华东师版数学分析5-2课件
§2 收敛数列的性质 数学分析(华师大 四版)课件 高教社ppt 华东师大教材配套课件
定理2.2唯一性若 }{n a 收敛, 则它只有一个极限.证 设 .}{的一个极限是n a a 下面证明对于任何 定数 ,b a ≠若 a ，b 都是 { a n } 的极限，则对于任何正数 ε >0, 有时，当 22,N n N >∃有时，当 11,N n N >∃)1(;||ε<-a a n {}.n b a 不能是的极限§2 收敛数列的性质 后退 前进 目录 退出唯一性 有界性 保号性 保不等式性.b a =是任意的，所以因为ε当 n > N 时 (1), (2)同时成立,},,max{21N N N =令从而有)2(.||ε<-b a n ||||||n n a b a a a b -≤-+-)1(;||ε<-a a n 2.ε<定理2.3有界性即存在 0,||,1,2,.n M a M n >≤=使得证 lim ,n n a a →∞=设||1,n a a -<1 1.n a a a -<<+即若令 12max{||,||,,||,|1|,|1|},n M a a a a a =-+则对一切 正整数 n , 都有||.n a M ≤ 若数列 ，为有界数列则收敛}{,}{n n a a 注 数列 })1{(n-是有界的, 但却不收敛. 这就说明 有界只是数列收敛的必要条件, 而不是充分条件.对于正数 ,1=ε,N n N ∃>时，有定理2.4保号性lim ,n n a a →∞=设对于任意两个实数 b , c , 证 注 ),0(0<>a a 或若我们可取 (),22a ab c ==或0(0).22n n a aa a >><<则或这也是称该定理为保号性定理的原因..即n b a c <<,n b a a a c εε≤-<<+≤存在 N, 当 n > N 时, .c a b n <<,b ac <<{},0,min >--=a c b a ε取时，当N n N >∃,例1 证明 .0!1lim =∞→nn n 证 对任意正数 ε , (1)lim0,!nn n ε→∞=因为所以由 ()11,!nn ε<1.!n n ε<即这就证明了 .0!1lim =∞→n n n 0,,N n N ∃>>当时定理 2.4,定理2.5保不等式性{},{}n n a b 设均为收敛数列,0,,n n n N a b >≤当时有lim lim .n n n n a b →∞→∞≤则证 lim ,lim .n n n n a a b b →∞→∞==设,,2a b b a ε-<=若取,22b a b a a a n +=-->,22ba b a b b n +=-+<,n n a b >故导致矛盾.所以 .a b ≤0,,,N N n N >>由保号性定理存在当时0,N 如果存在正数是严格不等式.注 若将定理 2.5 中的条件改为 ,n n a b <n n b a ≤这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定 也只能得到 lim lim .n n n n a b →∞→∞≤例如 , 虽然 12, n n <但12lim lim 0.n n nn →∞→∞==定理2.6迫敛性 (夹逼原理)设数列{},{}n n a b 都以 a 为极限, }{n c 数列.lim }{a c c n n n =∞→且收敛，,,,121时使得当别存在N n N N >;n a a <-ε2.n n N b a ε><+当时,,}max{2,1,0N N N N =取.εε+<≤≤<->a b c a a N n n n n 时，当这就证得： 证 对任意正数 →∞→∞==lim lim ,n n x n a b a ε，因为满足: 00,,,n n n N n N a c b >≤≤存在当时有则.lim a c n n =∞→所以分例2 求数列 }{nn 的极限.(),22)1()1(2≥-≥+=n h n n h n n nn ,1121lim 1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→∞→n n n 所以由迫敛性，得.1lim =∞→nn n .12111-+≤+=≤n h n n n故又因解 10,nn h n =-≥设则有定理2.7四则运算法则为收敛数列，与若}{}{n n b a },{n n b a +则 (1) ()lim lim lim ;n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±()(2)lim lim lim ,n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅当 n b 为常数 c 时,;lim lim n n n n b c b c ∞→∞→=(3) ,0lim ,0≠≠∞→n n n b b 若也收敛，且则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a .lim lim lim n n n n nnn b a b a ∞→∞→∞→=也都是收敛数列, 且有}{,}{n n n n b a b a ⋅-§2 收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理）极限的四则运算一些例子,n N >当时||,||,n n a a b b εε-<-<有所以()±-±||n n a b a b ε由的任意性, 得到().lim lim lim n n n n n n n b a b a b a ∞→∞→∞→±=±=±证明 (1) lim ,lim ,n n n n a a b b →∞→∞==设0,,N ε∀>存在2≤-+-<||||,n n a a b b ε≤-+-||||||||n n n b a a a b b ε由的任意性, 证得.lim lim lim n n n n n n n b a b a b a ∞→∞→∞→==||||ab ab ab b a ab b a n n n n n n -+-=-于是 证明 (2) ,}{收敛因n b ,}{有界故n b .||M b n ≤设对于任意 0,,n N ε>>当时有||,1n a a M ε-<+||||1n b b a ε-<+，2<,ε证明 (3) ,1nn n n b a b a ⋅=因为由(2), .lim 11lim n n nn b b ∞→∞→=,0≠b 由于据保号性, ,,11时当N n N >∃||||.2n b b >又因为 22lim ,,,n n b b N n N →∞=∃>当时,22εbb b n <-只要证明时，当取N n N N N >=},,max{2111n n n b b b b b b--=即 11lim.n nb b →∞=lim lim .lim nn n n n n n a a b b →∞→∞→∞=所以,22εbb b n <-22n b b b≤-12.||||n b b <ε≤，一些例子例3 用四则运算法则计算11101110lim ,mm m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++,0.m k m k a b ≤≠其中(1) 当 m =k 时, 有()1lim 00,n nαα→∞=>依据分别得出:解 11101110lim m m m m k k n k k a n a n a n a b n b nb n b ---→∞-++++++++§2 收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理）极限的四则运算一些例子mm m m mm m m n nb n b n b b n a n a n a a 11111lim01110111++++++++=----∞→ .mm b a =(2) 当 m < k 时, 有110111011111lim lim 111m m m mk m nn k k k k a a a a n n n n b b b b n n n ---→∞→∞--++++=⋅++++.00=⋅=km b a 11101110lim m m m m k k n k k a n a n a n a b n b nb n b ---→∞-++++++++=0 所以 ⎧=⎪⎨⎪<⎩,0,.m ma m kb m k ，原式=例4 0,lim ,n n n a a a →∞≥=设lim .n n a a →∞=求证证 0,n a ≥由于根据极限的保不等式性, 有.0≥a (1)0,a =时有|0|;n n a a ε-=<(2)0,a >时有||||||.n n n n a a a a a a a a a aε---=≤≤+lim .n n a a →∞=故得证对于任意 0,,,||.n N n N a a εε>∃>-<当时于 是可得例5 0,lim 0,lim 1.nn n n n n a a a a →∞→∞≥=>=求证设证 lim 0,n n a a →∞=>因为根据极限的保号性, N, 当 n>N 时, 有 3,22n a aa <<即3.22nnnn a aa <<所以由极限的迫 lim 1.nn n a →∞=敛性, 证得 存在又因为 3limlim 1,22nnn n a a →∞→∞==例6 lim (1).1nn n aa a→∞≠-+求极限解 (1)||1,a <lim 0,nn a →∞=因为所以由极限四则运算法则, (2)1,a =11lim lim .221nn n n a a →∞→∞==+(3)||1,a >lim(1)0,nn a →∞=因故得lim 1nn n a a →∞+lim lim 0.11lim nnn n n n n aa a a→∞→∞→∞==++得 1lim 11n n a →∞=+1 1.1lim(1)n n a →∞==+定义1+{},{}N ,n k a n 设为数列为的无限子集且12,k n n n <<<<则数列12,,,,k n n n a a a {},{}.k n n a a 称为的子列简记为注 ,{}{}{},k n n n a a a 由定义的子列的各项均选自{}n a 且保持这些项在中的先后次序.{},.n k k k a n n k 项是中的第项故总有≥{}k n a 中的第例7 12,,,m a a a 设为 m 个正数, 证明 1212lim max {,,,}.n n nn m m n a a a a a a →∞+++=12,n n n n n m a a a a m a ≤+++≤证 12max {,,,}.m a a a a =设由 lim lim ,nn n m a a a →∞→∞==以及极限的迫敛性, 1212lim max {,,,}.n n n n m m n a a a a a a a →∞+++==与 得定理2.8{}{}n n a a 数列收敛的充要条件是的任意子列{}.k n a 都收敛lim .0,,n n a a N n N ,ε（必设则当时要性）→∞=∀>∃><n a a ε.-,,k k N n k N 故时>≥>lim .k n k a a →∞=注2.8由定理可知,若一个数列的两个子列收敛于不同的值,则此数列必发散.{}n a 因为也是本身的一个证（子充分性）列，所以充分性显然成立.{}{}.kn n a a 设是的任意一个子列,k n k 因≥这就证明了.k n a a ε也有-<例8 lim n n a a 证明的充要条件是→∞=.lim lim 212a a a n n n n ==∞→-∞→证 (必要性) lim n n a a 设，→∞=.||ε<-a a n 所以因为,12,2N n N n ≥->，ε<-||1-2a a n .||2ε<-a a n 212lim l ()im ,k k k k a a a 设充分性+→∞→∞==0,,,N n N ε则时∀>∃>k N >当时，12k -|a a |ε-<，2k |a a |.ε-< 2,N K n N =>令当时,||,n a a ε-<有lim .n n a a →∞=所以0,,N ε则∀>∃例9 1(1)(1).{}.nn n a a n --若=证明数列发散解 显然21lim lim(1) 1.2k k k a k →∞→∞=-=因此, {}.n a 数列发散211lim lim (1)1;21k k k a k -→∞→∞=--=--复习思考题1.极限的保号性与保不等式性有什么不同？2.仿效例题5的证法,证明： {}n a 若为正有界数列，则12lim sup {}.n n n n n n n a a a a →∞+++=。
数学分析讲义 - CH02(数列极限)
第二章 数列极限 §1 数列极限概念一、数列极限的定义()函数:,f N n f +→R n 称为数列。
()f n 通常记作12,,,,n a a a或简单地记作，其中称为该数列的通项。
}{n a n a 例如：11{}:1,,,,2n a n ，通项1n a n=。
如何描述一个数列“随着的无限增大，无限地接近某一常数”。
下面给出数列极限的精确定义。
n n a 定义1 设为数列，a 为定数．若对任给的正数}{n a ε，总存在正整数，使得当时，有N n N >n a a ε-<则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作}{n a a a }{n a a a n n =∞→lim ，或)(∞→→n a a n读作“当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于或趋于”． a n a a 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列． }{n a }{n a }{n a 【注】该定义通常称为数列极限的“N ε-定义”。
例1 设（常数），证明n a c =lim n n a c →∞=.证 对0ε∀>，因为0n a c c c ε-=-=<恒成立，因此，只要取，当n 时，便有1N =N >n a c ε-<这就证得li .m n c c →∞=例2 1lim0n n→∞=(0)α>. 证 对0ε∀>，要110n nε-=< 只要1n ε>只要取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >110n nε-=< 这就证得1lim0n n→∞=。
例3 lim 11n nn →∞=+.证 因为11111n n n n-=<++ 对0ε∀>，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >11111n n n nε-=<<++ 这就证得lim 11n nn →∞=+。
关于数列极限的“N ε-定义”，作以下几点说明： 【1】定义中不一定取正整数，可换成某个正实数。
数学分析华东师大版
也是
例1 证明集合
E
y
y 1, x
x ( 0 ,1)
是无界数集.
证明：对任意 M 0 , 存在
x 1 (0,1) , y 1 E, y M 1 M
M 1
x
由无界集定义，E 为无界集。
2❖确定界义: E R, 数M若满足
❖ 1）M是E的上界
2）M是 任一上界，必有 M M 则称M是
一、区间与邻域
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM,
A {a1 , a2 , , an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集
❖ 闭区间 a, b 、开区间 (a,b) 为有限
数）、邻域等都是有界数集，
❖ 集合 E y y sin x, x ( , )
也是有界数集.
❖ ( , ) , ( , 0 ) , ( 0 , ) , 等都是无
❖
界数集,
集合 E
y
无界数集.
y 1, x
x(
0
,
1
)பைடு நூலகம்
xE
❖ 命题2 m= inf E 的 充要条件
1）m是E的下 界，
2） 0, x E 使得 x＜/ m .
❖
例2
⑴
S
1
(1 ) n n
,
则
❖ supS ______, inf S _______.
❖ ⑵ E y y sin x, x (0,).
【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练
【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册是数学系研究生必修课程之一，也是大学本科高等数学课程的进阶版，内容极为丰富，涉及微积分、级数、常微分方程等多个方面，是一门集分析和代数为一体的课程。
下面，我将对该课程进行精讲精练，以帮助学生更好地掌握和理解课程内容。
一、微积分微积分是数学分析的重要组成部分，是研究微小变化的一种数学方法。
在微积分中，常见的概念包括导数、积分、极限等。
1.导数导数是函数在某一点的变化率，表示为$f'(x)$。
导数的计算可以通过极限的方法得到，有如下公式：$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ 2.积分积分是函数与坐标轴所围成的面积，表示为$\int_a^bf(x)dx$。
积分的计算可以通过求解定积分的方法得到，有如下公式：$$\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x$$其中，$\Delta x=\frac{b-a}{n}$，$x_i=a+i\Delta x$。
3.微积分的应用微积分在自然科学、社会科学和工程技术等领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，可以通过微积分计算对象的运动、速度、加速度等，从而研究物体的物理性质；在经济学中，可以通过微积分分析经济学模型中的生产函数、消费函数等，从而研究经济模型的特性。
二、级数级数也是数学分析中的重要组成部分，是相加无限项的数列。
在级数中，常见的概念包括收敛、发散、绝对收敛、条件收敛等。
1.收敛和发散级数是收敛的，当且仅当它的部分和有界，表示为$\sum_{n=1}^\infty a_n$，其中$a_n$是级数的第$n$项。
级数是发散的，当且仅当它的部分和无界。
2.绝对收敛和条件收敛级数是绝对收敛的，当且仅当它的绝对值数列是收敛的，表示为$\sum_{n=1}^\infty|a_n|$。
数学分析(华东师范版)PPT
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 已证明过以下几个极限：
x x0
lim C = C ,
x x0
lim x = x0 ,
x x0
lim sin x = sin x0 ,
1 lim = 0, x x
x
lim arctan x =
2
x x0
lim cos x = cos x0 ;
$d 2 > 0,当0 < x - x0 < d 2时有 f ( x) - B < e ,
A - B = ( f ( x) - A) - ( f ( x) - B) f ( x) - A + f ( x) - B < 2e .
(2)
取d = min(d1 , d 2 ), 则当0 < x - x0 < d时(1), (2)同时成立，故有
0
0
1） 2）
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B
；
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B ：
f ( x) A lim = x x0 g ( x ) B
3） B 0,
定理3.7之3）的证明 1 = 只要证 xlim x
0
lim g ( x ) = B ， $ d 1 > 0 使得当 0 < x - x0 < d 1 x x
.
（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用.
.
.
利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些 “简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。
例１ 例２ ( 利用极限
.
数学分析第五版上册华师大
数学分析第五版上册华师大1. 引言数学分析是理工科学生必修的一门数学课程，它主要讲述了数列与函数的极限、连续性、导数和积分等概念及其性质。
数学分析第五版上册是华师大出版社出版的一本教材，本文将对该教材的内容进行简要介绍。
2. 数学分析第五版上册的组织结构数学分析第五版上册按照章节的顺序给出了数学分析的基本概念和定理。
总共包括以下章节：•第一章：实数与实数集•第二章：数列的极限•第三章：数列的上极限和下极限•第四章：函数的极限与连续性•第五章：函数的导数•第六章：函数的微分学应用•第七章：复数•第八章：实函数的积分•第九章：多重积分•第十章：曲线积分与曲面积分每个章节中都包含了大量的例题和习题，帮助学生理解和应用所学知识。
3. 数学分析第五版上册的特点数学分析第五版上册的特点如下：3.1 知识结构清晰教材将数学分析的各个主题按照逻辑顺序进行组织，每个概念都有明确的定义和性质。
这有助于学生理解和掌握知识的整体结构，并能够更好地进行知识的迁移和应用。
3.2 注意实际应用教材中的习题和例题注重实际应用，通过解决实际问题来帮助学生将抽象的数学概念与实际问题相联系。
这样的设计有助于培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
3.3 突出基本概念和定理教材中重点强调了数学分析的基本概念和定理。
这些基本概念和定理是学习数学分析的基础，对于后续的学习有着重要的影响。
通过深入理解和掌握这些基本概念和定理，学生可以更好地应用数学分析解决实际问题。
4. 学习数学分析第五版上册的建议学习数学分析第五版上册时，建议学生采用以下方法：4.1 预习教材在课前预习教材，了解本章节的主要内容和重点。
可以先浏览一遍教材，并留意教材中的例题和定理。
4.2 勤做习题习题是检验和巩固所学知识的重要途径。
建议学生在学完每个章节后，多做一些习题，并及时与答案进行对照，找出自己的不足和问题。
4.3 多与他人讨论可以与同学或老师进行讨论，相互交流和学习。
§2 数集 · 确界原理 数学分析(华师大 四版)课件 高教社ppt 华东师大教材配套课件
一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界*点击以上标题可直接前往对应内容记号与术语(;){|||}:U a x x a a δδδ=-<点的邻域；(;){|0||}:U a x x a a δδδ=<-<点的空心邻域；(;){|0}:U a x x a a δδδ+=≤-<点的右邻域；(;){|0}:U a x a x a δδδ-=≤-<点的左邻域；(;){|||}:U M x x M M ∞=>∞的邻域；(;){|}:U M x x M M +∞=>+∞的邻域；(;){|}:U M x x M M -∞=<-∞的邻域；.；max :S S 数集的最大值min :S S 数集的最小值后退前进目录退出定义1有界集R,.S S 设⊂≠∅(1)R,,,M x S x M M 若使得则称为∃∈∀∈≤,.S S 的一个上界称为有上界的数集(2)R,,,L x S x L L 若使得则称为∃∈∀∈≥,.S S 的一个下界称为有下界的数集.S 则称为有界集(3),S 若既有上界又有下界:0,,||.M x S x M ∃>∀∈≤其充要条件为使有(1),,S S '若不是有上界的数集则称无上界00R,,.M x S x M ∀∈∃∈>使得(2),,S S '若不是有下界的数集则称无下界00R,,.L x S x L ∀∈∃∈<使得(3),,S S '若不是有界的数集则称无界集000,,||.M x S x M ∀>∃∈>使得即即即[]102[]1,M x M M +=>+>取证取L = 1,{2|N },.nS n +=∈证明数集无上界有下界例1例22+31N .2n S n n ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭证明数集有界证2+31N ,2n n n -∀∈.S 因此有界,,2L x S x n ≥∈=∀则故S 有下界.因此S 无上界.,1,<∈∀M R M 若;210M x >=取，若1≥M 233122n n n ≤+111,22≤+=定义2确界:R . R,满足若设∈≠⊂η∅S S .sup ,S S =ηη记为的上确界是则称;,)i (η≤∈∀x S x ,,(ii)0S x ∈∃<∀ηα0,x α>使得若数集S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其中最小的一个具有重要的作用. 确界. 确界.最小的上界称为上同样，若S 有下界，则最大的下界称为下定义3R,.R :S S ξ设若满足⊂≠∅∈(i),;x S x ξ∀∈≥00(ii),,;x S x βξβ∀>∃∈<.inf ,S S =ξξ记为的下确界是则称00,.x S x εξε∀>∃∈<+0,(ii)下确界定义中的亦可换成注2注1由定义,下确界是最大的下界.注4(ii)显然,条件亦可换成:00,.x S x εηε∀>∃∈>-0,注3 条件(i) 说明是的一个上界, S η比小的数都不是的上界,从而是最小的上界S ηη界,条件(ii )说明即上确界是最小的上界.证先证sup S =1.;111,i)(≤-=∈∀n x S x .,211000αα>∈-=≤x S x ，则取若(ii) 1.α<设例3 11,1,2,,S x x n n ⎧⎫==-=⎨⎬⎩⎭设证明.0inf 1sup ==S S ，.1sup =S 因此，00,10,,,n αεα若令由阿基米德性>=->∃01.n ε使得<00011,1.x S x n εα取则=-∈>-=.0inf =S 因此.0inf =S 再证00(ii)0,0,.x S x αα∀>∃=∈<;011,)i (≥-=∈∀nx S x 以下确界原理作为公理,不予证明.虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的存在性, 不一定有最小值, 例如(0, ∞) 无最小值.这是由于上界集是无限集, 而无限数集确界存在性定理定理1.1（确界原理）设若有上界则必有上确界⊂≠∅S S S SR,.,;若有下界则必有下确界,.S S.,,y x B y A x ≤∈∀∈∀有:.,满足为非空数集设B A 例4.inf sup B A ≤且证明：数集A 有上确界，数集B 有下确界，由定义, 上确界sup A 是最小的上界, 因此, 任意证由假设, B 中任一数y 都是A 的上界, A 中的任界, B 有下确界.y ∈B ; sup A ≤y . 而inf B 是最大的下界, 因此sup A ≤inf B.一数x 都是B 的下界. 因此由确界原理, A 有上确这样, sup A 又是B 的一个下界,例5,R 中非空有上界的数集是设S (i)R,{|},a S a x a x S ∈+=+∈若定义则sup {}sup ;S a S a +=+=∈(ii)>0,{|},b bS bx x S 若定义则sup {}sup .bS b S =⋅证,)i (a S a x +∈+∀,S x ∈其中必有,sup S x ≤于是.sup a S a x +≤+,,00S x ∈∃>∀ε对于使,sup 0ε->S x 从而,0a S a x +∈+且,)(sup 0ε-+>+a S a x 因此.sup )sup(a S a S +=+,)ii (bS bx ∈∀其中,S x ∈必有,sup S x ≤于是.sup S b bx ≤0,0,b εεε'∀>=>令则存在,0S x ∈使0sup ,x S ε'>-因此0sup sup .bx b S b b S εε'>-=-这就证明了.sup }sup{S b bS =非正常确界;R,)i (.1+∞<<∞-∈∀a a 规定supN ,inf{2|N }.nn +=+∞-∈=-∞2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界..sup ,)ii (+∞=S S 记无上界若.inf ,-∞=S S 记无下界若例2 设数集1R ,.A B x A x +⎧⎫⊂=∈⎨⎬⎩⎭求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=例1,M ε1令=001,,.x B x M εε=∃∈<令于是0001,.y A y M x 且=∈>证设sup .A 若=+∞,0.x B x ∀∈>显然0,ε∀>于是0001,.y B y x ε=∈<且因此inf 0.B =sup .A 因此=+∞反之,若inf 0,B =则0,M ∀>求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=sup ,A =+∞则由于00,.x A x M ∃∈>复习思考题2. 1212,,S S S S ⊂和都是数集且21sup sup S S 和比较.inf inf 21的大小和及S S .sup S a =其中形式一定为,),[∞+a 1. 数集S 有上界，则S 的所有上界组成的集合是否3. 在上确界的定义中，00(ii),,x S x αηα使∀<∃∈>能否改为00(ii ),,?x S x αηα'∀<∃∈≥使或改为00(ii ),,?x S x αηα使''∀≤∃∈≥。
9-5——华东师范大学数学分析课件PPT
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泰勒公式的 积分型余项
变限积分与原函数的存在性
设 f 在[a,b]上可积，则x [a,b], f 在[a, x]上可积.
称 ( x)
x
f (t)dt,
x [a,b] 为变上限的定积分;
a
类似称 ( x) b f (t)dt 为变下限的定积分. x
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似
乎不相干的概念之间的内在,
也证明了“连
续函数必存在原函数”这个重要结论.
注2 由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数,
所以当 f 为连续函数时, 它的任一原函数 F 必为
x
F ( x) a f (t) dt C.
§5 微积分学基本理论
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
证 这里只证 (i), 类似可证 (ii). 证明分以下五步:
(1) 对任意分割 T：a x0 x1 xn b,
b
n
I f ( x)g( x)dx
xi f ( x)g( x)dx
a
n
i1
用 x a 代入,得F (a) C；再用x b代入，则得
b
a f (t) dt F (b) F (a).
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§5 微积分学基本理论
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
例1. 求下列积分上限和积分下限函数的导数：
1) b t 2 ln t d t; x
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第4章 函数的连续性
一、函数在一点的连续性 二、间断点的分类 三、区间上的连续函数
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一、函数在一点的连续性
定义1 设函数 f ( x)在点 x0 的某邻域内有定义 , 且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
(1)
则称 f ( x)在点 x0 连续.
由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续
对任意的e 0, 存在 0,当 x x0 , 时 f ( x) f ( x0 ) e ,
则称 f ( x) 在点 x0 连续. 为了更好地刻划函数在点x0的连续性, 下面引出 连续性的另外一种表达形式. 设 x x x0,
y y y0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ).
又如：函数
x,
f
(
x
)
a,
x0 (a 0)
x0
在 x 0 处不连续, 这是因为 lim f ( x) 0 f (0). x0 y
a
O
x
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函数 f ( x) sgn x 在点 x 0 处不连续, 这是因为
极限 limsgn x 不存在. x0
由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数e ,
x0
1
所以 x 0 是 f ( x) 的
一个可去间断点 .
O
x
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注 1. 对于任意函数 g( x) ,若它在 x x0 处连续 ， 那么函数
g( x),
F(x)
一个可去间断点.
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2. 跳跃间断点：若
lim f ( x) A,
x x0
lim f ( x) B
数学分析课件华东师大版
数学分析课件华东师大版
汇报人：
目录
• 引言 • 数学分析基础 • 导数与微分 • 积分学 • 无穷级数 • 多元函数微积分
01
引言
课程简介
01
数学分析是数学专业的一门基础 课程，主要研究实数、函数、极 限、连续性、可微性和积分等概 念及其性质。
02
通过学习数学分析，学生可以掌 握数学的基本原理和方法，培养 逻辑思维能力、抽象思维能力和 解决问题的能力。
总结词
理解无穷级数的定义和性质是掌握无穷级数的基础。
详细描述
无穷级数是数学分析中的一个重要概念，它是由无穷多个数按照一定的规则排列组成的数列。无穷级数具有一些 重要的性质，如线性性质、可加性、可乘性和收敛性等。这些性质在无穷级数的运算和证明中有着广泛的应用。
无穷级数的收敛性判别法
总结词
掌握无穷级数的收敛性判别法是判断无穷级数收敛性的关键。
定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
分部积分法
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的常 用方法，它通过求不定积分的原函数 （即不定积分），然后利用原函数计 算定积分。
分部积分法是另一种计算定积分的方 法，通过将两个函数的乘积进行求导 ，将定积分转化为容易计算的积分。
换元法
换元法是一种常用的计算定积分的方 法，通过改变定积分的积分变量或积 分区间，将复杂的积分转化为容易计 算的积分。
极限的性质
极限具有唯一性、局部有界 性、局部保序性、迫近性等 性质。
连续函数的性质
连续函数具有局部有界性、 局部保序性、迫近性等性质 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
如果一个函数在某个点的某个 自变量的偏导数存在，则称该 函数在该点关于该自变量可偏
数学分析(华东师范版)PPT
这种间断点称为 震荡间断点。
y
1
y sin
1 x
●
x
●
x x
●●
1
●：Hi, 小蓝点，你停不住， 我也停不住啊。还想连上， 你可真逗！
●：Hi, 小红点，你能不能停 住？我怎么也停不住，那可 怎么连上啊？
1 例8 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性 . x 解 在x 0处没有定义,
第四章 函数的连续性
4.1 连续性概念
4.2 连续函数的性质
4.3 初等函数的连续性
4.1连续性概念
一、函数在一点的连续性 1.函数的增量
设函数 f ( x )在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点.
第一类间断点
•可去间断点 •跳跃间断点
第二类间断点
•无穷间断点 •震荡间断点
第一类间断点
可去间断点 无定义、值太高、值太低 跳跃间断点
第二类间断点
无穷间断点 震荡间断点
情形1.1 ：f ( x)在x0处无定义 .
y sin( x x ) sin x 2 sin
x cos( x ) 1, 2
对任意的, 当 0时,
x 当x 0时, y 0. 故 y 2 sin x , 2 即 函数 y sin x对任意 x ( ,)都是连续的.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
数学分析华东师大版上第一章ppt课件
是奇函数
y1 =
1 (ex -e- x ) 的反 2
函数,从而由奇函数的图象性质可知它也是奇函
数.
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四、周期函数
定义4 设 f 为 D 上定义的函数. 若 0, 使 x D 必有x D,且 f ( x ) f ( x), 则称 f 为周期函数, 为 f 的一个周期.
一、有界函数
定义1 设 f 定义在D上. 若M R, x D, f ( x) M ,则称 f 在 D上有上界；
若L R,x D, f ( x) L, 则称 f 在D上有下界； 若M R,x D, f ( x) M , 则称 f 在 D上有界. 易证 f 在D上有界 f 在D上既有上界又有下界. 若M R, x0D, f ( x0) M, 则称 f 在 D 上无上 界；
x2n1 1
0
x2n1 2
或
x2n1 1
0
x22n1，
这证明了 y2n1 在 R 上严格增.
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例5 易证函数 y [ x]在 R上是增函数, 但非严格 增.
y
3 2 1
2 1 O 1 2 3 4 x
1 2
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定理1.2 设 y f ( x), x D为严格增函数,则 f 必 有反函数 f 1,且 f 1在其定义域 f (D)上也是严格 增函数. 类似地, 严格减函数 f 必有反函数 f 1, 且 f 1在其 定义域上也是严格减函数. 证 设 f 在 D 上严格增, 则 y f (D)只有一个 x D, 使 f (x) y. 事实上,若 x1 x2, 使 f ( x1) y f ( x2 ), 则与 f
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若L R,x0D, f ( x0) L, 则称 f 在D上无下界； 若MR, x0D, f ( x0) M , 则称 f 在 D上无界.
21-4——华东师范大学数学分析课件PPT
一阶连续偏导数且它们的函数行列式
则有
J(u, v) (x , y) 0, (u, v) , (u, v)
f ( x, y)dxdy f ( x(u,v), y(u,v)) | J (u,v) |dudv .
D
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给
出下面的引理.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
广义极坐标变换
引理 设变换T : x x(u, v), y y(u, v) 将 uv 平面
上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域 , 一对一地
映成 平面上的闭区域 D. 函数 x(u, v), y(u, v)在 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
J(u, v) (x , y) 0, (u, v) , (u, v)
则区域 D 的面积
(D) | J (u, v) |dudv .
(5)
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
数学分析 第二十一章 重积分
二重积分是定积分在 平面上的推广,不同之处在 于: 定积分定义在区间上,区 间的 长度容易计算,而二重 积分定义在平面区域上, 其 面积的计算要复杂得多.
§4 二重积分的变量 变换
一、二重积分的变量变换 公式
二、二重积分的极坐标变换
三、二重积分的广义极坐标 变换
*点击以上标题可直接前往对应内容
广义极坐标变换
证 用曲线网把 分成 n 个小区域 i , 在变换 T 作用
下, 区域 D 也相应地被分成 n 个小区域 Di . 记 i及
华东师范大学数学分析第四版
,
n
?
1,
2,
L
,
2.
lim
n??
? ??
1 n
?
0
? ??
?
0.
但是定理1中的? 是不存在的 , 这是因为
I?
n?
1
???0,
1 n
? ??
?
?
.
例1.用区间套定理证明 连续函数根的存在性定理
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二、聚点定理与有限覆盖定理
定义2 设 S 为数轴上的非空点集 , ? 为直线上的
一个定点 (当然可以属于 S, 也可以不属于 S). 若对
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在上图的等价性关系中 , 仅 4 和 6 尚未证明 .这里 给出 4 的证明, 6 请大家自己阅读教材 . 例3 用有限覆盖定理证明聚点定理 . 证 设 S 是无限有界点集 , 则存在 M > 0, 使得
S ? [? M , M ]. 若 S 的聚点集合 S?? ? , 那么, 任给 x ? [? M , M ], x
(i) [an , bn ] ? [a n?1 , bn?1 ], n ? 1, 2, L ;
(ii)
bn
? an
?
M 2n?1
?
0;
(iii) 每个闭区间 [an, bn] 均含S 的无限多个点 .
由区间套定理 , 存在惟一的 ? ? [an , bn ], n ? 1, 2, ? .
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这就是说 ,[ a N , bN] 被 H 中的一个开区间所覆盖 , 矛盾 .
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注 定理7.3中的闭区间不可以改为开区间 .
比如开区间集
H
?
华东师大版八年级上册数学课件华东师大版八年级数学上册：12.5.2因式分解运用平方差公式课件
巩固练习：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（）D
A. 4X²+y²B.4x-(-y)²C.-4X²-y³D.-X²+y² 2) -4a²+1分解因式的结果应是（） D
A. -(4a+1)(4a-1)B.-(2a–1)(2a–1)
C. -(2a+1)(2a+1)D.-(2a+1)(2a-1) 2.把下列各式分解因式： 1）18-2b²2)x4–1
4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简， 直到不能再分解为止。
灿若寒星
课后作业
因式分解
灿若寒星
1)m²-162)4x²-9y² m²-16=m²-4²=(m+4)(m-4) a²-b²=(a+b)(a-b)
4x²-9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y)
灿若寒星
例1.把下列各式分解因式
（1）16a²-1 (2)4x²-m²n²
解：1）16a²-1=(4a)²-1 =(4a+1)(4a-1)
1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)
灿若寒星
小结：1.具有两式（或）两数平方差形式的多项式 可运用平方差公式分解因式。
2.公式a²-b²=(a+b)(a-b)中的字母a,b可以是数， 也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。
3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再 进一步分解因式。
或多项式，要注意“整体”“换元”思想的运用。
3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要 进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分 解为止。
华师大版七年级数学上册教学课件-5-2-2 平行线的判定
C A
2
1
3
C
E D
2.如图，已知∠1=30°，∠2或∠3满足条件________________∠__2_＝，150°或∠3＝30°
则a//b. c
a 3 2
1 b
3.如图.（1）从∠1=∠4，可以推出 ∥ ， AB CD 理由是 内错角相等，两直线平行 . (2)从∠ABC +∠ =B1C80D°，可以推出AB∥CD ， 理由是 同旁内角互补,两直线平行.
符号语言
∠∵1=∠2 (已知)
∴a∥b
∠∵3=∠2 (已知)
∴a∥b
∵ ∠2+∠4=1(8已0°知)
∴a∥b
图形
c
1
a
34 2
b
1
2 b
思考:在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行吗？为什么？
垂直于同一条直线的两条直线平行. 理由：如图， ∵ b⊥a,c⊥a(已知) ∴∠1=∠2=90°(垂直定义) ∴b∥c(同位角相等，两直线平行)
你还能利用其他方法说明b//c吗？
b
c
a
1
2
当堂练习
1.如图,可以确定AB∥CE的条件是( ) A.∠2=∠B B. ∠1=∠A C. ∠3=∠B
在同一平面内，不相交的两条直线平行.
问题3 上节课你学了平行线的哪些内容？ 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
思考 根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条 直线平行.但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接 根据两条直线是否平行，那么有没有其他判定方法呢？
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个在点 u0 连续的函数 F ( u), 使 f ′( u0 ) = F ( u0 ) 且
f ( u) − f ( u0 ) = F ( u)( u − u0 ), x ∈ U ( u0 ).
f ′( x0 ) = u′( x0 ) g ( x0 ) + u( x0 ) g′( x0 ) ,
即
u( x ) ′ v( x )
=
x= x0
u′( x0 )v ( x0 ) − u( x0 )v′( x0 ) v ( x0 )
17:53
2
.
求下列函数的导数： 例3 求下列函数的导数：
由假设, f = ϕ −1 在点 x0 的某邻域内连续,且严格 假设, 的某邻域内连续, 单调, 单调, 从而有
Δ x = 0 ⇔ Δ y = 0 ; Δ x → 0 ⇔ Δ y → 0.
注意到 ϕ ′( y 0 ) ≠ 0 , 便可证得
1 1 Δy f ′ ( x 0 ) = lim . = = Δx ∆ x → 0Δ x ϕ ′( y0 ) lim ∆ y → 0Δ y
f ( x ) − f ( x0 ) , x ∈ U o ( x0 ) , x − x0 H ( x) = f ′( x ), x = x0 . 0
f ( x ) − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) = H ( x0 ), 因 lim H ( x ) = lim x → x0 x → x0 x − x0
=
cos 2 x + sin 2 x cos 2 x
=
1 cos 2 x
= sec 2 x .
17:53
同理可得
1 ( cot x )′ = − = − csc2 x . sin 2 x ′ (cos x )′ sin x 1 (iii) ( sec x )′ = = =− 2 cos x cos x cos 2 x
= sec x tan x .
同理可得
(csc x )′ = − csc x cot x .
17:53
三角函数的导数公式
(sin x) ' = cos x
(tan x) ' = sec x
2
(cos x) ' = − sin x
(cot x) ' = − csc x
2Байду номын сангаас
(sec x) ' = sec x tan x
17:53
连续， 故 H ( x ) 在 x0 连续，且
f ( x ) − f ( x0 ) = H ( x )( x − x0 ), x ∈ U ( x0 ).
反之, 设存在 H ( x ) ( x ∈ U ( x0 )) 在点 x0 连续, 且
f ( x ) − f ( x0 ) = H ( x )( x − x0 ), x ∈ U ( x0 ) .
根据极限
f ( x ) − f ( x0 ) lim = lim H ( x ) = H ( x0 ), x → x0 x → x0 x − x0
可导, 得 f (x) 在点 x0 可导, 且 f ′( x0 ) = H ( x0 ). 下面证明定理 5.9 ( 公式 (7) ) .
17:53
由引理的必要性 及 f ( u) 在点 u0 可导, 知存在一
′
(arcsin x ) ′ =
1 1− x
2
( arctan x )
1 = 1 + x2
( arccos x )
′
=−
1 1 − x2
1 ( arccot x) =− 2 1+ x
′
17:53
三、复合函数的导数
定理 5.9 设 u = ϕ ( x ) 在点 x0 可导， = f ( u) 在点 可导， y
17:53
求下列函数的导数： 例4 求下列函数的导数：
(i) arcsin x 和 arccos x ; (ii) arctan x 和 arc cot x .
解 (i) y = arcsin x , x ∈ ( −1, 1 ) 是 x = sin y 在 上的反函数， ( −π 2， 2 ) 上的反函数，故 π
(csc x) ' = − csc x cot x
17:53
求下列函数的导数
ln x (1) y = x
1 − ln x y′ = x2
17:53
二、反函数的导数
的反函数， 定理 5.8 设 y = f ( x ) 为 x = ϕ ( y ) 的反函数，ϕ 在 的某邻域内连续，严格单调, 点 y0 的某邻域内连续，严格单调 且 ϕ ′( y0 ) ≠ 0, 可导, 则 f 在点 x0 = ϕ ( y0 ) 可导 且 ′ ( x0 ) = 1 . f ϕ ′( y0 )
( i ) x − n , n 是正整数 ;
(iii) sec x , csc x .
(ii) tan x , cot x ;
nx n−1 1 ′ = − n x − n −1 . 解 ( i ) ( x − n )′ = n = − x 2n x
sin x ′ (sin x )′ cos x − sin x (cos x )′ (ii) (tan x )′ = = cos x cos 2 x
17:53
g ( x0 +Δx ) − g ( x0 ) v ′ ( x0 ) g′( x0 ) = lim , =− 2 ∆ x →0 Δx v ( x0 )
亦即 1 ′ v( x ) v ′( x0 ) . =− 2 v ( x0 ) x= x
0
(5)
对 f ( x ) = u( x ) g ( x ) 应用公式 (2) 和 (5), 得
u0 = ϕ ( x0 ) 可 导 ， 则 复 合 函 数 f o ϕ 在点 x0 可
导，且 ( f o ϕ )′ ( x0 ) = f ′( u0 )ϕ ′( x0 ) = f ′ (ϕ ( x0 ) ) ϕ ′( x0 ) . (7) 这个定理一般用有限增量公式来证明， 这个定理一般用有限增量公式来证明，但为了与 今后学习向量函数相联系，这里采用另一种新的 今后学习向量函数相联系， 证法, 为此需要先证明一个引理. 证法 为此需要先证明一个引理
1 1 − v ( x0 + ∆ x ) v ( x0 ) g ( x0 + ∆ x ) − g ( x0 ) = ∆x ∆x
v ( x0 + ∆ x ) − v ( x0 ) 1 . =− ⋅ ∆x v ( x0 + ∆ x ) ⋅ v ( x0 )
可导, 由于 v ( x ) 在点 x0 可导, v ( x0 ) ≠ 0 , 因此
§2 求导法则
导数很有用，但全凭定义来计算导 数是不方便的. 为此要建立一些有效的 求导法则, 使导数运算变得较为简便. 一、导数的四则运算 二、反函数的导数 三、复合函数的导数
17:53
一、导数的四则运算
可导, 定理 5.5 若函数 u( x ), v ( x ) 在点 x0 可导, 则函数
f ( x ) = u( x ) ± v ( x ) 在点 x0 也可导, 且 也可导,
x= x0 =
u′( x0 )v ( x0 ) + u( x0 )v′( x0 ).
(2)
可导, 是常数， 推论 若 u (x) 在点 x0 可导,c 是常数，则
17:53
( c u ( x ) )′
x = x0
= c u ′ ( x 0 ).
(3)
可推广到任意有限个函数相乘的情形, 定理 5.6 可推广到任意有限个函数相乘的情形, 如
或
(6)
d y d x
=
1 d x d y
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
17:53
证 设 Δx = x − x0 , Δy = y − y0 , 则
Δx = ϕ ( y0＋ y ) − ϕ ( y0 ), Δy = f ( x0+Δx ) − f ( x0 ) . Δ
1 1 (arcsin x )′ = = = (sin y )′ cos y
1 1 − x2
, x ∈ ( −1, 1).
同理,
(arccos x )′ = −
1 1 − x2
17:53
, x ∈ ( −1, 1) .
π (ii) y = arctan x 是 x = tan y 在 ( −π 2， 2 ) 上
u( x ) ′ v( x ) u′( x0 )v ( x0 ) − u( x0 )v′( x0 ) . = 2 v ( x0 ) x= x
0
(4)
u u ′v − uv′ ( )′ = （v ≠ 0） 2 v v
17:53
证 设 g( x ) =
1 ，则 f ( x ) = u( x )g ( x ). 对 g( x ), 有 v( x )
( u( x ) ± v ( x ) )′
x = x 0=
u′( x0 ) ± v′( x0 ).
(1)
定理 5.6 若函数 u( x ), v ( x ) 在点 x0 可导, 则函数 可导,
f ( x ) = u( x )v ( x ) 在点 x0 也可导, 且 也可导,
( u( x )v ( x ) )′
17:53
可导的充要条件是: 引理 f 在点 x0 可导的充要条件是: 在 x0 的某邻
域 U ( x0 ) 上存在一个在 x0 连续的函数 H ( x ), 使
f ( x ) − f ( x0 ) = H ( x )( x − x0 ), 且 f ′( x0 ) = H ( x0 ).