理论力学C5-1
理论力学_第五章_刚体定点运动_自由刚体运动
a r v
例 5－1 已知：行星锥齿轮的轴OA以匀角速度 1 ,绕铅直轴OB 转动 设 OA=l，AC=r。 求：齿轮上点M 的速度和加速度。
螺旋率可写成
ds p d
一般情况下，螺旋率为一恒值，上式积分2π p
s表示刚体转过一周沿轴前进的距离－－螺距。
（3）平移速度矢与转动角速度矢成任意角的情形
刚体以角速度 绕动轴 O z 转动， 同时又以速度 vO 平移， vO 和 之间的夹角为θ 。 刚体的运动成为以 v 2 的平移，和以 绕瞬轴CC 的转动
解： 齿轮中心点A 的速度为
vA OA sin
点A 绕定点O 在水平面内作圆周运动 vA OA 1 绕瞬轴OC 转动的角速度的大小为 1 =常量 sin 它沿着OC 指向如图所示
点M 的速度为
1 1 vM ME 2r cos 2l sin 2l1 sin sin 指向如图 它的方向垂直于平面 OMC
由于牵连运动为平移， 自由刚体内任一点的加速度合成式为
其中 ae aO
a a ae a r
ar 为刚体绕基点 O 转动的瞬时角加速度
自由刚体内任一点的加速度公式为
ar ar r r r
aM aO a1 a2 ， a1 ar r ， a2 r r
e与 r 同向的情形如图
vO2 e O1O2 a O2C
齿轮绕瞬轴转动的角速度为
O1O2 a r e a e O2C O2C 方向根据 O2 的方向确定 O1O2 O1C O2 C 当刚体同时绕两平行轴同向转动时，刚体的合成运动 为绕瞬轴的转动，绝对角速度等于牵连角速度与相对角速 度的和；瞬轴的位置内分两轴间的距离，内分比与两个角 速度成反比。 vO2
理论力学(哈工大版)第九章：刚体的平面运动
第五章 刚体的平面运动5-1 刚体的平面运动方程一．平面运动的定义二．平面运动的简化刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面内的运动．三、平面运动分解为平动和转动1.平面运动方程为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置．平面运动方程)(1t f x A = )(2t f y A = )(3t f =ϕ2．平面运动分解为平动和转动刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动．刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动．3.刚体平面运动的角速度和角加速度平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的ε ,ω都是相同的）5-2 平面图形内各点的速度一．基点法（合成法）BA A B v v v +=平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和二．速度投影法（自：就是基点法的变式） 速度投影定理：[][]AB A AB B v v =平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等三．瞬时速度中心法（速度瞬心法）1. 问题的提出2．速度瞬心的概念即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心．３．几种确定速度瞬心位置的方法 ①已知图形上一点的速度A v 和图形角速度ω，可以确定速度瞬心的位置．（P 点）②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动, 则图形与固定面的接触点P 为速度瞬心．③已知某瞬间平面图形上A ,B 两点速度B A v v ,的方向，且B A v v 不平行过A , B 两点分别作速度B A v v ,的垂线,交点P 即为该瞬间的速度瞬心.④ 已知某瞬时图形上A ,B 两点速度B A v v ,大小,且AB v AB v B A ⊥⊥ ,⑤已知某瞬时图形上A ,B 两点的速度方向相同，且不与AB 连线垂直．瞬时平动注意：瞬时平动与平动不同瞬时平动构件上各点的速度都相等，但各点的加速度并不相等。
cly理论力学-第五章
§5-2 滑动摩擦
两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相 对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有阻碍相 对滑动的阻力——滑动摩擦力
1. 静滑动摩擦力
Fx 0, Fs F
Fs
★ 静滑动摩擦力的大小必须由平衡方程确定
C LY 系 列 一
理论力学
FN
P FN F
P
2. 最大静滑动摩擦力
解：取物块为研究对象，并假定其平衡。 受力分析，列平衡方程
Fx 0, Q cos 30 P sin 30 Fs 0 Fy 0, FN P cos 30 Q sin 30 0
解得 Fs 403.6N, FN 1499N
FN Q
Fs P
Fmax fs FN 299.8N
F
F
解：（1）取整体为研究对象
Fy 0, 2Fs 4P 0
Fs=20N
Fs 1 F12
F
FN1
PPPP
Fs Ffs2 , F 80N
P （2）取书1为研究对象
F1′2 FN′1
2 F23 FN2
Fy 0, Fs P F12 0 F12 10N
（3）取书2为研究对象
数为fs。现在杆的一端施加与杆垂直的力F，试求使杆处于平衡时的Fmax 。 设杆的高度忽略不计。
解：取杆 AB 为研究对象
A
Fx 0,
F mgfs x mgfs (l x) 0
l
l
M O (F ) 0,
F x mgfs x2 mgfs (l x)2 0
C LY 系 列 一
几个有意义的实际问题
理论力学
高教出版社理论力学习题部分答案
静力学1-3 试画出图示各结构中构件AB 的受力图F AxF A yF B(a)(a)F AF BF BF DF D F BxF ByF BxF CF BF CF By1-4 试画出两结构中构件ABCD 的受力图1-5 试画出图a 和b 所示刚体系整体合格构件的受力图1-5a1-5bF AxF A y F DF ByF A F BxF B F AF Ax F A y F DxF Dy WT EF CxF C yWF AxF A yF BxF B yF CxF C yF DxF DyF Bx F ByT EN’F BF DF A N F AF BF D1-8在四连杆机构的ABCD 的铰链B 和C 上分别作用有力F 1和F 2，机构在图示位置平衡。
试求二力F 1和F 2之间的关系。
解：杆AB ，BC ，CD 为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。
解法1(解析法)假设各杆受压，分别选取销钉B 和C 为研究对象，受力如图所示： 由共点力系平衡方程，对B 点有：∑=0x F 045cos 02=-BC F F 对C 点有：∑=0x F 030cos 01=-F F BC解以上二个方程可得：22163.1362F F F ==解法2(几何法)分别选取销钉B 和C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B 和C 点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。
对B 点由几何关系可知：0245cos BC F F =对C 点由几何关系可知：0130cos F F BC =解以上两式可得：2163.1F F =F ABF BC F CD 60o F 130o F 2 F BC45o F 2F BC F ABB45oy xF CD C60o F 130o F BC x y450302-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB 上作用有主动力偶M 。
试求A 和C 点处的约束力。
解：BC 为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB 在B 点处受到约束力的方向沿BC 两点连线的方向。
理论力学课后习题部分答案
B
A FAC FBA
P
(l)
(l1)
(l2)
(l3)
图 1-1
1-2 画出下列每个标注字符的物体的受力图。题图中未画重力的各物体的自重不计，所 有接触处均为光滑接触。
(a)
B
FN1
C
FN 2
P2 P1
FAy
A
FAx
(a2)
(b)
FN1
A
P1
FN
(b2)
C
FN′
P2
(a1)
B
FN1
FN 2
FN
P1
F Ay
FCy
FAx (f2)
C FC′x
FC′y F2
FBy
FBx B (f3)
FAy A FAx
FB
C B
(g)
FAy
FAx A
D FT C FCx
(g2)
FB
B
F1
FB′ B
FAy
A
FAx
(h)
(h1)
P (g1)
FC′y
FT
C
FC′x
P (g3)
D
FCy
FB
F2
C FCx
B
(h2)
A FAx
FAy
FCy
D FAy
A
FAx
(k3)
6
FB
F1
FB′
B B
FD D
(l) FD′ D
A FA
(l1) F2
C
FC (l2)
F1
D
F2
B
A
E
FE
FA
(l3) 或
F1
FB′
理论力学(建筑力学第一分册)(邹昭文)课后习题答案
F F ( 56 . 9 56 . 6 0 44 . 7 ) kN 68 . 8 kN Ry y
2-2
y
x F F ( 19 56 . 6 50 89 . 4 ) kN 1 . 8 kN Rx x
F F ( 56 . 9 56 . 6 0 44 . 7 ) kN 68 . 8 kN Ry y
2-5
解：选取刚架为研究对 象，受力图为： 刚架在力F作用下处于平 衡，所以力多边形是自 FA 封闭的，如图。 则，
F F ; F F tan A D cos
y
x
α F
FD FA
FD
AD 2 a 2 CD a cos ; tan 在RT△CAD中， 2 2 AC AD 2 a 5 2 a a F 5 F F F ; F F tan 所以， A cos 2 D 2
以压块C为研究对象，受力如图：
建立坐标系，列平衡方程：
F 0 , F ' cos F 0 x BC D
FD
F’B
C
o 解之得： F F ' cos F cos 8 1 . 08 kN 0 . 99 1 . 07 kN D BC BC
第3章 平面一般力系
3-1（a）
所以合力FR的大小为：
F F F 1 . 8 kN 68 . 8 kN 68 . 82 kN R x y
2 2 2 2
其方向角则为：
F 1 . 8 o Rx arccos arccos 91 . 5 F 68 . 82 R F 68 . 8 Ry o arccos arccos 1 . 38 F 68 . 82 R
理论力学第五章
M Z Fxy M 0 Fxy Fxy d
0 OA 0
'
有两种特殊情况使力对轴之矩为零：
1 2
当力F与转 轴z平行时， 即F=Fz， Fxy=0，力对 z轴之矩 Mz(F)=0.
当力F与转 轴z相交时， 即d=0，力 对z轴之矩 Mz(F)=0.
概括为
当力与轴共面时，力对轴之矩为零。
力对轴之矩
力使物体绕该点转动效应的度量。
M O (F ) F d
M O (F ) =2⊿AOB=Fd ,
+
-
2倍⊿的面积。 在平面中：力对点的矩是代数量。
二、力对轴之矩
FZ对z轴 之矩为零。
Fx、Fy产生使 门绕z轴转动的 效应
力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，它等于力在垂 直于该轴的平面上的分力对轴与平面的交点之矩。
三、合力矩定理在力对轴之矩计算中的应用
将F分解为
Fx、Fy、Fz
各分力对 轴之矩
计算其代数和
M x F M x Fx M x Fy M x Fz M x Fx M y Fy M z Fz M y F M y Fx M y Fy M y Fz
R Fi
mO ( R) mO ( Fi )
rC R r1 F1 r2 F2 rn Fn
rC F1r1 F2 r2 Fn rn Fi ri R Fi
设 心 C的 标 重 坐 为 x C、y C、z C , 任 微 部 的 标 一 小 分 坐 x i、y i、z i , ， 即 对x、y、z轴 别 用 力 定 分 应 合 矩 理
Z F cosg F sin
《理论力学》课后习题解答(赫桐生版)
理论力学（郝桐生）第一章习题1-1．画出下列指定物体的受力图。
解：习题1-2．画出下列各物系中指定物体的受力图。
解：习题1-3．画出下列各物系中指定物体的受力图。
解：第二章习题2-1．铆接薄钢板在孔心A、B和C处受三力作用如图，已知P1=100N沿铅垂方向，P2=50N沿AB方向，P3=50N沿水平方向；求该力系的合成结果。
解：属平面汇交力系；合力大小和方向：习题2-2．图示简支梁受集中荷载P=20kN，求图示两种情况下支座A、B的约束反力。
解：(1)研究AB，受力分析：画力三角形：相似关系：几何关系：约束反力：(2) 研究AB，受力分析：画力三角形：相似关系：几何关系：约束反力：习题2-3．电机重P=5kN放在水平梁AB的中央，梁的A端以铰链固定，B端以撑杆BC支持。
求撑杆BC所受的力。
解：(1)研究整体，受力分析：(2) 画力三角形：(3) 求BC受力习题2-4．简易起重机用钢丝绳吊起重量G=2kN的重物，不计杆件自重、磨擦及滑轮大小，A、B、C三处简化为铰链连接；求杆AB和AC所受的力。
解：(1) 研究铰A，受力分析（AC、AB是二力杆，不计滑轮大小）：建立直角坐标Axy，列平衡方程：解平衡方程：AB杆受拉，BC杆受压。
(2) 研究铰A，受力分析（AC、AB是二力杆，不计滑轮大小）：建立直角坐标Axy，列平衡方程：解平衡方程：AB杆实际受力方向与假设相反，为受压；BC杆受压。
习题2-5．三铰门式刚架受集中荷载P作用，不计架重；求图示两种情况下支座A、B的约束反力。
解：(1) 研究整体，受力分析（AC是二力杆）；画力三角形：求约束反力：(2) 研究整体，受力分析（BC是二力杆）；画力三角形：几何关系：求约束反力：习题2-6．四根绳索AC、CB、CE、ED连接如图，其中B、D两端固定在支架上，A端系在重物上，人在E点向下施力P，若P=400N，α=4o，求所能吊起的重量G。
解：(1) 研究铰E，受力分析，画力三角形：由图知：(2) 研究铰C，受力分析，画力三角形：由图知：习题2-7．夹具中所用的两种连杆增力机构如图所示，书籍推力P作用于A点，夹紧平衡时杆AB与水平线的夹角为；求对于工件的夹紧力Q和当α=10o时的增力倍数Q/P。
理论力学第5章-空间任意力系
100
z
100
FAz
A y
F
FAx
x
100 FBz
B
（
C
a
FBx
）
G
D
b
F2 F1
解： 取整体为研究对象。
列平衡方程
M y(F) 0
G
D 2
F1
d 2
F2
d 2
0
Mx (F) 0 200FBz 300F1 cos 300F2 cos b 100G 0
(4) FR 0
且 MO 0
FR MO
可进一步简化。
MO O
FR
O FR d FR
O1
FR
O d FR
O1
原力系合成为合力 ，合力矢等于原力系的主矢，
其作用线距简化中心的距离为
d MO FR
由上述分析可知 MO MO (FR ) 而 MO MO(F )
由此得
MO (FR ) MO (F)
F2 200 kN FAz 446.41kN
FBx 1189.23kN FBz 919.62 kN
由于 Fy 0 ，因此本例题只有5个独立的平衡方程。
5.4 平行力系中心 、重心 5.4.1 平行力系中心
设在刚体上的A、B两点，分别作用有同向平行力
F1和F2，。利用平面任意力系的简化理论，可求得它们
5.1.3 力矩关系定理
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx
同理得
M x (F ) yFz zFy
理论力学题库（含答案）---1
理论⼒学题库（含答案）---1理论⼒学---11-1. 两个⼒，它们的⼤⼩相等、⽅向相反和作⽤线沿同⼀直线。
这是(A)它们作⽤在物体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件；(B)它们作⽤在刚体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件；(C)它们作⽤在刚体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件；(D)它们作⽤在变形体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件；1-2. 作⽤在同⼀刚体上的两个⼒F1和F2，若F1 = - F2，则表明这两个⼒(A)必处于平衡；(B)⼤⼩相等，⽅向相同；(C)⼤⼩相等，⽅向相反，但不⼀定平衡；(D)必不平衡。
1-3. 若要在已知⼒系上加上或减去⼀组平衡⼒系，⽽不改变原⼒系的作⽤效果，则它们所作⽤的对象必需是(A)同⼀个刚体系统；(B)同⼀个变形体；(C)同⼀个刚体，原⼒系为任何⼒系；(D)同⼀个刚体，且原⼒系是⼀个平衡⼒系。
1-4. ⼒的平⾏四边形公理中的两个分⼒和它们的合⼒的作⽤范围(A)必须在同⼀个物体的同⼀点上；(B)可以在同⼀物体的不同点上；(C)可以在物体系统的不同物体上；(D)可以在两个刚体的不同点上。
1-5. 若要将作⽤⼒沿其作⽤线移动到其它点⽽不改变它的作⽤，则其移动范围(A)必须在同⼀刚体内；(B)可以在不同刚体上；(C)可以在同⼀刚体系统上；(D)可以在同⼀个变形体内。
1-6. 作⽤与反作⽤公理的适⽤范围是(A)只适⽤于刚体的内部；(B)只适⽤于平衡刚体的内部；(C)对任何宏观物体和物体系统都适⽤；(D)只适⽤于刚体和刚体系统。
1-7. 作⽤在刚体的同平⾯上的三个互不平⾏的⼒，它们的作⽤线汇交于⼀点，这是刚体平衡的(A)必要条件，但不是充分条件；(B)充分条件，但不是必要条件；(C)必要条件和充分条件；(D)⾮必要条件，也不是充分条件。
1-8. 刚化公理适⽤于(A)任何受⼒情况下的变形体；(B)只适⽤于处于平衡状态下的变形体；(C)任何受⼒情况下的物体系统；(D)处于平衡状态下的物体和物体系统都适⽤。
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（）2、作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点，该刚体必处于平衡状态。
（）3、刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型，在自然界中并不存在。
（）4、凡是受两个力作用的刚体都是二力构件。
（）5、力是滑移矢量，力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。
（）二．选择题1、在下述公理、法则、原理中，只适于刚体的有（）①二力平衡公理②力的平行四边形法则③加减平衡力系公理④力的可传性原理⑤作用与反作用公理三．画出下列图中指定物体受力图。
未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。
多杆件的整体受力图可在原图上画。
a(球A )b(杆AB)d(杆AB、CD、整体)c(杆AB、CD、整体)f(杆AC、CD、整体)e(杆AC、CB、整体)四．画出下列图中指定物体受力图。
未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。
多杆件的整体受力图可在原图上画。
a(球A、球B、整体)b(杆BC、杆AC、整体)第一章 静力学公理与受力分析（2）一．画出下列图中指定物体受力图。
未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。
多杆件的整体受力图可在原图上画。
)a (杆AB 、BC 、整体)b (杆AB 、BC 、轮E 、整体 )c (杆AB 、CD 、整体)d (杆BC 带铰、杆AC 、整体 )e (杆CE 、AH 、整体)f (杆AD 、杆DB 、整体 )g (杆AB 带轮及较A 、整体)h (杆AB 、AC 、AD 、整体 第二章 平面汇交和力偶系一．是非题1、因为构成力偶的两个力满足F = - F ’，所以力偶的合力等于零。
（ ）2、用解析法求平面汇交力系的合力时，若选用不同的直角坐标系，则所求得的合力不同。
《理论力学》习题解
《理论力学》题解1-3 已知曲柄OA r =, 以匀角速度ω绕定点O 转动,此曲柄借连杆AB 使滑动B 沿直线Ox 运动.设AC CB a ==,AOB ϕ∠=,ABO ψ∠=.求连杆上C 点的轨道方程及速度.解: 设C 点的坐标为,x y ,则cos cos sin sin sin x r a y r a y a ϕψϕψψ=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩联立上面三式消去,ϕψ得222(4x y r -+=整理得轨道方程222222224()(3)x a y x y a r -=++- 设C 点的速度为v ,即2222v x y r ϕ=+=考虑A 点的速度cos 2cos A y r a ϕϕψψ==得cos cos 2cos 2cos r r a a ϕϕψϕωψψ==所以v =1-4 细杆OL 绕O 点以匀角速度ω转动,并推动小环C 在固定的钢丝AB 上滑动,图中的d 为一已知常数.试求小环的速度v 及加速度a 解: 小环C 的位置由x 坐标确定 tan x d θ=222sec d x v x d dθθω+===222222sec tan 2d x a x d x dωθθω+===解法二:设v 为小环相对于AB 的速度, 1v 为小环相对于OL 的速度, 2v 为小环相绕O 点转动的速度,则12v v v =+又设OL 从竖直位置转过了θ角,则sin θ=, cos θ=222()cos v x d v dωθ+⇒===12tan tan v v θω== 所以, 小环相对于AB 的速度为22()x d v dω+=,方向沿AB 向右.沿滑杆OM 滑动的速度为21x x v +=，方向沿OM 杆向上。
求加速度用极坐标横向加速度222122x x a a v v θω+====222222()cos a x x d a d ωθ+==第一章第五节例题一解：坐标向上为正时，速度x 也向上为正，而实际速度向下，则有v x =-阻力f mkv mkx ==-，动力学方程x kxg =--，满足初始条件的解为 2(1)ktg g x h e t k k-=+-- 坐标向下为正时，速度y 也向下为正，实际速度向下，则有v y =阻力f mkv mky ==，动力学方程y kyg =-+，满足初始条件的解为 2(1)kt g g y e t k k-=--+（0y h ≤≤） 可以看出x y h += 第一章第五节例题二解：双曲正切函数()k k k k e e th k e e ξξξξξ---=+，双曲余弦函数()2k k e e ch k ξξξ-+=反双曲正切函数111()ln 21k th k k ξξξ-+=-（1k ξ<）1()ln()22x x x x e e d chx thxdx dx chx C e e chx ---=⋅==++⎰⎰⎰1211111()ln 121121dx xdx C th x C x x x x-+=+=+=+--+-⎰⎰1-10 一质点沿着抛物线22y px =运动.其切向加速度的量值为法向加速度量值的2k -倍.如此质点从正焦玄(,2pp )的一端以速度u 出发,试求其达到正焦玄另一端时的速率.解: 设条件为n a ka τ=-, 2n v a ρ=, dv dv d ds v dv a dt d ds dt d τθθρθ=== 上面三式联立得 2dvkd vθ=- 两边积分 00(2)v u dv k d d θθθθθ+=-⎰⎰, 2k v ue θ-⇒= 由22y px =可得dy pdx y= 在正焦玄两端点(,)2p A p 和(,)2pB p -处, 1A y '=,1B y '=-.可看出,两点处抛物线得切线斜率互为倒数,即2πθ=,代入得k v ue π-=1-15 当一轮船在雨中航行时,它的雨蓬遮住篷的垂直投影后2m 的甲板,蓬高4m .但当轮船停航时,甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前3m ,如果雨点的速率为8/m s ,求轮船的速率.解: 设相对于岸的速度为0v ,雨相对于岸的速度为v ,雨相对于船的速度为r v 则0r v v v =-速度三角形与三角形ABC 相似,得01v BC v AB ===所以08/v v m s ==方程322320y p y p h +-=的解解: 作变换2p y z z=-,原方程变为632320p z p h z --=设642R p p h=+,21/3(A p h =,21/3(3p B p h A =-=,12ω=-+则 实根21/321/31((y A B p h p h =+=+ 两个虚根: 22y A B ωω=+,23y A B ωω=+ 对于该题,只取实根.1-38 已知作用在质点上的力为111213x F a x a y a z =++,212223y F a x a y a z =++,313233z F a x a y a z =++其中,(,1,2,3)i j a i j =都是常数,问这些,i j a 应满足什么条件才有势能存在?如果这些条件满足,试求其势能. 解: 由0F ∇⨯=得: ,,(,1,2,3)i j j i a a i j ==111213212223313233()()()x y z dV F dx F dy F dz a x a y a z dx a x a y a z dy a x a y a z dz=---=-++-++-++1121223132330222112233122331()()1(222)2xyzV a xdx a x a y dy a x a y a z dza x a y a z a xy a yz a zx c=--+-++=-++++++⎰⎰⎰(5)(2)(6)x y zx y z x y zV F dx F dy F dzx dx x y dy x y z dz=---=-+-+-++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰1-39 一质点受一与距离3/2次方成反比得引力作用在一条直线上运动,试证该质点自无穷远到达a 时的速度1v 和自a 静止出发到达/4a 时的速率2v 相同.解: 依题意有 3/21dv dv m mv dt dx x ==-,两边积分13/201v amvdv dx x ∞=-⎰⎰, 2112mv ⇒= 再积分243/201a v amvdv dx x =-⎰⎰,2112mv ⇒= 可知12v v =1-43 如果质点受有心力作用而作双纽线22cos 2r a θ=的运动时，则4273ma h F r =-试证明之。
理论力学C5-1
A V1 VeAB V1 C
V2
B
Va
CD e
Va VeAB VrAB Va VeAB
大小：未知 已知
VrAB
未知
V
V2
方向：未知
已知
已知
以M为动点，CD为动系，M点的速度矢量图如上所示。 Va VeCD VrCD
Va
大小：未知 方向：未知
VeCD
已知 已知
VrCD
未知 已知
1
第五章 点的合成运动
5—1 点的合成运动的概念
5—2 点的速度合成定理 5—3 点的加速度合成定理
2
5—1 点的合成运动的概念
一. 研究点的合成运动的必要性
动点
v
动系
M
静系
通过引入动系， 可以将一个形式复 杂的运动分解成两 种形式简单的运动。
静坐标系（静系）：固连在地球上的参考系。
动坐标系（动系）：任何相对于定系运动的参考系。 3
25
Va Vr
Ve
无固定接触点，但其中一个刚体上可找到一特殊点（圆心） 作为动点。 第二类问题：选圆心 为动点。
26
注意牵连点的位置在O处 （想象AB杆扩大），不在 B点。 牵连速度应垂直于牵连点 的震动半径AO而非AB！
B
Vr
Va
Ve
27
例58：凸轮推杆机构，半径为R的凸轮以匀角速度ω逆时针转动。 如图所示位置，O’,O,圆心C处于水平位置一条线上，求O’A杆的角 速度。
例 54 ：小车沿水平面向右运动，速度为 U ，杆 AB 的 A 端与小车 斜面CD保持接触。研究杆AB上的A点的合成运动。
B
D
A
C
动点
理论力学5C
设：点 M 的相对轨迹为 AB； 点 M 的绝对位移 MM’’ .
点M的牵连位移：MM’ 有位移关系：
MM '' MM ' M 'M ''
M
A
时刻 t
M ''
B'
M'
A' 时刻 t+t
两边同除以t，并取极限t0：
v v v lim lim lim MM ''
MM '
M 'M ''
t0 t
A
R vr
AB=3R
L
r
Bve
va
解：动点： AB 杆上 B 点 动系： 半圆滑道 定系： 地面
运动分析: 绝对运动： 圆周运动 相对运动： 圆周运动
牵连运动： 曲线平移
求：B 点的绝对(加)速度
1、速度分析：va ve vr
in
AB
va AB
10
加速度分析：
A
ae
ar c
O
aan aat
aa ae ar aan aat ae ar
??
y : aan sin aat cos ae
ae R2 sin R cos
11
例：已知铅垂摇杆在图示瞬时
的角速度为 ，角加速度为
，求此瞬时水平 AB 杆的角速 度和角加速度。
ro'
o x
r y'
y
r xi yj zk
r' x'i' y' j'z'k' ro' xo'i yo' j zo'k r ro' r'
胡汉才编著《理论力学》课后习题答案第5章习题解答
5－1 凸轮以匀角速度ω绕O 轴转动，杆AB 的A 端搁在凸轮上。
图示瞬时AB 杆处于水平位置，OA 为铅直。
试求该瞬时AB 杆的角速度的大小及转向。
解： r e a v v v += 其中，22e r v e -=ωe v v e a ωφ==tg所以 le l v a AB ωω==（逆时针）5－2. 平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB 可沿导轨上下移动，偏心圆盘绕轴O 转动，轴O 位于顶杆轴线上。
工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。
该凸轮半径为R ，偏心距e OC =，凸轮绕轴O 转动的角速度为ω，OC 与水平线成夹角ϕ。
求当︒=0ϕ时，顶杆的速度。
（1）运动分析轮心C 为动点，动系固结于AB ；牵连运动为上下直线平移，相对运动为与平底平行直线，绝对运动为绕O 圆周运动。
（2）速度分析，如图b 所示5－3. 曲柄CE 在图示瞬时以ω0绕轴E 转动，并带动直角曲杆ABD 在图示平面内运动。
若d 为已知，试求曲杆ABD 的角速度。
解：1、运动分析：动点：A ，动系：曲杆O 1BC ，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。
2、速度分析：r e av v v +=0a 2ωl v =；0e a 2ωl v v ==01e1ωω==AO v BC O （顺时针） 5－4. 在图示平面机构中，已知：AB OO =1，cm 31===r B O OA ，摇杆D O 2在D 点与套在AE 杆上的套筒铰接。
OA 以匀角速度rad/s 20=ω转动，cm 332==l D O 。
试求：当︒=30ϕ时，D O 2的角速度和角加速度。
解：取套筒D 为动点，动系固连于AE 上，牵连运动为平动 （1）由r e a v v v += ① 得D 点速度合成如图（a ） 得 ϕtg e a v v =， 而r v e 0ω= 因为 r v a 0331ω⨯=，所以 rad/s 67.02==lv aD O ω 方向如图(a)所示（2）由r e na a a a a a +=+τ ②得D 点加速度分析如图（b ） 将②式向DY 轴投影得θϕϕτsin sin cos e n a a a a a -=-错了 而r a la e D O n a 2022ωω==θϕsin sin r l =所以ϕθϕτcos sin sin e na a a a a -=2rad/s 05.2cos sin sin 2-=-==ϕθϕετl a a l a e n a a DO 什么东西？，方向与图(b)所示相反。
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作业： 1，4,8,9,10,12
35
2
Va cos30 O2 A
例510：直线AB、CD相交成角，直线AB以速度V1沿垂直于AB 的方向向下运动，而直线CD以速度V2沿垂直于CD的方向向右下 方移动。求套在这两直线交点处小环M处速度大小。 VrCD D 以M为动点，AB为动系，M点的速 AB Vr M 度矢量图如左所示。
33
VrCD
A M V1 VeAB V1 C
V2
D VrAB
Va
B
VeCD V2
VeAB VrAB VeCD VrCD
向V2上投影
VeAB cos VrAB sin VeCD
VrAB
VeCD VeAB cos V2 V1cos sin sin
1
第五章 点的合成运动
5—1 点的合成运动的概念
5—2 点的速度合成定理 5—3 点的加速度合成定理
2
5—1 点的合成运动的概念
一. 研究点的合成运动的必要性
动点
v
动系
M
静系
通过引入动系， 可以将一个形式复 杂的运动分解成两 种形式简单的运动。
静坐标系（静系）：固连在地球上的参考系。
动坐标系（动系）：任何相对于定系运动的参考系。 3
C
O
e
Ve R 2 e 2
Va ctanVe
e R 2 e2
R e e
2 2
24
例57：偏心凸轮绕O轴转动，推动与之保持接触的AB杆沿水平 导槽运动。研究杆AB上的A点的合成运动。
牵连点
C O
Ve
Va
A
B
动系 凸轮C
Vr
动点 杆AB上的A点
绝对运动：A的水平往复运动 相对运动：A绕C的转动 牵连运动：凸轮的定轴转动
动轨迹： 直线/ 曲线?
绝相牵（are）
牵连运动
M
轨迹！
相对运动 绝对运动
5
绝相牵？
6
A R E？
7
动点和动系 的选择是关 键的一步。
选择动点和动系，要使相对运 动轨迹直观简单。 此题中如何暗示出相对运动轨 迹的？
8
例5-1.
动点: 滑块M, 定系: 地面, 动系: AB. 绝对运动: 圆周曲线运动
ve
M
B
M1
A MM M 1M MM 1 lim lim lim t 0 t t 0 t 0 t t M1 M MM 2 lim vr 而，lim t 0 t 0 t t
所以，
M
A
va vr ve
18
即得速度合成定理, 动点在任一瞬时的绝对速度均等于其在该瞬时的 相对速度与牵连速度的矢量和。
1
A
O1
30
相对运动：A沿O2A向上运动 牵连运动：O2A绕O2的定轴转动 Va Ve Vr 大小：已知 方向：已知 未知 已知 未知 已知
l
30
O2
Va O1 A 1
Ve Va cos30 O2 A 2
O1 A 1cos30 O2 A
1 0.51 1.5rad s 32
动点，动系，定系(静系)
4
二.基本概念
绝对运动（Absolute motion）：动点相对于定系的运动。 点的运 也称为复合运动或合成运动。 相对运动(Relative motion)：动点相对于动系的运动。 牵连运动(Embroil motion)：动系相对定系的运动。 由于参考系通常固连于刚体上，因此牵连运动本质上是指 刚体的运动形式。 v
例 54 ：小车沿水平面向右运动，速度为 U ，杆 AB 的 A 端与小车 斜面CD保持接触。研究杆AB上的A点的合成运动。
B
D
A
C
动点
动系 小车CD
U
杆AB上的A点
绝对运动：A竖直向下的运动 相对运动：A沿DC向下的运动
Vr
Ve U
Va
牵连运动：小车水平向右的平动
Va Vr Ve
牵连点
A
O'
O
e
C
a
凸轮机构
28
牵连点
B
Va
Ve V ？
r
动点 C点
动系 AB杆
A
D
C
绝对运动：C点做圆周运动 相对运动：沿AB方向的运动 牵连运动：杆AB的定轴转动
a
凸轮机构
e
Va 大小：已知
方向：已知
Ve 未知
已知
Vr 未知
已知
Va e
Va与Ve共线，Vr不同线，无法构成任何平行四边形，只可能有 Vr=0： (注意牵连点位于C而非B点。) e AB Va / a Ve Va 29 a
v
牵连点
绝相牵(are)
牵连速度
M
速度方向？
相对速度
12
绝对速度
13
（各时刻）牵 连点的连线？ 某瞬时（某个） 牵连点的轨迹？
14
15
牵连运动 动点
v
牵连点
绝对运动 动系
相对运动
M
相对速度
绝对速度
静系
牵连速度
动点、动系、定系； 绝对、相对、牵连运动； 绝对、相对、牵连速度，
牵连点
(绝相牵are)
例 56 ：偏心圆轮绕 O 轴以角速度 作顺时针转动，使杆 AB 沿铅 直槽上下移动，点O在滑槽的轴线上，圆轮半径是R，偏心距e。 求当圆心C与轴O在同一水平面上时顶杆的速度。
B
A
R
C
e
O
23
动点
动系 偏心轮C
B
杆AB上的A点
牵连点
R
Vr
Va
绝对运动：A竖直向上的运动
A
Ve
相对运动：A沿轮C的切向运动 牵连运动：圆轮C的定轴转动 Va Ve Vr 大小：未知 方向：已知 已知 已知 未知 已知
25
Va Vr
Ve
无固定接触点，但其中一个刚体上可找到一特殊点（圆心） 作为动点。 第二类问题：选圆心 为动点。
26
注意牵连点的位置在O处 （想象AB杆扩大），不在 B点。 牵连速度应垂直于牵连点 的震动半径AO而非AB！
B
Vr
Va
Ve
27
例58：凸轮推杆机构，半径为R的凸轮以匀角速度ω逆时针转动。 如图所示位置，O’,O,圆心C处于水平位置一条线上，求O’A杆的角 速度。
A V1 VeAB V1 C
V2
B
Va
CD e
Va VeAB VrAB Va VeAB
大小：未知 已知
VrAB
未知
V
V2
方向：未知
已知
已知
以M为动点，CD为动系，M点的速度矢量图如上所示。 Va VeCD VrCD
Va
大小：未知 方向：未知
VeCD
已知 已知
VrCD
未知 已知
21
例55：杆OAB绕O转动，带动与之保持接触的滑块C沿铅垂槽运 动。研究杆OAB上的B点的合成运动
牵连点
Va Ve C
Vr B
动点
杆OAB上的B点
动系
滑块C
O
绝对运动：B绕O圆周运动 相对运动：B沿C下表面的运动
A
牵连运动：滑块竖直向上平动
接触点在一个物体上是确定不变的一点有持续接触点 ——第一类问题：选确定接触点为动点。 “持续接触点”与另一刚体外缘持续接触(或者在刚体的槽 道内运动)，并在其外形或槽道上“画”下其运动轨迹。 22 （相对运动轨迹就是动系刚体的外缘或槽道。）
Vr
Va
Ve
牵连点
30
Ve
牵连点
Va
Vr
要使其中一个刚体上有确定接触点，但需要将作为动系的 刚体想象扩展。
31
例59：图示曲柄摇杆机构，已知O1O2=l=20cm，1=3rad/s求 图示位置时杆O2A的角速度2。 动点 动系 Va 杆O1A上的A点 摇杆O2A Vr 30 Ve 绝对运动：A绕O1圆周运动
AB 2
Va (V
AB 2 e
) (Vr
1 ) V12 V22 2V1V2 cos sin
34
重点
牵连点的概念；速度合成定理 题型与动点动系的选择： 一、接触点在一个物体上是确定的一点－>固定 接触点选为动点； 二、无固定接触点：接触点在两个物体上都不是 确定的一点： 在一个运动构件上有特殊点（圆心）选为动 点，它相对另一物体的运动轨迹简单
16
5—2 点的速度合成定理
M2
Bva vey x NhomakorabeaMz
B
z
z
vr
y
M1
M o
x
x
A
A
y
矢量MM 动点的绝对位移 矢量M1M ' 动点的相对位移 矢量MM1 牵连点位移
17
连接 M1M ，由矢量关系：
MM MM 1 M1M
vr
M2
B
va
va vr ve
19
应用速度合成定理的解题3步骤： • 正确选取动点和动系 • 分析三种运动(轨迹！) 并画出运动（v，a）矢量图 • 利用三角关系（直角三角形）或矢量投影定理求解 未知量。 关于动点和动系选择的一般原则： • 动系和动点不应该在同一刚体上； • 动系一般选择运动形式已知或运动形式较为简单 的刚体； •应使相对运动轨迹简单直观，以使相对运动速度、 加速度方向为已知，这样问题才能顺利求解。 20