2016年秋九年级数学上册6.2反比例函数图象上点的增减变化规律(第2课时)导学案(新版)北师大版
北师大版中学数学九年级上册 反比例函数的图象与性质(第2课时) 课件PPT
.
∵ 点（, ）在反比例函数的图象上，
∴=
= .
∴ 的坐标为（，）.
知识讲解
∵一次函数的图象经过点，，将这两个点的坐标代入 = + ，得
− = − + ，
ቊ
= + ,
= ，
解得ቊ
= −.
∴所求一次函数的解析式为 = − .
x
知识讲解
总结
过双曲线 = 上任意一点 分别作 轴、 轴的垂
线 ， ，连接 .
矩形 = ∙ = • = ∙ .
∵ =
，∴
∙ = .
∴ 矩形 = ， △ = △ =
2
.
知识讲解
例3
∴ = × − + = .
∵ 点 ， 在反比例函数 = 的图象上，∴ = .
∴ 反比例函数的解析式 =
.
19
课堂小结
反比例函数的图象和性质
• 形状 反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.因此称
反比例函数的图象为双曲线;
• 位置 当 > 0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;
2.反比例函数比例系数的几何意义
y
探究交流
4
1.在反比例函数 y
的图
x
5
4
3
2
1
象上分别取点，向x轴、y
轴作垂线，围成面积分别为
1
-5 -4 -3 -2 -1
O 1
-1
•
2
2
3
•
4
5
数学北师大版九年级上册 《6.2 反比例函数的图象与性质》第2课时教案
数学北师大版九年级上册《6.2 反比例函数的图象与性质》第2课时教案第六章反比例函数6.2 反比例函数的图象与性质第2课时一、教学目标1．复习巩固反比例函数图象与性质．2．理解和掌握反比例函数图象的增减性．二、教学重点及难点重点：反比例函数图象的增减性．难点：运用反比例函数图象的增减性．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源动画，知识卡片.五、教学过程【复习导入】1．一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．2．反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线y=x或y=-x；反比例函数的图象也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．设计意图：通过对反比例函数图象与性质的复习，为接下来学习反比例函数图象的增减性做好铺垫．【探究新知】议一议1．观察反比例函数，，的图象（如下图所示），你能发现它们的共同特征吗？（1）函数图象分别位于哪几个象限内？（2）在每一个象限内。
随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．答：（1）函数图象均位于第一、三象限内．（2）在每一象限内，随着x值的增大，y的值减小；理由：在每一象限的图象上任意取两点A（x1，y1），B（x2，y2），当k＞0，x2＞x1时，y2-y1=＜0，即y2＜y1．因此，在每一象限内，随着x值的增大，y的值减小．2．观察当k=-2，-4，-6时，反比例函数的图象（如下图所示），它们有哪些共同特征？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．答：它们的图象均位于第二、四象限；在每一象限内，随着x值的增大，y的值增大；它们的图象都不与x轴、y轴相交．教师总结：反比例函数的图象，当k＞0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大．想一想在一个反比例函数图象上任取两点P，Q．过点P分别作x 轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x 轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2．S1与S2有什么关系？为什么？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导，师生共同得出答案．答：S1=S2；由：在反比例函数(k≠0)的图象上任意取一点，过这个点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积总等于常数．设计意图：引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的语言表达能力与数学语言的组织能力．【典例精析】例1 已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？（2）点B（3，4），，D（2，5）是否在这个函数的图象上？师生活动：师生共同分析，教师引导并提出下列问题：（1）点A（2，6）在图象上的含义是什么？（2）图象的位置由哪个量确定？我们如何求出这个量？（3）反比例函数y随x的变化情况与哪个量有关？y随x的变化情况有没有限制条件？（4）某点不在图象上的含义是什么？学生解答，在小组里讨论，互相检查，小组代表展示解答过程．解：（1）因为点A（2，6）在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．（2）设这个反比例函数的解析式为．因为点A（2，6）在这个函数的图象上，所以点A的坐标满足，即．解得k=12．所以这个反比例函数的解析式为．把点B，C，D的坐标代入，可知点B，点C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B，点C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上．设计意图：从学生已有的数学知识出发，理解点在图象上的含义，运用待定系数法求函数解析式．通过解析式分析图象及性质，让学生感悟由“数”到“形”的过程，初步体会数形结合的数学思想．例2 如图，点P是反比例函数图象上一点，作PM⊥y轴于点M，若图中阴影部分的面积为3，则该反比例函数的解析式为．(xyPOM)师生活动：教师出示问题，学生思考，教师请学生代表回答，讲解出现的问题．解析：设点P的坐标为（x，y）．⊥S⊥POM=3，S⊥POM=PM·OM，⊥PM·OM=6，即．设该反比例函数的解析式为，⊥xy=k．⊥k＜0，⊥k=-6．⊥．设计意图：让学生理解k的几何意义．【课堂练习】1．对于反比例函数y=，下列说法不正确的是（）．A．点（-2，-1）在它的图象上B．它的图象在第一、第三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小2．如图，函数y1=x-1和函数y2=的图象相交于点M(2，m)，N(-1，n)，若y1＞y2，则x的取值范围是（）．A．x＜-1或0＜x＜2 B．x＜-1或x＞2C．-1＜x＜0或0＜x＜2 D．-1＜x＜0或x＞2 3．下列函数中，其图象位于第一、三象限的有______________；在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有_____________．（1）；（2）；（3）；（4）．4．已知反比例函数，当m_____________时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当m_____________时，其图象在每个象限内y随x 的增大而增大．5．在函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3由小到大的顺序是___________．师生活动：教师找几名学生代表回答，讲解出现的问题．6．反比例函数y=(k＞0)在第一象限的图象如下图所示，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P．如果⊥MOP的面积为1，那么k的值是_______．7．设函数，当m取何值时，它是反比例函数？它的图象位于哪个象限？参考答案1．C．2．D．3．（1）（2）（3）；（4）．4．，．5．y2＜y1＜y3．6．2．7．解：由题意，得解得m=3．所以当m=3时，函数是反比例函数．当m=3时，代入可得．因为k=1＞0，所以它的图象位于第一、第三象限．设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解．六、课堂小结1．一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．2．反比例函数(k为常数，k≠0)中k的几何意义如图．（1）过反比例函数图象上的任意一点P作x轴、y轴的垂线，两条垂线与x轴、y轴围成的长方形的面积等于．（2）若点A是反比例函数图象上任意一点，过点A作x轴（或y轴）的垂线，则所作垂线、x轴（或y轴）与线段OA围成的三角形的面积等于．注意：因为反比例函数(k为常数，k≠0)中的k有正负之分，所以在利用解析式表示长方形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计6.2 反比例函数的图形与性质（2）1．反比例函数图象的增减性2．反比例函数中k的几何意义。
秋北师大版九年级数学上册习题课件：6.2 第2课时 反比例函数图象上的点的增减变化规律
知识点 ：反比例函数中 k 的几何意义
3. (2017·衢州)如图，在直角坐标系中，点 A 在函
数 y＝4x(Байду номын сангаас＞0)的图象上，AB⊥x 轴于点 B，AB 的垂直平
3. (2017·河南)已知点 A(1，m)，B(2，n)在反比
例函数 y＝－2x的图象上，则 m 与 n 的大小关系为 __m_＜__n_____．
4. 如图，一次函数 y1＝kx＋b(k≠0)和反比例函数 y2＝mx (m≠0)的图象交于点 A(－1，6)，B(a，－2)．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出 y1＞y2 时，x 的取值范围．
第六章 反比例函数 6.2 反比例函数的图象与性质
第2课时 反比例函数图象上的点的增减变化规律
◎学习目标 1. 进一步巩固作反比例函数的图象的方法． 2. 结合反比例函数的图象，认识反比例函数的值随 自变量的变化而变化的规律． 3. 逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并 掌握反比例函数的主要性质．
2. 若 P 是反比例函数图象 y＝kx上任意一点，过点 P 分别作 x 轴和 y 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 S， 则 S＝_____|_k_| _____．
◎自主检测 知识点 ：反比例函数图象的性质 1. (2017·广东)如图，在同一平面直角坐标系中， 直线 y＝k1x(k1≠0)与双曲线 y＝kx2(k2≠0)相交于 A，B 两点，已知点 A 的坐标为(1，2)，则点 B 的坐标为( A ) A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(－1，－1) D．(－2，－2)
北师大版九年级数学上册(导学案)6.2第2课时 反比例函数的性质
6.2 反比例函数的图象与性质 第2课时 反比例函数的性质1.通过比较，探索反比例函数的增减性变化的性质.2.掌握过反比例函数图像上的一点作坐标轴的垂线，此垂线段与坐标轴围成的矩形的面积问题.3.会通过图像比较两个函数的函数值的大小.自学指导：阅读课本P154-155，完成下列问题. 知识探究填表分析正比例函数和反比例函数的区别.函数 正比例函数 反比例函数 解析式 y=kx(k ≠0) y=kx（k ≠0） 图象形状 直线 双曲线k>0位置一、三象限一、三象限增减性y 随x 的增大而增大每个象限内y 随x 的增大而减小k<0位置二、四象限二、四象限增减性y 随x 的增大而减小每个象限内y 随x 的增大而增大活动1 小组讨论 例1 观察反比例函数2y x =，4y x =，6y x=的图象，你能发现它们的共同特征吗?(1)函数图象分别位于哪几个象限内？(2)在每一个象限内，随着x 值的增大，y 的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？ (3)反比例函数的图象可能与x 轴相交吗？可能与y 轴相交吗？为什么？ 解：（1）第一、三象限.（2）y 的值随着x 值的增大而减小. （3）不可能与x 轴、y 轴相交.例2 考察当k =-2，-4，-6时，反比例函数ky x=的图象，它们有哪些共同特征？提示：前面已经对0k >时，反比例函数图象的特征进行了分析，此处可以完全放手给学生，让学生通过类比，分析、归纳、概括出0k <时图象的共同特征，教师只需进行适时的点拨．例3 在一个反比例函数图象任取两点P 、Q ，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为1S ；过点Q 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为2S ，1S 与2S 有什么关系？为什么？（1）让我们从具体的反比例函数xy 2=开始考虑：此时，1S 与2S 有什么关系？为什么？ （2）对于一般的反比例函数xky =呢？教学提示：1. 给出具体的反比例函数xy 2=，让学生按题目要求，取点、构造矩形1S 、2S ，自主探究1S 与2S 之间的关系，然后由学生讲解，教师进行方法的总结和点拨． 2．在前面探究的基础上，对于一般的反比例函数xky =，可以完全放手给学生，充分利用小组成员间的合作，探究、归纳、概括出一般性的结论——矩形面积总等于k ，教师在整个过程中要给以适时的点拨和及时的总结． 活动2 跟踪训练 1.对于反比例函数2y x=，下列说法不正确．．．的是（ ） A ．点(21)--，在它的图象上 B ．当0x <时，y 随x 的增大而减小 C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大 D ．它的图象在第一、三象限2.函数xy 1-=的图象上有两点),(11y x A ，),(22y x B ，若0<21x x <，则（ ） A ．21y y < B ．21y y > C ．21y y = D ．1y 、2y 的大小不确定3. 若A （a 1，b 1），B （a 2，b 2）是反比例函数xy 2-=图象上的两个点，且a 1＜a 2，则b 1与b 2的大小关系是（ ） A ．b 1＜b 2 B ．b 1 = b 2 C ．b 1＞b 2 D ．大小不确定 4.已知反比例函数ky x=的图象在第二、四象限内，函数图象上有两点1(27)A y ，，2(5)B y ，，则1y 与2y 的大小关系为（ ） A ．12y y < B ．12y y =C ．12y y <D ．无法确定5.函数2y x=-的图象，在每一个象限内，y 随x 的增大而 ． 6.反比例函数(0)ky x x=>图象如图所示，则y 随x 的增大而 ．7.已知反比例函数y=2x,当-4≤x ≤-1时，y 的最大值是 . 8.已知反比例函数12my x-=的图象上两点11()A x y ，，22()B x y ，，当120x x <<时，有12y y <，则m 的取值范xyO围是．9.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是.设函数为y=kx，而P在图象上，所以k=mn,又阴影部分面积是|mn|=3，函数图象在第二象限，所以k<0,即k=-3,所以函数关系是为y=-3 x .课堂小结反比例函数的增减性.教学至此，敬请使用《名校课堂》部分.【合作探究】活动2 跟踪训练1.C2.A3.D4.A5.增大6.减少7.－128.12m 9.y=-3x.。
6.2 第2课时反比例函数图象上点的增减变化规律 同步教案
第2课时 反比例函数图象上点的增减变化规律【学习目标】1．进一步巩固作反比例函数的图象的方法．2．结合反比例函数的图象，认识反比例函数的值随自变量的变化的规律． 3．逐步提高从函数的图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质． 【学习重点】探索反比例函数的主要性质． 【学习难点】理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题．情景导入 生成问题1．已知反比例函数y ＝m －1x 的图象的一支位于第一象限，则常数m 的取值范围是m ＞1．2．当x ＞0时，函数y ＝－5x的图象在( A )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．如图，直线y ＝2x 与双曲线y ＝kx 的一个交点的坐标为(2，4)，则它们的另一个交点的坐标为( B )A ．(－2，4)B ．(－2，－4)C ．(－4，－2)D ．(2，－4)自学互研 生成能力知识模块 探索反比例函数图象上点的增减变化规律先阅读教材P 154－155页的内容，然后完成下面的填空： 1．对于反比例函数y ＝kx的图象：(1)当k ＞0时，图象的两支曲线分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 的值随x 的增大而减小；(2)当k ＜0时，图象的两支曲线分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 的值随x 的增大而增大．2．若P 是反比例函数y ＝kx 图象上任意一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为S ，则S ＝|k |．试一试：观察反比例函数y ＝2x ，y ＝4x ，y ＝6x的图象，你能发现它们的共同特征吗？(1)函数图象分别位于哪几个象限内？(2)在每一个象限内，随着x 值的增大，y 的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？(3)反比例函数的图象可能与x 轴相交吗？可能与y 轴相交吗？为什么？让学生通过对三个反比例函数的图象进行细致的观察、类比、分析、交流，归纳概括出反比例函数(k ＞0)的主要性质．议一议：考察当k ＝－2，－4，－6时，反比例函数y ＝kx的图象，它们有哪些共同特征？让学生通过类比，分析、归纳、概括出k ＜0时图象的共同特征．说一说：你能尝试着说说反比例函数y ＝kx的图象有哪些共同特征吗？归纳：对于反比例函数y ＝kx 的图象，当k ＞0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k ＜0时，在每一个象限内，y 的值随x 的增大而增大．想一想：在一个反比例函数图象上任取两点P 、Q ，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1；过点Q 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2，S 1与S 2有什么关系？为什么？(1)让我们从具体的反比例函数y ＝2x 开始考虑：此时，S 1与S 2有什么关系？为什么？ (2)对于一般的反比例函数y ＝kx呢？给出具体的反比例函数y ＝2x ，让学生按题目要求，取点、构造矩形S 1、S 2，自主探究S 1与S 2之间的关系，然后由学生讲解，教师进行方法的总结和点拨．变一变：在一个反比例函数图象上任取两点P 、Q ，过点P 作x 轴的垂线，连接PO (O 为原点)，与坐标轴围成的三角形面积为S 1；过点Q 作x 轴的垂线，连接QO ，与坐标轴围成的三角形面积为S 2，S 1与S 2有什么关系？对应练习：1．关于反比例函数y ＝2x的图象，下列说法正确的是( D )A ．图象经过点(1，1)B ．两个分支分布在第二、四象限C ．两个分支关于x 轴成轴对称D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小2．已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在函数y ＝5x 的图象上，当x 1＞x 2＞0时，下列结论正确的是( A )A ．0＜y 1＜y 2B ．0＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜0D ．y 2＜y 1＜03．如图，点B 在反比例函数y ＝2x (x ＞0)的图象上，横坐标为1，过B 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为A ，C ，则矩形OABC 的面积为(B )A ．1B ．2C ．3D ．4交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块 探索反比例函数图象上点的增减变化规律检测反馈 达成目标1．如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数y ＝kx 的图象经过点A ，则k 的值是( D )A ．2B ．－2C ．4D ．－42．如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为(3，4)，顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过顶点B ，则k 的值为( D )A ．12B ．20C ．24D ．323．若点A (1，y 1)和点B (2，y 2)在反比例函数y ＝1x 图象上，则y 1与y 2的大小关系是：y 1＞y 2(选填“＞”“＜”或“＝”)．4．如图，M 为反比例函数y ＝kx 的图象上的一点，MA 垂直y 轴，垂足为A ，△MAO 的面积为2，则k 的值为4．5．如图，点A 是反比例函数y ＝6x 的图象上一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，线段AB 交反比例函数y＝2x的图象于点C ，则△OAC 的面积为2．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
北师大版九年级数学上册第六章反比例函数 6.2反比例函数的图象与性质第2课时反比例函数
第2课时 反比例函数的性质知识点 1 反比例函数的增减性与系数的关系1．下列函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝2xC ．y ＝－3x(x>0) D ．y ＝4x(x<0)2．在反比例函数y ＝k －1x 的图象的每一条曲线上，y 的值都随x 值的增大而增大，则k的取值范围是( )A ．k ＞1B ．k ＞0C ．k ≥1D ．k ＜13．2017·上海如果反比例函数y ＝kx (k 是常数，k ≠0)的图象经过点(2，3)，那么在这个函数图象所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而________．(填“增大”或“减小”)知识点 2 利用反比例函数的增减性比较函数值的大小4．2017·赤峰点A (1，y 1)，B (3，y 2)是反比例函数y ＝9x的图象上的两点，则y 1，y 2的大小关系是( )A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．不能确定5．2017·天津若点A (－1，y 1)，B (1，y 2)，C (3，y 3)在反比例函数y ＝－3x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 1＜y 3知识点 3 反比例函数中比例系数k 的几何意义6．2017·黔南州反比例函数y ＝－3x(x ＜0)的图象如图6－2－8所示，则矩形OAPB 的面积是( )A ．3B ．－3 C.32 D ．－326－2－86－2－97．2017·永州如图6－2－9，已知反比例函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)的图象经过点A ，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B .若△AOB 的面积为1，则k ＝________．8．已知反比例函数y ＝m x的图象如图6－2－10所示，以下结论：①m ＜0；②在每个分支上，y 的值随x 值的增大而增大；③若点A (－1，a )，点B (2，b )在该图象上，则a ＜b ；④若点P (x ，y )在该图象上，则点P 1(－x ，－y )也在该图象上．其中正确的结论有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6－2－10 6－2－119．2017·贵阳模拟如图6－2－11，A ，B ，C 为反比例函数y ＝k x图象上的三个点，分别过点A ，B ，C 向x 轴、y 轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系是( )A ．S 1＝S 2＞S 3B ．S 1＜S 2＜S 3C ．S 1＞S 2＞S 3D ．S 1＝S 2＝S 310．[2016·内江] 如图6－2－12，点A 在双曲线y ＝5x 上，点B 在双曲线y ＝8x上，且AB∥x 轴，则△OAB 的面积为________．6－2－12 6－2－1311．2017·贵阳期末如图6－2－13，点A 在双曲线y ＝2x 上，点B 在双曲线y ＝kx 上，且AB∥x 轴，点C ，D 在x 轴上．若四边形ABCD 为矩形，且它的面积为3，则k ＝________．12．如图6－2－14，已知反比例函数y ＝kx (k≠0)的图象经过点A(－2，8)．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)若(2，y 1)，(4，y 2)是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y 1，y 2的大小，并说明理由．图6－2－1413．[2016·西宁] 如图6－2－15，一次函数y ＝x ＋m 的图象与反比例函数y ＝kx 的图象相交于A ，B 两点，且与x 轴交于点C ，点A 的坐标为(2，1)．(1)求m 及k 的值；(2)求点C 的坐标，并结合图象直接写出不等式组0＜x ＋m≤kx的解集．图6－2－1514．已知反比例函数y ＝m －8x (m 为常数)的图象经过点A(－1，6)．(1)求m 的值；(2)如图6－2－16，过点A 作直线AC 与反比例函数y ＝m －8x 的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且AB ＝2BC ，求点C 的坐标．图6－2－1615．如图6－2－17，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 和C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且AB∥y 轴，AB ＝3，△ABC 的面积为32.(1)求点B 的坐标；(2)将△ABC以点B为旋转中心按顺时针方向旋转90°得到△DBE，一反比例函数的图象恰好经过点D，求此反比例函数的表达式．图6－2－171．D [解析] 在反比例函数中，只有当系数k ＞0，且在具体的象限中时，才有y 的值随x 值的增大而减小的情况．2．D [解析] 根据题意，在反比例函数y ＝k －1x的图象的每一支曲线上，y 的值都随x 值的增大而增大，即k －1<0，解得k <1.故选A.3．减小4．A [解析] ∵反比例函数y ＝9x中的k ＞0，∴其图象经过第一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小．又∵点A (1，y 1)，B (3，y 2)都位于第一象限，且1＜3， ∴y 1＞y 2. 5．B6．A [解析] ∵点P 在反比例函数y ＝－3x(x ＜0)的图象上，∴可设P (x ，－3x )，∴OA ＝－x ，PA ＝－3x，∴S 矩形OAPB ＝OA ·PA ＝－x ·(－3x)＝3.7．－2 8.B9．D [解析] 设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，点C 的坐标为(x 3，y 3)， ∵S 1＝x 1·y 1＝k ，S 2＝x 2·y 2＝k ，S 3＝|x 3|·|y 3|＝k ， ∴S 1＝S 2＝S 3. 故选D. 10.3211．5 [解析] 延长BA 交y 轴于点E ，如图，∵S 矩形BCOE ＝|k |，S 矩形ADOE ＝2， 而矩形ABCD 的面积为3， ∴S 矩形BCOE －S 矩形ADOE ＝3， 即|k |－2＝3，而k ＞0，∴k ＝5. 故答案为5.12．解：(1)把(－2，8)代入y ＝k x ，得8＝k－2，解得k ＝－16.∴这个反比例函数的表达式为y ＝－16x.(2)y 1＜y 2.理由如下： ∵k ＝－16＜0，∴在每一个象限内，函数值y 随x 值的增大而增大． ∵点(2，y 1)，(4，y 2)都在第四象限，且2＜4， ∴y 1＜y 2.13．解：(1)由题意可得点A (2，1)在函数y ＝x ＋m 的图象上， ∴2＋m ＝1，即m ＝－1.∵点A (2，1)在反比例函数y ＝k x的图象上，∴k2＝1， ∴k ＝2.(2)∵一次函数的表达式为y ＝x －1，令y ＝0，得x ＝1， ∴点C 的坐标是(1，0)．由图象可知不等式组0＜x ＋m ≤k x的解集为1＜x ≤2.14．解：(1)∵反比例函数y ＝m －8x 的图象过点A (－1，6)，∴m －8－1＝6， ∴m －8＝－6，∴m ＝2.(2)如图，分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E . 由题意，得AD ＝6，OD ＝1，易知，AD ∥BE ， ∴△CBE ∽△CAD ，∴BC AC ＝BEAD.∵AB ＝2BC ，∴BC AC ＝13，∴13＝BE 6， ∴BE ＝2，即点B 的纵坐标为2.当y ＝2时，x ＝－3，由A (－1，6)，B (－3，2)易求得直线AB 的函数表达式为y ＝2x ＋8，∴点C 的坐标为(－4，0)． 15．(1)∵AB ∥y 轴，∴S △ABC ＝12AB ·OA ＝12×3×OA ＝32，∴OA ＝1，∴点B 的坐标为(1，3)． (2)设DB 与y 轴相交于点F . ∵AB ＝BD ＝3，∠ABD ＝90°， ∴DB ∥x 轴，DF ＝3－1＝2，∴点D 的坐标为(－2，3)． 设该反比例函数的表达式为y ＝k x，∴3＝k－2，∴k ＝－6.∴此反比例函数的表达式为y ＝－6x.。
北师大版九年级数学上册第六章反比例函数 6.2
第2课时 反比例函数的性质知识点 1 反比例函数的增减性与系数的关系1．下列函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝2xC ．y ＝－3x(x>0) D ．y ＝4x(x<0)2．在反比例函数y ＝k －1x 的图象的每一条曲线上，y 的值都随x 值的增大而增大，则k的取值范围是( )A ．k ＞1B ．k ＞0C ．k ≥1D ．k ＜13．2017·上海如果反比例函数y ＝kx (k 是常数，k ≠0)的图象经过点(2，3)，那么在这个函数图象所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而________．(填“增大”或“减小”)知识点 2 利用反比例函数的增减性比较函数值的大小4．2017·赤峰点A (1，y 1)，B (3，y 2)是反比例函数y ＝9x的图象上的两点，则y 1，y 2的大小关系是( )A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．不能确定5．2017·天津若点A (－1，y 1)，B (1，y 2)，C (3，y 3)在反比例函数y ＝－3x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 1＜y 3知识点 3 反比例函数中比例系数k 的几何意义6．2017·黔南州反比例函数y ＝－3x(x ＜0)的图象如图6－2－8所示，则矩形OAPB 的面积是( )A ．3B ．－3 C.32 D ．－326－2－86－2－97．2017·永州如图6－2－9，已知反比例函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)的图象经过点A ，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B .若△AOB 的面积为1，则k ＝________．8．已知反比例函数y ＝m x的图象如图6－2－10所示，以下结论：①m ＜0；②在每个分支上，y 的值随x 值的增大而增大；③若点A (－1，a )，点B (2，b )在该图象上，则a ＜b ；④若点P (x ，y )在该图象上，则点P 1(－x ，－y )也在该图象上．其中正确的结论有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6－2－10 6－2－119．2017·贵阳模拟如图6－2－11，A ，B ，C 为反比例函数y ＝k x图象上的三个点，分别过点A ，B ，C 向x 轴、y 轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系是( )A ．S 1＝S 2＞S 3B ．S 1＜S 2＜S 3C ．S 1＞S 2＞S 3D ．S 1＝S 2＝S 310．[2016·内江] 如图6－2－12，点A 在双曲线y ＝5x 上，点B 在双曲线y ＝8x上，且AB∥x 轴，则△OAB 的面积为________．6－2－12 6－2－1311．2017·贵阳期末如图6－2－13，点A 在双曲线y ＝2x 上，点B 在双曲线y ＝kx 上，且AB∥x 轴，点C ，D 在x 轴上．若四边形ABCD 为矩形，且它的面积为3，则k ＝________．12．如图6－2－14，已知反比例函数y ＝kx (k≠0)的图象经过点A(－2，8)．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)若(2，y 1)，(4，y 2)是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y 1，y 2的大小，并说明理由．图6－2－1413．[2016·西宁] 如图6－2－15，一次函数y ＝x ＋m 的图象与反比例函数y ＝kx 的图象相交于A ，B 两点，且与x 轴交于点C ，点A 的坐标为(2，1)．(1)求m 及k 的值；(2)求点C 的坐标，并结合图象直接写出不等式组0＜x ＋m≤kx的解集．图6－2－1514．已知反比例函数y ＝m －8x (m 为常数)的图象经过点A(－1，6)．(1)求m 的值；(2)如图6－2－16，过点A 作直线AC 与反比例函数y ＝m －8x 的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且AB ＝2BC ，求点C 的坐标．图6－2－1615．如图6－2－17，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 和C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且AB∥y 轴，AB ＝3，△ABC 的面积为32.(1)求点B 的坐标；(2)将△ABC以点B为旋转中心按顺时针方向旋转90°得到△DBE，一反比例函数的图象恰好经过点D，求此反比例函数的表达式．图6－2－171．D [解析] 在反比例函数中，只有当系数k ＞0，且在具体的象限中时，才有y 的值随x 值的增大而减小的情况．2．D [解析] 根据题意，在反比例函数y ＝k －1x的图象的每一支曲线上，y 的值都随x 值的增大而增大，即k －1<0，解得k <1.故选A.3．减小4．A [解析] ∵反比例函数y ＝9x中的k ＞0，∴其图象经过第一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小．又∵点A (1，y 1)，B (3，y 2)都位于第一象限，且1＜3， ∴y 1＞y 2. 5．B6．A [解析] ∵点P 在反比例函数y ＝－3x(x ＜0)的图象上，∴可设P (x ，－3x )，∴OA ＝－x ，PA ＝－3x，∴S 矩形OAPB ＝OA ·PA ＝－x ·(－3x)＝3.7．－2 8.B9．D [解析] 设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，点C 的坐标为(x 3，y 3)， ∵S 1＝x 1·y 1＝k ，S 2＝x 2·y 2＝k ，S 3＝|x 3|·|y 3|＝k ， ∴S 1＝S 2＝S 3. 故选D. 10.3211．5 [解析] 延长BA 交y 轴于点E ，如图，∵S 矩形BCOE ＝|k |，S 矩形ADOE ＝2， 而矩形ABCD 的面积为3， ∴S 矩形BCOE －S 矩形ADOE ＝3， 即|k |－2＝3，而k ＞0，∴k ＝5. 故答案为5.12．解：(1)把(－2，8)代入y ＝k x ，得8＝k－2，解得k ＝－16.∴这个反比例函数的表达式为y ＝－16x.(2)y 1＜y 2.理由如下： ∵k ＝－16＜0，∴在每一个象限内，函数值y 随x 值的增大而增大． ∵点(2，y 1)，(4，y 2)都在第四象限，且2＜4， ∴y 1＜y 2.13．解：(1)由题意可得点A (2，1)在函数y ＝x ＋m 的图象上， ∴2＋m ＝1，即m ＝－1.∵点A (2，1)在反比例函数y ＝k x的图象上，∴k2＝1， ∴k ＝2.(2)∵一次函数的表达式为y ＝x －1，令y ＝0，得x ＝1， ∴点C 的坐标是(1，0)．由图象可知不等式组0＜x ＋m ≤k x的解集为1＜x ≤2.14．解：(1)∵反比例函数y ＝m －8x 的图象过点A (－1，6)，∴m －8－1＝6， ∴m －8＝－6，∴m ＝2.(2)如图，分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E . 由题意，得AD ＝6，OD ＝1，易知，AD ∥BE ， ∴△CBE ∽△CAD ，∴BC AC ＝BEAD.∵AB ＝2BC ，∴BC AC ＝13，∴13＝BE 6， ∴BE ＝2，即点B 的纵坐标为2.当y ＝2时，x ＝－3，由A (－1，6)，B (－3，2)易求得直线AB 的函数表达式为y ＝2x ＋8，∴点C 的坐标为(－4，0)． 15．(1)∵AB ∥y 轴，∴S △ABC ＝12AB ·OA ＝12×3×OA ＝32，∴OA ＝1，∴点B 的坐标为(1，3)． (2)设DB 与y 轴相交于点F . ∵AB ＝BD ＝3，∠ABD ＝90°， ∴DB ∥x 轴，DF ＝3－1＝2，∴点D 的坐标为(－2，3)． 设该反比例函数的表达式为y ＝k x，∴3＝k－2，∴k ＝－6.∴此反比例函数的表达式为y ＝－6x.。
北师大版数学九年级上册 6 反比例函数的图象与性质 第2课时 教案
第2课时整体设计教学目标【知识与技能】1．进一步巩固作反比例函数的图象的方法．2．结合反比例函数的图象，认识反比例函数的值随自变量的变化的规律．3．逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质．【过程与方法】经历观察、归纳、交流的过程，提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平．【情感态度】让学生进一步体会用反比例函数刻画现实生活问题的作用．重点难点【教学重点】准确掌握并能运用反比例函数图象的性质．【教学难点】准确掌握并能运用反比例函数图象的性质．教学过程一、创设情境，导入新课上一节课我们已经学习了反比例函数的定义和图象的画法以及图象所在的象限．今天我们继续来探究反比例函数的图象和它的性质．【教学说明】通过类比正比例函数的学习，提出本节课所要研究的问题及其研究方法，并引导学生的研究思路．二、合作交流，探究新知画一画反比例函数y ＝6x 和y ＝－6x的图象． 思考：随着x 的增大，y 值是怎样变化的？【教学说明】加深学生对作反比例函数图象的认识，并在列表、画图过程中进一步感知反比例函数的性质．【归纳结论】反比例函数y ＝k x(k ≠0)的图象：当k ＞0时，在每一象限内，y 值随着x 值的增大而减小；当k ＜0时，在每一象限内，y 值随着x 值的增大而增大．【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力．三、运用新知，深化理解1．若反比例函数y ＝k x，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是( A ) A ．k ＜0 B ．k ＞0C ．k ≤0D ．k ≥02．下列函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的是( B )A ．y ＝xB ．y ＝1xC ．y ＝－1xD ．y ＝－2x3．反比例函数y ＝(2m －1)xm 2－2 ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值是( C )A ．±1B ．小于12的实数 C ．－1 D ．14．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数y ＝k x(k ＞0)的图象上的两点，若x 1＜0＜x 2，则有( A ) A ．y 1＜0＜y 2 B ．y 2＜0＜y 1C ．y 1＜y 2＜0D ．y 2＜y 1＜05．一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝k x的图象如图所示，则下列说法正确的是( C )A ．它们的函数值y 随着x 的增大而增大B ．它们的函数值y 随着x 的增大而减小C ．k ＜0D ．它们的自变量x 的取值为全体实数6．当k ＜0时，反比例函数y ＝k x和一次函数y ＝kx ＋2的图象大致是( B )7．若点A (7，y 1)，B (5，y 2)在双曲线y ＝－3x上，则y 1、y 2中较小的是__y 2__． 8．已知点A (m ，2)、B (2，n )都在反比例函数y ＝m ＋3x的图象上． (1)求m 、n 的值；(2)若直线y ＝mx －n 与x 轴交于点C ，求C 关于y 轴对称点C ′的坐标．解：(1)m ＝n ＝3; (2)C ′(－1，0)．9．如图，反比例函数y ＝k x的图象与直线y ＝x －2交于点A ，且A 点纵坐标为1，求该反比例函数的解析式．解：将y A ＝1代入y ＝x －2得x A ＝3，故A 的坐标为(3，1)．将A (3，1)代入y ＝k x得k ＝3， 所以反比例函数的解析式为y ＝3x. 【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，以基本题为主，也有少量综合问题，可使不同水平的学生均有机会获得成功的体验．四、课堂练习，巩固提高1.已知反比例函数y =k x (k ≠0)的图象位于第二、四象限内,函数图象上有两点A (2√7,y 1),B (5,y 2),则y 1与y 2的大小关系为( ) A .y 1>y 2B .y 1=y 2C .y 1<y 2D .无法确定解析:由反比例函数y =k x (k ≠0)的图象位于第二、四象限内,可知k <0,且在每一象限内,y 随着x 增大而增大.因为2√7>5>0,所以y 1>y 2.故选A .2.对于反比例函数y =3x ,下列说法正确的是 ( )A .图象经过点(1,-3)B .图象位于第二、四象限内C .x >0时,y 随着x 增大而增大D .x <0时,y 随着x 增大而减小解析:由反比例函数y =3x ,得xy =3,所以该图象经过点(1,3),故A 选项错误;因为k >0,所以图象位于第一、三象限内,故B 选项错误;当k >0,x >0时,y 随着x 增大而减小,故C 选项错误;当k >0,x <0时,y 随着x 增大而减小,故D 选项正确.故选D .3.当a ≠0时,函数y =ax +1与函数y =a x 在同一坐标系中的图象可能是图中的 ( )解析:当a>0时,y=ax+1经过第一、二、三象限,y=a位于第一、三象限内;当a<0时,y=ax+1过第一、x位于第二、四象限内.故选C.二、四象限,y=ax,(x1,y1),(x2,y2)为其图象上两点,若x1<0<x2,y1>y2,则k.4.设有反比例函数y=k-2x解析:(x1,y1),(x2,y2)为函数y=k-2图象上两点,又∵x1<0<x2,y1>y2,∴该反比例函数的图象位于第二、四象限x内,∴k-2<0,解得k<2.故填<2.五、反思小结，梳理新知通过本节课的学习你有哪些收获，还有哪些疑惑？请与同伴交流．六、布置作业教材习题6.3第1、2题．。
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反比例函数图象上点的增减变化规律
【学习目标】
1．进一步巩固作反比例函数的图象的方法．
2．结合反比例函数的图象，认识反比例函数的值随自变量的变化的规律．
3．逐步提高从函数的图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质．
【学习重点】
探索反比例函数的主要性质．
【学习难点】
理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题．
情景导入 生成问题
1．已知反比例函数y ＝m －1x
的图象的一支位于第一象限，则常数m 的取值范围是m ＞1． 2．当x ＞0时，函数y ＝－5x
的图象在( A ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限
3．如图，直线y ＝2x 与双曲线y ＝k x
的一个交点的坐标为(2，4)，则它们的另一个交点的坐标为( B ) A ．(－2，4) B ．(－2，－4) C ．(－4，－2) D ．(2，－4)
自学互研 生成能力
知识模块 探索反比例函数图象上点的增减变化规律
先阅读教材P 154－155页的内容，然后完成下面的填空：
1．对于反比例函数y ＝k x
的图象： (1)当k ＞0时，图象的两支曲线分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 的值随x 的增大而减小；(2)当k ＜0时，图象的两支曲线分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 的值随x 的增大而增大．
2．若P 是反比例函数y ＝k x
图象上任意一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为S ，则S ＝|k|．
试一试：观察反比例函数y ＝2x ，y ＝4x ，y ＝6x
的图象，你能发现它们的共同特征吗？
(1)函数图象分别位于哪几个象限内？(2)在每一个象限内，随着x 值的增大，y 的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？(3)反比例函数的图象可能与x 轴相交吗？可能与y 轴相交吗？为什么？让学生通过对三个反比例函数的图象进行细致的观察、类比、分析、交流，归纳概括出反比例函数(k ＞0)的主要性质．
议一议：考察当k ＝－2，－4，－6时，反比例函数y ＝k x
的图象，它们有哪些共同特征？
让学生通过类比，分析、归纳、概括出k ＜0时图象的共同特征．
说一说：你能尝试着说说反比例函数y ＝k x 的图象有哪些共同特征吗？ 归纳：对于反比例函数y ＝k x
的图象，当k ＞0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k ＜0时，在每一个象限内，y 的值随x 的增大而增大．
想一想：在一个反比例函数图象上任取两点P 、Q ，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1；过点Q 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2，S 1与S 2有什么关系？为什么？
(1)让我们从具体的反比例函数y ＝2x
开始考虑： 此时，S 1与S 2有什么关系？为什么？
(2)对于一般的反比例函数y ＝k x
呢？ 给出具体的反比例函数y ＝2x
，让学生按题目要求，取点、构造矩形S 1、S 2，自主探究S 1与S 2之间的关系，然后由学生讲解，教师进行方法的总结和点拨．
变一变：在一个反比例函数图象上任取两点P 、Q ，过点P 作x 轴的垂线，连接PO(O 为原点)，与坐标轴围成的三角形面积为S 1；过点Q 作x 轴的垂线，连接QO ，与坐标轴围成的三角形面积为S 2，S 1与S 2有什么关系？
对应练习：
1．关于反比例函数y ＝2x
的图象，下列说法正确的是( D ) A ．图象经过点(1，1) B ．两个分支分布在第二、四象限
C ．两个分支关于x 轴成轴对称
D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小
2．已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在函数y ＝5x
的图象上，当x 1＞x 2＞0时，下列结论正确的是( A ) A ．0＜y 1＜y 2 B ．0＜y 2＜y 1 C ．y 1＜y 2＜0 D ．y 2＜y 1＜0
3．如图，点B 在反比例函数y ＝2x
(x ＞0)的图象上，横坐标为1，过B 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为A ，C ，则矩形OABC 的面积为( B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块 探索反比例函数图象上点的增减变化规律
检测反馈 达成目标
1．如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数y ＝k x
的图象经过点A ，则k 的值是( D ) A ．2 B ．－2
C ．4
D ．－4
2．如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为(3，4)，顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数y ＝k x
(x ＞0)的图象经过顶点B ，则k 的值为( D )
A ．12
B ．20
C ．24
D ．32
3．若点A(1，y 1)和点B(2，y 2)在反比例函数y ＝1x
图象上，则y 1与y 2的大小关系是：y 1＞y 2(选填“＞”“＜”或“＝”)．
4．如图，M 为反比例函数y ＝k x
的图象上的一点，MA 垂直y 轴，垂足为A ，△MAO 的面积为2，则k 的值为4．
5．如图，点A 是反比例函数y ＝6x
的图象上一点，过点A 作AB⊥x 轴，垂足为点B ，线段AB 交反比例函数y ＝2x
的图象于点C ，则△OAC 的面积为2．
课后反思 查漏补缺
收获：
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存在困惑：
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