7-3-2全微分
高数7-3(全微分及其应用)
全微分
xy
f
(
x,
y
)
x2 y2
x2 y2 0 .
在点(0,0)处有
0
x2 y2 0
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y ,
(x)2 (y)2
如果考虑点 P(x,y) 沿直线 y x趋近于(0,0),
x y
则
(x)2 (y)2
4
全微分
dz Ax By z Ax By o( )
注 全微分有类似一元函数微分的 两个性质:
1. dz是x与y 的线性函数; 2.z与dz之差是比 高阶无穷小.
可微与偏导数存在，连续有何关系呢？ 微分系数 A=? B=?
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.
5
全微分
由下面的定理来回答：
x0
(x)2
sin x
1 (x)2
同样, f y (0,0) 0
z Ax By o( ),
其中A、B仅与x 、y有关, 而不依赖于x、y,
(x)2 (y)2 , 则称函数 z f ( x, y)在点
( x, y)处 可微分,Ax By 称为函数 z f ( x, y) 在点( x, y)处的 全微分.记作 dz, 即
dz Ax By.
函数若在某平面区域D内处处可微时, 则称 这函数在D内的 可微函数.
令f x ( x 1x, y y) f x ( x, y) 1 其中1 0(x 0, y 0)
12
全微分
同理 f ( x, y y) f ( x, y)
f y ( x, y)y 2y, 当y 0时,2 0,
z fx ( x, y)x 1x f y ( x, y)y 2y
常微分方程的常见解法
曲线（称为积分曲线），且 fx,x就是该曲线上
的点 x,x处的切线斜率，特别在 x0, y0切线斜率 就是 f x0,y0 尽管我们不一定能求出方程 1.3.1 的 解，但我们知道它的解曲线在区域D中任意点 x, y
的切线斜率是 f x, y。 如果我们在区域D内每一点 x, y 处，都画上一个
可化为齐次方程的方程
形如
dyf(a xb yc) dx a1b1yc1
的方程可化为齐次方程.
其中 a,b,c,a1,b1,c1都是常数.
1. 当 cc10时, 此方程就是齐次方程.
2. 当 c2c120 时, 并且
ab
(1)
a1
0 b1
此时二元方程组 axbyc0 a1xb1yc0
有惟一解 x,y.
例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在
开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩
小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。
解:设t时刻雪球的体积为 V ( t ) ，表面积为 S ( t ) ，
由题得
dV(t) kS(t)
dt
12 2
球体与表面积的关系为 S(t)(4)333V3
12
引入新常数r (4)333k 再利用题中的条件得
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
二元函数的全微分
讲授
2
2
16
10-2数项级数的审敛法（二）
10-3幂级数
讲练
讲授
2
2
17
10-3幂级数的性质
10-4函数的幂级数展开（一）
讲练
讲授
2
2
18
10-4函数的幂级数展开（二）
第10章 习 题 课
讲练
讲练
2
2
19
总复习
辅导答疑
4
20
期末考试
教师签字教研室主任签字
系部主任签字
烟台职业学院
课程教学进度计划表
11
9-3二元函数的全微分
9-4二元复合函数求导法则
讲练
讲练
２
2
12
9-4二元隐函数求导法则
9-5二元函数的极值(9.5.1)
讲授
讲练
2
2
13
9-6二重积分的概念与性质
9-7二重积分的计算(利用直角坐标)
讲练
讲练
２
2
14
第9章 习 题 课
10-1数项级数的概念
讲练
讲练
2
2
15
10-1数项级数的性质
10-2数项级数的审敛法（一）
讲练
4
9
运动会“五一”节
10
9-2偏导数
9-2偏导数(续)
讲练
讲授
2
2
说明
1．本表由任课教师根据课程教学大纲的要求，在开课前填写，一式三份，经教研室主任签字、系部主任审批后，系部、教研室和任课教师各一份。
2．认真填写下列内容
周数17周课时4课时
课堂讲授课堂讨论４课时
实习课实训课
数学一复习计划
总结归纳第四、五章中的知识点, 整理并创建四、五章中的难题、错题题库
高等数学 第六章 定积分的应用
天数
学习章节
习题章节
练习题目
备注
第一天
第 6 章第 1 节
——
——
元素法
第 6 章 第 2 节
习题6—2
1(1)(4),2(1),4,5(1),9,12,15(1) (3) ,16,19,21
求平面图形的面积（直角坐标情形、极坐标情形）旋转体的体积及侧面积 平行截面面积为已知的立体的体积平面曲线的弧长
第五天
总结归纳第二章中的知识点, 整理并创建本章中的难题、错题题库
高等数学 第三章 微分中值定理与导数的应用
天数
学习章节
习题章节
练习题目
备注
第一天
第 3 章 第 1 节
习题3－1
6,8,11(1),12,15
费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及其几何意义 构造辅助函数
第二天
第 3 章第 2 节
第 1 章 第 7 节
习题1－7
1,2,3(1),4(3) (4)
无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k 阶无穷小）及其应用 一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法
第五天
第 1 章 第 8 节
习题1－8
3(4),4,5
函数的连续性, 函数的间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点） 判断函数的连续性和间断点的类型
第二天
第 6 章第 3 节
习题6—3
5,11
用定积分求功、水压力、引力
第三天
第 6章总复习六
总复习题六
2,3,5
7.3 全微分
lim f ( x, y ) = 0 = f (0,0)
故函数在点 (0, 0) 连续 .
2009年7月5日星期日 15
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2) ∵ f ( x,0) ≡ 0 , ∴ f x (0,0) = 0 ; 同理 f y (0,0) = 0. 3) 当( x, y ) ≠ (0,0) 时 , 1 x2 y 1 f x ( x, y ) = y ⋅ sin 2 − cos 2 2 2 3 x +y (x + y ) x2 + y2
∂u ∂u ∂u du = dx+ d y + dz ∂z ∂x ∂y
记作 d x u
dy u
dz u
d x u , d y u , d z u 称为偏微分. 故有下述叠加原理 du = dx u + d y u + dz u
2009年7月5日星期日 9
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z = e x y 在点 (2,1) 处的全微分. 例1 计算函数 ∂z ∂z xy ye , xe x y = = （自学课本 例1） 解: ∂y ∂x ∂z = e2 , ∂ x (2,1)
当点 P ( x, y ) 沿射线 y = x 趋于 (0,0) 时,
1 x 1 ⋅ sin − ⋅ cos ) = lim ( x 3 2 |1x | 2 2 | x | x →0 2| x| xy sin , ( x, y ) ≠ (0,0) x 2 在点(0,0)不连续 ; + y2 极限不存在= ∴ f x ( x, y ) f ( x, y ) , 0, ( x, 同理 , f y ( x, y ) 在点(0,0)也不连续. y ) = (0,0)
第七章机电能量转换原理
在线性情况下
Wm'
1 2
L11
i12
L12
i1i2
1 2
L22
i22
所以
Te
p
1 2
i12
L11
i1i2
L12
1 2
i22
L22
是由定子、转子电流 和各自的自感随转角θ的 变化所引起的转矩，称 为磁阻转矩；
是由定、转子电流和 互感随转角的变化所引起， 称为主电磁转矩。
为 dmech，则装置的微分总机械能
输出为：
dWmech Tedmech
从而磁能增量 dWm dWe dWmech id Tedmech
装置的磁储能系统是无损耗系统，是一个保守系统，磁场储能Wm
则是一个状态函数，Wm的值由独立变量 和 （ 为电角度 ）的瞬时值
唯一地确定，而与路径无关；
定子磁链为0，转子角度为 0 时的磁
L21
i1
L22
i2
i2
d
dt
dt
dWm dWm' L11i1 L12i2 di1 L21i1 L22i2 di2
1 2
L11
i1
L12
i2
i1
d
dt
dt
1 2
L21
i1
L22
i2
i2
d
dt
dt
1
2
e1ti1
e2ti2
dt
1 2
e1
i1
e2
i2
dt
对于线性系统 1 L11 i1 L12 i2
I
2
L2
si
n2
高等数学(经管类)下及课后习题答案
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。
2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。
微分习题课ppt课件
y p y q y f(x ) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 待定系数法.
(1 ) f(x ) e xP m (x )型
0 设 y x k e x Q m (x ), k 1
2
不是根 是单根 , 是重根
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22
( 2 )f ( x ) e x [ P l ( x ) cx o P n ( x ) s sx i ] 型 n
x x x2
所求通解为 xycosy C. x
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27
例2. 求下列方程的通解
(1)yy12ey3x 0; (3) y2x1y2 ;
(2 )xyx2y2y; (4) y36xx23y3x2yy23.
提示: (1) 因 ey3xey3ex,故为分离变量方程:
y2ey3dyexdx
通解
1ey3 ex C 3
系 数
法 f(x)的形式及其 特解形式
可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
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2
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
作变换
分离变量法
非非
全微分方程
变全 量微
积分因子 可 分
常数变易法
分方
离程
特征方程法
幂级数解法 待定系数法
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3
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
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第七讲常微分方程概论
第七讲 常微分方程Ⅰ. 考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的解法． 3．理解线性微分方程解的性质及解的结构． 4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法．5．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．6．会用微分方程解决一些简单的应用问题． 注：(1) 数一要求：会解伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程；会用降阶法解下列形式的微分方程：),(,),(,)()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=；会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程；会解欧拉方程．(2) 数二要求：会用降阶法解下列形式的微分方程：),(,)()(y x f y x f y n '=''=， ),(y y f y '=''；会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程． (3) 数三要求：了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，了解一阶常系数线性差分方程的求解方法，会用微分方程求解简单的经济应用问题．Ⅱ. 考试内容一．基本概念1. 表示未知函数, 未知函数的导数和自变量之间的关系的方程称为微分方程. 一般形如()(,,,)0n F x y y y '=.2. 微分方程中导数的阶数的最大值称为微分方程的阶.3. 使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.4. 如果解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数, 称其为微分方程的通解.5. 对于一阶(或二阶)微分方程, 给定0x x =时的函数值(或再给出此时的导数值), 则可将任意常数唯一确定. 这个唯一解称为特解. 确定特解的条件称为初始条件(定解条件).二．一阶微分方程形式:(,)y f x y '=, (,)dyf x y dx=, (,)(,)0P x y dx Q x y dy +=.1．可分离变量方程：dy y g dx x f )()(= 通解为C dy y g dx x f +=⎰⎰)()(．2．齐次方程：)(xy f dx dy = 令x y u =，有dxdux u dx dy xu y +==,，得x dx u u f du =-)(，通解为 C x dx u u f du +=-⎰⎰)(，在通解中代回xyu =．3*．一阶线性方程：)()(x Q y x P y =+'通解为: ])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P +⎰⋅⎰=⎰-． 解的结构: 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解一阶线性方程的另一种形式为：)()(y Q x y P dydx=+， 通解为: ])([)()(C dy e y Q e x dyy P dy y P +⎰⋅⎰=⎰-．4．伯努利方程（数一、二）：)1,0()()(≠=+'n y x Q y x P y n 令 n y z -=1，方程化为一阶线性方程)()1()()1(x Q n z x P n z -=-+'， 由一阶线性方程的通解公式求出通解，代入n y z -=1即可得到原方程的通解． 【例1】. 42的通解求y x y xdx dy =- 【解】，得两端除以 y ,412x y x dx dy y=-,y z =令,21 dxdyy dx dz =由22 2x z x dx dz =-原方程化为,22⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x x z 还原，得原方程的通解.224⎪⎭⎫⎝⎛+=C x x y5．全微分方程（数一、二）： 0),(),(=+dy y x Q dx y x P ，其中yPx Q ∂∂=∂∂. 其通解为C y x u =),(，这里),(y x u 称为微分式Qdx Pdx +的原函数．(1) ⎰⎰+=yy xxdy y x Q dx y x P y x u 00),(),(),(0；或者，⎰⎰+=x x yy dx y x P dy y x Q y x u 0),(),(),(0；(2) 由Q yu P x u =∂∂=∂∂,，通过不定积分求得),(y x u ； du Pdx Qdy =+ P xu=∂∂∴，则dx P u ⎰=)(y C + ⎰'+∂∂=∂∂)(y C Pdx yy u ，uQ y∂=∂又，⎰∂∂-='∴Pdx y Q y C )(⎰⎰∂∂-=∴dy Pdx y Q y C )()(，u ∴=. (3) 用分组凑微分法求出),(y x u ，使得Qdx Pdx y x du +=),(，6. 简单的变量代换解某些微分方程 【例2】解微分方程x dydxx x y +++=sin()0. 作变换y x u +=三. 可降阶微分方程（数一、二要求）1．)()(x f y n =：方程两边对x 积分n 次，即可求得通解．2．),(y x f y '=''，称为不显含y 的可降阶方程， 令y p '=，原方程化为一阶方程 ),(p x f dxdp=．3．),(y y f y '=''，称为不显含x 的可降阶方程，令y p '=，dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==''，原方程化为一阶方程),(p y f dy dp p=． 【例3】求微分方程2xy y x '''-=满足条件20()lim 1x y x x→=的特解.分析： 可降阶第二种微分方程及一阶线性微分方程解法,凑微分. 【解1】设)()(x y x p '=,则)()(x p x y '='';原方程化为2xp p x '-=, 解此一阶线性微分方程,得21p x C x =+, 从而32121132y x C x C =++由20()lim 1x y x x →=可知3213y x x =+. 【解2】原方程可化为21()1xy y y x x''''-'=⇒= 【例4】求微分方程y y x y '='+'')(2满足初始条件1)1()1(='=y y 的特解.解题思路 可降解微分方程及一阶线性微分方程解法. 【解】设)()(x y x p '=,则)()(x p x y '='';原方程化为p p x p =+')(2,则012=--p x pdp dx ,解此一阶线性微分方程,得 Cp p x +=2,由1)1(=p ,可知2p x =;取x y =',从而02332C x y +=由1)1(=y 可知313223+=x y .【例5】微分方程0)(2='+''y y y 满足条件1)0(=y ,21)0(='y 的特解是 . 分析： 用可降阶第三种微分方程的解法求解.【解】 变量替换, 令y p '=,dydp p y dy dp dx dp y ='=='', 于是上述方程化为2p dydpyp-=. 0=p 时, 得C y =, 没有满足初始条件的解.0≠p 时，p dy dp y -=，分离变量ydy p dp -=. 解此方程得到1C yp =, 即1C y y ='；由此推出)(2212C x C y +=.根据两个初值条件可以得到211=C ，212=C . 于是所求特解是1+=x y .【例6】（11218）设函数()y x 具有二阶导数， 且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点， 记α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角， 若d d d d yx xα=， 求()y x 的表达式. 分析： 用可降阶第二、三种微分方程的解法求解. 【解】 由题设，(0)0y =，(0)1y '=． 由α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，得d tan d yxα=， 则22222d d d sec (1tan )(1)d d d y y y x x xαααα''==+=+． 令y p '=，代入方程，得2d (1)dxpp p =+，211()1dp dx p p -=+，1x C =+，由(0)1y '=，可知，1ln 2C =2x=所以，x y '=2)24x y e C π=++， 由(0)0y =，可知24C π=-，因此，())4x y x π=-．四、二阶线性微分方程解的性质与解的结构(n 阶相同)二阶非齐次线性微分方程：)()()(x f y x q y x p y =+'+'' ①二阶齐次线性微分方程： 0)()(=+'+''y x q y x p y ②1．若)(1x y ,)(2x y 是方程 ② 的两个解，则)()(2211x y C x y C +是方程 ② 的解； 2．若)(1x y ,)(2x y 是方程 ① 的两个解，则)()(21x y x y -是方程 ② 的解； 3．若)(x y *,)(x y 分别是方程 ① ，② 的解，则)()(x y x y *+是方程 ① 的解； 4．若)(1x y ,)(2x y 是方程 ② 的两个线性无关解，则方程 ② 的通解为 )()(2211x y C x y C +；5．若)(1x y ,)(2x y 是方程 ② 的两个线性无关解，)(x y *是方程 ① 的一个特解，则方程 ① 的通解为 )()()(2211x y x y C x y C *++； 6．（叠加原理）若)(1x y ,)(2x y 分别是方程)()()(1x f y x q y x p y =+'+''与)()()(2x f y x q y x p y =+'+'' 的解，则)()(21x y x y +为方程 )()()()(21x f x f y x q y x p y +=+'+''的解．五、二阶常系数线性微分方程的解法标准形式为 )(x f qy y p y =+'+''． 1．求齐次方程0=+'+''qy y p y 的通解对应的特征方程为 02=++q p λλ，其两个特征根为1λ,2λ，按特征根1λ,2λ2．求非齐次方程)(x f qy y p y =+'+''的特解六、欧拉方程（数一要求）二阶欧拉方程：)(2x f qy y px y x =+'+''，令：te x =，得 dtdydt y d y x dtdy y x -=''='222,，代入原方程，将原方程化为二阶 常系数线性微分方程：)()1(22t e f y q dtdyp dt yd =+-+． 【例7】欧拉方程)0(024222>=++x y dx dy x dxy d x 的通解为______________．【解】 令te x =，则dtdyx dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1==⋅=-， ][11122222222dt dydt y d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=⋅+-=， 代入原方程，整理得 02322=++y dt dydty d ， 解此方程，得通解为 221221x c x c e c e c y tt +=+=--．七、一阶常系数线性差分方程（数三要求）一阶常系数线性差分方程)0()(1≠=++a t f y a y t t 的通解t y 为对应的齐次方程01=++t t y a y 的通解t y ~与非齐次方程)(1t f y a y t t =++的特解*t y 之和， 即*+=ttty y y ~．1．齐次方程01=++t t y a y 的通解为t t a C y )(~-=（C 为任意常数）． 2．非齐次方程)(t f y a y =+的特解*y 的形式按下表确定．【例8】差分方程t t t t y y 21=-+的通解为________________． 【解】齐次差分方程01=-+t t y y 的通解为C y t =．设非齐次方程的特解为t t b at y 2)(+=*，代入原方程得2,1-==b a ，因此，原方程的通解为t t t C y 2)2(-+=．【例9】差分方程051021=-++t y y t t 的通解为________________． 【解】将原方程化为标准形式 t y y t t 2551=++． 对应的齐次方程的通解为t t C y )5(-=．设非齐次方程的特解为b at y t +=*，代入方程得725,125-==b a ， 因此，原方程的通解为)61(125)5(-+-=t C y tt ．【例10】某公式每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元． 若以t W 表示第 t 年的工资总额（单位：百万元），则t W 满足的差分方程是___________．【解】由题设，有 2)2.01(1++=-t t W W ， 即得t W 所满足的差分方程22.11+=-t t W W ．Ⅲ. 题型与例题一．一阶方程方法： 1. 判断类型 2. 变量代换【例1】当0→x ∆时, α是比x ∆较高阶的无穷小量, 函数)(x y 在任意点处的增量α∆∆++=21xxy y , 且π=)0(y . 则=)1(y . )(A π2. )(B π. )(C 4πe . )(D 4ππe .分析：可分离变量. 【解】 由α∆∆++=21x xy y ，得x x y x y x x ∆++=∆∆→∆→∆α020lim 1lim ，即21xy y +='， 则21x dx y dy +=，解之，得xCe y arctan =，由π=)0(y ，可知π=C ，故应选)(D .【例2】求微分方程0)2()23(222=-+-+dy xy x dx y xy x 的通解. 分析：1.齐次方程 2.分组凑微分【解1】 变形得x y x y x y xyx y xy x dx dy 21)(232232222--+-=--+-=，作变量代换x y u =，则ux y =，dxduxu dx dy +=，代入原方程，得u u u dx du x u 21232--+-=+，化简， 得22131u dx du u u x-=---，则2ln |1|3ln ||ln u u x C --=-+，得223xy x y x C --=.【例3】设函数)(x f 具有连续的一阶导数，且满足2022)()()(x dt t f t x x f x+'-=⎰，求)(x f 的表达式．【解】由方程可得 (0)0f =. 方程两边对x 求导得0()2()d 2()2()2xf x x f t t x f x xf x x '''=+⇒=+⎰，此为一阶线性方程，解之得22d 2d ()e 2e d e 1x xx x x f x x x C C -⎛⎫⎰⎰=+=- ⎪⎝⎭⎰， 将(0)0f =代入上式得 1C =，故2()e 1x f x =-.注: 在解微分方程时, 得到通解就结束了. 除非原题中给定初值, 还需确定任意常数,以得到特解. 在解积分方程时, 情况不同. 因为积分方程不但给出函数关系, 还可能同时给出初值.【例4】解微分方程'=-y x y 122.【解】将变量y 看作自变量时, 这是一阶线性微分方程. 将方程'=-x x y 22代入一阶线性微分方程解的公式,x e C y e dy Ce y y dy dy y =⎰+-⎰⎡⎣⎢⎤⎦⎥=+++⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎰222221212()二．高阶常系数线性微分方程【例4】（02119）已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e '+=，（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）求曲线220()()xy f x f t dt =-⎰的拐点.【解】（Ⅰ）()()2()0f x f x f x '''+-=的特征方程为220r r +-=，特征根为11r =，22r =-，所以，方程的通解为212()x x f x C e C e -=+，代入()()2x f x f x e '+=，得21222x x x C e C e e --=，则11C =，20C =，故()x f x e =.（Ⅱ）曲线方程为22xx t y ee dt -=⎰,2221xxt y xe e dt -'=+⎰,222022(12)xxt y x x e e dt -''=++⎰.当0x <时, 0y ''<;当0x >时, 0y ''>,而0x =时,0y ''=; 可见(0,0)是唯一拐点.【例5】求解微分方程22xy y e '''-=，并求满足0()lim1x y x x→=的特解. 【解】0()lim1(0)0,(0)1x y x y y x→'=⇔==.方程的通解为221212xx y C C e xe =++.由初始条件,得22111442x x y e xe =-++.【例6】求微分方程x x y y cos +=+''的通解.解题思路: 在用待定系数法求该方程的特解时, 注意此方程右端是两个函数x 和x cos 之和, 所以需要分别求出方程x y y =+''的特解1y 和x y y cos =+''的特解2y . 然后得到原方程的一个特解21*y y y +=.【解】 高阶线性. 首先求出对应的齐次方程的通解:x C x C y sin cos 21+=. 然后用待定系数法求非齐次方程x y y =+''的特解1y . 因为0不是特征根, 所以该方程具有形如B Ax y +=1的特解, 将其代入方程求出x y B A ===1,0,1.再用待定系数法求非齐次方程x y y cos =+''的特解2y . 由于纯虚数i 是特征根, 所以该方程具有形如x Bx x Ax y sin cos 2+=的特解, 将其代入方程求出21,0==B A , 所以x x y sin 212=. 因此原方程的一个特解为*121sin 2y y y x x x =+=+, 原方程的通解是 x C x C y sin cos 21+=x x x sin 21++.三．解的性质与结构【例7】设线性无关函数321,,y y y 都是非齐次方程)()()(x f y x q y x p y =+'+'' 的解，21,C C 为任意常数，则该非齐次方程的通解是 [ ]．(A) 32211y y C y C ++． (B) 3212211)(y C C y C y C +-+．(C) 3212211)1(y C C y C y C ---+． (D) 3212211)1(y C C y C y C --++．【例8】函数x x x xe e C e C y ++=-221满足的一个微分方程是 [ ]．(A) x xe y y y 32=-'-''．(B) x e y y y 32=-'-''．(C) x xe y y y 32=-'+''． (D) x e y y y 32=-'+''．【解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 121,2λλ==-. 则对应的齐次微分方程的特征方程为2(1)(2)0,20λλλλ-+=+-=即. 故对应的齐次微分方程为20y y y '''+-=.又*e xy x =为原微分方程的一个特解，而1λ=为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式()e xf x C =（C 为常数）.所以综合比较四个选项，应选)(D .四．综合题【例10】设)()()(x g x f x F =，其中函数)(,)(x g x f 在),(∞+-∞内满足以下 条件：)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且0)0(=f ，x e x g x f 2)()(=+．(1) 求)(x F 所满足的一阶微分方程；(2) 求出)(x F 的表达式．【解】 (1) 由 )()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g + =)()(2)]()([2x g x f x g x f -+=)(2)2(2x F e x -， 故)(x F 所满足的一阶微分方程为xe x F x F 24)(2)(=+'.(2) ]4[)(222C dx e e e x F dx xdx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x+⎰-=x x Ce e 22-+，将0)0()0()0(==g f F 代入上式，得 1-=C ，则 x xe e x F 22)(--=.【例11】设⎰--=xdt t x f t x x f 0)(sin )(，其中f 连续，求)(x f ．【解】 高阶线性. 变形⎰⎰+-=xx dt t tf dt t f xx x f 0)()(sin )(，方程两端求导数,⎰-='x dt t f x x f 0)(cos )(方程两端再求导数, 得到微分方程x f f sin -=+''. 利用上述表达式确定初值条件1)0(,0)0(='=f f .齐次方程0=+''f f 的通解是x C x C y sin cos 21+=. 再用待定系数法, 求原方程的一特解.i 是特征方程的单根, 所以原方程具有形如x Bx x Ax y sin cos *+=的特解. 将这个解代入方程x f f sin -=+'', 并比较系数, 得到21=A ，0=B ；x x y cos 21*=.因此原方程通解为x x x C x C x f cos 21sin cos )(21++= 由初值条件1)0(,0)0(='=f f ，可以得到21,021==C C .于是)cos (sin 21)(x x x x f +=.。
运动微分方程的求解(共7页)
§2-3 运动(yùndòng)微分方程的求解1.求解步骤1)确定分析对象（隔离体）2)作受力分析（施力物、超距力、接触力），画隔离体图3)建立合适坐标系，写出方程解析式并给出初始位置、速度4)给出二阶常微分方程组的数字解5)阐明结果的物理含意与实质作用力为时间、位置、速度的函数；若力只是其中某一项的函数，则问题可加以简化。
2.常力作用下质点的运动〖例2-1〗求质点m在常力作用下的运动。
已知t=0时初位置和初速度分别为。
解：3.力只是时间的函数〖例2-2〗求自由电子-e在沿x轴的电场中的运动。
已知t=0时。
解：4.力只是速度的函数〖例2-3〗求在阻力正比于速度即的介质中抛物体的运动。
已知t=0时。
解：消去t得轨道方程为若阻力很小或距离很短（开始运动），即时，有轨道开始时接近抛物线，x趋于时y趋于无穷大，即为竖直直线。
5.力只是坐标的函数〖例2-4〗求做一维振动的弹性系数为k的弹簧振子的运动。
解：二维振动与利萨如图形。
6.复杂情况力为时间、坐标、速度的函数一维：（受迫振动）如LRC电路：为二阶常系数线性常微分方程，可用数值计算。
7.例题〖例2-5〗P39例1〖例2-6〗P41例3§2-4 加速(jiā sù)平动非惯性系动力学1.问题的提出在惯性系S中成立，在动系S’中是否成立？作加速平动的参照系为非惯性系。
2.改进的牛顿定律引入惯性力后牛顿定律仍成立。
3.讨论？为什么选择非惯性系：方便？惯性力与普通力的差别惯性力只是一种记号，它无施力物体，也无反作用力4.例题〖例2-7〗P44例质点运动(yùndòng)微分方程小结1.运动微分方程2.运动微分方程的解析式或3.理想光滑线约束力的求解4.平动加速非惯性系的加上惯性力后牛顿定律仍然成立处理5.例题〖例2-8〗P98补例1.4〖例2-9〗P99补例1.56.习题三〖P105习题1.21，1.27，1.32，1.33〗§2-5 质点的能量(néngliàng)积分1.第一积分直接求解运动微分方程是研究动力学问题的基本方法，但对具体问题解出微分方程有时比较困难。
复变函数与积分变换(包革军版习题7-2 7-3答案)
(4)求 z ln(1 x 2 y 2 ) 在 (1,2) 处的全微分． 解：因 z x
2x 2y , zy ，且 z x 2 2 1 x y 1 x2 y 2
x 1 y2
1 , zy 3
x 1 y 2
2 1 2 ，故 dz dx dy ． 3 3 3
2
y
y
2
2 y ey ．
2z 2 z (2)对函数 z x ln( x y ) ，求 2 和 ． x xy
解：由
2 z 1 x z x 2 z 1 ( x y) x x 2y ln( x y ) ，得 2 ， ． 2 2 x x y x x y ( x y) ( x y) xy x y ( x y )2
cos x 2 y cos x 2 y 2 cot x 2 y ． cot x 2 y , z y 2 sin x 2 y sin x 2 y
x 1 y 0
(4) z ln( x y ) ，求
z z | x1 ， | x 1 ． 解： z x x y 0 y y 1
y 2
(3)
( x , y ) (0,0)
lim
xy 1 1 = lim ( x , y ) (0,0) xy xy
xy
xy 1+1
( x , y ) (0,0)
lim
1 1 ． xy 1+1 2
4．求下列函数的间断点． (1) z
1 x2 y2
x y ． x y
x 1 y 3
y
3，
f x (1, 2) x y ln x x 1 0 ，故 (1.007) 2.98 1 3 0.007 0 ( 0.02) 1.021 ．
(完整版)高等数学-习题答案-方明亮-第七章
高等数学方明亮版第七章习题7-11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）{}(,)0,0x y x y ≠≠； （2）{}22(,)14x y x y <+≤； （3）{}2(,)x y y x >；（4）{}2222(,)(1)1(2)4x y x y x y +-≥+-≤且.解 （1）集合是开集，无界集；边界为{(,)0x y x =或0}y =. （2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为2222{(,)1}{(,)4}x y x y x y x y +=+=.（3）集合是开集，区域，无界集；边界为2{(,)}x y y x =. （4）集合是闭集，有界集；边界为2222{(,)(1)1}{(,)(2)4}x y x y x y x y +-=+-=2.已知函数(,)v f u v u =，试求(,)f xy x y +. 解 ()()(,)x y f xy x y xy ++=.3.设(,)2f x y xy =，证明：2(,)(,)f tx ty t f x y =.解)222(,)222f tx ty t xy t t xy t xy ===2(,)t f x y =.4.设y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭(0)x >，求()f x . 解由于y f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()f x =. 5.求下列各函数的定义域：（1）2222x y z x y +=-； （2）ln()arcsinyz y x x=-+； （3）ln()z xy =； （4）z =（5）z = （6）u =.解 （1）定义域为{}(,)x y y x ≠±； （2）定义域为{}(,)x y x y x <≤-；（3）定义域为{}(,)0x y xy >，即第一、三象限（不含坐标轴）；（4）定义域为2222(,)1x y x y a b ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭；（5）定义域为{}2(,)0,0,x y x y x y ≥≥≥； （6）定义域为{}22222(,,)0,0x y z x y z x y +-≥+≠. 6.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y →+++； （2）(,)(0,0)lim x y →；（3）22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y xy →+； （4）(,)(2,0)sin()lim x y xy y→；（5）1(,)(0,1)lim (1)xx y xy →+； （6）22(,)(,)lim()x y x y x y e --→+∞+∞+.解：（1）22(,)(2,0)4lim(2,0)22x y x xy y f x y →++===+； （2）(,)(0,0)00112limlim 2x y u u u u →→→===； （3）因为22(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，且1sin1xy≤有界，故22(,)(0,0)1lim ()sin0x y x y xy→+=；（4）(,)(2,0)(,)(2,0)sin()sin()limlim 212x y x y xy xy x y xy →→==⋅=；（5）111(,)(0,1)(,)(0,1)lim (1)lim (1)y xyxx y x y xy xy e e ⋅→→+=+==；（6）当0x N >>，0y N >>时，有222()()0x y x yx y x y e e++++<<， 而()22(,)(,)22limlim lim lim 0x yu u u x y u u u x y u u e e e e+→+∞+∞→+∞→+∞→+∞+==== 按夹逼定理得22(,)(,)lim()0.x y x y x y e --→+∞+∞+=7.证明下列极限不存在： （1）(,)(0,0)limx y x yx y →+-；（2）设2224222,0,(,)0,0,x yx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(,)(0,0)lim (,)x y f x y →.证明 （1）当(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)时极限(,)(0,0)01limlim 1x y x y kxx y x kx kx y x kx k →→=+++==--- 与k 有关，上述极限不存在.（2）当(,)x y 沿直线y x =和曲线2y x =趋于(0,0)有2242422(,)(0,0)00lim lim lim 01x y x x y x y x x y x x x x y x x x →→→=====+++， 2222442444(,)(0,0)001lim lim lim 22x y x x y xy xx y x x x x y x x x →→→=====++， 故函数(,)f x y 在点(0,0)处二重极限不存在.8.指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+； （2）212z y x=-. 解（1）函数在(0,0)处无定义，故该点为函数22ln()z x y =+的间断点；（2）函数在抛物线22y x =上无定义，故22y x =上的点均为函数212z y x=-的间断点.9.用二重极限定义证明：(,)lim0x y →=.证22102ρ-=≤=(,)P x y ，其中||OP ρ==，于是，0ε∀>，20δε∃=>；当0ρδ<<0ε<成立，由二重极限定义知(,)lim0x y →=.10.设(,)sin f x y x =，证明(,)f x y 是2R 上的连续函数.证 设2000(,)P x y ∈R .0ε∀>，由于sin x 在0x 处连续，故0δ∃>，当0||x x δ-<时，有0|sin sin |x x ε-<.以上述δ作0P 的δ邻域0(,)U P δ，则当0(,)(,)P x y U P δ∈时，显然00||(,)x x P P ρδ-<<，从而000|(,)(,)||sin sin |f x y f x y x x ε-=-<，即(,)sin f x y x =在点000(,)P x y 连续.由0P 的任意性知，sin x 作为x 、y 的二元函数在2R 上连续.习题7－21.设(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数分别为00(,)x f x y A =，00(,)y f x y B =，问下列极限是什么？（1）00000(,)(,)lim h f x h y f x y h →+-； （2）00000(,)(,)lim h f x y f x y h h→--；（3）00000(,2)(,)lim h f x y h f x y h →+-； （4）00000(,)(,)lim h f x h y f x h y h→+--.解 （1）0000000(,)(,)lim (,)x h f x h y f x y z x y A h→+-==；（2）000000000000(,)(,)(,)(,)lim lim (,)y h h f x y f x y h f x y h f x y z x y B h h→→----===-；（3）0000000000(,2)(,)(,2)(,)lim lim 222h h f x y h f x y f x y h f x y B h h →→+-+-=⋅=；（4）00000(,)(,)limh f x h y f x h y h→+--[][]0000000000000000000000000000(,)(,)(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim 2.h h h h f x h y f x y f x y f x h y hf x h y f x y f x h y f x y h f x h y f x y f x h y f x y h h A A A →→→→+-+--=+----=+---=+-=+= 2.求下列函数的一阶偏导数： （1）x z xy y=+； （2）ln tan x z y =；（3）e xyz =； （4）22x y z xy+=；（5）222ln()z x x y =+； （6）z = （7）sec()z xy =； （8）(1)y z xy =+；（9）arctan()z u x y =- （10）zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解（1）1z y x y ∂=+∂，2z xx y y∂=-∂； （2）12211tan sec cot sec z x x x x x y y y y y y -⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 12222tan sec cot sec z x x x x x x y y y y y y y-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）xy xy ze y ye x∂=⋅=∂，xy xy z e x xe y ∂=⋅=∂；（4）()2222222222()2()1z x xy x y y x y x y y y x x y y x xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂， ()2222222222()2()1z y xy x y x xy x y x x y x y x y xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂； （5）232222222222ln()22ln()z x x x x y x x x y x x y x y ∂=++⋅=++∂++，22222222z x x y y y x y x y∂=⋅=∂++； （6）1z y x xy ∂=⋅=∂，1z x y xy ∂=⋅=∂； （7）tan()sec()tan()sec()zxy xy y y xy xy x∂=⋅=∂， tan()sec()tan()sec()zxy xy x x xy xy y∂=⋅=∂； （8）121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+⋅=+∂， ln(1)(1)ln(1)1y xy z xy e y xy xy y y xy +⎡⎤∂∂⎡⎤==+⋅++⎢⎥⎣⎦∂∂+⎣⎦； （9）11221()()1()1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+-， 11221()()(1)1()1()z z z z u z x y z x y y x y x y --∂-=⋅-⋅-=-∂+-+-， 221()ln()()ln()1()1()z zz zu x y x y x y x y z x y x y ∂--=⋅-⋅-=∂+-+-； （10）111z z ux z x z x y y y y --⎛⎫⎛⎫∂=⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭，12z zux x z x z y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ln zu x x y y y⎛⎫∂=⋅ ⎪∂⎝⎭. 3.设(,)ln 2y f x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求(1,0)x f ，(1,0)y f .解法一 由于(,0)ln f x x =，所以1(,0)x f x x=，(1,0)1x f =； 由于(1,)ln 12y f y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以11(1,)212y f y y =⋅+，1(1,0)2y f =.解法二 21(,)122x y f x y y x x x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭+，11(,)22y f x y y x x x=⋅+， 10(1,0)110212x f ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭+，111(1,0)02212y f =⋅=+. 4.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 解法一由于(,1)(11)f x x x =+-=，(,1)()1x f x x '==. 解法二1(,)1x f x y y =，(,1)1x f x =. 5.设2(,)xt yf x y e dt -=⎰，求(,)x f x y ，(,)y f x y .解 2(,)x x f x y e -=，2(,)y f x y e -=-. 6.设yxz xy xe =+，证明z zxy xy z x y∂∂+=+∂∂. 解 由于21y y yx x x z y y y e xe y e x x x ⎛⎫∂⎛⎫=+-⋅=+-⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 1y yx x z x xe x e y x∂=+⋅=+∂， 所以1()yy y yx x x xz z y x y x y e y x e xy e x y xy ye x y x ⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫+=+-++=+-++ ⎪⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭yxxy xe xy xy z =++=+.7.（1）22,44x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角是多少？ （2）1z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩在点处的切线与y 轴正向所成的倾角是多少？解 （1）按偏导数的几何意义，(2,4)x z 就是曲线在点(2,4,5)处的切线对于x 轴正向所成倾角的斜率，而21(2,4)12x x z x ===，即tan 1k α==，于是倾角4πα=.（2）按偏导数的几何意义，(1,1)y z就是曲线在点处的切线对于y 轴正向所成倾角的斜率，而11(1,1)3y z ===，即1tan 3k α==，于是倾角6πα=.8.求下列函数的二阶偏函数：（1）已知33sin sin z x y y x =+，求2z x y ∂∂∂； （2）已知ln xz y =，求2z x y∂∂∂；（3）已知ln(z x =，求22zx∂∂和2z x y ∂∂∂；（4）arctan y z x =求22zx∂∂、22z y ∂∂、2z x y ∂∂∂和2z y x ∂∂∂.解（1）233sin cos z x y y x x∂=+∂，2223cos 3cos z x y y x x y ∂=+∂∂； （2）ln ln 1ln ln x xz y y y y x x x∂=⋅=∂， 2ln ln 1ln 1111ln ln (1ln ln )xx x z y y x y y x y x y x y x--⎛⎫∂=+⋅⋅=+ ⎪∂∂⎝⎭； （3）1z x ⎛⎫∂=+=∂==()232222zxx xy∂-==∂+，()23222zyx y xy∂-==∂∂+；（4）222211zy y xx x y y x ∂⎛⎫=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222111z x y x x yy x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()222222z xy x x y ∂=∂+，()222222z xy y x y ∂-=∂+， ()()2222222222222z x y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++，()()2222222222222z x y x y x y x x y x y ∂+--==∂∂++. 9.设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1)xx f ，(1,0,2)xz f ，(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .解 因为22x f y xz =+，2xx f z =，2xz f x =， 22y f xy z =+，2yz f z =，22z f yz x =+，2zz f y =，0zzx f =，所以(0,0,1)2xx f =，(1,0,2)2xz f =，(0,1,0)0yz f -=，(2,0,1)0zzx f =.10.验证： （1）2esin kn ty nx -=满足22y yk t x∂∂=∂∂；（2）r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.证 （1）因为22esin kn t y kn nx t -∂=-∂，2e cos kn t y n nx x-∂=∂，2222e sin kn t y n nx x -∂=-∂ 所以()2222esin kn ty y k n nx k t x-∂∂=-=∂∂； （2）因为r x xr ∂==∂，2222231r x x x r x x x r r r r r ∂∂-⎛⎫==-⋅= ⎪∂∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性，得22223r r y y r ∂-=∂，22223r r z z r∂-=∂， 所以 2222222222223332r r r r x r y r z x y z r r r r∂∂∂---++=++=∂∂∂. 习题7－31.求下列函数的全微分：（1）2222s t u s t+=-； （2）2222()e x y xyz x y +=+；（3）arcsin (0)x z y y=>； （4）ey x x y z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=；（5）222ln()u x y z =++； （6）yz u x =.解 （1）()()222222222222()2()4u s s t s s t st s s t s t ∂--+==-∂--，()()222222222222()2()4u t s t t s t s tt s t s t ∂-++==∂--， ()()()22222222222444d d d (d d )st s tstu s t t s s t ststst=-+=-----；（2）22222222244222222()2()2x y x y x y xyxyxyzx y x y yx y xex y eex xx y x y +++⎛⎫∂-+-=++=+ ⎪∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性可得224422x y xyzy x ey y xy +⎛⎫∂-=+ ⎪∂⎝⎭， 22444422d 2d 2d x y xyx y y x z ex x y y x y xy +⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦； （3）21d d arcsin d d x x x z x y y yy y ⎛⎫⎫===- ⎪⎪⎝⎭⎭)d d y x x y =-；（4）d d d y x y x x yx y y x z e e x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥==-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2211d d y x x y y x ex y y x x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦； （5）()2222222221d d ln()d u x y z x y z x y z⎡⎤=++=++⎣⎦++ 2222222d 2d 2d 2(d d d )x x y y z z x x y y z z x y z x y z ++==++++++；（6）()1d d d ln d ln d yz yz yz yz u x yzx x x z x y x y x z -==++()1d ln d ln d yz x yz x xz x y xy x z -=++.2.求下列函数的全微分：（1）22ln(1)z x y =++在1x =，2y =处的全微分； （2）2arctan 1xz y=+在1x =，1y =处的全微分. 解 （1）因为2222222211d d ln(1)d(1)(2d 2d )11z x y x y x x y y x yx y ⎡⎤=++=++=+⎣⎦++++所以12112d (2d 4d )d d 633x y z x y x y ===+=+；（2）因为22221d d arctan d 1111x x z y y x y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪+⎝⎭()22222222211212d d d d 11111y xy xy x y x y y x y y x y y ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥=-=- ⎪⎢⎥++++++⎝⎭+⎣⎦所以()1222111121d d d d d 113x y x y xy z x y x y y x y ====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭. 3. 求函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分. 解 因为()23322322d d 2d 3d 23z x y xy x x y y xy x x y y ==+=∆+∆所以当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时全微分为d 4120.080.120.2z x y =-∆+∆=--=-.4.求函数22xyz x y =-当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全微分和全增量，并求两者之差.解 因为()()222222222d()d()d d x y xy xy x y xy z x y x y ---⎛⎫== ⎪-⎝⎭- ()()()()()222332222222(d d )(2d 2d )d d x y y x+x y xy x x y y x y y x+x +xy yxyx y -----==--所以当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时全微分的值为()()()2332222(,)(2,1)0.01,0.030.25d 0.0277779x y x y x y y x+x +xy yz x y =∆=∆=--∆∆==≈-， 而当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全增量为()()()()2222(,)(2,1)0.010.030.028252x y x y x x y y xy z x y x x y y =∆=∆=⎡⎤+∆+∆∆=-≈⎢⎥-+∆-+∆⎢⎥⎣⎦， 全增量与全微分之差为d 0.0282520.0277770.000475z z ∆-≈-=.习题7－4 1.设2e x y u -=，sin x t =，3y t =，求d d ut.解3222sin 22d d d cos 23(cos 6)d d d x y x y t t u u x u ye t e t e t t t x t y t---∂∂=+=-⋅=-∂∂. 2.设arccos()z u v =-，而34u x =，3v x =，求d d z x. 解2d d d 123d d d z z u z v x x u x v x ∂∂=+=+∂∂2314x -=.3.设22z u v uv =-，cos u x y =，sin v x y =，求zx∂∂，z y ∂∂.解()()222cos 2sin z z u z vuv v y u uv y x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-⋅∂∂∂∂∂ 23sin cos (cos sin )x y y y y =-，()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅-+-⋅∂∂∂∂∂ 33232(sin 2sin cos cos 2cos sin )x y y y y y y =-+-.4.设2ln z u v =，而32u x y =+，y v x =，求zx ∂∂，z y ∂∂.解 222ln 3z z u z v u y u v x u x v x vx ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭216(32)ln(32)y x y x y x x=+-+， 22112ln 24(32)ln (32)z z u z v u y u v x y x y y u y v y v x x y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=+++∂∂∂∂∂. 5. 设2(,,)ln(sin )z f u x y u y x ==+，e x y u +=，求zx∂∂，z y ∂∂. 解22112cos sin sin x y z z u f u e y x x u x x u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222cos sin x yx y e y xe y x+++=+， 22112sin sin sin x y z z u f u e x y u y y u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222sin sin x yx y e xe y x+++=+. 6.设222sin()u x y z =++，x r s t =++，y rs st tr =++，z rst =，求u r ∂∂，us∂∂，ut∂∂. 解[]22222()2cos()u u x u y u z x y s t zst x y z r x r y r z r∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr s t rs t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u z x y r t zrt x y z s x s y s z s∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r t r st r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u zx y s r zrs x y z t x t y t z t∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r s r s t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦.7.设arctanx z y =，x u v =+，y u v =-，求z u ∂∂，zv∂∂，并验证： 22z z u vu v u v∂∂-+=∂∂+. 解222221111111z z x z y x y xu x u y uy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222221111111z z x z yx y xv x v y vy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂+=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅-= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则222222222()()()z z y x y x u v u v u v x y x y u v u v u v∂∂-+--+=+==∂∂++++-+. 8.设22(,,)z f x y t x y t ==-+，sin x t =，cos y t =，求d d zt. 解d d d 2cos 2(sin )12sin 21d d d z z x z y f x t y t t t x t y t t∂∂∂=⋅+⋅+=--+=+∂∂∂. 9.求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）：（1）22()z f x y =-； （2）,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）(,,)u f x xy xyz =； （4）22(,,ln )xy u f x y e x =-. 解（1）222()zxf x y x∂'=-∂，222()z yf x y y ∂'=--∂；（2）111f u f x y y '∂'=⋅=∂，12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂''''=⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭，2222u y y f f z z z ∂⎛⎫''=⋅-=- ⎪∂⎝⎭； （3）123u f yf yzf x ∂'''=++∂，23u xf xzf y ∂''=+∂，3uxyf z ∂'=∂； （4）12312xy u xf ye f f x x∂'''=++∂，122xy u yf xe f y ∂''=-+∂. 10.设()z xy xF u =+，而yu x=，()F u 为可导函数，证明： z zxy z xy x y∂∂+=+∂∂. 证 ()()()z z u u xy x y F u xF u y x xF u x y x y ⎡⎤∂∂∂∂⎡⎤''+=++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦ []()()()y x y F u F u y x F u x ⎡⎤''=+-++⎢⎥⎣⎦()xy xF u xy z xy =++=+. 11.设[cos()]z y x y ϕ=-，试证：z z zx y y∂∂+=∂∂. 证sin()[cos()]sin()z z y x y x y y x y x yϕϕϕ∂∂''+=--+-+-∂∂ [cos()]z x y yϕ=-=. 12.设,k z y u x F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且函数,z y F x x ⎛⎫⎪⎝⎭具有一阶连续偏导数，试证：u u uxy z ku x y z∂∂∂++=∂∂∂. 证11222k k u z y kx F x F F x x x -∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1221k k ux F x F y x -∂''=⋅=∂，1111k k u x F x F z x-∂''=⋅=∂， 11111111k k k k k u u u xy z kx F x zF x yF x yF x zF ku x y z----∂∂∂''''++=--++=∂∂∂. 13.设sin (sin sin )z y f x y =+-，试证：sec sec 1z zxy x y∂∂+=∂∂. 证cos zf x x ∂'=∂，cos (cos )z y y f y ∂'=+-∂，sec sec sec cos sec cos sec (cos )1z zxy x xf y y y y f x y∂∂''+=++-=∂∂. 14.求下列函数的二阶偏导数22zx∂∂，2z x y ∂∂∂，22z y ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）：（1）(,)z f xy y =； （2）22()z f x y =+； （3）22(,)z f x y xy =； （4）(sin ,cos ,)x y z f x y e +=. 解 （1）令s xy =，t y =，则(,)z f xy y =，s 和t 是中间变量.11z sf yf x x∂∂''=⋅=∂∂，1212d d z s t f f xf f y y y ∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂.因为(,)f s t 是s 和t 的函数，所以1f '和2f '也是s 和t 的函数，从而1f '和2f '是以s 和t 为中间变量的x 和y 的函数.故()22111112z z s yf yf y f x x x x x∂∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()211111211112d d z z s t yf f y f f f xyf yf x y y x y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫'''''''''''===+⋅+⋅=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，()212111221222d d d d z z s t s t xf f x f f f f y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂''''''''''==+=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭21112222x f xf f ''''''=++. （2）令22s x y =+，则22()z f x y =+是以s 为中间变量的x 和y 的函数.2z sf xf x x∂∂''=⋅=∂∂，2z s f yf y y ∂∂''=⋅=∂∂.因为()f s 是s 的函数，所以f '也是s 的函数，从而f '是以s 中间变量的x 和y 的函数.故()()222222224z z xf f xf x f x f x x x x∂∂∂∂⎛⎫'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭， ()()22224z z xf xf y xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()()222222224z z yf f yf y f y f y y y y⎛⎫∂∂∂∂'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. （3）令2s xy =2t x y =，则212122z s tf f y f xyf x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂，212122z s t f f xyf x f y y y ∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂.()221222z z y f xyf x x x x∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 211122212222s t s t y f f yf xy f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()()2221112221222222y y f xyf yf xy y f xyf '''''''''=++++ 43222111222244yf y f xy f x y f '''''''=+++， ()22122z z y f xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 21111222122222s t s t yf y f f xf xy f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()222111122212222222yf y xyf x f xf xy xyf x f ''''''''''=+++++ 32231211122222252yf xf xy f x y f x yf ''''''''=++++， ()221222z z xyf x f y y y y⎛⎫∂∂∂∂''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭211112212222s t s t xf xy f f x f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂'''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2221111221222222xf xy xyf x f x xyf x f '''''''''=++++ 22341111222244xf x y f x yf x f '''''''=+++. （4）令sin u x =，cos v y =，x y w e +=，则1313d cos d x y z u wf f xf e f x x x +∂∂''''=+=+∂∂，2323d sin d x y z v w f f yf e f y y y +∂∂''''=+=-+∂∂. ()2132cos x y z z xf e f x x x x+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1111333133d d sin cos d d x y x y u w u w xf x f f e f e f f x x x x ++∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()1111333133sin cos cos cos x y x y x y x y xf x xf e f e f e xf e f ++++''''''''''=-+++++ ()2231111333sin cos 2cos x y x y x y e f xf xf e xf e f +++''''''''=-+++， ()213cos x y z z xf e f x y y x y+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 121333233d d cos d d x y x y v w v w x f f e f e f f y y y y ++⎛⎫⎛⎫∂∂'''''''''=++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()121333233cos sin sin x y x y x y x y x yf e f e f e yf e f ++++'''''''''=-+++-+ ()2312133233cos sin cos sin x y x y x y x y e f x yf e xf e yf e f ++++'''''''''=-+-+， ()2232sin x y z z yf e f y y y y+⎛⎫∂∂∂∂''==-+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2222333233d d cos sin d d x y x y v w v w yf y f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂''''''''''=--++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2222333233cos sin sin sin x y x y x y x y yf y yf e f e f e yf e f ++++''''''''''=---+++-+ ()2232222333cos sin 2sin x y x y x y e f yf yf e yf e f +++''''''''=-+-+.习题7－51.设2cos e 0x y x y +-=，求d d y x. 解 设2(,)cos e x F x y y x y =+-，则22d e 2e 2d sin sin x x x y F y xy xyx F y x y x --=-=-=--+. 2.设ln ln 1xy y x ++=，求1d d x yx=.解 设(,)ln ln 1F x y xy y x =++-，则221d 1d x y y F y xy y x x F x y x x y++=-=-=-++. 当1x =时，由ln ln 1xy y x ++=知1y =，所以1d 1d x y x==-.3.设ln arctany x =，求d d y x. 解设(,)arctan yF x y x =，则2222222222211d 111d 1x yy x x y y F yx y x y x y x y y x x F x y xx y x y y x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭=-=-=-=--⋅-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4.设222cos cos cos 1x y z ++=，求zx∂∂，z y ∂∂. 解 设222(,,)cos cos cos 1F x y z x y z =++-，则2cos sin sin 22cos sin sin 2x z F z x x x x F z z z ∂-=-=-=-∂-，2cos sin sin 22cos sin sin 2y z F z y y yy F z z z ∂-=-=-=-∂-. 5.设方程(,)0F x y z xy yz zx ++++=确定了函数(,)z z x y =，其中F 存在偏导函数，求zx∂∂，z y ∂∂. 解 1212()()x z F F y z F z x F F y x F ''++∂=-=-∂''++，1212()()y z F F x z F zy F F y x F ''++∂=-=-∂''++.6.设由方程(,,)0F x y z =分别可确定具有连续偏导数的函数(,)x x y z =，(,)y y x z =，(,)z z x y =，证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂. 证 因为y xF xy F ∂=-∂，z y F y z F ∂=-∂，x z F z x F ∂=-∂，所以 1y xzx yz F F F x y z y z x F F F⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 7.设(,)u v ϕ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bz ϕ--=所确定的函数(,)z f x y =满足z zab c x y∂∂+=∂∂. 证 令u cx az =-，v cy bz =-，则x u u u c x ϕϕϕ∂=⋅=∂，y v v v c y ϕϕϕ∂=⋅=∂，z u v u v u va b z zϕϕϕϕϕ∂∂=⋅+⋅=--∂∂.x u z u v c z x a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+，y v z u vc zy a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+. 于是 u v u v u vc c z zab a bc x y a b a b ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=⋅+⋅=∂∂++. 8.设0ze xyz -=，求22zx∂∂.解 设(,,)z F x y z e xyz =-，则x F yz =-，z z F e xy =-. 于是x z z F z yz x F e xy∂=-=∂-， ()222()z z zz z ye xy yz e y z z x x x x x e xy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪∂∂∂⎝⎭-()22z z zyzy z yz e y e xy e xy ⎛⎫-⋅- ⎪-⎝⎭=- ()2322322z zzy ze xy z y z e exy --=-.9.设(,)z z x y =是由方程2e 0zxz y --=所确定的隐函数，求2(0,1)zx y∂∂∂.解 设2(,,)e z F x y z xz y =--，则x F z =-，e z z F x =-，2y F y =-.于是 x z z F z z x F e x ∂=-=∂-，2y zz F z yy F e x∂=-=∂-， ()()22z z zz ze x z e z z y yx y y x ex ∂∂--⋅⋅∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭-()()222z zz zz y y e x ze e x e x e x ----=- ()()322z zzy e x yze ex --=-.由20ze xz y --=，知(0,1)0z =，得2(0,1)2zx y ∂=∂∂. 10.求由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z .解设(,,)F x y z xyz =x z F zx F xy ∂=-==∂y z F zy F xy ∂=-==∂+，d d d z zz x y x y x y ∂∂=+=∂∂，(1,0,1)d d z x y -=.11.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）设22222,2320,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩求d d y x ，d d z x ； （2）设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，vx ∂∂，v y ∂∂；（3）设sin ,cos ,uux e u v y e u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，v y ∂∂. 解 （1）分别在两个方程两端对x 求导，得d d 22,d d d d 2460.d d z y x y x xy z x y z x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩称项，得d d 22,d d d d 23.d d y z y x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩ 在 2162023y D yz y y z-==+≠的条件下，解方程组得213d 6(61)d 622(31)x x z yxz x x z x D yz y y z ------+===++. 222d 2d 6231y x y x z xy xx D yz y z --===++. （2）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =，将所给方程的两边对x 求导并移项，得,.uv x y u x xu v y x v xx ∂∂⎧-=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=-⎪∂∂⎩ 在220x y J x y yx-==+≠的条件下，22u yv x u xu yv x y x x y y x---∂+==--∂+， 22x uy v v yu xv x y x x y y x--∂-==-∂+. 将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在220J x y =+≠的条件下可得22u xv yu y x y∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+. （3）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =是已知函数的反函数，令(,,,)sin u F x y u v x e u v =--，(,,,)cos u G x y u v y e u v =-+.则 1x F =，0y F =，sin u u F e v =--，cos v F u v =-， 0x G =，1y G =，cos u u G e v =-+，sin v G u v =-.在sin cos (,)(sin cos )0(,)cos sin u u u e v u vF G J ue v v u u v e v u v ---∂===-+≠∂-+-的条件下，解方程组得1cos 1(,)1sin 0sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v x J x v J e v v -∂∂=-=-=-∂∂-+， 0cos 1(,)1cos 1sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v y J y v J e v v -∂∂-=-=-=-∂∂-+， sin 11(,)1cos (,)[(sin cos )1]cos 0u uu u e v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂-=-=-=∂∂-+-+，sin 01(,)1sin (,)[(sin cos )1]cos 1u uu ue v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂+=-=-=∂∂-+-+.习题7－61.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程： （1）2x t =，1y t =-，3z t =在(1,0,1)处； （2）1t x t =+，1t y t+=，2z t =在1t =的对应点处； （3）sin x t t =-，1cos y t =-，4sin2t z =在点1,1,2π⎛- ⎝处； （4）2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩在点(1,1,3)处. 解 （1）因为2t x t '=，1t y '=-，23t z t '=，而点(1,0,1)所对应的参数1t =，所以(2,1,3)=-T .于是，切线方程为11213x y z --==-. 法平面方程为2(1)3(1)0x y z --+-=，即 2350x y z -+-=.（2）因为2211(1)(1)t t t x t t +-'==++，22(1)1t t t y t t-+'==-，2t z t '=，1t =对应着点1,2,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以 1,1,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭T .于是，切线方程为 1212148x y z ---==-. 法平面方程为 281610x y z -+-=.（3）因为1cos t x t '=-，sin t y t '=，2cos 2t t z '=，点1,1,2π⎛- ⎝对应在的参数为2t π=，所以(=T .于是，切线方程为112x y π-+=-=. 法平面方程为402x y π+--=. （4）将2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩的两边对x 求导并移项，得 d 22,d d d 220,d d yy x xy z y z xx ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 由此得2002d 420d 422x z y xz x y x yz y y z --===-，2220d 420d 422y xy z xy xy x yz z y z-===. (1,1,3)d 1d y x =-，(1,1,3)d 1d 3z x =.从而 11,1,3⎛⎫=- ⎪⎝⎭T .故所求切线方程为113331x y z ---==-. 法平面方程为 3330x y z -+-=.2.在曲线x t =，2y t =，3z t =上求一点，使此点的切线平行于平面24x y z ++=.解 因为1t x '=，2t y t '=，23t z t '=，设所求点对应的参数为0t ，于是曲线在该点处的切向量可取为200(1,2,3)t t =T .已知平面的法向量为(1,2,1)=n ，由切线与平面平行，得0⋅=T n ，即2001430t t ++=，解得01t =-和13-.于是所求点为(1,1,1)--或111,,3927⎛⎫-- ⎪⎝⎭.3.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程： （1）222327x y z +-=在点(3,1,1)处； （2）22ln(12)z x y =++在点(1,1,ln 4)处； （3）arctany z x =在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处.解（1）222(,,)327F x y z x y z =+--，(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==-n ，(3,1,1)(18,2,2)=-n .所以在点(3,1,1)处的切平面方程为9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9270x y z +--=. 法线方程为311911x y z ---==-. （2）22(,,)ln(12)F x y z x y z =++-，222224(,,),,11212x y z x yF F F x y x y ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n ， (1,1,ln 4)1,1,12⎛⎫=- ⎪⎝⎭n .所以在点(1,1,ln 4)处的切平面方程为2234ln 20x y z +--+=.法线方程为 12ln 2122y z x ---==-. （3）(,,)arctanyF x y z z x=-，2222(,,),,1x y z y xF F F x y x y ⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭n ， 1,1,411,,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭n . 所以在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切平面方程为202x y z π-+-=. 法线方程为 114112z x y π---==-. 4.求曲面2222321x y z ++=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程. 解 设222(,,)2321F x y z x y z =++-，则曲面在点(,,)x y z 处的一个法向量(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z ==.已知平面的法向量为(1,4,6)，由已知平面与所求切平面平行，得246146x y z ==，即12x z =，y z =. 代入曲面方程得 22223214z z z ++=.解得 1z =±，则12x =±，1y =±.所以切点为 1,1,12⎛⎫±±± ⎪⎝⎭.所求切平面方程为 21462x y z ++=±5.证明：曲面(,)0F x az y bz --=上任意点处的切平面与直线x yz a b==平行（a ，b 为常数，函数(,)F u v 可微）.证 曲面(,)0F x az y bz --=的法向量为1212(,,)F F aF bF ''''=--n ，而直线的方向向量(,,1)a b =s ，由0⋅=n s 知⊥n s ，即曲面0F =上任意点的切平面与已知直线x yz a b==平行. 6.求旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 令222(,,)316F x y z x y z =++-，曲面的法向量为(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==n ，曲面在点(1,2,3)--处的法向量为1(1,2,3)(6,4,6)--==--n n ，xOy 面的法向量2(0,0,1)=n ，记1n 与2n 的夹角为θ，则所求的余弦值为1212cos θ⋅===n n n n .7.证明曲面3xyz a =（0a >，为常数）的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为常数.证 设3(,,)F x y z xyz a =-，曲面上任一点(,,)x y z 的法向量为(,,)n yz xz xy =，该点的切平面方程为()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，即 33yzX xzY xyZ a ++=.这样，切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为33331333962a a a V a yz xz xy =⋅⋅⋅=.习题7－71.求函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2+的方向的方向导数.解按题意，方向l =，12l ⎛= ⎝⎭e .又2zx x∂=∂，2z y y ∂=∂，(1,2)2z x ∂=∂，(1,2)4zy ∂=∂，。
热力学与统计物理第二章知识总结
§内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分热力学函数中的物态方程、内能和熵是基本热力学函数，不仅因为它们对应热力学状态描述第零定律、第一定律和第二定律，而且其它热力学函数也可以由这三个基本热力学函数导出。
焓：自由能：吉布斯函数：下面我们由热力学的基本方程(1)即内能的全微分表达式推导焓、自由能和吉布斯函数的全微分焓、自由能和吉布斯函数的全微分o焓的全微分由焓的定义式，求微分，得，将（1）式代入上式得(2)o自由能的全微分由得(3)o吉布斯函数的全微分(4)从方程（1）（2）（3）（4）我们容易写出内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分dU，dH，dF，和dG独立变量分别是S，V；S，P；T，V和T，P所以函数U（S，V），H（S，P），F（T，V），G（T，P）就是我们在§将要讲到的特性函数。
下面从这几个函数和它们的全微分方程来推出麦氏关系。
二、热力学（Maxwell）关系(麦克斯韦或麦氏)(1)U（S，V）利用全微分性质（5）用（1）式相比得（6）再利用求偏导数的次序可以交换的性质，即（6）式得（7）（2）H（S，P）同（2）式相比有由得（8）（3）F（T，V）同（3）式相比（9）（4）G（T，P）同（4）式相比有（10）（7），（8），（9），（10）式给出了热力学量的偏导数之间的关系，称为麦克斯韦（）关系，简称麦氏关系。
它是热力学参量偏导数之间的关系，利用麦氏关系，可以从以知的热力学量推导出系统的全部热力学量，可以将不能直接测量的物理量表示出来。
例如，只要知道物态方程，就可以利用（9），（10）式求出熵的变化，即可求出熵函数。
§麦氏关系的简单应用证明1. 求选T,V为独立变量，则内能U（T,V）的全微分为（1）熵函数S(T,V)的全微分为( 2)又有热力学基本方程(3)由(2)代入(3)式得(4)(4)相比可得(5)(6)由定容热容量的定义得(7)2. 求选T 、P为独立参量，焓的全微分为（8）焓的全微分方程为（9）以T、P为自变量时熵S（T、P）的全微分表达式为(10)将(10)代入(9)得(11) (8)式和(11)式相比较得(12)(13)(14)3求由(7) (14)式得(15)把熵S看作T,V的函数,再把V看成T,P的函数,即对上式求全微分得∴代入（15）式得由麦氏关系得（16）即得证4、P，V，T三个变量之间存在偏导数关系而可证（17）§气体的节流过程和绝热膨胀过程气体的节流过程(节流膨胀)和绝热膨胀是获得低温的两种常用方法,我们利用热力学函数来分析这两种过程的性质一,气体的节流(焦耳---汤姆逊效应)1、定义：如图所示有一由绝热材料制成的管子,中间用一多孔塞(节流阀)隔开,塞子一边维持较高的压强P,另一边维持较低的压强P,在压力的作用下,气体由高压的一边经过多孔塞流向低压的一边。
一阶微分方程的几种解法
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstr act (1)K e y w o r d s (1)引言 (1)1变量分离法 (1)2 常数变易法 (3)3 积分因子法 (4)4 伯努利微分方程的解法 (5)5 卡迪方程的解法 (7)致谢 (8)参考文献 (8)一阶微分方程的几种解法摘要:研究若干能有初等解法的方程类型及其求解的一般方法，借助变量分离方程、线性微分方程及恰当微分方程这三种类型的方程的初等解法研究变量变换法、常数变易法及积分因子法这三种一阶微分方程的初等解法。
进而将一些不能用初等解法求解的特殊方程求解。
关键词:微分方程 解法Some methods for solving first order differential equationStudent majoring in Mathematics and Applied Mathematics FengxiaoTutor Hao ZhaocaiAbstract : In this article, we study several equations which could be solved by primary methods and their general method of solving. Using the variable separation equations, linear differential equations and appropriate equations of these three types of equations of elementary solutions of the variable transformation methods, we study constant variation method and the integral factor method of these three elementary solution of first-order differential equations. And then we solve some special equations that can not use primary method.Key words: Differential equation ; Solution引言 对于一阶微分方程的一些常见的特殊类型,可以用初等解法求解,即把微分方程的求解问题化为积分问题,其解的表达式由初等函数或超越函数表示。
常微分方程公式大全
常微分方程公式大全1、一阶微分方程：一阶微分方程是一类含自变量x与未知数y(x)及其一阶导函数y'(x)的方程，它可以表示为 F(x,y,y′)=0 。
如果可以解出y'，可表示为： dydx=f(x,y)2、一阶微分方程的其中一种解法--分离变量法：形如 dydx=M(x)·N(y) ：若N(y)≠0，我们可以化成（分离变量法）： 1N(y)dy=M(x)dx 然后两边同时积分：∫1N(y)dy=∫M(x)dx ，则得结果： F(y)=G(x)+C3、齐次方程：如果一阶微分方程可以化为如下形式： dydx=φ(yx) ，则称此类方程为齐次方程。
4、齐次方程一般解法：引出新的位置变量函数 u=yx ，就可以把它化成可以分离变量的方程！（1）由u=yx得到 y=ux（2）两边取x的微分得到 dydx=xdudx+u ，并代入dydx=φ(yx)（3）得到 u+xdudx=φ(u) 再换一下位置 duφ(u)−u=dxx（4）两边积分，得到∫duφ(u)−u=∫dxx（5）设Φ(u) 是 1φ(u)−u 的一个原函数，则得通解：Φ(u)=ln|x|+C ，再把 u=yx 代回这个式子，就得到齐次方程的通解。
5、一些可以转化成一阶齐次微分方程的一阶微分方程：形如 dydx=ax+by+ca1x+b1y+c1 ，其中 aa1≠bb1 （原因是只有这样才可以解出h和k）当c=c1=0时，方程是齐次的，否则是不齐次的。
在非齐次型的情况下，可用以下步骤解：（1）作代换 x=X+h ； y=Y+k 。
（2）求常数h和k：因为dx=dX；dy=dY。
所以方程代换后变成：dYdX=aX+bY+(ah+bk+c)a1X+b1Y+(a1h+b1k+c1) ，因为要使得方程是齐次，所以令后面的常数项为0，即 ah+bk+c=0 以及 a1h+b1k+c1=0联立这两个方程就可以解出h和k。
（3）求 dYdX=aX+bYa1X+b1Y 的通解后，把x-h代X，y-k 代Y，就得到原方程的通解。
自由能和吉布斯函数的全微分解读
自由能和吉布斯函数的全微分在第一章我们根据热力学的基本规律引出了三个基本的热力学函数，物态方程。
内能和熵，并导出了热力学的基本方程dU=TdS-pdV (2.1.1)不论连接两个平衡态的过程可逆与否，式(2.1.1)都是成立的。
因此，可以把式(2.1.1)理解为U 作为S.V 的函数的全微分表达式。
根据式（ 1.6.5），焓的定义是H=U+pV 。
求微分，并将式(2.1.1)代入，即得dH=TdS-Vdp (2.1.2)式(2.1.2)是H 作为S ，p 的函数的全微分表达式。
根据式（1.18.3），自由能的定义F=U-TS 。
求微分，并将式式(2.1.1) 代入，即得dF= -SdT-pdV (2.1.3)根据式（1.18.7），吉布斯函数的定义是G=U-TS+Pv求微分，并将代入，即得dG=-SdT+VdP (2.1.4)式(2.1.4)是G 作为T ，p 函数的全微分的表达式。
函数U （S ，V ），H （S ，p ），F （T ，V ）和G （T ，p ）是在§2.5中将要讲到的特性函数的几个例子。
U 作为S ，V 的函数U=U （S ，V ），其全微分为 dU =(S U ∂∂)v dS+(S VU )∂∂dV 与式(2.1.1)比较，得 (S U ∂∂)v = T ， (S VU )∂∂= p (2.1.5) 考虑到求偏导数的次序可以交换，即 V S U ∂∂∂2=SV U ∂∂∂2（VT ∂∂）S = --- （S p ∂∂）V （2.1.6） 类似地，由焓的全微分表达式（2.1.2）可得 （S H ∂∂）p = T ，（p H ∂∂）S = V （2.1.7） (p T ∂∂)S =(SV ∂∂)p （2.1.8） 由自由能的全微分表达式（2.1.3）可得 （T F ∂∂）V = -S ， （VF ∂∂）T = -p （2.1.9） (V S ∂∂)T =(T p ∂∂)V （2.1.10） 由吉布斯函数的全微分表达式（2.1.4）可得(TG ∂∂)p = -S ,(p G ∂∂)t =V (2.1.5). (2.1.7). (2.1.9).和 (2.1.11).四式将S ，T ，P ，V 这四个量用热力学函数U ，H ，F ，G 的偏导表达出来。
考研数学二模拟392
考研数学二模拟392一、选择题每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 设g(x)可微，f(x)=ln2(1+g(x))+2ln(1+g(x))，f'(1)=1，则g(1)=A．1.B．0.C．2.D．正确答案：B[解析] 按题设令即．选B．方程x=ln(1+x)有唯一解x=0.2. 设[0，4]区间上y=f(x)的导函数的图形如图，则f(x)A.在(0，2)单调上升且为凸的，在(2，4)单调下降且为凹的．B.在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凹的，在(2，4)是凸的．C.在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凸的，在(2，4)是凹的．D.在(0，2)单调上升且是凹的，在(2，4)单调下降且是凸的．正确答案：B[解析] 当x∈(0，1)或x∈(3，4)时，在(0，1)，(3，4)单调下降；当x∈(1，3)时，在(1，3)单调上升．又f'(x)在(0，2)单调上升在(0，2)是凹的；f'(x)在(2，4)单调下降在(2，4)是凸的．因此，应选B．3.A．π．B．C．D．正确答案：B[解析一] 令[解析二][解析三] 令4. 下列命题中正确的是A.设(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点，则x=x0不是f(x)的极值点．B.设x=x0是f(x)的极小值点，f(x)在x=x0二阶可导，则f'(x0)=0，f"(x0)＞0.C.f(x)在(a，b)只有一个驻点x0，且x0是f(x)的极小值点，则f(x0)是f(x)在(a，b)的最小值．D.若f'-(b)＜0，则f(b)不是f(x)在[a，b]的最大值．正确答案：D[解析一] 由举例易知A、B、C不正确．如图1所示，(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点且x=x0是f(x)的极小值点．A 是错的．极小值点x0处可以有f"(x0)=0.如f(x)=(x-x0)4，x=x0是f(x)的极小值点，f"(x0)=0.B是错误的．若f(x)不连续，命题C不正确，如图2.f(x)在(a，b)有唯一驻点x0，是f(x)的极小值点，但f(x0)不是f(x)在(a，b)的最小值．因此，选D．图1图1[解析二] 由最值点处导数性质可知D正确．因为，若f(b)是f(x)在[a，b]的最大值且f'-(b)存在，则于是当f'-(b)＜0时，f(b)不可能是f(x)在[a，b]的最大值．选D．①设f(x)在(a，b)可导，若(x0，f(x0))是f(x)的拐点，则x=x0一定不是f(x)的极值点．因为此时若x=x0是f(x)的极值点，则f'(x0)=0，由于f'(x)在x=x0两侧升降性相反，那么f'(x)在x=x0两侧不变号，这与x=x0是f(x)的极值点矛盾了，因此x=x0不可能是f(x)的极值点．②若f(x)在(a，b)连续，x=x0是f(x)在(a，b)的唯一极值点，则x=x0一定是f(x)在(a，b)的相应的最值点．5.A.可导的奇函数．B.连续，但在x=0不可导的奇函数．C.可导的偶函数．D.连续，但在x=0不可导的偶函数．正确答案：A[解析] 因为改变有限个点的函数值，则不改变函数的可积性与积分值，所以e x2+x2是偶函数且处处连续，由变限积分函数的性质知是奇函数且处处可导．因此选A．不是f(x)在含x=0区间上的原函数．事实上，x=0是f(x)的第一类间断点(可去间断点)，它在含x=0的区间上不存在原函数．6. 设常数0＜a＜1，区域D由x轴，y轴，直线x+y=a以及x+y=1围成．记则I，J，K的大小关系是A.J＜K＜I．B.J＜I＜K．C.I＜J＜K．D.I＜K＜J．正确答案：B[解析] 在区域D上有0＜x+y≤1，于是ln3(x+y)≤0≤sin2(x+y)≤(x+y)2≤(x+y)，且它们互不恒等，连续，因此，它们在D上的积分值满足应选B．7. 已知A是3阶矩阵且则A.16.B.-16.C.256.D.-256.正确答案：D[解析] 由(kA)*=k n-1A*知(2A)*=22A*=4A*，又有以及A*=|A|A-1得8. 已知α=(1，-3，2)T，β=(0，1，-1)T，矩阵A=2βαT+7E，则矩阵A的最小特征值的特征向量是A.α．B.β．C.α+β．D.α-β．正确答案：B[解析] B=βαT，则秩r(B)=1.由αTβ=-5，知矩阵B的特征值是-5，0，0.那么矩阵A=2B+7E的特征值是-3，7，7.矩阵B关于λ=-5的特征向量就是矩阵A关于λ=-3的特征向量．而Bβ=(βαT)β=β(αTβ)=-5β，所以应选B．二、填空题1. 设a n＞0(n=1，2，3，…)且则正确答案：1[解析] 记其中2. 已知则f(x)的连续性区间是______．正确答案：(0，+∞)[解析] 当0＜x≤e时当x＞e时显然，x∈(0，+∞)，x≠e时f(x)连续，又f(x)在x=e左连续且右连续，f(x)也在x=e连续．因此f(x)的连续区间是(0，+∞)．3. 已知f(x)(x∈[0，+∞))为非负连续函数，且满足则f(x)=______．正确答案：[解析] 注意于是原方程改写成先求由及Φ(0)=0，积分得最后得4. 设u=u(x，y)满足且u(0，y)=y2+1，则u(x，y)=______．正确答案：[解析] 将y看作常量，这是以x为自变量，函数u=u(x，y)的一阶线性微分方程改写成两边乘e-xy得对x积分得由因此5. 设φ(z)有连续导数，1-yφ'(z)≠0，z=z(x，y)由方程x=x+yφ(z)确定，则dz=______．正确答案：[解析一] 将方程z=x+yφ(z)两边求全微分dz=dx+d(yφ(z))dz=dx+φ(z)dy+yφ'(z)dz移项并解出[解析二] 先求出方程两边分别对x求偏导数并注意x，y为自变量，z=z(x，y)，于是由复合函数求导法得解出同理，方程两边对y求偏导数得因此6. 已知A是3阶非零矩阵，且矩阵A中各行元素之和均为0，又知AB=O，其中B=，则齐次方程组Ax=0的通解是______．正确答案：k1(1，1，1)T+k2(1，-1，1)T，k1，k2为任意常数[解析] 矩阵A各行元素之和均为0，即故(1，1，1)T是齐次方程组Ax=0的一个解．由AB=O，知，故(1，-1，1)T也是Ax=0的一个解．从而Ax=0至少有2个线性无关的解，即n-r(A)≥2，亦即r(A)≤1，又因A是非零矩阵，又有r(A)≥1.故必有r(A)=1，那么齐次方程组Ax=0的基础解系由n-r(A)=2个线性无关的解向量构成，所以其通解为：k1(1，1，1)T+k2(1，-1，1)T，k1，k2为任意常数．三、解答题15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1. 已知曲线在直角坐标系中的参数方程给出：(Ⅰ)证明x=tlnt(t∈[1，+∞))存在连续的反函数t=t(x)(x∈[0，+∞))且该参数方程确定连续函数y=y(x)，x∈[0，+∞)；(Ⅱ)求y(x)的单调性区间，极值点，凹凸性区间及拐点．正确答案：[证明] 先证x=tlnt单调，必存在反函数，于是确定y=y(x)．再用参数求导法求出然后求出单调性区间，极值点，凹凸性区间及拐点．(Ⅰ)因为在[1，+∞)单调上升，值域是[0，+∞)x=tlnt反函数，记为t=t(x)，它在[0，+∞)连续，t(x)≥1(单调连续函数的反函数连续)．再由连续函数的复合函数的连续性在[0，+∞)上连续．(Ⅱ)现知y(x)在[0，+∞)连续，再由参数式求导法有因此y(x)的单调增区间为x∈[0，e]，单调减区间为[e，+∞)，x=e为极大值点因此为y(x)的凸区间，为凹区间，拐点的横坐标是[解析] 于是因此y=y(x)有渐近线y=0.抛物线y=x2上任意点(a，a2)(a＞0)处引切线L1，在另一点处引一切线L2，L2与L1垂直．2. 求L1与L2的交点横坐标x1；正确答案：[解] 抛物线y=x2在点(a，a2)处的切线方程为L1：y=a2+2a(x-a)即y=2ax-a2．另一点(b，b2)处的切线方程为L2：y=b2+2b(x-b)即y=2bx-b2．由L1与L2垂直即L1与L2的交点(x1，y1)满足代入得3. 证明：L1，L2与抛物线y=x2所围图形的面积正确答案：[解] L1，L2与y=x2所围图形的面积由x1的表达式知4. 问a＞0取何值时S(a)取最小值．正确答案：[解] 求导解最值问题设函数y=y(x)在(-∞，+∞)有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．5. 试将x=x(y)满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；正确答案：[解] 这实质上是求反函数x=x(y)的一、二阶导数问题，由反函数求导公式知，再由复合函数求导法知，代入原方程得即6. 求满足y(0)=0，y'(0)=1的y=y(x)．正确答案：[解] 求y=y(x)就是求解满足初始条件y(0)=0，y'(0)=1的可降阶微分方程(1)．看作不显含因变量y的类型，令得这是可分离变量的方程，分离变量解得p=1(p=0不合题意)或由p=1得，再由初值得y=x．由(2)式积分得即由初值得C=0，仍然只求得y=x．因此求得y(x)=x．[解析] ①这也是不显含x的一类可降阶的二阶微分方程令并以y为自变量，由方程(3)化为一阶微分方程对于原方程(1)，我们得(P=0不合题意)，于是分离变量得积分得ln|P-1|=y+C1，P-1=Ce y由y=0时，P=1得C=0，因此再由y(0)=1得y=x．②这也是伯努利方程(大纲中不要求，若熟悉)，P=0不合题意，P≠0时改写成两边乘e-x得积分并注意到P(0)=1得由及y(0)=0得y=x．7. 求不定积分正确答案：[解] 方法一而因此方法二8. 求极坐标系中曲线的弧长l．正确答案：[解] 先求按弧长计算公式得9. 设f(u，v)有二阶连续偏导数，且满足又求正确答案：[解] 由复合函数求导法得现将①，②式相加得其中由条件知f"11+f"22=1.10. 求二重积分其中D由直线x=a，x=0，y=a，y=-a及曲线x2+y2=ax，(a＞0)所围成．正确答案：[解法一] 将D1看成正方形区域与半圆形区域的差集，在半圆形区域上用极坐标变换．于是于是如果积分区域关于x轴(或y轴)对称，考察被积函数关于y(或x)的奇偶性，往往会简化计算．[解法二] 在直角坐标系下计算而或因此于是[解法三] 被积函数x对x是奇函数，但积分区域D1关于y轴不对称，但关于对称．作平移变换：则D1变为关于v轴对称，于是[解析] J的积分区域如图阴影部分，设D1为由x=a，x=0，y=a，所围．由于D关于x轴对称，故11. 设P(x)=x3+ax2+bx+c，a，b，c，为常数，方程P(x)=0有三个相异实根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，又求证：(Ⅰ)F(x)在(-∞，x3)恰有两个零点；(Ⅱ)F(x)在(x3，+∞)恰有一个零点．正确答案：[证明] 对常数a，b，c均有进一步按题设应有P(x)＜0(x＜x1)，P(x)＞0(x∈(x1，x2))P(x)＜0(x∈(x2，x3))，P(x)＞0(x＞x3)P(x)在(-∞，+∞)连续．(Ⅰ)当x＜x1时时在(-∞，x1)无零点．F(x1)=0.当x∈(x1，x2)时时在(x1，x2]无零点．因F(x)在[x2，x3]连续，又即F(x)在(x2，x3)有零点．又因F'(x)=P(x)＜0(x∈(x2，x3))在在(x2，x3)有唯一零点．因此F(x)在(-∞，x3)恰有两个零点(x1与ξ)．(Ⅱ)由当x＞x*时又因F'(x)=P(x)＞0 (x＞x3)在在(x3，+∞)恰有一个零点．已知矩阵与矩阵等价．12. 求a的值；正确答案：[解] 矩阵A和B等价和B均为m×n矩阵且秩r(A)=r(B)．对矩阵A作初等变换，有由秩r(B)=2，知r(A)=2，故a=6.13. 求可逆矩阵P和Q，使PAQ=B．正确答案：对矩阵A作初等变换化为矩阵B，有把所用初等矩阵写出，得[解析] 本题考查矩阵等价，初等矩阵左乘、右乘问题．把矩阵A化为矩阵B的方法不唯一，因此可逆矩阵P，Q不唯一．设A是各行元素之和均为0的三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，并满足Aα=3β，Aβ=3α．14. 证明矩阵A和对角矩阵相似；正确答案：[解] 矩阵A各行元素之和均为0，即知0是矩阵A的特征值，α1=(1，1，1)T是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量．又A(α+β)=3(α+β)，A(α-β)=-3(α-β)且由α，β线性无关，知α+β，α-β均不是零向量．从而，3和-3都是矩阵A的特征值．α+β，α-β分别是λ=3和λ=-3的特征向量，那么矩阵A有3个不同的特征值，所以A～A．15. 如α=(0，-1，1)T，β=(1，0，-1)T，求矩阵A；正确答案：[解] 当α=(0，-1，1)T，β=(1，0，-1)T时，按已知有A(α1，α，β)=(0，3β，3α)即所以16. 用配方法化二次型x T Ax为标准形，并写出所用坐标变换．正确答案：[解]令即有。
7-3全微分及其应用2-PPT精选文档
3. 多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导存在
函数可微 偏导数连续
三、全微分的计算
方法： （1）先求fx(x,y)、fy(x,y),判断f (x,y)的可微性。 (利用充分条件） （2）dz= fx(x，y)dx+fy(x，y)dy 几类微分：(i) P(x,y)处的微分；
0 y 0 时 ， , f ( x ,y ) y y ,当 2 y 2
f ( x ,y ) y y z f ( x , y ) x x y 2 x 1
x y 1 2 0 1 2 0,
f (x，y)在点P0处偏导存在，但 f(x，y)在点P0处 不连续。所以f (x，y)在点P0处一定不可微。
2. 函数可微的充分条件
定理 2（函数可微的充分条件）如果函数 z f ( x , y )
z z 的偏导数 、 在点( x , y )连续，则该函数在点( x , y ) x y
可微分．
(1) 习惯上，记全微分为
说 明
z z dz dx dy . x y (2) 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du dx dy dz . x y z
z z 函数 z f ( x , y )的偏导数 、 在点( x , y )连续， x y
f ( x x , y ) f ( x , y ) fx(x ,y ) x
二 元 函 数 x y的 对 和 对 偏 微 分
(1)
⊿z=f (x+⊿x，y+⊿y)－f (x，y)
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这就证明了f x( x0 , y0 )存在，且A f x( x0 , y0 )
同理可证明f y( x0 , y0 )存在，且B f y( x0 , y0 ).
因此函数 z f ( x, y) 的全微分可进一步表示为：
( dz ) x f ( x0 y dz ffxx (x x00,, y y0 ) dx .. y 0 , y0 0 )dy 0 y
取y 0，此时 （x)2 (y)2 x ，则有
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) Ax o(| x |),
两边同除以 x ，再令 x 0 ，取极限，得
Ax o(| x |) x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim lim A. x 0 x x 0 x 0 x x
其中A，B与 x, y无关， (x)2 (y)2 , o( ) 是比 高阶的无穷小，则称函数z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 可微分， 而 Ax By称为函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处的全微分， 记作 dz，即
如果函数 f ( x, y) 在区域D内每一点处都可微，则称
f ( x, y) 在区域D内是可微的。
这样，域D内任一点处的全微分为
dz f x( x, y)dx f y( x, y)dy
或写成
z z dz dx dy. x y
例6
求下列函数的全微分：
3 3
(1) z xy x y ;
全增量
设二元函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有 定义.当自变量 x，y在点( x0 , y0 )的该邻域内分别取得
增量x 和 y 时，函数的全增量为
z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ).
引例 设矩形金属薄板长为 x0，宽为 y ，则面积 S xy .薄板受 0
(2) u ( x 2 y) .
z
2 3
(1). dz ( y 3x y)dx (3xy x )dy .
3 2
z 2z (2).dz ( x 2 y) dx dy ln （x 2 y)dz . x 2y x 2y
z
多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
函数可微 偏导数连续
小结
全微o( )
定义 设二元函数 z f ( x, y)在点 ( x0 , y0的某邻域内有定 )
义，如果 z f ( x, y)在点
( x0 , y0 )的全增量
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
可表示为
z Ax By o( )
热膨胀，长自 增加 x0
y
，宽自 增加 x y0
，其面积相应增加 y
S
( x0 x)( y0 y) x0 y 0
y0 x x0y x y
y x
x
x y o( ) 令 (x) 2 (y ) 2， 当(x, y) (0,0),即 0时，
) 的偏导数 f x( x0 , y0 ), f y( x0 , y0 必定存在，且函数 z f ( x, y)
在点 ( x0 , y0 ) 的全微分为 dz f x( x0 , y0 )x f y( x0 , y0 )y.
证: 因为 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微，则有 z Ax By o( ) 对任意的 x, y 都成立.
dz Ax By
引例中， S xy
S y0x x0y x y
Ax By o( )
dS Ax By
( x0 , y0 ) B ? S A ? Sx y ( x0 , y0 )
二、全微分存在的必要条件
定理 (全微分存在的必要条件) 如果函数 z f ( x, y)在点 ( x0 , y0 ) 可微分，则该函数在 ( x0 , y0 )
基础教研部 王琳
二. 全微分
1、全微分的定义 2、全微分存在的必要条件
复习：
一元函数 y f ( x)在点 x 0处的微分：
函数的增量 可表示为 记
y f ( x0 x) f ( x0 ),
y Ax o(x) (x 0)
dy Ax y
一、全微分的定义