10章2节

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2 2 法二:由题设得 cosx+ sinx= 2 2 2 10 , 1 即 cosx+sinx= 5.又 sin2x+cos2x=1, 从而 25sin2x-5sinx-12=0,解得 4 3 sinx=5或 sinx=-5. π 3π 4 因为 x∈(2, 4 ),所以 sinx= 5.
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例3 (解题示范 本题满分 分) 解题示范)(本题满分 解题示范 本题满分12分 已知向量m= 已知向量 =(sinB,1-cosB), - , 且与向量n= 所成角为, 且与向量 =(2,0)所成角为,其中 所成角为 A,B,C是△ABC的内角. 的内角. , , 是 的内角 (1)求角 的大小; 求角B的大小 求角 的大小; (2)求sinA+sinC的取值范围. 的取值范围. 求 + 的取值范围 【思路点拨】 (1)先利用向量的夹角 思路点拨】 先利用向量的夹角 公式求出B角的余弦值 进而求B的大小 角的余弦值, 的大小. 公式求出 角的余弦值,进而求 的大小. (2)利用三角形的内角和定理将原式表 利用三角形的内角和定理将原式表 示为一个角的三角函数的运算. 示为一个角的三角函数的运算.
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【点评】 新课标对三角恒等变换的 点评】 要求: 使学生经历用向量的数量积推导出 要求:"使学生经历用向量的数量积推导出 两角差的余弦公式的过程, 两角差的余弦公式的过程,进一步体会向 量方法的作用". 量方法的作用 .向量是公式推导的基础与 工具,那么, 工具,那么,考查向量与三角恒等变换的 综合题必然成为高考合理的动向. 综合题必然成为高考合理的动向.这种综 合题是高考中的中档题, 合题是高考中的中档题,向量的作用是用 坐标运算来构造成一个三角函数, 坐标运算来构造成一个三角函数,关键是 把得到的三角函数式进行三角恒等变形, 把得到的三角函数式进行三角恒等变形, 得到函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b,从而求周 得到函数 = + + , 最值,单调性等问题. 期,最值,单调性等问题.
π π 【思路点拨】 (1)x=(x- )+ ;(2) 4 4 利用两角和正弦公式求值.
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π 3π 【解】 (1)法一:因为 x∈( , ),所以 2 4 π π π x-4∈(4,2), π π 7 2 2 于是 sin(x- )= 1-cos (x- )= . 4 4 10 π π sinx=sin[(x-4 )+4] π π π π =sin(x- )cos +cos(x- )sin 4 4 4 4 7 2 2 2 2 4 = × + × = . 10 2 10 2 5
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(1)∵m=(sinB,1-cosB), π 与向量 n=(2,0)所成角为 . 3 π 2sinB 1 sin2B ∴cos3= =2, = 1-cosB 2 2-2cosB 1 2,2 分 ∴2cos2B-cosB-1=0, 1 ∴cosB=- 或 cosB=1(舍去), 2 2π ∴B= .6 分 3 【解】
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互动探究
π 2 π 2. 将例 2 条件 cos(x- )= , x∈( , 4 10 2 3π 2 π π π )改为 cos(x+ )=- ,x∈( , ),结 4 4 10 4 2 果如何? π π 解: (1)sinx=-cos(x+ )=-cos[(x+ ) 2 4 π + ] 4 π π π π =-[cos(x+ )cos -sin(x+ )sin ], ① 4 4 4 4 π π π π 3π ∵x∈(4,2),∴x+4∈(2, 4 ),
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自我挑战
3. (本题满分 12 分)已知向量 a=(sinx, cosx),b=( 3cosx,cosx)且 b≠0,函数 f(x) =2ab-1. (1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递 增区间; cos2x (2)若 a‖b, 分别求 tanx 及 的值. f(x)+1
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π 3π (2)因为 x∈( , ), 2 4 故 cosx=- 1-sin2x 42 3 =- 1-( ) =- . 5 5 24 sin2x = 2sinxcosx = - , cos2x = 25 7 2 2cos x-1=- . 25 π π 所 以 sin(2x + ) = sin2xcos + 3 3 24+7 3 π cos2xsin =- . 3 50
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考点二 角的变化
三角函数问题的基础是角的变化, 三角函数问题的基础是角的变化, 不同的三角函数有不同的角, 不同的三角函数有不同的角,不同的角 产生不同的联系与变化,因此, 产生不同的联系与变化,因此,掌握好 角的变化办法是解三角函数问题的一个 关键. 关键.
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例2 (2008 年高考天津卷)已知 cos(x-π) 年高考天津卷 已知 - 4 2 π 3π = ,x∈( , ). ∈ . 10 2 4 (1)求 sinx 的值; 的值; 求 π 的值. (2)求 sin(2x+ )的值. 求 + 的值 3
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π (2)由(1)可得 A+C= , 3 π ∴sinA+sinC=sinA+sin(3 -A) 1 3 π = sinA+ cosA=sin(A+ ).8 分 2 2 3 π ∵0<A< , 3 π π 2π ∴3<A+3< 3 , 3 π ∴sin(A+ )∈( ,1], 2 3 3 ∴sinA+sinC∈( 2 ,1].12 分
5 答案: 5
三基能力强化
1 1 4. 已知 sin(α+β)= , sin(α-β)= , 2 3 tanα 那么 log 5 的值是________. tanβ
答案: 答案:2
三基能力强化
5.若f(cos2x)=3-sin2x,则f(cosx) . = - , =________. 1-cos2x 5 1 解析:f(cos2x)=3- =2+2 2 cos2x, 5 1 ∴f(cosx)=2+2cosx. 5 1 答案: + cosx 2 2
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【点评】 证明三角恒等式实质上是消除等式两边 点评】 的差异,有目的地化繁为简,左右归一或变更结论. 的差异,有目的地化繁为简,左右归一或变更结论.常 用定义法,化弦法,拆项拆角法, 的变换, 用定义法,化弦法,拆项拆角法,1的变换,公式变形 法等方法.在证明本题时, 法等方法.在证明本题时,先观察条件和结论的差异 三角函数名及角) 的差异, (三角函数名及角),即sin2α与tanα ,cos2α的差异, 2 先从解决三角函数名这个差异入手,采用条件转化法, 先从解决三角函数名这个差异入手,采用条件转化法, 即化切为弦,都转化为弦函数,再从角的差异入手, 即化切为弦,都转化为弦函数,再从角的差异入手,转 1 的正,余弦, 化为α的正,余弦,最后用二倍角公式转化成 sin2α. 4 证明三角恒等式最重要的两个环节是观察条件和结论, 证明三角恒等式最重要的两个环节是观察条件和结论, 灵活选择和应用公式. 灵活选择和应用公式.
2
asinα+bcosα= a2+ b2 sin(α+φ)(其中 + 其中tan = + 其中 φ= ,b 的终边所在象限分别由 ,b的符号确 φ的终边所在象限分别由 的终边所在象限分别由a, 的符号确 = a 定). .
三基能力强化
1. 2-sin22+cos4等于________.
答案:- 3cos2
tanα+tanβ + tanα-tanβ - Tanαtanβ= = ; -1 = 1tan(α+β) + tan(α-β) -
1+cos2α= 2cos2α ,即cos2α= 1+cos2α ; + = = + 2
基础知识梳理
1-cos2α=2cos2α,即sin2α= 1-cos2α ,这 - = = 是重要的升幂与降幂公式; 是重要的升幂与降幂公式;
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【点评】 角的变换非常灵活.如 θ π π π π =(θ+ )- =(θ- )+ ,即 α=(α+β) 4 4 4 4 α+β α-β -β,α= 2 + 2 等,需要在平时的 训练中细心体会. π 本例中 sin2x=cos2(x- )=2cos2(x 4 π -4)-1,更能简化运算.
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考点三
与向量,不等式, 与向量,不等式,解三角 形等知识的综合问题
与向量,不等式,解三角形等知识 与向量,不等式, 相结合,使此类问题显得知识繁乱, 相结合,使此类问题显得知识繁乱,向 量通常作为一种运算符号与法则, 量通常作为一种运算符号与法则,有其 独特的一方面, 独特的一方面,而题目的综合也往往看 中了这些独特性,命题更加灵活, 中了这些独特性,命题更加灵活,知识 涉及面也更广. 涉及面也更广.
第二节 简单的三角恒等变形
基础知识梳理
1.半角公式 . (1)sin= ± =
1-cosα - ; 2 1+cosα + ; 2
(2)cos= ± = (3)tan=± =
1-cosα - 1-cosα - sinα = . = sinα 1+cosα + 1+cosα +
基础知识梳理
2.公式的变形应用 . + - tanα+tanβ= tan(α+β)(1-tanαtanβ) ; + = - + tanα-tanβ= tan(α-β)(1+tanαtanβ) ; - =
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互动探究
π 2 π 98 由 cos(x+ )=- ,得 sin(x+ )= ,代入①式 4 10 4 10 2 2 98 2 4 ∴sinx=-[- × - × ]= . 10 2 10 2 5 π π π (2)sin(2x+ )=sin2xcos +cos2xsin ,② 3 3 3 π π 24 2 又 sin2x=-cos2(x+ )=-2cos (x+ )+1= , 4 4 25 7 π ∵2x∈( ,π),∴cos2x=- ,代入②式 25 2 π 24 1 7 3 24-7 3 ∴sin(2x+ )= × +(- ) = . 3 25 2 25 2 50
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考点一 正,余弦与正切的互化
弦化切或切化弦是解决三角函数问 题中时常遇到的解题方法,通过" 题中时常遇到的解题方法,通过"名" 的统一,使问题由复杂到简单, 的统一,使问题由复杂到简单,由不易 联系到直观明确, 联系到直观明确,使问题能简化至易于 解答的形式,怎样" 解答的形式,怎样"化",需要不断积 累经验和题型. 累经验和题型.
三基能力强化
π 2.设α,β,γ∈(0, ),且sinα=sinβ . , , ∈ , , = 2 等于__ +sinγ,cosβ=cosα+cosγ,则α-β等于 , = + , - 等于 ______. .
π 答案: 3
三基能力强化
3 3.若 sin(π+θ)=- ,θ 是第二象限 5 π 2 5 角,sin( +φ)=- ,φ 是第三象限角, 2 5 则 cos(θ-φ)的值是________.
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跟踪训练
cos10° 1.求值:(tan10°- 3) .求值: . - sin50° cos10° 解:原式=(tan10°-tan60°) sin50° sin10° sin60° cos10° =(cos10°-cos60°) sin50° sin10°cos60°-sin60°cos10° cos10° = cos10°cos60° sin50° sin(60°-10°) cos10° =- cos10°cos60° sin50° 1 =-cos60°=-2.
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例1
cos2α
1 求证: 求证: = sin2α. 1 α 4 -tan α 2 tan 2
【思路点拨】 切化弦或弦化切. 思路点拨】 切化弦或弦化切.
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cos2α cos2α 【证明】 左边= = α α 2α 2α cos sin cos -sin 2 2 2 2 - α α α α sin2 cos2 sin2 cos2 α α α α 2 2 cos αsin2 cos2 cos αsin 2cos2 = = cosα 2α 2α cos -sin 2 2 α α =cosαsin2 cos2 1 1 =2sinαcosα= 4sin2α=右边,故原式成立.