离散数学命题逻辑等值式
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离散数学 第一章 命题逻辑
3
编号
E8 E8ノ
E9 E9ノ E10 E10ノ E11
公
P∨TT P∧FF
式
零一律 零一律
吸收律 吸收律 德.摩根定律 德.摩根定律 蕴涵式
P∨（P∧Q）P P∧（P∨Q）P （P∨Q）P∧Q （P∧Q）P∨Q PQP∨Q
E12
E13 E14 E15
二、命题公式的等值关系
定义1-9
设A和B是两个命题公式, P1, P2, …, Pn 是所有出现于
A和B中的命题变元，Pi（i=1，…n）不一定同时出现。如果对于P1, P2, …, Pn 的任一组真值指派，A和B的真值都相同,则称公式A和B等值，记为A B,称 AB为等值式。
注意：
（1）符号“”与“↔”的区别与联系： “”不是联结词，AB不表示一个公式，它表示两个公式间的一种关系， 即等值关系。 “↔”是联结词，A↔B是一个公式。 AB当且仅当A↔B是永真公式。
0
1
(PQ ) 1
0 0
P
Q
1
1
1 0
P Q 1
0 0
AB
1
1 1
0 1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
由于公式AB所标记的列全为1，因此AB。
离散数学 第一章 命题逻辑
6
例3 用真值表方法证明E 解 令A=PQ，B=PQ
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P 1 1 0 0
11：PQPQ
Q 0 1 0
P 1 1 0 0
Q 1 0 1 0
PQ 1 0 1 1
PQ 1 1 0 1
AB 1 0 0 1
1
由于公式AB所标记的列不全为1，AB不是永真公式，因此 AB不成立。
离散数学 第一章 命题逻辑
8
设P、Q、R是命题变元，下表中列出了24个最基本的等值式:
编号 E1 E2 E2ノ E3 E3ノ E4 E4ノ E5 E5ノ E6 E6ノ E7 E7ノ
公
式
（P）P 双重否定律 P∨PP 等幂律 P∧P P 等幂律 P∨QQ∨P 交换律 P∧QQ∧P 交换律 (P∨Q)∨R P∨(Q∨R) 结合律 (P∧Q)∧R P∧(Q∧R) 结合律 P∧(Q∨R) (P∧Q)∨(P∧R) 分配律 P∨(Q∧R) (P∨Q)∧(P∨R) 分配律 P∨0P 同一律 P∧1P 同一律 P∨PT 互否律 P∧PF 互否律
表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值
表的最后一列既非全为1，又非全为0，则该公式
是可满足式。
离散数学 第一章 命题逻辑
5
例2
解
用真值表方法证明 E10： (PQ) PQ
令：A= (PQ)，B= PQ，构造A，B
以及A B的真值表如下：
P
Q
PQ 0 1 1
0
0 1
P↔Q (P∧Q)∨(P∧Q)
P (QR) (P∧Q) R P↔Q (PQ)∧(QP) PQQP
等值式
输出律 等值式 逆反律
离散数学
第一章 命题逻辑
4
四、等值式的判别
有两种方法：真值表方法，命题演算方法
1、真值表方法
对于任给一个公式，列出该公式的真值表，观 察真值表的最后一列是否全为1(或全为0)，若真值 表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值
离散数学 第一章 命题逻辑
1
（2） 可以验证等值关系是等价关系。
即自反性：对任意公式A，有AA。
对称性：对任意公式A，B，若AB， 则BA。
可传递性：对任意公式A、B、C，若AB， BC，则AC。
（3）当A是重言式时，AT； 当A是矛盾式时，AF。
离散数学 第一章 命题逻辑
2
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三、基本的等值式
构造A，B以及AB的真值表如下：
PQ 1 1 0 1
PQ 1 1 0 1
AB 1 1 1 1
由于公式AB所标记的列全为1，因此AB.
离散数学
第一章 命题逻辑
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例4
解
用真值表方法判断PQPQ是否成立. 令A=PQ，B=PQ
构造A，B以及AB的真值表
P 0 0 1 1
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编号
E8 E8ノ
E9 E9ノ E10 E10ノ E11
公
P∨TT P∧FF
式
零一律 零一律
吸收律 吸收律 德.摩根定律 德.摩根定律 蕴涵式
P∨（P∧Q）P P∧（P∨Q）P （P∨Q）P∧Q （P∧Q）P∨Q PQP∨Q
E12
E13 E14 E15
二、命题公式的等值关系
定义1-9
设A和B是两个命题公式, P1, P2, …, Pn 是所有出现于
A和B中的命题变元，Pi（i=1，…n）不一定同时出现。如果对于P1, P2, …, Pn 的任一组真值指派，A和B的真值都相同,则称公式A和B等值，记为A B,称 AB为等值式。
注意：
（1）符号“”与“↔”的区别与联系： “”不是联结词，AB不表示一个公式，它表示两个公式间的一种关系， 即等值关系。 “↔”是联结词，A↔B是一个公式。 AB当且仅当A↔B是永真公式。
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(PQ ) 1
0 0
P
Q
1
1
1 0
P Q 1
0 0
AB
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1 1
0 1
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0
0
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由于公式AB所标记的列全为1，因此AB。
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例3 用真值表方法证明E 解 令A=PQ，B=PQ
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P 1 1 0 0
11：PQPQ
Q 0 1 0
P 1 1 0 0
Q 1 0 1 0
PQ 1 0 1 1
PQ 1 1 0 1
AB 1 0 0 1
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由于公式AB所标记的列不全为1，AB不是永真公式，因此 AB不成立。
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设P、Q、R是命题变元，下表中列出了24个最基本的等值式:
编号 E1 E2 E2ノ E3 E3ノ E4 E4ノ E5 E5ノ E6 E6ノ E7 E7ノ
公
式
（P）P 双重否定律 P∨PP 等幂律 P∧P P 等幂律 P∨QQ∨P 交换律 P∧QQ∧P 交换律 (P∨Q)∨R P∨(Q∨R) 结合律 (P∧Q)∧R P∧(Q∧R) 结合律 P∧(Q∨R) (P∧Q)∨(P∧R) 分配律 P∨(Q∧R) (P∨Q)∧(P∨R) 分配律 P∨0P 同一律 P∧1P 同一律 P∨PT 互否律 P∧PF 互否律
表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值
表的最后一列既非全为1，又非全为0，则该公式
是可满足式。
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例2
解
用真值表方法证明 E10： (PQ) PQ
令：A= (PQ)，B= PQ，构造A，B
以及A B的真值表如下：
P
Q
PQ 0 1 1
0
0 1
P↔Q (P∧Q)∨(P∧Q)
P (QR) (P∧Q) R P↔Q (PQ)∧(QP) PQQP
等值式
输出律 等值式 逆反律
离散数学
第一章 命题逻辑
4
四、等值式的判别
有两种方法：真值表方法，命题演算方法
1、真值表方法
对于任给一个公式，列出该公式的真值表，观 察真值表的最后一列是否全为1(或全为0)，若真值 表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值
离散数学 第一章 命题逻辑
1
（2） 可以验证等值关系是等价关系。
即自反性：对任意公式A，有AA。
对称性：对任意公式A，B，若AB， 则BA。
可传递性：对任意公式A、B、C，若AB， BC，则AC。
（3）当A是重言式时，AT； 当A是矛盾式时，AF。
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三、基本的等值式
构造A，B以及AB的真值表如下：
PQ 1 1 0 1
PQ 1 1 0 1
AB 1 1 1 1
由于公式AB所标记的列全为1，因此AB.
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第一章 命题逻辑
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例4
解
用真值表方法判断PQPQ是否成立. 令A=PQ，B=PQ
构造A，B以及AB的真值表
P 0 0 1 1