正弦定理和余弦定理课件.ppt
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3×
6+ 4
2
2 =3+
3.
2
法二:在△ABC 中,由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,
得 12=6+c2-2c× 6× 22, 即 c2-2 3c-6=0, 解得 c= 3±3(舍负),即 c=3+ 3. ∵c>a>b,∴C>A>B, 由正弦定理得
sinB=basinA=2
6× 3
22=12,
式 ③a∶b∶c= sinA∶sinB∶sinC ④asinB=bsinA,bsinC=csinB,
asinC=csinA.
余弦定理
cosA= b2+c2-a2; 2bc
cosB= a2+c2-b2; 2ac
cosC= a2+b2-c2 . 2ab
定理
正弦定理
余弦定理
解决解斜三 角形的问题
①已知两角和任一边, 求另一角和其他两条 边.②已知两边和其中 一边的对角,求另一边 和其他两角.
∴B=30°,C=180°-A-B=105°.
(2)由余弦定理的推论得
cosA=b2+2cb2c-a2
=22×222+2×6+6+22-222=
解:由cosA-C+cosB=32及B=π-
A+C得cosA-C-cosA+C=32, cosAcosC+sinAsinC-cosAcosC -sinAsinC=32,sinAsinC=34.
若将例 1 中“cos2C= -14”改为“cos(A-C) +cosB=32,b2=ac”,
求 B.
又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC,
①已知三边,求 各角; ②已知两边和它 们的夹角,求第 三边和其他两个 角.
2.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 解的 个数
a=bsinA
一解
bsinA<a<b
两解
a≥b
一解
a>b a≤b
一解 无解
考点一 利用正、余弦定理解三角形
(2010·浙江高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分 别为 a,b,c,已知 cos2C=-14. (1)求 sinC 的值; (2)当 a=2,2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.
大小为
()
2π A. 3
5π B. 6
3π
π
C. 4
D.3
解析:由余弦定理得 cos∠BAC=AB2+2AABC·A2-C BC2=522+×352×-372 =-12,且∠BAC∈(0,π),因此∠BAC=23π.
答案: A
3.在△ABC 中,已知 sin2B-sin2C-sin2A= 3sinAsinC,则角 B
[自主解答] (1)因为 cos2C=1-2sin2C=-14,及 0<C<π,所以 sinC
=
10 4.
(2)当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理sinaA=sincC,得 c=4.
由 cos2C=2cos2C-1=-14,及 0<C<π 得
cosC=±
6 4.
由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2± 6b-12=0, 解得 b= 6或 2 6, 所以bc==4.6, 或bc==42. 6,
的大小为
()
A.150°
B.30°
C.120°
D.60°
解析:由正弦定理可得 b2-c2-a2= 3ac,由余弦定理可得 cosB=a2+2ca2c-b2=- 23.故角 B 为 150°.
答案: A
4.△ABC 中,若 a=3 2,cosC=13,S△ABC=4 3,则 b=________. 解析:∵cosC=13,0<C<π,∴sinC=2 3 2 ∴S△ABC=12absinC=4 3
∴b=a8sin3C= 3
83 2×2
3
2=2
3.
答案: 2 3
5.在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC的形 状是________. 解析:法一:因为在△ABC中,A+B+C=π, 即C=π-(A+B),所以sinC=sin(A+B). 由2sinAcosB=sinC, 得2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB, 即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0. 又因为-π<A-B<π,所以A-B=0,即A=B. 所以△ABC是等腰三角形.
a2= b2+c2-2bccosA ; b2= a2+c2-2accosB ; c2= a2+b2-2abcosC .
定 正弦定理
理
①a= 2RsinA,b= 2RsinB,
c= 2RsinC;
变 ②sinA= a ,sinB= b ,sinC
形 = c ; 2R
2R
2R
形 (其中R是△ABC外接圆半径)
故 sin2B=34,sinB= 23或 sinB=- 23(舍去), 于是 B=π3或 B=23π. 又由 b2=ac 知 b≤a 或 b≤c,所以 B=π3.
在△ABC 中,设 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,试根据以 下已知条件解三角形. (1)a=2 3,b= 6,A=45°; (2)a=2,b=2 2,c= 6+ 2; (3)a=2 2,b=2 3,C=15°.
1.(2010·湖北高考)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB
=Βιβλιοθήκη Baidu
()
A.-2 3 2
22 B. 3
C.-
6 3
6 D. 3
解析:依题意得 0°<B<60°,sinaA=sinbB,sinB=bsianA= 33,cosB
=
1-sin2B=
6 3.
答案: D
2.在三角形 ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC 的
解:(1)法一:在△ABC 中,由正弦定理得
sinB=bsianA= 62×322=12. ∵a>b,∴A>B,B 必为锐角,
∴B=30°,C=105°.
∵sinC=sin105°=sin(60°+45°)
=sin60°cos45°+cos60°sin45°
=
6+ 4
2,
∴c=assiinnAC=2
法二:利用正弦定理和余弦定理 2sinAcosB=sinC 可化为 2a·a2+2ca2c-b2=c,即 a2+c2-b2=c2,即 a2-b2=0, 即 a2=b2,故 a=b.所以△ABC 是等腰三角形.
答案:等腰三角形
1.正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容 sinaA=sinbB=sincC= 2R