山东省济南外国语学校八年级数学 奥术三级 第三跳(解题方法) 第八讲 一元二次方程根与系数的关系

第八讲：一元二次方程根与系数的关系

【知识梳理】

一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根与系数的关系（韦达定理）

设方程的两个根21x x ，，则a

c x x a b

x x =-=+2121，。 韦达定理用途比较广泛，运用时，常需要作下列变形：

（1）()212

2122212x x x x x x -+=+； （2）()21212

21

21222121122x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+； （3）()()[]

212212132313x x x x x x x x -++=+； （4）()()212

212214x x x x x x -+=-； （5）()()212212212

14x x x x x x x x -+=--。

【例题精讲】 【例1】求下列方程的两根之和，两根之积。

（1）x 2－2x ＋1＝0； （2）x 2－9x ＋10＝0；

解：12x x +=______，12_______x x = 解：12x x +=______，12_______x x =

（3）2x 2－9x ＋5＝0； （4）4x 2－7x ＋1＝0；

解：12x x +=______，12_______x x = 解：12x x +=______，12_______x x =

（5）2x 2－5x ＝0； （6）x 2－1＝0

解：12x x +=______，12_______x x = 解：12x x +=______，12_______x x =

【例2】设x 1，x 2是方程2x 2+4x －3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（1）（x 1+1）（x 2+1）=_______； （2）x 12x 2+x 1x 22=_______； （3）2112

x x x x +=_______

（4）（x 1+x 2）2=_______； （5）（x 1－x 2）2=_______； （6）x 13+x 23=_______．

【例3】解答下列问题：

（1）设关于x 的一元二次方程()01242=---k x x 有两个实数根21x x 、，问是否存在 2121x x x x ⋅<+的情况？

（2）已知：21x x 、是关于x 的方程()01222=+-+a x a x 的；两个实数根，且()()112221=++x x ，求a 的值。

【巩固】

1、已知关于x 的方程042

=++a x x 有两个实数根，且7221=-x x ，则=a _____________。

2、已知βα、是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式()

222-+βαα的值为_________。

【例4】已知关于x 的方程：()0422

2

=---m x m x 。 （1）求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；

（2）若这个方程的两个实根21x x 、满足212+=x x ，求m 的值及相应的21x x 、。

【巩固】已知关于x 的方程()013222=++--k x k x 。

（1）当k 为何值时，此方程有实数根；

（2）若此方程的两个实数根21x x 、满足321=+x x ，求k 的值。

【例4】CD 是R t △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462

=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是多少？

【巩固】已知△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 二次方程()0233222=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边BC 的长为5。

（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；

（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求△ABC 的周长。