余杭区2007年“假日杯”初中数学竞赛试卷
2007年全国初中数学联合竞赛试题(含解竞赛试题(含解答)-48
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为 （ ） （A ）1. （B ）31. （C ）31-. （D ）21. 【答】B.解 由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选（B ）. 注：本题也可用特殊值法来判断. 2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ） （A ）－1. （B ）1. （C ）0. （D ）2007.【答】C.解 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C ）.3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是 （ ） （A ）等腰三角形. （B ）锐角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）直角三角形.【答】D.解 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选（D ）.4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）（A ）30°. （B ）45°. （C ）60°. （D ）75°. 【答】C. 解 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选（C ）.5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F ，则ABC DEF S S △△:的值为 （ ）（A ）91. （B ）92. （C ）94. （D ）32. 【答】A.解 分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=. 易证△DEF ∽△MNP ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=. 所以:DEF S △19ABC S =△.故选（A ）. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（A ）101. （B ）51. （C ）103. （D ）52. 【答】 B.AE C B D O H解 设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y . 因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选（B ）. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1. 设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333____1___. 解 ∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ，∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a .2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a =.10034016- 解 由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以=--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 3. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为____4_____.解 延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .4． 若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是___17____. 解 设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .第二试 （A ）一、 （本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt +.由题意，32mt t n +≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥. 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m A B C DE F G M N 2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第4页（共8页）22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME . 证明 设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ， ∴△PNE ∽△PBC ，∴PCPE PB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅. 又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PF PE PB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅.∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPC PN PM = 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.三、 （本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.解 观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得 []056)18()1(2=+++-x a x x因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x （1）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以 AB C D E F M N P⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-.第二试 （B ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ； 一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔ 09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy 56=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值.解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x 56=，即 056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x （2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数的图象还有两个交点)56,1(--和)1,56(--.当12=a 时，方程（2）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-，此时两个函数的图象还有两个交点)28,2(--和)2,28(--.第二试 （C ）一、（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数xa y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点. 解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+++=,311,710)232(22x a y a x a x y 消去y 得a x a x 710)232(22-+++＝ 113a x-，即0113)710()232(223=-+-+++a x a x a x ，分解因式得 []0311)12()12(2=-+++-a x a x x （1）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于x 的一元二次方程 0311)12(2=-+++a x a x （2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式∆应该是一个完全平方数，而224)18(10036)311(4)12(222-+=++=--+=∆a a a a a .所以224)18(2-+a 应该是一个完全平方数，设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（2）即0106512=-+x x ，它的两根分别为2和53-，易求得两个函数的图象有公共整点)53,2(-和)2,53(-.当12=a 时，方程（2）即025242=-+x x ，它的两根分别为1和25-，易求得两个函数的图象有公共整点)25,1(-和)1,25(-.。
全国初中数学竞赛试题及答案(2007年)
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则z y y x 25+-的值为 （ ）（A ）1. （B ）31. （C ）31-. （D ）21. 【答】B.解 由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选（B ）.注：本题也可用特殊值法来判断.2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）（A ）－1. （B ）1. （C ）0. （D ）2007.【答】C.解 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C ）. 3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是 （ ）（A ）等腰三角形. （B ）锐角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）直角三角形.【答】D.解 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选（D ）. 4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）（A ）30°. （B ）45°. （C ）60°. （D ）75°. 【答】C.解 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选（C ）.5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F，则ABC DEF S S △△:的值为 （ ）（A ）91. （B ）92. （C ）94. （D ）32. 【答】A.解 分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=.易证△DEF ∽△M N P ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=. 所以:DEF S △19ABC S =△.故选（A ）. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（A ）101. （B ）51. （C ）103. （D ）52. 【答】B.解 设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选（B ）. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1. 设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333____1___.解 ∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ，∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a . 2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a =.10034016- 解 由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以=--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a ＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 3. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为____4_____.解 延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .4． 若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是___17____.AB CD E F G M N解 设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得 ))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .第二试 （A ）一、 （本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt +.由题意，32mt t n+≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥. 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME . 证明 设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ，∴△PNE ∽△PBC ，∴PC PE PB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅.又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PF PE PB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅.∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPC PN PM = 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC ∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.三、 （本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.解 观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x （1）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以 A B D E F M N P⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-. 第二试 （B ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ；一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值. 解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x56=，即 056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点. 因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x（2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根. 而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数的图象还有两个交点)56,1(--和)1,56(--.当12=a 时，方程（2）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-，此时两个函数的图象还有两个交点)28,2(--和)2,28(--.第二试 （C ）一、（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数xa y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点.解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+++=,311,710)232(22x a y a x a x y 消去y 得a x a x 710)232(22-+++＝113a x-，即0113)710()232(223=-+-+++a x a x a x ，分解因式得 []0311)12()12(2=-+++-a x a x x （1）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于x 的一元二次方程 0311)12(2=-+++a x a x（2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式∆应该是一个完全平方数， 而224)18(10036)311(4)12(222-+=++=--+=∆a a a a a .所以224)18(2-+a 应该是一个完全平方数，设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a . 显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以 ⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a当39=a 时，方程（2）即0106512=-+x x ，它的两根分别为2和53-，易求得两个函数的图象有公共整点)53,2(-和)2,53(-.当12=a 时，方程（2）即025242=-+x x ，它的两根分别为1和25-，易求得两个函数的图象有公共整点)25,1(-和)1,25(-.。
2007年八年级数学竞赛(决赛)试题
2007年八年级数学竞赛（决赛）试题一、选择题（每小题5分，共30分） 1．如果1233121231231t t t t t tt t t t t t ++=-，则的值为（ ） （A ）1 （B ）－1 （C ）±1 （D ）不确定2．已知2110 x x x x-<<，则，，的大小关系是（ ） （A ）21x x x << （B ）21x x x << （C ）21x x x << （D ）21x x x<<3．在平面直角坐标系内，已知点A （2，2），B （2，－3），点P 在y 轴上，且△APB 为直角三角形，则点P 的个数为（ ） （A ）2 （B ）3（C ）4（D ）5 4．下图是由一些相同的小正方形构成的几何体的三视图。
这些相同的小正方形的个数是（ ） （A ）4 （B ）5 （C ） 6 （D ）75．已知22204(2) a b x a b y b a x y =++=-、是实数，，，则、的大小关系是（ ）（A ）x y < （B ） x y > （C ） x y ≤ （D ）x y ≥ 从左边看从上面看从正面看（图2）EDCBA6．关于x 的不等式组255,332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩ 只有5个整数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）1162a -<<-（B ）1162a -≤<- （C ）1162a -<≤- （D ）1162a -≤≤-二、填空题：（每小题5分，共30分）7．如图1，已知AD=DB=BC ，∠C=50°，则∠ABC=8．已知实数35a b x y ax by ay bx +=-=，，，满足，，则2222)()a b x y ++（的值是 ． 9．如图2，1ABCDEC ACE S S S === BDE ，若S ，则ADE S = ． 10．已知114340 04323a ab ba b a b a ab b++≠≠+==-+-，，且，那么 ．11．正五边形广场ABCDE 的周长为2000m ，甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，绕广场沿A →B →C →D →E →A 的方向行走，甲的速度为50m/min ，乙的速度为46m/min ，则出发后，经过 min ，甲、乙第一次行走在同一条边上。
2007—2014全国初中数学联赛试题汇编(含答案)
第二试 （ A）
一、 （本题满分 20 分）设 m, n 为正整数，且 m 2 ，如果对一切实数 t ，二次函数
y x 2 (3 mt) x 3mt 的图象与 x 轴的两个交点间的距离不小于 2t n ，求 m, n 的值.
解 因为一元二次方程 x (3 mt ) x 3mt 0 的两根分别为 mt 和 3 ，所以二次函
y 6, z 4 .
因此，共有 1＋2＋3＋4＝10 种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有 3 个红球的结 果有 2 种，所以所求的概率为
2 1 . 故选（B）. 10 5
二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1. 设 x
1 2 1 1
，a 是 x 的小数部分，b 是 x 的小数部分， 则 a 3 b 3 3ab ____1___.
注：本题也可用特殊值法来判断.
2．当 x 分别取值
1 1 1 1 ， ， ，…， ，1 ，2 ，…， 2005 ，2006 ， 2007 时， 2007 2006 2005 2
的 值 ， 将 所 得 的 结 果 相 加 ， 其 和 等 于
1 x2 计 算 代 数 式 1 x2
（ ） （A）－1. 【答】C.
3 3
2. 对于一切不小于 2 的自然数 n ， 关于 x 的一元二次方程 x (n 2) x 2n 0 的两个根
2 2
记作 a n , bn（ n 2 ） ， 则
1 1 1 = (a 2007 2)(b2007 2) (a 2 2)(b2 2) (a3 2)(b3 2)
2007 年全国初中数学联合竞赛
第一试
一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 已知 x, y, z 满足
2007联赛答案
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准【答】B. 解 由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选（B ）.注：本题也可用特殊值法来判断.【答】C.解 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n nn 011112222=+-++-n n n n ，即当x分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，...，21，1，2， (2005)2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C ）.【答】D.解 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选（D ）.【答】C.解 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选（C ）.【答】A.解 分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=. 易证△DEF ∽△MNP ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=. 所以:DEF S △19ABC S =△.故选（A ）. 【答】B.解 设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；AECB D O H当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选（B ）. 解 ∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a .又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ， ∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a . 解 由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以=--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+，则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++，)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a ＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 解 延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .解 设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得 ))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .第二试 （A ）解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt +.由题意，32mt t n +≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥. 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以A BCD E FGM N⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 证明 设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ，∴△PNE ∽△PBC ，∴PCPEPB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅.又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PFPEPB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅. ∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPCPN PM = 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.解 观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （1）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-. 当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-.ABCDE F MN P第二试 （B ）解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ； 一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22. 所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x 56=，即 056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点. 因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数的图象还有两个交点)56,1(--和)1,56(--.当12=a 时，方程（2）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-，此时两个函数的图象还有两个交点)28,2(--和)2,28(--.解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+++=,311,710)232(22x ay a x a x y 消去y 得a x a x 710)232(22-+++＝ 113ax-，即0113)710()232(223=-+-+++a x a x a x ，分解因式得 []0311)12()12(2=-+++-a x a x x （1）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于x 的一元二次方程0311)12(2=-+++a x a x （2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式∆应该是一个完全平方数，而224)18(10036)311(4)12(222-+=++=--+=∆a a a a a .所以224)18(2-+a 应该是一个完全平方数，设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a当39=a 时，方程（2）即0106512=-+x x ，它的两根分别为2和53-，易求得两个函数的图象有公共整点)53,2(-和)2,53(-.当12=a 时，方程（2）即025242=-+x x ，它的两根分别为1和25-，易求得两个函数的图象有公共整点)25,1(-和)1,25(-.。
2007年八年级第一学期数学竞赛题(B)题(B)(含答案)-83
2007年八年级第一学期数学竞赛题(B)(满分120分,时间120分钟)一、选择题:(每小题5分,共40分)1. 若a > b,则下列各式中正确的是( )** > b2 B.< C.-a> -b D.－+a>－+b 、2.方程(x+1)2 + (y-2)2 = 1的整数解有( )**组 B.2组 C.1组 D.无数多组3. 已知x 和y 满足235x y +=，则当x =4时，代数式31222x xy y ++的值是（ ）A. 4B.3C. 2D.1 4. 如下左图，△ABC 为等边三角形，且BM=CN ，AM 与BN 相交于点P ，则∠APN 的度数( )** B.600 C.450 D.大小无法确定CNMAP B5.桌面上摆着一些相同的小正方体木块，从正南方向看如上右图a ，从正西方向看如图b ，那么桌面上至少有这样的小正方体木块 （ ）**块 B. 16块 C. 10块 D. 6块 6. 如果11a b +=，21b c +=, 那么2c a +的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47. 设[x]表示最接近x 的整数(x ≠n+0.5，n 为整数)，则[21⨯]+[32⨯]+[43⨯]+…+[101100⨯]的值为( )A ．5151B ．5150C ．5050D ．50498. 一个正整数，如果把它的数字逆排，所得的数仍然和原数相同，便称之为“回文数”．设n 是5位回文数，n 的个位数字是6，如果n 恰巧又是完全平方数，那么n=( )A ．61616 B. 63636 C ．65656 D ．69696二、填空题: (每小题5分,共40分)1. 在直角坐标系中，点（2，-3）与它关于x 轴的对称点的距离是 .2. 已知012=-+x x ，则2006223++x x ＝ .3.已知4=-b a ，042=++c ab ，则c b a ++的值为 。
2007年全国初中数学联赛试题及答案
2007年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为（ ） A ．1. B ．31. C ．31-. D ．21. 2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx +-的值，将所得的结果相加，其和等于（ ） A ．－1. B ．1. C ．0. D ．2007.3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形. B ．锐角三角形. C ．钝角三角形. D ）直角三角形.4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）A ．30°.B ．45°.C ．60°.D ．75°.5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F ，则ABC DEF S S △△:的值为（ ）A ．91.B ．92.C ．94.D ．32. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（ ）A ．101.B ．51.C ．103.D ．52. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1. 设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333___ ．2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a = ． 3. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为．4． 若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是 ．第二试（A ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME .三、 （本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.第二试（B ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy 56=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值. 第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数xa y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点.A B C D EF M N P2007年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.B2.C3.D4.C5.A6.B（解析：1.由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选B. 注：本题也可用特殊值法来判断.2． 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选C.3. 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选D.4. 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选C.5． A.分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=.易证△DEF ∽△MNP ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=.所以:DEF S △19ABC S =△.故选A. 6．设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选B.） 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1.1 2. 10034016- 3.4 4.7 （解析：1.∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ， ∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a .2.由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以 =--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a ＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 3.延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .4．设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .）第二试 （A ）一、（本题满分20分）解：因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt + （5分） 由题意，32mt t n +≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥（10分） 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m （15分） 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m （20分） 二、（本题满分25分） 证明:设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ， ∴△PNE ∽△PBC ，∴PCPE PB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅.(5分) 又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PF PE PB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅.(10分)∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPC PN PM =(15分) 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC(20分)∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.(25分)三、（本题满分25分）解：观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x （5分）因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （1） 的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.（10分）设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .（15分） A B C D E FM N P显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a ⎩⎨⎧==.26,12k a （20分） 当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-.（25分） 第二试 （B ）一、（本题满分20分）解：因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ；一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.（5分）所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔ 09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）（10分）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m （15分） 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m ⎩⎨⎧==.1,6n m （20分） 二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分） 解：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x56=，即056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）（5分）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.（10分）而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .（15分）显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a （20分）当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数的图象还有两个交点)56,1(--和)1,56(--.当12=a 时，方程（2）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-，此时两个函数的图象还有两个交点)28,2(--和)2,28(--.（25分） 第二试 （C ）一、（本题满分25分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分） 解：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+++=,311,710)232(22x a y a x a x y 消去y 得a x a x 710)232(22-+++＝113a x -，即0113)710()232(223=-+-+++a x a x a x ，分解因式得[]0311)12()12(2=-+++-a x a x x （1）（5分）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于x 的一元二次方程0311)12(2=-+++a x a x （2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式∆应该是一个完全平方数.（10分）而224)18(10036)311(4)12(222-+=++=--+=∆a a a a a .所以224)18(2-+a 应该是一个完全平方数，设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .（15分）显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a （20分） 当39=a 时，方程（2）即0106512=-+x x ，它的两根分别为2和53-，易求得两个函数的图象有公共整点)53,2(-和)2,53(-.当12=a 时，方程（2）即025242=-+x x ，它的两根分别为1和25-，易求得两个函数的图象有公共整点)25,1(-和)1,25(-. （25分）。
2007年初中数学竞赛试题赏析(含解答)-
2007年初中数学竞赛试题赏析2007年春末夏初，国内的初中数学竞赛基本告一段落，暑假期间，在放松避暑纳凉的同时，对数学爱好者来说，把玩一下新的试题，也是一件乐事．下面为大家选析一些试题，供同学们玩赏．一、代数问题例1 已知a ，b ，c 是实数，若2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-之和恰等于1，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为-1．（2007年北京市初二数学竞赛试题三）证明 由题设2222b c a bc +-+2222c a b ac +-+2222a b c ab+-=1， 即（2222b c a bc +--1）+（2222a c b ac +--1）+（2222a b c ab+-+1）=0， 通分，分子部分因式分解，（请自己完成演算）可得()()()2a b c c a b c a b abc+-+--+=0． 所以，或者a+b-c=0或者c+a-b=0或者b+c-a=0．①若a+b-c=0，则222222222222222222()21;222()21;222()2 1.222b c a b c b c bc bc bc bcc a b c a c a ac ac ac cab c a a b a b ab bc ab ab+-+--===+-+--===+-+-+-===- ②若c+a-b=0，同理可得2222b c a bc +-=1，2222c a b ac +-=-1，2222a b c ab+-=1， ③若c+a-b=0，同理可得2222b c a bc +-=-1，2222c a b ac +-=1，2222a b c ab+-=1． 综合①、②、③可得，三个分数2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-的值有两个为1，一个为-1．评析：由题设2222b c a bc +-+2222c a b ac +-+2222a b c ab+-=1，要证这三个分数的值有两个为1，一个为-1，想到证（2222b c a bc +--1）+（2222a c b ac +--1）+（2222a b c ab+-+1）=0 是关键．其中分子部分的因式分解，可检验你的代数式恒等变形的基本功是否过硬． 例2 设a 是正整数，二次函数y=x 2+（a+17）x+38-a ，反比例函数y=56x，•如果这两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值．（2007年全国初中数学联合竞赛（B 组）试题第三大题）解 联立方程组2(17)38,56,y x a x a y x ⎧=+++-⎪⎨=⎪⎩消去y 得x 2+（a+17）x+38-a=56x， 即x 3+（a+17）x 2+（38-a ）x-56=0，分解因式得（x-1）[x 2+（a+18）x+56]=0． （1）显然x 1=1是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点， 因为a 是正整数，所以关于x 的方程x 2+（a+18）x+56=0 （2）的判别式△=（a+18）2-224>0，它一定有两个不同的实数根．而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，•因此它的判别式△=（a+18）2-224应该是一个完全平方数．设（a+18）2-224=k 2（其中k 为非负整数），则（a+18）2-k 2=224，即（a+18+k ）（a+18-k ）=224．显然a+18+k 与a+18-k 的奇偶性相同，且a+18+k ≥8，而224=112×2=56×4=28×8，18112,1856,1828,182,184,188.39,12,0,55,26,10.a k a k a k a k a k a k a a a k k k ++=++=++=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+-=+-=+-=⎩⎩⎩===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩所以或或解得或或 而a 是正整数，所以只可能39,12,55,26,a a k k ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 当a=39时，方程（2）即x 2+57x+56=0，它的两根分别为-1和-56，此时两个函数的图象还有两个交点（-1，-56）和（-56，-1）．当a=12时，方程（2）即x 2+30x+56=0，它的两根分别为-2和-28，此时两个函数的图象还有两个交点（-2，-28）和（-28，-2）．评析：这是初中数学的重点知识与方法高度综合的题目，要求会自行演算独立解答．二、几何问题在初中阶段，图形的运动主要是合同变换，包含平移、轴对称、旋转和中心对称．另外，在我国的几何教学中，对等积变换的知识日益普及，主要是利用“同底等高的两个三角形面积相等”和三角形面积公式来证题、计算，包括解决线段的比例问题．例3 如图1所示，△ABC 中，∠ABC=46°，D 是BC 边上一点，DC=AB ，∠DAB=21°，•试确定∠CAD 的度数．（2007年北京市中学生数学竞赛初二年级试题四）图1 图2解如图2，作△ABD关于AD的轴对称图形△AED，即∠EAD=21°，AE=AB，•所以DE=BD．易知∠ADC=21°+46°=67°，所以∠ADE=∠ADB=180°-67°=113°，∠CDE=113°-67°=46°，连接CE，DC=AB，△ABD≌△CDE≌△ADE．设O为AE与DC的交点，由于∠ODE=∠OED=46°，所以OD=OE．又DC=AE，所以AO=CO ∠OCA=∠OAC ∠COE=2∠ACO．易知∠COE=2×46°=92°，因此2∠ACO=∠COE=92°∠ACO=46°=∠OAC．所以∠DAC=∠DAE+∠EAC=21°+46°=67°．例4如图3，已知等腰△ABC中，AB=AC，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP=PQ=•QB=BC，则∠PCQ=______．（2007年北京市中学生数学竞赛初二年级试题）图3 图4解：如图4，过P作AB的平行线，过B作PQ的平行线，二平行线相交于O，则PQBO•是个菱形．连接CO．由AB=AC，AP=QB，则PC=AQ，AP=QB=PO，∠CPO=∠PAQ，所以△PQC≌△APQ，因此CO=PQ=CB=OB，可知△BCO为等边三角形，∠BCO=∠CBO=60°，•设∠CAB=θ，•则∠PCO=∠QBO=θ，由三角形内角和定理，得3θ+2×60°=180°⇒θ=20°，因此∠PCQ=80°-•50°=30°．例5 如图5，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底AD 边上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线CD 交的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N ．证明：∠AFN=∠DME ．（2007全国初中数学联合竞赛试题）例5分析 延长BF ，CM 相交于Q ，因为EM ∥AF ，所以∠DME=∠DQA ．要证∠AFN=∠DME ，只需证∠AFN=∠DQA 即可．为此，只需证FN ∥MC ．证明 （面积法）连接FM ，BE ，CN ，因为EM ∥AF ，所以S △PFM =S △PBE ，因为AD ∥BC ，S △BNE =S △CNE ，因此S △BNE +S △PNE =S △CNE +S △PNE ．即S △PBE =S △PNC ，所以S △PFM =S △PNC ．两边同加S △PMC 得S △FMC =S △NMC ，所以FN ∥MC ，又已知FB ∥ME ，所以∠AFN=∠DME ．至于其它的证法我们就不再例举了．例6 试问：18能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？18能否表示为3•个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由． （第12届华杯赛初一组决赛试题14）解：（1）由于18=14×12=14×（112+16+14）=114824++116，所以18能表示为3个互异的正整数的倒数的和．（2）不妨设三个正整数a<b<c ，满足18=21a +21b +21c． 由于a ，b ，c 是互异的正整数，则21c <21b <21a， 从而18=21a +21b +21c <23a ，所以a 2>24．又18>21a，所以a 2>8，故a 2=9或16． 若a 2=9，则21b +21c =18-19=172，于是172>21b，有b 2>72； 又因为21c <21b ，所以172=21b +21c <22b ， 因此b 2<144，所以72<b 2<144．故b 2=81，100或121，将b 2=81，100，121分别代入c 2=227272b b -，没有一个是完全平方数，此时无解．若a 2=16，则21b +21c =18-116=116， 同上讨论可得：16<b 2<32，所以b 2=25，c 2=22161625169b b ⨯=-不是整数． 综上所述，18不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和． 例7 已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程x 2-abx+12（a+b ）=0是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．解 不妨设a ≤b ，且方程的两个整数根为x 1，x 2（x 1≤x 2），则有12121()2x x ab x x a b +=⎧⎪⎨=+⎪⎩ 所以x 1x 2-x 1-x 2=12a+12b-ab ，4（x 1-1）（x 2-1）+（2a-1）（2b-1）=5． 因为a ，b 都是正整数，所以x 1，x 2均是正整数．于是x 1-1≥0，x 2-1≥0，2a-1≥1，2b-1≥1，所以12(1)(1)0(21)(21)5x x a b --=⎧⎨--=⎩或12(1)(1)1(21)(21)1x x a b --=⎧⎨--=⎩ （1）当12(1)(1)0(21)(21)5x x a b --=⎧⎨--=⎩时，由于a ，b 都是正整数，且a ≤b ，可得a=1，b=3． 此时，一元二次方程为x 2-3x+2=0，它的两个根为x=1，x=2．（2）当12(1)(1)1(21)(21)1x x a b --=⎧⎨--=⎩时，可得a=1，b=1，此时，一元二次方程为x 2-x+1=0，它无整数解．综上所述，当且仅当a=1，b=3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为x 1=1，x 2=2．例8 （1）是否存在正整数m ，n ，使得m （m+2）=n （n+1）？（2）设k （k ≥3）是给定的正整数，是否存在正整数m ，n ，使得m （m+k ）=n （n+1）？ 解:（1）答案是否定的．若存在正整数m ，n ，使得m （m+2）=n （n+1）． 则（m+1）2=n 2+n+1，显然n>1．于是n 2<n 2+n+1<（n+1）2，所以n 2+n+1不是平方数，矛盾．（2）当k=3时，若存在正整数m ，n ，使得m （m+3）=n （n+1），则4m 2+12m=4n 2+4n ⇔（2m+3）2=（2n+1）2+8即（2m+3-2n-1）（2m+3+2n+1）=8⇔ （m-n+1）（m+n+2）=2， 而m+n+2>2，故上式不可能成立．当k ≥4时，若k=2t （t 是不小于2的整数）为偶数，取m=t 2-t ，n=t 2-1，则m （m+k ）=（t 2-t ）（t 2+t ）=t 4-t 2，n （n+1）=（t 2-1）t 2=t 4-t 2，因此这样的（m ，n ）满足条件．若k=2t+1（t是不小于2的整数）为奇数，取m=22t t-，n=222t t+-，则m（m+k）=22t t-（22t t-+2t+1）=14（t4+2t3-t2-2t）n（n+1）=222t t+-·22t t+=14（t4+2t3-t2-2t），因此这样的（m，n）满足条件．综上所述，当k=3时，答案是否定的；当k≥4时，答案是肯定的．（注：当k≥4时，构造的例子不是唯一的．）四、组合与极值组合问题对锻炼思维意义重大，初中只适宜分类计数、加法原理、乘法原理的简单运用，简单的包含排除原理，基本的抽屉原理也是重要的内容．但在初中阶段，不应提前引入排列组合的计算公式．特别是提前较大范围的培训高中的排列组合知识，会激起大范围超前学习的竞争热，从而影响基础教育，并且也影响竞赛的公平性．建议命一些以几何元素为背景的构造性的问题，容易引发学生兴趣，又使套用组合公式的人容易出错，这类问题的研制特别引人注目．例9 平面上有6个点，其中任何3个点不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共点，则最多可以选出多少个三角形？（第12届华杯赛初一组决赛试题12）解答:（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；•再从余下的5点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个点做三角形的第三个顶点者，有4种取法．因为任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以做出一个三角形．但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，•三个点相同的取法有3×2×1=6种，所以，以这6个点为顶点可以构造654321⨯⨯⨯⨯=20个不同的三角形．（2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能做出2个三角形，•它们没有公共顶点，如图4（1）．（3）用英文大写字母A，B，C，D，E，F记这6个点，如果可以选出5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母．但是，不同的英文大写字母仅有6个，因此，这5•个三角形中至少有三个三角形有同一个顶点，不妨设为点A．根据题目条件，这三个三角形没有公共边，即除去公共顶点A之外，其余6•个顶点互不相同，即表示这6个顶点的字母不相同．否则，根据题目条件，它们将有公共边．但是，除A之外，我们仅有5个不同的字母，所以，不可能存在5个三角形，它们没有公共边．如图4（2）所示，△ABC，△ADE，△BDF和△CEF这4个三角形没有公共边，所以，最多可以选出4个三角形，它们没有公共边．例10 若对于任意n个连续正整数中，总存在一个数的数字之和8是的倍数．试确定n的最小值，并说明你的理由．（2007北京市中学生数学竞赛初二年级试题五）解先证n≤14时题设的性质不成立．因为，当n=14时，对于9999993，9999994，…，999999，…，10000006这14个连续整数中，任意一个数字的数字之和均不能被8整除．所以n≤14时题设的性质不成立．因此要使题设的性质成立，应有n≥15．再证n=15时，题设的性质成立．设a1，a2，…，a15为任意的连续15个正整数，则这15个正整数中，个位数字为0•的整数最多有两个，最少有一个，可分为：（1）当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数有两个时，设a i<a j，且a i，a j的个位数字为0．则满足a i，a i+1，a i+2，…，a i+9，a j为连续的11个整数，其中a i，a i+1，a i+2，…，a i+9无进位设n i表示a i各位数字之和．则前10个数的各位数字之和分别为n i，n i+1，…，n i+9则这连续的10个数中至少有一个被8整除．（2）当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数只有一个时，设其中的a i的个位数字为0，•①若整数满足1≤i≤8，则在a i后面至少有7个连续整数，则a i，a i+1，a i+2，…，a i+7这8个连续整数的各位数字和也为8个连续整数，所以必有一个数能被8整除．②若整数i满足9≤i≤15，则在a前面至少有8个连续整数，不妨设为a i-8，a i-7，a i-5，a i-4，a i-3，a a-2，a a-2，a i-1，这8个连续整数的各位数字和也为8个连续整数，所以必有一个数能被8整除．由①、②可知，当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数只有一个时，必有一个数，其各位数字之和是8的倍数．综上（1）、（2）所述，对于任意15个连续整数中，必有一个数，•其各位数字之和是的倍数．而小于15个的任意连续整数不成立此性质，所以n的最小值是15．例11 平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规则用线段连接：①在同一组的任意两点都没有线段连接；②不在同一组的任意两点间一定有线段连接．（1）若平面上恰好有9个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段？（2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，那么平面上有多少条线段？（3）若平面上共有192条线段，那么平面上至少有多少个点？（第十八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试23题）解：（1）平面上恰好有9个点，且平均分成三组，每组3个点，•按题设规则用线段连接，可以连出3×3+3×3+3×3=27条线段．（2）平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，按题设规则用线段连接，可以连出2×3+2×4+3×4=26条线段．（3）设平面上三组点数为m，n，p个，s=m+n+p，目标求s的最小值？按题设规则用线段连接，可以连出mn+mp+np=192条线段．由于s2=（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np≥mn+mp+np+2mn+2mp+2np=3mn+3mp+3np=•3（mn+mp+np）=3×192=576=242所以s≥24．s的最小值是24．事实上，当这24个点平分为3组，每组8个点，按题设规则用线段连接，恰可以连出8×8+8×8+8×8=3×64=192条线段．因此平面上至少有24个点．- 11 -。
2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题参考答案.
2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1． 答案：D解：当x ＞0时，x y 1-=，图象在第四象限；当x ＜0时，xy 1=，图象在第三象限． 所以原函数的图象在第三、四象限． 2． 答案：A解：根据题意可知老王去上班路上所用的时间在40至50分钟之间，所以350035005040x ≤≤，即70≤x ≤87.5． 3． 答案：D解：连接AC ，设∠DAC =∠DAB =x º，∠ABC =y º，则有x +y =60，2x +y =90，解得 x =30．所以tan ∠DAC． 4． 答案：D解：由题意得，20p p p ++=，解得122,0p p =-=（舍去）当22p =-时，抛物线是22y x x =+-，求得顶点坐标是（19,24--）．5． 答案：C解：如图所示，易证AD =DC =BC ，△CDB ∽△ABC ． 所以BC BD AB BC =，BC AB BC AB BC -=，1BC ABAB BC=-．可解得BC AB =． 所以 DBC ABC S BD AB ADS AB AB ∆∆-===ABBC -1=． 6． 答案：B解：解方程组,10.y px y x =⎧⎨=+⎩，得101x p =-，因为x 和p 都是整数，所以110,5,2,1p -=±±±±，即11,9,6,4,3,1,2,0p =---共8个值，0p =舍去． 7． 答案：C解：设三个连续的正整数分别为n －1，n ，n ＋1（n 为大于1的整数），当一次项系数是n －1或n 时，方程的判别式△均小于零，方程无实数根；当一次项系数是n ＋1时，方程的判别式△=()22141314n n n n +--=--+（）（），要使△≥0，由于n 为大于1的整数，所以n 只能取2．当n =2时，方程2320x x ++=，22310x x ++=均有整数根，所以满足要求的a ，b ，c 只有两组：（1，3，2）、（2，3，1） 8．答案：A解：每掷一次可能得到6个点的坐标是(其中有两个点是重合的)：(1，1)，(1，1)， (2，3)，(3，2)，(3，5)，(5，3)，通过描点和计算可以发现，经过(1，1)，(2，3)， (3，5)三点中的任意两点所确定的直线都经过点P (4，7)，所以小明第三次掷得的点也在直线l 上的概率是3264=． 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．答案：1a +解：比a大的最小完全平方数是21)1a =+． 10．答案：解：作如图所示的辅助线，易知小正方形的边长是故所求周长为 11．答案：40º＜∠B ＜80°解：如图，当BC 最短时，∠ABC ＝40º，现以B 为圆心，AB 长为半径画弧交直线AC 于点C 1，当BC 1长等于AB 时， ∠ABC 1＝80º，所以40º＜∠B ＜80º． 12解：当△ABC 按顺时针方向旋转60°时（如图1），连结OA ，OB ′， ∵∠AOB ′=60°， ∴△OAB ′为正三角形，∴AB ′． 当△ABC 按逆时针方向旋转60°时（如图2），AB ′=2×OA=3a ． 13．答案：（178，3）解：梯形AOCD 的面积=358322+⨯=（）．过P 作PE ⊥y 轴于点E ，∵PAD POC S S ∆∆=，∴3AE =5OE ，即3(8-OE )=5OE ，解得OE =3．∴PAD POC S S ∆∆==7.5，PAO PCD S S ∆∆==(32-2×7.5)÷2=8.5．(第11题)(第10题)(图1)(图2)(第12题)C A ′ B C ′ CC ′A B ′(第13题)∴188.52PE ⨯⨯=，PE =178． ∴ P 点的坐标是（178，3）． 14．答案：35解：∵ A ＋B =45，……①A ＋C =49，……② C ＋D =64，B ＋D =60，②－①，得C －B =4，则B ＋C =B ＋(B ＋4)=2×B ＋4为偶数． 在54千克与55千克中，只有54为偶数，∴ B =25，∴D =35．三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．(12分)解： ①×2-②， 得a a b 3222=-．由题意，得 a ≠0．两边同除以2a ，得32b a a -=．16．(12分)解：(1) 图1中火柴棒的总数是(31m +)根，图2中火柴棒的总数是（52n +）根， 因为火柴棒的总数相同，所以3152m n +=+， 所以513n m +=． (2) 设图3中有3 p 个正方形，那么火柴棒的总数是(73)p +根， 由题意得a =315273m n p +=+=+，所以325177m n p --==． 因为m ，n ，p 均是正整数，所以当m =17，n =10时，p =7，此时a 的值最小，31715102773a =⨯+=⨯+=⨯+=52．1,8b a -= ……①212.4a a +=……②17．(12分)解：过点E 作BC 的垂线与圆交与点H ，与AC 交于点O ， 连结AH 和DH ，作AM ⊥BC ，垂足是M ．因为E 是切点，所以EH 必过圆心，即EH 是直径， 所以DH ⊥DE ，因为D ，E 是切点，所以BD =BE ， 又因为∠B =60°，所以△DBE 是正三角形， 所以∠BDE =∠BAC =60°， 所以DE ∥AC ，DH ⊥AC ．由已知得AM =EH ，又AM ∥EH ，所以四边形AMEH 是矩形， 所以AH ⊥H E ，即AH 是切线，所以AD =AH ，AC 垂直平分DH ，AC 必过圆心， 所以AC 与EH 的交点O 是圆心， 所以OE =OF ，因为∠COE =90°-∠C =30°，所以∠OEF =75°， 又∠DEO =∠EOC =30°， 所以∠DEF =30°+75°=105°．18．(14分)解：(1) 当a =1时，因为22221y ax amx am m =-+++=()221x m m -++．所以顶点A (m ，2m +1)，又P (1，3)，设直线AB 的解析式是y =kx +b ，把点A ，P 的坐标代入，得①—②，得2m -2=（m -1）k ，因为m ≠1（若m=1，则A ，B ，P 三点重合，不合题意），所以k =2，b =1，所以直线AB 的解析式是y =2x +1，得 l 2的顶点B (0，1)，因为l 2与l 1关于点P 成中心对称，所以抛物线的开口大小相同，方向相反，得 l 2的解析式是21y x =-+．(第17题)B21,m kmb +=+…①3.k b =+…②(第18题图1)因为点A ，B 关于点(1,3)P 成中心对称（如图1），作PE ⊥y 轴于点E ，作AF ⊥y 轴于点F ，则△BPE ∽△BAF ，所以AF =2PE ，即m =2．(2) 在Rt △ABF中，因为AB =＜5，所以当△ABC 为等腰三角形时，只有以下两种情况：i) 如图2，若BC AB ==OC =得0)C因为0)C 在12+-=ax y 上， 所以119a =ii) 如图3，若A C B C =，设C （x ，0），作AD ⊥x 轴于点D ，在Rt △OBC 中，221BC x =+，在Rt △ADC 中，()22225AC x =-+，由()221225x x +=-+，解得7x =． 因为C (7，0)在12+-=ax y 上，所以149a =． 综上可得，满足使△ABC 是等腰三角形的a 值有两个，1211,1949a a ==．(第18题图2)(第18题图3)。
余杭区年“假日杯”初中数学竞赛试卷
余杭区年“假日杯”初中数学竞赛试卷（年11月25日 上午9∶00—10∶30） 题次 一 二 三 总分 1～8 9～14 15 16 17 18 得分一、选择题 （共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1. 以下三个结论：①两个无理数的和一定是无理数；②两个无理数的和有可能是有理数；③两个无理数的和一定是实数，其中正确的结论是（ ） (A) ①和② (B) ①和③ (C) ②和③ (D) 只有③ 2． 如图所示，直线//a b ，则∠A 等于（ ）(A) 20º (B) 21º(C) 22º (D) 23º3. 从长度是2cm 、2cm 、4cm 、4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ）(A)41(B) 31(C)21 (D)14． 一个几何体的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的俯视图不可能．．．是（ ）5． 如图，已知每个小方格的边长为1，A ，B ，C 三点都在小方格的顶点上，则点C 到AB 所在直线的距离等于（ ）(A) 810(B) 108(C) 10 (D)8BAC(第5题)得 分 评卷人 b a AB C44º21º (第2题) (A) (B) (C)(第4题) 主视图 左视图6． 设“●，▲，■”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“?”处应放“■”的个数为（ ）(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D)27． 如图是一个立方体的表面展开图，已知立方体相对两个面上的数值相同，则“★”面上的数为（ ） (A) 4 (B) 3 (C) 2(D) 18. 已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）(A) 6 (B) 7(C) 8 (D) 9二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9． 将一条两边沿互相平行的纸带按如图折叠．若∠1＝64º，则∠2的度数是 ．10．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，△BPC 是等边2 1(第9题) ADP(1)(2) (3)(第6得 分 评卷人(第8题)1 2x -yx +yy -2xy -x ★ (第7题)三角形，则△CDP的面积是 _______；△BPD的面积是．11．某地夏天连续九天的最高气温统计如下表：最高气温(ºC) 34 35 36 37 天 数1242则这组数据的中位数和众数分别是 ．12．已知一组数据共有100个，其中有15个数在这组数据的中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是 ． 13．已知一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数是x ，方差是2S ，那么另一组数据2x 1– 1，2x 2 – 1，2x 3– 1，…，2x n – 1的平均数是 ，方差是 ． 14．定义一种对正整数n 的“F 运算”：① 当n 为奇数时，结果为53+n ；② 当n 为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使k n2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取26=n ，则：若n =449，则第449次“F 运算”的结果是 ．三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15. 如图，在△ABC 中，AC ＝1，BC ＝2，∠ACB ＝60º，将△ABC 折叠，使点B 和点C 重合，折痕为DE ．请说明△AEC ≌△DEC 的理由．26 F ② 13 F ① 44 F ② 11… 第1次 第2次 第3次 BACE(第15题)得 分评卷人16．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22， 20=62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．(1) 36和2 012这两个数都是神秘数吗？为什么？(2) 设两个连续偶数为2k +2和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是8的倍数吗？为什么？(3) 两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？得 分评卷人17．边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1∶2的两部分，求所有这些等腰三角形中，面积小于8且周长最大的三角形的三边长．得分评卷人18．在矩形ABCD 中，AD ＝4，点P 在AD 上，且AP ∶PD =a ∶b ．(1) 求△PCD 的面积S 1与梯形ABCP 的面积S 2的比值21S S（用含a ，b 的代数式表示）； (2) 将线段PC 绕点P 逆时针旋转90º至PE ，求△APE 的面积S （用含a ，b 的代数式表示）．得 分 评卷人ADP (第18题)S 2S 1S。
2007年浙江省初中数学竞赛试题
2007年浙江省初中数学竞赛试题2007年3月11日9：00－11：00一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分。
以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、C 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号未老先衰题后的括号里，不填、多填或错填均得零分）1．函数y ＝1x-图象的大致形状是（ ）2．老王家到单位的路程是3500米，老王每天早上7：30离家步行去上班，在8：10（含8：10）到8：20（含8：20）之间到达单位。
如果设老王步行的速度为x 米／分，则老王步行的速度范围是（ ）A ．70≤x ≤87.5B ．70≤x 或x ≥87.5C ．x ≤70D ．x ≥87.53．如图，AB 是半圆的直径，弦AD ，BC 相交于P ，已知∠DPB ＝60°，D 是弧BC 的中点，则tan ∠ADC 等于（ ）A ．12B ．2C ．D ．34．抛物线()20y x x p p =++≠的图象与x 轴一个交点的横坐标是P ，那么该抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（0，－2）B ．19,24⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．19,24⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．19,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，CD 是角平分线，则△DBC 的面积与△ABC 的面积的比值是（ ）A ．22B ．23C ．32-D ．33- 6．直线l ：()0y px p =是不等于的整数与直线y ＝x ＋10的交点 恰好是（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l 有 （ ）A ．6条B ．7条C ．8条D ．无数条7．把三个连续的正整数a ，b ，c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入20x x ++=的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a ，b ，c （ ）A ．不存在B ．有一组C ．有两组D ．多于两组8．六个面上分别标有1,1，2,3，3,5六个数字的均匀立方体的表面菌 如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数主该点的纵坐标。
2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题及参考答案
2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题（2007年4月1日 下午1：00—3：00）答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分） 1．若3210x x x +++=，则2627--+x x+ … +x x ++-11+ … +2726x x +的值是（ ）（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）2 2．定义：定点A 与⊙O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与⊙O 之间的距离．现有一矩形ABCD 如图，AB =14cm ，BC =12cm ，⊙K 与矩形的边AB 、BC 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，则点A 与⊙K 的距离为（ ）（A ）4cm （B ）8cm （C ）10cm （D ）12cm3．某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，50．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”． 如果令⎩⎨⎧=号同学当选．号同学不同意第，第号同学当选，号同学同意第，第，j i j i a j i 01其中i =1，2，...，50；j =1，2， (50)则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为（ ）（A ）2111，，a a ++ … ++++250150501，，，a a a … +5050，a （B ）1211，，a a ++ … ++++502501150，，，a a a … +5050，a （C ） 50111，，a a +50212，，a a + … +5050150，，a a （D ） 15011，，a a +25021，，a a + … +5050501，，a aA（第2题）4．若a b c t b c c a a b===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ） （A ）第一、二象限 （B ）第一、二、三象限 （C ）第二、三、四象限 （D ）第三、四象限5．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)无穷多个 6．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB =4，AO =26，那么AC 的长等于( )(A) 12 (B) 16(C)(D)二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．函数321+++++=x x x y ，当x = 时，y 有最小值，最小值等于 ．8．以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为 ．9．如图，△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB =6 cm ，AC =4 cm ，∠A =60°，则AD 的长为 cm ． 10．设，，，321x x x … ，2007x 为实数，且满足321x x x …2007x =321x x x -…2007x =321x x x -…2007x =…=321x x x …20072006x x -=1，则2000x 的值是 ．11．正六边形轨道ABCDEF 的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A ，C 两点同时出发，均按A →B →C →D →E →F →A →… 方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过 秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．正整数M 的个位上的数字与数20152013的个位上的数字相同，把M 的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N ．若N 是M 的4倍，T 是M 的最小值，则T 的各位数字之和等于 ．ABCEFO（第6题） （第9题）ABCD三、解答题（共4小题，满分54分）13．（本题满分12分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象G 和x 轴有且只有一个交点A ，与y 轴的交点为B （0，4），且ac b =． （1）求该二次函数的解析表达式；（2）将一次函数y =3-x 的图象作适当平移，使它经过点A ，记所得的图象为L ，图象L 与G 的另一个交点为C ，求△ABC 的面积．如图，AB ∥CD 、AD ∥CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、N 、P 、Q，求证：MN +PQ =2PN ．BACMN P EFQDG2007个质点均匀分布在半径为R 的圆周上，依次记为1P ，2P ，3P ，…，2007P ．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i 个质点，则下次就涂第i 个质点后面的第i 个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂点方案；若不能，请说明理由．从连续自然数1，2，3，…，2008中任意取n个不同的数，（1）求证：当n=1007时，无论怎样选取这n个数，总存在其中的4个数的和等于4017．（2）当n≤1006（n是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由．2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：C解：由3210x x x +++=，得1x =-，所以2627--+x x + … +x x ++-11+ … +2726x x +=-1．2．答案：A解：连结AK 、EK ，设AK 与⊙O 的交点为H ，则AH 即为所求， 因为AK =22AE EK +=10，所以AH = 4． 3．答案：C解：由题意得C 正确． 4．答案：A解：由已知可得t c b a c b a )(2++=++，当0a b c ++≠时，12t =，1124y x =+，直线过第一、二、三象限； 当0a b c ++=时，1t =-，1y x =-+，直线过第一、二、四象限．综合上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限．5．答案：C解：设直角三角形的两条直角边长为,a b (a b ≤)，则12a b k ab ++=⋅（a ,b ,k 均为正整数），化简，得(4)(4)8ka kb --=，所以4148ka kb -=⎧⎨-=⎩或4244ka kb -=⎧⎨-=⎩．解得1512k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或234k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或⎪⎩⎪⎨⎧===.8,6,1b a k 即有3组解．6．答案：B解：在AC 上取一点G ，使CG =AB =4，连接OG ，则△OG C ≌△OAB ，所以OG =OA =26， ∠AOG =90°，所以△AOG 是等腰直角三角形，AG =12，所以AC =16．A（第2题）AB CEFO G（第6题）二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．答案：-2，2解：当x ≤-3时，y = -3x -6；当-3＜x ≤-2时，y = -x ； 当-2＜x ≤-1时，y =x +4； 当x ＞-1时，y =3x +6．；所以当x =-2时，y 的值最小，最小值为2． 8．答案：8个解：正三角形的各边必为立方体各面的对角线，共有8个正三角形． 9．答案：5312 解：由S △ABC =S △ABD + S △ADC ，得︒⋅⋅60sin 21AC AB =︒⋅⋅+︒⋅⋅30sin 2130sin 21AC AD AD AB ． 解得AD =5312．10．答案：1，或253±-解：由已知，321x x x ...200032120001x x x x x -=1，321x x x (1999)32119991x x x x x -=1，解得12320001231999x x x x x x x x ==． 所以12000=x，或2000x = 11．答案：238104解：设甲跑完x 条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x 厘米，乙走了2.91208x ⨯厘米，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+⨯>--+-⨯．，1201202402.91208120)1(1202402.9)1(1208x x x x解得328327<≤x ．因x 是整数，所以x =8，即经过2.98120⨯=232400=238104秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．答案：36 解：20152013的个位数字是7，所以可设710+=k M ，其中k 是m 位正整数，则k N m+⨯=107．由条件N =4M ，得k m+⨯107=)710(4+k ，即39)410(7-=m k ．当m =5时，k 取得最小值17948．所以T =179487，它的各位数字之和为36．三、解答题（共4题，满分54分） 13．(12分)解：（1）由B （0，4）得，c =4．G 与x 轴的交点A （2ba-，0）， 由条件ac b =，得b c a =，所以2b a -=22c -=-，即A （2-，0）．所以4,4240.b a a b =⎧⎨-+=⎩解得1,4.a b =⎧⎨=⎩所求二次函数的解析式为244y x x =++．（2）设图象L 的函数解析式为y =3-x +b ，因图象L 过点A （2-，0），所以6b =-，即平移后所得一次函数的解析式为y =36x --．令36x --=244x x ++， 解得12x =-，25x =-．将它们分别代入y =36x --， 得10y =，29y =．所以图象L 与G 的另一个交点为C （5-，9）． 如图，过C 作CD ⊥x 轴于D ，则 S △ABC =S 梯形BCDO -S △ACD -S △ABO =111(49)53924222+⨯-⨯⨯-⨯⨯=15．（第13题）14．(12分)证明：延长BA 、EC ，设交点为O ，则四边形OADC 为平行四边形． ∵ F 是AC 的中点， ∴ DF 的延长线必过O 点，且31=OG DG ． ∵ AB ∥CD ， ∴DNANPN MN =． ∵ AD ∥CE ，∴DNCQPN PQ =． ∴ +PN MN =PN PQ DN AN DNCQ+ =DNCQ AN +．又=OQ DN 31=OG DG ， ∴ OQ =3DN ．∴ CQ =OQ -OC =3DN -OC =3DN -AD ，AN =AD -DN ， 于是，AN +CQ =2DN ， ∴+PN MN =PNPQ DN CQAN +=2，即 MN +PQ =2PN ．15．(14分)解：不能．理由：设继i P 点涂成红色后被涂到的点是第j 号，则j =2,22007,22007,22007.i i i i ≤⎧⎨->⎩若i =2007，则j =2007，即除2007P 点涂成红色外，其余均没有涂到． 若i ≠2007，则2i ≠2007，且2i ≠4014，即2i -2007≠2007， 表明2007P 点永远涂不到红色．BACMN P E FQDG O 初中数学资源网第11页（共6页） 16．(16分)解：（1）设123x x x ，，，…，1007x 是1，2，3，…，2008中任意取出的1007个数．首先，将1，2，3，…，2008分成1004对，每对数的和为2009，每对数记作(m ，2009-m ) ，其中m =1，2，3， (1004)因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对，因此至少有3对数，不妨记为112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，， (123m m m ，，互不相等)均为123x x x ，，，…，1007x 中的6个数．其次，将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对，每对数的和为2008，每对数记作(k ，2008-k ) ，其中k =1，2， (1003)2006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是123x x x ，，，…，1007x 中的4个数，不妨记其中的一对为11(2008)k k -，．又在三对数112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，，，(123m m m ，，互不相等)中至少存在1对数中的两个数与11(2008)k k -，中的两个数互不相同，不妨设该对数为11(2009)m m -，，于是1111200920084017m m k k +-++-=．（2）不成立．当1006n =时，不妨从1，2，…，2008中取出后面的1006个数：1003 ，1004， (2008)则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018>4017；当1006n <时，同样从1，2，…，2008中取出后面的n 个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018>4017．所以1006n ≤时都不成立．。
余杭区年“假日杯”初中数学竞赛试卷答案
余杭区“假日杯”初中数学竞赛参考答案和评分标准一、选择题 （共8小题，每小题5分，满分40分）1. C2. D3. C4. D5. B6. A7. B8. A二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 52º 10. 1，13- 11. 36和36 12. 35％或65％ 13. 12-x ，24S14. 8（注：以上有两个答案的小题，答对一个给3分）三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15. 解：连接AD ，……3分∵AC ＝DC ＝1，∠ACB ＝60º，∴△ADC 是等边三角形．……3分∵BD ＝DC ＝DA ，∠ADC ＝60º，∴∠BAD ＝30º， ……2分 ∴∠BAC ＝90º．……2分在Rt △AEC 和Rt △DEC 中，∵AC ＝DC ，EC ＝E C ，∴△AEC ≌△DEC （HL ）． ……2分16. 解：(1) 36=102-82，2 012=5042-5022，所以28和2 012都是神秘数．……4分(各2分)(第(1)问评分注：只有猜想36和2 012是神秘数但没有理由，各得1分)(2) (2k +2)2-(2k )2=4(2k +1)，……1分因为2k +1是奇数，因此由这两个连续偶数2k +2和2k 构造的神秘数不是8的倍数．……2分(第(2)问评分注：如果只通过猜想或举例来说明神秘数不是8的倍数，也得1分）(3) 设两个连续奇数为2n +1和2n -1，……1分 A C E (第15题)则(2n+1)2-(2n-1)2=8n，……1分即两个连续奇数的平方差是8的倍数．……1分由(2)知，神秘数不是8的倍数，因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数．……2分(第(3)问评分注：通过几个特例来说明两个连续奇数的平方差不是神秘数，可以得2分；只有猜想“两个连续奇数的平方差不是神秘数”也得1分)17. 解：设这个等腰三角形的腰为x ，底为y ，分为的两部分边长分别为n 和2n ，根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+;22,2n y x n x x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.2,22n y x n x x ……2分解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==;35,32n y n x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==.3,34n y n x ……2分∵ 35322n n <⨯(此时不能构成三角形，舍去)， ……1分∴ 取⎪⎩⎪⎨⎧==,3,34n y n x 其中n 是3的倍数． ……2分 三角形的面积2223663)6()34(321n n n n S Δ=-⨯⨯=（或127）． ……1分当n =3时，8463<=ΔS ；当n =6时，863<=ΔS ；当n =9时，84639>=ΔS ． 因此取n =6，此时，x =8，y =2．……2分 故所求的面积小于8且周长最大的三角形的三边长是8，8，2． ……2分18. 解：(1) b a a AP +=4，b a b PD +=4，……2分 设AB =h ，则S 1=b a bh +2，S 2=ba hb a ++)24(． ……2分 ∴ ba b S S +=221． ……2分(2) 过E 作AD 的垂线交AD (或AD 的延长线)于点F ，过P 作BC 的垂线交BC 于点G ． ……2分在Rt △PFE 和Rt △PGC 中， PE =PC ，∠EPF =∠CPG ，∴△PFE ≌△PGC ．……2分 ∴EF =GC =PD =b a b +4． ……2分 ∴2)(8442121b a ab b a b b a a EF AP S +=+⋅+⋅=⋅⋅=． ……2分年11月B AC D P(第18题) F S S 1 S 2。
2007 全国初中数学竞赛试题及答案
2007年全国初中数学竞赛试题参考答案 中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1．方程组12,6x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解的个数为（ ）．（A ）1 （B ） 2 （C ） 3 （D ）4答：（A ）．解：若x ≥0，则12,6,x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩于是6y y -=-，显然不可能．若0x <，则 12,6,x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩于是18y y +=，解得9y =，进而求得3x =-．所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=,9,3y x 只有1个解．故选（A ）．2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）．（A ） 14 （B ） 16 （C ）18 （D ）20答：（B ）． 解：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4所以，共16种．故选（B ）．3．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 答：（B ）．解： 如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以BAC ∠，ABE ∠均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，所以BAC ABE ∠=∠．于是，2BEC BAC ABE BAC ∠=∠+∠=∠．若△ABC 的外心为1O ，则12B O C B A C ∠=∠，所以，⊙O一定过△ABC 的外心．故选（B ）．4．已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx（第3题答案图）恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab++的值为（ ）．（A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 答：（D ）． 解：设0x 是它们的一个公共实数根，则0020=++c bx ax ，0020=++a cx bx ，0020=++b ax cx ．把上面三个式子相加，并整理得200()(1)0a b c x x ++++=．因为22000131()024x x x ++=++>，所以0a b c ++=． 于是222333333()a b c a b c a b a b bc ca ab abc abc +++-+++== 3()3ab a b abc-+==．故选（D ）．5．方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（ ）． （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 答：（A ）． 解：原方程可化为2(1)(2)3(1)(1)2x x x x x y y y ++++=-++（），因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．故选(A).二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CA ＝4．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．答：4．解：如图，设AC 与BP 相交于点D ，点D 关于圆心O 的对称点记为点E ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP 的面积，即△BOP 面积的两倍．而1122222BPO S PO CO ∆=⋅=⨯⨯=．因此，这两部分面积之差的绝对值是4．7．如图, 点A ，C都在函数0)y x =>的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 ．答：（0）．解：如图，分别过点A ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ，F ．设OE ＝a ，BF ＝b ， 则AE，CF，所以，点A ，C 的坐标为（a），（2a ＋b），（第7题答案图）所以2(2)a a b =+=解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，点D的坐标为（0）．8．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围是 ．答：1-≤12a <-，或者3a =-解：分两种情况：（Ⅰ）因为二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 只有一个交点，且点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0），所以[][]032)3(231)3(122<+⨯-+⨯+⨯-+a a ，得112a -<<-．由031)3(12=+⨯-+a ，得1a =-，此时11=x ，32=x ，符合题意；由032)3(22=+⨯-+a ，得12a =-，此时21=x ，232=x ，不符合题意．（Ⅱ）令()2330x a x +-+=，由判别式0∆=，得3a =±．当3a =+时，12x x ==3a =-12x x ==综上所述，a 的取值范围是1-≤12a <-，或者3a =-9．如图，90A B C D E F G n ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=⋅︒，则n ＝ ．答：6．解：如图，设AF 与BG 相交于点Q ，则AQG A D G ∠=∠+∠+∠，于是A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠B C E F AQG =∠+∠+∠+∠+∠ B C E F BQF =∠+∠+∠+∠+∠ 540690=︒=⨯︒． 所以，n ＝6．10．已知对于任意正整数n ，都有312n a a a n +++= ，则23100111111a a a +++=--- ． 答：33100． 解：当n ≥2时，有3121n a a a a n n =++++- ，3121(1)n a a a n -+++=- ，两式相减，得 2331n a n n =-+， 所以),111(31)1(3111n n n n a n --=-=- ,4,3,2=n 因此23100111111a a a +++--- 11111111(1)()()32323399100=-+-++- 1133(1)3100100=-=． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11（A ）．已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线214y x =上的一个动点． （1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-的位置关系； （2）设直线PM 与抛物线214y x =的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：PNM QNM ∠=∠． 解：（1）设点P 的坐标为2001(,)4x x ，则 PM20114x ==+;又因为点P 到直线1y =-的距离为220011(1)144x x --=+， 所以，以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-相切．…………5分（2）如图，分别过点P ，Q 作直线1y =-的垂线，垂足分别为H ，R ．由（1）知，PH ＝PM ，同理可得，QM ＝QR ．因为PH ，MN ，QR 都垂直于直线1y =-，所以，PH∥MN ∥QR ，于是QM MPRN NH =， 所以Q RP H R NH N=， 因此，Rt △PHN ∽Rt △QRN ．于是HNP RNQ ∠=∠，从而PNM QNM ∠=∠．…………15分12（A ）．已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b -++=是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.解：不妨设a ≤b ，且方程的两个整数根为12,x x (1x ≤2x )，则有1212,1(),2x x ab x x a b +=⎧⎪⎨=+⎪⎩所以 12121122x x x x a b ab --=+-，124(1)(1)(21)(21)5x x a b --+--=.…………5分因为a ,b 都是正整数，所以x 1，x 2均是正整数，于是，1x -≥0,1x -≥0，21a -≥1,21b -≥1，所以12(1)(1)0,(21)(21)5,x x a b --=⎧⎨--=⎩ 或 ⎩⎨⎧=--=--.1)12)(12(,1)1)(121b a x x （（1）当12(1)(1)0,(21)(21)5x x a b --=⎧⎨--=⎩时，由于a ,b 都是正整数，且a ≤b ，可得a ＝1，b ＝3，此时，一元二次方程为2320x x -+=，它的两个根为11x =，22x =．（2）当12(1)(1)1,(21)(21)1x x a b --=⎧⎨--=⎩时，可得a ＝1，b ＝1，此时，一元二次方程为210x x -+=，它无整数解.综上所述，当且仅当a ＝1，b ＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为11x =，22x =． ……………15分13（A ）．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作AB 的垂线，垂足分别为,E F ，则CE ∥DF ．因为AB 是⊙O 的直径，所以90ACB ADB ∠=∠=︒．在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，由射影定理得22PA AC AE AB ==⋅，22PB BD BF AB ==⋅．……………5分两式相减可得()22PA PB AB AE BF -=-，又 ()22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB -=+-=-， 于是有 AE BF PA PB -=-， 即 PA AE PB BF -=-， 所以PE PF =，也就是说，点P 是线段EF 的中点．因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ⊥，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．……………15分14（A ）．（1）是否存在正整数m ，n ，使得(2)(1)m m n n +=+？ （2）设k (k ≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m ，n ，使得()(1)m m k n n +=+？解：（1）答案是否定的．若存在正整数m ，n ，使得(2)(1)m m n n +=+，则22(1)1m n n +=++，显然1n >，于是2221(1)n n n n <++<+，（第13A 题答案图）所以，21n n ++不是平方数，矛盾． ……………5分（2）当3k =时，若存在正整数m ，n ，满足(3)(1)m m n n +=+，则2241244m m n n +=+，22(23)(21)8m n +=++，(2321)(2321)8m n m n +--+++=，(1)(2)2m n m n -+++=，而22m n ++>，故上式不可能成立．………………10分当k ≥4时，若2k t =（t 是不小于2的整数）为偶数，取22,1m t t n t =-=-，则 2242()()()m m k t t t t t t +=-+=-， 2242(1)(1)n n t t t t +=-=-，因此这样的（m ，n ）满足条件．若2k t =＋1（t 是不小于2的整数）为奇数，取222,22t t t t m n -+-==，则 224321()(21)(22)224t t t t m m k t t t t t --+=++=+--， 2243221(1)(22)224t t t t n n t t t t +-++=⋅=+--， 因此这样的（m ，n ）满足条件．综上所述，当3k =时，答案是否定的；当k ≥4时，答案是肯定的．……………15分注：当k ≥4时，构造的例子不是唯一的．11（B ）．已知抛物线1C ：234y x x =--+和抛物线2C ：234y x x =--相交于A ，B 两点. 点P 在抛物线1C 上，且位于点A 和点B 之间；点Q 在抛物线2C 上，也位于点A 和点B 之间. （1）求线段AB 的长；（2）当PQ ∥y 轴时，求PQ 长度的最大值．解：（1）解方程组2234,34,y x x y x x ⎧=--+⎪⎨=--⎪⎩得 112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 222,6,x y =⎧⎨=-⎩所以，点A ，B 的坐标分别是（-2，6），（2，-6）． 于是AB ==…………5分（2）如图，当PQ ∥y 轴时，设点P ，Q 的坐标分别为)43,(2+--t t t ， )43,(2--t t t ， 22t -<<，因此 PQ 22(4)t =-≤8， 当0t =时等号成立，所以，PQ 的长的最大值8．12（B ）．实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，且0ab bc ca ++=，abc ＝1．求最大的实数k ，使得不等式a b +≥k c恒成立．解：当a b ==2c =时，实数a ，b ，c 满足题设条件，此时k ≤4． ……………5分下面证明：不等式a b +≥4c 对满足题设条件的实数a ，b ，c 恒成立． 由已知条件知，a ，b ，c 都不等于0，且0c >．因为2110,0ab a b c c=>+=-<，所以a ≤b 0<．由一元二次方程根与系数的关系知，a ，b 是一元二次方程22110x x c c++=的两个实数根，于是414c c∆=-≥0，所以 3c ≤14．……………10分因此21()a b a b c +=-+=≥44c c =． ……………15分13（B ）．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足DE ADCF BC =．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接P A ，PB ，PC ，PD ．求证：（1）AD PDBC PC=； （2）△PAB ∽△PDC ．证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG ∠=∠，所以PDC PEF ∠=∠．又因为PCG PFG ∠=∠，所以△PDC ∽△PEF ， 于是有,PD PECPD FPE PC PF=∠=∠， 从而 △PDE ∽△PCF ，所以PD DEPC CF =． 又已知DE AD CF BC =，所以，AD PDBC PC=． ………………10分（2）由于PDA PGE PCB ∠=∠=∠，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而有,PA PDPB PC= DPA CPB ∠=∠， 所以APB DPC ∠=∠，因此△PAB ∽△PDC ． ………………15分14（B ）．证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u ，v 满足1≤u v <证明：设任意△ABC 的三边长为a ，b ，c ，不妨设a b c >>．若结论不成立，则必有a b， ○1 b c． ○2 ………………5分记,b c s a b t c s t =+=+=++，显然,0s t >，代入○1得c s t c s +++≥12+， 11s t c c s c+++≥12+， 令,s tx y c c==，则11x y x +++． ○3 由a b c <+，得c s t c s c ++<++，即t c <，于是1ty c=<． 由○2得1b c s x c c +==+， ○4 由○3，○4得y≥11(1)2x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭1=， 此式与1<y 矛盾．从而命题得证．………………15分。
余杭区2007年“假日杯”中小学网络应用能力竞赛试题(中学组)
余杭区2007年“假日杯”中小学网络应用能力竞赛试题中学组学校姓名得分注意事项：1、全卷共100分，考试时间为60分钟。
2、利用因特网完成题目。
3、答案直接做在本文档中，凡由答题者输入的文字一律以红色加粗显示，完成后请将文档排版，总页数控制在6页以内（2分）。
4、试卷做完后，将本文档改名为：“学校名称＋队名.doc”，例如：“××中学一队”。
并上传到本组的专用FTP内，同时删除其余所有文件。
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●一、填空：（20分）2、2008北京奥运会将于8 月8 日举行，那一天农历是初8。
3、2008年北京奥运会奖牌于今年 3 月27 日正式发布，奖牌正面采用国际奥委会规定的图案: 插上翅膀站立的希腊胜利女神和希腊潘纳辛纳科竞技场，背面镶嵌取自中国古代龙纹玉璧造型的玉璧，背面正中的金属图形上镌刻着北京奥运会会徽。
4、清华大学的域名 ，对应IP地址是。
二、牧师过河问题：请描述牧师过河问题，并用自然语言描述过河步骤。
（5分）有三个牧师和三个野人过河，只有一条能装下两个人的船，在河的任何一方或者船上，如果野人的人数大于牧师的人数，那么牧师就会有被吃掉的危险。
你能不能找出一种安全的渡河方法呢？三、国家统计局对全国县域社会经济综合发展测算结果显示，2005年浙江共有30个县（市、区）跻身全国最发达100个县（市、区）行列（以下简称百强县），百强县数量与2004、2003年持平，并连续六年位居全国第一。
请在WORD文档中完成以下内容：（1）浙江入围全国百强县（30个）的名单、名次及社会经济综合发展指数表（5分）2005年县（市）社会经济综合发展指数前100名（浙江省）(2)请比较我区与周边六个县市（区）：萧山区、富阳市、临安市、海宁市、桐乡市、德清县的社会经济综合发展指数情况（用EXCEL 柱形图表示）。
（10分）社会经济发展综合指数四、拥有一辆合适的汽车越来越成为很多人的梦想，请把下表中的部分排量为2.0升汽车的资料填写完毕，五、全国中小学课程改革已经由个别省市试点逐步向其它省市全面推广，作为改革的重点之一：高考方案的确定倍受关注。
2007年余杭区假日杯试卷
2007年余杭区“假日杯”小学数学竞赛试题（60分钟）班级 姓名一、填空题：（每题5分，共35分）1．计算：(1+0.12+0.23)=+⨯+++-++⨯)23.012.0()34.023.012.01()34.023.012.0( ( )2.计算：=++++++817716615514413312211（ ） 3.=⨯⨯÷÷7.07.17.237.0285.714（ ）4.“重阳节”那天，临平老年茶社来了25位老人品茶。
他们的年龄恰好25个连续的自然数，两年后这25位老人的年龄之和正好是2000。
其中年龄最大的老人今年（ ）岁。
5. 要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管。
那么，只有当锯得的38毫米的铜管为（ ）段、90毫米的铜管为（ ）段时，所损耗的铜管才能最少。
6.把1、2、3、4、……9这九个数字填入下面算式的九个方框中（每个数字只用一次），使三个三位相乘的积最大。
7.如果右图中任意相邻的三个点构成的三角形的面积都是2平方厘米。
那么三角形ABC 的面积是（ ）个平方厘米。
8.在右边的减法竖式中，“☆”“△”“○”各代表一个不同的数字。
可以推算出“○”代表（ ）。
9.某校为表扬好人好事核实一件事，校长找了A 、B 、C 、D 四人。
A 说：“是B 做的。
”B 说：“是D 做的。
”C 说：“不是我做的”。
D 说：“B 说的不对。
”这四个人中只有一个人说了实话。
问：做这件好事的人是（ ）。
10.一根木料长21米，把它锯成3米长的一段。
每锯一段用6分钟，共用（ ）分钟。
二、解答题：（写出过程）每题10分，最后一题12分，共52分）1.马路上有一辆车身为15米的公共汽车由东向西行驶，车速为每小时18千米。
马路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人在练习长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑。
某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟后汽车离开了甲；半分钟之后，汽车遇到了迎面跑来的乙；又过了2秒钟，汽车离开了乙。
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余杭区2007年“假日杯”初中数学竞赛试卷
（2007年11月24日 上午9∶00—10∶30）
一、选择题 （共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分） 1. 已知
x
x x x -=
-11
，则x 应满足（ ） (A) x ＜1
(B) x ≤0
(C) x ＞1
(D) x ≥0且x ≠1
2. 有一个游戏的规则是：你想一个数，乘以2，加上6，再除以2，最后减去你所
想的数，我就知道结果．这个结果是（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
3. 如图，Rt ABC Δ中，DC 是斜边AB 上的中线，EF 过点C 且平行于AB ．若
︒=∠35BCF ，则ACD ∠的度数是（ ）
(A) 35° (B) 45°
(C) 55°
(D) 65°
4． 一个立方体的表面展开图如下面左图所示，将其折叠成立方体后的立体图形是
（ ）
5. 已知x ，y ，z 满足
x
z z
y x +=
-=
532，则
z
y y x
25
+-
的值为（ ） (A)
3
1 (B) 3
1-
(C) 1
(D)
2
1
(第4题)
(A)
(B) (C) (D)
E
(第3题)
6. 801班的全体同学为本校一贫困生共捐款125元，根据下表（不完整）中该班的
捐款数和捐款人数，可以知道该班捐款数的平均数和中位数依次是（ ）
(A) 2.5元，2元 (B) 2.5元，2.5元 (C) 2元，2.5元 (D) 2元，2元 7. 袋中装有3个红球、4个黑球、5个白球．现从袋中任意摸出2个球，摸出的球
中恰好有1个红球的概率是（ ）
(A)
44
9 (B)
22
9 (C)
11
5 (D)
3
1
8. 如图，点A 是5×5方格图形中的一个格点(小正方形的顶点)，图中每个小正方形
的边长都是1．那么，面积等于
2
5
，并且一个顶点是A 点的格点．．等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数有（ ）
(A) 10个 (B) 12个 (C) 14个 (D) 16个
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9. 化简1
)1
11(2
-÷
-+
x
x x 得 ，
当x = (选择一个你喜欢的x 值)时，求得原式的值为 ． 10. 计算
008
2006218
616
414
21⨯+
+⨯+
⨯+
⨯ 的结果是 ．
11. 观察下列各式：225100)11(115+⨯+⨯=；
2
2
5100)12(225+⨯+⨯=； 2
2
5100)13(335
+⨯+⨯=；
……
依此规律，第n 个等式(n 为正整数)为 ．
12. 一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该
为 ．
(第8题
)
13. 三个同学对问题“若二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+2
221
11,c y b x a c y b x a 的解是⎩⎨
⎧==,4,
3y x 求方程组⎩⎨
⎧=+=+2
22111523,
523c y b x a c y b x a 的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 14. 某文具店销售的水笔只有A ，B ，C 三种型号，下表中给出了上月这三种型号水笔每
支的利润和销售量．若该店计划下月共进货这三种型号水笔600支，结合上月销售情况，你认为A ，B ，C 三种型号的水笔
各进货多少支总利润最高？此时所获得
的总利润是多少？答：进A 型水笔 支，B 型水笔 支，C 型水笔 支，总利润最高，此时所获得的总利润为 元．
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15. 当x 分别取值
008
21，
007
21，…，3
1，
2
1，1，2，3，…，2 007，2 008时，
求所得各代数式2
211x
x +-值的和．
16. 已知一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数是x ，
方差是2S ，设另一组数据b ax x +='11，b ax x +='22，
b ax x +='31
，…，b ax x n n +='的平均数是x '，方差是2S '．
请说明以下等式成立的理由：(1) b x a x +='；(2) 222S a S ='．
17. 已知四边形ABCD两条对角线互相垂直，点O是对角线的
交点，∠ACD=60 ，∠ABD=45 ，点A到CD的距离是6，点D到AB的距离是8，求四边形ABCD的面积S．
A
B
C
D O
(第17题)
18. 现有一张矩形纸片ABCD (如图)，其中AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，
点E 是BC 的中点．将纸片沿直线AE 折叠，点B 落在四边
形AECD 内，记为点B '．求线段C B '的长．
B
A
C
D
E (第18题)
B '。