第11课_函数及其图像
函数完整版PPT课件
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变函数前的系数，实现对函数图 像的纵向拉伸或压缩。
周期变换
通过改变函数内的系数，实现对函数图 像的横向拉伸或压缩。
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相位变换
通过改变函数内的常数项，实现对函数 图像的左右平移。
上下平移
通过在函数后加减常数，实现对函数图 像的上下平移。
17
三角函数周期性、奇偶性和单调性
了直线在 $y$ 轴上的位置。
03
性质
当 $k > 0$ 时，函数单调递增 ；当 $k < 0$ 时，函数单调递
减。
8
二次函数表达式与图像
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二次函数表达式
$y = ax^2 + bx + c$（$a neq 0$）
图像特点
一条抛物线，开口方向由 $a$ 决定（$a > 0$ 时向上开口 ，$a < 0$ 时向下开口），对称轴为 $x = -frac{b}{2a}$ ，顶点坐标为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
对数函数性质
单调性、定义域、值域等 。
13
指数对数方程求解
指数方程求解
通过换元法、配方法等方法将指数方 程转化为代数方程求解。
指数对数混合方程求解
综合运用指数和对数的性质及运算法 则进行求解。
对数方程求解
通过换底公式、消去对数等方法将对 数方程转化为代数方程求解。
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14
04
三角函数及其性质
函数完整版PPT课件
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1
目录
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• 函数基本概念与性质 • 一次函数与二次函数 • 指数函数与对数函数 • 三角函数及其性质 • 反三角函数及其性质 • 复合函数与分段函数 • 参数方程与极坐标方程
函数及其图象PPT课件
s
s
s
s
t
t
O
O
A
B
O
t
C
t
O D
3、（09湖州市）如图，一只蚂蚁从 O 点出发，沿着扇形 OAB 的边缘匀速
爬行一周，设蚂蚁的运动时间为 t ，蚂蚁到 O 点的距离为 S ，则 S 关于 t 的函数图象大致为（ C ）
A
S
S
S
S
O
O
tO
tO
tO
t
第（3）题
B
A.
B.
C.
D.
4、(09内江市)打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机 经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗
（2）（09大连）函数y x 2 中，自变量x的取值范围是 ( D )
A．x < 2 B．x ≤2 C．x > 2 D．x≥2
x x 2
（3）（09哈尔滨）函数y＝
的自变量 的取值范围是_____________．
x2
x （4）（09齐齐哈尔）函数 y x 的自变量 的取值范围是_x_≥_0_且__x_≠1 ___． x 1
5000
4000 3000 2000
乙
甲
A
1000
O
5
10 15
20 x(分)
(3)解: x 15 时，甲的路程是: 25015 5000 1250 米，
乙的路程是2000米， 两人相距：2000 — 1250 = 750米
在15＜x＜20的时段内， 乙速：2000÷（20 — 15）= 400 米/分 两人速度之差： 400 — 250 = 150米/分
热身练习：
中考数学总复习 第三单元 函数及其图像 第11课时 一次函数的图像与性质课件
y=-x+2
.
图 11-1
2021/12/9
第十一页，共三十二页。
y= x
,图②
课前双基巩固
5. [八上 P164 探索改编] 已知一次函数 y=2x+4.
图 11-2
(1)在如图 11-2 所示的平面直角坐标系中,画出函数的图像;
(2)图像与 x 轴的交点 A 的坐标是 (-2,0) ,与 y 轴的交点 B 的坐标是 (0,4)
与 x 轴交点坐标
令 y=0,求出对应的 x 值
两直线的
与 y 轴交点坐标
令 x=0,求出对应的 y 值
交点坐标
与其他函数图
像的交点坐标
一条直线与坐标轴围
成的三角形的面积
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解由两个函数表达式组成的二元一次方程组,方程组的解即两函数
图像的交点坐标
1
2
直线 y=kx+b(k≠0)与 x 轴的交点为 - ,0 ,与 y 轴的交点为(0,b),三角形面积为 S△= - ×|b|(用
a2+a2=
直线 y=2x+1 向右、向上平移 3 个单位后的解析式是 y=2x-2.
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第二十二页，共三十二页。
2
3 2 ,解得 a=3.
高频考向探究
[方法模型] 直线 y=kx+b(k≠0)在平移过程中 k 值不变.平移的规律是:若上下平移,则直接在常数 b 后加上或减
去平移的单位长度数;若向左(或向右)平移 m 个单位长度,则直线 y=kx+b(k≠0)变为 y=k(x±m)+b,其口诀是上加
11.第十一次课：反比例函数的概念及其图像性质+答案
【大展身手】
# 1．下列函数中,是反比例函数的是( D )
A ．x y 5
1-
= B ．23
+=
x
y C ．21x
y =
D ．x
y 22=
# 2．下列各组x 、y 的对应值，不满足反比例函数x
y 6
=的是（ D ）
A ．x=1,y=6
B ．x=-1,y=-6
C ．x=2,y=3
D ．x=-3,y=2
# 3．若023
1
=-xy ，则y 是x 的（B ）
A ．正比例函数
B ．反比例函数
C ．一次函数
D ．不能确定
# 4．已知在反比例函数)0(≠=k x k
y 中，当x=3时，y=-5,则k 的值为（D ）
A ．
3
5 B ．3
5-
C ．15
D ．-15
# 5．已知函数1
+=m x y 是反比例函数，则m 的值为（ D ）
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2
2）在这个函数图像的某一支上取点A（a,b）,B(a’,b’)，如果a>a’，那么b b’
例5．若点A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数
x
k
y=（k＜0）图象上，则a、b、c 的大小关系怎样？
例6．如图，过反比例函数
x
y
1
=（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小关系
课后小
结
上课情况：
课后需再巩固的内容：。
11.第11课时 一次函数的图像及性质(PPT课件)
函数
第11课时
一次函数的图象及性质
考点精讲
一 次 函 数 一次函数的图象及性质 的 图 象 及 性 一次函数解析式的确定 质 正比例函数的图象及性质
一次函数与一次方程（组）、一元一次不 等式的关系
定义：形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数
k的符号
图象
k>0
k<0
图 象 及 性 质
经过象 限 增减性
练习2 直线y＝2x＋2沿y轴向下平移6个单位后与x 轴的交点坐标是( D ) A. (－4，0) C. (0，2) B. (－1，0) D. (2，0)
【解析】直线y＝2x＋2沿y轴向下平移6个单位 后，解析式为y＝2x＋2－6＝2x－4，当y＝0时 ，x＝2，因此与x轴的交点坐标是(2，0)．
b>0
b<0
经过象限 一、二、 一、三、 一、二 二、三、四 三 四 、四 增减性 y随x的增大而③ 增大. y随x的增大而④ 减小.
一次函数图象的平移：一次函数y=kx+b的图象可以看作是直线 y=kx向上（下）平移⑤ b 个单位长度而得到的。当b>0时，将直 线向上平移|b|个单位长度；当⑥b<0 时，将直线向下平移|b|个 单位长度
一次函数与一 与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象 次方程（组）、 的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解， 一元一次不等 反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点， 式的关系 一定是相应的两个一次函数图象的交点
y=kx+b的函数值y大于0时，自变量x的取值范 围就是不等式⑦ y=kx+b>0 的解集，即 函数图象在x轴⑧ 上方 所对应的x的取值 范围 y=kx +b的函数值y小于0时，自变量x的取值 范围就是不等式⑨ y=kx+b<0 的解集， 即函数图象在x轴⑩ 下方 所对应的x的取 值范围
高考数学对数与对数函数复习课件
(3)log3×log49+lg +2lg 2= .
课堂考点探究
[解析] log3×log49+lg +2lg 2=-×+lg +lg 4=-1+lg=-1+1=0.
0
例2 (1)若0<a<1,则函数g(x)=loga(|x|-1)的图像可能是( )
课堂考点探究
探究点二 对数函数的图像及应用
1
3. [教材改编] 设a=,b=log9,c=log8,则a,b,c的大小关系是 .
[解析] a==log9=log9<log8=c,a=log9>log9=b,所以c>a>b.
题组二 常错题
索引:忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质致错;忽略对底数的讨论致错.4.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则= .
课堂考点探究
[思路点拨]先求函数的定义域,利用奇偶性的定义确定奇偶性,再分析某一区间上函数的单调性,从而对选项进行判断;
A B C D
图2-11-1
[思路点拨] 根据函数的定义域和函数的奇偶性,结合图像变换和对数函数的单调性,即可求解;
D
课堂考点探究
[解析] 函数g(x)=loga(|x|-1)满足|x|-1>0,解得x<-1或x>1,即函数g(x)=loga(|x|-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),排除A,B;因为g(-x)=loga(|-x|-1)=loga(|x|-1)=g(x),所以函数g(x)为偶函数,所以函数g(x)的图像关于y轴对称,当x>1时,函数g(x)= loga(|x|-1)的图像是由函数y=logax的图像向右平移一个单位长度得到的,又0<a<1,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减.故选D.
ax的图像教案
函数及其图像第11课时：二次函数y=ax2的图象（二）教学目标：1、使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象；2、使学生理解二次函数和抛物线的有关概念．3、进一步培养学生动手画较复杂图形的能力；4、培养学生观察图形，分析问题和解决问题的能力；教学重点：画二次函数y=ax2的图象．因为图象是研究函数有关问题的基础．教学难点：画二次函数y=ax2的图象．因为它画起来比较复杂．教学过程：一、新课引入：上节课我们已经学习了二次函数的意义，并且画出了最简单的二次函数y=x2的图象，这节我们将继续研究二次函数y=ax2的图象．（板书）二、新课讲解：提问：1．在下列函数中，哪些是二次函数？通过这个问题，主要是复习了二次函数的意义，使学生进一步明确判断一个函数是否是二次函数的方法．这个问题在上一个问题的基础上更深入一步，而且是个逆向思维的过程，对培养学生思维的灵活性和发散性、深刻性都有一定的好处．因为这道题对学生来说有一定的难度，所以先由学生讨论解决，然后口答答案，可多找几名同学回答，尽量使学生说出各种不同的答案，再由学生解释得出上述答案的思路，再由学生进行讨论、选择，最后得出正确的思路，不要急于给出正确答案．（2）由此（二次函数）能得出什么结论？（m2-2=2）（3）这样就可求出m的值是多少？（m=±2）（4）是不是 m=±2都是上述问题的答案呢？（5）为什么m=-2不是要求的结果？（m+2=0即a=0）通过问题1和问题2这两种类型题的练习，就可使学生对二次函数的意义有了更深入地理解，而且能从正、反两方面对二次函数的意义加以应用．3．上节课我们画出了函数y=x2的图象，它是什么样的？它的开口方向，对称轴，顶点坐标又是什么？4．我们是取了哪些点来画出这个函数的图象的？可用事先准备好的小黑板给出上节课所列的表．下面，我们来看一下，如何画出下面两个二次函数的图象？（列表）（2）我们应怎样列表画出这两个函数的图象呢？可先仿照上节课画y=x2的图象的选取方式列表如下：把这些数值直接填在练习4中所准备的表格中．在描点之前先观察表中的值，我们看到需要在同一坐标系中描出（-3，18）和（3，18）这样的点，而同时又要描出（-1，0.5）和（1，0.5）这样的点，这是很不方便画图的，因此，我们考虑能否找出更好的取值方式呢？方式可不变，而使y=2x2的取值方式变化，即把x的取值间距缩小，从间距为1缩小成间距为0.5，列出如书上所示的两个表．（板书）通过这样的比较过程，可以使学生明确合理选值列表，对画出适当的函数图象有很重要的作用，从而促使学生在以后的练习中养成习惯，逐步摸索如何合理选值．列完表之后，让学生在练习本上完成这两个函数图象，找一个同学板演，事先准备好上面画有y=x2图象的小黑板，让板演的同学就把这两个函数图象画在同一坐标系内，便于以后的观察．学生在画图时，教师可巡回指导，待黑板上的同学画完之后，再集中加以总结、纠正．让学生观察所画出的函数图象，提问：答：开口大小不同．2．它们的开口大小有怎样的变化趋势？3．你认为是什么决定了开口大小的不同？由学生观察，讨论回答，然后老师加以总结，板书：当a＞0时，a的值越小，则抛物线开口越大；而a的值越大，则抛物线的开口越小．这个结论也可以由函数解析式直接得到，看学生的层次加以讲解，但不必太深．4．它们的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？都是向上的，是不是每个二次函数的图象开口都是向上的呢？下面，我们再来看一个例题：例2 画出函数y=-x2的图象．这个图象可由学生独立完成．画完之后，可把函数y=-x2与函数y=x2的图象加以对照，提问：（1）从解析式上看，它们有什么异同？（2）从图象上看，它们有什么异同？你认为如果函数y=x2与函数y=-x2的图象在同一坐标系内，它们有什么关系？这个问题可由学生讨论回答：它们关于x轴对称．根据上面的学习，我们发现有的二次函数的图象开口向上，而有的二次函数的图象开口向下，你能说清，什么是决定开口方向的因素吗？由学生讨论得到，教师板书：一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点（即顶点坐标为（0，0）），当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下．练习：1．教材P．121中1由学生填，画在书上；本节课的教学重点和教学难点都是画二次函数y=ax2的图象，根据上节课的学习，学生已知道了它们的图象都是一条抛物线，也清楚了连结各点的走势．因此，这节课教师把教学的重点部分放在如何选取列表上，经过试验，对比，使学生初步掌握选点的技巧，为以后画一般的二次函数的图象打好基础．另外，这节课还从这几个图象之间的关系上总结出了a的取值的作用及y=ax2的对称轴和顶点，整个过程完全由教师引导学生自主完成．三、课堂小结：填空：（1）抛物线y=ax2的对称轴是______，顶点是______，顶点坐标是______；（2）当a＞0时，抛物线y=ax2的开口______；（3）当a＜0时，抛物线y=ax2的开口______．四、布置作业1．在同一直角坐标系内画出下列函数的图象：y=5x2，y=-5x2．2．已知点A（-4，m）在抛物线y=x2上，（1）求m的值；（2）点 B（4，m）在抛物线y=x2上吗？3．已知点C（n，q）在抛物线y=x2上，（1）求n的值；（2）点D（-n，q）在抛物线y=x2上吗？4．选做：教材P．122中B1、2．。
函数的图像
函数的图像以下是关于函数的图像，希望内容对您有帮助，感谢您得阅读。
函数的图像教学目标(一)知道函数图象的意义；(二)能画出简单函数的图象，会列表、描点、连线；(三)能从图像上由自变量的值求出对应的函数的近似值.教学重点和难点重点：认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象.难点：对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化关系.教学过程设计(一)复习1.什么叫函数?2.什么叫平面直角坐标系?3.在坐标平面内，什么叫点的横坐标?什么叫点的纵坐标?4.如果点A的横坐标为3，纵坐标为5，请用记号表示点A(答：A(3，5)).·5.请在坐标平面内画出A点.6.如果已知一个点的坐标，可在坐标平面内画出几个点?反过来，如果坐标平面内的一个点确定，这个点的坐标有几个?这样的点和坐标的对应关系，叫做什么对应?(答：叫做坐标平面内的点与有序数对一一对应)(二)新课我们在前几节课已经知道，函数关系可以用解析式表示.像y=2x+1就表示以x为自变量时，y是x的函数.这个函数关系中，y与x的对应关系，我们还可以用在坐标平面内画出图象的方法表示.具体做法是第一步：列表.(写出自变量x与函数值的对应表)先确定x的若干个值，然后填入相应的y值.(这种用表格表示函数关系的方法叫做列表法)第二步：描点，对于表中的每一组对应值，以x值作为点的横坐标，以对应的y值作为点的纵坐标，便可画出一个点.也就是由表中给出的有序实数时，在直角坐标中描出相应的点.第三步：连线，按照横坐标由小到大的顺序把相邻两点用线段连结起来，得到的图形就是函数式y=2x+1图象.例1 在同一直角坐标系中画出下列函数式的图像：(1) y=-3x; (2)y=-3x+2; (3) y=-3x-3.·分析：按照列表、描点、连线三步操作.解：它们的图象分别是图13-25中的(1)，(2)，(3).例2 某化我厂1月到12日生产某种产品的统计资料如下：(1) 在直角坐标系中以月份数作为点的横坐标，以该月的产值作为点的纵坐标画出对应的点.把12个点画在同一直角坐标系中.(2) 按照月份由小到大的顺序，把每两个点用线段连接起来.(3) 解读图像：从图说出几月到几月产量是上升的、下降的或不升不降的.(4) 如果从3月到6月的产量是持逐平稳增长的，请在图上查询4月15日的产量大约是多少吨?解：(1)，(2)见图13-26.(3) 产量上升：1月到2月；3月，4月，5月，6月逐月上升；10月，11月，12月逐月上升.产量下降：8月到9月，9月到10月.产量不升不降：2月到3月；6月到7月，7月到8月.(4)过x轴上的4.5处作y轴的平行线，与图象交于·点A，则点A的纵坐标约4.5，所以4月15日的产量约为4.5吨.(三)课堂练习已知函数式y=-2x.用列表(x取-2，-1，0，1，2)，描点，连线的程序，画出它的图象.(四)小结到现在，我们已经学过了表示函数关系的方法有三种：1.解析式法——用数学式子表示函数关系.2.列表法——通过列表给出函数y与自变量x的对应关系.3.图象法——把自变量x作为点的横坐标，对应的函数值y作为点的纵坐标，在直角坐标系描出对应的点.所有这些点的集合，叫做这个函数的图像.用图象来表示函数y与自变量x对应关系.这三种表示函数的方法各有优缺点.1.用解析法表示函数关系优点：简间明了.能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算.缺点：在求对应值时，有进要做较复杂的计算.2.用列表法表示函数关系·优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便.缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律.3.用图象法表示函数关系优点：形象直观.可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化.缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值.函数的三种基本表示方法，各有各的优点和缺点.因此，要根据不同问题与需要，灵活地采用不同的方法.在数学或其他科学研究与应用上，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图像.(五)作业1.在图13-27中，不能表示函数关系的图形有( ).(A) (a),(b),(c) (B)(b),(c),(d) (C) (b),(c)(e)(D)(b),(d),(e)2.函数的图象是图13-28中的( ).3.矩形的周长是12cm，设矩形的宽为x(cm),面积为y(cm2).(1) 以x为自变量，y为x的函数，写出函数关系式，并·在关系式后面注明x的取值范围；(2) 列表、描点、连线画出此函数的图象.4.(1) 画出函数y=- x+2的图象(在-4与4之间，每隔1取一个x值，列表；并在直角坐标系中描点画图)；(2) 判断下列各有序实数地是不是函数.y=- x+2的自变量x与函数y的一对对应值，如果是，检验一下具有相庆坐标的点是否在你所画的函数图像上：5.画出下列函数的图象：(1) y=4x-1; (2)y=4x+1.6.图13-29是北京春季某一天的气温随时间变化的图象.根据图象回答，在这一天：(1)8时，12时，20时的气温各是多少；(2)最高气温与最低气温各是多少；(3)什么时间气温高，什么时间气温最低.7.画出函数y=x2的图象(先填下表，再描点，然后用平滑曲线顺次连结各点)；8.画出函数的图象(先填下表，再描点，然后用平滑曲线顺序连结各点)：作业的答案或提示·1.选(C).因为对应于x的一个值的y值不是唯一的.2.选(D).当x＜0时，｜x｜=-x,所以 ,当x＞0时，｜x｜=x,所以3.(1) y=x(6-x)其中0＜x＜6，(图13-30).(2)4.5.见图13-32.6.(1) 8时约5℃，12时约11℃，20时约10℃.(2) 最高气温为12℃，最低气温为2℃.(2) (2) 14时气温最高，4时气温最低.7.课堂教学设计说明1.在建立平面直角坐标系后，点的坐标(有序实数对)与坐标平面内的点一一对应；不同的坐标与不同的点一一对应；函·数关系与动点轨迹一一对应.把抽象的数量关系与形象直观的图形联系起来，通过解读图象，了解抽象的数量关系，这种“数形结合”，是数学中的一种重要的思想方法.2.本课的目标是使学生会画函图象，并会解读图象，即会从图象了解到抽象的数量关系.为此，先在复习旧课时，着重提问会标平面上的点与有序实数对一一对应.接着在新课开始时介绍了画函数图象的三个步骤.3.教学设计中的例3，即训练学生从已有数据画图象，又训练学生逆向思维、解读图象、在图象上估计某日产量的能力.对函数图象功能有一个完整的认识.4.在小结中，介绍了函数关系的三种不示方法，并说明它们各自的优缺点.有利于对函数概念的透彻理解.5.作业中的第1～3题，对训练函数概念及函数图象很有帮助.第1题，目的要说明，对于x的一个值，必须是唯一的值与之对应.而(b),(c),(e)都是对于x一个值，y有不止一个值与之对应，所以y不是x的函数.本题还训练解读形的能力.第2题，训练学生分类讨论的数学思想，在去掉绝对值符号对，必须分x≥0与x＜0讨论.第3题，训练学生根据已知条件建立函数解析式，并列表、描点、连线画出图象的能力.·这些都是学习函数问题时应具备的基本功.·。
北师大版中职数学拓展模块一上册第11课 y=Asinx函数的图像与性质7教案
第二单元2.3《正弦型函数》教案授课题目sin y A x =的图像和性质授课课时 1课 型 讲授教学 目标一、知识与技能1. 理解函数y =Asinx(A >0)与函数y =sinx 的图像之间的关系,知道A 在图像纵向、横向伸缩变换中的作用；2.能借助“五点法”作出sin y A x =的图像，并能归纳其图像的特征,总结其性质。
二、过程与方法通过对图像的合作探究，体会数学知识内的内在联系，体会数形结合的思想，培养分析问题、解决问题的能力。
三、情感与价值在渗透数形结合的数学思想过程中，培养学生类比和转化的思维习惯。
教学 重难点一、教学重点用“五点法”作y =Asinx 的图像 二、教学难点y =Asinx(A >0)的图像变换规律及性质第1课时 教学过程教学活动学生活动 设计思路 一、创设情境如图所示，小明在荡秋千时，他认为老师可以请同学们回答问题结合生活情境实例，吸引学生的注意力当摆动的角度不变时，摆线越长，离开平衡位置的距离就越大。
教师借助GGB软件演示。
问题1.用“五点法”作y=sinx的图像，大家还记得哪五点吗？问题2.如何通过y=sinx的图像变换得到y=Asinx？二、自主探究请同学采用“五点法”在同一平面直角坐标系中作出函数y=2sinx，y=1sinx和y=sinx在[0,2π]内的简图。
2问题3.请同学们结合所画的图像，思sinx与y=sinx的关考y=2sinx，y=12系。
教师借助GGB软件，进一步演示y= Asinx的图像。
（详见课件y=Asinx）。
第11讲二次函数y=a(x-h)^2 k的图像及性质-人教版暑假班九年级数学上册教学案(教育机构专用)
圆梦堂文化培训学校精品班教案第 11 讲要点1二次函数y＝ax2＋k的图象和性质1. 二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象是一条，其对称轴是轴，顶点坐标为 .2. 抛物线y＝ax2＋k，当a>0时，开口向，顶点是它的最点，在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而；当a<0时，开口向，顶点是它的最点，在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而.要点2二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象之间的平移当k>0时，y＝ax2＋k是将y＝ax2的图象向上平移个单位得到的；当k<0时，y＝ax2＋k是将y ＝ax2的图象向平移|k|个单位得到的.要点3二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质1. 二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象是一条，其对称轴是，顶点坐标为.2. 抛物线y ＝a (x －h )2，当a >0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ；当a <0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 . 要点4 二次函数y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2图象之间的平移当h >0时，y ＝a (x －h )2是将y ＝ax 2的图象向右平移 个单位得到的；当h <0时，y ＝a (x －h )2是将y ＝ax 2的图象向 平移|h |个单位得到的. 要点5 二次函数y ＝a (x －h )2+k 的图象和性质1. 二次函数y ＝a (x －h )2+k(a ≠0)的图象是一条 ，其对称轴是 ，顶点坐标为 .2. 抛物线y ＝a (x －h )2+k ，当a >0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ；当a <0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 . 要点6 二次函数y ＝a (x －h )2+k 与y ＝ax 2图象之间的平移y ＝a (x －h )2+k 是将y ＝ax 2的图象向右(左）平移 个单位再向上（下）平移 个单位得到的；左加右减自变量；上加下减函数值。
七年级数学下册 11-4《函数与图像》ppt课件 青岛版
（2）怎样确定这天某一时刻t的气温T？
用图像表示变量之间函数 关系的方法叫做图像法
例1：小亮步行从家去书店，用一段时间选择自己需要的书籍，然后回家.
小亮和家的距离与他离开家之后的时间之间的函数关系如图所示，根据图像回 答下列问题：
（20分钟）小亮家距书店多远？ （900米） （1）小亮用多少时间走到书店？
下图是某气象站记录的某一天昼夜气温变化的曲线，请根 据此图回答下列问题：
（1）这天6时、8时和20时的气温T各是多少？
新 （3）这条曲线反映的是哪两个变量之间的关系？ 知 （4）请你找出曲线上位置最高和最低的点，你能分别说出这 探 两点的坐标吗？你能解释这两个点坐标的实际意义吗？ （5）从4时到14时气 究 温发生了怎样的变化？
2.下列各点哪些在函数y=2x-1的图像上？ A（1，- 2） B（-2.5，-6） C（0，-1） D（101，199）E（-100，-103）F（1.5，2）
通过这节课的学习，你有哪些收获？
1.观察函数图像，可以获得相关信息，并能 利用这些信息解决问题. 2.根据函数解析式，可以画出函数的图像. x-1的图像. （1）给定自变量的x的一些值，求出对应y的值，并填表；
（2）以x与y的对应职位点的坐标描出这些点； （3）按照自变量由小到大的顺序把描出的点顺次连接起来. 如图，可得函数y=x-1的图像. y=x-1
用描点法画函数图像的步骤： ①列表 ②描点 ③连线
想一想，下列各点哪些在函数y=x-1
（1）乙工程队比甲工程队晚开工几天？早完工几天？
（2）甲工程队在施工中间休息了几天？ （3）甲工程队在在哪一时间段内施工进度最快？
课件11： 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像
正解：因为 x∈6π，π，所以借助函数 y＝sin x 的图象可知，此时 0≤sin x≤1. 于是由 sin x＝2m－1，得 0≤2m－1≤1，解得 m 的取值范围12≤m≤1. 纠错心得：三角函数的取值范围与定义域有关，因此，在求解有关范围问题时， 一定要先看清定义域，再由定义域推得三角函数的取值范围，最后求出正确答案．
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像
基础初探
1．在函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，起关键作用的五点是：
(0，__0__)，(π2，__1__)，(__π__，0)，(__32_π_，－1)，(2π，__0__)．
2．用“五点法”画余弦函数 y＝cos x，x∈[0,2π]时，应先在直角坐标系中
跟踪训练
3．(1)cos21x＋π3>
3 2.
【解析】令 ωx＋φ＝t，利用正弦、余弦、正切曲线求解．
(1)令12x＋π3＝t，则 cos t> 23，观察一个周期[－π，π]得－π6<t<6π.又因为余弦函数周期
为 2π，所以 2kπ－6π<t<2kπ＋π6(k∈Z)，
即 2kπ－6π<12x＋3π<2kπ＋6π(k∈Z)，
课堂小结
1．用“五点法”作正弦曲线和余弦曲线，这五个点中有两个点是函数图象 的最高点和最低点，另外三个点是函数图象与 x 轴的交点． 2．利用正弦曲线和余弦曲线，不仅可以求函数的定义域或不等式的解集， 而且也可以确定方程的解的个数.
画出的五点是：__(0_,_1_)_，___π2_，__0_ _，(π_，__－__1_，) _3_2π_，__0_，(2_π_，__1_)_. 3．y＝sin x 的图象可以由 y＝cos x 的图象向__右__平移π2个单位长度而得到．
函数及其图像(课堂PPT)
集合：A，B，C…表示；元素：a，b，c…表示
函数与极限
4
2.实数与数轴
实数R有理数Q分 整数 数(Z12负非, 整 负86 ,数 整)（ 数（1,自2然,数集nN,：0）,1，2， )
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故定义域是[-3, -1].
函数与极限
28
例3 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
所示,写出电压U与时间t(t 0)的函数关系式.
解 当 t [0, ]时, 2
U
E
t
2E t;
2 当 t ( , ]时,
2. 函数中根式,要求负数不能开偶次方
3. 函数中有对数式,要求真数必须大于零
4. 函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域
5. 若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域
的交集
函数与极限
20
例1 求下列函数的定义域
(1()1(y)1y)y44411x1x22x2 xxx222; ;
((22()2)y)yylglgxlxg11;x; 1 ; x x22x 2
2
U
( , E)
2
E
o
(,0) t
2
单三角脉冲信号的电压
U 0
(t )
E
0
2
即U 2E (t )
函数与极限
29
当 t (,) 时, U 0.
U
( , E)
2
八年级秋季班-第11讲：反比例函数
反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性质进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据．一、反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量x 、y 成反比例，就是xy k =，或表示为ky x =，其中k是不等于0的常数．2、解析式形如ky x=（k 是常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数．3、反比例函数ky x=的定义域是不等于零的一切实数．反比例函数知识结构模块一：反比例函数的概念知识精讲内容分析【例1】下列变化过程中的两个变量成反比例的是（）A ．圆的面积和半径B ．矩形的面积一定，它的长与宽C ．完成一项工程的工效与完成工期的时间D ．人的身高及体重【难度】★【答案】【解析】【例2】（1）已知：y 与x 成反比例，且1x =-时，2y =，则它的函数解析式是_________;（2）已知y 与2x 成反比例，且当2x =-时，14y =-，则当13x =时，y =_________.【难度】★【答案】【解析】【例3】下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是，为什么?（1）3x y =；（2）12y x -=；（3）1(0)y k kx =≠；（4）2xy =-；（5）21y x=+．【难度】★【答案】【解析】【例4】（1）如果21(1)kk y k x --=-是反比例函数，则k 的值是_________；（2）已知函数210(3)my m x -=-是反比例函数，则m =_________.【难度】★★【答案】【解析】例题解析【例5】下列说法中正确的有（）个．（1）当10k y kx≠=时，是反比例函数；（2）如果2213y y x x=，那么与成反比例；（3）如果211m y m x-=+-是反比例函数，则1m =±；（4）如果x 、y 成正比例，y 与z 成反比例，则x 与z 成反比例．A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★【答案】【解析】【例6】已知某反比例函数，且当1x =时，2y =-，当3x y m =-=时，求m 的值．【难度】★★【答案】【解析】【例7】已知21y x +-与成反比例，且当13x y =-=-时，当3x =时，y 的值．【难度】★★【答案】【解析】【例8】已知一梯形的面积是30，上底长是下底长的12，设下底长为x ，高为y ，求y 关于x 的函数关系式并写出这个函数的定义域．【难度】★★【答案】【解析】【例9】已知反比例函数ky x=的图像上有一点A ，它的横坐标x 和纵坐标y 是方程2280x x --=的两个根，求：（1）k 的值；（2）点A 到y 轴的距离．【难度】★★【答案】【解析】【例10】设1212k ky y x x==和，当2x =时，121213y y y y +=-=，，求12k k 、的值．【难度】★★★【答案】【解析】【例11】已知122y y y =-，若1y 与x 成反比例，2y 与3x +成正比例，且当1x =时10y =，当1x =-时2y =；（1）求y 与x 间的函数关系式；（2）求当12y =时，x 的值．【难度】★★★【答案】【解析】师生总结1.反比例函数的定义域有限制吗？请说明二、反比例函数的图像1、反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像叫做双曲线，它有两支．三、反比例函数的性质1、当0k >时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小．2、当0k <时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐增大．3、图像的两支都无限接近于x 轴和y 轴，但不会与x 轴和y 轴相交．【例12】（1）已知反比例函数2a y x-=图像在第二、四象限，则a 的取值范围是_______；（2）已知(0)ky k x=≠图像上有一点P （3，2），那么这个反比例函数的解析式为_________.【难度】★【答案】【解析】【例13】已知反比例函数(0)ky k x=≠的图像经过经过点（1，2-），则这个函数解析式是______________；当x ＜0时，y 的值随着x 的增大而________．【难度】★【答案】【解析】知识精讲例题解析模块二：反比例函数的图像及性质【例14】当m =_______时函数231(2)mm y m x --=-是反比例函数，且当0x >时，y 值随x的值增大而减小．【难度】★【答案】【解析】【例15】已知（3，4）是反比例函数221m m y x+-=图像上的一点，则函数图像必过点（）．A ．（2，6-）B ．（6-，2）C ．（3，4-）D ．（3-，4-）【难度】★【答案】【解析】【例16】（1）已知函数1y x -=是反比例函数，则k 的取值范围是________；（2）已知反比例函数1k y x+=，点1122()()x y x y ，、，为其图像上的两点，若当12120x x y y <<>时，，则k 的取值范围是___________．【难度】★★【答案】【解析】【例17】下列函数1135y x y x y y x x=-===-，，，中，每个象限内y 的值随x 的增大而减小的有（）个A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【难度】★★【答案】【解析】【例18】下列函数21()a y a x--=是常数的图像上有三点A 13y （-，）、B 21y （-，）、C 32y （，），则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A ．231y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<【难度】★★【答案】【解析】【例19】（1）已知P （1，2+1m ）在双曲线ky x=上，则双曲线的图像在第_______象限内，当x <0时，y 的值随x 的减小而________；（2）设反比例函数15510y x x -=-≤≤，当时，函数的最大值是______________．【难度】★★【答案】【解析】【例20】（1）平面直角坐标系中，点A (725)m m --，在第二象限，且m 为整数，求过点A 的反比例函数解析式；（2）若反比例函数3k y x -=的图像位于第二、四象限内，正比例函数2(1)3y k x =-过一、三象限，求整数k 的值．【难度】★★【答案】【解析】【例21】函数122(4)m y m m x=+可能是正比例函数或者是反比例函数吗?为什么?【难度】★★★【答案】【解析】【例22】已知反比例函数(0)ky k x=≠，当自变量x 的取值范围为84x ≤≤--时，相应的函数取值范围是12y ≤≤--1，求这个反比例函数解析式．【难度】★★★【答案】【解析】师生总结2.反正比例函数的性质是什么？反比例函数和几何图形的综合【例23】已知反比例函数图像上有一点P ，过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，如果△POH的面积为6，则反比例函数的解析式为_____________.【难度】★【答案】【解析】【例24】如图，x 轴上一点C 的坐标是（-3，0）．点P 从原点出发，沿y 轴向上运动，过点P 作x 轴的平行线，分别与反比例函数42y y x x =-=和的图像交于点A 、B ，在点P 从下向上移动过程中，三角形ABC 的面积（）A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．保持不变D ．先增大，到一定程度后减小【难度】★★【答案】【解析】知识精讲例题解析ABC OPxy模块三：反比例函数的综合【例25】如图，矩形ABCD 的边CD 在x 轴上，顶点A 在双曲线1y x=上，顶点B 在双曲线3y x=上，求矩形ABCD 的面积．【难度】★★【答案】【解析】【例26】过原点作直线交双曲线(0)ky k x=>于点A 、C ，过A 、C 两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD ，如图所示．（1）已知矩形ABCD 的面积等于8，求双曲线的解析式；（2）若已知矩形ABCD 的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能，请予求出；如果不能，说明理由．【难度】★★【答案】【解析】A B CDE OxyyABCDOx【例27】正方形OAPB 、ADFE 的顶点A 、D 、B 在坐标轴上，点E 在AP 上，点P 、F 在函数(0)ky k x =>的图像上，已知正方形OAPB 的面积是16．（1）求k 的值和直线OP 的函数解析式；（2）求正方形ADEF 的边长．【难度】★★★【答案】【解析】【例28】如图，已知正方形OABC 的面积是9，点O 为坐原点，A 在x 轴上，C 在y 轴上，B 在函数(00)k y k x x =>>，的图像上，点P （m ，n ）在(00)ky k x x =>>，的图像上异于B 的任意一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别是E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积是S ．（1）求点B 的坐标；（2）当92S =时，求点P 的坐标；（3）写出S 关于m 的函数解析式．【难度】★★★【答案】【解析】A BC PE FyOxyABPFOxE【习题1】下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是?为什么?（1）13y x =-；（2）4xy =；（3）15y x=-；（4）2(0)ay a a x =≠为常数，；（5）1y xπ=；（6）21y x =.【难度】★【答案】【解析】【习题2】已知1y x -与成反比例，当x =1时，y =3；当x =8时，y =________．【难度】★【答案】【解析】【习题3】（1）反比例函数22(2)my m x -=-的图像在第二、四象限，则m =________；（2）若反比例函数230k y x x-+=<，当时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是____________．【难度】★【答案】【解析】随堂检测【习题4】在函数(0)ky k x=>图像上有三点112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，，如果1230x x x <<<，试比较123y y y ，，大小关系___________.【难度】★★【答案】【解析】【习题5】反比例函数2121k y k x+=+-的图像经过第二、四象限，求这个函数的解析式.【难度】★★【答案】【解析】【习题6】作出反比例函数12y x=的图像，并根据图像解答下列问题：（1）当4x =时，求y 的值；（2）当2y =-时，求x 的值；（3）当2y >时，求x 的范围．【难度】★★【答案】【解析】【习题7】点P 在反比例函数1y x=(x ＞0)的图像上，且横坐标为2．若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得到点'P ．求在第一象限内，经过点'P 的反比例函数图像的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【习题8】已知函数12y y y =+，1y 与x 成反比例，2y 与(2)x -成正比例，当1x =时，1y =-；当3x =时，5y =，求当6x =时，y 的值．【难度】★★【答案】【解析】【习题9】（1）若P 是反比例函数3ky x=图像上的一点，PQ ⊥y 轴，垂足为点Q ，若2POQ s ∆=，求k 的值；（2）已知反比例函数ky x=的图像上有一点A ，过A 点向x 轴，y 轴分别做垂线，垂足分别为点B C ，，且四边形ABOC 的面积为15，求这个反比例函数解析式．【难度】★★【答案】【解析】【习题10】如图，点A 、B 在反比例函数(0)ky k x=>的图像上，且A 、B 横坐标分别是a 、2a (0)a >．AC ⊥x 轴，垂足为C ，三角形AOC 的面积为2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点12(2)a y a y (-，)、-，也在反比例函数的图像上，试比较12y y ，的大小．【难度】★★★【答案】【解析】A BG D EFCOxy【习题11】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数3y x =与反比例函数图像交于第一象限内的点A ，AB ⊥x 轴于点B ，AB =6．（1）求反比例函数的解析式；（2）在直线AB 上是否存在点P ，使点P 到正比例函数直线OA 的距离等于点P 到点B 的距离?若存在，求点P 坐标，若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】【习题12】已知反比例函数4y x=与正比例函数相交与点A ，点A 的坐标是（1，m ）．（1）求此正比例函数解析式；（2）若正比例函数14y x =与反比例函数4y x=的图像在第一象限内相交与点B ，过点A 和点B 分别做x 轴的垂线，分别交x 轴与点C 和点D ，AC 和OB 相交与点P ，求梯形PCDB 的面积；（3）联结AB ，求AOB ∆面积．【难度】★★★【答案】【解析】ABOxy【习题13】如图，在反比例函数2(0)y x x=>的图像上，有点1234P P P P ，，，，他们的横坐标为1，2，3，4．分别过这些点往x 轴和y 轴上作垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左向右依次是123123S S S S S S ++，，，求的值．【难度】★★★【答案】【解析】【作业1】判断下列问题中两个变量是不是反比例函数关系?为什么?（1）三角形的面积S 一定时，它的一条边长a 和这条边长上的高h ；（2）存煤量Q 一定时，平均每天的用煤量m 与可用天数t ；（3）货物的总价A 一定时，货物的单价a 与货物的数量x ；（4）车辆所行使的路程S 一定时，车轮的直径d 和车轮的旋转周数n ．【难度】★【答案】【解析】【作业2】已知反比例函数(0)ky k x=<，当0x <时，它的图像在第______象限．【难度】★【答案】【解析】课后作业1234xyO 1P 2P 3P 4P 3S 2S 1S【作业3】（1）已知函数63k y x-=，如果在每个象限内y 随x 的增大而减小，那么k 的取值范围是______________；（2）如果双曲线2m y x +=位于第一，三象限，那么m 的取值范围是______________．【难度】★【答案】【解析】【作业4】已知点11()x y ，，22()x y ，在反比例函数2k y x-=图像上，当120x x >>时，12y y <，求k 的取值范围．【难度】★【答案】【解析】【作业5】作出反比例函数xy 4-=的图像，结合图像回答：（1）当2x =时，y 的值；（2）当14x <≤时，y 的取值范围；（3）当14y ≤<时，y 的取值范围．【难度】★★【答案】【解析】【作业6】已知反比例函数ky x=的图像上有一点A ，过A 点向x 轴做垂线，垂足分别为点B ，且AOB ∆的面积为15，求这个反比例函数解析式．【难度】★★【答案】【解析】【作业7】已知函数12y y y =-，且1y 为x 的反比例函数，2y 为x 的正比例函数，且312x x =-=，时，y 的值都是1．求y 关于x 的函数关系式．【难度】★★【答案】【解析】【作业8】在反比例函数ky x=的图像上有一点A ，它的横坐标x 和纵坐标y 是方程290x -=的两个根．求：（1）k 的值；（2）点A 到y 轴的距离；（3）点1(27)3P -，是否在该反比例函数图像上?【难度】★★【答案】【解析】【作业9】等腰直角POA 的直角顶点P 在反比例函数4y x=(0)x >的图像上，A 点在x 轴正半轴上，求A 点坐标．【难度】★★【答案】【解析】【作业10】已知，如图点P 是双曲线24y x=上的一点，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，PA 、PB 分别交双曲线11y x=于点D 、C ．求△PCD 的面积．【难度】★★★【答案】【解析】【作业11】如图已知在平面直角坐标系中，正方形ABCD 顶点A 、B 的坐标分别为（1，0）和（0，2）．双曲线(0)ky x x=>经过点D ．（1）求双曲线的函数解析式；（2）将正方形ABCD 沿x 轴向左平移多少个单位长度，可以使点C 正好落在双曲线上．【难度】★★★【答案】【解析】A BCDOP yxyABCDEF Ox。
第11节 一次函数的图象和性质
，与 y 轴的截距为﹣ ，
由于该直线不通过第一象限，所以得到：
即
，
由①得到 a 与 b 同号；由②得到 b 与 c 同号．所以 a，b，c 同号． 故选 D
4.设 b＞a，将一次函数 y=bx+a 与 y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，则 有一组 a，b 的取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是（ ）
典例分析：
例 3：（1）直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限，则有（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
解：若直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限， 则必有 k＞0，b＜0， 故选：B．
（2）若 ac＜0，bc＜0，则直线 ax+by+c=0 的图形只能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由题意知，函数的解析式即 y=﹣ x﹣ ，∵ac＜0，bc＜0，∴a•b＞0，
∴﹣ ＜0，﹣ ＞0，故直线的斜率小于 0，在 y 轴上的截距大于 0，
故选 C．
练习：
1．若 a+b=0，则直线 y=ax+b 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
解：根据题意，得；
当 x=1 时，y=a+b=0，
(4)直线 y＝kx＋b(k≠0)与 x 轴的交点为(－kb，0)，与 y 轴的交点为(0，b)．
典例分析：
例 1：已知函数 y=（2m﹣1）x+1﹣3m，当 m 为何值时．
（1）这个函数为正比例函数； （2）这个函数为一次函数； 解：∵函数 y=（2m﹣1）x+1﹣3m， （3）函数值 y 随 x 的增大而减小（；1）当 1﹣3m=0，即 m= 时，这个函数为正比例函数； （4）这个函数图象与直线 y=x+（1 的2）交当点2m在﹣1x≠轴0，上即．m 时，这个函数为一次函数；
第11课时反比例函数的图像与性质
第11课时反比例函数的图像与性质【复习目标】1. 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式。
2．能画出反比例函数的图象，根据图象和解析式y＝kx（k≠0）探索并理解k>0和k<0时，图象的变化情况．3．理解反比例函数的性质，能利用性质解题．4．会用待定系数法求反比例函数的解析式；能综合利用一次函数与反比例函数的性质解题．【知识梳理】1．反比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k为常数，k_______0）的函数叫做反比例函数．2．反比例函数的性质：反比例函数y＝kx（k≠0）的图象是_______．当k>0时，两分支分别位于第_______象限内，且在每个象限内，y随x的增大而_______；当k<0时，两分支分别位于第_______象限内，且在每个象限内，y随x的增大而_______．3．反比例函数的图象是中心对称图形，其对称中心为_______；反比例函数还是_______图形，它有两条_______，分别是_______．4．在双曲线y＝kx上任取一点P向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于_______．5．因为在反比例函数的关系式y＝kx（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的关系式，因而一般只要给出一组x、y的值或图象上任意一点的坐标，然后代入y＝kx中即可求出_______的值，进而确定出反比例函数的关系式．【考点例析】考点一判断点是否在反比例函数的图象上例1下列各点中，在反比例函数y＝6x的图象上的是( )A．(－2，－3) B．（－3，2）C．(3，－2) D．（6，－1）考点二反比例函数的图象与性质例2已知反比例函数y＝1mx的图象如图所示，则实数m的取值范围是( )A．m>1 B．m>0 C．m<1 D．m<0例3反比例函数y＝2x的图象上的两点为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1<x2，则下列关系成立的是( )A．y1>y2B．y1<y2C．y1＝y2D．不能确定考点三求反比例函数的解析式及函数图象的交点例4已知反比例函数y＝kx的图象经过点（1，－2），则k的值为( )A．2 B．－12C．1 D．－2例5已知直线y＝ax（a≠0）与双曲线y＝kx（k≠0）的一个交点坐标为(2，6)，则它们的另一个交点坐标是( )A．（－2，6）B．（－6，－2）C．（－2，－6）D．(6，2)考点四反比例函数y＝kx（k≠0）中k的几何意义例6如图，点A在双曲线y＝1x上，点B在双曲线y＝3x上，且AB∥x轴，点C和点D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则矩形ABCD的面积为_______．考点五反比例函数图象中的几何图形的面积例7如图，两个反比例函数y＝1x和y＝－2x的图象分别是l1和l2．设点P在l1上．PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为( )A．3 B．4 C．92D．5考点六反比例函数与一次函数的综合运用例8一次函数y＝x＋m(m≠0)与反比例函数y＝mx的图象在同一平面直角坐标系中可能是( )例9如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A(2，1)、B（－1，－2）两点，与x轴交于点C．(1)分别求反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接OA，求△AOC的面积．【反馈练习】1．若反比例函数y＝1kx-的图象经过点(－1，－2)，则k的值是( )A．2 B．－2 C．－3 D．32．已知A（－1，y1）、B（2，y2）两点都在双曲线y＝32mx+上，且y1>y2，则m的取值范围是( )A．m<0 B．m>0 C．m>－32D．m<－323．如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝kx的图象经过点A，则k的值是( )A．2 B．－2 C．4 D．－44．当a≠0时，函数y＝ax＋1与函数y＝ax在同一坐标系中的图象可能是()5．已知反比例函数的图象经过点(m，2)和（－2，3），则m的值为_______．6．如图，双曲线y＝kx（k≠0）上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，则该双曲线的解析式为_______．7．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与坐标轴分别交于A．B两点，与反比例函数y＝mx的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D．若OB＝2，OD＝4，△AOB的面积为1．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)直接写出当x<0时，kx＋b－mx>0的解集．。
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∵－1≤x<3， ∴－1≤
∴－2≤4－y<6，
∴－2－4≤－y<6－4，－6≤－y<2， ∴－2<y≤6. 探究提高 结合不等式的性质，由自变量的取值范围，可确定2010· 上海)已知函数f(x)＝
1 x2＋1
1 ，那么f(－1)＝_____. 2
解析：当x＝－1时，f(－1)＝
的对应值一般只是近似的，且只反映出变量间关系的一部分而不
是全体． 函数的三种表示法各有优缺点，我们常常各取其长，综合运
用这三种方法来研究有关函数问题，并且函数三种表示法可以相
互联系与转化．
基础自测
1．(2011·武汉)函数y＝ x－2中自变量x的取值范围是( C ) A．x≥0 B．x≥－2
C．x≥2 D．x≤－2
知能迁移1 (2011·乐山)下列函数中，自变量x的取值范围为x＜1 的是 ( D )
1 A. y＝ 1－x C. y＝ 1－x
1 B. y＝1－ x D. y＝ 1 1－x
解析：由1－x>0，得x<1.
题型二 【例 2】
由自变量取值，求函数值 已知y＝－2x＋4，且－1≤x<3，求函数值y的取值范
(标明x的范围)，并在图中画出函
数y1的图象； (2)甲、乙两人在途中有几次相遇？
分别是出发后的多长时间相遇？
解：(1)设y1＝k1x，则有9＝30k，k1＝ 3 ，y1＝ 3 x(0≤x≤30)；
2 在0≤x≤5时，y2＝ x； 5
在5<x≤13时，y2＝2； 在13<x≤27时，y2＝ 1 x－ 9 .
1．理解并掌握平面中确定点的位置的方法
在平面内，确定一个点的位置，一般需要两个数据．利用纵横
交错法确定点的位置，要知道横向、纵向的格数；利用“方位角＋ 距离”来确定点的位置，需知道该点相对于参考点的方位角和距
离．确定位置的方法，除了上面所述的两种，还有区域法等．
用坐标描述点的位置，关键在于建立适当的坐标系，并确定单 位长度．直角坐标系是刻画点的位置的一种工具，它把几何中研究 的基本对象“点”与代数中研究的基本对象“数”联系起来，从而 将“数”与“形”相结合，这样就使得我们可以用代数的方法来研 究几何图形．
120＝2.5k＋b， k＝－48， 得 0＝5k＋b， b＝240，
y＝－48x＋240.(2.5≤x≤5) (3)当x＝4时，y＝－48×4＋240＝48. 答：这辆汽车从甲地出发4 h时与甲地的距离是48 km.
易错警示
7．自变量取值范围不可忽视 试题 矩形的周长是8(cm)，设一边长为x(cm)，另一边长为 y(cm)． (1)求y关于x的函数关系式； (2)在图中作出函数的图象． 学生答案展示 解：(1)由题意得2(x＋y)＝8，则y＝4－x.
2
探究提高 本题利用了几何中的公式，用自变量表示因变量．
知能迁移3
(2010·漳州)某零件制造车间有工人20名，已知每名工
人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零 件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元．在这20名工 人中，设该车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造 乙种零件． (1)请写出此车间每天所获利润y(元)与x(人)之间的函数关系式； (2)若只考虑利润问题，要使每天所获利润不低于24000元，你认 为至多要派多少名工人制造甲种零件才合适？ 解：(1)y＝6x· 150＋5(20－x)· 260＝900x＋26000－1300x
(2)若解析式是分式，则必须使得分母不为0；
(3)若解析式是二次根式，则必须使得被开方数不小于0； (4)对于实际意义的函数，自变量取值范围还应使实际问题有
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探究提高 要学会阅读图象，正确理解图象中点的坐标的实际意 义，由图象分析变量的变化趋势，从而确定实际情况．分 析变量之间的关系、加深对图象表示函数的理解，进一步 提高从图象中获取信息的能力，运用数形结合的思想观察 图象求解．
知能迁移4
在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往
乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x(h)时，汽车 与甲地的距离为y(km)，y与x的函数关系如图所示．
关系的方法．列表法对于表中已有的自变量的每一个值，可以直
接找到对应的函数值，它适用于计算函数值很麻烦或很难找到函 数关系式的情况．缺点是不能把自变量与函数的全部对应值列出
来，而且从表格中也不易看出自变量与函数之间的对应规律．
图象法是指用图象来表示一个变量与另一个变量之间函数关 系的方法．在给定的函数中，把自变量x的一个值和函数y的对应 值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点， 所有这些点的集合，叫做这个函数的图象．函数的变化情况和某 些性质在图象上能够很直观地显示出来，以后我们通常借助函数 的图象来探索函数的性质．其缺点在于从图象上找自变量与函数
根据图象信息，解答下列问题：
(1)这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由； (2)求返程中y与x之间的函数表达式；
(3)求这辆汽车从甲地出发4 h时与甲地的距离．
解：(1)120÷2＝60；120÷(5－2.5)＝120÷2.5＝48.
∵60≠48，
∴往、返速度不相同．
(2)设返程中y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.
解析：x－2≥0，x≥2.
2．(2011·株洲)根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速 度呈现如下图规律，由图可以判断，下列说法错误的是( D ) A．男生在13岁时身高增长速度最快 B．女生在10岁以后身高增长速度放慢 C．11岁时男女生身高增长速度基本相同 D．女生身高增长的速度总比男生慢
探究提高
代数式有意义的条件问题：
(1)若解析式是整式，则自变量取全体实数； (2)若解析式是分式，则自变量取使分母不为0的全体实数；
(3)若解析式是偶次根式，则自变量只取使被开方数为非负数的
全体实数； (4)若解析式含有零指数或负整数指数幂，则自变量应是使底数
不等于0的全体实数；
(5)若解析式是由多个条件限制，必须首先求出式子中各部分自 变量的取值范围，然后再取其公共部分，此类问题要特别注意， 只能就已知的解析式进行求解，而不能进行化简变形，特别是不 能轻易地乘或除以含自变量的因式．
第三章 函数及其图像
第11课 函数及其图像
要点梳理
1. 常量、变量： 在某一过程中，保持一定数值不变的量叫做 常量 ；可以取不 同数值的量叫做 变量 ． 2．函数： 一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的 每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是 自变量 ，y是x 的 函数 ． 3．函数自变量取值范围： 由解析式给出的函数，自变量取值范围应使解析式有意义；对 于实际意义的函数，自变量取值范围还应使实际问题有意义．
2．了解函数三种表示方法的特点 解析法是用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系 的方法，这个等式称为函数的解析式，如s＝80t，A＝πr2等．解析 法简单明了，能使我们从解析式了解整个变化过程中函数与自变 量之间的全部相依关系，适合于作理论分析和计算、推导．许多 定律、法则都用解析式(即公式)来表示．但在求对应值时，需要 逐个计算，有时是很麻烦的，且有不少函数很难或者无法用解析 式表示出来． 列表法指用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数
正解
(1)由题意，得2(x＋y)＝8，则y＝4－x，其中0<x<4. (2)图象如图所示．
批阅笔记
作实际问题的函数图象时，若不注意自变量的取值范
围，往往作出错误的图象．确定实际问题的函数的自变量取值 范围，一要考虑使代数式有意义，二要考虑实际问题的背景.
思想方法 感悟提高
方法与技巧
1. 自变量x取值范围常见类型： (1)若解析式是整式，则x可取全体实数；
A．y＝5x2－3x
C．y＝2
B．y＝x2－1
D．y＝－3x＋7
x
解析：当x＝0时，y＝5×02－3×0＝0，图象过原点(0,0)．
5．(2011·烟台)在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程
y(千米)随时间(时)变化的图象(全程)如图所示．有下列说法：
①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千 米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米．其中正确的
围．
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
解法1：∵－1≤x<3，
∴2≥－2x>－6， ∴2＋4≥－2x＋4>－6＋4， [2分]
即6≥－2x＋4>－2.
∵y＝－2x＋4， ∴6≥y>－2，即－2<y≤6. [4分]
解法2：∵y＝－2x＋4， ∴x＝
4－y .[1分] 2 4－y<3. 2
[2分]
解析：女生在7岁到11岁时， 身高增长的速度比男生快， 故选D.
3．(2011·福州)甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲单独 做了10天，然后乙队加入合做，完成剩下的全部工程．设工程 总量为单位1，工程进度满足如图所示的函数关系，那么实际 完成这项工程所用的时间比由甲 单独完成这项工程所需时间少( D ) A．12天 B．14天 C．16天 D．18天
4．函数的图象和函数表示方法： (1)函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函 数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描
出这些点，用光滑曲线连接这些点所组成的图形，就是这个函数
的图象． (2)函数的表示法：① 解析法 ；② 列表法 ；③ 图象法 ．
[ 难点正本 疑点清源 ]
＝－400x＋26000.
(2)∵y≥24000， ∴－400x＋26000≥24000，－400x≥－2000，x≤5.
答：至多要派5名工人制造甲种零件才合适．
题型四 【例 4】