江苏省镇江市高中数学寒假作业 指数式与对数式(无答案)
(精选试题附答案)高中数学第四章指数函数与对数函数知识点汇总
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数知识点汇总单选题1、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ） A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2)答案：C分析：根据条件知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，求a 的范围即可．∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立， ∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13，∴a 的取值范围是(0,13]．故选：C ．2、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x ,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞)答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围.令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x =0，此时函数有无数个零点，不符合题意； 当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1， 则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件；当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x的图象没有交点，因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x ∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ，所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)，故选：B.3、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为ℎ=m ⋅a t ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg2≈0.3，结果取整数）（ ）A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天答案：B分析：根据题设条件先求出m 、a ，从而得到ℎ=120⋅2110t ，据此可求失去50%新鲜度对应的时间. {10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a 20⇒{a 10=2,m =120，故a =2110，故ℎ=120⋅2110t ， 令ℎ=12，∴2t 10=10,∴t 10lg2=1，故t =100.3≈33，故选：B.4、已知f (x )={2x −x 2,x ≥5f(x +3),x <5，则f (4)+f (-4)=（ ） A ．63B ．83C ．86D ．91答案：C分析：由给定条件求得f (-4)=f (5)，f (4)=f (7)，进而计算f (5)、f (7)的值，相加即可得解.依题意，当x <5时，f (x )=f (x +3)，于是得f (-4)= f (-1)=f (2)=f (5)，f (4)=f (7)，当x ≥5时，f (x )=2x -x 2，则f (5)=25-52=7，f (7)=27-72=79，所以f (4)+f (-4)=86.故选：C5、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图象如图所示，直线x =14，x =12与y =x a ，y =x b 的图象分别交于A ､B ､C ､D 四点，且|AB|=|CD|，则12a +12b =（ ）A ．12B ．1C ．√2D ．2 答案：B分析：把|AB |=|CD |用函数值表示后变形可得．由|AB |=|CD |得(14)a −(14)b =(12)a −(12)b ，即[(12)a −(12)b ][(12)a +(12)b ]=(12)a −(12)b ≠0， 所以(12)a +(12)b=1，故选：B ．6、设log 74=a,log 73=b ，则log 4936=（ ）A ．12a −bB ．12b +aC ．12a +bD ．12b −a答案：C分析：根据对数的运算性质计算即可.解：log 4936=log 7262=log 76=log 72+log 73=12log 74+log 73=12a +b .故选：C.7、已知a =log 20.6,b =log 20.8,c =log 21.2，则（ ）A ．c >b >aB ．c >a >bC ．b >c >aD ．a >b >c答案：A分析：由对数函数得单调性即可得出结果.∵y =log 2x 在定义域上单调递增，∴log 20.6<log 20.8<log 21.2，即c >b >a .故选：A.8、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1 是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,5]B ．[32,5)C ．(32,5)D ．(1,5)答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a，解不等式组可求得答案 因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数， 所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a，解得32≤a <5， 故选：B9、下列计算中结果正确的是（ ）A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12 C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确；对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误； 对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误； 故选：A10、镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为√55，√33，√2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）A ．甲同学和乙同学B ．丙同学和乙同学C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学答案：C分析：判断出√55，√33，√2的大小关系即可得出答案.(√55)10=52=25，(√2)10=25=32．∵25<32．∴√55<√2． 又∵(√33)6=33=9，(√2)6=23=8，∴√33>√2．∴有√55<√2<√33．又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C.填空题11、已知a >b >1，若log a b +log b a =52,a b =b a ，则a +2b =___________. 答案：8分析：利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．解：由log a b +log b a =52，且log a b ⋅log b a =1所以log a b,log b a 是方程x 2−52x +1=0的两根， 解得log b a =2或log b a =12， 又a >b >1，所以log b a =2，即a =b 2，又a b =b a从而b 2b =b a ⇒a =2b ，且a =b 2，则b =2，a =4．所以a +2b =8.所以答案是：8.12、若√4a 2−4a +1=√(1−2a )33，则实数a 的取值范围_________ ．答案：(−∞，12]分析：由二次根式的化简求解由题设得√4a2−4a+1=√(2a−1)2=|2a−1|，√(1−2a)33=1−2a，所以|2a−1|=1−2a所以1−2a≥0，a≤12．所以答案是：(−∞，12]13、已知4a=8，2m=9n=6，且1m +12n=b，则a+b=______．答案：52解析：将指数式4a=8化为对数式可求出a，将指数式2m=9n=6化为对数式可分别求出m,n，代入1m +12n=b可求出b，进而可求出a+b的值. 因为4a=8，2m=9n=6，所以a=log48=lg8lg4=lg23lg22=3lg22lg2=32，m=log26，n=log96，所以b=1log26+12log96=log62+12log69=log62+log63=log6(2×3)=1，所以a+b=52.所以答案是：5214、若a>0且a≠1，则函数f(x)=a x−4+3的图像恒过的定点的坐标为______．答案：(4,4)分析：任意指数函数一定过定点(0,1)，根据该性质求解.令x−4=0，得x=4，所以f(4)=a0+3=4，所以函数f(x)=a x−4+3的图像恒过定点(4,4)．所以答案是：(4,4)15、不等式2022x≤1的解集为______．答案：(−∞,0]分析：根据给定不等式利用指数函数单调性求解即可作答.依题意，不等式2022x ≤1化为：2022x ≤20220，而函数y =2022x 在R 上单调递增，解得x ≤0， 所以不等式2022x ≤1的解集为(−∞,0].所以答案是：(−∞,0]解答题16、对于定义在区间[m,n ]上的两个函数f (x )和g (x )，如果对任意的x ∈[m,n ]，均有|f (x )−g (x )|≤1成立，则称函数f (x )与g (x )在[m,n ]上是“友好”的，否则称为“不友好”的．已知函数f (x )=log a (x −3a )，g (x )=log a 1x−a (a >0,a ≠1)．(1)若f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上都有意义，求a 的取值范围；(2)讨论函数f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是否“友好”．答案：(1)(0,1)(2)答案见解析分析：（1）由题意解不等式组{a +2−3a >0a +2−a >0即可； （2）假设存在实数a ，使得f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的，即|f (x )−g (x )|=|log a (x 2−4ax +3a 2)|≤1，即−1≤log a (x 2−4ax +3a 2)≤1，只需求出函数y =log a (x 2−4ax +3a 2)在区间[a +2,a +3]上的最值，解不等式组即可．（1）若f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上都有意义，则必须满足{a +2−3a >0a +2−a >0，解得a <1，又a >0且a ≠1，所以a 的取值范围为(0,1)．（2）假设存在实数a ，使得f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的，则|f (x )−g (x )|=|log a (x 2−4ax +3a 2)|≤1，即−1≤log a (x 2−4ax +3a 2)≤1，因为a ∈(0,1)，则2a ∈(0,2)，a +2>2，所以[a +2,a +3]在x =2a 的右侧，由复合函数的单调性可得y =log a (x 2−4ax +3a 2)在区间[a +2,a +3]上为减函数，从而当x =a +2时，y max =log a (4−4a )，当x =a +3时，y min =log a (9−6a )，所以{log a (4−4a )≤1log a (9−6a )≥−10<a <1，即{4−4a ≥a 9a −6a 2−1≤00<a <1 ，解得0<a ≤9−√5712，所以当0<a ≤9−√5712时，f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的； 当9−√5712<a <1时，f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“不友好”的．17、设函数f (x )=log 3(9x )⋅log 3(3x )，且19≤x ≤9．（1）求f （3）的值；（2）若令t =log 3x ，求实数t 的取值范围；（3）将y =f (x )表示成以t(t =log 3x)为自变量的函数，并由此求函数y =f (x )的最大值与最小值及与之对应的x 的值．答案：（1）6；（2）[−2，2]；（3）f(x)min =−14，此时x =−√39；f(x)max =12，此时x =9．分析：（1）根据题目函数的解析式，代入x =3计算函数值；（2）因为t =log 3x ，根据对数函数的单调性求出实数t 的取值范围；（3）根据换元法将函数转化为二次函数，借助二次函数的单调性求出函数取最大值，最小值，接着再求取最值时对应的x 的值.（1）f （3）=log 327⋅log 39=3×2=6；（2）t =log 3x ，又∵19≤x ≤9，∴−2≤log 3x ≤2，∴−2≤t ≤2，所以t 的取值范围为[−2，2]； （3）由f (x )=(log 3x +2)(log 3x +1)=(log 3x)2+2log 3x +2=t 2+3t +2，令g (t )=t 2+3t +2=(t +32)2−14，t ∈[−2，2]，①当t =−32时，g(t)min =−14，即log 3x =−32，解得x =√39， 所以f(x)min =−14，此时x =−√39； ②当t =2时，g(t)max =g （2）=12，即log 3x =2⇒x =9，∴f(x)max =12，此时x =9．小提示：求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．18、已知函数f(x)=ln(x +a)(a ∈R)的图象过点(1,0)，g(x)=x 2−2e f(x).（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数y =f(x)+ln(2x −k)在区间(1,2)上有零点，求整数k 的值；（3）设m >0，若对于任意x ∈[1m ,m]，都有g(x)<−ln(m −1)，求m 的取值范围. 答案：（1）f(x)=lnx ；（2）k 的取值为2或3；（3）(1,2).解析：（1）根据题意，得到ln(1+a)=0，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得y =ln (2x 2−kx )，得到2x 2−kx −1=0，设ℎ(x)=2x 2−kx −1，根据题意转化为函数y =ℎ(x )在(1,2)上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得g (x )的最大值g (m )，得出g(x)max <−ln(m −1)，得到m 2−2m <−ln(m −1)，设ℎ(m)=m 2−2m +ln(m −1)(m >1)，结合ℎ(m)单调性和最值，即可求解.（1）函数f(x)=ln(x +a)(a ∈R)的图像过点(1,0)，所以ln(1+a)=0，解得a =0，所以函数f (x )的解析式为f(x)=lnx .（2）由（1）可知y =lnx +ln(2x −k)=ln (2x 2−kx )，x ∈(1,2)，令ln (2x 2−kx )=0，得2x 2−kx −1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，则函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，等价于函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，所以{ℎ(1)=1−k<0ℎ(2)=7−2k>0，解得1<k<72，因为k∈Z，所以k的取值为2或3.（3）因为m>0且m>1m ，所以m>1且0<1m<1，因为g(x)=x2−2e f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，所以g(x)的最大值可能是g(m)或g(1m)，因为g(m)−g(1m )=m2−2m−(1m2−2m)=m2−1m2−(2m−2m)=(m−1m )(m+1m−2)=(m−1m)⋅(m−1)2m>0所以g(x)max=g(m)=m2−2m，只需g(x)max<−ln(m−1)，即m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，ℎ(m)在(1,+∞)上单调递增，又ℎ(2)=0，∴m2−2m+ln(m−1)<0，即ℎ(m)<ℎ(2)，所以1<m<2，所以m的取值范围是(1,2).小提示：已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1 、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2 、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.19、已知函数f(x)=ax2+bx+1(a≠0)的图象关于直线x＝1对称，且函数y=f(x)+2x为偶函数，函数g(x)=1−2x.(1)求函数f(x)的表达式；(2)求证：方程f(x)+g(x)=0在区间[0,1]上有唯一实数根；(3)若存在实数m，使得f(m)=g(n)，求实数n的取值范围.答案：(1)f(x)=(x−1)2(2)证明见解析(3)(−∞,0]分析：（1）根据二次函数的对称轴以及奇偶性即可求解a,b，进而可求解析式，（2）根据函数的单调性以及零点存在性定理即可判断，（3）将条件转化为函数值域，即可求解.（1）∵f(x)=ax2+bx+1的图象关于直线x＝1对称，∴−b=1⇒b=−2a.2a又y=f(x)+2x=ax2+(b+2)x+1为偶函数，∴b=−2，a=1.∴f(x)=x2−2x+1=(x−1)2.（2）设ℎ(x)=f(x)+g(x)=(x−1)2+1−2x，∵ℎ(0)=1>0，ℎ(1)=−1<0，∴ℎ(0)·ℎ(1)<0. 又f(x)=(x−1)2，g(x)=1−2x在区间[0,1]上均单调递减，∴ℎ(x)在区间[0,1]上单调递减，∴ℎ(x)在区间[0,1]上存在唯一零点.∴方程f(x)+g(x)=0在区间[0,1]上有唯一实数根.（3）由题可知f(x)=(x−1)2≥0，g(x)=1−2x<1，若存在实数m，使得f(m)=g(n)，则g(n)∈[0,1)，即1−2n≥0，解得n≤0.∴n的取值范围是(−∞,0].。
高一数学《指数函数与对数函数》测试题（含答案解析）
高一数学《指数函数与对数函数》测试题（含答案解析）一、选择题：1、已知(10)xf x =，则(5)f =（ ））A 、510 B 、105 C 、lg10 D 、lg 5 2、对于0,1a a >¹，下列说法中，正确的是（，下列说法中，正确的是（ ））①若M N =则log log aa M N =； ②若loglog aaM N =则M N =；③若22log log a a M N =则M N =； ④若M N =则22log log a aM N=。
A 、①②③④、①②③④ B 、①③、①③ C 、②④、②④ D 、②、②3、设集合2{|3,},{|1,}xS y y x R T y y x x R ==Î==-Î，则S T 是 （ ）） A 、Æ B 、T C 、S D 、有限集、有限集 4、函数22log (1)y x x =+³的值域为（的值域为（ ））A 、()2,+¥B 、(),2-¥C 、[)2,+¥D 、[)3,+¥5、设 1.50.90.4812314,8,2y y y -æö===ç÷èø，则（，则（ ））A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >> 6、在(2)log(5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（的取值范围是（ ）） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()22lg 2lg52lg 2lg5++×等于（等于（ ））A 、0B 、1C 、2D 、3 8、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（表示是（ ））A 、52a -B 、2a -C 、23(1)a a -+ D 、231a a -- 9、若21025x=，则10x-等于（等于（）） A 、15 B 、15- C 、150 D 、16251010、若函数、若函数2(55)xy a a a =-+×是指数函数，则有（是指数函数，则有（ ））A 、1a =或4a =B 、1a =C 、4a =D 、0a >，且1a ¹ 11、当1a >时,在同一坐标系中, 函数xy a -=与log xa y =的图象是图中的（的图象是图中的（ ））12、已知1x ¹，则与x 3log 1+x 4log 1+x5log 1相等的式子是（相等的式子是（ ）） A 、x 60log 1 B 、3451log log log x x x ×× C 、 60log 1x D 、34512log log log x x x ×× 1313、、若函数()l o g (01)af x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ））A 、24B B、、22C C、、14D D、、121414、下图是指数函数（、下图是指数函数（1）x y a =，（2）x y b =，（3）x y c =x ，（4）x y d =x的图象，则的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（的大小关系是（ ））A 、1a b c d <<<<B B、、1b a d c <<<<C 、1a b c d <<<<D D、、1a b d c <<<< 1515、若函数、若函数my x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，轴有公共点，则m 的取值范围是（的取值范围是（ ））A 、1m £-B B、、10m -£<C C、、1m ³D D、、01m <£二、填空题：1616、指数式、指数式4532-ba 化为根式是化为根式是 。
【高中数学】指数式、对数式的运算
(2)5a
1 3
·b－2·
1
－2 3a
6
2
1
b－1 ÷(4a 3 ·b－3) 2 .
41
11
[解] (1)原式＝1＋1× 9 2 － 100 2 ＝1＋1×2－ 1 ＝1＋1－ 1 ＝16.
4
4 3 10 6 10 15
高中数学学科
(2)原式＝－5a
1 6
b－3÷(4a
2 3
为底 N 的对数，记作：logaN＝b.
指数、对数之间的关系
高中数学学科
(1)对数的性质 ①负数和零没有对数； ②1 的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质 如果 a>0，且 a≠1，M >0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②logaMN ＝logaM－logaN； ③loga(Nn)＝nlogaN(n∈R)．
如果 f(x1)＝g(x2)＝h(x3)＝4，那么 x1＋x2＋x3＝________.
1
1
解析：令 f(x)＝ax(a>0,且 a≠1)，g(x)＝logbx(b>0,且 b≠1)，h(x)＝xc，则 f 2 ＝a 2 ＝2，
1
11
g 2 ＝logb12＝－logb2＝2，h 2 ＝ 2 c＝2，∴a＝4，b＝ 22，c＝－1，∴f(x1)＝4x1＝4⇒x1＝1，
n>1)．
m m1
1
②a
n＝n a
＝n
(a>0，m，n∈N*，且 am
n>1)．
③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义．
(3)有理数指数幂的运算性质 ①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②aars＝ar－s(a>0，r，s∈Q)； ③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
高中数学第四章指数函数与对数函数经典大题例题(带答案)
高中数学第四章指数函数与对数函数经典大题例题单选题1、已知函数f(x)={a x,x<0(a−3)x+4a,x≥0满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（）A．(0,14]B．(0，1)C．[14,1)D．(0，3)答案：A分析：根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，则f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，则函数y=a x在(−∞,0)上是减函数，有0<a<1，函数y=(a−3)x+4a在[0,+∞)上是减函数，有a−3<0，即a<3，并且满足：a0≥f(0)，即4a≤1，解和a≤14，综上得0<a≤14，所以a的取值范围为(0,14].故选：A2、已知函数f(x)=log a(x−b)（a>0且a≠1，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．a>0，b<−1B．a>0，−1<b<0C．0<a<1，b<−1D．0<a<1，−1<b<0答案：D分析：根据函数图象及对数函数的性质可求解.因为函数f (x )=log a (x −b )为减函数，所以0<a <1又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以x =1+b >0，即b >−1 又因为函数图象与y 轴有交点，所以b <0，所以−1<b <0， 故选：D3、定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4的解集为（ ）A ．(0,1100)B ．(1100,+∞)C ．(0,100)D ．(100,+∞) 答案：D分析：利用函数为奇函数，将不等式转化为f(lgx)>f (2)，再利用函数的单调性求解. 因为函数f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f (x )，又f(−2)=−2，f(2)=2，所以不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4，可化为2f(lgx)>4=2f (2)，即f(lgx)>f (2)，又因为f(x)在(−∞,0]上单调递增， 所以f(x)在R 上单调递增， 所以lgx >2， 解得x >100. 故选：D.4、已知函数f(x)=3|x|+x 2+2，则f(2x −1)>f(3−x)的解集为（ ） A ．(−∞,43)B ．(43,+∞)C ．(−2,43)D ．(−∞,−2)∪(43,+∞)答案：D分析：根据函数奇偶性可得f(x)为偶函数，根据解析式直接判断函数在[0,+∞)上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.解：因为f(x)=3|x|+x 2+2，则x ∈R所以f(−x)=3|−x|+(−x)2+2=3|x|+x2+2=f(x)，则f(x)为偶函数，当x⩾0时，f(x)=3x+x2+2，又y=3x，y=x2+2在[0,+∞)上均为增函数，所以f(x)在[0,+∞)上为增函数，所以f(2x−1)>f(3−x)，即|2x−1|>|3−x|，解得x<−2或x>43，所以f(2x−1)>f(3−x)的解集为(−∞,−2)∪(43,+∞).故选：D.5、已知函f(x)=log2(√1+4x2+2x)+3，且f(m)=−5，则f(−m)=（）A．−1B．−5C．11D．13答案：C分析：令g(x)=log2(√1+4x2+2x)，则f(x)=g(x)+3，则先判断函数g(−x)+g(x)=0，进而可得f(−x)+f(x)=6，即f(m)+f(−m)=6，结合已知条件即可求f(−m)的值.令g(x)=log2(√1+4x2+2x)，则f(x)=g(x)+3，因为g(x)+g(−x)=log2(√1+4x2+2x)+log2(√1+4x2−2x)=log2(1+4x2−4x2)=0，所以f(−x)+f(x)=g(−x)+3+g(x)+3=6，则f(m)+f(−m)=6，又因为f(m)=−5，则f(−m)=11，故选：C.6、设2a=5b=m，且1a +1b=2，则m=（）A．√10B．10C．20D．100 答案：A分析：根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得1a =log m2，1b=log m5，进而结合对数的运算公式，即可求解.由2a=5b=m，可得a=log2m，b=log5m，由换底公式得1a =log m2，1b=log m5，所以1a +1b=log m2+log m5=log m10=2，又因为m>0，可得m=√10．故选：A.7、化简√a3b2√ab23(a14b12)4⋅√a3(a>0，b>0)的结果是（）A．ba B．abC．a2bD．b2a答案：B分析：直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.√a3b2√ab23(a 14b12)4⋅√ba=a32b⋅a16b13(a14b12)4⋅a−13⋅b13=a32+16−1+13b1+13−2−13=ab−1=ab故选：B8、函数y=log2(2x−x2)的单调递减区间为（）A．(1,2)B．(1,2]C．(0,1)D．[0,1)答案：A分析：先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果由2x−x2>0，得0<x<2，令t=2x−x2，则y=log2t，t=2x−x2在(0,1)上递增，在(1,2)上递减，因为y=log2t在定义域内为增函数，所以y=log2(2x−x2)的单调递减区间为(1,2)，故选：A多选题9、已知函数f(x)=|lgx|，则（）A．f(x)是偶函数B．f(x)值域为[0,+∞)C．f(x)在(0,+∞)上递增D．f(x)有一个零点答案：BD分析：画出f(x)的函数图象即可判断.画出f(x)=|lgx|的函数图象如下：由图可知，f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；f(x)值域为[0,+∞)，故B正确；f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，故C错误；f(x)有一个零点1，故D正确.故选：BD.10、已知函数f(x)={x2,x∈(−∞,0), lnx,x∈(0,1),−x2+4x−3,x∈[1,+∞),若函数g(x)=f(x)−m恰有2个零点，则实数m可以是（）A．−1B．0C．1D．2答案：ABC分析：转化为函数y=f(x)的图象与直线y=m恰有两个交点，画出函数f(x)的图象，根据图象可得解.因为函数g(x)=f(x)−m恰有2个零点，所以函数y=f(x)的图象与直线y=m恰有两个交点，画出函数f(x)的图象如图：由图可知，m=1或m≤0，结合选项，因此m可以为-1，0，1．故选：ABC．小提示：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.11、已知函数f(x)=1−2x1+2x，g(x)=lg(√x2+1−x)，则（）A．函数f(x)为偶函数B．函数g(x)为奇函数C．函数F(x)=f(x)+g(x)在区间[−1,1]上的最大值与最小值之和为0D．设F(x)=f(x)+g(x)，则F(2a)+F(−1−a)<0的解集为(1,+∞)答案：BCD分析：根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案对于A：f(x)=1−2x1+2x ，定义域为R，f(−x)=1−2−x1+2−x=−1−2x1+2x=−f(x)，则f(x)为奇函数，故A错误；对于B：g(x)=lg(√x2+1−x)，定义域为R，g(−x)=lg(√(−x)2+1−(−x))=−lg(√x2+1−x)=−g(x)，则g(x)为奇函数，故B正确；对于C ：F (x )=f (x )+g (x )，f (x )，g (x )都为奇函数， 则F (x )=f (x )+g (x )为奇函数，F (x )=f (x )+g (x )在区间[−1,1]上的最大值与最小值互为相反数， 必有F (x )在区间[−1,1]上的最大值与最小值之和为0，故C 正确； 对于D ：f (x )=1−2x 1+2x =−(2x +1−22x +1)=22x +1−1，则f (x )在R 上为减函数，g (x )=lg(√x 2+1−x)=√x 2+1+x，则g (x )在R 上为减函数，则F (x )=f (x )+g (x )在R 上为减函数， 若F (2a )+F (−1−a )<0即F (2a )<F (1+a )， 则必有2a >1+a ，解得a >1，即F (2a )+F (−1−a )<0的解集为(1,+∞)，故D 正确； 故选：BCD12、若函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，则必有（ ）． A ．0<a <1B ．a >1C ．b >0D ．b <0 答案：BC分析：对底数a 分情况讨论即可得答案.解：若0<a <1，则y =a x −(b +1)的图像必过第二象限，而函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，所以a >1．当a >1时，要使y =a x −(b +1)的图像过第一、三、四象限，则b +1>1，即b >0． 故选：BC小提示：此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.13、若f (x )满足对定义域内任意的x 1,x 2，都有f (x 1)+f (x 2)=f (x 1⋅x 2)，则称f (x )为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ ）A ．f (x )=2xB ．f (x )=(12)xC ．f (x )=log 12x D ．f (x )=log 3x答案：CD分析：利用“好函数”的定义，举例说明判断A ，B ；计算判断C ，D 作答.对于A ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=6，f (x 1⋅x 2)=4， 则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，A 不是；对于B ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=34，f (x 1⋅x 2)=14，则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，B 不是；对于C ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 12x 1+log 12x 2=log 12(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，C 是；对于D ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 3x 1+log 3x 2=log 3(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，D 是． 故选：CD 填空题14、已知0<a <1，化简：√a 43−2a +a 23=______． 答案：a 13−a 23分析：根据指数幂的基本运算结合指数函数的性质即可求解. 解：√a 43−2a +a 23=√(a 23−a 13)2=|a 23−a 13|，因为0<a <1，23>13，所以a 23<a 13，所以√a 43−2a +a 23=a 13−a 23．所以答案是：a 13−a 23. 15、计算：27−13−(−17)−2+25634−3−1+(√2−1)0=_______.答案：16分析：根据指数幂的运算性质直接求解即可．27−13−(−17)−2+25634−3−1+(√2−1)0=(33)−13−(−7)2+(44)34−13+1=13−49+64−13+1=16. 所以答案是：16．16、若f (x )=1+a3x +1(x ∈R )是奇函数，则实数a =___________.答案：−2分析：利用f(0)=0可求得a，验证可知满足题意.∵f(x)定义域为R，且f(x)为奇函数，∴f(0)=1+a2=0，解得：a=−2；当a=−2时，f(x)=1−23x+1=3x−13x+1，∴f(−x)=3−x−13−x+1=1−3x1+3x=−f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，满足题意；综上所述：a=−2.所以答案是：−2.解答题17、已知函数f(x)=ln(2x2+ax+3).（1）若f(x)是定义在R上的偶函数，求a的值及f(x)的值域；（2）若f(x)在区间[−3,1]上是减函数，求a的取值范围.答案：（1）a=0，[ln3,+∞)；（2）a∈(−5,−4]解析：（1）根据偶函数的定义，求出a=0，得f(x)=ln(2x2+3)，验证定义域是否关于原点对称，求出真数的范围，再由对数函数的单调性，即可求出值域；（2）u(x)=2x2+ax+3,g(u)=lnu，由条件可得，u(x)=2x2+ax+3在[−3,1]上是减函数，且u(x)>0在[−3,1]上恒成立，根据二次函数的单调性，得出参数a的不等式，即可求解.解：（1）因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)=f(−x)，所以ln(2x2+ax+3)=ln(2x2−ax+3)，故a=0，此时，f(x)=ln(2x2+3)，定义域为R，符合题意.令t=2x2+3，则t⩾3，所以lnt⩾ln3，故f(x)的值域为[ln3,+∞).（2）设u(x)=2x2+ax+3,g(u)=lnu.因为f(x)在[−3,1]上是减函数，所以u(x)=2x2+ax+3在[−3,1]上是减函数，且u(x)>0在[−3,1]上恒成立，故{−a4⩾1,u(x)min =u(1)=5+a >0,解得−5<a ≤−4，即a ∈(−5,−4].小提示：本题考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性、单调性、值域，研究函数的性质要注意定义域，属于中档题.18、定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界，已知函数f(x)=14x+a 2x+1.(1)当a ＝－1时，求函数f(x)在(－∞,0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f(x)在[0,＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 答案：(1)(1,＋∞)，函数f(x)在(－∞,0)上不是有界函数，理由见解析； (2)[－5,1].分析：（1）应用换元法及二次函数的性质求y ＝t 2－t ＋1在(1，+∞)上的值域，即知f(x)的值域，进而判断f(x)是否为有界函数.（2）将问题转化为−(t +4t)≤a ≤2t−t 对t ∈(0,1]恒成立，求a 的取值范围．（1）当a ＝－1时，y ＝f(x)=(12)2x −(12)x +1 (x <0)，令t ＝(12)x ，x <0，∴t >1，y ＝t 2－t ＋1＝(t −12)2+34，∴y >1，即函数f(x)在(－∞,0)上的值域为(1,＋∞)， ∴不存在常数M >0，使得|f(x)|≤M 成立． ∴函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数． （2）由题意知，|f(x)|≤3对x ∈[0,＋∞)恒成立，即－3≤f(x)≤3对x ∈[0,＋∞)恒成立， 令t ＝(12)x ，x ≥0，则t ∈(0,1]．∴−(t +4t)≤a ≤2t−t 对t ∈(0,1]恒成立，即[−(t +4t)]max ≤a ≤(2t−t)min .设h (t )＝−(t +4t )，p (t )＝2t −t ，t ∈(0,1]，∵h(t)在(0,1]上递增，p(t)在(0,1]上递减，∴h(t)在(0,1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0,1]上的最小值为p(1)＝1. ∴实数a的取值范围为[－5,1]．。
镇江市扬中高级中学2023-2024学年高一上学期10月调研数学试题(解析版)
一､单选题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 A x∣x2 5 , B 1, 2,3, 4，则 A B （ ）
A. {1}
B. 1, 2
A. x 0, x2 1 0
B. x 0, x2 1 0
C. x 0, x2 1 0
D. x 0, x2 1 0
【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“ x 0, x2 1 0 ”的否定为：命题
又 a b 0 ，所以 a b 2ab ，当且仅当 a b 时取等号，故 B 正确； 2 ab
对于 C：因为 a b c 0 ，所以 0 1 1 ，所以 c c ，故 C 错误；
ab
ab
对于
D：因为 a
b
c
0 ，所以
bc ac
b a
ab
c ba aa c
c
ca b aa c
a b ab
ab
ab
93
所以当 a b 3时， 1 1 取得最小值 2 ，C 正确；
ab
3
对于 D，由 ab a b 3 ，得 (a 1)(b 1) 4 ，而 a b 3 0 ，则 b 1, a 1， b 1
a 2b (a 1) 2(b 1) 3 2 (a 1) 2(b 1) 3 4 2 3，当且仅当 a 1 2(b 1) 时取等号，
1 a
,
；乙同学：
y
0
的解
集为 , a
高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)
高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、已知a=lg2，10b=3，则log56=（）A．a+b1+a B．a+b1−aC．a−b1+aD．a−b1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a=lg2,0b=3，∴b=lg3，∴log56=lg6lg5=lg2×3lg102=lg2+lg31−lg2=a+b1−a．故选：B．2、函数f(x)=|x|⋅22−|x|在区间[−2,2]上的图象可能是（）A．B．C．D．答案：C分析：首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；解：∵f(−x)=|x|⋅22−|x|=f(x)，∴f(x)是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，B选项；∵f(1)=2=f(2)，∴f(x)在[0,2]上不单调，排除D选项．故选：C3、式子√m⋅√m 43√m 56m >0)的计算结果为（ ）A ．1B ．m 120C ．m 512D ．m 答案：D分析：由指数运算法则直接计算可得结果.√m⋅√m 43√m 56=m 12⋅m 43m 56=m 12+43−56=m .故选：D.4、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,5]B ．[32,5) C ．(32,5)D ．(1,5) 答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解不等式组可求得答案因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解得32≤a <5，故选：B5、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是（ ）A ．[−1,3)B ．(−1,3)C ．(−1,3]D ．[−1,3] 答案：C分析：由题可得{3−x ≥0x +1>0，即得.由题意得{3−x ≥0x +1>0，解得−1<x ≤3， 即函数的定义域是(−1,3].故选：C.6、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意， 故选：D.7、下列计算中结果正确的是（ ） A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确； 对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误； 对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误； 故选：A8、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956) （ ）天．A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天 答案：D分析：根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ，求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则100×0.99x=1.01x，即(1.010.99)x =100，∴x =log 1.010.99100=lg lg 1.010.99=lg lg 10199=2lg−lg≈22.0043−1.9956=20.0087≈230．故选：D ． 多选题9、已知函数f(x)=1−2x 1+2x，则下面几个结论正确的有（ ）A ．f(x)的图象关于原点对称B ．f(x)的图象关于y 轴对称C ．f(x)的值域为(−1,1)D ．∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2,f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0恒成立答案：ACD分析：利用奇函数的定义和性质可判断AB 的正误，利用参数分离和指数函数的性质可判断CD 的正误. 对于A ，f(x)=1−2x1+2x ，则f(−x)=1−2−x1+2−x =2x −11+2x =−f(x)， 则f(x)为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确.对于B ，计算f(1)=−13，f(−1)=13≠f(1)，故f(x)的图象不关于y 轴对称，故B 错误. 对于C ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，1+2x =t,t ∈(1,+∞)，故y =f(x)=−1+2t ，易知：−1+2t ∈(−1,1)，故f(x)的值域为(−1,1),故C 正确. 对于D ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，因为y =1+2x 在R 上为增函数，y =−1+21+t 为(1,+∞)上的减函数， 由复合函数的单调性的判断法则可得f (x )在R 上单调递减，故∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立，故D 正确.故选：ACD.小提示：方法点睛：复合函数的单调性的研究，往往需要将其转化为简单函数的复合，通过内外函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断.10、设函数f (x )=ax 2+bx +c (a,b,c ∈R,a >0)，则下列说法正确的是（ ） A ．若f (x )=x 有实根，则方程f(f (x ))=x 有实根 B ．若f (x )=x 无实根，则方程f(f (x ))=x 无实根 C ．若f (−b 2a)<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2个零点D ．若f (f (−b 2a))<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2零点答案：ABD分析：直接利用代入法可判断A 选项的正误；推导出f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立，结合该不等式可判断B 选项的正误；取f (x )=x 2−x ，结合方程思想可判断C 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断D 选项的正误.对于A 选项，设f (x )=x 有实根x =x 0，则f(f (x 0))=f (x 0)=x 0，A 选项正确； 对于B 选项，因为a >0，若方程f (x )=x 无实根，则f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立， 故f(f (x ))>f (x )>x ，从而方程f(f (x ))=x 无实根，B 选项正确；对于C 选项，取f (x )=x 2−x ，则f (12)=−14<0，函数y =f (x )有两个零点， 则f(f (x ))=[f (x )]2−f (x )=0，可得f (x )=0或f (x )=1，即x 2−x =0或x 2−x =1. 解方程x 2−x =0可得x =0或1，解方程x 2−x −1=0，解得x =1±√52. 此时，函数y =f(f (x ))有4个零点，C 选项错误；对于D 选项，因为f (f (−b2a ))<0，设t =f (−b2a )，则t =f (x )min ， 因为f (t )<0且a >0，所以，函数f (x )必有两个零点，设为x 1、x 2且x 1<x 2， 则x 1<t <x 2，所以，方程f (x )=x 1无解，方程f (x )=x 2有两解，因此，若f(f(−b))<0，则函数y=f(x)与y=f(f(x))都恰有2零点，D选项正确.2a故选：ABD.小提示：思路点睛：对于复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；（2）确定外层函数y=f(u)的零点u=u i(i=1,2,3,⋯,n)；（3）确定直线u=u i(i=1,2,3,⋯,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1、a2、a3、⋯、a n，则函数y=f[g(x)]的零点个数为a1+a2+a3+⋯+a n.11、(多选题)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km 但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（）A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km答案：BCD分析：根据题意分别计算各个选项的情况，即可得答案.对于A选项：出租车行驶4km，乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元，故A错误；对于B选项：出租车行驶10 km，乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元，故B正确；对于C选项：乘出租车行驶5km，乘客需付费8+2×2.15+1=13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，故C正确；对于D选项：设出租车行驶x km时，付费y元，由8+5×2.15+1=19.75<22.6，知x>8，因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6，解得x=9，故D正确.故选：BCD.小提示：本题考查函数模型的应用，解题要点为认真审题，根据题意逐一分析选项即可，属基础题.12、若log2m=log4n，则（）A．n=2m B．log9n=log3mC．lnn=2lnm D．log2m=log8(mn)答案：BCD分析：利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.依题意log2m=log4n，所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12，所以m=n 12,m2=n，A选项错误.log9n=log32m2=22log3m=log3m，B选项正确.lnn=lnm2=2lnm，C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log2m，D选项正确.故选：BCD13、在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（）A．y=﹣2x B．y=x﹣6C．y=3xD．y=x2﹣3x+4答案：ACD分析：横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，依次计算即可.横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，对于A,{y=xy=−2x，解得{x=0y=0，即存在完美点(0,0)，对于B,{y=xy=x−6，无解，即不存在完美点，对于C,{y=xy=3x，解得{x=√3y=√3或{x=−√3y=−√3，即存在完美点(√3,√3)，(−√3,−√3)对于D,{y=xy=x2−3x+4，x2−3x+4=x,即x2−4x+4=0，解得x=2，即存在完美点(2,2).故选：ACD.填空题14、化简(√a−1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=________.答案：a-1分析：根据根式的性质即可求解.由(√a−1)2知a-1≥0，a≥1.故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.所以答案是：a-115、对数型函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，则满足题意的一个函数解析式为______．答案：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一，满足f(x)=|log a(x+b)|，a>1，b≥1即可）分析：根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.∵函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，∴满足题意的一个函数是f(x)=|log2(x+1)|．所以答案是：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一）16、函数y＝log a(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________．答案：(0，－2)分析：由对数函数的图象所过定点求解．解：依题意，x+1=1，即x＝0时，y＝log a(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)．所以答案是：(0，－2)解答题17、（1）计算0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1；（2）若x 12+x−12=√6，求x 2+x −2的值．答案：（1）-5；（2）14.分析：（1）由题意利用分数指数幂的运算法则，计算求得结果． （2）由题意两次利用完全平方公式，计算求得结果． （1）0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1=0.3﹣1﹣36+33+1−13=103−36+27+1−13=−5．（2）若x 12+x −12=√6，∴x +1x +2＝6，x +1x =4，∴x 2+x ﹣2+2＝16，∴x 2+x ﹣2＝14．18、已知函数f (x )=2x −12x +1．(1)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性；(2)若f (k ⋅3x )+f (3x −9x +2)<0对任意x ≥1恒成立，求实数k 的取值范围． 答案：(1)f (x )在R 上单调递增；证明见解析 (2)(−∞,43)分析：（1）设x 2>x 1，可整理得到f (x 2)−f (x 1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)>0，由此可得结论；（2）利用奇偶性定义可证得f (x )为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为k <g (x )=3x −23x −1，由g (x )单调性可求得g (x )≥43，由此可得k 的取值范围.（1）f (x )在R 上单调递增，证明如下： 设x 2>x 1，∴f (x 2)−f (x 1)=2x 2−12x 2+1−2x 1−12x 1+1=(2x 2−1)(2x 1+1)−(2x 2+1)(2x 1−1)(2x 2+1)(2x 1+1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)；∵x 2>x 1，∴2x 2−2x 1>0，又2x 2+1>0，2x 1+1>0，∴f (x 2)−f (x 1)>0， ∴f (x )在R 上单调递增. （2）∵f (−x )=2−x −12−x +1=1−2x1+2x =−f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数，由f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)<0得：f(k⋅3x)<−f(3x−9x+2)=f(9x−3x−2)，由（1）知：f(x)在R上单调递增，∴k⋅3x<9x−3x−2在[1,+∞)上恒成立；当x≥1时，3x≥3，∴k<3x−23x−1在[1,+∞)上恒成立；令g(x)=3x−23x−1，∵y=3x在[1,+∞)上单调递增，y=23x在[1,+∞)上单调递减，∴g(x)在[1,+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)=3−23−1=43，∴k<43，即实数k的取值范围为(−∞,43).。
专题5.6对数的概念及运算(4个考点六大题型) 试卷及答案
专题5.6对数的概念及运算（4个考点六大题型）【题型1 对数的概念与求值】【题型2 指数式与对数式的互化】 【题型3 对数的运算】 【题型4 对数运算性质的应用】 【题型5 换底公式-化简求值】 【题型6 换底公式-证明恒等式】【题型1 对数的概念与求值】1．（2023春·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期末）已知函数()239,0log ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则()()0f f =（ ） A ．3B ．1C ．2D ．-22．（2023·江苏·高一假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（ ）A ．3-B ．3C ．1-或3D ．1或3-3．（2022秋·高一单元测试）(多选)下列说法正确的有（ ） A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做常用对数D ．以e 为底的对数叫做自然对数4．（2021·全国·高一专题练习）（多选）下列函数为对数函数的是( ) A ．y ＝log a x ＋1(a ＞0且a ≠1) B ．y ＝()log 2a x (a ＞0且a ≠1) C ．y ＝1log a x -(a ＞1且a ≠2)9．（2023·全国·高一假期作业）（1）已知18log 9a =，185b =，求18log 45.（用,a b 表示） （2）已知9log 4a =，95b =，求36log 45.（用,a b 表示）【题型3 对数的运算】（2）log lognmaab bn=（m R∈，n R∈，0n≠）.专题5.6对数的概念及运算（4个考点六大题型）【题型1 对数的概念与求值】【题型2 指数式与对数式的互化】 【题型3 对数的运算】 【题型4 对数运算性质的应用】 【题型5 换底公式-化简求值】 【题型6 换底公式-证明恒等式】【题型1 对数的概念与求值】1．（2023春·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期末）已知函数()239,0log ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则()()0f f=（ ） A ．3 B ．1 C ．2 D ．-2【答案】C【分析】根据题意结合对数运算直接运算求解.【详解】由题意可得：()20909f =-=，所以()()()309log 92f f f ===. 故选：C.2．（2023·江苏·高一假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（ ）A ．3-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B【分析】根据对数把原方程转化为一元二次方程，注意对数的真数大于0. 【详解】由()()2lg 1lg 22x x -=+，得2212210220x x x x ⎧-=+⎪->⎨⎪+>⎩，【详解】23a b ==，2log 6log >211log 6log a +不正确， 1()(a b a b a +=+当且仅当a b =时取等号，a b >，∴故B 正确，111a b =+ 故选：ABC 4．（2023z 满足3x ＝则下列说法中正确的是（x【题型4 对数运算性质的应用】【详解】x）x。
2022-2023学年江苏省镇江市实验、茅以升高中高一年级上册学期12月联考数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省镇江市实验高级中学、茅以升高中高一上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}2log 2A x R x =∈<，{}12B x R x =∈-<，则A B =（ ） A ．()0,3 B ．()1,3- C ．()0,4 D ．(),3-∞【答案】A【解析】解不等式确定集合,A B 后，由交集定义计算．【详解】由题意得：{}04A x R x =∈<<，{}13B x R x =∈-<<，即{}03A B x x ⋂=<<， 故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握对数函数的性质是解题关键． 2．已知函数()f x 满足()23log x f x =，则()9f =（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．0【答案】B【分析】令39x =，解得2x =，再把2x =代入原式即可求解 【详解】令39x =，解得2x =， 所以()29log 21f ==， 故选：B3．“1n =”是“幂函数()()22333n nf x n n x -=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【分析】由幂函数()()22333n nf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数，可得2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩，由充分、必要条件的定义分析即得解【详解】由题意，当1n =时，()2f x x -=在()0,∞+上是减函数，故充分性成立；若幂函数()()22333nnf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数，则2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩，解得1n =或2n =故必要性不成立因此“1n =”是“幂函数()()22333nnf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个充分不必要条件故选：A4．已知点 P (3,4) 在角α的终边上，则cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 （ ）A ．35B ．35C ．45D ．45-【答案】D【分析】利用三角函数的定义即可求出答案.【详解】因为点 P (3,4) 在角α的终边上,所以22345OP =+=,4cos()sin 25παα+=-=-,故选:D【点睛】本题考查了三角函数的定义,三角函数诱导公式,属于基础题.5．若0.12a =，0.212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 0.1c =，则（ ） A ．b a c >> B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【分析】由指数函数和对数函数的性质进行比较即可.【详解】0.20.20.112202b a -⎛⎫==>=> ⎪⎝⎭，由对数函数的性质可得2log 0.10c =<， 故b a c >>. 故选：A【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题.6．赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形较小的锐角为α，则sin αcos α的值为（ ）A ．15B ．25C D 【答案】B【分析】根据题意求出直角三角形的两条直角边，即可求出答案. 【详解】设直角三角形的短边为x ，一个直角三角形的面积为10020204-=，小正方形的面积为20，则边长为大正方形的面积为100，则边长为10.直角三角形的面积为1(202x x x ⋅+=⇒=则直角三角形的长边为故sin αα=. 即2sin cos 5αα=.故选：B.7．若函数()()()log 20,1a f x ax a a =->≠在区间()1,3内单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】根据内函数为减函数，根据其单调性知外函数也为减函数，则01a <<，再结合对数的真数大于0，则得到230a -≥，解出即可. 【详解】2y ax =-为减函数，又()()log 2a f x ax =-在区间()1,3内为增函数，则01a <<， 且当()1,3x ∈时，20y ax =->恒成立，所以230a -≥，解得23a ≤， 则203a <≤， 故选：B.8．已知函数())31ln 1f x x x=-+且()()232f a f a +-->，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．()3,+∞ C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．()4,+∞【答案】B【分析】易知函数()()1g x f x =-为奇函数，且在R 上为增函数，则()()232f a f a +-->可化为()()23g a g a >+，则23a a >+即可解得a 的范围.【详解】函数())31ln 1f x x x =-+，定义域为0x ≠，满足())())3311ln1ln1f x x x xx -=-+=++-， ∴()()2f x f x +-=，令()()1g x f x =-，∴()()0g x g x +-=，∴()g x 为奇函数，()()()()()()23223023f a f a g a g a g a g a +-->⇔+-->⇔>+，∵函数)ln y x =，311y x=-+在()0,∞+均为增函数，∴())31ln1f x x x =-+在()0,∞+为增函数， ∴()g x 在()0,∞+为增函数，∵()g x 为奇函数，∴()g x 在R 为增函数，∴23a a >+，解得3a >. 故选：B.二、多选题9．已知α与β是终边相同的角，且1π3β=-，那么2α可能是第（ ）象限角.A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】BD 【分析】确定1ππ,Z 26k k α=-+∈，考虑k 的奇偶两种情况，分别计算得到答案. 【详解】α与β是终边相同的角，且1π3β=-，故1π2π,Z 3k k α=-+∈，故1ππ,Z 26k k α=-+∈， 当2,Z k n n =∈时，1π2π,Z 26n n α=-+∈，是第四象限角； 当21,Z k n n =+∈时，5π2π,Z 26n n α=+∈，是第二象限角. 综上所述：2α可能是第二或四象限角. 故选：BD10．若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是（ ） A ．sin tan cos ααα=-B sin cos αα-C ．cos α=D sin cos αα+ 【答案】BC【解析】由正切的定义可以判断A 选项，由同角三角函数的平方关系以及角的范围，可以判断B 、C 、D 选项.【详解】A 选项：由同角三角函数的基本关系式，知sin tan cos ααα=，所以A 错误；B |sin cos |αα=-，因为α是第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，所以原式sin os =c αα-，所以B 正确；C 选项：α是第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，所以有cos α=C 正确；D 选项: |sin cos |αα+，但是α是第二象限角，sin cos αα+符号不确定，所以D 错误； 故选：BC.11．下列说法不正确的有（ ） A ．函数()1f x x=是减函数 B ．函数()()2ln 21f x ax x =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是[]0,1 C ．幂函数()()23433m f x m m x -=-+在()0,∞+上为减函数，则m 的值为1D ．若函数()f x 是奇函数，则()00f = 【答案】AD【分析】对于A ，根据函数的解析式，结合其定义域，可判断其单调性，判断A;对于B,讨论a 的取值，由函数()()2ln 21f x ax x =++的值域为R 求得a 的取值范围，判断B;对于C ，根据幂函数的定义以及性质，可求得m 的值，判断C;对于D ，举反例可判断正误. 【详解】函数()1f x x =定义域为(,0)(0,)-∞+∞，当0x <时，()0f x <且()1f x x=单调递减， 当0x >时，()0f x >且()1f x x =单调递减，故在定义域内()1f x x=不是减函数，A 错误； 若函数()()2ln 21f x ax x =++的值域为R ，当0a =时，()()ln 21f x x =+，由于21x + 可取遍所有的正数，故函数值域为R ，符合题意；当0a ≠时，221y ax x =++需满足0Δ440a a >⎧⎨=-≥⎩ ，解得01a <≤ ， 综上可得实数a 的取值范围是[]0,1，B 正确；函数()()23433m f x m m x -=-+为幂函数，则2331m m -+=，解得1m =或2m = ，当1m =时，()1f x x -=在()0,∞+上为减函数，当2m =时，()2f x x =在()0,∞+上为增函数， 所以幂函数()()23433m f x m m x -=-+在()0,∞+上为减函数，则m 的值为1，故C 正确；函数()1f x x =定义域为(,0)(0,)-∞+∞，满足1()()f x f x x-=-=- ， 即()1f x x=为奇函数，但是()0f 无意义，故D 错误， 故选：AD .12．已知函数()22log log 28x xf x =⋅，若()()12f x f x =（其中12x x ≠），则1219x x +的可能取值有（ ）A ．34B ．32C ．2D ．4【答案】BCD【分析】根据题设条件可得1216x x =，根据基本不等式可求最小值. 【详解】()()()()22222log 1log 3log 4log 3f x x x x x =-⋅-=-+,因为()()12f x f x =，故()()2221212222log 4log 3log 4log 3x x x x -+=-+，故()()21222122log log log log 40x x x x -+-=，而12x x ≠，故2122log log 40x x +-=即1216x x =，而120,0x x >>，由基本不等式可得121932x x +≥，当且仅当124,123x x ==时等号成立， 故1219x x +的可能取值为3242，，（均验证12x x ≠）. 故选：BCD.三、双空题13．若扇形的周长为定值l ，则当该扇形的圆心角()02ααπ<<=______时，扇形的面积取得最大值，最大值为______.【答案】 22116l 【分析】设扇形的半径为r ，则2r r l α+=，扇形的面积221122S r lr r α==-，利用二次函数的性质分析即得解【详解】设扇形的半径为r ，则扇形的弧长为r α 故2r r l α+=扇形的面积22111(2)222S r r l r lr r α==-=-由二次函数的性质，当4l r =时，面积取得最大值为2116l此时12r l α=，2α=故答案为：2，2116l四、填空题14．幂函数()f x 的图像过点(,则()22f x x -的减区间为__________.【答案】(],0-∞【分析】设幂函数的解析式为a y x =，代入点(，得到a 的值，得到()f x 的解析式和定义域，再写出()22f x x -的解析式，研究其定义域和单调区间，从而求出()22f x x -的减区间.【详解】设幂函数的解析式为a y x =代入点(3a ，所以12a =所以幂函数为y =[)0,∞+，所以()22f x x -=220x x -≥ 即其定义域为{0x x ≤或}2x ≥， 而22t x x =-的对称轴为1x = 所以其单调减区间为(],1-∞所以()22f x x -的减区间为(],0-∞.【点睛】本题考查求幂函数的解析式，求具体函数的单调区间，属于简单题.15．212sin 20sin110cos 201cos 160++-的值为__________．【答案】1【分析】根据诱导公式，平方关系即可解出． 【详解】原式＝()2sin 20cos 2012sin 20cos 20sin 20cos 201cos 20sin160sin 20cos 20sin 20cos 20+++===+++．故答案为：1．16．已知函数()21,,2x cf x x x x c x ⎧-<⎪=⎨⎪-≤≤⎩，若()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的范围是______.【答案】11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】由分段函数的解析式进行分析，画出函数图像，由图像分析得出结论. 【详解】当x ＝2时，()2422f =-=，()22111244f x x x x ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，∵()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，∴当x c <时， 由()12f x x =-=，得12x =-，此时12x ≤-，由()22f x x x =-=，得220x x --=，解得x ＝2或x ＝－1，作出图像：有图像可得：要满足题意则：112c -≤≤-综上，112c -≤≤-，即实数c 的取值范围是11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故答案为：11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦五、解答题17．已知函数()()2274xf x a a a =-+是单调递增的指数函数.(1)求a 的值；(2)若()()()210R f x mf x x -+>∈恒成立，求m 的取值范围. 【答案】(1)３ (2)(),2-∞【分析】（1）根据指数函数的定义列式计算即可； （2）分离参数后用基本不等式求最值即可．【详解】（1）解：由题意知227411a a a ⎧-+=⎨>⎩，解得3a =或12a =（舍去）， 3a ∴=．（2）解：由（1）知()3x f x =，21331033x x x xm m ∴-⋅+⇔+><， 1323x x+≥ 当0x =时取等号，(),2m ∴∈-∞．18．已知函数()2f x ax bx =-.(1)若()f x c ≥的解集为{}32x x -≤≤，求不等式20bx ax c ++≤的解集；(2)若0a >，0b >且()10f >，求41a b a b ++-的最小值.【答案】(1){}23x x -≤≤ (2)6【分析】（1）先判断出a<0，=-b a ，6c a =，把不等式20bx ax c ++≤化为260x x --≤，即可解得；（2）构造基本不等式，求出41a b a b++-的最小值.【详解】（1）由题设知a<0且20ax bx c --=的两根为13x =-，22x =所以121bx x a +==-，126c x x a-==-，可得：=-b a ，6c a = 2260bx ax c ax ax a ++=-++≤可化为：260x x --≤，解得：23x -≤≤，所以不等式20bx ax c ++≤的解集为{}23x x -≤≤ （2）0a >，0b >且()100f a b >⇒>> 所以41146a a b b b a b a b b++=-+++≥-- 当且仅当14a b a bb b ⎧-=⎪⎪-⎨⎪=⎪⎩即3a =，2b =取“=”所以41a b a b++-的最小值为6.19．已知1sin()25sin παα+-=，其中α为第二象限角.(1)求cos α﹣sin α的值；(2)求221sin tan cos ααα++的值.【答案】(1)75-.(2)299.【分析】（1）由已知条件可得5s n 1os i c a α=-，利用同角三角函数基本关系式可得2112cos cos 0525αα--=，结合α在第二象限，解得cos α的值，利用同角三角函数基本关系式即可求解.（2）利用同角三角函数基本关系式可求tan α的值，进而即可求解.【详解】（1）解：由已知条件可得1sin cos 5αα+=，化简可得1sin cos 5αα=-，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得2112cos cos 0525αα--=， 所以4cos 5α=或3cos 5α=-，又α在第二象限，故cos α＜0，所以3cos 5α=-， 所以24sin 1cos 5αα， 所以347cos sin 555αα-=--=-. （2）解：由（1）得sin tan s 43co ααα==-， 所以2222221sin cos 2sin 29tan tan 12tan tan cos cos 9ααααααααα+++=+=++=. 所以221sin 29tan cos 9ααα++=. 20．为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金数比上一年增长10%.（1）以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第x 年该企业投入的研发资金数y （万元）与x 的函数关系式以及函数的定义域；（2）该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？【答案】（1）300(110%)x y =⋅+，[1,10]x ∈；（2）从2028年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元.【分析】（1）由题设，应用指数函数模型，写出前2年的研发资金，进而确定函数解析式及定义域； （2）由（1）得300(110%)600x y =⋅+>，利用指数的性质、对数运算求解集，进而判断从哪年开始研发资金数将超过600万元即可.【详解】（1）由题设，第1年研发资金为：300(110%)330⨯+=万元；第2年研发资金为：2300(110%)363⨯+=万元；∴第x 年研发资金：300(110%)x y =⋅+且定义域为[1,10]；（2）由（1）知：300(110%)600x y =⋅+>，即(1.1)2x >，∴ 1.1lg 2log 27.37lg111x >=≈>-，故从第8年即2028年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元. 21．已知函数2()log (41)x f x kx =++为偶函数.(1)求实数k 的值；(2)解关于m 的不等式(1)(21)f m f m +>-；(3)设()()21log 202x g x a a a ⎛⎫=⋅-≠ ⎪⎝⎭，函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1k =-(2)(0,2)(3)8a <--【分析】（1）根据偶函数建立等式可求解；（2）先证明在[0,)+∞上的单调性，再根据偶函数解不等式即可；（3）将问题转化为21(1)102a t at ---=有两个不相等的正实根，利用一元二次方程根的分布求解即可.【详解】（1）由函数表达式可知定义域为R ，函数2()log (41)x f x kx =++为偶函数()()f x f x ∴-=即：2log (41)x kx -+-2log (41)x kx =++22224142log (41)log (41)log log 4241x x x x x x kx x --+∴=+-+===-+ 2(1)0k x ∴+=，即1k =-.（2）()222411log (41)log ()log (2)22x xx x x f x x +=+-==+， 任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则12022x x <<，12220x x -<，1221x x +>， 所以11122x x +-122122121212(22)(2)02x x x x x x x x ++--=-< 所以()()12121222112log log 0222x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎝⎝+⎪⎭+⎭， 所以()f x 在[0,)+∞上递增，(1)(21),f m f m +>-又因为()f x 为R 上的偶函数，(|1|)(|21|)f m f m ∴+>-，|1||21|m m ∴+>-，即22(1)(21)m m +>-，解得02m <<，∴所求不等式的解集为(0,2)（3）21()log (2)2x g x a a =⋅-22()log (41)log (22)x x x f x x -==+-=+ 122202x x x a a -∴⋅-=+>在R 上有两个不相等的实根令20x t =>，则112a t a t t⋅-=+ 21(1)102a t at ∴---=有两个不相等的正实根 ()()2101Δ4104041101a a a a a a -≠⎧⎪⎪=+->⎪⎪∴⎨>⎪-⎪-⎪>⎪-⎩解得8a <--22．已知函数2()x f x x a=+，,()0x ∈+∞，其中0a >. (1)若()f x 的图象与直线2y =没有公共点，求实数a 的取值范围；(2)当1a =时，函数21()()()m g x f x f x =+的最小值为8-，求实数m 的值. 【答案】(1)1(,)16+∞;(2)-【分析】（1）问题化为2max 2(2)a x x >-即可，由二次函数的性质求出最值即可；（2）由题意得211()))(2(g x x m x x x+++-=，令12t x x =+≥，将问题转化为22t t y m +-=在[2,)+∞上的最小值为8-，由二次函数的性质讨论函数的单调性和对应的最小值即可求得m 的值.【详解】（1）由题意22x x a=+在,()0x ∈+∞上无解，即2220x x a -+=在,()0x ∈+∞上无解， 由222a x x =-，,()0x ∈+∞，而2211122()488x x x -=--+≤，所以116a >， 所以实数a 的取值范围为1(,)16+∞. （2）当1a =时2()1x f x x =+，则11()x f x x =+， 所以22221111()()1()()2)(()x m x x m x x x x m g x f x f x x +++=+++==-+， 令1t x x=+，又,()0x ∈+∞，故2t ≥（仅当1x =时等号成立） 所以22t t y m +-=在[2,)+∞上的最小值为8-，又22t t y m +-=的图象开口向上，对称轴为2m t =-，当22m -≤，即4m ≥-时，22t t y m +-=在[2,)+∞上单调递增， 所以min 422228m m y +-=+=-=，解得5m =-，不满足4m ≥-，故无解； 当22m ->，即4m <-时，22t t y m +-=在[2,)2m -上单调递减，在(,)2m -+∞上单调递增，所以222min228424m m y m --=--=-=，解得m =±4m <-，故m =-综上所述，m =-。
指数运算与对数运算(解析版)
专题08 指数运算与对数运算考点预测：1.n 次方根与分数指数幂 （1）方根如果nx a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n N ∈.①当n 是奇数时，正数的n 次方根是正数，负数的n 方根是负数.这时，a 的n n a . ②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n n a 示，负的n 次方根用符号n a . 正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成n a ±0a >）. 负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0，记作00n =.n a 根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 关于根式有下面两个等式：)n n a a =；,,nna n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数..2.分数指数幂（1）正分数指数幂mn m n a a =0a >，m ，*n N ∈，1n >）.0的正分数指数幂等于0.（2）负分数指数幂1m nmnmnaaa-=0a >，m ，*n N ∈，1n >）.0的负分数指数幂没有意义. （3）有理数指数幂的运算性质①r s r s a a a+=（0a >，r ，s Q ∈）；②()r srs a a =（0a >，r ，s Q ∈）；③()rrrab a b =（0a >，0b >，r Q ∈）.3. 无理数指数幂及其运算性质 （1）无理数指数幂的概念当x 是无理数时，xa 是无理数指数幂.我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.当x 的不足近似值m 和过剩近似值n 逐渐逼近x 时，m a 和n a 都趋向于同一个数，这个数就是x a .所以无理数指数幂xa （0a >，x 是无理数）是一个确定的数.（2）实数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r ，s ，均有下面的运算性质.①r s r s a a a+=（0a >，r ，s R ∈）；②()r srs a a =（0a >，r ，s R ∈）； ③()rrrab a b =（0a >，0b >，r R ∈）.4.对数的概念一般地，如果xa N =(0,1)a a >≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.当0a >，且1a ≠时，log N xa a N x =⇔=.5. 两个重要的对数（1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N .（2）自然对数：以e （e 是无理数， 2.71828e =…）为底的对数叫做自然对数，并把log e N 记作ln N . 6. 关于对数的几个结论 （1）负数和0没有对数； （2）log 10a =； （3）log 1a a =. 7. 对数的运算如果0a >，且1a ≠，0M >，0N >，那么（1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log log a a a M M N N=-；（3）log log na a M n M =（n R ∈）.8. 换底公式log log log c a cbb a =（0a >，且1a ≠，0b >，0c >，1c ≠）.例1．计算下列各式的值. （1）5lg242log 9log 1210--+（2）14030.75337(0.064)()(2)168--⎡⎤--+-+⎣⎦ 【解析】（1）原式()2lg 522228log 3log 3log 410255=-++=-+=-. （2）原式()()413334334511410.4122116288⨯--=-++=-++=例2．计算下列各式的值：（1()41332140.2522-⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭；（223ln 241256e 7lg 10lg 0.1-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）解：原式141432=--+⨯=-.（2）解：原式()()344lg100049426496427112=-+-=--+-=⨯-. 例3.（1）已知223x x -+=，求88x x -+的值； （2）已知827a =-，1771b =，求(211213333341333333327a a b ba a ba a b++--的值． 【解析】（1）()()()()()33228822222222x x x x x x x x x x -----⎡⎤+=+=+-⋅+⎢⎥⎣⎦ ()()2232232233318x x x x --⎡⎤=+-⨯⋅=⨯-=⎢⎥⎣⎦． （2）∵0a ≠，270a b -≠，827a =-∴原式()22111133331133113333327a a b b a b a a b a ⎛⎫++ ⎪-⎝⎛⎫ ⎪⎝⎭⎭=⨯-()33113323327a b a a b ⎛⎫- ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭=-⎭⎝2233827a --⎛⎫==- ⎪⎝⎭222332-⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭94=．过关测试 一、单选题1．（2021·北京·东直门中学高一阶段练习）如果关于x 的不等式2x ax b <-的解集是{24}x x -<<，那么3ab 等于（ ） A ．4- B ．4C ．14-D ．14【答案】B 【分析】根据三个二次的关系确定参数，结合指数运算可得结果. 【详解】∵不等式2x ax b <-的解集是{24}x x -<<， ∴2,4-是方程20x ax b -+=的两个实根，∴2424a b-+=⎧⎨-⨯=⎩，∴2,8a b ==-， ∴()()2233824ab =-=-=. 故选：B.2．（2021·河南·安阳县高级中学高一期中）已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是（ ） A ．d ac = B ．c ab = C ．a cd = D ．d a c =+【答案】C 【分析】由题得5a b =，10c b =，510d =，可得()51055ca c d cdb ====，即得.【详解】因为0b >，5log b a =，lg b c =， 所以5a b =，10c b =，又510d =， 所以()51055ca c d cdb ====，所以a cd =. 故选：C ．3．（2021·四川省武胜烈面中学校高一期中）已知函数()12log ,1,24,1,x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于（ ）A ．2-B ．1C ．2D ．4【答案】A 【分析】根据分段函数解析式求得正确答案. 【详解】1212442f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， ()12122224log 4log 2log 221f -====--. 故选：A4．（2021·江苏·3a a=，则22a a -+的值是（ ） A ．47 B ．45C ．50D ．35【答案】A 【分析】利用指数幂的运算法则即求. 【详解】 3a a=， ∴2129a a a a -=++=，即17a a -+=，∴()2122249a a a a --+=++=， ∴2247a a -+=. 故选：A.5．（2021·江苏·高一期中）若正实数m 满足+=1122m m，则+2log m m 的值为（ ） A ．-2 B ．0 C ．-4D ．14【答案】A 【分析】对指数式两边取以2为底的对数，化简即可求解. 【详解】+=1122m m12221log (2)log 21log m m m m -∴+==-=--， 2log 2m m ∴+=-，故选：A6．（2021·广东·深圳实验学校高中部高一阶段练习）已知,αβ满足10100,(lg 1)1000ααββ=-=，则αβ的值为（ ） A ．20 B ．1000 C ．100 D ．410【答案】B 【分析】根据10100,(lg 1)1000ααββ=-=，可得lg 2αα+=，lg lg(lg 1)3ββ+-=，即lg 2αα+=，lg 1lg(lg 1)2ββ-+-=，从而可得lg 1αβ=-，即可得出答案.【详解】解：因为10100αα=，(lg 1)1000ββ-=， 所以lg 2αα+=，lg lg(lg 1)3ββ+-=， 即lg 2αα+=，lg 1lg(lg 1)2ββ-+-=， 又因为函数lg y x x =+在()0,∞+上递增，所以lg 12lg lg 1lg lg 31000αβαβαβαβ=-⇔-=-⇔+=⇔=. 故选：B.7．（2021·辽宁·沈阳市辽中区第二高级中学高一阶段练习）下列结论正确的是（ ） A ．ln(ln )0e = B ．若10lg x =，则10x = C ．lg(lg1)0= D ．若ln e x =，则2x e =【答案】A 【分析】运用常见对数运算ln 1,ln10,lg10e ===，可以判断AC 选项，利用指对互换log ,n a b n a b ==可以判断BD 选项. 【详解】选项A 中ln 1,ln10e ==，所以正确；选项B 中1010lg ,10x x ==，所以不正确；选项C 中lg10=所以该式无意义，不正确；选项D 中ln ,e e x x e ==，所以不正确. 故选：A.8．（2021·江苏省响水中学高一期中）若lg 2,lg3a b ==，则45log 12等于（ ） A ．221a ba b +++B ．2221a ba b +++C ．221a ba b ++-D ．221a ba b +-++【答案】D 【分析】由换底公式得45lg12log 12lg 45=，再根据运算律求解即可. 【详解】解：由换底公式得45lg12lg 4lg 32lg 2lg 32log 12lg 45lg 9lg 52lg 31lg 221a ba b +++====++--++ 故选：D二、多选题9．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期中）设102,lg 3a b ==，则下列四个等式中正确的是（ ） A ．lg122a b =+ B ．61log 15a b a b-+=+ C ．106a b += D ．152aa -=【答案】ACD 【分析】根据指数与对数的关系可得lg 2,103b a ==，再利用换底公式、对数的运算法则以及指数幂的运算法则计算可得； 【详解】解：因为102,lg 3a b ==，所以lg 2,103b a ==，所以()2lg12lg 43lg 4lg3lg 2lg32lg 2lg32a b =⨯=+=+=+=+，故A 正确；610lg3lg lg15lg3lg5lg3lg10lg 2lg31lg 212log 15lg6lg 2lg3lg 2lg3lg 2lg3lg 2lg3b a a b⎛⎫+ ⎪++-+--+⎝⎭======+++++，故B 错误； 101010236a b a b +=⨯=⨯=，故C 正确；5lg 2lg 2lg 2log 21lg 2lg10lg 2lg51555552aa---=====，故D 正确；故选：ACD10．（2021·浙江·无高一期中）（多选题）设,,a b c 都是正数，且91525a b c ==，那么（ ） A ．2ab bc ac += B ．ab bc ac += C ．121c b a=-D ．221c a b=+ 【答案】AC 【分析】由指数式与对数式关系化为对数式，再由对数的运算法则判断． 【详解】设915251a b c m ==>=则9log a m =，15log b m =，25log c m =，92511112log 9log 25log (925)2log 15log log m m m m a c m m b +=+=+=⨯==，即121c b a=-，C 正确； 所以2ab bc ac +=，A 正确，B 错误；11255log 25log 9log 2log 93m m m m c a -=-==，15111log 1522log 2m b m ==， 1112c a b -≠，即221c a b≠+，D 错． 故选：AC ．11．（2021·江苏南京·高一期中）已知实数a 满足14a a -+=，下列选项中正确的是（ ） A ．2214a a -+= B ．123a a --=C ．11226a a-+=D ．332211223a a a a--+=+【答案】ACD 【分析】由14a a -+=结合完全平方公式分别求出各个选项式子的值，即可判断正误． 【详解】14a a -+=,()2122216a aa a --∴+=++=，2214a a -∴+=，故选项A 正确;()()2211244412a a a a ---=+-=-=，123a a -∴-=±B 错误;2111222426a a a a --⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭,11226a a ∴+=C 正确; 31133113311331112222222222222233333a a a a aa a a a a a a a a a a --------⎛⎫⎛⎫+=+++=++++++ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭,且11226a a +33322636a a-+=+332236a a ∴+=332211223636a a a a--+∴==+，故选项D 正确. 故选：ACD12．（2021·海南·海口一中高一期中）下列各选项中，值为1的是（ ） A ．log 26·log 62 B ．log 62＋log 64C ．()()11222323⋅D ．()()11222323-【答案】AC 【分析】对选项逐一化简，由此确定符合题意的选项. 【详解】对于A 选项，根据log log 1a b b a ⋅=可知，A 选项符合题意. 对于B 选项，原式()66log 24log 81=⨯=≠，B 选项不符合题意. 对于C 选项，原式((1122232311⎡⎤==⎣⎦⋅=，C 选项符合题意.对于D 选项，由于()()()()1111222222323232322323-⎡⎤=⎣⋅⎢⎥⎦4221=-=≠，D 选项不符合题意. 故选：AC 【点睛】本小题主要考查对数、根式运算，属于基础题.三、填空题13．（2021·福建·13012760.125lg10048⎛⎫+-= ⎪⎝⎭____________． 【答案】3 【分析】根据分数指数幂的运算即可求出答案. 【详解】111332301272535360.125lg1001213484222⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3.14．（2021·江苏省如东高级中学高一阶段练习）已知4log 3x =，则332222x xx x--++的值为___________．【答案】73【分析】由题得23x=332222x xx x--++代入23x =. 【详解】因为4log 3x =，所以43,23x x ==所以3322222222(222222)(212)17212(2)1(2)3133x x x x x x x x x x x x x x --------+-+++==++=-+=-+=.故答案为：7315．（2021·上海·高一专题练习）已知实数a ，b 满足log a b -3log b a =2，且a a =b b ，则a+b =____. 43【分析】先由log a b -3log b a =2，解得b =a 3或b =1a，再分别带入求出a 、b ，即可求出a+b. 【详解】 由log a b -3log a b=2，得到log a b =3或log a b = -1，则b =a 3或b =1a .当b =a 3时，由a a =b b 可得：a a =33a a ，则a =3a 3，而a >0，则33a b == 当b =1a 时，同理可得：a = -1a ，而a >0，所以无解，所以a+b 43.4316．（2021·黑龙江·哈师大附中高一期中）设3436a b ==，则21a b+=____________【答案】1 【分析】利用指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质和换底公式进行求解即可. 【详解】解：3436a b ==，则34log 36,log 36a b ==， 33633log 311log 3log 36log 36a ∴===，43644log 411log 4log 36log 36b ===， 22363636363636212log 3log 4log 3log 4log (34)log 361a b∴+=+=+=⨯==. 故答案为：1.四、解答题17．（2021·云南·弥勒市一中高一阶段练习）化简求值：（1）()()1246234783π28⎛⎫⎡⎤---- ⎪⎣⎦⎝⎭.（2）341lg 2lg 3lg5log 2log 94-+-⋅.（3）已知18log 9a =，185b =，试用a ，b 表示36log 5的值 【答案】 （1）π8+； （2）2； （3）2b a-. 【分析】（1）利用根式和分数指数幂运算即可求解；（2）利用对数的运算性质以及换底公式化简即可求解；（3）由指对互化可得18log 5b =，再由换底公式以及对数的运算化简即可求解. （1） 原式()021364342723π28⨯⨯⎛⎫=--- ⎪⎝⎭341π32π8=-+=-++.（2）原式22223lg2lg23lg5log 2log 3-=-+-⋅lg 2lg 3lg 22lg 23lg 5lg 3lg 2=++-⋅ ()3lg2lg513lg1012=+-=-=.（3）由185b =可得18log 5b =， 所以181818361818181818log 5log 5log 5log 5log 36log 4log 92log 2log 9===++()181818log 521log 9log 92ba-+=-=.18．（2021·黑龙江·哈师大附中高一期中）求值： （1）(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258) （2）2111.50.250.623321[(0.027)][81320.02()]10--++-⨯【答案】 （1）13（2）193【分析】（1）直接利用对数的运算法则和换底公式化简求值； （2）直接利用指数幂的运算性质化简求值. （1）解：原式=3332225551(log 5log 5log 5)(log 2log 2log 23++++=2225551(3log 5log 5log 5)(log 2log 2log 2)3++++=2513log 53log 2=133⨯. （2）解：原式=11-140.2550.632[(0.027)[320.02100]⨯⨯++-⨯ =11132(0.3)[3210193332]-++-=+=. 19．（2021·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（文））（1）计算：120133634437282(23)263-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）化简：413332233338124a a bb a a b ab a ⎛-÷- ⎝+ 【答案】（1）110；（2）a . 【分析】结合已知条件利用指数幂的运算法则即可求解. 【详解】（1）原式11113332344321222323-⨯⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11313344222427210811033+⎛⎫⎛⎫=-++⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2)原式41111333332112333381242a a bb a a b a b a -⎛⎫-=÷-⨯ ⎪⎝⎭++ 411333211211333333814212a a b a b a b ab a--=⨯⨯++-()111333221111113333338222aa b aaa ba ab b -=⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()3311338882a a b a a b aa b a b --===-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．20．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）（1）计算：()10.5130272720.013π964--⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）已知()131a a a -+=>，求22a a --的值.【答案】（1）10；（2）35【分析】（1）由指数幂的运算性质求解即可；（2）由题意求出1a a --，则()()2211a a a aa a ----=-+，即可求解 【详解】 （1）()()1110.523123132227275320.013=+10396434π-----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦54=+10+31033-=； （2）因为()212229a a a a --+=++=， 所以227a a -+=，所以()212225a a a a ---=-+=， 所以15a a --= 因为1a >， 所以15a a --=所以()()221135a a a aa a ----=-+=21．（2021·江苏省镇江中学高一期中）已知log 3a m =，log 2a n =（0a >且1a ≠）． （1）求2m n a +的值；（2）若3log 21m n +=+，解关于x 的不等式：2(1)60tx at x a -++-<（其中t R ∈）．【答案】 （1）12（2）当0t <时，不等式的解集为1,(3,)t ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当0=t 时，不等式的解集为()3,+∞；当103t <<时，不等式的解集为13,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当13t =时，不等式的解集为∅；当13t >时，不等式的解集为1,3t ⎛⎫⎪⎝⎭；【分析】（1）利用对数式与指数式的互化，及指数幂的运算即可得解；（2）利用对数的运算可得3a =，再分类讨论0t <，0=t ，103t <<，13t =和13t >，解不等式即可得解.（1）由log 3a m =，log 2a n =，得3m a =，2n a = 2223212m n m n a a a +∴=⋅=⨯=（2）3log 21m n +=+，33log 3log 2log 6log 21log 6a a a ∴+==+=，3a ∴=不等式22(1)60(31)30tx at x a tx t x -++-<⇒-++<（1）当0=t 时，不等式为：30x -+<，解得3x >，不等式的解集为()3,+∞； （2）当0t ≠时，方程2(31)30tx t x -++=的两个根为13x =和21x t=①当0t <时，13t <，二次函数开口向下，不等式的解集为1,(3,)t ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；②当103t <<时，13t >，二次函数开口向上，不等式的解集为13,t ⎛⎫⎪⎝⎭；③当13t =时，二次函数开口向上，不等式的解集为∅； ④当13t >时，13t <二次函数开口向上，不等式的解集为1,3t ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 综上可知，当0t <时，不等式的解集为1,(3,)t ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当0=t 时，不等式的解集为()3,+∞；当103t <<时，不等式的解集为13,t ⎛⎫⎪⎝⎭；当13t =时，不等式的解集为∅；当13t >时，不等式的解集为1,3t ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 22．（2021·全国·高一课时练习）对于正整数,,()a b c a b c ≤≤和非零实数x ，y ，z ，w ，若701x y z w a b c ===≠，1111w x y z=++，求a ，b ，c 的值. 【答案】2a =，5b =，7c =. 【分析】由已知条件,结合分数指数幂的运算得到111111707070w y w w w x z a b c ⋅⋅=⋅⋅，进而1111()70x y z w abc ++=，结合1111x y z w++=，得到70abc =，然后将70分解2,5,7的乘积，由701w ≠可得1a ≠，进而得到1a b c <≤≤，从而得到,,a b c 的值. 【详解】∵70x w a =，∴11701w x a =≠. 同理可得1170y w b =，1170w z c =. ∴111111707070w y w w w x z a b c ⋅⋅=⋅⋅， 即1111()70x y z w abc ++=. 又1111x y z w++=，∴70257abc ==⨯⨯. 又a ，b ，c 为正整数，且701w ≠，∴a ，b ，c 均不为1， ∴1a b c <≤≤，∴2a =，5b =，7c =. 【点睛】本题考查指数幂的运算，涉及整数分解问题，属中难题，难度较大.。
高中数学对数和对数函数知识点与例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：a b=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a（MN）=log a M+log a N.②log aMN=log a M－log a N.③logaM n=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN= l oglogaaNb（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=log a x（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义:log a a=1；如果a=1或=0那么log a a就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象yyy =l ogxa>(1)a1O1xOxy =l o g a x (<a <1) 0底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算） 1．求下列各式的值． （1）35 log ＋25log2－1 21 50log － 514 log ；（2）log5 2 1 25 ×lo g 3 1 8 ×lo g 5 1 9. 练习题1．计算：lg 1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log 89·log 278；3.log535＋21log2－log51502 －log514；3.log2125×log318×log519.1loglog4log3 4.399222．5.lg5lg2lg41(6).log24lglog27lg2log33222 7.2lg2lg3111lg0.36lg823例2．已知实数x、y、z满足3x＝4y＝6z＞1.(1)求证：2x＋1y＝2z；(2)试比较3x、4y、6z的大小．练习题．已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数fxlog22xx1aax的定义域为集合A，关于x的不等式22 的解集为B，若AB，求实数a的取值范围．2．设函数2ylog(ax2x2)定义域为A．2（1）若AR，求实数a的取值范围；（2）若2log(ax2x2)2在x[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．2练习题1．已知函数2 fxlgax2x1（1）若fx的定义域是R,求实数a的取值范围及fx的值域；（2）若fx的值域是R，求实数a的取值范围及fx的定义域2求函数y=2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及性） 例题1．已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x －1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(1 log24)的值． 2 4.已知f （x ）=l o g 1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域.3 5.已知y =l o g a （3－a x ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的围.4．已知函数f(x)lg(2x)lg(2x).（Ⅰ）求函数yf(x)的定义域；（Ⅱ）判断函数yf(x)的奇偶性；（Ⅲ）若f(m2)f(m)，求m的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围2．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，1f(x)logx.2 （1）求函数f(x)的解析式；（2）解不等式2f(x1)2；3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，1f(x)log(x1)．2 （Ⅰ）求f(0)，f(1)；（Ⅱ）求函数f(x)的表达式；（Ⅲ）若f(a1)1，求a的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f（x）=|log2x|的图象是yy111x-11xOOAByy111x1xOOCD6.求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.f(x)＝|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2fa b2，求证：a·b＝1，a b2 ＞1.练习题：1．已知a0且a1，函数f(x)log(x1)a，1g(x)log a，记F(x)2f(x)g(x)1x（1）求函数F(x)的定义域及其零点；（2）若关于x的方程2 F2．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log44xa?237.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于题型五：函数方程1方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.5.已知函数f（x）= 1()2x,x4,则f（2+log23）的值为f(x1),x4,4．已知函数f(x)log a(axx)(a0,a1为常数）. （Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）若a2，x1,9,求函数f(x)的值域；（Ⅲ）若函数f(x)ya的图像恒在直线y2x1的上方，求实数a的取值范围.1xxyloglog(2x8).5．已知函数22242（Ⅰ）令tlog2x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值.8.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x −2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0. 故选：B.2、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是（ ） A ．(1,+∞)B ．(12，1)C ．(13，12)D ．(14，13)答案：B分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0， 所以f(12)⋅f(1)<0，又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增， 所以函数f(x)的零点所在的区间是(12，1)， 故选：B ．小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题.3、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ） A ．[0,34]B ．(0,34) C ．[0,916]D ．(0,916) 答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解， 则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点，若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0，若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916. 故m ∈(0,916). 故选：D ．4、函数y =2x −2−x （ ）A ．是R 上的减函数B ．是R 上的增函数C ．在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数D ．无法判断其单调性 答案：B分析：利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数，指数函数g (x )=2−x =(12)x为R 上的减函数， 故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选：B.5、若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，且y =a −x 也为增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(√33,1)B ．(0,12)C ．(√33,√63)D ．(√63,1) 答案：D分析：根据函数单调性，列出不等式组{3a 2−1>10<a <1求解，即可得出结果. 若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，则3a 2−1>1，由y =a −x 为增函数得0<a <1．解不等式组{3a 2−1>10<a <1，得a 的取值范围是(√63,1)．故选：D.小提示：本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数，涉及不等式的解法，属于基础题型. 6、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ） A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100 答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A7、已知a =lg2，10b =3，则log 56=（ ） A ．a+b 1+aB ．a+b 1−aC ．a−b 1+aD ．a−b 1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b ，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a =lg2, 10b =3， ∴b =lg3， ∴log 56=lg6lg5=lg2×3lg 102=lg2+lg31−lg2=a+b 1−a．故选：B ．8、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a =5，b =log 83=13log 23，即23b =3，所以4a−3b =4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C. 多选题9、已知函数f (x )={e x −1,x ≥a,−(x +1)2,x <a (a ∈R ) ，则（ ） A ．任意a ∈R ，函数f (x )的值域为R B ．任意a ∈R ，函数f (x )都有零点C ．任意a ∈R ，存在函数g (x )满足g (−|x |)=f (x )D ．当a ∈(−∞,−4]时，任意x 1≠x 2,(x 1−x 2)(f (x 1)−f (x 2))>0答案：BD分析：画出分段函数图像，根据图像逐项分析即可得到结果设函数y=e x−1和y=−(x+1)2的左右两交点坐标为(x1,y1)，(x2,y2)对于选项A，由图像可知，当a<x1时，f(x)的值域不为R，故A错误对于选项B，由图像可知，无论a取何值，函数f(x)都有零点，故B正确对于选项C，当x>0时g(−|x|)=g(−x)，g(−|−x|)=g(−x)由图像可知f(−x)≠f(x)所以不存在函数g(x)满足g(−|x|)=f(x)对于选项D，若x1<a，x2<a，因为y=−(x+1)2为增函数，所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立若x1>a，x2>a因为y=e x−1为增函数，所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立当x1，x2不在同一区间时，因为a∈(−∞,−4]，所以y=e x−1(x>a)的图像在y=−(x+1)2(x<a)的图像的上方，所以也满足对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立故D正确故选：BD10、已知实数a，b满足等式2a=3b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a=b=0其中有可能成立的关系式有（）A．①B．②⑤C．②③D．④答案：AB分析：画出指数函数y=2x，y=3x的图象，利用单调生即可得出答案.如图所示，数y=2x，y=3x的图象，由图象可知：( 1 ) 当时x>0，若2a=3b，则a>b；( 2 ) 当x=0时，若2a=3b，则a=b=0；( 3 ) 当x<0时，若2a=3b，则a<b.综上可知，有可能成立的关系式是①②⑤ .故选：AB11、某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（）A．2.5元B．3元C．3.2元D．3.5元答案：BC分析：设每册杂志定价为x(x>2)元，根据题意由(10−x−2×0.5)x≥22.4，解得x的范围，可得答案.0.2依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，×0.5万册，设每册杂志定价为x(x>2)元，则发行量为10−x−20.2则该杂志销售收入为(10−x−2×0.5)x万元，0.2所以(10−x−2×0.5)x≥22.4，化简得x2−6x+8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2，0.2故选：BC小提示：关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为x (x >2)元时的发行量是解题关键. 填空题 12、化简：(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________．答案：2−1263分析：分析式子可以发现，若在结尾乘以一个(1−12)，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒ 原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2 =(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2 =(1+1232)×(1−1232)×2 =(1−1264)×2 =2−1263所以答案是：2−1263﹒13、√a ⋅√a ⋅√a 3的分数指数幂表示为____________答案：a 34分析：本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.√a ⋅√a ⋅√a 3=√a ⋅√a ⋅a 123=√a ⋅√a 323=√a ⋅a 12=√a 32=a 34， 所以答案是：a 34.14、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=________.①定义域为R；②值域为(−∞,1)；③对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.答案：f(x)=1−12x（答案不唯一）分析：直接按要求写出一个函数即可.f(x)=1−12x ，定义域为R；12x>0，f(x)=1−12x<1，值域为(−∞,1)；是增函数，满足对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.所以答案是：f(x)=1−12x（答案不唯一）.解答题15、已知函数f(x)=1−2a|x|+1(a>0，a≠1)．（1）判断f(x)的奇偶性并证明；（2）若f(x)在[−1,1]上的最大值为13，求a的值．答案：（1）偶函数；证明见解析；（2）a=2．解析：（1）利用奇偶函数的定义证明；（2）讨论去绝对值，并分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的单调性，求函数的最大值，建立方程，求a的值.解：（1）f(x)的定义域为R，又f(−x)=1−2a|−x|+1=1−2a|x|+1=f(x)⇒f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数；（2）因为f(x)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递减，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递增，f(x)max=f(1)=1−2a+1=13⇒a=2，当−1≤x<0，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a−x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递增，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递减，f(x)max=f(−1)=1−2a+1=13⇒a=2，综上，a=2．小提示：关键点点睛：本题考查指数型复合函数证明奇偶性以及根据函数的最值，求参数的取值范围，本题的关键是求函数的单调性，关键是利用函数是偶函数，先去绝对值，再利用复合函数的单调性求函数的单调性，从而确定函数的最值.。
2023-2024学年江苏省镇江市高一上学期数学人教A版-指数函数与对数函数-强化训练-1-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年江苏省镇江市高一上学期数学人教A版-指数函数与对数函数-强化训练(1) 姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分） 1. 关于x的函数y=a x ， y=x a ， y=log a （x﹣1），其中a＞0，a≠1，在第一象限内的图像只可能是（ ） A . B . C .D . 2. 函数的零点所在区间为（ ）A .B .C .D .3. 函数 的图象恒过定点（ ）A .B .C .D .4. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为（ ）A .B .C .D .（﹣∞，0）（﹣∞，）（0,）（,+∞）5. 函数 ， 则该函数的单调减区间为（ ）A .B .C .D .6. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 上是增函数的为（ ）A .B .C .D .7. 若 ,则 的大小关系为（ ）A .B .C .D .8. 设 为自然对数的底数，函数 的零点所在区间是（ ）A .B .C .D .(1，2)(2，3)9. 已知定义在R上的函数 满足，若关于 的方程 恰有5个不同的实数根，则 的取值范围是（ ）A . B . C . D .10. 函数 的零点所在的大致区间是（ ）A .B .C .D .(﹣1，0)(1，2)(0，1)(2，3)11. 已知f(x)､g(x)均为[﹣1，3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f(x)=g(x)有实数解的区间是（ ）x﹣10123f(x)﹣0.677 3.011 5.432 5.9807.651g(x)﹣0.530 3.451 4.890 5.241 6.892A . B . C . D .12. 已知 ， ， ， 则（ ）A .B .C .D .13. 已知函数，若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是.14. 函数 的定义域为 ．15. 已知函数，若函数 有四个零点，则实数m的取值范围为．16. 溶液酸碱度是通过pH值刻画的，pH值的计算公式为pH=﹣lg[H +]，其中[H +]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，纯净水中氢离子的浓度为[H +]=10﹣7摩尔/升，则纯净水的pH= ．阅卷人三、解答题（共6题，共70分）得分17. 已知 满足(1) 求 的取值范围；(2) 求函数 的值域．18. 已知函数 ，且 .(1) 若 ，求实数 的取值范围；(2) 求使 成立的 的值．19. 计算：(1) 0.25×（﹣ ）﹣4÷（ ﹣1）0﹣（ ） ．(2) ．20.(1) ；(2) .21. 已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点 ，其中a＞0且a≠1．(1) 求a的值；(2) 求函数y=f（x）（x≥0）的值域．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
江苏省镇江市高中数学寒假作业 指、对、幂(1)(无答案)
1 （指、对、幂（1））班级： 姓名： 成绩：一.填空题:(本题每小题5分共50分)1.已知函数a x f x +-=121)(为奇函数，则a ＝ . 2.已知132log <a，则a 的取值范围为 . 3.函数12-=x y 过定点 .4.比较9.01.1，9.0log 1.1，8.0log 7.0的大小 .5.求函数x x y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=的单调递减区间是 .6.函数)34(log )(23-+-=x x x f 的单调递增区间为 .7.如果幂函数322)(--=m m x x f 的图像不经过原点，则满足条件的实数m 的范围是 .8.已知|log |)(2x x f =，若)5.2()(f a f >，则实数a 的取值范围是 .9.已知)1,0)(12(log 5log )1(log )4(log 22≠>-+=+++a a xy y x a a a a 则=xy 8log . 10.定义运算：{)()(b a a b a b b a ≤>=⊗，则函数x x x f -⊗=22)(的值域为 .二.解答题 :（本题共5小题每题10分共50分）11.已知)1,0(752≠>>+-a a a a x x x ，求x 的取值范围.12.已知定义在Ｒ上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且当]1,0[∈x 时13)(-=x x f ，求)26(log 3f 的值.13．已知函数 122-+=x x a a y (a ＞0且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，求a 的值.14.设a 是实数，)(122)(R x a x f x ∈+-=试证明对于任意a ,)(x f 为增函数. 15.已知y=a log (2-x a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.。
江苏省镇江市丹徒高级中学高中数学必修五苏教版学案：3.4 简单指数、对数、绝对值不等式的解法
简单指数、对数、绝对值不等式的解法【教学目标】能从指数函数、对数函数的图象和性质上理解简单的指数对数不等式的解法．【教学重点】指数对数不等式的解法．【教学难点】运用等价转化的数学思想解两种类型的不等式．【教学过程】一、引入：1．指数函数定义：一般地，函数xy a =（0a >且1a ≠）叫做 ，其中x 是 ，函数定义域是 ．2．对数函数的概念：一般地，函数 叫做对数函数，它的定义域是_________________．3．不等式：()()f x g x a a >（1a >）⇔ ;()()f x g x a a >（01a <<）⇔ ．4．不等式：log ()log ()a a f x g x >（1a >）⇔； log ()log ()a a f x g x >（01a <<）⇔ ．5．绝对值不等式：||(0)x a a <>⇔ ；||(0)x a a >>⇔ ；||(0,0)a x b a b <<>>⇔ ；二、新授内容：例1．解下列关于x 的不等式：（1）21()13x ≥; (2）0.225x <； (3)3log (2)3x +>；（4）233log ()log (3)x x x -<+； （5）)32(log )1(log 3.03.0+≥-x x ．【变式拓展】（1）若(23)log (14)2a a +->，求a 的取值范围；(2）设函数2log (1) 2()1() 1 22x x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若0()1f x >,则0x ∈ ．例2．解下列不等式：（1）|2||1|x x +<-； （2)|21|3x x ->； （3）|x －2|(x －1)<2； （4）｜x ＋3｜－｜x －2｜≥3．【变式拓展】不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立,求实数a 的取值范围．三、课堂反馈：1．函数y =的定义域是 ．2．不等式2233log (23)log (2)x x -<+的解集为 ．3．不等式|1|23x x +<-的解集为 ．4．若不等式｜kx －4｜≤2的解集为{x |1≤x ≤3},则实数k＝ ．5．若2log 13a <，则a 的取值范围 ．四、课后作业: 姓名：___________ 成绩：___________1．不等式282144x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为 ．2．函数y =的定义域为 ．3．不等式1622<-+x x 的解集是 ．4．已知集合A ＝{x ∈R ｜｜x ＋2｜＜3}，集合B ＝｛x ∈R ｜（x －m )(x －2）＜0｝，且A ∩B ＝（－1，n ),则m ＝________,n ＝ ．5．已知集合A＝{}|2x ，集合B ＝{}22|log log 5x x <，全集U R =，则()U C A B =．6．不等式0212<---x x 的解集为 ．7．不等式|31|2x x -<+的解集为 ．8．函数()f x =的定义域为 ．9．若不等式｜3x -b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3,则b 的取值范围为 ．10．已知1)1()(2++-=x aa x x f , （1）当21=a 时，解不等式0)(≤x f ； （2)若0>a ，解关于x 的不等式0)(≤x f ．11．已知函数22()log log 24xf x x =⋅．（1)解不等式()0f x >; （2）当[]1,4x ∈时，求()f x 的值域．。
江苏省镇江市丹徒镇高中数学 3.4 简单指数、对数、绝
简单指数、对数、绝对值不等式的解法【教学目标】能从指数函数、对数函数的图象和性质上理解简单的指数对数不等式的解法． 【教学重点】指数对数不等式的解法．【教学难点】运用等价转化的数学思想解两种类型的不等式．【教学过程】一、引入：1．指数函数定义：一般地，函数x y a =（0a >且1a ≠）叫做 ，其中x 是 ，函数定义域是 ．2．对数函数的概念：一般地，函数 叫做对数函数，它的定义域是_________________．3．不等式：()()f x g x a a >（1a >）⇔ ；()()f x g x a a >（01a <<）⇔ ．4．不等式：log ()log ()a a f x g x >（1a >）⇔ ；log ()log ()a a f x g x >（01a <<）⇔ ．5．绝对值不等式：||(0)x a a <>⇔ ；||(0)x a a >>⇔ ；||(0,0)a x b a b <<>>⇔ ；二、新授内容：例1．解下列关于x 的不等式：（1）21()13x ≥； （2）0.225x <； （3）3log (2)3x +>；（4）233log ()log (3)x x x -<+； （5）)32(log )1(log 3.03.0+≥-x x ．【变式拓展】（1）若(23)log (14)2a a +->，求a 的取值范围；（2）设函数2log (1) 2()1() 1 22x x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若0()1f x >，则0x ∈ ． 例2．解下列不等式：（1）|2||1|x x +<-； （2）|21|3x x ->； （3）|x －2|(x －1)<2； （4）|x ＋3|－|x －2|≥3．【变式拓展】不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．三、课堂反馈：1．函数y =的定义域是 ．2．不等式2233log (23)log (2)x x -<+的解集为 ．3．不等式|1|23x x +<-的解集为 ．4．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝ ．5．若2log 13a <，则a 的取值范围 ． 四、课后作业： 姓名：___________ 成绩：___________1．不等式282144x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为 ．2．函数y =的定义域为 ．3．不等式1622<-+x x 的解集是 ．4．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )， 则m ＝________，n ＝ ．5．已知集合A ＝{}2x <，集合B ＝{}22|log log 5x x <，全集U R =，则()U C A B = ．6．不等式0212<---x x 的解集为 ．7．不等式|31|2x x -<+的解集为 ．8．函数()f x =的定义域为 ．9．若不等式｜3x -b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围为 ．10．已知1)1()(2++-=x a a x x f ，（1）当21=a 时，解不等式0)(≤x f ； （2）若0>a ，解关于x 的不等式0)(≤x f ．11．已知函数22()log log 24xf x x =⋅．（1）解不等式()0f x >； （2）当[]1,4x ∈时，求()f x 的值域．。
对数的概念(高中数学)
(2)由log3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.]
22
1．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为________． 3e [由ln(log3x)＝1得log3x＝e，∴x＝3e.] 2．在本例(2)条件不变的前提下，计算x－12的值． [解] ∵x＝10，∴x－12＝10－12＝ 1100.
31
(2)由log2x＝－23，可得x＝2－23，
∴x＝1223＝ 3 14＝322. (3)由x＝log2719，可得27x＝19， ∴33x＝3－2，∴x＝－23. (4)由x＝log1216，可得12x＝16， ∴2－x＝24，∴x＝－4.
a>0， a≠1， 解得0<a<5且a≠1，故选B.]
4．ln 1＝________，lg 10＝ ________.
10
0 1 [∵loga1＝0，∴ln 1＝ 0，又logaa＝1，∴lg 10＝1.]
11
合作探究 提素养
12
指数式与对数式的互化 【例 1】 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝1128；(2)log1232＝－5； (3)lg 1 000＝3；(4)ln x＝2.
5
10 e
6
思考：为什么零和负数没有对数？ 提示：由对数的定义：ax＝N(a>0 且 a≠1)，则总有 N>0，所以转化为 对数式 x＝logaN 时，不存在 N≤0 的情况．
7
B [∵a2＝M，∴logaM＝2，故 1．若 a2＝M(a>0 且 a≠1)，则有 选B.] () A．log2M＝a B．logaM＝2 C．log22＝M D．log2a＝M
2．若 log3x＝3，则 x＝( ) A．1 B．3 C．9 D．27
指数式与对数式转化
指数式与对数式转化指数式与对数式之间的转化是数学中重要的概念之一。
首先，我们需要了解指数式和对数式的定义。
指数式：指数式是指一个数学表达式，它的值等于某个基数的指数。
例如，a^x表示a的x次方。
对数式：对数式是指一个数学表达式，它的值等于某个基数（底数）的对数。
例如，log(a, x)表示以a为底，x的对数。
在数学和实际应用中，我们经常需要将指数式和对数式进行相互转换。
下面介绍一些常用的转换方法：1.换底公式换底公式是指数式与对数式之间转化的重要工具。
它基于对数的性质，可以将任何对数式转换为以10或e为底的对数。
假设有一个对数式：log(a, b)，其中a为底数，b为真数。
我们可以使用换底公式将其转换为：log(a, b) = log(c, b) / log(c, a)其中c可以是任意不等于1的正数。
例如，我们可以取c为10，则有：log(a, b) = log10(b) / log10(a)这样就将底数为a的对数式转换为以10为底的对数式。
2.反对数性质反对数性质是指数的逆运算。
对于一个给定的对数式，我们可以使用反对数性质将其转换为指数式。
假设有一个对数式：log(a, b)，其中a为底数，b为真数。
根据反对数性质，有：log(a, b) = a^x = b（假设log(a, b) = x）将这个等式两边取对数，得到：log(a, b) = x = log(b, a) （反对数性质）因此，可以使用反对数性质将任何对数式转换为指数式。
3.应用例子假设有一个问题，需要求解方程：2^x + 3^x = 5^x。
这个方程可以用指数式与对数式转化来求解。
首先，将方程中的指数式转换为对数式：log(2, x) + log(3, x) = log(5, x)然后，使用换底公式将不同底的对数式转换为以10为底的对数式：log(3, x) = log(10, x) / log(10, 3)log(2, x) = log(10, x) / log(10, 2)将上述等式带入原方程，得到：log(10, x) / log(10, 2) + log(10, x) / log(10, 3) = log(10, x) / log(10, 5)通过移项和合并同类项，得到：[log(10, 2) + log(10, 3)] - log(10, 5) = 0log(10, 60) = 0因此，方程的解为x = log(60, 10)。