2.3等差数列的前n项的和(第3课时)上课2012.5.14

(2) 利利Sn: d d Sn= n2+(a1- )n,利利二二二求配项项求求最最求的n最. 利 最 2 2
等差数列前项和的最值问题： 等差数列前项和的最值问题：
例 2．在等差数列中， a1 = −60 ， a17 = −12 ， ．在等差数列中， （1）该数列第几项开始为正？ ）该数列第几项开始为正 （2）前多少项和最小，并求其最小值？ ）前多少项和最小 并求其最小 （3）求 {an } 前 n 项和 Sn？ ） ？ （4）求 { an } 前 n 项和 Tn？ ） ？
第三课时
复习回顾： 复习回顾：
a • １． n
•
= a1 + (n −1)d = am + (n − m)d
an − a1 an − am d = ２． = n −1 n−m
•
n(a1 + an ) n(n −1) S = na1 + d ３． n = 2 2
在 a1 , d , n, an , S n 中，知三可以求二．
[点评] 恰当的应用等差中项可以简化解题过程．
迁移变式2 (2009·全国卷Ⅱ)设等差数列{an}的前n项和为 S9 Sn.若a5＝5a3，则S ＝________. 5
答案：9
三、关于等差数列奇数项的和与偶数项的和的问题
1、若项数为偶数2n (n∈N+ ) ，则 、若项数为偶数 ∈
S 偶 - S奇 = nd
1、项数为偶数求和： 、项数为偶数求和：
S 2n
即项数为偶数时S等于项数的一半与最中间两项和 即项数为偶数时 等于项数的一半与最中间两项和 的乘积 2、项数为奇数求和： 项数为奇数求和： (2n + 1)(a 1 + a 2n+1 ) = 2n + 1 a n+1 S 2n+1 = 2
2n(a 1 + a 2n ) = 2
[解] 由等差数列性质： a1＋a2n－1 b1＋b2n－1 a n＝ ，bn＝ ， 2 2 a1＋a2n－1 (2n－1)(a1＋a2n－1) A2n－1 2 2 an ∴ ＝ ＝ ＝ bn b1＋b2n－1 (2n－1)(b1＋b2n－1) B2n－1 2 2 7(2n－1)＋1 14n－6 ＝ ＝ . 4(2n－1)＋27 8n＋23
项和公式的结构特点: 一.前n项和公式的结构特点 前 项和公式的结构特点 n(n −1) d 2 d • (1) Sn = na + d = n +(a1 − )n 1 2 2 2
• (2)
Sn = An + Bn
2
(A,B为常数 为常数) 为常数
二、选用中项求等差数列的前n项之和 选用中项求等差数列的前n
2、若项数为奇数2n+1（n∈N+），则 、若项an+1
且 S奇 S偶 n+1 = n
例4:
设等差数列共有2 所有奇数项之和为132 132， 1. 设等差数列共有2n + 1项，所有奇数项之和为132， 所有偶数项之和为120， 所有偶数项之和为120，则n等于 120 (B ) （A）9 （B）10 （C）11 （D）不能确定
四、等差数列中的有关最值问题
例5：在等差数列 n}中，a1=13，S3=S11， ：在等差数列{a 中 ， 的最大值。 求Sn的最大值。
求求求 求求求n项项的 最最项项有项 项项项项项 º 项
（1）利利an: ） 若a1>0,d<0,Sn有最最最，可可an≥0,且an+1≤0,求求n的最. 且 求 的 若a1<0,d>0,Sn有最有最，可可an≤0,且an+1≥0,求求n的最. 且 求 的
1 的公差d 145, 2. 等差数列 {a n } 的公差d = , S100 = 145, 2 的值. 60 求a 1 + a 3 + a 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + a 99的值. _____
练习： 练习：
一个等差数列的前12项之和为 一个等差数列的前 项之和为354， 项之和为 ， 项中偶数项与奇数项之比为32 前12项中偶数项与奇数项之比为 ： 项中偶数项与奇数项之比为 27，求公差。 ，
= n(a n + a n+1 )
(
)
即项数为偶数时S等于项数与最中间项的乘积 即项数为偶数时 等于项数与最中间项的乘积 说明： 说明：利用中项求和是解有关等差数列求和 问题的常用技巧之一，必须掌握 掌握. 问题的常用技巧之一，必须掌握
[例2] 若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和An和Bn满足 An 7n＋1 an * 关系式 ＝ (n∈N )，求 . Bn 4n＋27 bn