积就是侧面积+底面积得到的:设计意图：本环节意在让学生了解“圆的有关计算”的“知识网络”、“考试要求”、“考点统计”和“要点回顾”．为下面的做题做好充分的准备.C=2πRl=C 360=2πR 360=πR180=n πR180l=πR180×nS 扇形=n πR 2360=12×n πR 180×R=12lRS=πR 2实际效果：由于设计了“旅游”内容，学生的兴趣浓厚,对“圆的有关计算”有了较全面的认识.引起了学生做题的欲望.二、旅游中的乐趣——师：旅游前的准备已经很充分，现在就让我们跟随导游一起出发吧！【第一站】薛城奚仲广场——基础热身练习导游：我们家乡是造车鼻祖奚仲的故里，我们就先去奚仲广场看看吧！1. （2011聊城，14，3分）在半径为6cm 的圆中，60º圆心角所对的弧长为 cm.(结果保留π) 生7：根据弧长公式ππ2180660=⨯=l . 2．(2012重庆，14，4分)一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为_____（结果保留π）生8：根据扇形的面积公式：212033360S ππ==. 3．（2012贵州铜仁，6，4分）小红为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm,母线长为30cm 的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为（）A ．270πcm 2B ．540πcm 2C ．135πcm 2D ．216πcm2生9：根据圆锥侧面积公式：S 侧=πrl=9×30π=270π. ∴选A .【点评】以上3题考查三个公式的直接应用，要注意看清有没有“单位”，属于基础类型.权当旅游出发前的热身.【第二站】巴黎埃菲尔铁塔——弧长综合练习导游：埃菲尔铁塔是巴黎标志性建筑，它的底座是由四段圆弧组成.你会求比较复杂问题的圆弧的长度吗？4. （2012山东泰安，18，3分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若ABC ∠=120°，OC=3，则BC 的长为（） A.π B.2π D.3π D.5π生10：连接OB ，因为AB 是⊙O 的切线，所以OB ⊥AB ，∠ABO=90°，因为ABC ∠=120°，所以OBC ∠=30°.因为OB=OC ，所以∠C=∠B=30°，∠BOC=120°，所以BC的长l BC =12032180ππ=.∴选B. 【点评】圆的切线垂直于过切点的半径，连过切点的半径是圆中常作的辅助线之一；熟记弧长公式180n rl π=的求弧长的基础，设法求出弧所对圆心角的度数是关键（已知半径和条件下）。

九年级数学下册 3.1 圆教案2 (新版)北师大版

课题：3.1圆教学目标：1.掌握圆的定义及有关概念．2.掌握点与圆的位置关系以及如何确定点与圆的3种位置关系．3.经历自主学习点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系，进一步感悟“数与形”之间的对应关系．重点与难点：重点：点与圆的位置关系以及如何确定点与圆的3种位置关系．难点：会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系．课前准备：多媒体课件教学过程：一、创设情境，导入新课问题：看下图的投圈游戏，投圈目标都是图中的花瓶.他们呈一字排开，你若是其中一员，想站在哪里？为什么？对其他同伴公平吗？你认为排成什么样的队形才公平？处理方式：由学生口答完成.设计意图：结合学生熟悉的生活实例提出问题，学生调动自己的现实生活经验，以及以往学过的知识，回答出问题：排成圆形对大家都公平.从而引入出新课.二、出示目标，确定学习内容多媒体出示：今天需要掌握两个内容和一个应用两个内容分别是：1．圆的定义和相关概念：圆心、半径、直径、弦、弧、半圆、等圆、等弧.2．点与圆的位置关系及与之相对应的数量关系.一个应用则是应用所学知识解决有关的实际问题.处理方式:给学生一分钟时间，各自了解本课时所要学习的内容.设计意图：直接明确目标，利于学生集中精力学习重点内容，学会抓住关键，提高自主学习效果，培养自学能力．三、自主学习，掌握新知活动内容1：请用五分钟时间看课本P65—66的内容，1．掌握圆的定义，与圆相关的概念：圆心、半径、直径、弦、弧、半圆、等圆、等弧. 2．掌握点与圆的三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内.3．理解与位置关系相对应的数量关系.处理方式:留给学生五分钟看课本，学生各自静静地看书、标注、思考；教师只是巡视，也不出声，看到没有集中精力看书的学生，也是悄悄地提醒一下.设计意图：本课时的概念比较多，适于学生自己学习总结，因而留出时间，让学生自己学习知识，教师只是给出具体的自学要求，让学生在自学要求的引导下，少浪费时间，迅速总结出所要掌握的本课时知识点.活动内容2：判断对错：1．直径的长是半径的长的2倍.2．两个半径就是一条直径.3．圆上的弧不是优弧就是劣弧.4．圆心定圆的大小，半径定圆的位置.5．直径是弦，弦也是直径.6．半径也是弦.处理方式:学生看完书后，立刻用多媒体出示问题组，让学生先独立思考得出自己的答案，然后再出示正确答案，让学生比较、思考，并说出解决问题的依据.设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主学习后，对定义、概念从感性认识上升到理性认识，帮助学生加深理解基本概念，而不是浮于表面文字的机械记忆，引导学生掌握圆的定义及相关的概念：1．圆：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.2．圆心定圆的位置；半径定圆的大小3．等圆：能够重合的两个圆叫做等圆 4．圆心为O 的圆的表示法：⊙5．弧的表示法：优弧ACD 记作ACD ；劣弧ABD 记作AD 或ABD ；参考答案：1．直径的长是半径的长的2倍.（ √ ）2．两个半径就是一条直径.（ × ）3．圆上的弧不是优弧就是劣弧.（× ）4．圆心定圆的大小，半径定圆的位置.（× ）5．直径是弦，弦也是直径.（× ）6．半径也是弦.（× ）活动内容2：在自己的练习本上用圆规画一个圆，回答下列问题：1．此圆把纸张分成了几部分？2．请你在每一部分中各找一点作为代表，写出点与圆的位置关系.3．设此圆的半径为r ，请写出与位置关系相对应的数量关系.处理方式:问题1由学生口答，问题2、3由一名学生在黑板上板书，其余学生在本子上完成.注意纠正出现的问题：先由学生相互纠正，再集体纠正.设计意图：学生在动手实践的过程中形成、比较、总结位置与数量的对应关系，自主探究、合作交流，感受数与形结合的关系.参考答案：1．有三种位置关系，如下所示若点A 在⊙O 内，则OA ＜r .若点B 在⊙O 上，则OB ＝r .若点C 在⊙O 外，则OC ＞r .D C活动内容3：练习题1．已知⊙O 的面积为25π，（1）若PO =5.5，则点P 在________.（2）若PO =4，则点P 在________.（3）若PO =______，则点P 在⊙O 上处理方式:学生通过独立计算、比较，完成填空内容.设计意图：通过此题的练习，使学生学习到解决此类问题的方法：找到两个关键的数量进行比较，即点到圆心的距离和半径的大小.参考答案：1．已知⊙O 的面积为25π，（1）若PO =5.5，则点P 在__⊙O 外 .（2）若PO =4，则点P 在___⊙O 内___.（3）若PO =__5__，则点P 在⊙O 上四、例题解析，应用新知例题1 已知如图△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB∠A=30°，AC=3cm以C 为半径画⊙C（1）指出点A,B,D 与⊙C 的位置关系.（2）若⊙C 经过点D ,求这个圆的半径.处理方式:模仿活动内容3的方法，学生先读题找思路，然后写出过程，不会的就近找援助相互商量，最后由一名学生在黑板上板书自己的思路，其余学生在本子上完成.教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．设计意图：加强训练本课时的重点与难点，帮助学生强化解题方法技能，同时强调解题过程的规范性、逻辑性.参考答案：解：（1）在△ABC 中∵∠ACB=90°∠A=30°∴BC AB =CD =32∵CB ∴点B 在⊙C 上∵CD =32DB A DB A∴点D在⊙C内∵CA=3∴点A在⊙C外（2）当⊙C经过点D时，半径CD=3 2 .例题2 设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形.（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形.（3）到点A的距离都小于2cm，且到点B的距离都大于2cm的所有点组成的图形.处理方式:由学生自己独立读题、画图，然后同位间比较，统一答案；三名学生在老师已经画好的模型上标出符合条件的图形.设计意图：通过此题的练习，深化学生对“位置与数量”的对应关系的理解，也了解“满足两个条件的公共部分”的确定方法；也通过例题的应用，了解学生掌握所学知识的状况，及时发现问题，及时点拨、巩固．参考答案：五、巩固反思，提炼升华同学们，学习的好习惯之一，就是每学一课必做小结，做到者必定优秀，数学的学习更是如此.通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．处理方式: 学生之间相互畅谈自己的收获，再由个别学生总结发言，最后看黑板上的提示内容.设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学内容进行梳理、分类，融入自己的知识系统；养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．六、自我评测，巩固新知比一比，赛一赛，看谁做得快.1．平面上到________的距离等于________的所有点组成的图形叫做圆.其中，________称为圆心，________称为半径，圆心和半径分别确定圆的________和________.2．点与圆的位置关系.（1）点在圆内，即这个点到圆心的距离（d）________半径（r）.（2）点在圆上，即这个点到圆心的距离（d）________半径（r）.（3）点在圆外，即这个点到圆心的距离（d）________半径（r）.3．已知OP=4cm，以O点为圆心，以r为半径画圆，点P在⊙O外，则r的取值范围是________ 4．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法不正确的是（）A、当a＜5时，点B在⊙A内.B、当1＜a＜5时，点B在⊙A内.C、当a＜1时，点B在⊙A外.D、当a＞5时，点B在⊙A外.5．求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.处理方式:学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．参考答案：1．平面上到_定点_的距离等于定长_的所有点组成的图形叫做圆.其中，_定点_称为圆心，定长_称为半径，圆心和半径分别确定圆的位置_和_大小_.2．点与圆的位置关系.（1）点在圆内，即这个点到圆心的距离（d）_＜_半径（r）.（2）点在圆上，即这个点到圆心的距离（d）_=__半径（r）.（3）点在圆外，即这个点到圆心的距离（d）＞__半径（r）.3．若OP=4cm，以O点为圆心，以r为半径画圆，点P在⊙O外，则r的取值范围是r＜4. 4．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法不正确的是（A）A、当a＜5时，点B在⊙A内.B、当1＜a＜5时，点B在⊙A内.C、当a＜1时，点B在⊙A外.D、当a＞5时，点B在⊙A外.5．求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.依据：圆的定义.七、布置作业，课堂延伸1．必做题，课本P66—P69课后习题（已做完的不再做）及助学P251知识梳理.2．选做题，助学P251自主评价（学有余力的做完）.3．预习下一课时，并制作两三个圆形纸片.八、板书设计若点A在⊙O内OA＜r.若点A在⊙O上OA＝r.若点A在⊙O外OA＞r.。

中考数学第22讲与圆有关的计算复习教案 (新版)北师大版

第二十二讲与圆有关的计算教学目标：1．会计算弧长及扇形的面积．2．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系．3．会利用基本作图作圆的内接正四边形和内接正六边形．教学重点与难点：重点：掌握弧长及扇形的面积的面积公式．难点：灵活运用弧长及扇形的面积的面积公式进行有关计算.课前准备：课件、导学案教学过程：教学过程：一、中考调研，考情播报活动内容：（多媒体出示复习目标）1．会计算弧长及扇形的面积．2．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系．3．会利用基本作图作圆的内接正四边形和内接正六边形．处理方式：利用多媒体出示复习目标．设计意图：在这一环节中，通过目标的揭示，让学生明确了复习内容和要求，为本节课的复习指明了方向．二、基础梳理，考点扫描活动内容：（复习导学案出示回顾内容）考点一正多边形1．正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．2．正多边形与圆的关系可以这样表述：把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n边形．利用这一关系可以判定一个多边形是否是正多边形或作出一个正多边形．这个圆是这个正多边形的外接圆；正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距．3．对称性：①正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心．②正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心． ③正多边形的旋转对称性：正多边形都是旋转对称图形，最小的旋转角等于中心角．考点二弧长及扇形的面积1. 弧长公式：（其中l 为n °的圆心角所对的弧长）2. 扇形的面积公式：213602n R S lR π==考点三求不规则图形和阴影部分图形面积的几种常见方法(1)公式法； (2)割补法；(3)拼凑法； (4)等积变形构造方程法；考点四图形的变换在图形的翻（旋）转、滚动、翻折中求弧长或面积考点五圆的计算的综合应用求弧长、求面积以及与函数有关的综合题设计意图:这一节课的知识点较多，如果用课堂时间来看书梳理很占用时间，因此通过“导学案”形式让学生在上课之前回顾整理相关知识，这样既节省时间又培养了学生自主学习的习惯．三、典例分析，导练结合活动内容1：（多媒体出示）考点一：正多边形例1 如图，正六边形ABCDEF 的边长为6cm ，求这个正六边形的外接圆半径R 、边心距r 6、面积S 6．处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考查知识点．设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对正多边形的有关知识有更深层次的理解和认识，从而实现由理解到应用的质的跨越．跟踪训练：1． (2013山东滨州)若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为180n Rl π=( )A ．6， B． 3 C ．6，3 D．， 2．圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P ，则∠APB 的度数是（）．A ．36°B ．60°C ．72°D ．108° 活动内容2：（多媒体出示）考点二弧长及扇形的面积例2 （1）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若ABC ∠=120°，OC =3，则BC 的长为（）A.πB.2πC.3πD.5π（2）在平面内，将长度为4的线段AB 绕它的中点M ，按逆时针方向旋转30°，则线段AB 扫过的面积为____ .处理方式：对于（1）中求弧长，让学生讨论交流怎么办？需要加什么辅助线？教师不要直接给出做法，要适时引导，然后师生共同总结办法．（2）中线段AB 扫过的面积是什么图形？让学生去发现方法．设计意图：圆的切线垂直于过切点的半径，连过切点的半径是圆中常作的辅助线之一；熟记弧长公式180n rl π=是求弧长的基础，设法求出弧所对圆心角的度数是关键；要善于利用数形结合思想画出图形利用公式求解．跟踪训练：(1) 在半径为6cm 的圆中，60º圆心角所对的弧长为 cm.(结果保留π) (2) 一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为_____（结果保留π）处理方式：由两名学生板演，其余学生在导学案上完成．完成后，让学生对板演的同学进行评价，教师及时点评．设计意图：通过巩固训练题组的处理，促使学生将所学知识加以应用，在应用中加深对知识的理解．活动内容3：（多媒体出示）考点三求不规则图形和阴影部分图形面积的几种常见方法例3 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝，则阴影部分图形的面积为（）B3π2A ．4πB ．2πC ．πD ．处理方式：由于题目中的图形不是规则图形，因此要将该图形的面积转化成易求的规则图形来解决，让学生思考：怎样添加辅助线来达到转化的目的？动员学生先尝试解决，然后交流．设计意图：圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合．解答此题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键．跟踪训练：1.如图，在⊙O 中，直径AB=2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C =45°，则（1）BD 的长是 ; （2）求阴影部分的面积．2.如图，在平行四边形ABCD 中，AD =2，AB =4，∠A =30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是______（结果保留π）．处理方式：由两名学生板演，其余学生在导学案上完成，完成后师生共评．设计意图：通过巩固训练题组的练习，使学生加深对该知识点的理解和掌握．活动内容4：（多媒体出示）考点四图形的变换例4 （1）如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC=3，∠ACB =90o，∠A =30o，若Rt △ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线上l 时，点A 所经过的路线的长为________________（结果用含л的式子表示）．AC（2）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了（） A ．2周 B ．3周C ．4周D ．5周处理方式：由学生先分析确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度，第（2）题最容易出错的地方就是在顶点处的旋转，难度较大，教师要引导学生动手操作一下，正确答案就出来了．设计意图：解答旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提，另外计算连续的弧长问题，注意旋转规律，进行多次循环旋转的有关弧长之和的计算. 跟踪训练：（1）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为（）A ．10πBCD ．π（2）如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，半径OA =6．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠．点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，求整个阴影部分的周长和面积．处理方式：要求学生独立完成，但教师要视情况个别辅导．设计意图：第（1）题考查的知识点有网格中的勾股定理求AC ,第（2）题考查了折叠的性质、扇形面积公式、弧长公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．活动内容5：（多媒体出示）考点五圆的计算的综合应用例5 如图在△ABC 中,BE 是它的角平分线,∠C =900,D 在AB 边上,以DB 为直径的半圆O 经过点E 交BC 于点F ． (1)求证:AC 是⊙O 的切线;(2)已知sin A =12 ,⊙O 的半径为4,求图中阴影部分的面积.ABC处理方式：教师要引导学生添加正确的辅助线，同时学会转化求阴影部分的面积．设计意图：本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线．四、回顾反思，提炼升华经过本节课的回顾与复习,你对这部分知识是否有了新的认识?你还存在哪些困惑?和你的同桌交流一下．处理方式：给学生2分钟左右的时间，让学生自主交流课堂实践的经历、感受和收获，然后找2—3名学生尝试谈谈自己的收获．设计意图：教师鼓励学生交流课堂实践的经历、感受和收获；培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构，培养学生的自我评价能力、反思意识及总结能力．五、达标检测，反馈提高活动内容：课堂检测（出示多媒体）1．如图，将边长为1 cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动(不滑动)，点B 从开始到结束，所经过路径的长度为( )A ．32π cmB ．(2＋23π) cmC ．43π cm D ．3 cm2．(2014·黔西南州)如图，点B ，C ，D 都在⊙O 上，过C 点作CA ∥BD 交OD 的延长线于点A ，连接BC ，∠B ＝∠A ＝30°，BD ＝2 3.(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)求由线段AC ，AD 与弧CD 所围成的阴影部分的面积．(结果保留π)处理方式：学生独立完成，对学生错误较多的题目进行讲解．设计意图：检验学生对本节所复习到的知识的理解能力和运用程度．六、布置作业课后促学《初中复习指导丛书》强化训练126—128题板书设计。

中考复习教案圆

圆教学目标：1．立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基本技能.2．让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．3．通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．教学重点与难点重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，．难点：把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识．教学时间：6课时【课时分布】圆的部分在第一轮复习时大约需要6个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排.2、基础知识（1）掌握圆的有关性质和计算① 弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.② 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．③ 在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.④ 圆内接四边形的性质:圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.（2）点与圆的位置关系① 设点与圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则点在圆外d r ⇔>；点在圆上d r ⇔=；点在圆内d r ⇔<．② 过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. 一个三角形有且只有一个外接圆.③ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.（3）直线与圆的位置关系① 设圆心到直线l 的距离为d ，圆的半径为r ，则直线与圆相离d r ⇔>；直线与圆相切d r ⇔=；直线与圆相交d r ⇔<．② 切线的性质:与圆只有一个公共点；圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径.③ 切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.④ 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心到三角形三边的距离相等.⑤ 切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.⑥ 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.（4）圆与圆的位置关系① 圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.设两圆心的距离为d ，两圆的半径为12r r 、，则两圆外离12d r r ⇔>+两圆外切12d r r ⇔=+两圆相交1212r r d r r ⇔-<<+两圆内切12d r r ⇔=-两圆内含12d r r ⇔<- ② 两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴.由对称性知:两圆相切，连心线经过切点. 两圆相交，连心线垂直平分公共弦.③ 两圆公切线的定义:和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线.两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线.两个圆在公切线两旁时,这样的公切线叫做内公切线.④ 公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.（5）与圆有关的计算① 弧长公式：180n r l π= 扇形面积公式：213602n r S lr π==扇形（其中为n 圆心角的度数，r 为半径）② 圆柱的侧面展开图是矩形．圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．圆柱的侧面积＝底面周长×高圆柱的全面积＝侧面积＋２×底面积③ 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体．④ 圆锥的侧面积＝12×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积 3、能力要求例1 如图，AC 为⊙O 的直径，B 、D 、E 都是⊙O 上的点，求∠A +∠B +∠C 的度数.【分析】由AC 为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连结AE ，这样将∠CAD （∠A ）、∠C 放在了△AEC 中，而∠B 与∠EAD 是同弧所对的圆周角相等，这样问题迎刃而解．【解】连结AE∵AC 是⊙O 的直径 ∴∠AEC =90O∴∠CAD +∠EAD +∠C =90O∵ED ED =⌒⌒∴∠B =∠EAD ∴∠CAD +∠B +∠C =90O【说明】这里通过将∠B 转化为∠EAD ，从而使原本没有联系的∠A 、∠B 、∠C 都在 △AEC 中，又利用“直径对直角”得到它们的和是90O ．解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”，另一方面也注意到了将“特殊的弦”（直径）转化为“特殊的角”（直角），很好地体现了“转化”的思想方法．例2 △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，∠C =90O ，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，求AD 的长．【分析】圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解，所以作CH ⊥AB ，这只要求出AH 的长就能得出AD 的长．【解】作CH ⊥AB ，垂足为H∵∠C =90O ，AC ＝6，BC ＝8 ∴AB =10∵∠C =90O ， CH ⊥AB∴2AC AH AB = 又∵AC ＝6， AB =10 ∴ AH ＝3.6∵CH ⊥AB ∴AD =2AH ∴AD =7.2C A答：AD 的长为7.2．【说明】解决与弦有关的问题，往往需要构造垂径定理的基本图形——由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形，它是解决此类问题的关键.定理的应用必须与所对应的基本图形相结合，教师在复习时要特别注重基本图形的掌握.例3 (１)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CAE =∠B ，试说明AE 与⊙O 相切于点A ．(２)在（１）中，若AB 为非直径的弦，∠CAE =∠B ，AE 还与⊙O 相切于点A 吗？请说明理由．(1) (2)【分析】第(１)小题中，因为AB 为直径，只要再说明∠BAE 为直角即可．第(２)小题中，AB 为非直径的弦，但可以转化为第(１)小题的情形．【解】 (１)∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠C =90O∴∠BAC ＋∠B =90O又∵∠CAE =∠B ∴∠BAC ＋∠CAE =90O即∠BAE =90O ∴AE 与⊙O 相切于点A ．(２)连结AO 并延长交⊙O 于D ，连结CD .∵AD 是⊙O 的直径 ∴∠ACD =90O∴∠D ＋∠CAD =90O又∵∠D =∠B ∴∠B ＋∠CAD =90O又∵∠CAE =∠B ∴∠CAE ＋∠CAD =90O即∠EAD =90O ∴AE 仍然与⊙O 相切于点A ．【说明】本题主要考查切线的识别方法．这里可以引导学生依据第(1)小题的特殊情况,大胆提出猜想,渗透“由特殊到一般”的数学思想方法，这对于学生的探索能力培养非常重要.E B A D EAB例4 如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5．（1）若，求CD 的长．（2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留）．【分析】图形中有 “直径对直角”，这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形，求CD 的长就转化为求DE 的长.第（2）小题求扇形OAC 的面积其关键是求∠AOD 的度数，从而转化为求∠AOD 的大小．【解】（1） ∵AB 是⊙O 的直径，OD ＝5∴∠ADB ＝90°，AB ＝10又∵在Rt △ABD 中，3sin 5BD BAD AB ==∠ ∴∵∠ADB ＝90°，AB ⊥CD ∴ BD 2=BE ·AB CD = 2DE∵AB ＝10∴BE =185在Rt △EBD 中，由勾股定理得 ∴答：CD 的长为485．（2）∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD∴∴∠BAD ＝∠CDB ，∠AOC ＝∠AOD∵AO ＝DO ∴∠BAD ＝∠ADO∴∠CDB ＝∠ADO设∠ADO ＝4k ，则∠CDB ＝4k由∠ADO ：∠EDO ＝4：1，则∠EDO ＝k∵∠ADO ＋∠EDO ＋∠EDB ＝90° ∴4490k k k ++=︒ 得k ＝10°∴∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°∴∠AOC＝∠AOD＝100°则答：扇形OAC的面积为125 18π【说明】本题涉及到了圆中的重要定理、直角三角形的边角关系、扇形面积公式等知识点的综合，考查了学生对基本图形、基本定理的掌握程度．求DE长的方法很多，可以用射影定理、勾股定理，也可以运用面积关系来求，但都离不开“直角三角形及斜边上的高”这个基本图形．解题中也运用了比例问题中的设k法，同时也渗透了“转化”的思想方法．例5 半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4 : 3，点P在半圆AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.(l)当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；(2)当点P运动到半圆AB的中点时，求CQ的长；(3) 当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．【分析】当点P与点C关于AB对称时，CP被直径垂直平分，由垂径定理求出CP的长，再由Rt△ACB∽Rt△PCQ，可求得CQ的长．当点P在半圆AB上运动时，虽然P、Q点的位置在变，但△PCQ始终与△ACB相似，点P运动到半圆AB的中点时，∠PCB＝４５O，作BE⊥PC于点E，CP＝PE+EC．由于CP与CQ的比值不变，所以CP取得最大值时CQ也最大．【解】(l)当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=900.∴AB=5，AC：CA=4：3∴BC=4，AC=3S Rt△ACB=12AC·BC=12AB·CD∴1224,.55 CD PC==∵在Rt△ACB和Rt△PCQ中，∠ACB＝∠PCQ=900, ∠CAB＝∠CPQ，∴ Rt △ACB ∽Rt △PCQ∴ AC BC PC CQ = ∴ 43235BC PC CQ PC AC === (2)当点P 运动到弧AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E （如图）.∵P 是弧AB 的中点，∴045,PCB CE BE BC ∠==== 又∠CPB =∠CAB∴∠CPB = tan ∠CAB =43∴ 3tan 4BE PEBE CPB ===∠ 从而2PC PE EC =+= 由（l ）得，433CQ PC == (3）点P 在弧AB 上运动时，恒有43BC PC CQ PC AC == 故PC 最大时，CQ 取到最大值．当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为203 【说明】本题从点P 在半圆AB 上运动时的两个特殊位置的计算问题引申到求CQ 的最大值，一方面渗透了“由特殊到一般”的思想方法，另一方面运用“运动变化”观点解决问题时，寻求变化中的不变性（题中的Rt △ACB ∽Rt △PCQ ）往往是解题的关键．P。

2021年中考数学第一轮山东青岛复习北师大版九年级数学第二十二课时-与圆有关的计算和尺规作图

2021年中考数学第一轮复习北师大版九年级数学第二十二课时与圆有关的计算和尺规作图教材内容：九年级下册第三章第8-9节课标要求（一）计算1.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。

2.会计算弧长、扇形的面积。

（二）尺规作图1.会用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆，作三角形的外接圆、内切圆。

2.作圆的内接正方形和正六边形。

考点聚焦考点一圆内接正多边形一、例题讲解圆内接正多边形如图,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.二、针对练习1.在正六边形ABCDEF中，AC＝，则它的边长是_______2. 已知圆的半径是，该圆内接正六边形的面积_______1题图2题图三、中考链接1.（2015·青岛6）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB的大小为_______A.30°B.35°C.45°D.60°考点二弧长公式1.圆的周长公式：C=_______(r 为圆的半径).2.弧长公式：l=______(n 为圆心角的度数，r 为弧所在圆的半径）一、例题讲解如图，△ABC 为正三角形，曲线CDEF …叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD 、弧DE 、弧EF 的圆心依次为A 、B 、C 循环，它们依次相连接，如果AB=1，那么曲线CDEF 的长是 ______二、针对练习1．已知圆的半径为2，则90°的圆心角所对的弧长是 _______A ．πB ．2πC ．3πD ．4π2.半径是4的弧长为2π，则它的圆心角为________3. 分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形. 若正三角形的边长为6 cm ，则该莱洛三角形的周长为______ cm.4.正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，周长为24，弧BC 长______圆内接正三角形的周长______三、中考链接 1. （2019 青岛 5）．如图，线段 AB 经过⊙O 的圆心， AC ， BD 分别与⊙O 相切于点 C 、 D ，若 AC =BD = 4 ， ∠A=45 ︒，则弧CD 的长度为______A ．πB ．2πC ．22π D ．4π考点三扇形的面积3题图 4题图一、知识回顾（一）1.圆的面积公式：C =⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽(r 为圆的半径).2.扇形的面积公式：L =⎽⎽⎽⎽⎽⎽ = ⎽⎽⎽⎽⎽⎽ (n 为圆心角的度数，r 为扇形的半径).（二）针对练习1．圆心角为180°.半径为6 cm 的扇形的面积为( )A ．6π cm 2B ．12π cm 2C ．18π cm 2D ．36π cm 22.如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽(结果保留π)3. 某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框AB CD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形D AB 的面积为 _______A. 6B. 7 C . 8 D . 9二、拓展延伸一些不规则阴影面积的求法：不能直接用公式求解，通常有两条思路，一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行采用“割补法”“等积变形法”“平移法”和“旋转法”等，将不规则阴影面积转化为规则图形的面积.（一）例题讲解如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧(AB)对应的圆心角(∠AOB)为120°，O C 的长为2 cm 则三角板和量角器重叠部分的面积为 _______2题图 3题图（二）针对练习1等边三角形AB C 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 _______ 2.如图，从一块直径为2 cm 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为 _______3.在菱形AB CD 中，点E 是B C 的中点，以C 为圆心、C E 为半径作弧，交C D 于点F ，连接AE 、A F,若AB ＝6，∠B ＝60°，则阴影部分的面积为 _______1.（2016青岛7）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和A C 的夹角为120°，长为25 cm ，贴纸部分的宽B D 为15 cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为 _______2.（2018 青岛 13）如图，Rt ABC ∆，90,30B C ∠=︒∠=︒，O 为AC 上一点，2OA =，以O 为圆心，以OA 为半径的圆与CB 相切于点E ，与AB 相交于点F ，连接OE OF 、，则图中阴影部分的面积是．考点四、尺规作图一、例题讲解1.过不在同一直线上的三点作圆（1）已知：不在同一条直线上的三个点A ，B ，C .求作：O ，使得O 经过点A ，B ，C .3题图1题图 2题图 1题图 2题图（2）作图步骤：①连接AB，BC.②分别作线段AB，BC的垂直平分线DE和FG，DE与FG相交于点O.③以O为圆心，以OB的长为半径作圆.④结论：如图，O就是所要求作的圆.（3）作图道理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两条直线相交有一个交点，圆的半径相等.2.作三角形的内切圆∆.已知：ABC∆的三边都相切求作：I，使它与ABC（2）作图步骤：∠的平分线BE和CF，交点为I.①分别作B∠，C②过I作BC的垂线，垂足为D.③以I为圆心，以ID的长为半径作I.④结论：如图，I就是所求作的圆.二、中考链接[2016·青岛，15，4分] 已知：线段a及∠ACB．求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO＝a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．收获感悟:通过本节课的复习你有哪些收获？知识：技能：数学思想：课堂检测:1.一个扇形的圆心角为90o，半径为2，扇形面积= _______2. 一个扇形的半径为4cm，弧长是2πcm，则该扇形的面积为_______3.已知扇形的弧长2π，面积为3π，则扇形的圆心角是_______A. 900B.1200C.1350D.16004. 如图,分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若ＡＢ＝２，则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为_______5. 如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝６０°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是_______6.如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC＝3，AC＝3．则图中阴影部分的面积是_______布置作业1.整理本节知识点2.初中毕业升学复习指导P186-189页aAC B4题图6题图5题图。

北师大版九年级数学《圆》回归与思考教案

一、教学目标1、知识与技能目标（1）复习圆的基本概念与性质。

（2）回顾和巩固圆的元素关系：圆心角、弧、切线、弦等。

（3）继续学习与应用圆的性质：相切线的性质、相交弦的性质等。

（4）掌握圆内接四边形的性质：内角和为360°。

2、过程与方法目标（1）通过复习与回归，让学生回顾和巩固圆的基本概念与性质，培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力。

（2）通过引导学生思考和发现，培养学生的探究精神和解题能力。

（3）通过合作学习的方式，促进学生合作与交流，培养学生的团队合作意识和能力。

二、教学重难点1、教学重点（1）圆的半径、直径、周长、面积的计算。

（2）圆心角、弧的性质。

（3）圆的相切线、相切点、弦与切线的性质。

2、教学难点（1）相切线的性质的推导与证明。

（2）圆内接四边形的性质的证明。

三、教学过程1、复习与回归（1）复习圆的基本概念与性质。

（2）回顾和巩固圆的元素关系：圆心角、弧、切线、弦等。

2、引导学生思考与探究（1）给学生展示一个圆和一条切线，引导学生思考切线和圆的关系，让学生找出切线和圆的特点和性质。

（2）让学生发现相切线的性质，引导学生推导和证明相切线的性质。

（3）给学生展示两个相交的弦，引导学生思考相交弦的性质，让学生找出相交弦的特点和性质。

（4）让学生发现相交弦的性质，引导学生推导和证明相交弦的性质。

3、合作学习与交流（1）将学生分成小组，让他们合作完成一些练习题，通过合作学习的方式，培养学生的团队合作意识和能力。

（2）让学生在小组之间进行交流和讨论，帮助他们共同解决问题，提高解题能力。

4、归纳与总结（1）让学生归纳和总结圆的性质，包括圆的基本概念与性质、圆心角、弧、切线、弦、相切线的性质、相交弦的性质等。

（2）让学生用自己的语言对圆的性质进行描述，加深对圆的理解和记忆。

5、巩固与拓展（1）让学生完成一些拓展练习，提高解题能力。

（2）让学生自主学习有关圆的知识，加深对圆的理解。

四、教学效果的评价1、通过教师的评价，了解学生对圆的知识和能力的掌握程度。

中考数学第22讲与圆有关的计算复习教案2北师大版

课题：第22讲与圆有关的计算教学目标：1．掌握：正多边形和圆的有关概念；弧长公式及扇形面积公式．2．会：进行正多边形的有关计算，计算弧长及扇形的面积，借助分割的方法与转化的思想巧求阴影部分图形的面积．3．通过本节的复习，进一步体会数学中的化归思想，在解决问题的过程中了解数学的价值，增强“用数学”的信心．重点与难点：重点：正多边形的有关计算，弧长及扇形的面积的计算，与圆有关的阴影面积的计算．难点：与圆有关的阴影面积的计算．课前准备：：制作学案、多媒体课件．教学过程：一、考点自主梳理，热身反馈考点1 正多边形的有关计算（多媒体出示）【热身训练】1．（2013•咸宁）如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（）A．30°B． 36°C． 38°D． 45°2．（2013•天津）正六边形的边心距与边长之比为（）A．：3 B．：2 C． 1：2 D．：23．(2013·绵阳中考)如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为( )A．6 mm B．12 mm C．6 mm D．4 mm4．（2013•自贡）如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【归纳总结】1．概念：正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的；外接圆的半径叫做第2题图第2题图这个正多边形的半径，正多边形每一条边所对的叫做正多边形的中心角；中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的．2．计算：设正n 边形的半径为n R ，边心距为n r ，则：⑴正n 边形的每个内角为；每个外角为；中心角为； ⑵正n 边形的边长为； ⑶正n 边形的边心距为； ⑷正n 边形的面积为．处理方式：先让学生独立做【热身训练】，师生共同校对答案，然后自主梳理归纳正多边形的有关概念及正多边形与圆的关系．考点2 弧长及扇形的面积（多媒体出示）【热身训练】1．（2014▪北海）已知一个扇形的半径为12，圆心角为150°，则此扇形的弧长是（）A ．5πB ．6πC ．8πD ．10π2．（2014▪东营）如图，已知扇形的圆心角为60︒3 则图中弓形的面积为（）A 433π-B 3π-C 233π-D 33π-3．（2014▪衡阳）圆心角为120o，弧长为12π的扇形半径为（） A ．6 B ．9 C ．18 D ．36 4．（2014•绥化）一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为（结果保留π）5．（2014•河北）如图，将长为8cm 的铁丝首尾相接围成半径为2cm 的扇形．则S 扇形= cm 2．【归纳总结】1．弧长公式：设弧所对的圆心角为︒n ，所在圆的半径为R ，则弧长为． 2．扇形面积公式：设扇形的圆心角为︒n ，所在圆的半径为R ，l 为扇形弧长，那么扇形的面积为，或．处理方式：先让学生独立做【热身训练】，师生共同校对答案，然后自主梳理归纳弧长与扇形面积公式．【知识树】设计意图：通过设计“热身训练”，让学生在解题的过程中回顾正多边形、弧长与扇形的相关知识,再借助知识树让学生将零散、孤立的知识形成网络，完成知识脉络的梳理，明确正多边形、弧长与扇形在相应的知识体系中的位置，有助于学生掌握知识的纵横联系，为下一步灵活运用这些知识打好基础．二、考向互动探究，方法归纳探究一正多边形的有关计算例1 (2014▪天津)正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（） A ． B ． 2 C ． 3 D ． 2处理方式：先找两名学生板演，其余学生在练习本上完成，师生共同纠错，然后教师引导学生归纳这一类题目的解法（多媒体出示）：【方法归纳】：正多边形的有关计算的常用公式(1)有关角的计算：正n 边形的内角和，外角和、中心角； (2)有关边的计算：①2222R a r =⎪⎭⎫ ⎝⎛+(r 表示边心距，R 表示半径，a 表示边长).②na l =(l 表示周长，n 表示边数，a 表示边长). ③S 正n 边形=lr 21(l 表示周长，r 表示边心距).探究二弧长及扇形的面积例2 （2014•兰州）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A ′B ′C ′，则点B 转过的路径长为（）A ．B ．C ．D ． π例3 （2014•莆田）如图，点D 是线段BC 的中点，分别以点B ，C 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧相交于点A ，连接AB ，AC ，AD ，点E 为AD 上一点，连接BE ， CE ．（1）求证：BE=CE ；（2）以点E 为圆心，ED 长为半径画弧，分别交BE ，CE 于点F ，G ．若BC=4，∠EBD=30°，求图中阴影部分（扇形）的面积．处理方式：先找两名学生板演，其余学生在练习本上完成，师生共同纠错，然后教师引导学生归纳这一类题目的解法（多媒体出示）：【方法归纳】：1．解决动点运动的路线长问题，通过探究得出这个点所经过的路线情况，利用弧长公式求出运动的路线长．2.当已知半径r 和圆心角的度数n 求扇形面积时，应选用3602r n S π=扇；当已知半径r和弧长l 求扇形面积时，应选用公式lr S 21=扇．探究三与圆有关的阴影面积的计算例4 （2014▪昆明）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，D 是边AC 上的一点，连接BD ，使∠A=2∠1，E 是BC 上的一点，以BE 为直径的⊙O 经过点D. （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若∠A=60°，⊙O 的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）处理方式：先让学生独立思考，然后小组交流，再找两名学生板演，其余学生在练习本上完成，师生共同纠错，然后教师引导学生归纳这一类题目的解法（多媒体出示）：【方法归纳】：与圆有关的阴影面积的计算最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积，常用的方法有：1．直接用公式求解；2.将所求面积分割后，利用规则图形面积的和差求解；3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．4．将所求面积分割后，利用旋转，将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．设计意图：通过本环节复习使学生掌握求解与圆有关的阴影面积的计算的基本方法，在做的过程中逐步领悟转化的思想方法，进而提高学生分析问题及解决问题的能力，培养学生在解题的过程中及时总结的习惯．三、回顾反思，提炼升华活动内容：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．处理方式：学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．四、达标检测，反馈提高（多媒体出示）活动内容：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．1.（2014▪自贡）一个扇形的半径为8cm ，弧长为316cm ，则扇形的圆心角为（） A ．60° B ．120° C ．150° D ．180°2．（2014•莱芜）如图，AB 为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B 顺时针旋转45°，点A 旋转到A ′的位置，则图中阴影部分的面积为（）A ．πB ．2πC ．D ．4π3．（2014•日照）如图，正六边形ABCDEF 是边长为2cm 的螺母，点P 是FA 延长线上的点，在A 、P 之间拉一条长为12cm 的无伸缩性细线，一端固定在点A ，握住另一端点P 拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点P 运动的路径长为（） A ．13πcm B ．14πcmC ．15πcmD ．16πcm4．（2014▪南京）如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD= ．5．(2014▪绵阳)如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为cm2．（结果保留π）6.（2013•内江）如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为cm．7．(2014▪黔西南州)如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生同位互批，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．五、布置作业，课堂延伸（多媒体出示）拓展作业：1．（2014▪南充）如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，将矩形ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转，则点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A．25π2B．13πC ．25πD ．2522．（2014▪烟台）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为4，则阴影部分的面积等于．3．(2014▪河南)如图，在菱形ABCD 中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB ′C ′D ′，其中点C 的运动路径为，则图中阴影部分的面积为．4．（2014•乐山）如图．在正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧．以D 为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S 1、S 2．则S 1﹣S 2= ． 5．（2014•吉林）如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠．若和都经过圆心O ，则阴影部分的面积是（结果保留π）AB CDl第1题图第2题图第3题图第4题图板书设计：2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×10﹣7B．2.5×10﹣6C．25×10﹣7D．0.25×10﹣52．如图，A、B两点在双曲线y=4x上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A 3B5C23D254．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A．10000x﹣10=14700(140)0x+B．10000x+10=14700(140)0x+C．10000(140)0x-﹣10=14700xD．10000(140)0x-+10=14700x5．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A ．在A 的左边B ．介于A 、B 之间C ．介于B 、C 之间D ．在C 的右边6．A 种饮料比B 种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A 种饮料和3瓶B 种饮料，一共花了13元，如果设B 种饮料单价为x 元/瓶，那么下面所列方程正确的是( ) A ．2(x -1)+3x=13 B ．2(x+1)+3x=13 C ．2x+3(x+1)=13 D ．2x+3(x -1)=137．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是（） A ．函数图像经过点（2，2）；B ．函数图像位于第一、三象限；C ．当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大；D ．当1x >时，4y <-． 8．方程(2)0x x +=的根是（） A ．x=2B ．x=0C ．x 1=0，x 2=-2D ． x 1=0，x 2=29．点P （1，﹣2）关于y 轴对称的点的坐标是（） A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，﹣2）D ．（﹣2，1）10．二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的部分图象如图,图象过点（-1,0），对称轴为直线x=2,下列结论:①4a+b=0;②9a+c ＞3b;③8a+7b+2c ＞0;④当x ＞-1时,y 的值随x 值的增大而增大.其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（）．A ．50°B ．40°C ．30°D ．25°12．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E＋∠F＝80°，则∠A＝____°．15．如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.16．在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是_____．17．已知x+y＝8，xy＝2，则x2y+xy2＝_____．18．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其进价和售价如下表：商品名称甲乙进价(元/件) 40 90售价(元/件) 60 120设其中甲种商品购进x件，商场售完这100件商品的总利润为y元．写出y关于x的函数关系式；该商场计划最多投入8000元用于购买这两种商品，①至少要购进多少件甲商品？②若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？20．（6分）2018年江苏省扬州市初中英语口语听力考试即将举行，某校认真复习，积极迎考，准备了A、B、C、D四份听力材料，它们的难易程度分别是易、中、难、难；a，b是两份口语材料，它们的难易程度分别是易、难．从四份听力材料中，任选一份是难的听力材料的概率是．用树状图或列表法，列出分别从听力、口语材料中随机选一份组成一套完整的模拟试卷的所有情况，并求出两份材料都是难的一套模拟试卷的概率．21．（6分）定义：任意两个数a，b，按规则c＝b2+ab﹣a+7扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c；如果a＝3+m，b＝m﹣2，试说明“如意数”c为非负数．22．（8分）如图，二次函数232(0) 2y ax x a=-+≠的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．求抛物线与直线AC的函数解析式；若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系式；若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E的坐标．23．（8分）瑞安市曹村镇“八百年灯会”成为温州“申遗”的宝贵项目．某公司生产了一种纪念花灯，每件纪念花灯制造成本为18元．设销售单价x（元），每日销售量y（件）每日的利润w（元）．在试销过程中，每日销售量y（件）、每日的利润w（元）与销售单价x （元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：（元）19 20 21 30（件）62 60 58 40（1）根据表中数据的规律，分别写出毎日销售量y（件），每日的利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式．（利润＝（销售单价﹣成本单价）×销售件数）．当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？根据物价局规定，这种纪念品的销售单价不得高于32元，如果公司要获得每日不低于350元的利润，那么制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要多少元？24．（10分）如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的距离.25．（10分）在边长为1的5×5的方格中，有一个四边形OABC，以O点为位似中心，作一个四边形，使得所作四边形与四边形OABC位似，且该四边形的各个顶点都在格点上；求出你所作的四边形的面积．26．（12分）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）万件之间的函数关系如图所示．求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？27．（12分）解不等式组：331213(1)8xxx x-⎧+>+⎪⎨⎪--≤-⎩．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.000 0025=2.5×10﹣6；故选B．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．D【解析】【分析】欲求S1+S1，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=4x的系数k，由此即可求出S1+S1．【详解】∵点A、B是双曲线y=4x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S1=4+4-1×1=2．故选D．3．D【解析】【详解】过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB=221310+=，AD=222222+=，cosA=ADAB=2210=25，故选D．4．B【解析】【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．【详解】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：10000x +10=()147001400x+．故选B．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．5．C【解析】分析：由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出b=a+3，c=b+5，再根据原点O与A、B的距离分别为1、1，即可得出a=±1、b=±1，结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值，由此即可得出结论．解析：∵|a﹣b|=3，|b﹣c|=5，∴b=a+3，c=b+5，∵原点O与A、B的距离分别为1、1，∴a=±1，b=±1，∵b=a+3，∴a=﹣1，b=﹣1，∵c=b+5，∴c=1．∴点O介于B、C点之间．故选C．点睛：本题考查了数值以及绝对值，解题的关键是确定a、b、c的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数轴上点的位置关系分别找出各点代表的数是关键．6．A【解析】【分析】要列方程，首先要根据题意找出题中存在的等量关系，由题意可得到：买A饮料的钱+买B 饮料的钱=总印数1元，明确了等量关系再列方程就不那么难了．【详解】设B种饮料单价为x元/瓶，则A种饮料单价为（x-1）元/瓶，根据小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了1元，可得方程为：2（x-1）+3x=1．故选A．【点睛】列方程题的关键是找出题中存在的等量关系，此题的等量关系为买A中饮料的钱+买B中饮料的钱=一共花的钱1元．7．C【解析】【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．【详解】A、关于反比例函数y=-4x，函数图象经过点（2，-2），故此选项错误；B、关于反比例函数y=-4x，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；C、关于反比例函数y=-4x，当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确；D、关于反比例函数y=-4x，当x＞1时，y＞-4，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．8．C【解析】试题解析：x（x+1）=0，⇒x=0或x+1=0，解得x1=0，x1=-1．故选C．9．C【解析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），故选C．【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键.关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数.10．B【解析】【分析】根据抛物线的对称轴即可判定①；观察图象可得，当x=-3时，y＜0，由此即可判定②；观察图象可得，当x=1时，y＞0，由此即可判定③；观察图象可得，当x＞2时，的值随值的增大而增大，即可判定④.【详解】由抛物线的对称轴为x=2可得=2，即4a+b=0，①正确；观察图象可得，当x=-3时，y＜0，即9a-3b+c＜0，所以，②错误；观察图象可得，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，③正确；观察图象可得，当x＞2时，的值随值的增大而增大，④错误．综上，正确的结论有2个.故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11．B【解析】【详解】解：如图，由两直线平行，同位角相等，可求得∠3=∠1=50°，根据平角为180°可得，∠2=90°﹣50°=40°．故选B．【点睛】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键．12．D【解析】【分析】此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．【详解】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．故选D．点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．4【解析】【分析】当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC 长即可．【详解】当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，∵CD∥AB，CP⊥CD，∴CP⊥AB，∵M为CD中点，OM过O，∴OM⊥CD，∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，∴四边形CPOM是矩形，∴PM=OC，∵⊙O直径AB=8，∴半径OC=4，即PM=4.【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质，此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.14．50【解析】试题分析：连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠BCD=180°，根据对顶角相等得∠BCD=∠ECF，则∠A+∠ECF=180°，根据三角形内角和定理得∠ECF+∠1+∠2=180°，所以∠1+∠2=∠A，再利用三角形内角和定理得到∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，则∠A+80°+∠A=180°，然后解方程即可．试题解析：连结EF，如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，而∠BCD=∠ECF，∴∠A+∠ECF=180°，∵∠ECF+∠1+∠2=180°，∴∠1+∠2=∠A，∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，即∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，∴∠A+80°+∠A=180°，∴∠A=50°．考点：圆内接四边形的性质．15．4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A′D=x，根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x，即x(12−x)，当x(12−x)=32时，解得：x=4或x=8，所以AA′=8或AA′=4。

中考数学最新课件-北师版中考数学圆的总复习精品

弧长、扇形面积和圆锥的侧面积：
l
n r
180
s扇形
n r2
360
s扇形
1 2
lr
s圆锥侧 rl
点和圆的点在圆外，点到圆心的距离大于半径；点在圆上，点到圆心位置关系的距离等于半径；点在圆内，点到圆心的距离小于半径。
圆和其他
直线和圆
相离，圆心到直线的距离 D>R
相切，圆心到直线的距离 D=R
5 如图， A. B. C 两两不相交，且他们的半径都是1cm，图中三个阴影的面积和是———；
15 cm 6 一圆锥侧面展开面积是
2 ，母线长5cm，则底面半径是————。
圆
弦心距之间的关系：2 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧
两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量也相等。
圆周角与圆 1 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
心角的关系：2
3
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
直径所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦是直径。
内切，圆心距 D =R-r
三角形和圆的位置关系
相交
相交，圆心距 R-r< D< R+r
外接圆：过三角形三个顶点的圆，其圆心是三角形
三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
内切圆：和三角形三边都相切的圆，其圆心是三角形个角平分线的交点，叫做三角形的内心。
测试题
O 1 已知A为上 O 上一点，的半径是1，平面上有另一点P，且PA= 3
概念：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
圆是轴对称图形，也是中心对称图形。对称轴是任一条过圆心的直线，对称中心是圆心。

九年级数学上册 22.2.2 圆的切线教案 (新版)北京课改

22.2.2 圆的切线一、教学目标1.通过学习，理解圆的切线长的概念。

（重点）2.能够掌握圆的切线长的定理。

（难点）3.运用所学的知识解决实际的问题。

二、课时安排1课时三、教学重点能够掌握圆的切线长的概念。

四、教学难点通过探索，熟练掌握圆的切线长的定理。

五、教学过程（一）导入新课如图所示，纸上有一⊙O ，PA为⊙O 的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B。

1.OB是⊙O 的一条半径吗？2.PB是⊙O 的切线吗？3.PA、PB有何关系？4. ∠APO和∠ BPO有何关系？（二）讲授新课活动1：小组合作过⊙O外的一点可以画该圆的几条切线？画出图形并观察，你可以得到哪些结论？如图所示，过⊙O外的一点P可以画圆的两条切线PA和PB，切点分别为A，B。

可以证明△AOP全等于△BOP，因此，PA=PB，∠APO = ∠ BPO。

经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

从而得到：切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

（2）木工师傅要在一块三角形木板上截下一个面积最大的圆形，这个圆有什么特点？由图可以看出，和△ABC三边都相切的圆的面积最大。

因为所求做的圆与△ABC的三边都相切，所以这个圆的圆心到三边的距离都相等。

因此，圆心既要在∠ ABC的平分线上，又要在∠ ACB的平分线上。

这两条角平分线的交点即为所求圆的圆心，它到三角形一边的距离为所求圆的半径。

（三）重难点精讲例题1、已知：如图（1）所示，一段圆柱形钢材放在V形支架中，图（2）是它的截面示意图，CA和CB都是⊙O 的切线，⊙O切点分别是A，B。

的半径为23cm，AB=6cm。

求∠ ACB 的度数。

分析：如图（2）所示，连接OC，交AB于点D。

∵CA，CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B。

∴CA = CB，CO平分∠ ACB。

∴O C⊥AB，BD= （1/2）AB∵AB=6，∴BD=3。

(北师大版)中考第二轮复习圆专题教案

C
点 F．（1）求证： AC 与⊙ O 相切；
1
（ 2）当 BD=2 ，sinC= 时，求⊙ O 的半径．
2
D
E
G
AF
O
B
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4．已知 : 如图， AB 是⊙ O 的直径， ⊙O 过 AC 的中点 D ， DE⊥ BC; 交 BC 于点 E． (1) 求证 DE 为⊙ O 的切线。 (2)如果 CD=4 ， CE=3 ，求⊙ O 的半径．
于点 A，∠ A＝ 28°，∠ B＝ 26°，则∠ PDC ＝
.
3、如图所示， P 为等边三角形 ABC 外接圆上一点，则∠ APB 的度数是
4、如图，⊙ O1 和⊙ O2 相交于 A、 B，分别过 A、 B 作两条直线与⊙ O1 交于 C、 E，与⊙ O2
交于 E、 F ，如∠ ADF ＝ 100°，那么∠ ACE＝
（1）若 ED 与⊙ A 相切，试判断 GD 与⊙ A 的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（ 1）的条件不变的情况下，若 GC＝ CD＝ 5，求 AD 的长 .
4.（崇文一模）如图， AB 是半圆⊙ O的直径，过点 O 作弦 AD 的垂线交半圆⊙ O于点 E，交 AC 于点 C，使 C BED
5 如图， AB是⊙ O的直径， AB=10，DC切⊙ O于点 C，AD⊥ DC，垂足为 D，AD交⊙ O于点 E。
（1）求证： AC平分∠ BAD；
（2）若 sin BEC
3 5
,
求
DC的长。
D
E
C
A
B
O
6．（全等三角形与切线的问题）已知：如图， ⊙ O 是△ ABC 的外接圆， AB 为⊙ O 直径，且 PA ⊥ AB 于点 A ， PO ⊥ AC 于点 M ．

北师大版九年级数学下第22讲与圆有关的位置关系中考知识点梳理

（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于经过切点的半径.
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.
*5.切线长
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
相切
相交
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.
例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.
图形
公共点个数
0个
1个
2个
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数量关系
d＞r
d＝r
d＜r
知识点二：切线的性质与判定
3.切线
的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.
4.切线
的性质
（1）切线与圆只有一个公共点.
第22讲与圆有关的位置关系
一、知识清单梳理
知识点一：与圆有关的位置关系
关键点拨及对应举例
1.点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.
2.直线和圆的位置关系

北京版-数学-九年级上册-22.2.2 圆的切线(教学设计)

22.2圆的切线（2）一、教学目标（一）知识技能目标1．经历切线的性质定理的探索过程，理解切线的性质定理；2．会应用切线的性质定理和判定定理解决简单问题．（二）过程与方法目标经历切线的性质定理的探索过程，（三）情感态度目标通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．培养学生观察、分析、归纳问题的能力；二、教学要点应用切线的性质定理和判定定理解决简单问题．三、教学难点1.用反证法证明切线的性质定理；2.切线的性质定理和判定定理的综合应用。

四教学流程一、知识回顾1.什么是圆的切线?判断一条直线是圆的切线有哪些方法?切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线2.前面我们已学过的切线的性质有哪些？答：①、切线和圆有且只有一个公共点；二、探究新知操作与观察：如果直线AT是⊙O 的切线，A 为切点，那么AT和半径OA是不是一定垂直？如果AT是⊙O 的切线，A 为切点，那么AT⊥OA.你能说明理由吗？反证法：假设AT与OA不垂直则过点O作OM⊥AT,垂足为M根据垂线段最短，得OM＜OA即圆心O到直线AT的距离d＜R∴直线AT 与⊙O 相交这与已知“AT是⊙O 的切线”矛盾∴假设不成立，即AT⊥OA归纳总结：切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径几何语言：∵AT是⊙O 的切线，A 为切点∴AT⊥OA巩固练习：按图填空：(口答)(1). 如果AB切⊙O于A，那么.(2). 如果半径OA⊥AB，那么AB是.(3).如果AB是⊙O的切线，O A⊥AB，那么A是.例题探究例1：如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD 和过C点的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.证明：连接OC,因为CD是⊙O的切线，所以OC⊥CD,又因为AD⊥CD,所以OC//AD,所以∠2=∠3.又OA=OC,所以∠1=∠3.所以∠1=∠2.即AC平分∠DAB.总结：圆的辅助线作法：见切点，连半径，得垂直.总结切线的性质巩固掌握切线的性质．DCB AO跟踪练习如图的两个圆是以O 为圆心的同心圆，大圆的弦AB 是小圆的切线， C 为切点.求证：C 是AB 的中点.证明：如图，连接OC, ∵AB 是小圆的切线， C 为切点 ∴OC ⊥AB在大圆⊙O 中, 根据垂径定理，得AC=BC ∴ C 是AB 的中点.例2：如图，在⊙O 中，AB 为直径， A D 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于点C ，且AD=DC求∠ABD 的度数.解：∵ AB 为直径 ∴∠ADB=90° 又∵BC 为切线 ∴∠ABC=90° ∵△ABC 为直角三角形 AD=DC ∴AD=DB∴△ABD 为等腰直角三角形.巩固掌握切线的性质．CBAO巩固练习：1．1.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC 交⊙O于点D，若∠C=70°，则∠AOD的度数为（）A．70°B．35°C．20°D．40°2．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）A．20°B．25°C．40°D．50°3.已知：如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB，⊙O的直径为4，AB=8．（1）求OB的长；（2）求sinA的值．解：（1）由已知，OC=2，BC=4．在Rt△OBC中，由勾股定理，得2225 OB OC BC=+=；（2）在Rt△OAC中，∵OA=OB=25，OC=2，∴sinA=25525OCOA==．学生自主解答.巩固本节所学知识。

北京版-数学-九年级上册-22.2.2圆的切线教案

22.2.2 圆的切线一、教学目标1.通过学习，理解圆的切线长的概念。

（重点）2.能够掌握圆的切线长的定理。

（难点）3.运用所学的知识解决实际的问题。

二、课时安排1课时三、教学重点能够掌握圆的切线长的概念。

四、教学难点通过探索，熟练掌握圆的切线长的定理。

五、教学过程（一）导入新课如图所示，纸上有一⊙O ，PA为⊙O 的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A 重合的点为B。

1.OB是⊙O 的一条半径吗？2.PB是⊙O 的切线吗？3.PA、PB有何关系？4. ∠APO和∠BPO有何关系？（二）讲授新课活动1：小组合作过⊙O外的一点可以画该圆的几条切线？画出图形并观察，你可以得到哪些结论？如图所示，过⊙O外的一点P可以画圆的两条切线PA和PB，切点分别为A，B。

可以证明△AOP全等于△BOP，因此，P A=PB，∠APO = ∠BPO。