高中数学 椭圆及其标准方程 解析几何同步练习2 苏教版选修2-1
数学选修2-1~2.2(2)椭圆的标准方程
2 2
y M
F1
0
F2
x
y b
2 2
1(a b 0)
所以：b2=1.52-1.22=0.81 因此，这个椭圆的方程为：
x
2
根据题意:2a=3, 2c=2.4,
2.25
y
2
0.81
1
示例5、将圆 x 2 y 2 4 上的点的横坐标保 持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得 的曲线的方程，并说明它是什么曲线。
x
2
依定义知,点A 的轨迹为双曲线(除去顶点)方程为：
4
y
2
12
1 （ y≠0）
请同学们思考：
1.椭圆的两个焦点分别是F1(-8，0)和F2(8，0)，且 椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则此椭圆 方程是_____________。 2.△ABC中，三边a、c、b成等差数列，且a>c>b， 若A（-1，0），B（1，0），则动点C的轨迹方程 为____________。 3. 椭圆 A.5
堂小结(1) 满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？
(1)平面上----这是大前提; (2)动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是 常数 2a; (3)常数 2a 要大于焦距 2c;
MF1 MF2 2 a 2 c
4
椭圆的标准方程(1)
x a
2 2
y b
2 2
2 2
×
2
y b
2 2
1( a , b 0)的焦点坐标为
2
( a b , 0)
×
9
Ex3写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
高中数学选修2-1第二章第3课时同步练习§2.2.1(1)椭圆及其标准方程
§2.2.1（1）椭圆及其标准方程1、椭圆1121322=+y x 上任一点P 到两个焦点的距离的和为（ ） A 、26 B 、24 C 、2 D 、1322、椭圆2211625x y +=的焦点坐标（ ） A 、(4,0)± B 、(0,4)± C 、(3,0)± D 、(0,3)±3、 椭圆2211625x y +=的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则ABC ∆ 的周长为（ ）A 、10B 、12C 、16D 、204、椭圆的两个焦点分别是)0,8()0,8(21F F 和-，且椭圆上一点到两个焦点距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（ ）A 、1122022=+y xB 、13640022=+y xC 、13610022=+y xD 、=+1003622y x 1 5、已知定点1F 、2F ，且12||8FF =，动点P 满足12||||8PF PF +=，则动点P 的轨迹是（ ）A 、椭圆B 、圆C 、直线D 、线段6、如果方程22216x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（ ） A 、3a > Ｂ、2a <-C 、3a >或2a <-D 、3a >或62a -<<-7、焦点在x 上，10a =，6b =的椭圆的标准方程为 ；焦点在y 轴上，且6,1a c ==的椭圆标准方程为 ； 焦点在y 轴上，且6,3b c ==的椭圆标准方程为 ；8、椭圆2212516x y +=上一点P 一椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为 ；9、椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，则k = ；10、焦点为12(0,4)(0,4)F F -和，且过点-的椭圆方程为 ； 11、已知椭圆的两个焦点坐标为12(2,0),(2,0)F F -，且12122||||||FF PF PF =+，求椭圆的方程。
高中数学 选修2-1椭圆导学案加课后作业及参考答案
椭圆及其标准方程（一）导学案【学习要求】1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.【学法指导】1．通过自己亲自动手尝试画图，发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养观察、辨析、归纳问题的能力.2．通过经历椭圆方程的化简，增强战胜困难的意志并体会数学的简洁美、对称美，通过讨论椭圆方程推导的等价性，养成扎实严谨的科学态度【知识要点】1．椭圆：平面内与两个定点F 1，F 2的 的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 2.探究点一 椭圆的定义问题1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？问题2 动点P 到两定点A 、B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)的轨迹一定是椭圆吗？探究点二 椭圆的标准方程问题1 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.问题2 建系时如果焦点在y 轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？问题3 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？例1 （1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程； （2）若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程.跟踪训练1 （1）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q (2,1)且与椭圆x 29＋y 24＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P 1(6，1)，P 2(－3，－2)两点，求椭圆的标准方程.例2 已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为__________.跟踪训练2 若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是 ( )A ．m >0B ．0<m <1C ．－2<m <1D ．m >1且m ≠ 2探究点三 椭圆的定义及标准方程的应用例3 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图).求△PF 1F 2的面积.跟踪训练3 已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________【当堂检测】1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为 ( )A ．5B ．6C ．7D ．82．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 ( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >83．椭圆x 216＋y 232＝1的焦距为________.4．已知椭圆经过点(3，0)且与椭圆x 24＋y 29＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为____________【课堂小结】1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在.2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解. 3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.【拓展提高】1．已知P 是椭圆13422=+y x 上的点，21F F 、分别是椭圆的左、右焦点，21=，则21PF F ∆的面积为（ ） A ．33B ．3C ．32D ．33 2．已知椭圆的两焦点为P F F ),0,1()0,1(21、-为椭圆上一点，且21212PF PF F F += （1）求此椭圆方程（2）若点P 在第二象限，21012,120F PF PF F ∆=∠求的面积3．如果点),(y x M 在运动过程中总满足关系10)3()3(2222=+++-+y x y x ，点M 的轨迹是 ，它的方程是 4． 椭圆22194x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，求P 点横坐标的取值范围。
高中数学选修2-1课时作业6：2.2.1 椭圆及其标准方程(二)
2.2.1 椭圆的标准方程（二）1．已知a ＝13，c ＝23，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 213＋y 212＝1B.x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1C.x 213＋y 2＝1D.x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213＝1 [解析]选D.由a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝13－12＝1.分焦点在x 轴和y 轴上写标准方程．2．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( ) A ．5 B ．6C ．7 D ．8[解析]选D.∵a ＝5，|PF 1|＝2.∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2×5－2＝8.3．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 [解析]选A.c ＝1，a ＝12()2＋12＋0＋2－12＋0＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1[解析]选B.由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4. 5．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]选C.mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m ＋y 21n ＝1，因为m ＞n ＞0，所以0＜1m ＜1n，因此椭圆焦点在y 轴上，反之亦成立．6．椭圆x 2m ＋y 215＝1的焦距等于2，则m 的值是________． [解析]当焦点在x 轴时，m －15＝1，m ＝16；当焦点在y 轴时，15－m ＝1，m ＝14.[答案]16或147．若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．[解析]原方程可化为x 22＋y 22k ＝1，因表示焦点在y 轴上的椭圆．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，2k ＞2.解得0＜k ＜1. ∴k 的取值范围是(0,1)．[答案](0,1)8．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为__________．[解析]由题设知|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，∴2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[答案]x 24＋y 23＝1 9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆上一点P (3,2)到两焦点的距离之和为8；(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15.解：(1)①若焦点在x 轴上，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意知2a ＝8，∴a ＝4，又点P (3,2)在椭圆上，∴916＋4b 2＝1，得b 2＝647. ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1. ②若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵2a ＝8，∴a ＝4. 又点P (3,2)在椭圆上，∴416＋9b 2＝1，得b 2＝12.∴椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1. 由①②知椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1或y 216＋x 212＝1. (2)由题意知，2c ＝16,2a ＝9＋15＝24，∴a ＝12，c ＝8，∴b 2＝80.又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，∴所求方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 10．已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2是椭圆左、右焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆方程；(2)△PF 1F 2的面积．解：(1)由PF 1⊥PF 2，可得|OP |＝c ，即c ＝5.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1代入P (3,4)， 得9a 2＋16a 2－25＝1，解得a 2＝45，a 2＝5(舍去)．∴椭圆方程为x 245＋y 220＝1. (2)S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y P |＝5×4＝20. 能力提升1．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形[解析]选B.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，且已知|MF 1|－|MF 2|＝1，所以|MF 1|＝52，|MF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2.所以有|MF 1|2＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2.因此∠MF 2F 1＝90°，△MF 1F 2为直角三角形．2．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．[解析]当△PF 1F 2面积取最大时，S △PF 1F 2＝12×8b ＝12，∴b ＝3.又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. [答案]x 225＋y 29＝1 3．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程． 解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1， 即x 2＝9.∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5， 故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1， 解得a 2＝15(a 2＝3舍去)．故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1. 4. 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过点B 且与圆A 内切，如下图，求圆心P 的轨迹方程．解：设|PB|＝r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距|P A|＝10－r，即|P A|＋|PB|＝10，而|AB|＝6，∴|P A|＋|PB|＞|AB|，∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.∴圆心P的轨迹方程为x225＋y216＝1.。
高中数学选修2-1_解析几何习题答案(一)
1.中心在原点，一个焦点为F 1（0，50）的椭圆截直线23-=x y 所得弦AB 的中点横坐标为21，求椭圆的方程及弦AB 的长. 思路分析：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F 1（0，50）知，c=50，5022=-∴b a ，最后解关于a 、b 解：设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由F 1（0，50）得 5022=-b a把直线方程23-=x y 代入椭圆方程整理得：0)4(12)9(222222=-+-+a b x b x b a设弦的两个端点为),(),,(2211y x B y x A ，则由根与系数的关系得：22221912ba b x x +=+， 又AB 的中点横坐标为21，2196222221=+=+∴b a b x x223b a =∴，与方程5022=-b a 联立可解出25,7522==b a故所求椭圆的方程为：2217525y x +=2.已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)Q 为椭圆C 的左顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222a b c =+.由题意可知：1b =，2c a =. ………………………………………2分 所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ……………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . （ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-. 由226,514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：6,545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6,54.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 即6464(,), (,)5555A B ---（不妨设点A 在x 轴上方）.………………………………………5分则直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-. 因为 1AQ BQ k k ⋅=-， 所以 AQ BQ ^.所以 2AQB π∠=. ………………………………………6分 （ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()(0)5y k x k =+≠.由226(),514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为 点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>. 21222122240,25100144100.25100k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………8分 因为 1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+ ，116()5y k x =+，226()5y k x =+，所以 1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++121266(2)(2)()()55x x k x k x =++++⋅+2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k =++++++ 2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+++-++=++. 所以 QA QB ⊥.所以 QAB ∆为直角三角形. ………………………………………11分 假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则QA QB =取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB ^.记点6(,0)5-为N .另一方面，点M 的横坐标22122212024225100520M x x k k x k k +==-=-++，所以 点M 的纵坐标266()5520M M k y k x k =+=+. 所以 222221016666(,)(,)520520520520k k k QM NMk k k k +? ++++222601320(520)k k += +. 所以 QM 与NM不垂直，矛盾.所以 当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.………………………………………13分3.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90ABC? ，2AB PB PC BC CD ====，平面PBC ^平面ABCD .（Ⅰ）求证：AB ^平面PBC ；（Ⅱ）求平面PAD 和平面BCP 所成二面角（小于90°）的大小； （Ⅲ）在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面PAD ？若存在，求PMPB 的值；若不存在，请说明理由.PABC D（Ⅰ）证明：因为 90ABC ? ，所以 AB BC ⊥. ………………………………………1分 因为 平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，AB Ì平面ABCD ，所以 AB ^平面PBC . ………………………………………3分 （Ⅱ）解：取BC 的中点O ，连接PO . 因为PB PC =， 所以 PO BC ⊥.因为 平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，PO Ì平面PBC ，所以 PO ^平面ABCD . ………………………………………4分如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直 线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．不妨设2BC =.由 直角梯形ABCD 中2AB PB PC BC CD ====可得P ，(1,1,0)D -，(1,2,0)A .所以(1,1DP =- ，(2,1,0)DA =.设平面PAD 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.DP DAìï?ïíï?ïîm m所以(,,)(1,0,(,,)(2,1,0)0,x y z x y z ìï?=ïíï?ïî即0,20.x y x y ìï-+=ïíï+=ïî 令1x =，则2, y z =-=-所以(1,2,=--m . ………………………………………7分取平面BCP 的一个法向量n ()0,1,0=. 所以cos ,⋅==m n m n m n . 所以 平面ADP 和平面BCP 所成的二面角（小于90°）的大小为4π. ………………………………………9分（Ⅲ）解：在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面PAD ，此时12PM PB =. 理由如 下： ………………………………………10分取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN . 则 MN ∥PA ，12AN AB =. 因为 2AB CD =， 所以 AN CD =. 因为 AB ∥CD ，所以 四边形ANCD 是平行四边形. 所以 CN ∥AD .因为 , MN CN N PA AD A == ，所以 平面MNC ∥平面PAD . ………………………………………13分 因为 CM Ì平面MNC ，所以 CM ∥平面PAD . ………………………………………14分NMPABCD。
高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案
课题：椭圆及其标准方程教材：普通高中课程标准试验教科书——《数学》选修2-1 一、教材分析：《椭圆及其标准方程》是高中数学新教材选修2—1第二章第二节的第一课时。
从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上都是起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。
因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。
二、教学目标分析：（一）知识与技能目标: 准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其推导.（二）过程与方法目标: 通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力.（三）情感态度与价值观目标：（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.三、教学重点、难点：（一）．重点：椭圆定义及其标准方程（二）．难点：椭圆标准方程的推导四、教学方法与教学手段采用启发和探究式教学相结合的教学模式，即在教师的引导下，创设情境，学生利用课前准备的工具亲自动手画出椭圆，并讨论椭圆上的点满足的条件，以此来充分调动学生学习的主动性和积极性，发展学生数形结合，等价转换等思想，培养学生综合运用知识解决问题的能力。
教学手段：计算机课件辅助教学。
五、教学过程：（一）认识椭圆，探求规律:1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师准备的有关椭圆的图片，让学生从感性上认识椭圆.2．通过演示动画，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹.（二）动手实验，亲身体会用上面所总结的规律，指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备细绳），并以此了解椭圆上的点的特征.请两名同学上黑板画（三）归纳定义，完善定义我们通过动画演示，实践操作，对椭圆有了一定的认识，下面由同学们归纳椭圆的定义.椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F =2c ）的点的轨迹叫做椭圆。
苏教版数学选修2-1同步练习：2.2 2.2.1 椭圆的标准方程 巩固提升
[A 基础达标]1．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且F 1F 2＝23，若PF 1与PF 2的等差中项为F 1F 2，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B.由已知2c ＝F 1F 2＝23，所以c ＝ 3.因为2a ＝PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝43，所以a ＝23，所以b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.2．“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.要使方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，应满足⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1，因此“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．3．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则ON 等于( )A ．2B ．4C ．6 D.32解析：选B.设椭圆的另一个焦点为F 2，因为椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，即MF 1＝2，又MF 1＋MF 2＝2a ＝10，所以MF 2＝8.因为N 是MF 1的中点，O 是F 1F 2的中点， 所以ON ＝12MF 2＝4.4．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且MF 1－MF 2＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选B.由椭圆定义知MF 1＋MF 2＝2a ＝4，因为MF 1－MF 2＝1，所以MF 1＝52，MF 2＝32.又F 1F 2＝2c ＝2，所以MF 21＝MF 22＋F 1F 22，即∠MF 2F 1＝90°，所以△MF 1F 2为直角三角形． 5．椭圆x 216＋y 27＝1的左，右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为________．解析：由椭圆方程知2a ＝8，由椭圆的定义知AF 1＋AF 2＝2a ＝8，BF 1＋BF 2＝2a ＝8，所以△ABF 2的周长为16.答案：166．已知椭圆C 1：mx 2＋y 2＝8与椭圆C 2：9x 2＋25y 2＝100的焦距相等，则m 的值为________．解析：将椭圆C 1化成标准方程为x 28m ＋y 28＝1，C 2化成标准方程为x 21009＋y 24＝1.设椭圆C 2的焦距为2c ，则c 2＝1009－4＝649.当椭圆C 1的焦点在x 轴上时，因为椭圆C 1与椭圆C 2的焦距相等．所以8m －8＝649，解得m ＝917.当椭圆C 1的焦点在y 轴上时，因为椭圆C 1与椭圆C 2的焦距相等．所以8－8m ＝649，解得m ＝9.综上可知，m ＝9或m ＝917.答案：9或9177．方程x 2m 2＋y 2（m －1）2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0（m －1）2>0（m －1）2>m 2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0m ≠1m <12.故所求实数m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12.答案：(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 8．已知P 是椭圆x 225＋y 216＝1上任意一点，F 1，F 2是两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△PF 1F 2的面积．解：由x 225＋y 216＝1得a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.所以F 1F 2＝2c ＝6，PF 1＋PF 2＝2a ＝10. 因为∠F 1PF 2＝30°，所以在△F 1PF 2中， 由余弦定理得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 30°，即62＝PF 21＋2PF 1·PF 2＋PF 22－2PF 1·PF 2－3·PF 1·PF 2，所以(2＋3)PF 1·PF 2＝(PF 1＋PF 2)2－36＝100－36＝64， 即PF 1·PF 2＝642＋3＝64×(2－3)， 所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2·sin 30°＝12×64×(2－3)×12＝16(2－3)．9.如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2.过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为M (2，1)，求椭圆C 的方程．解：因为直线l ⊥x 轴，M (2，1)，所以F 2的坐标为(2，0)，由题意知椭圆的焦点在x 轴上，标准方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝22a 2＋1b2＝1，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝2，所以所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.[B 能力提升]1．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则PM ＋PN 的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B.由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且PF 1＋PF 2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF 1＋PF 2－1－2＝7.2．已知椭圆的方程为x 2m ＋y 2＝1(m >0，m ≠1)，则该椭圆的焦点坐标为________．解析：当0<m <1时，此时焦点在y 轴上，a 2＝1，b 2＝m ，所以c 2＝a 2－b 2＝1－m ， 所以c ＝1－m ，故所求方程的焦点坐标为(0，1－m )，(0，－1－m )； 当m >1时，此时焦点在x 轴上，a 2＝m ，b 2＝1， 所以c 2＝a 2－b 2＝m －1，所以c ＝m －1，故所求方程的焦点坐标为(m －1，0)，(－m －1，0)． 答案：(0，1－m )，(0，－1－m )或(m －1，0)， (－m －1，0)3.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，若△POF 2为面积是3的正三角形，试求椭圆的标准方程．解：由△POF 2为面积是3的正三角形得，PO ＝PF 2＝OF 2＝2，所以c ＝2.连结PF 1，在△POF 1中，PO ＝OF 1＝2，∠POF 1＝120°，所以PF 1＝2 3.所以2a ＝PF 1＋PF 2＝2＋23，所以a ＝1＋3， 所以b 2＝a 2－c 2＝4＋23－4＝2 3.所以所求椭圆的标准方程为x 24＋23＋y 223＝1.4．(选做题)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，B 为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1·PF 2的最大值； (2)若C 为椭圆上异于B 的一点，且BF →1＝λ CF →1，求λ的值； (3)设P 是该椭圆上的一个动点，求△PBF 1的周长的最大值． 解：(1)因为椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝3，即F 1F 2＝23， 又因为PF 1＋PF 2＝2a ＝4，所以PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎫PF 1＋PF 222＝⎝⎛⎭⎫422＝4， 当且仅当PF 1＝PF 2＝2时取“＝”， 所以PF 1·PF 2的最大值为4.(2)设C (x 0，y 0)，B (0，－1)，F 1(－3，0)， 由BF →1＝λ CF →1，得x0＝3（1－λ）λ，y0＝－1λ.又x204＋y2＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7或λ＝1，C异于B点，故λ＝1舍去．所以λ＝－7.(3)因为PF1＋PB＝4－PF2＋PB≤4＋BF2，所以△PBF1的周长≤4＋BF2＋BF1＝8，所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8.由Ruize收集整理。
苏教版高中数学选修2-1：2.2《椭圆》测试2(选修2—1).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中苏教选修（2-1）圆锥曲线及椭圆水平测试题一、选择题1．椭圆22143x y +=的右焦点到直线33y x =的距离是（ ） Ａ．12Ｂ．32Ｃ．1 Ｄ．3答案：Ａ2．语句甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和2PA PB a += (0a >，且a 为常数)；语句乙：P 点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件 答案：Ｂ3．过点(32)-，且与22194x y +=有相同焦点的椭圆的方程是（ ） Ａ．2211510x y += Ｂ．221225100x y += Ｃ．2211015x y += Ｄ．221100225x y += 答案：Ａ4．设P 是椭圆2211612x y +=上一点，P 到两焦点12F F ，的距离之差为2，则12PF F △是（ ） Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形 Ｄ．等腰直角三角形答案：Ｂ5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积为πS ab =．现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一个焦点坐标为（4，0），且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为（ ） Ａ．15π Ｂ．15π4Ｃ．3πＤ．255π4答案：Ｄ6．(0)F c ，是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为m ，最小值为n ，则椭圆上与点F 距离为2m n+的点是（ ） Ａ．2b c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，Ｂ．b c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，Ｃ．(0)b ±，Ｄ．不存在答案：Ｃ二、填空题7．若椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2150)，，则椭圆的标准方程 是 ．答案：2218020x y += 8．一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点M 在线段AB 上且4AM MB =，则点M 的轨迹方程是 ．答案：221664x y +=9．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m 等于 ． 答案：3210．已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>，它的两个焦点分别为12F F ，，且128F F =，弦AB 过1F ，则2ABF △的周长为 ． 答案：44111．椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围 是 ． 答案：[45]，12．已知102A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为 ． 答案：22413x y += 三、解答题13．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程． 解：椭圆的长轴长是6，2cos 3OFA ∠=，∴点A 不是长轴的端点，而是短轴的端点，OF c ∴=，3AF a ==． 233c ∴=． 2c ∴=，222325b =-=．∴椭圆的方程是22195x y +=或22159x y +=．14．P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 为它的一个焦点，求证：以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．证明：如右图，设1PF 的中点为M ， 则两圆圆心之间的距离为211111(2)222OM PF a PF a PF ==-=-， 即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差．∴两圆内切，即以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．15．在平面直角坐标系中，已知ABC △的两个顶点(30)B -，，(30)C ，且三边AC 、BC 、AB 的长成等差数列，求顶点A 的轨迹方程．解：三边AC 、BC 、AB 的长成等差数列，212AC AB BC BC ∴+==>，∴顶点A 的轨迹是以B C ，为焦点，长轴长为12的椭圆（长轴端点除外）．由212a =，26c =，得6a =，3c =，则22236927b a c =-=-=．∴顶点A 的轨迹方程为221(6)3627x y x +=≠±．椭圆第1题. 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ． （I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积S 的最大值． 答案：解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ． 点C 的纵坐标y 满足方程22221(0)4x y y r r+=≥，解得222(0)y r x x r =-<<221(22)22S x r r x =+-222()x r r x =+-，其定义域为{}0x x r <<．（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-．令()0f x '=，得12x r =． 因为当02r x <<时，()0f x '>；当2rx r <<时，()0f x '<，所以12f r ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值．4rCDA B2r CDA B Oxy因此，当12x r =时，S 也取得最大值，最大值为213322f r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 即梯形面积S 的最大值为2332r ．第2题. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．202⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．212⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， 答案：Ｄ第3题. 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．答案：解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程得22(2)12x kx ++=． 整理得22122102k x kx ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭， 解得22k <-或22k >．即k 的取值范围为2222⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k+=-+． ② 又1212()22y y k x x +=++． ③而(20)(01)(21)A B AB =-，，，，，． 所以OP OQ +与AB 共线等价于12122()x x y y +=-+， 将②③代入上式，解得22k =． 由（Ⅰ）知22k <-或22k >，故没有符合题意的常数k ．第4题.在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．答案：解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程得22(2)12x kx ++=． 整理得22122102k x kx ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭， 解得22k <-或22k >．即k 的取值范围为2222⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k+=-+． ② 又1212()22y y k x x +=++． ③而(20)(01)(21)A B AB =-，，，，，． 所以OP OQ +与AB 共线等价于12122()x x y y +=-+， 将②③代入上式，解得22k =． 由（Ⅰ）知22k <-或22k >，故没有符合题意的常数k ．第5题.设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在点,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．202⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．303⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．212⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D ．313⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， 答案：D第6题.设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c （c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（ ）A ．312- B ．12C ．512- D ．22答案：D第7题.在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △的顶点(40)A -，和(40)C ，，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A CB+=_____． 答案：54第8题.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=内Ｂ．必在圆222x y +=上Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能答案：A第9题.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=上Ｂ．必在圆222x y +=外Ｃ．必在圆222x y +=内Ｄ．以上三种情形都有可能答案：Ｃ第10题.已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．答案：证明： （Ⅰ）椭圆的半焦距321c =-=，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+2222122212243(1)1(1)()432k BD kx x k x x x x k +⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-， 所以，2222143143(1)12332k k AC k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．第11题.已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 答案：（Ⅰ）椭圆的半焦距321c =-=，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200001132222x y x y ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+，2222122212243(1)1(1)()432k BD kx x k x x x x k +⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+；因为AC 与BC 相交于点p ，且AC 的斜率为1k-． 所以，2222143143(1)12332k k AC k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．第12题.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） A ．13B ．33C ．12D ．32答案：D第13题. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求AOB △面积的最大值．答案：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意633c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，． （1）当AB x ⊥轴时，3AB =． （2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+．由已知2321m k =+，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤． 当且仅当2219k k =，即33k =±时等号成立．当0k =时，3AB =，综上所述max 2AB =．∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 133222S AB =⨯⨯=．第14题.椭圆2241x y +=的离心率为（ ）Ａ．32Ｂ．34Ｃ．22Ｄ．23答案：A第15题.已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______． 答案：21-第16题.已知长方形ABCD ，4AB =，3BC =，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______． 答案：12第17题.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y x=相切于坐标原点O ，椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． （1）求圆C 的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解:(1) 设圆C 的圆心为 (m ，n )则 222m nn =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得22m n =-⎧⎨=⎩所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-=(2) 由已知可得 210a = 5a =椭圆的方程为221259x y += ， 右焦点为 F ( 4，0) ； 假设存在Q 点()222cos ,222sin θθ-++使QF OF =，()()22222cos 4222sin 4θθ-+-++=整理得 sin 3cos 22θθ=+ 代入 22sin cos 1θθ+= 得:y O 1A2B2A 1B. . . M1FF2Fx. 210cos 122cos 70θθ++= ， 122812222cos 11010θ-±-±==<-因此不存在符合题意的Q 点.第18题.设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP OF =+，则||OM = ． 答案：2第19题.我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y轴的交点，M 是线段21A A 的中点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cx b y(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．答案：解：（1） ()()2222012(0)00F c F b c F b c ---，，，，，， ()222220212121F F bc c b F F b c ∴=-+===-=，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）设()P x y ，，则2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222()1()04b a c x a c x b c x c ⎛⎫-=---++- ⎪⎝⎭，≤≤， 0122<-cb ，∴ 2||PM 的最小值只能在0=x 或c x -=处取到．即当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处．（3）||||21MA M A = ，且1B 和2B 同时位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥和半椭圆22221(0)y x x b c +=≤上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥上的情形即可． 2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222224)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x a c ---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=． 当22()2a a c x a c -=≤，即2a c ≤时，2||PM 的最小值在222)(cc a a x -=时取到， 此时P 的横坐标是222)(c c a a -．当a cc a a x >-=222)(，即c a 2>时，由于2||PM 在a x <时是递减的，2||PM 的最小值在a x =时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若2a c ≤，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是222)(c c a a -；若c a 2>，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是a 或c -．第20题.设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且1254PF PF ⋅=-，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且A O B ∠为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．答案：解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知2a =，1b =，3c =．∴1(3,0)F -，2(3,0)F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．则22125(3,)(3,)34PF PF x y x y x y ⋅=-----=+-=-，又2214x y +=，联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22113342x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，3(1,)2P ． （Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+ 由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>22163(14)0k k -+>，2430k ->，得234k >．① 又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>， ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k =+⋅+⋅-+++22212(1)21641414k k kk k +⋅=-+++224(4)014k k -=>+ ∴2144k -<<．② 综①②可知2344k <<，∴k 的取值范围是33(2,)(,2)22--第21题.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ． （Ⅰ）证明2a b =；（Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ ⊥．答案：（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中 0y >，由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，222221a b y a b-+=， 解得2b y a =，从而得到2b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，直线2AF 的方程为2()2b y x c ac =+，整理得 2220b x acy b c -+=．由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ，即 242234c b cb a c=+， 将222c a b =-代入原式并化简得222a b =，即2a b =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，，过点O 作1OB AF ⊥，垂足为H ，易知112F BC F F A △∽△，故211BO F AOF F A= 由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以 2212132F AF A F A a F A==-， 解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即2a b =． （Ⅱ）解法一：圆222x y t +=上的任意点00()M x y ，处的切线方程为200x x y y t +=． 当(0)t b ∈，时，圆222x y t +=上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A 处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q 和2Q ，因此点111()Q x y ，，222()Q x y ，的坐标是方程组20022222x x y y t x y b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ①②的解．当00y ≠时，由①式得 200t x xy y -=代入②式，得22220022t x x x b y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即22224220000(2)4220x y x t x x t b y +-+-=，于是2012220042t x x x x y +=+，422122200222t b y x x x y -=+ 2201121201t x x t x x y y y y --=422012012201()t x t x x x x x y ⎡⎤=-++⎣⎦ 242242200002222200000422122t x t b y t x t x y x y x y ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭422220022t b x x y -=+． AO1F 2FHxy若12OQ OQ ⊥，则42242242220000121222222200000022232()0222t b y t b x t b x y x x y y x y x y x y ---++=+==+++． 所以，42220032()0t b x y -+=．由22200x y t +=，得422320t b t -=．在区间(0)b ，内此方程的解为63t b =． 当00y =时，必有00x ≠，同理求得在区间(0)b ，内的解为63t b =． 另一方面，当63t b =时，可推出12120x x y y +=，从而12OQ OQ ⊥． 综上所述，6(0)3t b b =∈，使得所述命题成立．。
高中数学 椭圆及其标准方程 解析几何同步练习4 苏教版选修2-1
解析几何同步练习（椭圆及其标准方程）知识要点： ① 定义：()||22||||2121F F a a PF PF >=+；② 标准方程：()012222>>=+b a b y a x ；()012222>>=+b a bx a y 。
一、选择题1、椭圆122x +32y =1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的 [ ]A.4倍B.5倍C.7倍D.3倍2.已知圆O ：422=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段1PP （1P 在y 轴上），M 在直线1PP 上且P P 112=，则动点M 的轨迹方程是 [ ] A.4x 2+16y 2=1 B.16x 2+4y 2=1 C.42x +16y =1 D.162x +42y =1 3.椭圆252x +92y =1上一点P 到两焦点距离之积为m ，则m 取最大值时P 点坐标为[ ] A.（5，0）或（-5，0） B.（25，233）或（25，-233） C.（0，3）或（0，-3） D.(235,23)或（-235，-23） 4.椭圆162x +92y =1的左右焦点分别是21,F F ，点P 在椭圆上，若P,21,F F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 [ ] A 59 B 3 C 779 D 49二、填空题5．椭圆的两焦点为)0,4(1-F ，)0,4(2F ，过F 1作弦AB ，且2ABF ∆的周长为20，则此椭圆的方程为6.已知圆C:25)1(22=++y x 及点)0,1(A ，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则M 点的轨迹方程为 7.设椭圆的方程为12222=+b y ax )0(>>b a ，椭圆与Y 轴正半轴的一个交点B 与两焦点21,F F 组成的三角形的周长为324+，且3221π=∠BF F ，则此椭圆的方程为 。
高中数学选修2-1第二章第一节《椭圆及其标准方程》说
课题：椭圆及其标准方程（—）教材: 人教版高中数学选修2-1第二章第一节《椭圆及其标准方程》一、教材分析(一) 教材的地位和作用圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。
同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材。
在本章中，椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。
因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。
(二) 教学目标1. 知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程，理解椭圆标准方程的推导。
2. 过程与方法目标：通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：通过实验、观察、推理、类比、归纳等教学活动，使学生体验到数学学习活动充满着探索和创造,提高了学生的学习热情并体会数学的简洁美、对称美。
(三) 教学的重点与难点1. 教学重点：椭圆的定义及其标准方程。
2. 教学难点：椭圆标准方程的推导。
在学习本课《椭圆及其标准方程》前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。
但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，学生对坐标法解决几何问题掌握还不够。
另外，学生对含有两个根式之和（差）等式化简的运算生疏，去根式的策略选择不当等是导致“标准方程的推导”成为学习难点的直接原因。
二、学情分析学生对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识，因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力，但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，并且还受到高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难．如：由于学生对运用坐标法解决几何问题掌握还不够，因此从研究圆到椭圆，学生思维上会存在障碍．三、教法和学法(一) 教法：在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。
高中数学椭圆及其标准方程解析几何同步练习1苏教版选修2-1
分析几何同步练习（椭圆及其标准方程）知识重点：①定义： | PF1 | |PF2 | 2a 2a | F1F2 | ；②标准方程：x2 y 2 1 a b 0； y 2 x 2 1 a b 0 。
一、选择题a2 b 2 a 2 b21、若点 P 到两定点 F1（-4 ， 0），F2（ 4， 0）的距离和是8，则动点 P 的轨迹为[ ]A. 椭圆B. 线段 F1F2C.直线 F1F2D. 不可以确立2. 以下说法正确的个数是[ ]①平面内与两个定点 F 、F 的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆②与两个定点 F 、F 的距离1 2 1 2的和等于常数（大于| F 1F2|）的点的轨迹是椭圆③方程x2 y21（a>c>0）表示焦c 2 a 2 c 2y2 x2点在 x 轴上的椭圆④方程1（a>0,b>0)表示焦点在y轴上的椭圆a2 b2A． 13.椭圆 x 2 y 2 1的焦距为2，则m的值等于[ ]m 4或34. 过点（ 3， -2 ）且与x2 y2 1 有同样焦点的椭圆是[ ] 9 4A. x2 y2 1B. x2 y 2 1C. x 2 y 2 1D. x 2 y 2 115 10 225 100 10 15 100 225 5．已知方程x2 my2 1 表示焦点在y轴上的椭圆，则m 的取值范围是[ ]A． m<1 B ． -1<m<1 C ．m>1 D ．0<m<16. 椭圆 ax2+by2 +ab=0（ a<b<0）的焦点坐标是[ ]A. （a b,0)B. （ 0， a b ）C.（ b a ，0）D.（0， b a ）二、填空题7. 假如椭圆x2 y 2 1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点 P 到另一个焦点100 36F2的距离是；8 过椭圆 C：x 2 y21 的焦点引垂直于x 轴的弦，则弦长为a 2 b2三、解答题：9．求经过点A(0,2) 和 B( 1, 3 )的椭圆的标准方程210. 椭圆的两个焦点 F1、F2在 x 轴上，以 | F1F2| 为直径的圆与椭圆的一个交点为（3， 4），求椭圆标准方程 .11．已知点Ｐ在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点Ｐ到两个焦点的距离分别为 4 5,2 5，过3 3 Ｐ作焦点所在轴的垂线恰巧过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程参照答案一、选择题：BAAA DD二、填空题：1、 14； 2 、2b2。
苏教版数学选修2-1同步练习：2.2 2.2.2 椭圆的几何性质 巩固提升
[A 基础达标]1．焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D ．x 2＋y 24＝1 解析：选A.依题意，得a ＝2，a ＋c ＝3，故c ＝1，b ＝22－12＝3，故所求椭圆的标准方程是x 24＋y 23＝1.2．若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则实数m 等于( )A.32或83 B.32 C.38D.38或23解析：选A.若焦点在x 轴上，则0<m <2，所以a 2＝2，b 2＝m ，所以c 2＝2－m .因为e ＝12，所以c 2a 2＝14，所以2－m 2＝14，所以m ＝32.若焦点在y 轴上，则m >2，所以a 2＝m ，b 2＝2，所以c 2＝m －2.因为e ＝12，所以c 2a 2＝14，所以m －2m ＝14，所以m ＝83. 3．已知焦点在x 轴上的椭圆：x 2a 2＋y 2＝1，过焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B两点，且AB ＝1，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.154D.33解析：选A.椭圆的焦点坐标为(±a 2－1，0)，不妨设A ⎝⎛⎭⎫a 2－1，12，可得a 2－1a 2＋14＝1， 解得a ＝2，椭圆的离心率为e ＝a 2－1a ＝32.故选A.4．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫22，1B.⎝⎛⎭⎫0，22C.⎣⎡⎭⎫12，1D.⎣⎡⎭⎫12，22 解析：选C.在△PF 1F 2中，设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝2a ，根据余弦定理，得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，配方得(m ＋n )2－3mn ＝4c 2，所以3mn ＝4a 2－4c 2，所以4a 2－4c 2＝3mn ≤3·⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝3a 2， 即a 2≤4c 2，故e 2＝c 2a 2≥14， 解得12≤e ＜1.故选C.5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝( )A. 2 B ．2 C. 3D ．3解析：选A.设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1，知a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝1，即c ＝1.所以右焦点F (1，0)． 由F A →＝3FB →，得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． 所以1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. 所以x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝⎛⎭⎫432＋⎝⎛⎭⎫13n 2＝1.解得n 2＝1， 所以|AF →|＝（1－2）2＋（－n ）2＝1＋1＝ 2.6．设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，如果∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率是________．解析：在Rt △PF 1F 2中，由正弦定理， 得PF 1sin 15°＝PF 2sin 75°＝F 1F 2sin 90°＝2c ，所以PF 1＋PF 2sin 15°＋sin 75°＝2c .由椭圆的定义，知PF 1＋PF 2＝2a .代入上式，有e ＝c a ＝1sin 75°＋sin 15°＝63.答案：637．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点．已知点P (a ，b )，△F 1PF 2为等腰三角形，则椭圆的离心率e ＝________．解析：设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，由题意得PF 2＝F 1F 2，即（a －c ）2＋b 2＝2c .把b 2＝a 2－c 2代入，整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0，解得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝c a ＝12. 答案：128．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________．解析：由题意，知a ＝10，b ＝8，不妨设椭圆方程为x 2100＋y 264＝1，其上的点M (x 0，y 0)，则|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝x 20＋y 20.因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64⎝⎛⎭⎫1－x 20100＝64－1625x 20， 则d ＝x 20＋64－1625x 20＝925x 2＋64， 因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 20＋64≤100，即8≤d ≤10.答案：[8，10]9．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x 轴上，短轴的一个顶点B 与两个焦点F 1，F 2组成的三角形的周长为4＋23，且∠F 1BF 2＝2π3，求椭圆的标准方程．解：设长轴长为2a ，焦距为2c ，则在△F 2OB 中，由∠F 2BO ＝π3得：c ＝32a ，所以△F 2BF 1的周长为2a ＋2c ＝2a ＋3a ＝4＋23， 所以a ＝2，c ＝3，所以b 2＝1， 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.10．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B＝164＋k 2， 又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ， 即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，由OB →＝2OA →， 得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2， 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中， 得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .[B 能力提升]1．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C.由题意得F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)， 则y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)，OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6.2．设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．解析：由题意，知∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°， 所以∠PF 2x ＝60°.所以PF 2＝2×⎝⎛⎭⎫32a －c ＝3a －2c . 因为F 1F 2＝2c ，F 1F 2＝PF 2， 所以3a －2c ＝2c ，所以e ＝c a ＝34.答案：343.已知椭圆x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为B ，过F ，B ，C 三点作⊙P ，且圆心在直线x ＋y ＝0上，求此椭圆的方程．解：设圆心P 的坐标为(m ，n )，因为圆P 过点F ，B ，C 三点，所以圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为x ＝1－c2.① 因为BC 的中点为⎝⎛⎭⎫12，b 2，k BC ＝－b ， 所以BC 的垂直平分线方程为 y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎫x －12.② 由①②联立，得x ＝1－c 2，y ＝b 2－c2b ，即m ＝1－c 2，n ＝b 2－c2b.因为P (m ，n )在直线x ＋y ＝0上， 所以1－c 2＋b 2－c2b ＝0，可得(1＋b )(b －c )＝0，因为1＋b ＞0，所以b ＝c ，结合b 2＝1－c 2得b 2＝12，所以椭圆的方程为x 2＋y 212＝1，即x 2＋2y 2＝1.4．(选做题)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题意知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． 其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2 ＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.由Ruize收集整理。
苏教版高中数学选修2-1椭圆单元系列训练题.docx
椭圆单元系列训练题1. 椭圆19822=++y m x 的离心率21=e ，则m=__________ 2. 椭圆4x 2+2y 2=1的准线方程是_______________3. 已知F 1、F 2为椭圆192522=+y x 的两个焦点，A 、B 为过F 1的直线与椭圆的两 个交点，则△ABF 2的周长是____________4. 椭圆12222=+by a x ()0>>b a 上有一点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，则P 点的坐标是_______________5. 椭圆12222=+by a x 焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上的任一点，M 为P F 1的中点，若P F 1的长为s ，那么OM 的长等于____________6. 过椭圆1273622=+y x 的一个焦点F 作与椭圆轴不垂直的弦AB ，AB 的垂直平 分线交AB 于M ，交x 轴于N ，则FN ：AB =___________ 7. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率32=e ，长轴长是6，则椭圆的方程 是____________8. 方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的值是_____________9. 椭圆的两焦点把准线间的距离三等分，则这椭圆的离心率是______________10.椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点F 2的距离为b ，则P 点到左准线的距离是_______11.椭圆⎪⎭⎫⎝⎛∈=+2,4,1csc sec 2222ππt t y t x ，这个椭圆的焦点坐标是__________12.曲线()023122=+--+m my y m x 表示椭圆，那么m 的取值是______________13.椭圆13422=+y x 上的一点()11,y x A ，A 点到左焦点的距离为25， 则x 1=___________14.椭圆()()19216122=-+-y x 的两个焦点坐标是______________15.椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，两准线的距离是5518，焦距为52， 其方程为______16.椭圆上一点P 与两个焦点F 1、F 2所成的∆PF 1F 2中，βα=∠=∠1221,F PF F PF ， 则它的离心率e=__________17.方程142sin 322=⎪⎭⎫⎝⎛+-παy x 表示椭圆，则α的取值是______________18.若()()065562222=--+-λλλλy x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则λ的值 是________19.椭圆192522=+y x 上不同的三点()()2211,,59,4,,y x C B y x A ⎪⎭⎫⎝⎛与焦点()0,4F 的 距离成等差数列，则=+21x x ____________20.P 是椭圆192522=+y x 上一点，它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的4倍， 则P 点的坐标是_______________21.中心在原点，对称轴在坐标轴上，长轴为短轴的2倍，且过()6,2-的椭圆 方程是______22.在面积为1的△PMN 中，2tan ,21tan -==N M ，那么以M 、N 为焦点且过P 的椭圆方程是_____________23.已知△ABC ，()()0,3,0,3-B A 且三边AC 、AB 、BC 的长成等差数列，则顶点C 的轨迹方程是_________24.椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值是__________ 25.椭圆14922=+y x 的焦点到准线的距离是____________ 26.椭圆()112222=-+m y m x 的准线平行于x 轴，则m 的值是__________ 27.中心在原点，准线方程为4±=x ，离心率为21的椭圆方程是_______ 28.椭圆的焦距等于长轴长与短轴长的比例中顶，则离心率等于___________ 29.中心在原点，一焦点为()50,01F 的椭圆被直线23-=x y 截得的弦的中点横坐标为21，则此椭圆方程是_________30.椭圆的中心为()0,0，对称轴是坐标轴，短轴的一个端点与两个焦点构成面 积为12的三角形，两准线间的距离是225，则此椭圆方程是_____________ 31.过点()2,3-且与椭圆369422=+y x 有相同焦点的椭圆方程是____________32.将椭圆192522=+y x 绕其左焦点逆时针方向旋转90︒，所得椭圆方程是_______ 33.椭圆192522=+y x 上一点M 到右准线的距离是7.5，那么M 点右焦半径是______ 34.AB 是椭圆14322=+y x 的长轴，F 1是一个焦点，过AB 的每一个十等分点作 AB 的垂线，交椭圆同一侧于点P 1，P 2，P 3，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，P 9，则11912111BF F P F P F P AF ++⋅⋅⋅+++的值是________35.中心在原点，一焦点为F （0，1），长短轴长度比为t ，则此椭圆方程是__________36.若方程222x ky +=表示焦点在y 轴的椭圆，则k 的取值是__________37.椭圆221123x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上一点，若线段PF 1的中点在 y 轴上，那么1PF ：2PF =___________ 38.经过()()123,2,23,1M M --两点的椭圆方程是_____________39.以椭圆的右焦点F 2（F 1为左焦点）为圆心作一圆，使此圆过椭圆中心并交 椭圆于M 、N ，若直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率是___________ 40.椭圆的两个焦点F 1、F 2及中心O 将两准线间的距离四等分，则一焦点与短 轴两个端点连线的夹角是__________41.点A (),0a 到椭圆2212x y +=上的点之间的最短距离是___________42.椭圆2214x y +=与圆()2221x y r -+=有公共点，则r 的取值是________43.若k R ∈，直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=总有公共点，则m 的值是________ 44.设P 是椭圆上一点，两个焦点F 1、F 2，如果00211275,15PF F PF F ∠=∠=，则离 心率等于__________45.P 是椭圆22143x y +=上任一点，两个焦点F 1、F 2，那么12F PF ∠的最大值是 _______46.椭圆2244x y +=长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的 等腰直角三角形，则此直角三角形的面积是__________47.椭圆长轴长为6，焦距42，过焦点F 1作一倾角为α的直线交椭圆于M 、N 两点，当MN 等于短轴长时，α的值是_______48.设椭圆22143x y +=的长轴两端点A 、B ，点P 在椭圆上，那么直线PA 与PB 的斜率之积是__________49.倾斜角为4π的直线与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点M的轨迹方程是______________50.已知点A （0，1）是椭圆上的一点，P 是椭圆上任一点，当弦长AP 取最大 值时，点P 的坐标是_____________椭圆单元系列训练题参考答案1. 544-或 2. 1y =± 3. 20 4. ()()0,0,b b -或 5. 2sa - 6. 1:4 7. 2222119559x y x y +=+=或 8.9252m << 9. 33 10. 23b 11. ()0,cos 2t ± 12. ()1,+∞ 13. 1 14. ()()17,2,17,2+-15.22194x y+= 16. cos2cos2αβαβ+- 17. ()37,,88k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭18.()6,6 19. 8 20. 15371537,,4444⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或21.222211148371352x y x y +=+=或 22. 2241153x y += 23. 2213627x y += 24. 53或 25. 4514555和 26. 102m m <≠且 27. 22143x y += 28. 12522- 29. 2212575x y += 30. 222211259925x y x y +=+=或 31. 2211510x y += 32. ()()22441925x y +-+= 33. 6 34. 203+35.222221111x y t t t +=-- 36. ()0,1 37. 7 38. 221155x y += 39. 31- 40.2π41. 2122a a a --+或或 42. 6,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦43. m ≥1且m ≠ 5 44. 63 45. 60︒46.1625 47. 566ππ或 48. 34-49.144,5,5455y x x⎛⎫⎛⎫=-∈-⎪⎪⎝⎭⎝⎭50.421,33⎛⎫±-⎪⎪⎝⎭。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1优化训练 椭圆2
1.过点⎝⎛⎭⎫25，355且2c ＝8的椭圆的标准方程为________． 解析：由于焦点的位置不确定，故分类求解．答案：x 225＋y 29＝1和10x 229＋33649＋10y 2189＋33649＝12.椭圆的两个焦点是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则该椭圆方程是________．解析：椭圆的两个焦点是F 1(－1，0)，F 2(1，0)， ∵P 为椭圆上一点，F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，∴2a ＝PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4，a ＝2，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝3，故所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝13.设M (－5，0)，N (5，0)，△MNP 的周长是36，则△MNP 的顶点P 的轨迹方程为________． 解析：由于点P 满足PM ＋PN ＝36－10＝26>10，知点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，且2a ＝26的椭圆(由于P 与M 、N 不共线，故y ≠0)，再利用待定系数法求解．答案：x 2169＋y 2144＝1(y ≠0)4.如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________．解析：方程x 2＋ky 2＝2化为方程x 22＋ky 22＝1，所以0<2k<2，即k >1.答案：k >1[A 级 基础达标]1.椭圆的焦点为F 1(0，－5)，F 2(0，5)，点P (3，4)是椭圆上的一个点，则椭圆的方程为________．解析：∵焦点为F 1(0，－5)，F 2(0，5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1；点P (3，4)在椭圆上，∴16a 2＋9a 2－25＝1，a 2＝40，∴椭圆方程为y 240＋x 215＝1.答案：y 240＋x215＝12.若椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点P 到一个焦点的距离为5，则点P 到另一个焦点的距离为________．解析：由椭圆定义PF 1＋PF 2＝2a ＝10，∴PF 2＝10－PF 1＝5.答案：53.与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且2b ＝45的椭圆方程是________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36化为标准方程x 24＋y 29＝1，则焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5，又因为2b ＝45，则b 2＝20，a 2＝b 2＋c 2＝25，故所求椭圆的标准方程为x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y225＝14.椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k 等于____．解析：椭圆5x 2－ky 2＝5化为标准方程y 25－k ＋x 21＝1，则c 2＝5－k －1＝4，解得k ＝－1，满足5－k>1，故k ＝－1. 答案：－15.方程x 2m 2＋y 2（m －1）2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎨⎧m 2>0（m －1）2>0（m －1）2>m 2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0m ≠1m <12.故所求实数m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 6.根据椭圆的方程写出椭圆的焦点坐标：(1)x 225＋y 29＝1；(2)2x 2＋y 2＝1； (3)y 2a 2＋1＋x 2a 2＋5＝1(a ∈R )． 解：(1)由方程知，焦点在x 轴上，且a 2＝25，b 2＝9，∴c 2＝a 2－b 2＝16，∴c ＝4，故所求椭圆的焦点坐标为(－4，0)，(4，0)．(2)把方程化为标准方程为y 2＋x 212＝1，故焦点在y 轴上，且a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2－b 2＝12， ∴c ＝22，故所求椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，22，⎝⎛⎭⎫0，－22.(3)a 2＋5>a 2＋1，故焦点在x 轴上，且c 2＝(a 2＋5)－(a 2＋1)＝4，∴c ＝2，故所求椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．7.已知△ABC 的三边a 、b 、c (a >b >c )成等差数列，A 、C 两点的坐标分别为(－1，0)、(1，0)．求顶点B 的轨迹方程．解：设点B 的坐标为(x ，y )，∵a 、b 、c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ，即BC ＋BA ＝2AC ＝4.由椭圆的定义知，点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1；又∵a >b >c ，∴a >c ，∴BC >BA ，∴(x －1)2＋y 2>(x ＋1)2＋y 2，x <0；又当x ＝－2时，点B 、A 、C 在同一条直线上，不能构成△ABC ，∴x ≠－2.∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2<x <0)，轨迹是两段椭圆弧．[B 级 能力提升]8.已知椭圆mx 2＋3y 2－6m ＝0的一个焦点为(0，2)，则m 的值是________．解析：方程变形为x 26＋y 22m ＝1，∵焦点在y 轴上，∴a 2＝2m ，b 2＝6，又c ＝2且a 2－b 2＝c 2， ∴2m －6＝22，∴m ＝5. 答案：59.已知椭圆的方程为x 2m ＋y 2＝1(m >0，m ≠1)，则该椭圆的焦点坐标为________．解析：当0<m <1时，此时焦点在y 轴上，a 2＝1，b 2＝m ， ∴c 2＝a 2－b 2＝1－m ， ∴c ＝1－m ，故所求方程的焦点坐标为(0，1－m )，(0，－1－m )；当m >1时，此时焦点在x 轴上，a 2＝m ，b 2＝1，∴c 2＝a 2－b 2＝m －1，∴c ＝m －1，故所求方程的焦点坐标为(m －1，0)，(－m －1，0)．答案：(0，1－m )，(0，－1－m )或(m －1，0)， (－m －1，0)10.(2012·淮安高二检测)若B (－8，0)，C (8，0)为△ABC 的两个顶点，AC 、AB 两边上的中线和是30，求△ABC 重心G 的轨迹方程．解：如图，设CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的中线，则CD ＋BE ＝30，又G 是△ABC 的重心，∴BG ＝23BE ，CG ＝23CD ，∴BG ＋CG ＝23(BE ＋CD )＝23×30＝20.又B (－8，0)，C (8，0)，∴BC ＝16<20＝BG ＋CG ， ∴G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆， ∴2a ＝20，2c ＝16，即a ＝10，c ＝8， ∴b 2＝a 2－c 2＝102－82＝36，∴G 点的轨迹方程是x 2100＋y 236＝1.11.(创新题)如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2.过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为M (2，1)．求椭圆C 的方程．解：∵l ⊥x 轴，M (2，1)，∴F 2的坐标为(2，0)，由题意知椭圆的焦点在x 轴上，标准方程为：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝22a 2＋1b 2＝1，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝2，∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1。
湘教版高中数学选修2-1同步精练：2.1.1椭圆的定义与标准方程 含解析
1椭圆x2＋错误!＝1的一个焦点是(0，错误!)，那么k等于（）．A．－6 B．6 C．5＋1 D．1－错误!2如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是( )．A．（0，＋∞) B．(0,2) C．（1,＋∞) D．（0，1)3方程错误!＋错误!＝10化简的结果是( ）．A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝14椭圆错误!＋错误!＝1的焦点坐标为（）．A．（±4，0）B．（0，±4)C．（±3，0）D．（0,±3）5椭圆错误!＋错误!＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么｜PF1｜是｜PF2|的( )．A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍6已知F1，F2为椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若｜F2A|＋｜F2B|＝12，则｜AB|＝________。
7椭圆错误!＋错误!＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1｜＝4,则|PF2｜＝__________，∠F1PF2的大小为__________．8已知动圆M过定点A（－3,0)，并且在定圆B：（x－3）2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹方程是__________．9已知A，B两点的坐标分别是（－1，0），(1,0）,直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为m(m＜0），求点M的轨迹方程并判断其轨迹的形状．10求中心在原点，焦点在坐标轴上,且经过A（错误!，－2)和B(－2错误!,1）两点的椭圆的标准方程．参考答案1。
解析:由焦点坐标为(0，错误!），知焦点在y 轴上，∴k －1＝(5）2。
∴k ＝6.答案：B2. 解析：∵x 2＋ky 2＝2，∴错误!＋错误!＝1。
∵焦点在y 轴上， ∴2>2,>0,k k ⎧⎪⎨⎪⎩ ∴0＜k ＜1.答案：D3. 解析：此题可从椭圆的定义入手．方程表示动点(x ，y ）到（2,0)与(－2,0)的距离之和等于10，且10大于两定点之间的距离4,故该动点(x ，y ）的轨迹为椭圆．∴2a ＝10，a ＝5。
苏教版2019年高二数学选修2-1同步课堂精练：2.2.2 椭圆的几何性质 Word版含答案
1．椭圆22213x y a +=的一个顶点坐标为(0)，则椭圆的焦点坐标为__________．2．已知椭圆222217x y m m +=-(m >)上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为__________．3．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同的焦点，且短轴长为__________．4．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|1PF ＋2PF |的最小值是__________．5．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1F 2P 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________．6．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边__________．7．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，原点与线段MN 中点的连线的斜率为2，则mn的值是__________． 8．点P 是椭圆221259x y +=上一点，以点P 以及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于4，则P 点的纵坐标为______．9．已知椭圆C 1：24x ＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB ＝2OA ，求直线AB 的方程．参考答案1. 答案：(－3,0)和(3,0) 解析：由已知a 2＝(2＝12，∴c 2＝a 2－b 2＝9.又由a 2＝12＞3，∴椭圆焦点在x 轴上. ∴焦点坐标为(－3,0)和(3,0).2. 解析：∵m >，∴m 2＞m 2－7＞0，c 2＝m 2－(m 2－7)＝7.∴c =又∵点M 到两焦点的距离为5和3， ∴由椭圆定义得2a ＝5＋3＝8.∴a ＝4.∴离心率c e a ==. 3. 答案：2212520y x += 解析：方程9x 2＋4y 2＝36可化为22149x y +=，则此椭圆的焦点为(0和(0，设所求椭圆为22221y x a b+=(a ＞b ＞0)，∴c 2＝5.又∵2b =，∴b 2＝20.∴a 2＝25.∴所求椭圆方程为2212520y x +=. 4. 答案：2 解析：由向量加法的几何意义得|1PF ＋2PF |＝2|PO |，∴当|1PF ＋2PF |取最小值时，即椭圆上一点P 到椭圆中心的距离|PO |最小，而|PO |min ＝b .又∵x 2＋2y 2＝2可化为22x ＋y 2＝1，∴b ＝1.∴|1PF ＋2PF |＝2|PO |＝2b ＝2.5. 1 解析：如图，Rt△F 1F 2P 中，令PF 2=1，则F 1F 2=1，1PF =由椭圆定义知，PF 1+PF 2+1=2a ，11ce a ==.6. 答案：22x ＋y 2＝1 解析：由已知可设椭圆方程为22221x y a b +=(a ＞b ＞0).根据题意，得22222,2,,b c b c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩解得2222,1,1.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴所求椭圆方程为22x ＋y 2＝1.7.答案：2解析：由y ＝1－x 代入mx 2＋ny 2＝1消去y ，得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0， ∴线段MN 的中点坐标为,1n n m nm n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，依题意，有12nm m n n n m n-+==+. 8. 答案：±1 解析：F 1F 2＝8.设P (x 0，y 0)， 则S ＝12F 1F 2·|y 0|＝4， ∴|y 0|＝1，∴y 0＝±1.9. 答案：解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为22214y x a +=(a ＞2)，，故2a =，则a ＝4， 故椭圆C 2的方程为221164y x +=. (2)方法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB ＝2OA 及(1)知， O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入24x ＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以22414A x k =+.将y ＝kx 代入221164y x +=中，得(4＋k 2)x 2＝16， 所以22164B x k =+. 又由OB ＝2OA ，得224B A x x =，即221616414k k =++， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 方法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入24x ＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以22414A x k =+.由OB ＝2OA ，得22164Bx k =+，2221614B k y k =+， 将2B x ，2B y 代入221164y x +=中，得224114k k +=+， 即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1， 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .。
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解析几何同步练习（椭圆及其标准方程1B ）
知识要点： ①定义： ()||22||||2121F F a a PF PF >=+；
②标准方程：()012222>>=+b a b y a x ；()0122
22>>=+b a b
x a y 。
一、选择题
1、方程2222)2()2(y x y x ++++-=10,化简的结果是 [ ] A.1162522=+y x B. 1212522=+y x C. 142522=+y x D. 121
252
2=+x y 2. 已知ABC ∆的周长是８，Ｂ，Ｃ的坐标分别是（－１，０）和（１，０），则顶点Ａ的轨迹方程是 [ ] Ａ)3(18922±≠=+x y x )0(18
92
2≠=+x y x Ｃ)0(13422≠=+y y x Ｄ)0(14
32
2≠=+y y x 3．椭圆 13
122
2=+y x 的焦点为21,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 [ ] A 43± B 23± C 22± D 4
3± ４．如果椭圆的两焦点为)0,1()0,1(21F F 和-，Ｐ是椭圆上的一点，且2211,,PF F F PF 成等差数列，那么椭圆的方程是 [ ] Ａ191622=+y x Ｂ112
162
2=+y x Ｃ13422=+y x Ｄ14
32
2=+y x 5.若椭圆2kx 2+ky 2=1的一个焦点是（0，-4），则k 的值为
[ ] A.321 B.8 C. 81 D.32
６.α)2
,0(π
∈，方程sin αx 2+cos αy 2=1表示焦点在x 轴上的椭圆则α的取值范围为 A.（0，4π） B.（0，2π） C.（4π，2π） D.[ 4π ，2
π]
二、填空题
７．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a=3b,则椭圆的标准方程为 ； ８．点Ｐ是椭圆14
52
2=+y x 上一点，以点Ｐ以及焦点21,F F 为顶点的三角形的面积等于１，则点Ｐ的坐标为
三、解答题
9.已知方程（2-k ）x 2+ky 2=2k-k 2
表示焦点在x 轴上的椭圆，
求实数k 的取值范围.
10．已知椭圆Ａ（２，０）为椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上的一点，弦ＢＣ过椭圆的中心Ｏ，且0=•BC AC ，BA BC OB OC -=-2，求此椭圆的方程．
11．等腰直角三角形ＡＢＣ中，斜边ＢＣ长为24，一个椭圆以Ｃ为其中一个焦点，另一焦点在线段ＡＢ上，且椭圆经过Ａ，Ｂ两点，求该椭圆的标准方程
参考答案
一、选择题： BAAC
AA
二、填空题：
1、()2,1∈k ；
2、⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛±±
1,215。
三、解答题
1、14342
2=+y x ； 2、1242462
2=++y x 。