2015-2016年江苏省淮安市淮阴中学高一(上)数学期中试卷和答案

2015-2016学年江苏省淮安市淮阴中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（每小题5分，共70分）1．（5分）三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，其最小内角的弧度数为．2．（5分）集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则a+b=．3．（5分）函数y=+lg（4﹣x）的定义域为．4．（5分）从集合A到集合B的映射f：x→x2+1，若A={﹣2，﹣1，0，1，2}，则B中至少有个元素．5．（5分）角β的终边和角α=﹣1035°的终边相同，则cosβ=．6．（5分）已知扇形的半径为2，圆心角是弧度，则该扇形的面积是．7．（5分）设x0是函数f（x）=2x+x的零点，且x0∈（k，k+1），k∈Z，则k=．8．（5分）点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1按顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为．9．（5分）函数f（x）=的单调减区间是．10．（5分）已知关于x的x2﹣2ax+a+2=0的两个实数根是α，β，且有1＜α＜2＜β＜3，则实数a的取值范围是．11．（5分）下列幂函数中：①；②y=x﹣2；③；④；其中既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是．（填相应函数的序号）．12．（5分）已知函数y=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象过定点A，若点A也在函数f（x）=2x+b的图象上，则f（log23）=．13．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是．14．（5分）已知函数f（x）=．若a＜b＜c且f（a）=f（b）=f（c），则（ab+2）c的取值范围是．二、解答题（共90分）15．（14分）已知tanα是关于x的方程2x2﹣x﹣1=0的一个实根，且α是第三象（1）求的值；（2）求cosα+sinα的值．16．（14分）设集合U=R，A={x||x﹣1|＜1}，B={x|x2+x﹣2＜0}；（1）求：A∩B，（∁U A）∪B；（2）设集合C={x|2﹣a＜x＜a}，若C⊆（A∪B），求a的取值范围．17．（14分）计算题（1）求值：（2）求不等式的解集：①33﹣x＜2；②．18．（16分）某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x 的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？19．（16分）已知，m是实常数，（1）当m=1时，写出函数f（x）的值域；（2）当m=0时，判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（3）若f（x）是奇函数，不等式f（f（x））+f（a）＜0有解，求a的取值范围．20．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2x﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值2015-2016学年江苏省淮安市淮阴中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共70分）1．（5分）三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，其最小内角的弧度数为．【解答】解：∵三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，设最小的角为α，则其它的两个角为2α、3α．再由三角形的内角和公式可得α+2α+3α=π，可得α=，故其最小内角的弧度数为，故答案为：．2．（5分）集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则a+b=3．【解答】解：∵集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则2a=2，b=2，求得a=1，b=2，则a+b=3，故答案为：3．3．（5分）函数y=+lg（4﹣x）的定义域为{x|﹣2≤x＜4} ．【解答】解：依题意得，解得﹣2≤x＜4．故函数y=+lg（4﹣x）的定义域为{x|﹣2≤x＜4}．故答案为：{x|﹣2≤x＜4}．4．（5分）从集合A到集合B的映射f：x→x2+1，若A={﹣2，﹣1，0，1，2}，则B中至少有3个元素．【解答】解：当x=±1时，x2+1=1+1=2，当x=±2时，x2+1=4+1=5，当x=0时，x2+1=0+1=1，故B中至少有1，2，5三个元素，故答案为：35．（5分）角β的终边和角α=﹣1035°的终边相同，则cosβ=．【解答】解：∵角β的终边和角α=﹣1035°的终边相同，cosβ=cos（﹣1035°+3×360°）=cos45°=．故答案为：．6．（5分）已知扇形的半径为2，圆心角是弧度，则该扇形的面积是．【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l=αr=×2=根据扇形的面积公式可得S==故答案为：7．（5分）设x0是函数f（x）=2x+x的零点，且x0∈（k，k+1），k∈Z，则k=﹣1．【解答】解：∵f（x）=2x+x，∴函数f（x）为增函数，f（0）=1＞0，f（﹣1）=＜0，满足f（0）f（﹣1）＜0，则在（﹣1，0）内函数f（x）存在一个零点，即x0∈（﹣1，0），∵x0∈（k，k+1），∴k=﹣1，故答案为：﹣18．（5分）点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1按顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为．【解答】解：由题意可得Q的横坐标为cos（）=，Q的纵坐标为sin（）=﹣sin=，故Q的坐标为，故答案为：．9．（5分）函数f（x）=的单调减区间是[2，3] ．【解答】解：解（x﹣1）（3﹣x）≥0得，1≤x≤3；令（x﹣1）（3﹣x）=t，设y=f（x），则y=为增函数；∴函数t=﹣x2+4x﹣3在[1，3]上的减区间便是函数f（x）的单调递减区间；∴f（x）的单调递减区间为[2，3]．故答案为：[2，3]．10．（5分）已知关于x的x2﹣2ax+a+2=0的两个实数根是α，β，且有1＜α＜2＜β＜3，则实数a的取值范围是．【解答】解：设f（x）=x2﹣2ax+a+2，∵1＜α＜2＜β＜3，∴，即，即，即2＜a＜，故答案为：11．（5分）下列幂函数中：①；②y=x﹣2；③；④；其中既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是③．（填相应函数的序号）．【解答】解：：①的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．；②y=x﹣2=定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）==f（x），则函数是偶函数，在（0，+∞）上单调单调递减，不满足条件．③=，函数的定义域为（﹣∞，+∞），则f（﹣x）=f（x），则函数为偶函数，则（0，+∞）上单调递增，满足条件．；④的定义域为（﹣∞，+∞），函数为奇函数，不满足条件；故答案为：③12．（5分）已知函数y=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象过定点A，若点A也在函数f（x）=2x+b的图象上，则f（log23）=﹣1．【解答】解：∵函数y=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（2，0），将x=2，y=0代入y=2x+b得：22+b=0，∴b=﹣4，∴f（x）=2x﹣4，则f（log23）=﹣4=﹣1，故答案为：﹣113．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是．【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）=﹣x+2，∵y=f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x﹣2．∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．∴f（x）=，（1）当x＞0时，2（x﹣2）﹣1＜0，解得0＜x＜．（2）当x=0时，﹣1＜0，恒成立．（3）当x＜0时，2（x+2）﹣1＜0，解得x＜﹣．综上所述：2f（x）﹣1＜0的解集是．故答案为．14．（5分）已知函数f（x）=．若a＜b＜c且f（a）=f（b）=f（c），则（ab+2）c的取值范围是（27，81）．【解答】解：由a＜b＜c，根据已知画出函数图象：∵f（a）=f（b）=f（c），∴﹣log3a=log3b=﹣c+4，∴log3（ab）=0，0＜﹣c+4＜1，解得ab=1，3＜c＜4，∴（ab+2）c=3c∈（27，81）．故答案为：（27，81）．二、解答题（共90分）15．（14分）已知tanα是关于x的方程2x2﹣x﹣1=0的一个实根，且α是第三象限角．（1）求的值；（2）求cosα+sinα的值．【解答】解：∵2x2﹣x﹣1=0，∴，∴或tanα=1，又α是第三象限角，…（4分）（1）．…（9分）（2）∵且α是第三象限角，∴，∴…（14分）16．（14分）设集合U=R，A={x||x﹣1|＜1}，B={x|x2+x﹣2＜0}；（1）求：A∩B，（∁U A）∪B；（2）设集合C={x|2﹣a＜x＜a}，若C⊆（A∪B），求a的取值范围．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣1＜1，即0＜x＜2，即A=（0，2），由B中不等式解得：﹣2＜x＜1，即B=（﹣2，1），（1）A∩B=（0，1），∁U A=（﹣∞，0]∪[2，+∞），则（∁U A）∪B=（﹣∞，1）∪[2，+∞）；（2）∵A∪B=（﹣2，2），C={x|2﹣a＜x＜a}，且C⊆（A∪B），（i）当C=∅时，则有2﹣a≥a，解得：a≤1；（ii）当C≠∅时，则有，解得：1＜a≤2，综上：a的取值范围为a≤2．17．（14分）计算题（1）求值：（2）求不等式的解集：①33﹣x＜2；②．【解答】解：（1）==9﹣25﹣3×（﹣3）+2=﹣5；（2）①由33﹣x＜2，得，∴3﹣x＜log32，则x＞3﹣log32，∴不等式33﹣x＜2的解集为（3﹣log32，+∞）；②由，得，∴，则，∴不等式的解集为．18．（16分）某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x 的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【解答】解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元．由题意设f（x）=k 1x，．由图知，∴又g（4）=1.6，∴．从而，（8分）（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．（0≤x≤10）令，则=当t=2时，，此时x=10﹣4=6（15分）答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元．（16分）19．（16分）已知，m是实常数，（1）当m=1时，写出函数f（x）的值域；（2）当m=0时，判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（3）若f（x）是奇函数，不等式f（f（x））+f（a）＜0有解，求a的取值范围．【解答】解：（1）当m=1时，，定义域为R，，，即函数的值域为（1，3）．…（3分）（2）f（x）为非奇非偶函数．…（5分）当m=0时，，因为f（﹣1）≠f（1），所以f（x）不是偶函数；又因为f（﹣1）≠﹣f（1），所以f（x）不是奇函数；即f（x）为非奇非偶函数．…（8分）（3）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，即对x∈R恒成立，化简整理得，即m=﹣1．…（10分）（若用特殊值计算m，须验证，否则，酌情扣分．）下用定义法研究的单调性：设任意x1，x2∈R，且x1＜x2=，…（13分）所以函数f（x）在R上单调递减．因为f（f（x））+f（a）＜0有解，且函数为奇函数，所以f（f（x））＜﹣f（a）=f（﹣a）有解，又因为函数f（x）在R上单调递减，所以f（x）＞﹣a有解，即f max（x）＞﹣a 有解，又因为函数的值域为（﹣1，1），所以﹣a＜1，即a＞﹣1．…（16分）20．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2x﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，即，解得．（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为2x+﹣2≥k•2x，可化为1+（）2﹣2•≥k，令t=，则k≤t2﹣2t+1．因x∈[﹣1，1]，故t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上恒成立．记h（t）=t2﹣2t+1，因为t∈[，2]，故h（t）min=h（1）=0，所以k的取值范围是（﹣∞，0]．（3）方程f（|2x﹣1|）+k•﹣3k=0可化为：|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．记h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则，或∴k＞0．。