3《微分方程对称性》论文报告
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下面的定理给出广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性直接导致的 Mei 守恒量存在的条件与 形式. 定理 1 对于广义 Hamilton 系统（1） ，如果动力学函数 H H (t ,xi ) 在无限小变换（4）
下的生成元 0 和 i 满足确定方程（7） ，并且存在某函数 (t , xi ) 满足条件
0 1 0, 0 2 0.
（18）式有如下解
（18）
0 1, 1 2 1.
把（19）式代入 Mei 守恒量存在的条件（8）式，可得
2 2t x12 x2 x3
（19）
（20）
把（19） 、 （20）式代入（9）式，我们得到广义 Hamilton 系统（16）的 Mei 对称性直接导致 的 Mei 守恒量
dI M
dt
0.
我们把（15）式称为带附加项的广义 Hamilton 系统的 Mei 守恒量.
一类新的三维广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性与 Mei 守恒量
我们构造一类含有时间变量 t 的三维广义 Hamilton 系统，其动力学方程为
1 t x2 , x 2 t x1 , x 3 2t ( x1 x2 ) 4 x1 x2 . x
学习《微分方程对称性》论文报告
Hamilton 系统动力学不但在现代物理学中扮演者相当重要的角色，而且在数理科学、 工程科学、生命科学乃至社会科学的诸多领域，发挥着基础支撑作用，特别是在是非线性 科学、天体力学、航天科学和生物工程等分支上倍受重视. 但传统的 Hamilton 系统理论是 在偶数维相空间上定义的，这种结构虽然具有很好的性质，但也限制了它的应用范围. 为了 使得 Hamilton 系统理论能应用于实际研究中含有奇数维的常微分方程组以及无穷维系统， 20 世纪 50 年代科学家们利用广义 Poisson 括号来定义广义 Hamilton 系统，从而推动了 Hamilton 系统的进一步发展[1]. 近 50 年来，广义 Hamilton 系统的研究受到数学、力学和物 理学家的重视，在理论、计算及应用方面取得了一系列重要进展. 对称性原理是物理学中更高层次的法则. 用对称性理论来寻求系统的守恒量是数理科 学中的一个近代方向，主要有 Noether 对称性方法，Lie 对称性方法. 2000 年，梅凤翔教授 发表论文 Form invariance of Lagrange system, 提出一类新的对称性方法——形式不变性， 后 被学术界称之为 Mei 对称性，近 10 年来，Mei 对称性与 Mei 守恒量的研究被迅速拓展或应 用于诸多类型的力学和物理学系统，已成为利用对称性寻求系统守恒量的一种新的通用性 的方法[20,21,32-47]. 2003 年，文献[5]研究了广义 Hamilton 系统的 Lie 对称性, 得到系统的 Hojman 守恒量. 2006 年，文献[6] 研究了带附加项的广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性间接导致的 Hojman 守恒量. 问题是广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性能否直接导致守恒量呢？本文主要研究广 义 Hamilton 系统的 Mei 对称性直接导致的 Mei 守恒量，给出其存在的条件与形式；进一步 推广到带附加项的广义 Hamilton 系统，给出相应的 Mei 守恒量. 文末，应用本文的方法研 究一类新的三维广义 Hamilton 系统，并研究三体问题中三个涡旋的平面运动.
i J ij x
H Fi ， x j
(i, j 1, 2, , m),
（11）
其中 J ij 满足
J ij J ji ,
J il
J jk xl
J jl
J ij J ki J kl 0. xl xl
（12）
而 H H (t ,xi ) 为 Hamilton 函数， Fi Fi (t ,xi ) 是广义 Hamilton 系统的附加项. 对于广义 Hamilton 系统（11） ，在无限小变换（4）下 Mei 对称性的确定方程为[6]
（10）
(
Hale Waihona Puke Baidu
(0) ( H ) [( j j 0) ( j j 0)] 0 x j
我们把（9）式称为广义 Hamilton 系统的 Mei 守恒量.
带附加项的广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性导致的 Mei 守恒量
带附加项的广义 Hamilton 系统的微分方程为
那么带附加项的广义 Hamilton 系统存在并直接导致如下形式的守恒量
（14）
I M (0) (H ) 0 const .
其中
（15）
d H ( j Fj ) ， i J ij . dt t x j x j
事实上，对（15）式求导，并利用确定方程（13）和守恒量存在的条件（14） ，容易得 到
J ij
(0) ( H ) 0, x j
（7）
那么广义 Hamilton 系统（1）具有 Mei 对称性. 事实上，把（5）式代人（6）式，忽略 2 及更高阶小量，并利用（1）式，即可得方程 （7）. 我们把方程（7）称为广义 Hamilton 系统 Mei 对称性的确定方程.
广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性导致的 Mei 守恒量
（5）
i J ij x
其中
H * ， x j
（ 6）
(0) 0
. i t xi
那么，这种不变性称为广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性. 判据 对于广义 Hamilton 系统（1） ，如果动力学函数 H H (t ,xi ) 在无限小变换（4）下 的生成元 0 和 i 满足方程
广义 Hamilton 系统的微分方程为
i J ij x
其中 J ij 满足
H ， x j
(i, j 1, 2, , m),
（ 1）
J ij J ji ,
而 H H (t ,xi ) 为 Hamilton 函数.
J il
J jk xl
J jl
J ij J ki J kl 0. xl xl
其中
（16）
1 H ( x1 x2 )t ( x12 x22 ), 2
0 ( J ij ) 1 2 x 2
1 0 2 x1
2 x2 2 x1 . 0
（17）
下面研究三维广义 Hamilton 系统（16）的 Mei 对称性和 Mei 守恒量. 对于系统（16） ，由 Mei 对称性的确定方程（7） ，可得
加项 Fi Fi (t ,xi ) 在无限小变换（4）下的生成元 0 和 i 满足确定方程（13） ，并且存在某 函数 (t , xi ) 满足条件
(0) ( H ) d d [ j ( j Fj ) 0] (0) ( H ) 0 (0)[ (0) ( H )] 0, x j dt dt
其中 为无限小参数， 0 和 i 为无限小生成元.
（ 4）
定义 对于广义 Hamilton 系统（1） ，如果动力学函数 H H (t ,xi ) 在无限小变换（4）下
H * (t * ,xi* ) H (0) ( H ) O ( 2 ) ，
使得广义 Hamilton 方程（1）保持其形式不变，即
J ij
(0) ( H ) (0) (Fi ) 0 x j
（13）
下面的定理给出带附加项的广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性直接导致的 Mei 守恒量存在的 条件与形式. 定理 2 对于带附加项的广义 Hamilton 系统（11） ，如果动力学函数 H H (t ,xi ) 和附
（2）
Mei 对称性是指力学系统的动力学函数在群的无限小变换下， 仍然保持系统运动微分方 程原有形式的一种不变性[32]. 引进无限小变换
t * t t ,
展开得
xi* (t *) xi (t ) xi ,
（ 3）
t * t 0(t , xi ), xi* (t *) xi (t ) i(t , xi ).
2 I M x12 x2 x3 const .
（21）
通过本文提出了广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性方法，得到广义 Hamilton 系统、带附 加项的广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性直接导致的守恒量，给出其存在的条件与形式，丰 富并发展了广义 Hamilton 系统的动力学理论以及约束系统的对称性理论. 在文章的第 5 节，我们构造了一类新的含时三维广义 Hamilton 系统，应用本文的方法 研究了其对称性与守恒量. 对于这类新的广义 Hamilton 系统，有待于物理学、力学和工程 科学界用于实际问题. 通过学习此次课程则更加深入的对 Hamulton 系统的对称性和守恒量有着更深入的了 解。也收获到了许多，特别感谢傅老师的悉心教导和孜孜不倦的敬业精神。 祝傅老师身体健康，工作顺利，收获硕果！ 学生 戴芸
(0) ( H ) d d ( j j 0) (0) ( H ) 0 (0)[ (0) ( H )] 0, x j dt dt
那么广义 Hamilton 系统存在并直接导致如下形式的守恒量
（ 8）
I M (0) (H ) 0 const .
其中
（ 9）
d H j ， i J ij . dt t x j x j
证明 对（9）式求导，并利用确定方程（7）和守恒量存在的条件（8） ，我们有
d d d d I M (0) (H ) 0 (0) (H ) 0 dt dt dt dt d (0) d d (0) (H ) ( H ) 0 (0) ( H ) 0 (0) ( H ) 0 (0) [ (0) ( H )] ( j j 0) dt dt dt xj (0) ( H ) (0) ( H ) (0) ( H ) (0) ( H ) (0) ( H ) j ) 0 ( j j 0) 0 i t x j t xi x j
下的生成元 0 和 i 满足确定方程（7） ，并且存在某函数 (t , xi ) 满足条件
0 1 0, 0 2 0.
（18）式有如下解
（18）
0 1, 1 2 1.
把（19）式代入 Mei 守恒量存在的条件（8）式，可得
2 2t x12 x2 x3
（19）
（20）
把（19） 、 （20）式代入（9）式，我们得到广义 Hamilton 系统（16）的 Mei 对称性直接导致 的 Mei 守恒量
dI M
dt
0.
我们把（15）式称为带附加项的广义 Hamilton 系统的 Mei 守恒量.
一类新的三维广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性与 Mei 守恒量
我们构造一类含有时间变量 t 的三维广义 Hamilton 系统，其动力学方程为
1 t x2 , x 2 t x1 , x 3 2t ( x1 x2 ) 4 x1 x2 . x
学习《微分方程对称性》论文报告
Hamilton 系统动力学不但在现代物理学中扮演者相当重要的角色，而且在数理科学、 工程科学、生命科学乃至社会科学的诸多领域，发挥着基础支撑作用，特别是在是非线性 科学、天体力学、航天科学和生物工程等分支上倍受重视. 但传统的 Hamilton 系统理论是 在偶数维相空间上定义的，这种结构虽然具有很好的性质，但也限制了它的应用范围. 为了 使得 Hamilton 系统理论能应用于实际研究中含有奇数维的常微分方程组以及无穷维系统， 20 世纪 50 年代科学家们利用广义 Poisson 括号来定义广义 Hamilton 系统，从而推动了 Hamilton 系统的进一步发展[1]. 近 50 年来，广义 Hamilton 系统的研究受到数学、力学和物 理学家的重视，在理论、计算及应用方面取得了一系列重要进展. 对称性原理是物理学中更高层次的法则. 用对称性理论来寻求系统的守恒量是数理科 学中的一个近代方向，主要有 Noether 对称性方法，Lie 对称性方法. 2000 年，梅凤翔教授 发表论文 Form invariance of Lagrange system, 提出一类新的对称性方法——形式不变性， 后 被学术界称之为 Mei 对称性，近 10 年来，Mei 对称性与 Mei 守恒量的研究被迅速拓展或应 用于诸多类型的力学和物理学系统，已成为利用对称性寻求系统守恒量的一种新的通用性 的方法[20,21,32-47]. 2003 年，文献[5]研究了广义 Hamilton 系统的 Lie 对称性, 得到系统的 Hojman 守恒量. 2006 年，文献[6] 研究了带附加项的广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性间接导致的 Hojman 守恒量. 问题是广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性能否直接导致守恒量呢？本文主要研究广 义 Hamilton 系统的 Mei 对称性直接导致的 Mei 守恒量，给出其存在的条件与形式；进一步 推广到带附加项的广义 Hamilton 系统，给出相应的 Mei 守恒量. 文末，应用本文的方法研 究一类新的三维广义 Hamilton 系统，并研究三体问题中三个涡旋的平面运动.
i J ij x
H Fi ， x j
(i, j 1, 2, , m),
（11）
其中 J ij 满足
J ij J ji ,
J il
J jk xl
J jl
J ij J ki J kl 0. xl xl
（12）
而 H H (t ,xi ) 为 Hamilton 函数， Fi Fi (t ,xi ) 是广义 Hamilton 系统的附加项. 对于广义 Hamilton 系统（11） ，在无限小变换（4）下 Mei 对称性的确定方程为[6]
（10）
(
Hale Waihona Puke Baidu
(0) ( H ) [( j j 0) ( j j 0)] 0 x j
我们把（9）式称为广义 Hamilton 系统的 Mei 守恒量.
带附加项的广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性导致的 Mei 守恒量
带附加项的广义 Hamilton 系统的微分方程为
那么带附加项的广义 Hamilton 系统存在并直接导致如下形式的守恒量
（14）
I M (0) (H ) 0 const .
其中
（15）
d H ( j Fj ) ， i J ij . dt t x j x j
事实上，对（15）式求导，并利用确定方程（13）和守恒量存在的条件（14） ，容易得 到
J ij
(0) ( H ) 0, x j
（7）
那么广义 Hamilton 系统（1）具有 Mei 对称性. 事实上，把（5）式代人（6）式，忽略 2 及更高阶小量，并利用（1）式，即可得方程 （7）. 我们把方程（7）称为广义 Hamilton 系统 Mei 对称性的确定方程.
广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性导致的 Mei 守恒量
（5）
i J ij x
其中
H * ， x j
（ 6）
(0) 0
. i t xi
那么，这种不变性称为广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性. 判据 对于广义 Hamilton 系统（1） ，如果动力学函数 H H (t ,xi ) 在无限小变换（4）下 的生成元 0 和 i 满足方程
广义 Hamilton 系统的微分方程为
i J ij x
其中 J ij 满足
H ， x j
(i, j 1, 2, , m),
（ 1）
J ij J ji ,
而 H H (t ,xi ) 为 Hamilton 函数.
J il
J jk xl
J jl
J ij J ki J kl 0. xl xl
其中
（16）
1 H ( x1 x2 )t ( x12 x22 ), 2
0 ( J ij ) 1 2 x 2
1 0 2 x1
2 x2 2 x1 . 0
（17）
下面研究三维广义 Hamilton 系统（16）的 Mei 对称性和 Mei 守恒量. 对于系统（16） ，由 Mei 对称性的确定方程（7） ，可得
加项 Fi Fi (t ,xi ) 在无限小变换（4）下的生成元 0 和 i 满足确定方程（13） ，并且存在某 函数 (t , xi ) 满足条件
(0) ( H ) d d [ j ( j Fj ) 0] (0) ( H ) 0 (0)[ (0) ( H )] 0, x j dt dt
其中 为无限小参数， 0 和 i 为无限小生成元.
（ 4）
定义 对于广义 Hamilton 系统（1） ，如果动力学函数 H H (t ,xi ) 在无限小变换（4）下
H * (t * ,xi* ) H (0) ( H ) O ( 2 ) ，
使得广义 Hamilton 方程（1）保持其形式不变，即
J ij
(0) ( H ) (0) (Fi ) 0 x j
（13）
下面的定理给出带附加项的广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性直接导致的 Mei 守恒量存在的 条件与形式. 定理 2 对于带附加项的广义 Hamilton 系统（11） ，如果动力学函数 H H (t ,xi ) 和附
（2）
Mei 对称性是指力学系统的动力学函数在群的无限小变换下， 仍然保持系统运动微分方 程原有形式的一种不变性[32]. 引进无限小变换
t * t t ,
展开得
xi* (t *) xi (t ) xi ,
（ 3）
t * t 0(t , xi ), xi* (t *) xi (t ) i(t , xi ).
2 I M x12 x2 x3 const .
（21）
通过本文提出了广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性方法，得到广义 Hamilton 系统、带附 加项的广义 Hamilton 系统的 Mei 对称性直接导致的守恒量，给出其存在的条件与形式，丰 富并发展了广义 Hamilton 系统的动力学理论以及约束系统的对称性理论. 在文章的第 5 节，我们构造了一类新的含时三维广义 Hamilton 系统，应用本文的方法 研究了其对称性与守恒量. 对于这类新的广义 Hamilton 系统，有待于物理学、力学和工程 科学界用于实际问题. 通过学习此次课程则更加深入的对 Hamulton 系统的对称性和守恒量有着更深入的了 解。也收获到了许多，特别感谢傅老师的悉心教导和孜孜不倦的敬业精神。 祝傅老师身体健康，工作顺利，收获硕果！ 学生 戴芸
(0) ( H ) d d ( j j 0) (0) ( H ) 0 (0)[ (0) ( H )] 0, x j dt dt
那么广义 Hamilton 系统存在并直接导致如下形式的守恒量
（ 8）
I M (0) (H ) 0 const .
其中
（ 9）
d H j ， i J ij . dt t x j x j
证明 对（9）式求导，并利用确定方程（7）和守恒量存在的条件（8） ，我们有
d d d d I M (0) (H ) 0 (0) (H ) 0 dt dt dt dt d (0) d d (0) (H ) ( H ) 0 (0) ( H ) 0 (0) ( H ) 0 (0) [ (0) ( H )] ( j j 0) dt dt dt xj (0) ( H ) (0) ( H ) (0) ( H ) (0) ( H ) (0) ( H ) j ) 0 ( j j 0) 0 i t x j t xi x j