(整式与分式)

整式与分式

学员姓名：年级：课时数：2课时

辅导科目：数学学科教师：上课时间：

知识点：

例题讲解：

一、整式的基本概念

（1）单项式

6a、vt、n-这样的式子叫做单项式。

像100t、2

注：单独的一个数字或一个字母也是单项式。

（2）系数

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：10n的系数是10，-的系数是-1。

n

（3）次数

一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，例如：

242x y 的次数为6，534a b -的次数为8。

（4）多项式

几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。例如：4723323424313a b x y z a b c +-+有4项，常

数项为13。

（5）多项式的次数

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如：

4723323424313

a b x y z a b c +-+的次数为11次，

4711233923424313a b x y z a b c +-+的次数还是11次。

(6)整式

单项式与多项式统称整式。 （7）同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。例如：3221x y 与2312y x -是同类项，而3214a b c 与3213a b -就不是同类项。 注：几个常数项也是同类项。 （8）合并同类项

合并同类项就是将同类项的系数相加减，字母及字母的指数不变。例如：

323232132310a b a b a b -+=。

注：整式的加减就是合并同类项的过程。 （一）单项式与多项式 1、观察下列代数式

⑴2

2

a x ay +； ⑵2

122

x y -+； ⑶223xy -； ⑷0； ⑸29x -；

⑹832y x -； ⑺a a a 122-+；⑻xy y

x -+53； ⑼33a b c －；

⑽x －y ； ⑾－a ； ⑿2

0.1－； ⒀2m m ； ⒁m m

ππ+；

其中，单项式：

多项式： 二、同类项

2、下列各组中,不是同类项的是( ) （A ）2

n n x

y +-与2+n n x y (n 为正整数) （B ）y x 25与23yx -

（C ）12与

π

1 （D ）b a 21.0与22.0ab . 三、系数、次数和项

填表：

四、综合运用 1、选择题

（1）下列说法中正确的是 ( )

A ．代数式一定是单项式

B ．单项式一定是代数式

C ．单项式a 没有系数

D ．－y 的次数为0

（2）一个n 次多项式(n 为正整数)，它的每一项的次数为 ( ) A ．都等于n B ．都小于n C ．都不小于n D ．都不大于n （3）设P 是关于x 的5次多项式，Q 是关于x 的3次多项式，则 ( )

A ．P ＋Q 是关于x 的8次多项式

B ．P －Q 是关于x 的二次多项式

C ．3P ＋Q 是关于x 的8次多项式

D ．P —Q 是关于x 的五次多项式 2、填空

（4）4x n +6x n+1+21x n+2-4

3

x n+3(n 是自然数)是 次 项式，

其中最高次数项的系数是 。

（5）如果多项式x 2-7x-2和3x 2+5x+n 的常数相同，则n-n

2

= 。 （6）已知关于x 、y 的单项式333n x y +和214m y x --是同类项，则m = ，

整式

3

abc

π

2x 2x 1--

32236x 4x y 3xy y -+-

23

n

xy -

单项式 多项式 系数 次数 项

n = 。

（7）若单项式()122n n x y --是关于x 、y 的三次单项式，则n = 。 （8）如果单项式2522+-n m b a 与23-n ab 的和是单项式,则

2232m n -= 。

3、解答题

（9）若3b 21x y a +－是关于x 、y 的六次单项式，则a 、b 满足什么条件?

一、相关知识回顾

（一）整式乘法

1、同底数幂的乘法

对于任意底数a 与任意正整数m ,n ,一般地,我们有

m n m n a a a +⋅=(m ,n 都是正整数)。

即同底数幂相乘,底数不变,指数相加。 2、幂的乘方

对于任意底数a 与任意正整数m ,n ,一般地,我们有()m n m n a a ⋅= (m ,n 都是正整数)。

幂的乘方,底数不变,指数相乘。 3、积的乘方

对于任意底数a , b 与任意正整数n ,一般地,我们有()n n n ab a b =(n 都是正整数)。

积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。 4、单项式与单项式相乘

单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同的字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。 5、单项式与多项式相乘

单项式与多项式相乘,就是用单项式乘多项式的每一项,再把所得的

积相加。

6、多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。 7、乘法公式 (1)平方差公式

一般地,我们有22()()a b a b a b +-=-,即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差,这个公式叫做(乘法的)平方差公式。 (2) 完全平方公式

一般地,我们有222()2a b a ab b +=++, 222()2a b a ab b -=-+,即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们的积的2倍,这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式。

（二）整式的除法

1、同底数幂的除法

一般地,我们有m n m n a a a -÷=(a ≠0, m ,n 都是正整数,并且m ＞n ) 即同底数幂相乘,底数不变,指数相减。

注: 01a =(a ≠0),即任何不等于0的数的0次幂都等于1。 2、单项式相除

单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。 3、多项式除以单项式

多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。

（三）因式分解

像()21x x x x +=+,()()2111x x x -=+-这样,我们把一个多项式写成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也可叫做把这个多项式分解因式。