常数函数与幂函数的导数及导数公式表
8个基本初等函数的导数公式
8个基本初等函数的导数公式一、常数函数的导数公式：对于常数函数f(x)=c，其中c为任意常数，则有f'(x)=0。
这是因为常数函数的图像是一条水平线，斜率为0，所以它的导数恒为0。
二、幂函数的导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为一个实数常量，则有f'(x)=nx^(n-1)。
这是因为幂函数的图像是一条由原点出发，通过点(x,x^n)的曲线，斜率与该点的切线斜率相等，而切线的斜率正好等于x^n的导数。
三、指数函数的导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为一个大于0且不等于1的实数常量，则有f'(x)=a^x*ln(a)。
这是因为指数函数的导数与函数自身成正比例关系，比例常数为该指数的底数乘以自然对数。
四、对数函数的导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为一个大于0且不等于1的实数常量，则有f'(x)=1/(x*ln(a))。
这是因为对数函数的导数与函数自身成反比例关系，比例常数为导数函数的定义域上的所有值的倒数。
五、三角函数的导数公式：(1) 对于正弦函数f(x)=sin(x)，则有f'(x)=cos(x)。
(2) 对于余弦函数f(x)=cos(x)，则有f'(x)=-sin(x)。
(3) 对于正切函数f(x)=tan(x)，则有f'(x)=sec^2(x)。
(4) 对于余切函数f(x)=cot(x)，则有f'(x)=-csc^2(x)。
(5) 对于割函数f(x)=sec(x)，则有f'(x)=sec(x)*tan(x)。
(6) 对于余割函数f(x)=csc(x)，则有f'(x)=-csc(x)*cot(x)。
这是因为三角函数的导数与函数自身有一定的关系，可以通过极限的方法证明出来。
六、双曲函数的导数公式：(1) 对于双曲正弦函数f(x)=sinh(x)，则有f'(x)=cosh(x)。
2.1-3.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表全面版
求导时,先将其转化为指数式的形式.
题型一
题型二
导数公式的应用
【例 2】
求曲线 y=sin x 在点 P
π 2
,1
处的切线方程.
分析利用导数公式求出该处的导数,即切线的斜率,再由点斜
式写出切线方程即可.
解∵y'=(sin x)'=cos x,∴y'|������=π2=cosπ2=0. ∴所求直线方程为 y-1=0,即 y=1.
题型一
题型二
利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数: (1)y=���1���5;(2)y=5 x3;(3)y=3x;(4)y=log2x.
分析对于基本初等函数的求导,直接利用导数公式求导.但要注
意把所给函数的关系式转化成能够直接应用公式的基本函数的形
式,以免在求导时发生不必要的错误.
解(1)y'=
1 x5
'=(x-5)'=-5x-6=-x56;
(2)y'=(5 ������3)'=(������35)'=35 ������-25 = 553������2;
(3)y'=3xln 3;
(4)y'=x������1������2.
反思基本初等函数求导的关键:①熟记导数公式表;②根式、分式
题型一
题型二
【例3】 已知点P(e,a)在曲线f(x)=ln x上,直线l是以点P为切点的 切线,求过点P且与直线l垂直的直线的方程.(字母e是一个无理数,是 自然对数的底数)
课件5：3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
解：(1)y′＝(5x)′＝5xln 5； (2)y′＝(x13)′＝(x－3)′＝－3x－4；
(3)y′＝(4
x3)′＝(
3
x4
)′＝34
1
x4
3 ＝4
4
； x
(4)y′＝(lg x)′＝xln110.
一点通：用导数公式求导，可以简化运算过 程、降低运算难度．解题时根据所给函数的特征， 将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导 公式．
2．注意区分幂函数的求导公式 (xn)′＝nxn－1(n∈Q)， 与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a.
考点1：运用导数公式求函数导数
例 1：求下列函数的导数． (1)y＝5x；(2)y＝x13；(3)y＝4 x3；(4)y＝lg x.
【解析】先将解析式化为基本初等函源自的形式， 再利用公式求导．3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
利用导数的定义可得x′＝1，(x2)′＝2x，(x3)′＝3x2. 问题1：当n∈N＋时，y＝xn的导数公式是什么？ 答：y′＝nxn－1.
问题
2：当
n＝12时，(
x
1 2
)′＝12
1
x2
(x>0)成立吗？
x
答：由Δy＝ x＋Δx－ x＝ x x x x
题组集训
1．若 f(x)＝3 x，则 f′(1)等于
()
A．0
B．－13
C．3
1 D.3
题组集训
【解析】∵f′(x)＝(
1
x3
)′＝13
2
x3
＝13·x123
＝1，
3 3
x2
∴f′(1)＝13.
【答案】D
2．求下列函数的导数． (1)y＝x6； (2)y＝cos x； (3)y＝x2 x； (4)y＝2sinx2cosx2.
导数常用公式
导数常用公式导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在实际应用中，导数常常用于求解最优化问题、优化控制问题等。
下面介绍一些导数常用公式。
1. 常数函数的导数对于常数函数f(x)=c，它的导数为0，即f'(x)=0。
2. 幂函数的导数对于幂函数f(x)=x^n，它的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数对于指数函数f(x)=a^x，它的导数为f'(x)=a^xlna。
4. 对数函数的导数对于对数函数f(x)=lnx，它的导数为f'(x)=1/x。
5. 三角函数的导数对于正弦函数f(x)=sinx，它的导数为f'(x)=cosx；对于余弦函数f(x)=cosx，它的导数为f'(x)=-sinx；对于正切函数f(x)=tanx，它的导数为f'(x)=sec^2x。
6. 复合函数的导数对于复合函数f(g(x))，它的导数为f'(g(x))g'(x)。
7. 和、差、积、商的导数对于函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积、商的导数分别为：f(x)+g(x)的导数为f'(x)+g'(x)；f(x)-g(x)的导数为f'(x)-g'(x)；f(x)g(x)的导数为f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；f(x)/g(x)的导数为[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g^2(x)。
以上是导数常用公式的介绍，它们在微积分中有着广泛的应用。
在实际问题中，我们可以利用这些公式来求解函数的导数，从而得到函数在某一点处的变化率。
同时，这些公式也为我们提供了一些求解最优化问题、优化控制问题等的工具。
所有导数公式大全
以下是一些常见的导数公式：1. 常数函数的导数：(c)' = 0，其中c为常数。
2. 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为实数。
3. 指数函数的导数：(e^x)' = e^x。
4. 对数函数的导数：(ln(x))' = 1/x。
5. 三角函数的导数：- (sin(x))' = cos(x)- (cos(x))' = -sin(x)- (tan(x))' = sec^2(x)- (cot(x))' = -csc^2(x)- (sec(x))' = sec(x)tan(x)- (csc(x))' = -csc(x)cot(x)6. 反三角函数的导数：- (arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)- (arccos(x))' = -1/√(1-x^2)- (arctan(x))' = 1/(1+x^2)- (arccot(x))' = -1/(1+x^2)- (arcsec(x))' = 1/(|x|√(x^2-1))- (arccsc(x))' = -1/(|x|√(x^2-1))7. 求和规则：(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)，其中f(x)和g(x)是可导函数。
8. 乘积规则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)，其中f(x)和g(x)是可导函数。
9. 商规则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2，其中f(x)和g(x)是可导函数且g(x)≠0。
10. 链式法则：如果y = f(g(x))，则dy/dx = f'(g(x))g'(x)，其中f(u)和g(x)是可导函数。
常数函数与幂函数的导数及导数公式表
x n C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 . . ( x . ) n x n
C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 . .( .x ) n
x
x0
x
x0 x x x x
lim
1
1
x0 x x x 2 x
即 x 1 x 0 P/15注意事项： 2x
注意事项:
x 1、，在求导数时，当 x 0时， 是不变
的，视为常数，常数的极限是这个常数本身。
2、求极限的四则运算法则：
5
5 5x2
练习2:求下列函数的导数
(1) y=5x2-4x+1
(2) y=-5x2+3x+7
(3) y=(2+x)(3-x) (4) y=(2x-1)(3x+2) (5)y=x2-cosx
1.2.2导数公式表及数学软件的应用
数学 组
孙靓
二、基本初等函数导数公式表（九个公式）
C 0(C为常数）；
几何意义：常数函数在任何一点处的切线平行 于x轴。
公式2: x 1
设yf xx
xlimf
xxf
x xxx
lim
1
x0
x
x0
x
即x1
在同一平面直角坐标系中，
探 画出y=2x,y=3x,y=4x的 究 图象，并根据导数定义， ？ 求它们的导数。
若 lim f x A, lim g x B B 0,
x0
课件4：3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
解：(1)y′＝3x2.
3
(2)y＝x2
，y′＝32x21 ＝32
x.
(3)∵y＝sinx，∴y′＝cosx.
(4)∵y＝x－2，∴y′＝－2x－3＝－x23.
方法总结：
(1)应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但 运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求 导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．
方法总结 (1)利用导数求曲线上某点处的切线方程的步骤： ①先求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)， 即切线斜率 k＝f′(x0)． ②根据直线方程的点斜式得切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)求过不在曲线上的点的切线方程的一般方法：先设出切 点的坐标，切点在曲线上，再利用导数的几何意义求解即可．
(2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰 当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行 化简整理．这样能够简化运算过程．
跟踪训练 1 求下列函数的导数． (1)y＝ax(a>0 且 a≠1)； (3)y＝ex；
(2)y＝log3x； (4)y＝lnx.
解：(1)y′＝axlna. (2)y′＝xl1n3. (3)y′＝ex. (4)y′＝1x.
教材自主预习
2．幂函数的导数 (1)函数 f(x)＝x 的导数 f′(x)＝1. (2)函数 f(x)＝x2 的导数为 f′(x)＝2x. (3)函数 f(x)＝1x的导数为 f′(x)＝－x12.
以上几个常见幂函数的导数，由它们的形式可以推测出幂
函数的导数公式：(xn)′＝nxn－1(n∈Q)．
跟踪训练 3 求曲线 y＝cosx 在点 A(6π， 23)处的切线方程． 解：∵y＝cosx，∴y′＝－sinx. y′|x＝π6＝－sin6π＝－12，∴k＝－12. ∴在点 A 处的切线方程为 y－ 23＝－12(x－6π)． 即 6x＋12y－6 3－π＝0.
导数公式大全
导数公式大全导数是微积分中一个重要的概念，用于描述函数的变化率。
在实际应用中，导数广泛用于求解最优化问题、曲线拟合、物理问题以及其他各种工程和科学领域。
下面是一些常用的导数公式，它们可以帮助我们计算各种函数的导数。
1.基本函数的导数公式（1）常数函数：f(x)=C，其中C为常数，导数为0。
（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数，导数为f'(x) =nx^(n-1)。
（3）指数函数：f(x)=e^x，导数为f'(x)=e^x。
（4）对数函数：f(x) = ln(x)，导数为f'(x) = 1/x，其中x大于0。
（5）三角函数：正弦函数：f(x) = sin(x)，导数为f'(x) = cos(x)。
余弦函数：f(x) = cos(x)，导数为f'(x) = -sin(x)。
正切函数：f(x) = tan(x)，导数为f'(x) = sec^2(x)。
（6）反三角函数：反正弦函数：f(x) = arcsin(x)，导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)，其中-1<x<1反余弦函数：f(x) = arccos(x)，导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)，其中-1<x<1反正切函数：f(x) = arctan(x)，导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
2.基本运算法则（1）和差法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
（2）常数倍法则：若f(x)是可导函数，则有(k·f(x))'=k·f'(x)，其中k为常数。
（3）乘积法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有(f(x)·g(x))'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)。
16个基本导数公式详解
16个基本导数公式详解在微积分中，导数是一个基本的概念。
它描述了函数在给定点的变化率。
了解导数的基本公式对于求解微积分问题是至关重要的。
在本文中，我们将详细讨论16个基本导数公式，每个公式都将包含定义、求导法则和常见的具体例子。
1.常数函数的导数：定义：如果函数$f(x)$是一个常数，则$f'(x)=0$。
求导法则：常数的导数是0。
例如：对于函数$f(x)=5$，它的导数$f'(x)=0$。
2.幂函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=x^n$，其中 $n$ 是一个正整数，则$f'(x)=nx^{n-1}$。
求导法则：对于幂函数，使用幂函数的指数作为系数，然后将指数减1例如：对于函数$f(x)=x^2$，它的导数$f'(x)=2x$。
3.指数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=a^x$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a \neq 1$，则 $f'(x)=a^x \ln(a)$。
求导法则：对于指数函数，使用指数和常数的乘积，并且乘以自然对数的底数。
例如：对于函数 $f(x)=2^x$，它的导数 $f'(x)=2^x \ln(2)$。
4.对数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\log_a(x)$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a\neq 1$，则 $f'(x)=\frac{1}{x \ln(a)}$。
求导法则：对于对数函数，使用1除以输入的自变量乘以自然对数的底数。
例如：对于函数 $f(x)=\log_2(x)$，它的导数 $f'(x)=\frac{1}{x\ln(2)}$。
5.正弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\sin(x)$，则 $f'(x)=\cos(x)$。
求导法则：正弦函数的导数是余弦函数。
例如：对于函数 $f(x)=\sin(2x)$，它的导数 $f'(x)=2\cos(2x)$。
6.余弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\cos(x)$，则 $f'(x)=-\sin(x)$。
高等数学导数公式大全
高等数学导数公式大全一、基本导数公式1. 设常数a为导数常数，则有：（1）导数为零：d(ax)/dx = 0（2）导数为常数：d(ax)/dx = a2. 幂函数导数：（1）常数的幂函数导数：d(x^n)/dx = nx^(n-1)，其中n为正整数（2）自然指数函数的导数：d(e^x)/dx = e^x（3）指数函数的导数：d(a^x)/dx = ln(a)*a^x，其中a>0且a≠1（4）对数函数的导数：d(logₐx)/dx = 1/(xlna)，其中a>0且a≠1 3. 三角函数导数：（1）正弦函数的导数：d(sin x)/dx = cos x（2）余弦函数的导数：d(cos x)/dx = -sin x（3）正切函数的导数：d(tan x)/dx = sec^2 x（4）余切函数的导数：d(cot x)/dx = -csc^2 x（5）正割函数的导数：d(sec x)/dx = sec x * tan x（6）余割函数的导数：d(csc x)/dx = -csc x * cot x4. 反三角函数导数：（1）反正弦函数的导数：d(arcsin x)/dx = 1/√(1-x²)，(-1≤x≤1)（2）反余弦函数的导数：d(arccos x)/dx = -1/√(1-x²)，(-1≤x≤1)（3）反正切函数的导数：d(arctan x)/dx = 1/(1+x²)（4）反余切函数的导数：d(arccot x)/dx = -1/(1+x²)（5）反正割函数的导数：d(arcsec x)/dx = 1/(x√(x²-1))，(x>1或x<-1)（6）反余割函数的导数：d(arccsc x)/dx = -1/(x√(x²-1))，(x>1或x<-1)二、导数运算法则1. 基本导数运算法则：（1）和差法则：d(u±v)/dx = du/dx ± dv/dx（2）常数倍法则：d(cu)/dx = c * du/dx，其中c为常数（3）乘积法则：d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx（4）商法则：d(u/v)/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v²，其中v≠02. 复合函数的导数：若y=f(u)和u=g(x)是可导函数，则有：d(f(g(x)))/dx = d(f(u))/du * d(g(x))/dx3. 反函数的导数：若y=f(x)的反函数为x=g(y)，则有：d(g(y))/dy = 1 / d(f(x))/dx，其中d(f(x))/dx≠0三、高级导数公式1. 高阶导数：（1）二阶导数：d²y/dx² = d(dy/dx)/dx（2）三阶导数：d³y/dx³ = d(d²y/dx²)/dx = d²(dy/dx)/dx²2. 高阶导数公式：（1）幂函数的n阶导数：d^n(x^m)/dx^n = (m)(m-1)(m-2)...(m-n+1)x^(m-n)（2）指数函数的n阶导数：d^n(e^x)/dx^n = e^x（3）对数函数的n阶导数：d^n(logₐx)/dx^n = (-1)^(n-1)(n-1)!/x^n四、隐函数求导公式设x和y是关于变量t的函数，则有：dy/dx = dy/dt / dx/dt例如，对于方程x^2 + y^2 = R^2，其中R为常数，可得：dy/dx = -x/y以上是高等数学导数公式的大全，涵盖了基本导数公式、导数运算法则、高级导数公式和隐函数求导公式。
导数公式及其运算法则
导数公式及其运算法则导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在特定点处的变化率。
导数的公式及其运算法则包括如下几类：基本导数公式、常数倍法则、和差法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则、反函数法则和链式法则。
一、基本导数公式：1.常数函数：对于常数函数f(x)=c，其导数为f'(x)=0。
例如，f(x)=7的导数为f'(x)=0。
2.幂函数：对于幂函数f(x)=x^n，其中n是任意实数，其导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
例如，f(x)=x^3的导数为f'(x)=3*x^23. 指数函数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是任意正常数且a≠1，其导数为 f'(x) = ln(a)*a^x。
例如，f(x) = 2^x 的导数为 f'(x) = ln(2)*2^x。
4. 对数函数：对于对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是任意正常数且a≠1，其导数为 f'(x) = 1/(x*ln(a))。
例如，f(x) = log_2(x)的导数为 f'(x) = 1/(x*ln(2))。
5. 三角函数：对于三角函数 f(x) = sin(x)，其导数为 f'(x) =cos(x)。
同样地，cos(x) 的导数为 -sin(x)，tan(x) 的导数为sec^2(x)，cot(x) 的导数为 -csc^2(x)。
二、常数倍法则：若函数 f(x) 和 g(x) 都是可导函数，c 是常数，则 (cf(x))' =cf'(x)。
三、和差法则：若函数f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)和(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。
四、乘法法则：若函数f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
3.2.1(2)常数与幂函数的导数,导数公式表
3.2.1 3.2.2 常数与幂函数的导数
● 学习目标：
1、 能够由定义根据求导的步骤，推导常数函数与幂函数的导数。
2、 培养学生归纳推理、探究规律的能力。
● 学习重点、难点：
重点：利用已学的求导方法对常数函数与幂函数进行探究； 难点：从特殊到一般的规律探究公式。
● 前情回顾：
1、导数公式：=)(0'x f ；
2、导数的几何意义：)(0'x f 表示： ；
● 学习过程：
（一）自主学习：
（二）强化训练：
1、试用上节学习的导数公式推导以下函数的导数:并加以记忆： （1）C C x f ,)(=为常数 （2）x x f =)(
（3）2)(x x f = （4）x
x f 1
)(=
2、试说明0'
=c 及1'
=x 的几何意义；
3、求下列函数的导数：
5
)(x x f = 12
)(x x f = .3
0)(x
x f = 108
)(x
x f =
3
)(-=x x f π=)(x f x x f sin )(= x x f cos )(=
x x f 2)(= x e x f =)( x x f ln )(= x x f 3log )(= 4求下列函数在给定点处的切线方程：
（1）2)(x x f = （2,4） （2）2
)(x x f = 1=x 2=x
(3) x x f cos )(= 2
π
=x (4) x x f =)( 3=x
● 小结：你记住这些公式了吗？
● 思考：多项式765432)(2345+-+-+=x x x x x x f 的导数如何求解？。
常用导数
这里将列举六类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）：1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0 【y=0 y'=0：导数为本身的函数之一】2.幂函数y=x^n,y'=n*x^(n-1)(n∈R) 【1/X的导数为-1/(X^2)】3.指数函数y=a^x,y'=a^x * lna 【y=e^x y'=e^x：导数为本身的函数之二】4.对数函数y=logaX,y'=1/(xlna) (a>0且a≠1,x>0)；【y=lnx,y'=1/x】5.三角函数(1)正弦函数y=(sinx ）y'=cosx(2)余弦函数y=（cosx）y'=-sinx(3)正切函数y=(tanx）y'=1/(cosx)^2(4)余切函数y=（cotx）y'=-1/(sinx)^26.反三角函数(1)反正弦函数y=（arcsinx）y'=1/√1-x^2(2)反余弦函数y=（arccosx）y'=-1/√1-x^2(3)反正切函数y=（arctanx）y'=1/(1+x^2)(4)反余切函数y=（arccotx）y'=-1/(1+x^2)口诀为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：常为零，幂降次，对导数（e为底时直接导数，a为底时乘以lna），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式推导在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.①(u±v)'=u'±v'②(uv)'=u'v+uv'③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^22. 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'.3. 复合函数的导数：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。
常数与幂函数的导数、导数公式表
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在 点$(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
可导与连续关系
可导必连续
如果函数在某点可导，则该函数 在该点必定连续。
连续不一定可导
即使函数在某点连续，也不一定 在该点可导。例如，函数$y = |x|$在$x = 0$处连续但不可导。
常数函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
若$f(x) = c$（$c$为常 数），则$f^{prime}(x) = 0$。
若$f(x) = x^n$（$n$为 实数），则$f^{prime}(x) = nx^{n-1}$。
若$f(x) = a^x$（$a > 0, a neq 1$），则 $f^{prime}(x) = a^x ln a$。
导函数。
如果$u = g(x)$在点$x$可导，且$y = f(u)$在点$u = g(x)$可导，则复合 函数$y = f[g(x)]$在点$x$也可导，
且其导数为$frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx}$或
写作$y' = f'(u) cdot g'(x)$。
限为-1/6。
练习
求解极限lim(x->∞) (x^2 - 2x + 1) / (3x^2 + 4x + 1)，并说明求解过程中洛必达法则 的应用。
06
泰勒公式与泰勒级数
泰勒公式简介
泰勒公式定义
泰勒公式的意义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法， 通过在某点的各阶导数值来构造一个多项式， 以此多项式来近似表示该函数在该点附近的 性态。
初等函数导数公式表
初等函数导数公式表
下面是常见的初等函数导数公式表：
1.常数函数的导数为0：$(k)'=0$，其中$k$为常数。
2.幂函数的导数为幂次减1乘以原函数的导数：$(x^n)'=nx^{n-1}$，其中$n$为正整数。
3.指数函数的导数为其自身乘以常数$a$的导数：$(a^x)'=a^x\lna$，其中$a$为正实数且不等于$1$。
4.对数函数的导数为其自身的导数除以自身：$(\log_ax)'=\frac{1}{x\lna}$，其中$a$为正实数且不等于$1$。
5.正弦函数的导数为余弦函数：$(\sinx)'=\cosx$。
6.余弦函数的导数为负的正弦函数：$(\cosx)'=-\sinx$。
7.正切函数的导数为其自身的导数为：$(\tanx)'=\sec^2x$。
8.余切函数的导数为其自身的导数为：$(\cotx)'=-\csc^2x$。
9.反正弦函数的导数为：$(\arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
10.反余弦函数的导数为：$(\arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
11.反正切函数的导数为：$(\arctanx)'=\frac{1}{1+x^2}$。
12.反余切函数的导数为：$(\operatorname{arccot}x)'=-\frac{1}{1+x^2}$。
以上是一些常见的初等函数导数公式。
需要注意的是，在使用这些公式时，应该注意导数的定义域和值域，并注意使用链式法则和乘积法则等常见的求导法则。
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例5、若直线y=-x+b为函数
1 y x
图象的切线，求b及切点的坐标
1 变式:直线 y x 3 能作为下列函数图象的切线 2
吗？若能，求出切点的坐标，若不能，简述理由
1 (2) f ( x) x (4)f(x)=ex (3) f(x)=sinx
1 (1) f ( x) x
例6.求曲线y x x 3的斜率为6的切线方程.
4 2
分析：函数在某处的导数的几何意义 是相应曲线在该处切线的斜率由于切线 . 的斜率已知，可以利用导数求出切点的 横坐标.
解：设切点为P( x0 , y0 ) 则y' (x 4 x 2 3) ' 4 x 3 2 x
y'
x x0
4 x 2 x0 6
3 0
x0 1
4 4 2 2 4 2 4
例3.求下列函数的导数. (1) y x sin x cosx
3
x x (2) y 2sin cos 2x 2 1 2 2
1 例4、求在曲线y=cosx上一点P( ，)处 3 2
的切线方程
变式： 已知点P在函数y=cosx上，（0≤x≤2π）， 且在点P处的切线斜率大于0，求点P的 横坐标的取值范围。
n
二、基本初等函数导数公式表（九个公式）
C 0(C为常数）；
n n 1 x nx n N
x 1 ( 为实数）； (x )
1 （loga x ) ; x ln a x x (a ) a ln a; (sin x ) cos x;
2x 即 x
3x 2 练习4: x
3
公式2:
nxn1 n N x
n
1 1 练习5: ( ) 2 x x
练习6:
( x )
1 2 x
常数函数和幂函数的导数公式:
公式1: C 0 (C为常数)
nxn1 n N 公式2: x
4 y0 x0 2 x0 3 6, 故P的坐标(1,6).
所求的切线方程为 y 6 x
x 0
x
练习3:
( x ) 2 x
2
2 2
lim f x x f x 设y f x x , x x 0 x
x x lim
x 0 2
2
x
2
x
liห้องสมุดไป่ตู้ 2 x x 2 x
x 0
导数公式表
一、知识新授：
1、常数函数与幂函数的导数
公式1: C 0 (C为常数)
几何意义：常数函数在任何一点处的切线平行 于x轴。
练习2: x 1
设y f x x x lim 即x 1 f x x f x x
x 0
x x x 1 lim
1 （ln x ) ; x x ex; (e ) (cos x ) sin x;
练习1、求下列函数导数。
（1） y x 、
5
（2） y 4 、
（3） y 、
x
x x x
g l （4） y o 、
3
x
(3)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的 切线的倾斜角的取值范围是( D ) 3 3 3 3 ( A)[0, ] ( B )[ , ) (C )[0, ) ( , ] ( D)[0, ] [ , )