1. 数值分析 _绪论

Axb
线性方程组的求解！
2、天体力学中的Kepler方程
x sin x t 0,0 1
x是行星运动的轨道，它是时间t 的 函数.
非线性方程求根！
3、全球定位系统（Global Positioning System, GPS)
全球定位系统： 在地球的任何一 个位置，至少可 以同时收到4颗 以上卫星发射的
8
f1 ( x1 , x2 , xn ) 0 f ( x , x , x ) 0 2 1 2 n f n ( x1 , x2 , xn ) 0
F ( x) 0
记为 T n n 其中， F : D R R , x ( x1 , x2 ,, xn )
L
48
0
1 ( f ( x)) dx
' 2
48
0
1 (cos x) 2 dx
上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普 通方法来计算.
数值积分！
现代科学计算在工程计算中的应用
天气预报： 计算能力的发展将把海洋、大气和生态系 统的综合知识融合成一个气象变化模型。 计算机辅助设计：波音777应用三维立 体建模，数字化设计与有限元计算的 第一架喷气客机。 医学与生物工程：CT、核磁共振与 Radon 变换；至病基因与药物设计；人 造生物材料的彷真响应；传染病动力学 模型。
( x x1 )2 ( y y1 )2 ( z z1 )2 (t1 -t) c 0 ( x x2 )2 ( y y2 )2 ( z z2 )2 (t 2 -t) c 0 ( x x3 )2 ( y y3 )2 ( z z3 )2 (t 3 -t) c 0 ( x x4 )2 ( y y4 )2 ( z z4 )2 (t 4 -t) c 0 ( x x5 )2 ( y y5 )2 ( z z5 )2 (t 5 -t) c 0 ( x x6 )2 ( y y6 )2 ( z z6 )2 (t 6 -t) c 0
相对误差也可正可负,常常是无限位的 相对误差限——相对误差的绝对值的上界 /* relative accuracy */

r
e x x r x x
Def 1.3 （有效数字/*Significant Digits*/ ）
若近似值 x 与准确值的误差绝对值不超过某一位的 半个单位，该位到 x 的第一位非零数字共有 n位，则 称 x 有 n位有效数字
§1
Introduction
数值分析 能够做什么？
应用问题举例
1、一个两千年前的例子
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉， 实三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉， 实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾 一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四 分斗之三。-------《九章算术》
输出 x1, x2 结 束
输出无解信息
二、算法优劣的判别
计算量的大小 例：用行列式解法求解线性方程组: n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值， 总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。
n=20 需要运 算多少次？ n=100?
存贮量 逻辑结构
§3
误 差
/* Error */
如： 3.1415926
3.141592


3.14

1 5 e 10 6位 2
1 2 e 10 3位 2

三、数值算法及稳定性 /* Numerical
Algorithm and Stability */
n
例3 计算下列多项式的值 p( x) a0 x a n 1 x a n a0 , a1 , an , x 为已知数据
输入数据为 a0 , , an , x ，输出数据为 p ( x) ，若直接由 分析： 2 n ，再乘相应的系数 a n 1 , a n 2 ,, a0并 相加，则要做次 n(n 1) 乘法和 n 次加法，占用个 2n 1 2 存储单元。
现代计算方法：
融进了机器学习计算、仿生计算、网络计算、以数据为核 心的计算和各种普适计算、非线性科学计算等内容。
§2 算 法
一、算法的概念
定义：由基本运算及运算顺序的规定所构成的完整的 解题步骤，称为算法。 描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常语言 和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言（算法语言） 给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌。
建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机 器将一块平整的铝板压制而成的.
假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从 中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸 为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的 长度L.
这个问题就是要求由函数f(x)=sin x 给定的曲 线从x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
例：求解二元一次联立方程组
a11x1 a12 x2 b1 a21x1 a22 x2 b2
用行列式解法：首先判别
D a11a22 a21a12
是否为零，存在两种可能：
（1）如果
D 0 ，则令计算机计算 x1 b1a22 b2 a12 D , x2 b2 a11 b1a21 D
一、 误差的来源与分类 /* Source & Classification */
1、从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */
2、通过观测得到模型中某些参数（或物理量）的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */
3、数学模型与数值算法之间的误差 —— 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ) 4、由于机器字长有限，原始数据和计算过程会产生新的误差 —— 舍入误差 /* Roundoff Error */



e x x 如： 3.14159
1 105 ( 3.1415926) 2 绝对误差还不能完全表示近似值的好坏

Def 1.2 （相对误差/* relative error */ ）
近似值
x 的误差 e 与准确值 x 的比值：

电子系统自动化设计： 大规模集成电路的设计与逻辑检测。 材料设计： 性能设计的大规模计算与模拟：设计用 于生产新的高热值、高压材料中的化学 蒸发沉淀反应器。
车辆与道路工程设计与模拟： 车辆与道路相互作用综合系统设计。
信息与通信工程：GPS卫星导航 燃烧与爆炸工程： 燃烧对环境的影响；计算流体力学 与爆炸工程。 存储与物流系统：
--会用计算机进行科学计算
数值问题的来源：
实际 问题
建立数学模型
数值 问题
重点讨论
数值 问题
求解
设计高效、可 靠的数值方法
近似结果
输出
上机 计算
程序 设计
“什么是数值计算方法？”
数值计算方法是计算数学的一个主要组成部分， 它主要研究使用计算机求解各种科学与工程计算 问题的数值方法（近似方法）;对求得的解的精 度进行评估以及在计算机上实现求解等。 数值计算方法已经成为计算机处理实际问题的 一个重要手段，从宏观天体运动学到微观分子细 胞学，从工程系统到社会经济系统，无一能离开 数值计算方法。因此，数值计算与计算机模拟被 称为“第三种科学研究方法”。
科学方法论的巨大变革： 如果说伽利略 和牛顿在科学发展史上奠定了实验和理论这 两大科学方法的支柱，那么由冯.诺依曼研制 的现代电子计算机把计算推上了人类科学活 动的前沿，使计算成为第三种方法。
21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在”
“数学无处不在”
21世纪信息社会对科技人才的要求： --会用数学解决实际问题
输出计算的结果x1，x2。
（2）如果D= 0，则或是无解，或有无穷多组解。
令
D a11a22 a21a12
通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：
a11, a12 , a21, a22 , b1, b2 S2 计算 D a11a22 a21a12
S1 输入
S3 如果
D0
则输出原方程无解或有无穷多组解的信息;
工农业发展使得产品的存储、交流和时效 性极大提高；废物和垃圾问题成为城市生 活的重大问题。规划计算和系统分析成为 常用计算方法。
网络设计与计算：搜索引擎的设计
航空航天工程：神州飞船系列
诺贝尔奖得主,计算物理学家 Wilson提出
现代科学研究的三大支柱
理 论 研 究
科 学 实 验
科 学 计 算
计算数学
y 1t 3 2t 2 3t 4
s (t 1979 ) / 30
数据拟合！
1950
1960
55196
66207
1970
1980
82992
98705
1990
2000
114333
126743
y 1s3 2 s 2 3s 4
6、铝制波纹瓦的长度问题
科学计算 可视化是 目前研究 的热门问 题，下面 的艺术图 形是基于 科学计算 的数据表 示的例子
分形图
混沌图
传统的数值计Biblioteka 的主要研究内容1、数值逼近 插值与拟合、FFT、数值积分与微分 2、数值代数 代数基础、线性代数方程组的解法、非线性代数方 程（组）的解法、特征值与特征向量 3、微分方程数值解 ODE、PDE和有限元法 4、最优化方法* 无约束优化与约束优化方法