电路(第五版). 邱关源原著 电路教案 第12章

第12章 非正弦周期电流电路和信号的频谱

● 本章重点

1、非正弦量有效值及非正弦周期电路平均功率计算；

2、非正弦周期电路的计算。

● 本章难点

1、非正弦周期电路计算时，恒定分量与不同次谐波分量单独作用电路区别及求解。

● 教学方法

本章主要讲述了非正弦周期信号有效值及非正弦周期电流电路平均功率计算；非正弦周期电流电路的分析方法采用谐波分析法。本章共用4课时。对重点和难点内容，通过讲例题加以分析，深入浅出，举一反三。对三相电路中的高次谐波等内容，本章采用自学方式。

● 授课内容

12.1非正弦周期信号 1、非正弦周期电流

2、非正弦产生的原因

1）激励为非正弦； 2）电路中存在非线性元件； 3）不同频率信号作用在电路中。

3、解决方法

激励：利用傅立叶级数展开

01

()cos()

()2S km k S k u t U U k t u t T

ωϕπ

ωω∞

==++=

---∑为非正弦周期函数

基波频率k ---k 次谐波频率

响应：利用叠加定理求解

12.2非正弦周期量的有效值及电路平均功率 1、有效值

周期量有效值的定义：()dt t f

T

F T

⎰

=

2

1

注意：在正弦电路中，正弦量的最大值与有效值之间存在2

倍的关系，m F F =

。 对于非正弦周期信号，其最大值与有效值之间并无此种简单关系。

非正弦周期量： 01

()cos()km

k k f t F F

k t ωϕ∞

==+

+∑

将f (t )代人有效值定义式，并利用三角函数的正交性

22000

1,T i F dt F T =⎰ 001,2cos()0T

k k ii F F k t dt T

ωψ+=⎰ ()k km k Y km F F dt t k F T iii ==+⎰2

cos 1,

2

02ϕϖ 0

1,2cos()cos()0

T

km k qm q iv F k t F q t dt k q T ωψωψ++=≠⎰

则有

222220

1

1

k

k k F F F F F F ∞

==++++=+∑……

非正弦周期电流的有效值 2222220

1

2

3

1

...k K I I I I I I I ∞

==

+++=+∑

同理，非正弦周期电压的有效值 2222220

1

2

3

1

...k

K U U U U U U U

∞

==++++=+

∑

以上两式表明，非正弦周期电流或电压的有效值为其直流分量和各次谐波分量有效值的平方和的平方根。

2、非正弦周期电流电路的平均功率

如图所示一端口N 的端口电压u (t )和电流i (t )的关联参考方向下，一端口电路吸收的瞬时功率和平均功率为

1()()*() ()T

p t u t i t p p t dt T ==⎰

一端口电路的端口电压u (t )和电流i (t )均为非正弦周期量，其傅里叶级数形式分别为

01

01

()cos()

()cos()

km uk k km ik k u t U U k t i t I I k t ωψωψ∞

=∞

==++=++∑∑

在图示关联参考方向下，一端口电路吸收的平均功率

0011()()*()T T

P p t dt u t i t dt T T

=

=⎰⎰

将上式进行积分，并利用三角函数的正交性，

0000

01

,I U dt I U T i T

=⎰ 001,

cos()0T

km ik ii U I k t dt T ωψ+=⎰ 00

1,cos()0T

km ik iii I U k t dt T ωψ+=⎰

01,cos()*cos()cos()2T

km km km uk km ik

uk ik U I iv U k t I k t dt T ωψωψψψ++=-⎰ 2cos k k k k U I P ϕ=@

1,cos()*cos()0T

km uk qm iq v U k t I k t dt T ωψωψ++=⎰

故 0

1

k k P P P ∞

==+∑

上式表明，不同频率的电压与电流只构成瞬时功率，不能构成平均功率，只有同频率的电压与电流才能构成平均功率；电路的平均功率等于直流分量和各次谐波分量各自产生的平均功率之和，即平均功率守恒。 12.3非正弦周期电路计算

非正弦周期电路的解题步骤： 1、 将激励按傅立叶级数展开；

2、 恒定分量和各谐波分量分别单独作用求响应；

注意：1）直流分量作用时，电感相当于短路，电容相当于开路。

2）电感、电容对各谐波的阻抗导纳不同

1Lk Ck X X k C

k L

ωω=

= 3、 响应叠加（瞬时形式叠加） 例1：已知1

2R L C

ωω==

=Ω，()10100cos 40cos3V u t t t ωω=++ (),(),()C L i t i t i t 求：。

解：⑴10V 分量作用：0000

5A C L I I I ===

+ 10I

0C

(u ()t