(沪教版高二上)数学：第九章 矩阵和行列式初步(章综合)

A0
证:
A为对称阵,故有 A A,因此有AAT A2 0,
T
比较 AAT 0两端的 ( i , i )元素
(a i 1 ai 2 ai 1 ai 2 n a in ) a ik 0. i 1 a in
( i 1,2,, n)
k k l
k l
转置矩阵的运算性质
1 A
T T

A;
2 A B T AT BT ;
3 kA kA ;
T T
4 AB T BT AT .
A 为 n 阶方阵，如果满足A AT，即. 对称阵: 设 aij a ji i , j 1,2 , , n
1 an 0 . 0
4. 利用定义证明某一矩阵 B 为矩阵 A 的逆阵
分析：这类问题中矩阵A 与 B 是已知的，只需验证 AB E 或 BA E，从而证明B A1 .
例7
设 A 0 (k 为正整数)，证明
k
( E A)1 E A A2 Ak 1 .
ij ij
矩阵的和: 两个m n 矩阵 A a , B b 的和
ij ij
定义为A B (a b ) .
ij ij mn
矩阵的数乘: 数k与矩阵 的乘积记做 或Ak A kA
定义为 kA Ak (kaij ). 矩阵的线性运算的运算规律:
2 A B C A B C ; 4 A A 0, A B A B ;
矩阵的定义
a a a a 称为一个 m行 n 列矩阵或 m n矩阵. 记为 A 或
11 21
a a a
a a
12
1n
22
2n
n1
n2
nn
ij
(a ) ; a ij 称为矩阵的第i行j列的元素.
ij mn
元素为实数的称为实矩阵, 元素为复数的称为复矩阵.
( A E ) E ( A E ) B,
从而有 ( A E )( A E ) E , 1 即 A E 可逆且 ( A E ) B E . 故 ( A E )( B E ) ( B E )( A E ), 即 AB A B E BA A B E , 从而 AB BA.
. 1 a
n
1 a1 因为 AB E，故 A1 B . 1 an 例4 设 A, B为同 阶方阵 且 满足 A＋B AB， 求证 A E 可逆并进一步证明 BA. AB
证 因为A AB B ( A E )B，故
注：对一般的 n 阶方阵 A ，我们常常用归纳的方
例2
0 1 0 设 A 1 0 0 ， A2004 2 A2 . 求 0 0 1
0 1 0 0 1 0 2 因为 A 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
一、矩阵的运算
矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算 性质及运算规律，可极大地提高运算效率. 设α (1， ， 1)T ， ααT，求 An . 0 A 例1 1 T 解 : 显然 α α (1 0 1) 0 2，故有 1
A (αα ) αα αα αα αα T T T T α(α α )(α α )(α α )α T n 1 T n 1 (α α ) αα 2 A.

注：对2阶数字方阵求逆一般,都用 A 来做，既简便又 迅速，但对3阶及其以上的数字方阵一般不使用 A 求 其逆阵，因为若用 A去做，计算工作量太大且容易出 错，而是利用下章所介绍的初等变换法.
3. 利用分块矩阵求逆阵 例6
0 M 0 a n a1 0 0 0 ，其中a1 , , an 0，求 M 1 . a n 1 0
为数）;
n阶方阵的幂: 若A是 n 阶矩阵，定义 A k为A的k 次幂,k 为正整数， 即 A k A A A 。规定A0 E
A Akl . k, l为正整数 转置矩阵: 把 m n 矩阵 A 的行与列依次互换得到另 T 一个 n m矩阵，称为 A 的转置矩阵，记作 A
由于 a ik为实数,故 aik 0( i 1,2,, n)即 A 0
二、有关逆矩阵的运算及证明
1. 利用定义求逆阵 利用定义求 n 阶方阵 A逆阵，即找或猜或凑一个 n阶方阵 B ，使 AB E 或 BA E，从而 A1 B. a1 例4 A ，a1 a n 0 (未写出的为0)， an
k
AB
1
B A ,
1
1
A
T 1
A
1 T
;
A
1
1 A
.
A* 若 A 0，则 A 可逆，且A1 ，其中 A *为 A A 的伴随方阵。
6.
分块矩阵
矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证． 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相似．
典
型
例
题
一、矩阵的运算 二、有关逆矩阵的运算及证明 三、矩阵方程及其求解方法
cij ai 1b1 j ai 2b2 j aisbsj
矩阵乘法的运算规律 1 AB C A BC ;
2 A B C AB AC , B C A BA CA;
4 Amn En Em Amn A;
3 k AB kAB AkB （其中
2.
几种特殊矩阵
零矩阵: 元素全为零的 m n 矩阵，记为:O或 0 行矩阵: 只有一行的矩阵。 列矩阵: 方阵:
b b 只有一列的矩阵。 b
a1 , a2 ,, an
1 2
mn
n
行数列数皆相等的矩阵。
上三角方阵: 非零元素只可能在主对角线及其上方。
下三角方阵: 非零元素只可能在主对角线及其下方.
对角方阵:
a2 a4 k k kE k
n
a1
数量矩阵:
单位方阵: 主对角线上全为1的对角方阵.
3. 矩阵的运算
同型矩阵: 行数和列数均相等的矩阵. 矩阵相等: 如果两个矩阵 A (a ), B (b ) 是同型矩 阵,且各对应元素也相同,即 aij bij i 1,2,, m; j 1,2,, n , 则称矩阵 A与B 相等,记作 A B.
第二章
矩阵复习课
主要内容 典型例题 自测题
本章知识结构图
零矩阵 行(列)矩阵 方 阵
特 殊 矩 阵
逆 矩 阵
定
义
相关定理及性质
三角方阵
对角方阵 数量矩阵 单位方阵 (反)对称阵
矩阵
概 念
矩阵的和 矩阵的数乘
定
义
相等矩阵和同型矩阵
分 块 矩 阵
矩 阵 运 算
矩阵相乘
方阵的幂 方阵行列式
１
由 m n 个数 aij i 1,2,, m; j 1,2,, n 排成的 m行 n 列的数表
T
n
1 2
n
1
2
n
5.
逆矩阵
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果存在 n 阶矩阵 B ,使得 AB BA E ,
B 则称 A 为可逆矩阵， 是 A的逆方阵。 相关定理及性质
若方阵A可逆，则其逆矩阵必唯一。 A 可逆 A 0 1 1 1 1 kA A1 ， ( k 0 ); A A ;
2. 利用伴随矩阵 A 求逆阵

a b 例5 ，ad bc 0，求A1 . A c d 解 : 因为|A| ad-bc 0，故 A 可逆.
d b 又A* c a ，从而有
1
1 d b A c a . ad bc
则 A 称为对称阵. 反对称阵: 如果 AT A 则矩阵A称为反对称的. 伴随方阵: 设 Aij 是行列式 A aij 中元素 aij 的代数
余子式,称方阵
A11 A A* 12 A1m
A
A21 An1 A22 An 2 A2 m Anm
证 : 因为 ( E A)( E A A2 Ak 1 ) E A A 2 A k 1
E A E,
k
A A 2 A k 1 A k
故
( E A)1 E A A2 Ak 1 .
注：1. 矩阵的逆阵是线性代数中非常重要的一个 内容，主要包括：
6 kl A k lA ;
(5) 1 A A;
1 A B B A;
7 k l A kA lA; 8 k A B kA kB.
矩阵相乘: A (aij )ms与 B (bij )sn 乘积规定为 一个 m n 矩阵 C (cij )mn . 其中
0 解 : 将 M 分块为M B
a1 其中 A ，B (an ). a n 1
A , 0
从而
M
1
0 1 A
0 1 B 1 a1 0

0
1 a n 1
求A .
1
分析 :
求 A 即找矩阵 B，使 AB E .
1
a1 a1 由A 可推测，B an