第三章 滑动平均模型与自回归滑动平均模型
第3章自回归滑动平均模型
如此并且正因为这个原因，AR 模型已经成为最常用的线性时间序列模型之一.
形式上，AR(p)模型{Yt}可以写为 (B)Yt Zt ，这里 (B) (1 1B
pBp) ，
BYt Yt 1 。于是，Yt 1Yt 1
pYt p Zt 。正式地，我们有如下定义。
定义 3.1 称{Yt}为 AR(p)过程，如果
3.2 滑动平均模型
设{Zt}是具有均值为零方差为 2 的独立同分布的随机变量序列并用 Zt i.i.d.(0, 2 ) 表示之。假如我们只要求{Zt}是不相关的而不必是独立的， 则{Zt}有时被称为白噪音序列并用 Zt WN(0, 2) 表示之。从直观上说，这 意味着序列{Zt}是随机而且没有系统结构的。 在本书的通篇，我们都用 {Zt}表示宽意义上的白噪音序列，这就是说， Zt WN(0, 2 ) 或者意味着 Zt i.i.d.(0, 2 ) 或者意味着{Zt}是具有均值为零方差为 2 的不相关的随机变 量序列。用 {Z t } 做成一个加权平均，我们就完成了如下的滑动平均(MA)时 间序列模型：
问题 2. 对于假设 1，情况又怎样呢？
这个假设是无关紧要的，因为一当我们建立了{Yt } 的正确形式，它就不
需要了。虽然当 1时，过程{Yt}不再收敛，我们仍可以重写(3.4)如下。
既然Yt 1
Yt
Zt
，方程两边同时除以
1
，我们有
1
1
Yt
Yt 1
Zt 1
(3.5)
在(3.5)中用 t 1代替 t ，我们得到Yt 1 (Yt 2 Zt 2 ) 。将此表达式代入 (3.5)中并且向前迭代 t ，我们有
为了证明 2
1，设 和 是 (z)
0 的根。由因果性，
arma模型的数学表达式
arma模型的数学表达式摘要：一、arma模型的简介- 自回归滑动平均模型(ARMA)的概念- ARMA模型在时间序列分析中的应用二、arma模型的数学表达式- ARMA模型的数学定义- 典型ARMA模型的数学表达式三、arma模型的性质与特点- ARMA模型的稳定性- ARMA模型的自相关函数和偏自相关函数四、arma模型的参数估计与预测- 矩估计方法- 极大似然估计方法- ARMA模型的预测方法正文：一、ARMA模型的简介自回归滑动平均模型，简称ARMA模型，是一种常用的时间序列分析模型。
它由自回归模型(AR)和滑动平均模型(MA)组合而成，能够同时考虑时间序列的自相关性和滑动平均性。
ARMA模型广泛应用于经济学、金融学、气象学等领域，用于预测和分析具有线性趋势的时间序列数据。
二、ARMA模型的数学表达式ARMA模型的数学定义如下：Y_t = c + Φ1Y_(t-1) + Φ2Y_(t-2) + ...+ Φpy_(t-p) + θ1X_(t-1) +θ2X_(t-2) + ...+ θqx_(t-q) + ε_t其中，Y_t表示需要分析的时间序列数据，c为常数项，Φi和θj为自回归和滑动平均系数，p和q分别为自回归和滑动平均的阶数，X_t为解释变量，ε_t为误差项。
典型的ARMA模型有：- AR(p)模型：当q=0时，ARMA模型退化为自回归模型。
- MA(q)模型：当p=0时，ARMA模型退化为滑动平均模型。
- ARMA(p,q)模型：当p≠0且q≠0时，为一般ARMA模型。
三、ARMA模型的性质与特点ARMA模型的稳定性主要取决于其系数Φ和θ的取值。
当|Φ(1+jω)|<1和|θ(1+jω)|<1时，ARMA模型是稳定的。
此外，ARMA模型的自相关函数(ACF)和偏自相关函数(PACF)可以用来分析时间序列的序列相关性和平均相关性。
四、ARMA模型的参数估计与预测ARMA模型的参数估计方法有矩估计和极大似然估计。
（转）滑动平均法、滑动平均模型算法（Movingaverage，MA）
（转）滑动平均法、滑动平均模型算法（Movingaverage，MA）原⽂链接：https:///qq_39521554/article/details/79028012什么是移动平均法? 移动平均法是⽤⼀组最近的实际数据值来预测未来⼀期或⼏期内公司产品的需求量、公司产能等的⼀种常⽤⽅法。
移动平均法适⽤于即期预测。
当产品需求既不快速增长也不快速下降，且不存在季节性因素时，移动平均法能有效地消除预测中的随机波动，是⾮常有⽤的。
移动平均法根据预测时使⽤的各元素的权重不同 移动平均法是⼀种简单平滑预测技术，它的基本思想是：根据时间序列资料、逐项推移，依次计算包含⼀定项数的序时平均值，以反映长期趋势的⽅法。
因此，当时间序列的数值由于受周期变动和随机波动的影响，起伏较⼤，不易显⽰出事件的发展趋势时，使⽤移动平均法可以消除这些因素的影响，显⽰出事件的发展⽅向与趋势（即趋势线），然后依趋势线分析预测序列的长期趋势。
移动平均法的种类 移动平均法可以分为：简单移动平均和加权移动平均。
⼀、简单移动平均法 简单移动平均的各元素的权重都相等。
简单的移动平均的计算公式如下： Ft＝（At-1＋At-2＋At-3＋…＋At-n）/n式中， ·Ft–对下⼀期的预测值； ·n–移动平均的时期个数； ·At-1–前期实际值； ·At-2，At-3和At-n分别表⽰前两期、前三期直⾄前n期的实际值。
⼆、加权移动平均法 加权移动平均给固定跨越期限内的每个变量值以不同的权重。
其原理是：历史各期产品需求的数据信息对预测未来期内的需求量的作⽤是不⼀样的。
除了以n为周期的周期性变化外，远离⽬标期的变量值的影响⼒相对较低，故应给予较低的权重。
加权移动平均法的计算公式如下： Ft＝w1At-1＋w2At-2＋w3At-3＋…＋wnAt-n式中， ·w1–第t-1期实际销售额的权重； ·w2–第t-2期实际销售额的权重； ·wn–第t-n期实际销售额的权 ·n–预测的时期数；w1＋ w2＋…＋ wn＝1 在运⽤加权平均法时，权重的选择是⼀个应该注意的问题。
arfima模型定义
arfima模型定义
ARFIMA模型是一种时间序列模型，也称为自回归分数积分滑动平均模型。
该模型用于描述具有长期记忆性的时间序列数据，其特点是能够同时考虑时间序列的长期依赖性和短期波动性。
ARFIMA模型的名称由自回归项(AR)、分数积分项(FI)和滑动平均项(MA)三个部分组成。
其中，自回归项用于描述时间序列的短期依赖性，即时间序列的当前值与其过去值之间的关系；分数积分项用于描述时间序列的长期记忆性，即时间序列的当前值与其过去长期状态之间的关系；滑动平均项用于描述时间序列的噪声成分，即时间序列中的随机波动。
在ARFIMA模型中，自回归项、分数积分项和滑动平均项的阶数可以自由设定，并且可以通过参数估计来确定这些阶数。
模型的参数估计通常采用最大似然估计法或最小二乘法等统计方法。
ARFIMA模型的应用非常广泛，它可以用于描述股票市场指数、汇率、债券价格等金融时间序列数据，也可以用于描述气温、降水等自然时间序列数据。
通过ARFIMA模型，可以对时间序列数据进行预测、分析和建模，从而为决策提供依据和支持。
需要注意的是，ARFIMA模型是一种比较复杂的模型，需要一定的统计和编程知识才能正确应用。
同时，由于模型的参数估计涉及到大量的计算和优化，因此也需要较高的计算能力和技术水平。
ARMA模型
自回归滑动平均模型（ARMA 模型，Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与滑动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。
在市场研究中常用于长期追踪资料的研究，如：Panel研究中，用于消费行为模式变迁研究；在零售研究中，用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。
定义ARMA模型(auto regressive moving average model)自回归滑动平均模型，模型参量法高分辨率谱分析方法之一。
这种方法是研究平稳随机过程有理谱的典型方法，适用于很大一类实际问题。
它比AR模型法与MA模型法有较精确的谱估计及较优良的谱分辨率性能，但其参数估算比较繁琐。
ARMA模型参数估计的方法很多：如果模型的输入序列{u(n)}与输出序列{a(n)}均能被测量时，则可以用最小二乘法估计其模型参数，这种估计是线性估计，模型参数能以足够的精度估计出来；许多谱估计中，仅能得到模型的输出序列{x(n）}，这时，参数估计是非线性的，难以求得ARMA 模型参数的准确估值。
从理论上推出了一些ARMA模型参数的最佳估计方法，但它们存在计算量大和不能保证收敛的缺点。
因此工程上提出次最佳方法，即分别估计AR和MA参数，而不像最佳参数估计中那样同时估计AR和MA参数，从而使计算量大大减少。
基本原理将预测指标随时间推移而形成的数据序列看作是一个随机序列，这组随机变量所具有的依存关系体现着原始数据在时间上的延续性。
一方面，影响因素的影响，另一方面，又有自身变动规律，假定影响因素为x1，x2，…，xk，由回归分析，其中Y是预测对象的观测值，Z为误差。
作为预测对象Yt受到自身变化的影响，其规律可由下式体现，误差项在不同时期具有依存关系，由下式表示，由此，获得ARMA模型表达式：基本形式ARMA模型分为以下三种：自回归模型（AR：Auto-regressive）如果时间序列满足其中是独立同分布的随机变量序列，且满足：以及E() = 0则称时间序列为服从p阶的自回归模型。
时间序列的7种预测模型适用条件
时间序列的7种预测模型适用条件时间序列分析是一种重要的预测方法，它可以用来分析时间序列数据的趋势、季节性、周期性等特征，并预测未来的值。
时间序列的预测模型有许多种，不同的模型适用于不同的情况。
接下来，本文将介绍时间序列的7种预测模型适用条件。
1. 移动平均模型移动平均模型是最简单的时间序列预测模型，它适用于平稳的时间序列。
平稳时间序列是指在时间上的均值和方差都不会发生明显的变化。
在使用移动平均模型时，需要选取合适的平滑因子，通常选择3、5、7等奇数个周期进行平滑。
2. 简单指数平滑模型简单指数平滑模型是一种基于加权移动平均的方法，通过对历史数据进行指数加权平均，预测未来数据的变化趋势。
该模型适用于趋势比较平稳的时间序列，且最好不要出现季节性变化。
3. Holt-Winters 模型Holt-Winters 模型既考虑了时间序列的趋势，又考虑了季节性因素。
该模型适用于具有季节性变化的时间序列，可以通过调整相应的平滑系数和季节系数，获得更准确的预测结果。
4. 季节性自回归移动平均模型 SARIMASARIMA 模型是一种拓展的自回归移动平均模型，可以用于处理具有明显季节变化的时间序列。
该模型适用于具有季节性变化和趋势变化的时间序列，可以通过选择合适的 p、d 和 q 参数以及 P、D 和 Q 参数，拟合不同的模型结构进行预测。
5. 自回归积分滑动平均模型 ARIMAARIMA 模型是一种用于处理时间序列数据的常用模型，可以进行平稳性检验、自相关性和部分自相关性分析等。
该模型适用于没有季节性变化、存在趋势变化的时间序列。
6. 神经网络模型神经网络模型是另一种常用的时间序列预测方法，它可以利用网络的非线性映射能力对时间序列进行建模和预测。
该模型适用于复杂的时间序列，但需要大量的数据进行训练，同时参数设置比较复杂。
7. 非参数回归模型非参数回归模型是一种不依赖于某种特定的函数形式的回归方法。
它适用于数据量较小或者数据分布较为杂乱，无法使用传统的回归模型进行拟合的情况。
时间序列分析-第三章 滑动平均模型和自回归滑动平均模型
2
qk
j0bjbjk,0kq
E(XX ) k
t tk
0,kq
(5)
MA序列的谱密度
定理1.1 MA(q)序列{ X t } 的自协方差函数 是q步截尾的：
q2bq0,k0,|k|q.
并且有谱密度
(1.6)
f() 2 2|B (ei)|22 1 k q qke ik, [ ,]. (1.7)
b1,b2 ,bq(bq0)使得
则称
q
B(z)1 bjzj 0,|z|1, j1
q
Xt t bj tj,tZ
(1.2)
j1
是q阶滑动平均模型，简称为MA(q)模型；
称由(1.2)决定的平均序列 { X t } 是滑动平 均模型，简称为MA(q)序列。
如果进一步要求多项式 B ( z ) 在单位圆周 上也没有零点：B z 0 , 当 | z | 1 ，则称(1.2) 是可逆的MA(q)模型，称相应的平稳时间 序列是可逆的MA(q)序列。
k
2
3
q q1
0 0
0
0
0
1
0
0 qq
k
k 1
,
qk 1
1
c
0
0 q1
1
q
2
q
(1.11)
则有：
其中 b q 1 2(qA C ),20C T C , (1.12)
kl im kk1Tk .
(1.13)
MA(1)序列
可逆MA(1)
X t t b t 1 ,t W N ( 0 ,2 ) ,|b | 1
本章结构
滑动平均模型 ARMA模型
§3.1 滑动平均模型
模型引入 MA(q)和MA(q)序列 最小序列 MA(q)系数的递推计算 MA(q)模型举例
armax模型辨识原理
ARMAX（自回归移动平均模型）是一种时间序列预测模型，用于描述时间序列数据的特性。
它结合了自回归模型（AR）和滑动平均模型（MA）的特点，通过使用过去的输入和输出数据来预测未来的输出。
ARMAX模型的辨识原理基于以下步骤：
1.差分：首先，对非平稳时间序列数据进行差分处理，使其转化为平稳序列。
这是因为自回归模型
通常用于描述平稳过程，而差分可以消除时间序列中的趋势和季节性因素，使其变为平稳序列。
2.模型定阶：确定ARMAX模型的阶数。
阶数决定了模型中自回归和滑动平均的项数。
常用的方法
包括AIC准则、BIC准则、FPE准则等，这些准则可以帮助我们选择最优的阶数。
3.参数估计：使用最小二乘法、最大似然估计等方法对ARMAX模型的参数进行估计。
这些参数描
述了模型中自回归和滑动平均的强度和滞后时间等。
4.模型检验：通过残差分析、诊断图等方法对模型的拟合效果进行检验。
如果模型的拟合效果不佳，
可能需要重新调整模型的阶数或参数。
5.预测：使用训练好的ARMAX模型对未来数据进行预测。
根据已知的输入数据和模型参数，计算
未来的输出值。
总之，ARMAX模型的辨识原理是通过对非平稳时间序列数据进行差分处理，选择合适的阶数和参数进行模型估计和检验，并使用训练好的模型进行预测。
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析模型是一种通过对时间序列数据进行建模和分析的方法，旨在揭示数据中的趋势、季节性、周期和不规则波动等特征，并进行预测和决策。
时间序列分析模型在经济、金融、市场、气象、医学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的时间序列分析模型。
1. 移动平均模型（MA）移动平均模型是时间序列分析中最简单的模型之一。
它基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是对随机误差的线性组合。
该模型表示为：y_t = c + e_t + θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，q 是移动平均项的阶数。
2. 自回归模型（AR）自回归模型是基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是过去若干时间点的线性组合。
自回归模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，p 是自回归项的阶数。
3. 自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型将自回归模型和移动平均模型结合在一起，用于处理同时具有自相关和移动平均性质的时间序列数据。
自回归移动平均模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t +θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，p 是自回归项的阶数，q 是移动平均项的阶数。
4. 季节性自回归移动平均模型（SARIMA）季节性自回归移动平均模型是自回归移动平均模型的扩展，用于处理具有季节性和趋势变化的时间序列数据。
自回归移动平均模型公式
自回归移动平均模型公式
自回归移动平均模型（ARMA）是一种经济时间序列分析方法，用于预测未来的观测值。
它结合了自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）的特点，具有很好的预测性能。
ARMA模型的数学表达式为：
y_t = c + φ₁*y_(t-1) + φ₂*y_(t-2) + ... + φ_p*y_(t-p) + ε_t + θ₁*ε_(t-1) +
θ₂*ε_(t-2) + ... + θ_q*ε_(t-q)
其中，y_t 是时间 t 的观测值，c 是常数项，φ₁, φ₂, ..., φ_p 是自回归系数，表示 t-1, t-2, ..., t-p 时刻 y 值对 t 时刻 y 值的线性影响；ε_t 是时间 t 的误差项，θ₁, θ₂, ..., θ_q 是移动平均系数，表示 t-1, t-2, ..., t-q 时刻的误差对 t 时刻 y 值的影响。
ARMA模型的参数估计可以利用最大似然估计或最小二乘法等方法进行。
根据观测数据的特征，选择合适的 AR 和 MA 阶数是模型建立的关键。
ARMA模型的预测能力在实际应用中被广泛认可。
通过估计模型参数，可以利用过去的观测值来预测未来的观测值。
预测结果可以帮助决策者制定相应的策略和措施。
需要注意的是，ARMA模型在实际应用中可能面临一些限制。
例如，如果数据存在非平稳性或季节性等特征，需要对数据进行预处理或使用其他模型进行分析。
总之，自回归移动平均模型是一种常用的时间序列分析工具，通过结合自回归和移动平均的特点，提供了对未来观测值的预测能力。
在实际应用中，应根据数据特征选择合适的阶数，并结合其他方法进行验证和优化，以达到更好的预测效果。
自回归滑动平均模型
自回归滑动平均模型自回归滑动平均模型（ARMA）是一种常用的时间序列模型，用于预测未来值的方法。
它结合了自回归模型（AR）和滑动平均模型（MA），能够更好地捕捉时间序列数据的特征。
自回归模型是基于过去的观察值来预测未来值的模型。
它假设未来值和过去值之间存在相关性，即当前值与之前的若干值相关联。
自回归模型将过去的观察值作为自变量，当前值作为因变量，通过调整自变量系数来预测未来值。
滑动平均模型是通过给定的窗口大小，在当前值与其前面若干值的线性组合的基础上，对未来值进行预测的模型。
滑动平均模型认为当前值的变动由之前几个值的加权平均引起，权重通过最小化预测误差来确定。
ARMA模型结合了自回归模型和滑动平均模型的优点，既可以捕捉时间序列数据的历史趋势，也可以考虑数据的随机波动。
ARMA模型的一般形式为ARMA(p,q)，其中p是自回归模型的阶数，q是滑动平均模型的阶数。
使用ARMA模型进行预测时，首先需要确定模型的阶数。
可以通过观察自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来确定。
ACF和PACF可以展现数据的相关性和延迟效应，根据它们的曲线图可以估计出ARMA模型的阶数。
确定了模型的阶数后，就可以使用最小二乘法或极大似然法来估计模型的系数。
然后，可以利用估计出的系数进行模型的拟合和预测。
如果模型的残差序列与随机序列相似，说明模型的预测效果较好。
总之，自回归滑动平均模型是一种常用的时间序列预测方法，它综合考虑了过去观察值的相关性和随机波动，可以较好地捕捉时间序列数据的特征。
但在使用ARMA模型进行预测时，需要注意选择适当的阶数，并根据模型的残差序列来评估预测效果。
自回归滑动平均模型（ARMA）是时间序列分析中的一种重要工具，常用于预测未来的数值或观测序列。
该模型结合了自回归（AR）和滑动平均（MA）两种模型的优点，既能考虑序列的历史信息，又能捕捉随机波动的特征，使得预测结果更加准确和可靠。
在ARMA模型中，自回归（AR）部分用于描述当前值与历史值之间的相关性，滑动平均（MA）部分用于描述当前值与误差（即残差）之间的相关性。
计量学1-自回归移动平均模型分析
9
引进滞后算子L（ Lt t1, L2t t2 , ），移动
平均模型可分别表示为：
Yt
Yt t t1 (1 L)t (L)t
Yt t 1t1 2t2 (11L 2L2 )t 2 (L)t
q
Yt j t j (11L 2L2 q Lq )t q (L)t j0
型才是可逆的。
19
2、MA(q)模型
（1）平稳性
根据MA(q)的定义得到 ：
E(Yt )
0
Var(Yt )
2
(1
12
2 q
)
k
Cov(Yt ,Ytk )
(
k
0
k 1 1 k 2 2
k q
q
qk
)
2
k 1, , q
20
（2）可逆性
MA(q)模型 Yt t 1t 1 2t 2 qt q
4、预测和控制 利用所得到的模型进行预测分析，包括静态预 测和动态预测，多步预测等，利用模型进行控 制。预测本身也是对模型的进一步检验。
7
二、自回归移动平均模型 （一）移动平均模型（moving average process,
MA） 移动平均过程就是一个白噪声过程不同时间随
机变量的加权和。 最简单的移动平均过程是当期和前一期白噪声
Yt Yt1 t
Yt 1Yt1 2Yt2 t
p
Yt 1Yt1 pYt p t iYti t i 1
Yt 1Yt1 t iYti t
i 1
11
引进滞后算子表示方法，上述AR模型则 可以分别表示为：
(1 L)Yt 1(L)Yt t (11L 2L2 )Yt 2 (L)Yt t (11L 2L2 p Lp )Yt p (L)Yt t (11L 2L2 )Yt (L)Yt t
滑动平均模型
ε t = β −1 ( B) xt = ∑ ϕ j B j xt = ∑ ϕ j xt − j = lim ∑ ϕ j xt − j
= ∑∑ β i β j E (ε t − iε t + k − j ) + E (ε tε t + k ) − ∑ β j E (ε tε t + k − j )
i =1 j =1 j =1
q
q
q
− ∑ β i E (ε t +k ε t −i )
i =1
q
由于 {ε t } 是一白噪声序列 故知当 k 对于任意的 1 ≤ k
显然 对于模型 2.2.1 式 可改写为 2.2.2
xt + β 1ε t −1 + β 2 ε t − 2 + L + β q ε t − q = ε t
则可视为 ε t 的 AR( q ) 序列 即
ε t = β 1ε t −1 + β 2 ε t − 2 + L + β q ε t − q + x t
i =1 j =1 j =1
q
q
q
− ∑ β i E (ε t + k ε t − i )
i =1
q
17
= ∑ β i β i + k E (ε
i =1
q −k
2 t −i
) + 0 − β k E (ε ) + 0 = [∑ β i β i + k − β k ]σ 2
2 t i =1
q−k
q ⎧ 2 + σ β i2 ) ( 1 ∑ ⎪ i =1 ⎪ q−k ⎪ 2 因此有 γ k = C ( k ) = ⎨σ ( − β k + ∑ β i β i + k ) i =1 ⎪ ⎪0 ⎪ ⎩
自回归移动平均模型
1
1
2
1
1
2
n
{
2
}
7
m阶平稳过程
z z
强平稳的要求苛刻，因而引入较弱的条件 如果一个平稳过程 m 阶以下矩 ( 包括 m 阶矩 ) 的取 值与时间无关，称随机过程为m阶平稳过程。 随机过程为m阶平稳过程并不要求 x 和x 的概 率分布相同，仅要求这两个分布的主要特征相 同，只要求相等到m阶矩。
t1
t1 + k
z
8
二阶平稳(弱平稳、协方差平稳）
z z
z z z z z
只注重时间序列的一阶矩、二阶矩。 }1T T个均值为E(x1), E(x2),…, E(xT)，T 假设一个时间序列 {xt，其 个方差为Var(x1), Var(x2),…, Var(xT)，和T(T-1)/2个协方差为 Cov(xi, xj)，i≠j。 如果 E ( x1 ) = ... = E ( xT ) = E ( xt ) = μ < ∞ Cov( xi , x j ) = σ ij < ∞
5
平稳性
z
z z
一个时间序列是随机变量按时间顺序排列的观测 值，在经济和金融的应用中，我们仅能得到的是 时间序列的一次实现，时间序列分析的目标就是 从观测到的一次实现来对过程进行推断，常用的 方法就是选择一个适当的模型来近似描述所研究 的过程。 选择一个适当的模型，就涉及到评价样本数据的 联合分布函数 F ( x1 , x 2 , " xT ) = Pr( X 1 ≤ x1 ,", X T ≤ xT ) 其中，T是样本容量，xi是实数。通常{xt}是一个 观测序列。为了能更好地为时间序列构模，需要 限制联合分布。进一步，为了预测，还要说明过 程分布的一些关键性质，即时间不变性。
自回归移动平均模型ARMA(p,q
Hale Waihona Puke 图10.4.1由图10.4.1可以看出p = 1和q = 1，即样本数据具有 ARMA(1,1)模型过程。
（二）模型的估计 模型的理论计算过程较繁杂，我们这里仍然直接利 用EViews软件计算:
在工作文件主窗口点击Quick/Estimate Equation ， 在Equation Specification 对话框中填入 y ma(1) ar(1) 便得到模型ARMA(1,1)的估计结果，如图10.4.2所示：
图10.4.2
由图10.4.2可以知道模型为：
yˆ t =0.0134yt-1+ut+0.945ut-1
而这个计算是一个复杂的过程，为了实际应用的方 便我们采用直接利用计算机软件EViews来判断p和q 的数值各是多少，从而就确定了模型和模型的阶数。 在样本数据窗口，点击View/Correlogram 然后在对 话框中选择滞后期数，我们这里选取12，再点击 “OK”得到自相关系数和偏自相关系数及其图形， 如图10.4.1所示：
在实际应用中，用ARMA(p,q)拟合实际数据时所 需阶数较低，p和q的数值很少超过2。因此， ARMA模型在预测中具有很大的实用价值
二、ARMA模型阶数的确定和模型的估计 （一）ARMA模型阶数的确定 是建立AR模型、MA模型还是ARMA模型？这就 需要确定p和q的数值各是多少，为此需要计算 样本数据的自相关系数和偏自相关系数。
最简单的自回归移动平均模型是ARMA(1，1)，其
yt 1 yt1 ut 1ut1
(10.4.1)
模型ARMA(p,q)
yt 1 yt1 2 yt2 p yt p ut 1ut1 2 ut2 q utq
(10.4.2)
arima模型的建模步骤以及相应公式
arima模型的建模步骤以及相应公式ARIMA（自回归滑动平均移动平均）模型是一种常用于时间序列分析和预测的统计模型。
它的建模过程通常包括以下步骤：1. 数据预处理：对时间序列数据进行观察和检查，确保数据没有缺失值或异常值。
如果有必要，还可以进行平滑处理、差分运算或其他预处理操作。
2. 确定模型阶数：通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来确定ARIMA模型的阶数。
ACF图可以帮助确定移动平均阶数，PACF图可以帮助确定自回归阶数。
3. 参数估计：使用最大似然估计或其他相关方法来估计ARIMA模型的参数。
通过最小化残差平方和来寻找最佳参数值。
4. 模型检验：使用各种统计检验方法来检验模型的残差序列是否符合白噪声的假设。
常用的检验方法包括Ljung-Box检验和赛德曼检验。
5. 模型诊断：对模型的残差序列进行诊断，检查是否存在自相关、异方差性或其他模型假设的违反。
如果有必要，可以对模型进行修正。
6. 模型预测：使用已经估计的ARIMA模型进行未来值的预测。
可以使用模型的预测误差的标准差来计算置信区间。
ARIMA模型的数学公式可以用以下方式表示：Y_t = c + φ_1 * Y_{t-1} + ... + φ_p * Y_{t-p} + θ_1 * ε_{t-1} + ... + θ_q * ε_{t-q} + ε_t其中，Y_t 表示时间序列的观测值，c 是常数，φ_1, φ_2, ..., φ_p 表示自回归系数，θ_1, θ_2, ..., θ_q 表示移动平均系数，ε_t 表示白噪声。
在ARIMA模型中，p 表示自回归阶数，q 表示移动平均阶数。
如果p = 0，表示没有自回归部分；如果 q = 0，表示没有移动平均部分。
ARIMA模型的阶数通常通过观察ACF和PACF图来确定。
自回归滑动平均模型
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4
例 3.1 考虑 MA(1) 模型Yt
Zt
1Zt
。它的相关函数满足
1
1,
k 0,
Y (k)
1 (1
2 1
),
0,
k 1, 其它.
考虑另一个 MA(1) 模型
1
Xt Zt
Zt 1
1
那么有 X (k) Y (k) 。
{ X t } 和 {Yt } 二者具有相同的协方差函数。那么 { X t } 和 {Yt } 二者谁
(i) 对于所有的t ，Yt 满足(3.4)；
(ii) EYt 0 ， varYt 2 (1 2) ；
(iii)
cov(Yt ,Yt k ) cov
jZt j ,
Zl tkl
j0
l0
2
2j k
j0
2 k (1 2) 。
因此，这个新定义的{Yt}是平稳的并且问题 1 的答案是存在
平稳 AR(1)过程{Yt}满足(3.4)。
k
Yt
iZt i
i0
Y k 1 t k1
·暂假定 1。既然{Yt}是平稳的，那么对于所有的 t ， EYt2 常量 。
特别地，命 Yt 2 EYt2 ，则我们有：当 k
时，
2 k
Yt
jZt j
j0
Y 2k 2
2
t k1
0
因此依 L2 ，Yt
。 Zj
j0
tj
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10
对于这个新定义的过程Yt
j 0 jZt j ，我们有如下性质：
更可取呢？
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5
为了回答这个问题，倒过头来将{Zt } 用数据来表示。对于数据集{Yt } ，残差 {Z t } 可以写为
第三章 时间序列分析中的随机线性模型
104第三章 时间序列分析中随机线性模型本章时间序列分析的基本和重要组成部分. 它在工程技术中常用于作预报、控制. 本章主要介绍平稳时间序列的线性模型及其统计特性，由一个样本函数确定它的线性模型的方法，以及进行预报的方法。
它们便于用计算机作数值计算.§1 时间序列及其实例时间序列是随机序列，即参数离散的随机过程. Chapter Ⅱ常见的随机序列有{}(),1,2,X n n = 和{}(),0,1,2,X n n =±± 常记为 （1）{}12,,or ,1,2,t Z Z Z t =（2）{}21012,,,,,,or ,,1,0,1,t Z Z Z Z Z Z t --=-由于工程中遇到的随机序列的参数经常为时间，故称随机序列为（随机）时间序列. 可以说，时间序列是随时间改变而随机地变化的序列.例1．某地区从1950年元月开始每月月降水量数据为19,23,0,47,0,0,123, （单位：毫米）. 每月降水量12,,Z Z 构成一个时间序列. 上面数据是这个时间序列的一个样本函数. 样本函数常可用面点图表示，其中t 是从1950年元月起算.例2．某城市从1960年元月1日开始，每小时电力负荷t Z 可画成如下图所示的点图. 它.例3．给出了1963年3月26日至1967年3月25日（共四年）地球自转随时间变化的情况，共293N=个数据（一个数据/五天）时间序列分析的目的是找出它的变化规律，即随机线性模型. 时间序列在工程中常用于作预报. 如气象预报、地震预报、水文预报等. 以水文预报为例，某地区根据迄今为止每月的月降水量预报下一个月的降水量. 又如某地区根据已有电力负荷数据，预报下一小时电力负荷，以便控制下一小时发电机的发电量. 又如对于列出了自1967年3月25日以前的数据按一定预报方法，对于半年以内（每五天报一个值）的未来值的预报和误差. （安鸿志，时间序列分析及应用-P）.187时间序列分析（Time Series Analysis）分为“时域分析”（Time Series in the Time Domain）和“频域分析”（Time Series in the Frequency Domain）（r）.k前者对时间序列（动态数据）在时间域上的各种平均值进行分析研究；后者是对序列作Fourier Transformation, (())Fλ在Frequency Domain内进行Spectral Analysis）这两种不同的统计分析方法，在实际工作者都有着广泛的应用.自从①（Box, Jenkin）G.E.P Box and G. M. Jenkins, Time Series Analysis ：Forecasting and Control, Halden-Day San Francisco, 1970 (One-dimension) ②E. J. Hannan, Multiple Time Series，New Y ork and London, Wiley 1970 (Multi-dimension) 两专著问世以来，特别是进入信息时代后，计算机的高度发展，时域分析方法愈来愈显示出它的重要性和科学性，从而愈为人们所关注.[1] 安鸿志，时间序列分析与应用，科学出版社，1986年[2] 安鸿志，非线性时间序列分析与应用，科学出版社，2000年[3] 项静恬等，动态数据处理-时间序列分析，气象出版社，1986年[4] 谢衷洁，平稳时间序列分析，北大，1990年[5] E. J. Hannan .Time Series in the Time Domain, North-Holland. (1985)105106§2 平稳时间序列及其线性模型一、平稳时间序列：平稳时间序列是指平稳序列. 设时间序列为, 21012,,,,,Z Z Z Z Z -- 或{,,2,1,0,1,2,}t Z t =-- . 若t Z 满足（1）t EZ μ=（常量），0,1,2,t =±± ；（2）()t t k E Z Z +与t 无关，0,1,2,k =±± 则称t Z 是平稳时间序列. 数字特征：μ=t EZ[()()],0,1,2k t t k r E Z Z k μμ+=--=±± 自协方差函数自相关系数函数或标准相关函数20[]t t k k k k Z Z r rE r μμρσσσ+--=⋅==，其中2t D Z σ=称k ρ为自相关函数（与第二章()()Z t t k R k E Z Z +=自相关函数不同）（1）,,0,1,2,k k k k r r P P k --===±± ； （2）001,0t r D Z ρ==≥；（3）0||,||1,0,1,2,k k r r k ρ≤≤=±± . 最简单平稳时间序列的例子是离散型白噪声.二、平稳时间序列的线性随机模型平稳时间序列21012,,,,,,Z Z Z Z Z -- ，一般地，0t EZ μ=≠，为方便起见，令t t Z ωμ=-，显然0t E ω=，于是得序列：21012,,,,,,ωωωωω--，易知{,0,1,2,t t ω=±± 亦是平稳时间序列.均值为0具有有理谱密度的平稳时间序列必可表示为下面三种形式一种： 1、自回归模型（A wtoregression Model ）-AR 模型1122t t t p t pta ωφωφωφω---=++++or （I ）1122,0,1,2,t t t t p t p a t ωφωφωφω---=--=±± 即任何一个时刻t 上数值t ω可表示为过去p 个时刻上值p t t --ωω,,1 的线性组合加上t 时刻的白噪声，{,0,1,}t a t =± 为白噪声. 常数p （正整数）表示模型阶数；常系数p φφφ,,,21 为参数且0p φ≠. 可表示为线性差分方程（I ）形式的平稳序列{,0,1,2,}t t ω=±± 称为具有自回归模型.Remark ：数理统计中线性回归方程模型011p p Y x x βββε=++++ ，其中2(0,)N εσ .这是同一时刻，静态关系式；而t ω可用它过去p 个12,,,t t t p ωωω--- 的不同时刻的线性回归方程表示，这里t 可取任意整数. 这是一个动态模型. p 阶回归模型简107记为()AR p ，2p +个参数：阶数212,,,,,p a p φφφσ2、滑动平均模型（Moving A verage Model ）-MA 模型1122 0,1,2,t t t t q t q a a a a t ωθθθ---=--=±± （Ⅱ） t ω可表为白噪声{}t a 在t 和t 以前1q +个时刻上数值1,,,t t t q a a a -- 的加权和，或者滑动和的形式.常数q （正整数）表示模型的阶数；常系数12,,,q θθθ 参数且0q θ≠，称可表为线性方程（Ⅱ）形式的平稳序列{},0,1,t t ω=± 具有滑动平均模型. q 阶滑动平均模型简记()M A q ，2q +个参数：阶数212,,,,q a q θθθσ3、自回归滑动平均模型或混合模型（Autoregressive-Moving A verage Model ）-ARMA 模型.1111 0,1,2,t t p t pt tq t q a a a t ωφωφωθθ-----=-=±±（Ⅲ）(0,0,0,0p q p qφθ>>≠≠可表为（Ⅲ）平稳时间序列{},0,1,2,t t ω=±± ，称为具有自回归滑动平均模型或混合模型，简记为ARMA (,)p q ，,p q 为混合模型的阶数. 11,,,,,p q φφθθ 称为混合模型的参数. 3p q ++个参数：11,,,,,p q φφθθ ，阶数,p q ，2a σ.Remark ：①广义地说，当0,0(0)p q p q ≥≥+≠（Ⅲ）式亦称混合Model ： 1）取0,0q p =>，（Ⅲ）化为AR Model ； 2）取0,0p q =>，（Ⅲ）化为MA Model ； ②（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）均为t ω的随机差分方程.下面说明：平稳序列{}t ω的有理谱密度及它与（Ⅲ）式关系. Chapter Ⅱ §4 例1：均值为0的平稳序列qkt t k k a ωθ-==∑（{}t a 为离散白噪声）功率谱密度为 22(),qik kak s eωωσθπωπ==-≤<∑（有限滑动和与无限滑动均有类似表达式）一般地，均值为零的平稳序列有理谱密度(rational spectral density)形式为22()(),()i ai e s e ωωωσπωπΘ=-≤<Φ （Ⅳ）其中()z Θ和()z Φ是Z 之实系数多项式，可表为 212()1qq z z z z θθθΘ=---- 212()1pp z z z z φφφΦ=----而()z Φ和()z Θ无共因子，且()z Φ和()z Θ的零点全部在z 复平面上的单位圆1z =之外（保证平稳性、稳定性）108定义：设()z Θ和()z Φ满足上述条件. 若均值为0的平稳序列{},0,1,2,t t ω=±± 满足112211,(0,1,2,)t t t p tp tt q t q a a a t ωφωφωφωθθ---------=---=±± （Ⅴ）其中{},0,1,2,t a t =±± 是白噪声，22t a Ea σ=，且当s t >时，()0t s E a ω=（不相关条件），则称{}t ω是随机差分方程（Ⅴ）之平稳解.利用平稳序列谱表式Th 和相关函数的谱表示Th ：（安鸿志书267P ）Theorem ：具有有理谱密度（Ⅳ）的均值为零的平稳序列t ω，一定是随机差分方程（Ⅴ）的一个平稳解；反之，方程（Ⅴ）的平稳解一定具有有理谱密度（Ⅳ）. （1-1对应）Th ：Proof ：""⇒若已知t ω具有理谱密度22()() ()i ai e S e ωωωσπωπΘ=-≤<Φ则2121222221212()()()i i k i k k a i e r eS d ed e λπλπλλλλσλ--Θ==Φ⎰⎰由谱表示Th 知：1221()()()i i t t i e edy e λπλλωλ-Θ=⋅Φ⎰其中()y λ为正交增量过程，{}22()aE dy d λσλ=由此便可得到：122111()()i t i t t p t p ee dy πλλωφωφωλ------=Θ⎰11t t q t q a a a θθ--=--- 其中1212()i t t a edy πλλ-≡⎰21222()12,0, i t s a s t at s Ea a ed t s πλσσλ--⎧===⎨≠⎩⎰故t a 为白噪声序列.“⇐”由谱表示Th ：平稳白噪声序列t a 表成12212()i t t a a edy πλλ-=⎰其中()a y λ是相应于t a 的正交增量过程，{}22()a aE dy d λσλ=又根据同一Th 知：12212()i t t edy πλωωλ-=⎰其中()y ωλ是相应于平稳序列t ω的正交增量过程{}2()()E dy dF ωλλ其中()F λ是t ω的谱分布函数，由于已假定了t ω满足差分方程.109故将上述两式代入差分方程式得：1212221212()()()()i t i i t i a ee dy ee dy πλλπλλωλλ--Φ=Θ⎰⎰再由谱表示Th 知，上式两边的随机序列的自协方差函数k r 分别是下式两边的数列：112222221212()()()i k i i k i a ee dF ee d πλλπλλλσλ--Φ=Θ⎰⎰它对一切整数k 都成立，因此222()()()i i a e dF e d λλλσλΦ=Θ又由于2()0 (1)i i e e λπλ-Φ≠=222()()() ()i a i e dF f d e λλλλσλΘ∴==⋅Φ为方便计，ARMA 模型可表为()(),0,1,2,t t B B a t ωΦ=Θ=±±引进一步延迟算子B ，1, (1)t t t t k B B B k ωωωω--==≥ 令 11()1,()1p qp q B B B B B B φφθθΦ=---Θ=---Remark ：①对于()g λ为连续的情形，它可用有理谱密度（Ⅳ）形式来逼近真实谱，这是较有效方法；（广泛性）②正态有理谱密度序列一定具有遍历性（郑绍谦译，平稳时间序列的统计分析（1962））（现实存在性）③对于有理谱22()()()i ai e g e ωωλσΘ=Φ和1221()i k k r g ed πλλλ-=⎰估计只要估计2,,a p q σ和11,,,,,q p θθφφ ，（3p q ++个参数）即可；且将()g λ局限于一类较窄范围（有理谱）讨论，简化了计算；所谓参数化方法.④时域分析：主要利用k r 分析时间序列. 亦称相关分析 频谱分析：利用谱分布()F λ分析序列. 三、平稳域和可逆域：()p Φ是ARMA 模型的平稳域：即对于（Ⅴ）中{111 (,,):()10p p p ωφφωφωφω>Φ=---= 的p 个根全在复平面的单位圆外}，ω为复数，则称()p Φ为～. 它是p 维欧氏空间的子集. {()2112(,):()10q q q q θθωθωθωθωΘ=Θ=----= 的q 个根全在复平面的单位圆外}(1)ω>则称()q Θ是ARMA 模型的可逆域它是q 维欧氏空间的子集.例1．AR (1)或ARMA (1,)q 模型：方程1()10ωφωΦ=-=的根11ωφ=，若要求1111 1ωφφ=>∴<，因而平稳域为{}(1)11:11φφΦ=-<<110同理：MA （1）和ARMA (,1)p 模型之可逆域为{}(1)11:11θθΘ=-<<例2．AR (2)或ARMA (2,)q 模型：方程211()10ωφωφωΦ=--=根为221(10)φωφω+-=221122221121221122,14[214[21]4[21φφφφωφφφφωφφφφω+--=++-=+±-=，即利用韦达Th ：11212221,φωωωωφφ+=-⋅=-因而有：122112121ωωφφωωωω+±=-±12111(1)(1)ωω=-1）i ω为复数时，不妨设112,a bi a bi ωωω=+=-= 则 221111111(1)(1)1()a ba bia biωω--=+-+++-2222222212(1)10a a b a ba ba b-+=+-=>+++ （成对出现）同理1111(1)(1)0ωω++>注意当1ω为复数时，由于12,φφ均为实系数，2ω必为1ω共轭复数. 当1ω为复数时，2ω亦为实数.欲证：2211(1,2)1,1i i ωφφφ>=⇔<±< 于是为保证平稳域要求：若1(1,2)i i ω>= 则212211()φωωφ<⋅=，而且无论i ω为实数或复数都有：2112111(1)(1)1φφωω±=-< 1212121) (1,2)111 (1)(1)02) ,i i i ωωωωωωωω⎛=> =>⎝ 为复数时有均为实数显然反之，若21φ<且211φφ±<（即1211(1)(1)0ωω>）那么由1221ωωφ-=推出(1,2)i i ω=中至少有一个大于1，不妨设11ω>，当1ω为111复数时12ωω=，这时211ωω=>；当12,ωω均为实数时，由于11ω>意味着1110ω>∴从1211(1)(1)0ωω>推得2110ω> ，即2111ω-<< or 21ω>（利用了2112111(1)(1)1φφωω±=-<）这就证明了无论(1,2)i i ω=为实数或复数有1i ω>综上所述：(2)121(1,2)(,)i i ωφφ>=⇔∈Φ{}(2)1,222121():11,1,1φφφφφφφΦ=-<<+<-<这就是AR (2,0)或ARMA (2,)q 平稳域.例5．ARMA (1,1)模型平稳可逆域为{}111(,):11,11φθφθ-<<-<<其图象为Remark ：①我们总假定()()11(,,),(,)p q p q φφθθ∈Φ∈Θ②高阶模型参数的平稳域与可逆域检验：,2p q >时Model 之平稳可逆域之判定十分复杂，两种方法：1）直接办法：求解代数方程，检查()0ωΦ=或()0ωΘ=根是否在单位圆外，此法计算量较大，况且有时并不需了解特征方程根的具体数值；（Mat Lab 等）.2）运用Schur-Cohn 准则和Jury 准则；（项静恬《动态数据处理时间序列分析》） Jury 准则有一个相当适用的方便结果：Theorem ：多项式()F z 之根全部在单位圆内的一个充分条件是：1200n n n a a a a -->>>>> （1）即当（1）成立时，多项式()F z 的根全部在单位圆内应用：将此结果应用到ARMA112模型，可得到相应结果，即当,011<<<<-p φφ or 011<<<<-p θθ 时()ωΦ或()0ωΘ=满足平稳性或可逆性.(()F z 由()ωΦor ()ωΘ经1z ω-=反演变换而得1101(),(,,)p p p p z z z a a a ϕφφ-=--- 为1(,,,1)p φφ-- 1101(),(,,)q q q qz z z a a a θθ-Θ=--- 为1(,,,1)q q θθ--- 也就是说Jury 准则当条件不全成立时，()F z 至少有一个根不在单位圆内.四、格林函数和逆函数对于较一般的ARMA (,)p q 模型，t ω怎样用白噪声1,t t a a - 表示呢？反之，白噪声t a 又怎样用1,t t ωω- 表示呢？（Ⅰ）利用()(),1t t B B a B ωΦ=Θ<，B 理解为复数1()()t t B B a ω-=ΦΘ，令1()()()G B B B -=ΦΘkt k K Ga ∞-==∑ 由于()G B 在1B <中解析，可展开为幂级数，0()kkk G B GB ∞==∑011t t k t k G a G a G a --=++其中10(0)(0)(0)1G G -==ΦΘ=称此式为ARMA 模型的传递形式. ,0,1,2,k G k = 称为ARMA 模型的格林函数. Remark ：①ARMA 模型参数12,,,p φφφ 落在平稳域()p Φ内，故传递形式和格林函数存在；②特别地MA (0,)q 模型(),()()t t B a G B B ω=Θ∴=Θ此时Green 函数为1, 0 1,2,,0, k k k G k q k q θ=⎧⎪=-=⎨⎪>⎩基本命题，当0k >时，()0,1,2,t t k E a ω+=±±Proof ：0()()()0 t t k l t l t k lt lt k l l E a E G a a G E aa ω∞∞+-+-+=====∑∑（Ⅱ）利用()()t t B B a ωΦ=Θ 1()(),1t t a B BB ω-=ΘΦ< ()B Θ 在1B <内可逆. 令11()()()()I B B B G B --=ΘΦ=由于()I B 在1B <中解析，可展开成幂级数：01(),1kkk I B I I B B ∞==-<∑（为预测问题便利，才如此假设. ） 显然01I = 将()I B 代入上式：1131() t tt k tkk a I B I ωωω∞-===-∑称此式为ARMA 模型的逆转形式. ,0,1,2,k I k = 称为ARMA 模型的逆函数. Remark ：（1）由于()1(,)q q θθ∈Θ中，则ARMA 模型的逆转形式和逆函数存在；（2）特别地，AR ()p 模型为(),()()t t B a I B B ωΦ=∴=Φ此时，逆函数为： 1, 01,2,,0, k k k I k P k P φ=⎧⎪==⎨⎪>⎩例1．AR （2）模型121166t t t t a ωωω----=此时211()1,()166B B B B Φ=--Θ=，因而21()11166G B B B=--13121()155(1)(1)112323G B B B B B ==⨯+⋅-+-+kkk k kk kk B B B ]31522153[35225300⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=∑∑∑∞=∞=∞=∴格林函数：3121()(1)(),0,1,2,5253k k k k G k =+-⋅= 而传递形式为 03121[()(1)()]5253k kkt t kk a ω∞-==⋅+-⋅⋅∑ 例2．ARMA (1,1)模型1111t t t t a a ωφωθ---=- 此时1()1B B φΦ=- 1()1B B θΘ=- 因而1111111011()1()(1)1()()1kkk kk k B B G B B B B B Bθθφφφθφ∞∞-==Θ-===-=+-Φ-∑∑故有格林函数：101111,(),1k k G G k φφθ-==-≥11111111()1()()1()()1k kk B B I B GB B B Bφθθφθ∞--=Φ-====+-Θ-∑故有逆函数：101111,(),1k k I I k θθφ-==--≥例3. MA （2）模型1122t t t t a a a ωθθ--=-- 此时212()1,()1B B B B θθΦ=Θ=--，故21211()()1I B B B Bθθ==Θ--利用212(1)()1B B I B θθ--=的两边kB 系数相等，可得011211211221,,,,3k k kI I I I I I I k θθθθθ--==-=-=+≥114这是关于k I 递推公式. 可用递推法计算逆函数k I .001(())kkkk k k I B IB I I B ∞∞====-∑∑例4．MA （1）模型11t t t a a ωθ-=- 此时11111()1,()1,()()1k kk B B B I B B B Bθθθ∞=Φ=Θ=-===Θ-∑因而逆函数为：011,,1k k I I k θ==-≥，逆转形式为：1k t t kk a θω∞-==∑§3 各类线性模型的性质主要考虑自相关函数和偏相关函数性质. 这里自相关函数表示自相关系数函数，不同于前两节自相关函数. 用自协方差函数定义. 0t E ω=自协方差函数 (autocovariance function)自相关函数 (autocorrelation function) 0/,0,1,2,k k k ργγ==±± 一、偏相关函数(partial autocorrelation function)：平稳时间序列{,,2,1,0,1,2,}t t ω=-- 中取出一个片段共1(1)k k +≥个量1,,,t t t kωωω++ 现在用前面k 项线性组合去估计t k ω+即用11221kkjt k j k t k k t k kk t j φωφωφωφω+-+-+-==+++∑估计12,,,,t k k k kk ωφφφ+ 而是系数. 我们采用最小方差估计法（Least Mean Square Estimation 简记LMS 估计）确定这些系数，即选12,,,k k kk φφφ 使均方偏差达最小.21()kt k kj t k j j E δωφω++-==-∑用高数中多元函数求极值方法，令10[2()()]0kt k kj t k j t k j j kj E δωφωωφ++-+-=∂==--=∂∑ (1,2,,)j k = 化简得：01121111022211220k k k k kk k k k kk k k k k k kγφγφγφγγφγφγφγγφγφγφγ----+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（Ⅰ）115上式两边除以0γ：11223111121322112233k k k k k kk k k k k kk k k k k k k k kφρφρφρφρρφφρφρφρρφρφρφφρ-----++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩（Ⅱ）（Ⅰ）、（Ⅱ）线性方程组表示为矩阵形式：1211110122210211210k k k kk k k γγγγφγγγγφγγγγγγφγγγγγ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭（Ⅲ） 和121111122221121111k k k kkk k ρρρφρρρφρρρρφρρρρ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭（Ⅳ） 解方程（Ⅲ）、（Ⅳ）得12,,,k k kk φφφ . 规定001, (0)kk k φφ=≥称为偏相关函数（kk φ不同于随机线性模型中k φ） Remark ：方程（Ⅲ）、（Ⅳ）中系数矩阵是Toeplite 矩阵；而（Ⅲ）、（Ⅳ）方程称为Y ule-Walker 方程.Remark: ①由（Ⅲ）、（Ⅳ）算出量中kk φ偏相关函数有用，而11,,k kk φφ- 无用； ②kk φ可用k γor (1,2,,)k k k ρ= 计算且计算量很大； 偏相关函数kk φ概率意义：1）它刻划了平稳序列任意一个长1k +的片段t ω1,,t ω+ 1,t k ω+-t k ω+在中间量11,,t t k ωω++- 固定的条件下，两端t ω和t k ω+的线性联系密切程度. （001φ=）其名称来源于它的概率意义（而自相关函数k ρ并不需要中间数值固定，它刻划两端t ω和t k ω+和线性联系密切程度）2）精确解释kk φ的概率意义，需用到数理统计的相关分析中偏相关系数概念. 3）LMS 估计与LS 估计区别.二、各类线性模型判断的概念：（1）自回归模型AR(p) 自相关函数k ρ拖尾，偏相关函数kk φ截尾.（2）MA(q)的自相关函数k ρ截尾，尾巴截断在k q =处；偏相关函数kk φ拖尾；（k ρ见116（B ）图p 改为q ；kk φ类似（A ）图）（3）ARMA(,p q )(0,0)p q >>的自相关函数k ρ与偏相关函数kk φ都是拖尾的. （,k kk ρφ图象类似（A ）图）k ρ拖尾：指它随着k 无限增长以负指数的速度趋向于0，即当k 相当大时有kk ceδρ-<(0,0)c δ>>此时lim 0k k ρ→∞=，其图象象拖一条尾巴.kk φ截尾：指00kk k p k p φ≠=⎧=⎨=>⎩时时即kk φ在k p =时不为0，k p >时为0，其图象象截断了尾巴一样，而且尾巴截断在k p =的地方.三、三种线性模型k ρ性质的证明：1．MA(q)模型k ρ截尾：需证k q >时0k ρ=；而0q ρ≠由于 11t t t q t q a a a ωθθ--=---为计算1111()[()()]k t t k t t q t q t k t k q t k q E E a a a a a a γωωθθθθ+--++-+-==------ 因而可分别有：117当0k =时 )1(22120q a θθσγ+++=当1k q ≤≤时 211()k a k k q k q γσθθθθθ+-=-+++ （Ⅰ） 当k q >时 0k γ=这里规定00θ=，因为当k q =时会出现0θ，进而可得：112211,110k k q k q k k q k k q k qθθθθθγργθθ+-⎧=⎪-+++⎪==≤≤⎨+++⎪⎪>⎩（Ⅱ） 然而 221/(1)q q q ρθθθ=-+++ ，显然不为0于是，证明了k ρ在k q =处截尾. 不仅如此，还需指出，（Ⅰ）表明01,,,q γγγ 之数值通过解非线性方程组可得212,,,,a q σθθθ 之值；（§5确定参数方法）数学上亦证明了若k ρ在k q =处截尾，且满足某个普通条件，则平稳序列t ω具有MA （q ）模型. （安鸿志书附录）.2．AR （p ）模型k ρ拖尾：只需证0,0,c δ∃>>使,0kk cek δρ-<≥由于1122t t t p t p t a ωφωφωφω---=++++ 先求,0k k γ>当，上式两边乘以t k ω-，再取期望11t t k t t k t p t k t t k E E E Ea ρωωφωωφωωω------=+++ 利用§1中基本命题：0 0()t t k Ea k t t k ω-=>>-∴有：1122,0k k k p k p r r r r k φφφ---=+++> （Ⅰ） 两边除以0r ，得：1122,0k k k p k p k ρφρφρφρ---=+++> （Ⅱ） or 写成()0,0 k B k ρΦ=>这是线性差分方程：利用差分方程解法获得k ρ，令ll ρλ=，λ待定.当l p >-时，由上述方程得：1212l l l l pp λφλφλφλ---=+++因而121210pp φλφλφλ-------=1λ-∴是方程()0B Φ=的根.设方程()0B Φ=在单位圆1B =外有p 个不相同的根11112,,,P G G G --- ，其中1,1,2,,j G j p <= . λ可取,1,j G j p =，综上所述，,ll j p G l p =>-是差分方程11,0k k p k p k ρφρφρ--=++> 的解. 进而可得1122,l l ll p p A G A G A G l p ρ=+++>-118它是差分方程（Ⅱ）之解，其中12,,p A A A 是常数. 它们可根据p 个关系式01,(0)l l p p p l p -==<<确定. 显然，当l →∞时，有0l p →，下面对l p 作界之估计. 当0l ≥时11221||||||||||||||l llll p pp A G A G A G p c M ≤+++≤ 1ln1l l Mpc ece δ--==.其中 1111m ax ||0,m ax ||1,ln0j j j pj pc A M G Mδ≤≤≤≤=>=<=>1c p c =，此时已说明了l p 拖尾，至于()0B Φ=有重根之情形，亦可证明l p 拖尾，这里省略.3．(,)ARMA p q 模型k p 拖尾： 由差分方程：1111t t p t p t t q t q a a a ωφωφωθθ-------=---两边乘t k ω-，再取数学期望得：11()()()t t k t t k p t p t k E E E ωωφωωφωω------ 11()()()t t k t t k q t q t k E a E a E a ωθωθω-----=--- 当k q >时，利用§2基本命题：110k k p k p ρφρφρ-----=此差分方程与()AR p 模型k ρ满足方程相比，仅是k 之取值范围不同，前者为k q >，后者为0k >. 解差分方程之方法与前边类似，同样可证k p 拖尾. 需用指出：上式中取1,2,,k q q q p =+++ 得方程组：112112112221122q q q p q p q q q p q p q p q p q p p qρφρφρφρρφρφρφρρφρφρφρ+--++++-+++-+-⎧=+++⎪=+++⎨⎪=+++⎩ 这是参数12,,,p φφφ 线性方程组. 对ARMA 模型，由1,,,,q p q q p ρρρ-++ 的21p +个数值可确定参数1,,p φφ 三种线性模型偏相关函数性质之证明，下面仅介绍AR ()p 模型kk φ截尾之证法.四、AR ()p 模型kk φ在k p =截尾之Proof ： AR ()p 模型为11t t p t p t a ωφωφω--=+++只要证明k p >时，0kk φ=；而0pp φ≠，为此，需计算kk φ，利用§2中基本命题，当k p >时11921[]kt k kj t k j j E δωφω++-==-∑211[]pkt k j t k j kj t k j j j E a φωφω++-+-===+-∑∑2211[]pkt kj t k j kj t k j j j Ea E φωφω++-+-===+-∑∑ 2211[()]pkt kj kj t k j kj t k j j j p EaE φφωφω++-+-==+=+--∑∑2a σ≥ 取, 10, 1j kj j p p j kφφ≤≤⎧=⎨+≤≤⎩使δ达到最小. 此时，若k p >，则0kk φ=，而0pp p φφ=≠ 于是，证明了kk φ在k p =截尾.数学上亦证明了：若偏相关函数kk φ在k p =处截尾，则平稳序列t ω具有AR ()p 模型. （安鸿志书-270P ）Remark ：（1）通常平稳时间序列,0,1,2,t Z t =±± 仅进行有限n 次测量(50)n ≥，得一个样本或样本函数，且利用平稳序列各态历经性（注记）：11njj Z Z nμ=≈=∑作变换,1,t t Z Z t n ω=-=，将1,,n Z Z 样本换算为样本1,,n ωω ，然后再用之确定平稳时间序列{},0,1,t t ω=± 随机线性模型.（2）确定类型；然后确定阶数,?p q =；最后确定参数11,,,,p qφφθθ ；§4 模型识别——确定线性模型的类别、阶数一、样本自相关函数和样本偏相关函数(sample autocorrelation function and partial autocorrelation function)平稳序列21012,,,,,,ωωωωω--因0,t E ω=∴自协方差函数()k t t k r E ωω+=，对于样本1,,n ωω 可定义样本自协方差函数： 112211,0,1,2,()n kkkn k nk jj kj rk k k n nnωωωωωωωω-++-+=+++===<∑120（or 11n kk jj k j rn kωω-+==-∑ ）相本自相关函数为0,0,1,2,,()k kr r k k k n ρ==< 若平稳序列t ω具有协方差函数各态历经性，则011lim limn kpk jj k k n n j r r nωω-+→∞→∞===∑又00lim pn r r →∞= 利用依概率收敛性质： 000lim lim pk k k k n n r r r r ρρ→∞→∞===即 lim pk kn ρρ→∞= 由实际推断原理：当n k -充分大时 ,,0,1,2,k k k kr r k k ρρ=== Remark ：为保证 ,,0,1,2,k k k kr r k k ρρ=== ，n 需取得很大，但k 相对于n 不能取太大，否则不能保证n k -相当大. 一般取50,4n n k ><，常用10n k ≈，例400n =，取40k =.二、确定模型类别和阶数：线性模型的类别，理论上可根据k ρ和kk φ之拖尾和截尾性来确定. 但实际中，我们常由一个样本算出 k k ρρ=， kk kkφφ=（遍历性）故常用 ,k kk ρφ判别k ρ，kk φ是拖尾还是截尾的.（Ⅰ）若k ρ拖尾，kk φ截尾在k p =处，则线性模型为AR ()p 模型. k ρ拖尾可根据 kkρ的点图判断，只要 kk ρ愈变愈小（k 增大时）. 但是，用 kkφ判断0,0,kk k p k pφ≠=⎧=⎨=>⎩怎样做呢？因为k p >时， 0kk kk φφ≈=，而 kk φ并不为0，这给判断截尾带来一定困难. 常采用方法：当k p >时，平均20个 kk φ中至多有一个使kkφ≥则认为kk φ截尾在k p =处，其理论根据为：Theorem1：对于具有AR ()p 模型的正态平稳时间序列{}t ω，当n 很大时，样本偏相关函数 ()kkk p φ>近似服从正态分布1(0,)N n . （证明省略）安鸿志：《时间序列分析及其应用》266PRemark ：正态平稳时间序列是有限维分布为多维正态分布的平稳随机序列. 由Th 知：121n 很大时3σ-原则95.44%99.73%kk kk p p φφ⎧<≈⎨⎩⎧<≈⎨⎩68.26%kk p φ⎧<=⎨⎩为方便计，k ρ和kk φ拖尾或截尾亦称为 k ρ和 kkφ拖尾或截尾. （Ⅱ）若kk φ拖尾，k ρ在k q =处截尾，那么线性模型为MA ()q 模型. kk φ拖尾可根据 kk φ的点图判断，只要 kk φ愈变愈小（k 增大时）. 但是，用 kρ判断0,0,k k q k q ρ≠=⎧⎨=>⎩时时,可采用下面方法：当k q >时，若平均20个 k ρ中至多有一个使kρ≥ Theorem2：对于具有MA ()q 模型的正态平稳时间序列{}t ω，当n 很大时，样本自相关函数 ()kk q ρ>近似服从正态分布211(0,(12))ql l N n ρ=+∑（Proof 略）安鸿志：《时间序列分析及其应用》270P因而当n 很大时， ()kk q ρ>近似服从 211(0,(12))ql l N n ρ=+∑为方便起见，取近似分布为1(0,)N n，故有：3σ-原则95.44%99.73%68.26%kkkp p p ρρρ⎧<⎨⎩⎧<⎨⎩⎧<⎨⎩（Ⅲ）若 k ρ， kk φ都是拖尾的，则线性模型可看成混合Model （or k ρ， kkφ都不截尾，又被负指数型的数列所控制）识别,p q 办法可以从低阶到高阶逐个取(,)p q 为(1,1),(1,2),(2,1), 等值尝试，即先认定(,)p q 为某值（如(1,2)）再进行下一步的参数估计，并定出估计模型来，然后经过一定方法（自相关函数检验法，周期图检验法）检验这个估计模型是否被接受，即与原序列符合得好不好；若不被接受，就调整(,)p q 尝试值，再重新做参数估计和检验，直到被接受为止. 此法虽烦琐但实用. 对AR 、MA 序列亦实用. 另外，混合模型在实际应用中的阶数(,)p q 一般少用MA or ARMA 模型；尚有其它定阶手法（ARMA 模型等）补充：若t Z 是ARMA 序列，（一般假定Z +为正态），则ˆk r和ˆk ρ作为k r 和k ρ的估计量，122具有下列性质：1．它们是相容估计和渐近无偏估计. 即ˆˆlim ,lim k k k k N N rr ρρ→∞→∞== （I ） ˆˆlim ,lim k k k k N N Err E ρρ→∞→∞== （II ） 2．它们具有渐近正态性，即存在两个趋于∞的数列(1)(2),N N b b 分别使得：(1)(2)ˆˆ()~(0,1),()~(0,1)N k k N k kb r r N b N ρρ-- （III ）3．它们的误差方差分别渐近为：2ˆv a r ()kkr E r ≡ 221ˆ()()k k l k l l k l E r r r r r N∞+-=-∞≡-+∑.2ˆv a r ()k k E ρρ≡ 2ˆ()k k E ρρ≡- （IV ） 2221(24)l l kl k k lk l lkl Nρρρρρρρρ∞+--=-∞++-∑. （IV ）式称为Bartlett 公式，这些公式Proof ，见（安鸿志：《时间序列分析及应用》）附录§2.特别曲（III ）知，当t Z 为白噪声时，0(0)k r k =≠ （V ） 22ˆv a r (),r r N ≈ 2ˆvar(),0k r rk N≈>当t Z 为(0,)MA q 序列时 （VI ） 220012ˆv a r ()(12)ql l r r Nρ=≈+∑， 2122220001121ˆ(var()(222)(12))qql l l l l ql r rr r r NNρ-==-==++=+∑∑∑221ˆv a r ()(12),,0(0)qkllk l r r k qr l Nρ+=≈+>=>∑，0(0)l k r l -=< 当t Z 为(1,0)AR 序列时，||01l l r r ϕ=，以此代入（III ）.20102121ˆv a r ()1r r N ϕϕ+≈⋅- 11222222220000111111ˆ(var()(2[2]l l lll l l l rr rrr rrN Nϕϕ∞-∞--==∞==-∞++=++∑∑∑∑22220011211221[1]1l l r r NNϕϕϕ∞=+=+=⋅-∑2222011121(1)(1)ˆvar()(2),01kkk r rk k Nϕϕϕϕ++≈+>- （VII ）123从上述式子知，ˆk r和ˆk ρ渐近误差方差都与1N成正比例，而其比例常数又和真值l r orl ρ有关，易知当N →∞时，诸误差方差都趋于0. 由此可推出（I ）、（II ）. □ （利用||01l l l r r r ϕ-==）安鸿志书《时间序列分析及应用》见285P§5 模型参数估计（基本上均用矩估计方法讨论）模型参数21212,,,;,,,;p q a φφφθθθσ 需要用一个样本作估计. 本节只要用k r或样本自相关函数ˆk ρ中一部分数值，而不需用样本偏相关函数的数值. 其估计值为 211,,;,,;q a pφφθθσ . 一、AR ()p 模型参数估计利用Y ule-walker 方程，两边对k φ和k ρ取估计值可得1121111112222211211ˆ1ˆˆ1p p pp p ρρρρρφρφρρρρρρφρρρρρ----⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭（I ） （对照样本偏相关函数ˆkk φ可用下式定义：11122k k kkk φρφρρφρ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（II ） 可见利用Toeplitz 矩阵求逆和作矩阵乘法的方法算 kkφ，计算量大，可采用递推公式计算，则计算量小. 与（II ）式比较，在（II ）式中取k p =可得 ,1,j pjj p φφ==） 故自回归模型的参数值一般不必作专门计算，只要在样本偏相关函数计算记录中取出12,,,p p ppφφφ 即可. 为计算 2a σ，先找 2a σ表达式. 2221122()a t t t t p t p Ea E σωφωφωφω---==---- )()(21112j t k t p k pj j kpj j t j t tE E E --===-∑∑∑+-=ωωφφωφωω12401112p p pj j k j j kj k j γφγφφγ-====-+∑∑∑利用Y ule-Walker 方程：112k kk kγφγγφγ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ 即0111110222120p k p k p p k kkr r r r r r r rr r r r φφφ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有：1,1,2,,pkj kj k j p φγγ-===∑111p ppkj j kj jk j j φφγφγ-===∴=∑∑∑故201paj j j σγφγ==-∑因而201pajjj σγφγ==-∑利用上面式子知：AR （1）模型： 221101,(1)aφρσγρ==- AR （2）模型： 21221122211(1),11ρρρρφφρρ--==-- 201122(1)a σγφρφρ=-- 二、MA ()q 模型参数估计对：222010,(1)a q k r σθθ==+++2111,()k a k k q k q k q r σθθθθθ+-≤≤=-+++ ,0k k q r >= 两边对2,,k a k r σθ取估计值可得222212211(1),0(),1a q k a k q k q k k r k qσθθθσθθθθθ+-⎧++++=⎪=⎨⎪-+++≤≤⎩ or125222012111212213222(1)()()()a q a q q a q q q a q r r r r σθθσθθθθθσθθθθθσθ--⎧=+++⎪⎪=-+++⎪⎪=-+++⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩含1q +个方程，其中样本协方差函数k r 数值已算出，而未知数 212,,,,q a θθθσ ，共1q +个. 此方程组是非线生方程组. 要求 212,,,,q a θθθσ ，即可解这个非线性方程组，也可采用近似解法. MA （1）Model ：2011212arθρσ=-+=三、ARMA (,)p q 模型参数估计： 对于满足一个条件： 1111t t p tpttq t q aa aωφωφωθθ-------=--- 采用先算 12,,,pφφφ ，再算 212,,,,p a θθθσ 方法 （1）先算， 12,,,pφφφ ， 利用： 1111221222212q q q q p pq q q q p p q p q p q p qp ρφρφρφρρφρφρφρρφρφρφρ+--+++-++++-⎧=+++⎪⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎪⎩11111212212q q q p q q q q p q pq p p q q q p ρρρρφφρρρρφρρρρ---+++-+++-+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭用上式计算 12,,,p φφφ ，仅用到 11,,,q p q q p ρρρ-++- 的值。
通信电子中的信号建模技术
通信电子中的信号建模技术在现代的通信电子中，信号建模技术起着不可忽略的作用。
信号建模是指对各种信号进行分析和处理，并将它们转化为更易于处理的形式。
信号建模可以提高信号的可靠性和精度，因此在诸如无线电通信、数字通信、雷达等领域得到广泛应用。
本文将介绍一些常见的信号建模技术，并探讨它们在通信电子领域中的应用。
一、时域和频域建模时域建模和频域建模是两种基本的信号建模技术。
时域建模是将信号表示为时间轴上的函数，并通过对时间轴上的采样来分析信号。
频域建模则是将信号表示为频率轴上的函数，并利用傅里叶变换等技术将信号转化为频域信号进行处理。
时域建模和频域建模各有优劣。
时域建模具有直观性和可操作性强的优点，能够反映信号的时序特征，尤其适用于分析稳态信号。
频域建模则能够突出信号的频率特征，并能够在频率域上进行滤波、变换等操作。
根据需要，我们可以选择时域建模或者频域建模，或者将两者结合使用。
二、ARMA建模自回归滑动平均模型（ARMA）是一种用于描述随机过程的时间序列模型。
ARMA模型是由自回归模型（AR）和滑动平均模型（MA）组成。
自回归模型描述了时间序列当前值与前一时刻值的关系，滑动平均模型描述了时间序列当前值与前一时刻值的误差的关系。
ARMA建模可以用于对信号的失真和噪声进行建模和滤波。
例如，对于数字通信中的信号，由于噪声和失真，接收到的信号可能与原始信号存在差异。
而通过ARMA建模，可以对这些差异进行分析，并通过滤波等技术降低其对信号的影响。
三、小波变换小波变换是一种能够将信号从时域转换到时-频域的信号处理技术。
它是通过用一些特定形状的小波函数对信号进行分解和重构来实现的。
小波变换具有很好的局部性质，能够更好地反映信号的局部特征，并能够在时-频域上进行分析和处理。
小波变换在数字信号处理、图像处理、声音分析、通信工程等领域有广泛应用。
例如，在数字通信中，我们可以利用小波变换来测量信号的功率谱密度，并进行频谱分析、滤波等操作。