专转本模拟试题与解析(五)

江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（五）解析高等数学注意事项：1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。

2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。

3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。

1、已知5lim6,1x ax x →∞+=-则常数a =（ ）A 、1B 、5C 、6D 、1- 2、函数(0)xy x x =>的导数为（ ） A 、1x y xx -= B 、ln xy x x =C 、1ln x x y xxx x -=+ D 、(ln 1)x y x x =+3、0()0f x ''=是()y f x =的图形在0x 处有拐点的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充分必要条件D 、以上说法都不对 4、若21()(0)f x x x'=>，则()f x =（ ）A CB 、C C CD 、ln x C + 5、广义积分x e dx +∞-=⎰（ ）A 、不收敛B 、1C 、1-D 、06、设cos xz e y =，则2zx y∂=∂∂（ ）A 、sin x e yB 、 sin x x e e y +C 、cos x e y -D 、sin x e y -二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。

7、设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([8、2sin b a d x dx da=⎰________________________(其中a 为变量，b 为常量)。

9、设22ln()z x y =+，则定积分11x y dz ===___________________________________10、设(1,0,2)a =- ，(3,1,1)b =- ，则a b ⋅= ___________，a b ⨯=__________________11、设1nn n a x∞=∑的收敛半径为R ，则21nn n a x∞=∑的收敛半径为________________________12、交换二次积分次序()=⎰⎰dx y x f dy ee y1,_______________________________三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。

13、讨论函数111()1xxe f x e -=+的连续性，若有间断点，判断其类型。

14、设xx t x t x t t f ⎪⎭⎫⎝⎛-+=∞→lim )(，求)(t f '。

15、求不定积分⎰+xex 1d 。

16、计算2-⎰。

17、求2(6)20y x y y '-+=的通解。

18、计算2Dx dxdy y ⎰⎰，其中D 由直线2,y y x ==和曲线1xy =所围成。

19、设22(sin ,)z f y x x y =+其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂。

20、求过点()1,2,1-且垂直于直线23020x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩的平面方程。

21、设函数()f x 在闭区间[]0,1上可微，对闭区间[]0,1上的每一点x ，函数()f x 的值都在开区间()0,1内，且()1f x '≠。

证明：在开区间()0,1内仅有唯一的一点x ，使得()f x x =。

22、设22()z f x y =+，且()f u 可微，证明： 0z zyx x y∂∂-=∂∂。

23、设曲线24x x y -=（1）在曲线上求一点，使过该点的切线L 平行于x 轴； （2）求由上述切线L 与该曲线及y 轴所围平面图形的面积； （3）求（2）中平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积。

24、欲造一个体积为常量V 的圆柱体（顶与底都是水平面）容器，已知底面和顶面的单位造价是其侧面单位造价的2倍，问如何设计其尺寸使得总造价最小？江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（五）高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。

1、已知5lim6,1x ax x →∞+=-则常数a =（ ）A 、1B 、5C 、6D 、1- 解析：该题为极限反问题，考查有理分式极限()()limm x nP x P x →∞，只需比较分子与分母的次数即可，先判断极限类型，若是00或∞∞型可以直接使用罗比达法则，其余类型可以转化为00或∞∞型。

()()0,lim ,m x n m n P x m n P x m n→∞<⎧⎪=∞>⎨⎪=⎩分子与分母最高次系数之比值，；故6a =。

故本题答案选C2、函数(0)xy x x =>的导数为（ ） A 、1x y xx -'= B 、ln xy x x '=C 、1ln x x y xxx x -'=+ D 、(ln 1)x y x x '=+解析：该题考查幂指函数的求导，方法：对数求导法。

ln x x x y x e ==，则ln (ln 1)(ln 1)x x x y e x x x '=+=+，故本题答案选D另外，对由乘除法、乘方、开方等构成的复杂的四则运算一般用对数求导法，取对数的好处是将真数的乘除法转化为对数的加减法，求导变得更加简单。

3、0()0f x ''=是()y f x =的图形在0x 处有拐点的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充分必要条件D 、以上说法都不对 解析： 曲线上凹凸性发生改变的界点称为拐点。

它可能出现在()0f x ''=的点或)(x f ''不存在的点。

由于多项式函数处处二阶可导，故拐点处的二阶导数一定为零。

反过来，如果0()0f x ''=，则()00,()x f x 未必是拐点，关键再看该点左右二阶导数是否变号求出拐点。

例如3y x =与4y x =，在0x =处的二阶导数均为零，()0,0是曲线3y x =的拐点，但不是4y x =的拐点。

综上，本题答案选D4、若21()(0)f x x x'=>，则()f x =（ ）A CB 、C C CD 、ln x C +解析：本题考察导数与积分的关系，令2,x t x ==即0x >），于是()0)f t t'=>，两边对t 积分，得()f t C =，故()f x C = 本题答案选B5、广义积分x e dx +∞-=⎰（ ）A 、不收敛B 、1C 、1-D 、0解析：积分限为无穷的广义积分，当收敛时其收敛值的计算和正常的定积分一样，也有类似的牛顿--莱布尼兹公式：()()()()aaf x dx F x F F a +∞+∞==+∞-⎰，所以1x xe dx e +∞--+∞=-=⎰，本题答案选B6、设cos xz e y =，则2zx y∂=∂∂（ ）A 、sin x e yB 、 sin x x e e y +C 、cos x e y -D 、sin x e y -解析：该题考察二元显函数偏导数的求法，偏导数的本质就是将其中一个变量当作常量对另一个变量的导数。

cos x ze y x∂=⋅∂（这里先将cos x e y 中的y 当作常量对x 求导）， 2()(cos )sin x x z z e y e y x y y x y∂∂∂∂==⋅=-⋅∂∂∂∂∂（这里将cos x e y 中的x 当作常量对y 求导）故本题答案选D二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。

7、设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([解析：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质以及定积分的几何意义。

0,()()2(),()aaaf x f x dx f x dx f x -⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为奇函数为偶函数 函数()()f x f x +-是偶函数，3[()()]f x f x x +-是奇函数，131[()()]0f x f x x dx -+-=⎰，而11441225x dx x dx -==⎰⎰， 故1312[()()]5f x f x x x dx -+-+=⎰。

8、2sin b ad x dx da =⎰________________________(其中a 为变量，b 为常量)。

解析：该题考察定积分的基本概念, 变上限函数的求导公式。

定积分1()lim ()nbi i ai f x dx f x λξ→==⋅∑⎰，其本质是和式极限，为一个确定的数值，当然()0ba d f x dx dx=⎰，而()f x 的不定积分就是找那些导数为()f x 的所有函数全体（只相差任意常数C ），不定积分求解正确与否，只要反过来求导是否为被积函数即可。

于是，()()f x dx f x C '=+⎰；()()df x dx f x dx =⎰。

变上限函数的求导公式，对于很多同学可能会觉得不容易记牢，在记忆时不彷考虑牛顿莱布尼兹公式辅助记忆()()()()()()[()][()]b x b x a x a x f t dt F t F b x F a x ==-⎰()()(())([()][()])(())()(())()b x a x f t dt F b x F a x f b x b x f a x a x ''''=-=-⎰变下限函数的求导公式，只需交换积分上下限，结果相差一个负号，故2sin b ad x dx da =⎰2sin a -。

9、设22ln()z x y =+，则定积分11x y dz ===___________________________________解析：该题考察多元函数的全微分若(,)z f x y =可微，则(,)(,)x y dz f x y dx f x y dy ''=+，00(,)0000(,)(,)x y x y dzf x y dx f x y dy ''=+本题中，222222x ydz dx dy x y x y=+++，代入点()1,1有11x y dz dx dy ===+。

10、设{}1,0,2a =- ，{}3,1,1b =- ，则a b ⋅= ___________，a b ⨯=__________________解析：该题考察向量的基本运算——数量积与向量积。