导数在研究函数中的应用【达标训练】
导数在研究函数中的应用练习题
导数在研究函数中的应用1.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.2.函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程________的根；③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得__________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得__________.3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的________；②将f(x)的各极值与____________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.要点梳理1.><2.(1)①f′(x)>0f′(x)<0②f′(x)<0f′(x)>0(2)②f′(x)＝0③f′(x)＝0极大值极小值3.(2)f(a)f(b)f(a)f(b)(3)①极值②f(a)，f(b)1. f(x)＝3x－x3的单调减区间为_____________________________________________.2.函数f(x)＝e x－x在区间(－∞，0)内是单调__________(填“增函数”或“减函数”).3.函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________.4.如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断：①f(x)在[－2，－1]上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；④x＝3是f(x)的极小值点.其中正确的判断是________.(填序号)5.设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A.a <－1B.a >－1C.a >－1eD.a <－1e 一、选择题1.函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A.－2B.0C.2D.4 2.已知函数f (x )的图象过点(0，－5)，它的导函数f ′(x )＝4x 3－4x ，则当f (x )取得最大值－5时，x 的值应为( ) A.－1 B.0 C.1 D.±13.函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( ) A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数二、填空题 4.若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝___________________________________. 5.已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________.6.已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m ＝________.基础自测1.(－∞，－1)和(1，＋∞)2.减函数3.[－3，＋∞)4.②③5.AA组1.C2.B3.D4.35.－376.－2。
导数在研究函数中的应用练习题(基础、经典、好用)
导数在研究函数中的应用一、选择题1．设函数f(x)＝2x＋ln x，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点2．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝f（x）x在区间(1，＋∞)上一定()A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数3．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是() A．(0，1) B．(－∞，1)C．(0，＋∞) D．(0，1 2)4．对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有() A．f(x)≥f(a) B．f(x)≤f(a)C．f(x)＞f(a) D．f(x)＜f(a)5．若函数f(x)＝xx2＋a(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为()A.33 B. 3 C.3＋1 D.3－1二、填空题6．函数f(x)＝xln x的单调递减区间是________．7．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝________．8．已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．三、解答题9．(2013·肇庆调研)已知函数f(x)＝ax2＋b ln x在x＝1处有极值1 2.(1)求a，b的值；(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．10．设函数f(x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过P(1，0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．11．(2013·惠州模拟)已知函数f(x)＝x2＋2a ln x.(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数g(x)＝2x＋f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．导数在研究函数中的应用解析及答案一、选择题1．【解析】∵f(x)＝2x＋ln x(x>0)，∴f′(x)＝－2x2＋1x.由f′(x)＝0解得x＝2.当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．∴x＝2为f(x)的极小值点．【答案】 D2．【解析】由函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，可得a的取值范围为a＜1，又g(x)＝f（x）x＝x＋ax－2a，则g′(x)＝1－ax2，易知在x∈(1，＋∞)上g′(x)＞0，所以g(x)为增函数．【答案】 D3．【解析】f′(x)＝3x2－6b，令f′(x)＝0得x2＝2b，由题意知0＜2b＜1，∴0＜b＜12，故选D.【答案】 D4．【解析】 由(x －a )f ′(x )≥0知， 当x ＞a 时，f ′(x )≥0；当x ＜a 时，f ′(x )≤0. ∴当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值，则f (x )≥f (a )． 【答案】 A5．【解析】 f ′(x )＝x 2＋a －2x 2（x 2＋a ）2＝a －x 2（x 2＋a ）2.令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝－a (舍)，①若a ≤1时，即0＜a ≤1时，在[1，＋∞)上f ′(x )＜0，f (x )max ＝f (1)＝11＋a＝33. 解得a ＝3－1，符合题意． ②若a ＞1，在[1，a ]上f ′(x )＞0； 在[a ，＋∞)上f ′(x )＜0. ∴f (x )max ＝f (a )＝a 2a ＝33，解得a ＝34＜1，不符合题意， 综上知，a ＝3－1. 【答案】 D 二、填空题6．【解析】 f ′(x )＝ln x －1ln 2x ，令f ′(x )＜0得 ln x －1＜0，且ln x ≠0. ∴0＜x ＜1或1＜x ＜e ，故函数的单调递减区间是(0，1)和(1，e)． 【答案】 (0，1)，(1，e)7．【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ，且f (x )在x ＝－1处的极值为0. ∴⎩⎨⎧f （－1）＝（－1）3＋3m （－1）2＋n （－1）＋m 2＝0，f ′（－1）＝3×（－1）2＋6m （－1）＋n ＝0， ∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3或⎩⎨⎧m ＝2，n ＝9，当⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立与x ＝－1是极值点矛盾， 当⎩⎨⎧m ＝2n ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 显然x ＝－1是极值点，符合题意， ∴m ＋n ＝11. 【答案】 118．【解析】 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－（x －1）（x －3）x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t ＜1＜t ＋1或t ＜3＜t ＋1， 得0＜t ＜1或2＜t ＜3. 【答案】 (0，1)∪(2，3) 三、解答题9．【解】 (1)f ′(x )＝2ax ＋b x ，又f (x )在x ＝1处有极值12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝12，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，2a ＋b ＝0.解之得a ＝12且b ＝－1. (2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ， 其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝（x ＋1）（x －1）x .当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (0，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值所以函数y ＝f (x )的单调减区间是(0，1)，单调增区间是(1，＋∞)． 10．【解】 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx (x ＞0)，又f (x )过点P (1，0)，且在点P 处的切线斜率为2，∴⎩⎨⎧f （1）＝0，f ′（1）＝2，即⎩⎨⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2. 解之得a ＝－1，b ＝3.(2)由(1)知，f (x )＝x －x 2＋3ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴g (x )＝2－x －x 2＋3ln x ，x ＞0，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－（x －1）（2x ＋3）x .当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减． ∴g (x )的最大值为g (1)＝0，g (x )没有最小值． 11．【解】 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax ， 由已知f ′(2)＝1， 解得a ＝－3.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．①当a ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a ＜0时，f ′(x )＝2（x ＋－a ）（x －－a ）x .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：x (0，－a )－a (－a ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－a )； 单调递增区间是(－a ，＋∞)．(3)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x 得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax ， 由已知函数g (x )为[1，2]上的单调减函数， 则－2x 2＋2x ＋2ax ≤0在[1，2]上恒成立．即a≤1x－x2在[1，2]上恒成立．令h(x)＝1x－x2，h′(x)＝－1x2－2x＝－(1x2＋2x)＜0，所以h(x)在[1，2]上为减函数，h(x)min＝h(2)＝－7 2，所以a≤－7 2.。
课时作业1：习题课 导数在研究函数中的应用
一、基础过关1．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是( )答案 A解析 ∵f (x )＝x cos x ，∴f ′(x )＝cos x －x sin x . ∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，∴函数图象关于y 轴对称．由f ′(0)＝1可排除C 、D 选项． 而f ′(1)＝cos 1－sin 1<0，从而观察图象即可得到答案为A. 2．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2D ．(2π，3π)答案 B解析 y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于或等于0即可．∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′≥0恒成立． 3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2) 答案 A解析 ∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝12x ＋1x >0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (2)<f (e)<f (3)．4．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都为减函数， ∴在(－∞，0)，(0，＋∞)上，f ′(x )<0恒成立，故D 正确．5．已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为____________． 答案 f (a )－g (a )解析 设F (x )＝f (x )－g (x )， F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0， ∴F (x )在[a ，b ]上为减函数，∴当x ＝a 时，F (x )取最大值f (a )－g (a )．6．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．答案 1<a ≤2解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x(x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.7．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x ＋6，若x ＝3是f (x )的一个极值点，求f (x )在[0，a ]上的最值． 解 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，由已知得f ′(3)＝0， ∴3×9－6a ＋3＝0.∴a ＝5，∴f (x )＝x 3－5x 2＋3x ＋6. 令f ′(x )＝3x 2－10x ＋3＝0，得x 1＝13，x 2＝3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化状态如下表.↗↗∴f (x )在最小值为f (3)＝－3. 二、能力提升8．设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )<0<f (b ) B ．f (b )<0<g (a ) C ．0<g (a )<f (b ) D ．f (b )<g (a )<0 答案 A解析 对于f (x )＝e x ＋x －2，f ′(x )＝e x ＋1>0， f (x )在R 上递增，由于f (0)＝e 0－2＝－1<0， f (1)＝e ＋1－2＝e －1>0， ∴由f (a )＝0知0<a <1；对于g (x )＝ln x ＋x 2－3(x >0)，g ′(x )＝1x ＋2x >0，∴g (x )在(0，＋∞)上也递增， 由于g (1)＝－2<0，g (2)＝ln 2＋1>0， ∴由g (b )＝0知1<b <2. 故f (b )>f (1)>0，g (a )<g (1)<0， ∴g (a )<0<f (b )．9．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为92，则m ＝________.答案 2解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫x 3＋32x 2＋m ′＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)． 由y ′＝0，得x ＝0或x ＝－1.∴f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋12.又∵f (1)＝m ＋52，f (－2)＝－8＋6＋m ＝m －2， ∴f (1)＝m ＋52最大．∴m ＋52＝92.∴m ＝2.10．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________． 答案278解析 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )． 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ， 切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．② 将点(1,0)代入②式得， －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )， 解之得，t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，所以a ＝278.11．设函数f (x )＝a e x ＋1a e x ＋b (a >0)．(1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解 (1)f ′(x )＝a e x －1a e x ，当f ′(x )>0，即x >－ln a 时， f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增； 当f ′(x )<0，即x <－ln a 时， f (x )在(－∞，－ln a )上递减．①当0<a <1时，－ln a >0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b ； ②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a ＋b .综上所述，当0<a <1时，f (x )min ＝f (－ln a )＝2＋b ； 当a ≥1时，f (x )min ＝f (0)＝a ＋1a ＋b .(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)，所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12，故a ＝2e 2，b ＝12.12．设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2. (1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2. (1)解 f ′(x )＝1＋2ax ＋b x.由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)证明 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ， 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x .当0<x <1时，g ′(x )>0，当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减． 而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2. 三、探究与拓展 13．已知函数f (x )＝x 2e －x . (1)求f (x )的极小值和极大值；(2)当曲线y ＝f (x )的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x ＝e －x (2x －x 2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )和f (x )随x 的变化状态如下表：↘∴f (x )极小极大(2)设切点P (x 0，y 0)，当x 0∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时， 切线斜率为k ＝e －x 0(2x 0－x 20)<0， 切线方程为y －x 20e －x 0＝k (x －x 0)． ∴切线l 在x 轴上的截距为h ＝x 20－x 0x 0－2.令t ＝x 0－2，x 20－x 0＝t 2＋3t ＋2，t ∈(－∞，－2)∪(0，＋∞)．∴h (t )＝t ＋2t＋3，当t <－2时，h (t )＝t ＋2t ＋3在(－∞，－2)上单调递增．∴h (t )<h (－2)＝0；当t >0时，h (t )＝t ＋2t ＋3≥22＋3，当且仅当t ＝2时取等号． 综上所述，截距h 的取值范围是 (－∞，0)∪[22＋3，＋∞)．。
2019届高考(文)《导数在研究函数中的应用》专题达标试卷(含答案)(可编辑修改word版)
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关闭W o r d文档返回原板块一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)课时提升作业(十四) 导数在研究函数中的应用(45 分钟100 分)1.(2018·天津模拟)若函数f(x)=x3-6b x+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是()A.(0,1)B.(-∞,1)1C.(0,+∞)D.0,22.(2018·青岛模拟)函数y=l n x-x在x∈(0,e]上的最大值为()A.eB.1C.-1D.-e[:3.(2018·孝感模拟)函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,3)和(1,+∞)D.(-3,1)4.(2018·嘉兴模拟)对于在R上可导的任意函数f(x),若满足(x-a)f′(x)≥0,则必有()A.f(x)≥f(a)B.f(x)≤f(a)C.f(x)>f(a)D.f(x)<f(a)5.(2018·鄂州模拟)设函数f(x)的导函数为f′(x),对任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立,则( )A.3f(l n2)>2f(l n3)B.3f(l n2)=2f(l n3)C.3f(l n2)<2f(l n3)D.3f(l n2)与2f(l n3)的大小不确定1 6.(2018·大纲版全国卷)若函数f(x)=x2+ax+x在12, + ∞是增函数,则a 的取值范围是( )A.[- 1,0] C.[0,3]B.[-1,+∞) D.[3,+∞)7.(2018·成都模拟)函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数,且函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:y=g(x)=f′(x0)·(x-x0)+f(x0),F(x)=f(x)-g(x),如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,且a<x0<b,那么( )()A.F′(x0)=0,x=x0是F(x)的极大值点B.F′(x0)=0,x=x0是F(x)的极小值点C.F′(x0)≠0,x=x0不是F(x)的极值点D.F′(x0)≠0,x=x0是F(x)的极值点e x e28.(能力挑战题)(2018·辽宁高考)设函数f(x)满足x2f′(x)+2x f(x)=,f(2)=,则x>0时,f(x)()x 8A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)9.若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为.10.(2018·衡水模拟)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表,f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,x-1045f(x)1221下列关于函数 f(x)的①函数f(x)的值域为[1,2];②函数f(x)在[0,2]上是减函数;③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;④当 1<a<2 时,函数 y=f(x)-a 有4 个零点.其中真111.已知y=x3+b x2+(b+2)x+3在R上不是增函数,则b的取值范围是.31 a12.(能力挑战题)(2018·厦门模拟)若函数f(x)=|x3|-x2+(3-a)|x|+b有六个不同的单调区间,则实数a的取3 2值范围是.三、解答题(13题12分,14～15题各14分)113.(2018·北京模拟)已知函数f(x)=x2-a l n x(a>0).2(1)若f(x)在 x=2 处的切线与直线 3x-2y+1 =0 平行,求f(x)的单调区间.(2)求f(x)在区间[1,e]上的最小值.114.(2018·广州模拟)已知函数f(x)=l n x-ax2-2x.2(1)若函数 f(x)在x=2 处取得极值,求实数a 的值.(2)若函数 f(x)在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围.4x15.(能力挑战题)(2018·郑州模拟)已知函数f(x)=,x∈[0,2].3x2 + 3(1)求 f(x)的值域.1(2)设a≠0,函数g(x)=ax3-a2x,x∈[0,2].若对任意x1∈[0,2],总存在x0∈[0,2],使f(x1)-g(x0)=0,求实数a3的取值范围.1.【解析】选D.f′(x)=3x2-6b,令f′(x)=0得x2=2b,答案解析由题意知,0<1 2b<1,所以0<b<.22.【解析】选C.函数y=l n x-x的定义域为(0,+∞),1 1 ‒ x又y′=-1=,令y′=0得x=1,x x当x∈(0,1)时,y′>0,函数单调递增;当x∈(1,e)时,y′<0,函数单调递减.当x=1时,函数取得最大值-1,故选C.3.【解析】选D.y′=-2xe x+(3-x2)e x=-(x2+2x-3)e x=-(x-1)(x+3)e x,y′>0⇒-3<x<1,所以函数的递增区间为(-3,1).4.【思路点拨】分x>a 和x<a 两种情况讨论得 f(x)的单调性后求解.【解析】选 A .由(x -a )f ′(x )≥0 知, 当 x >a 时,f ′(x )≥0,所以 f (x )在(a ,+∞)上为增函数;当 x <a 时,f ′(x )≤0,所以 f (x )在(-∞,a )上为减函数,得 f (x )m i n =f (a ),所以 f (x )≥f (a ). f (x) f '(x)e x ‒ f(x)e x f '(x) ‒ f(x)5. 【解析】选 C .令 g (x )= e x ,则 g ′(x )= e 2x = e x,因为对任意 x∈R 都有f (ln2)f (ln3)f ′(x )-f (x )>0,所以g ′(x )>0,即 g (x )在 R 上单调递增,又 l n 2<l n 3,所以 g (l n 2)<g (l n 3),即 eln2 < e ln3 ,所以f (ln2) f (ln3)2 <3 ,即 3f (l n 2)<2f (l n 3),故选 C . (1)6. 【思路点拨】先求出 f (x )的导函数 f ′(x ),利用 x ∈2, + ∞ 时 f ′(x )≥0 确定 a 的取值范围. 1(1) (1)【解析】选 D .f ′(x )=2x +a - ,因为 f (x )在 x ∈ x 2 2, + ∞ 上为增函数,即当 x∈ 2, + ∞ 时,f ′(x )≥0,即1 1 1(1)2x +a - ≥0,则 a ≥ -2x ,令 g (x )= -2x ,而 g (x )在 x ∈ x 2 x 2 x 22, + ∞ 上为减函数,所以 g (x )m ax <3,故 a ≥3.7. 【思路点拨】y =g (x )是函数 y =f (x )在点 P (x 0,f (x 0))处的切线,故 g ′(x )=f ′(x 0),据此判断 F ′(x 0)是否为 0,再进一步判断在 x =x 0 两侧 F ′(x )的符号. 【解析】选 B .F ′(x )=f ′(x )-g ′(x )=f ′(x )-f ′(x 0),所以 F ′(x 0)=f ′(x 0)-f ′(x 0)=0,又当 x <x 0 时,从图象上看,f ′(x )<f ′(x 0),即 F ′(x )<0,此时函数 F (x )=f (x )-g (x )为减函数,同理,当 x>x 0 时,函数 F(x)为增函数.8. 【思路点拨】结合题目条件,观察式子的特点,构造函数,利用导数研究极值问题.e x 2f(x) e x ‒ 2x 2f(x) 【解析】选 D .由题意知f ′(x )= - = ,x3xx3令 g (x )=e x -2x 2f (x ),则 g ′(x )=e x -2x 2f ′(x )-4x f (x ) 2e x =e x -2(x 2f ′(x )+2x f (x ))=e x -x( 2)=e x1 ‒x.由 g ′(x )=0 得 x =2,当 x =2 时,e2g (x )m i n =e 2-2×22× =0.8g(x)即g(x)≥0,则当x>0时,f′(x)=≥0,x3故f(x)在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.9.【解析】x=2是f(x)的极大值点,f(x)=x(x2-2c x+c2)=x3-2c x2+c2x,所以f′(x)=3x2-4c x+c2,所以f′(2)=3×4-8c+c2=0,解得c=2或c=6,当c=2时,不能取极大值,所以c=6.答案:6【误区警示】本题易出现由f′(2)=0求出c后,不验证是否能够取到极大值这一条件,导致产生增根.10.【解析】由y=f′(x)的图象知,y=f(x)在(-1,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,4)上递增,在(4,5)上递减,故②正确;当x=0与x=4时,y=f(x)取极大值,当x=2时,y=f(x)取极小值,因为f(2)的值不确定,故①④不正确;对于③,t 的最大值为5.答案:②111.【解析】假设y=x3+b x2+(b+2)x+3在R上是增函数,则y′≥0恒成立.即x2+2b x+b+2≥0恒成立,所以Δ=4b2-34(b+2)≤0成立,解得-1≤b≤2,故所求为b<-1或b>2.答案:b<-1或b>2[:12.【思路点拨】根据奇偶性,只需保证f′(x)=0在(0,+∞)上有两个不同实根即可.1 a【解析】因为函数f(x)=|x3|-x2+(3-a)|x|+b,所以f(-x)=f(x),3 2所以 f(x)是偶函数,因为 f(x)有六个不同的单调区间,又因为函数为偶函数,所以当 x>0 时,有三个单调区间,即f′(x)=x2-ax+3-a=0有两个不同的正根,所以23 ‒ a > 0,a2+ 4a ‒ 12 > 0,解得:2<a<3.答案:(2,3)13.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞).{ a > 0,2a x 2 ‒ a f ′(x )=x - = .xx4 ‒ a 3 由 f (x )在 x =2 处的切线与直线 3x -2y +1=0 平行,则 f ′(2)== ,a =1.2 21 x2 ‒ 1 此时 f (x )= x 2-l n x ,f ′(x )= .2x令 f ′(x )=0,得 x =1.f (x )与 f ′(x )随 x 的变化情况如下:所以,f (x )的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).a x 2 ‒ a (2)由 f ′(x )=x - = .xx由 a >0 及定义域为(0,+∞), 令 f ′(x )=0,得 x = a .1①若 a ≤1,即 0<a ≤1,在(1,e )上,f ′(x )>0,f (x )在[1,e ]上单调递增,f (x )m i n =f (1)= ;2②若 1< 在(1,a <e ,即 1<a <e 2,a)上,f ′(x )<0,f (x )单调递减; 在( a ,e )上,f ′(x )>0,f (x )单调递增, 1因此在[1,e ]上,f (x )m i n =f ( a ) )= a (1-l n a );2③若 a ≥e ,即 a ≥e 2,在(1,e )上,f ′(x )<0,f (x )在[1,e ]上单调递减, 1f (x )m i n =f (e )= e 2-a .21综上,当 0<a ≤1 时,f (x )m i n = ;1当 1<a <e 2 时,f (x )m i n = a (1-l n a );2x (0,1) 1 (1,+∞) f ′(x ) - 0+ f(x)↘12↗而 f (0)=0,f (1)= ,f (2)=,所以当 x ∈[0,2]时,f (x )的值域是 0, 1当 a ≥e 2 时,f (x )m i n = e2-a .2a x 2 + 2x ‒ 114.【解析】(1)f ′(x )=-(x >0),x因为 x =2 时,f (x )取得极值.3所以 f ′(2)=0,解得 a =- ,经检验符合题意.4(2)函数 f (x )定义域为(0,+∞). 依题意 f ′(x )≥0 在 x >0 时恒成立,即 ax 2+2x-1≤0 在 x>0 时恒成立.1 ‒ 2x 1 2则 a≤x 2=(x‒ 1)-1 在 x>0 时恒成立,[ 1 2]即 a≤(x‒ 1)1‒ 1(x >0),min2当 x =1 时,(x ‒ 1)-1 取最小值-1,所以 a 的取值范围是(-∞,-1].15.【思路点拨】(1)用导数法求 f (x )的最值,进而得f (x )的值域.(2)根据条件得到f (x )在[0,2]上的值域为g (x ) 在[0,2]上的值域的子集,构建不等式求解.4 1 ‒ x 2 【解析】(1)f ′(x )= · ,令 f ′(x )=0,得 x =1 或 x =-1.3 (x 2 + 1)2当 x ∈(0,1)时,f ′(x )>0,f (x )在(0,1)上单调递增; 当 x ∈(1,2)时,f ′(x )<0,f (x )在(1,2)上单调递减, 2 8[ 2]3 15 3(2) 设函数g (x )在[0,2]上的值域是 A ,因为若对任意 x 1∈[0,2],总存在 x 0∈[0,2], 使 f (x 1)-g (x 0)=0,[ 2]所 以 0, 3⊆A .g ′(x )=ax 2-a 2.①当 x ∈(0,2),a <0 时,g ′( x )<0,所以函数 g (x )在(0,2)上单调递减..0, ⊆A ,所以 g (2)= a -2a 2≥ ,解得 ≤a ≤1. ]8[ 2]因为 g (0)=0,g (2)= a -2a 2<0,当 x ∈[0,2]时,不满足30, ⊆A ; 3②当 x ∈(0,2),a >0 时,g ′(x )=a (x - a )(x+ a ),令 g ′(x )=0,得 x = a 或 x=- a (舍去).(i )x ∈[0,2],0]3 3 3 3(ii )当 x ∈[0,2]2 时,g ′(x )<0,所以函数 g (x )在(0,2)上单调递减. [ 2]因为 g (0)=0,g (2)= a -2a 2<0,所以当 x ∈[0,2]时,不满足30, ⊆A .3综上可知,实数 a 的取值范围是1,1 . 3关闭 W o r d 文档返回原板块[ 所以 g (0)=0,g (a )<0.因为。
导数在研究函数中的应用练习题
导数在研究函数中的应用练习题选择题：1、已知函数()f x 的导数为2'()f x x x =-，则当x =（ ）时，函数()f x 取得极大值． A 、 0 B 、2 C 、1 D 、32、在区间(a,b)内0)('>x f 是)(x f 在区间（a,b ）内单调递增的（ ）条件。
A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、不充分也不必要 3、若)0()(23>+++a d cx bx ax x f ＝为增函数，则（ ）A 、042>-ac b B 、0,0>>c b C 、0,0>=c b D 、032≤-ac b 4、函数()2cos f x x x =+在(0,)π上单调递减区间是（ ） A ⎪⎭⎫ ⎝⎛323ππ， B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛656ππ， C 、()π，0 D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ25、用长为60米的铁丝围成一个矩形，当其相邻两边分别为（ ）时，面积最大。
A 、12，18B 、14，16C 、15，15D 、13，176、若函数()321f x x ax =-+在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）. A 、3>a B 、3≥a C 、3<a D 、3≤a7、已知函数32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[]2,2-上有最大值3，则此函数在[]2,2-上的最小值是（ ）A 、2B 、-3C 、-37D 、-58、已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中()f x '是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）9、已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件10、已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32填空题。
导数在研究函数中的应用(含标准标准答案)
导数在研究函数中的应用【自主归纳，自我查验】一、自主归纳1．利用导函数判断函数单调性问题函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与其导数的正负有如下关系(1)若____ ___，则f (x )在这个区间上是增加的．(2)若____ ___，则f (x )在这个区间上是减少的．(3)若_____ __，则f (x )在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤(1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.(3)根据结果确定f (x )的单调区间．3．函数的极大值在包含0x 的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_____0x 点的函数值，称点0x 为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (0x )为函数的极大值．4．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_____0x 点的函数值，称点0x x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (0x )为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值点与极小值点统称为极值点．5．函数的最值与导数1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值点0x 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f (0x )．2．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最小值点0x 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f (0x )．二、自我查验1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R2．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________．3.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．55.函数ln x y x =的最大值为（ ）A ．1e -B ．eC ．2eD ．103【典型例题】考点一 利用导数研究函数的单调性【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．【变式训练1】已知()3222f x x ax a x =+-+．（1）若1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若0a >，求函数()f x 的单调区间．。
高中数学苏教选修同步训练： 导数在研究函数中的应用 含答案
1.3 导数在研究函数中的应用1、已知定义在R 上的函数()f x 满足()316f =，且()f x 的导函数()41f x x '<-，则不等式()221f x x x <-+的解集为（ ）A. {}|33x x -<<B.{}3x x >-C. {}3x x >D. {}33x x x <->或2、设函数22()2()ln 2f x x x x x x =--+,则函数()f x 的单调递减区间为( ) A.1(0,)2B.1(,1)2C.(1,)+∞D.(0,)+∞3、设2x =-与3a =是函数()*的两个极值点,则常数a b -的值为( ) A ．21B ．-21C ．27D ．-274、函数()f x '是函数()y f x =的导函数，且函数()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线 方程为000:()()()(),()()()l y g x f x x x f x F x f x g x '==-+=-如果()y f x =在区间[],a b 上的图像如图所示，且0a x b <<那么( )A ．00()0,F x x x '==是F(x) 的极大值点B ．00()0,F x x x '==是F(x) 的极小值点C ．00()0,F x x x '≠=不是F(x)的极值点D ．00()0,F x x x '≠=是F(x)极值点5、若函数321()(1)232bf x x x bx =-++在区间[]3,1-上不单调,则()f x 在R 上的极小值为( )A.423b -B.3223b - C.0D.2316b b -6、已知函数f x （）的定义域[15]﹣，，部分对应值如表，f x （）的导函数y f x '＝（）的图象如图所示，下列关于函数f x （）的结论正确的是（ ）x ﹣1 0 4 5 f x （）1221A ．函数f x （）的极大值点有2个B ．函数f x （）在[0]2，上是减函数C ．若1[]x t ∈﹣，时，f x （）的最大值是2，那么t 的最大值为4D ．当12a ＜＜时，函数y f x a ＝（）﹣有4个零点 7、函数3()3f x x ax a =--在()0,1内有最小值,则a 的取值范围是( )A. 01a ≤<B. 01a <<C. 11a -<<D. 102a << 8、函数ln xy x=的最大值为（ ） A.1e - B.e C.2e D.1039、设函数()e (21)x f x x ax a =--+,其中1a <,若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <,则a 的取值范围是( ) A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10、已知函数11()()2ln ()f x a x a R x x =--∈，()g x ax =-若至少存在一个01[,1]x e∈，使得()()00f x g x >，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1)+∞，B ．[1)+∞，C ．(0)+∞，D ．[0)+∞，11、若函数321()13f x x x mx =+++在R 上单调递增，则m 的取值范围是______.12、若函数32()21(R)f x x ax a =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为____________.13、若不等式22ln 3x x x ax ≥-+-对(0,)x ∈+∞恒成立,则实数a 的取值范围______.14、设函数()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数.若对任意的[],x a b ∈,都有()()f x g x -≤1,则称()f x 与()g x 在[],a b 上是“比邻函数”.若函数()ln f x x =与1()mx g x x-=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“比邻函数”,则实数m 的取值范围为_________. 15、已知函数()ln ,()(1)f x x x g x a x ==-. （1）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的值；（2）存在12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，12()()f x f x =，求证：0f '<．答案以及解析1答案及解析： 答案：C 解析：2答案及解析： 答案：B解析：由题意,可得()f x 的定义域为21(0,),'()2(21)ln 2()22(42)ln f x x x x x x x x x+∞=-+-⋅-+=-.由'()0f x <,可得(42)ln 0x x -<,所以420ln 0x x ->⎧⎨<⎩或420ln 0x x -<⎧⎨>⎩,解得112x <<,故函数()f x 的单调递减区间为1(,1)2,选B.3答案及解析： 答案：A 解析：4答案及解析： 答案：B解析：5答案及解析： 答案：A解析：由题意,得'()()(2)f x x b x =--.因为()f x 在区间[]3,1-上不单调,所以31b -<<.由'()0f x >,解得2x >或x b <;由'()0f x <,解得2b x <<.所以()f x 的极小值为4(2)23f b =-.故选A.6答案及解析： 答案：AB解析：解：由f x '（）的图象，当10240x x f x ≤'﹣＜或＜＜，（）＞，函数f x （）为增函数， 当02440x x f x ≤'＜＜或＜，（）＜，函数f x （）为减函数，即当0x ＝时，函数f x （）取得极大值，当4x ＝时，函数f x （）取得极大值，即函数f x （）有两个极大值点，故A 正确，函数f x （）在[0]2，上是减函数，故B 正确， 作出f x （）的图象如图：若1[]x t ∈﹣，时，f x （）的最大值是2，则t 满足05t ≤≤，即t 的最大值是5，故C 错误， 由0y f x a ＝（）﹣＝得f x a （）＝， 若21f ≤（），当12a ＜＜时，f x a （）＝有四个根，若12f a ＜（）＜，当12a ＜＜时，f x a （）＝不一定有四个根，有可能是2个，故函数y f x a ＝（）﹣有4个零点不一定正确，故D 错误，故正确的是A B ，， 故选：AB ．7答案及解析： 答案：B解析：设22()333()f x x a x a ==-'-,若0a =,则2'()3f x x =,当(0,1)x ∈时, '()0f x >,()f x 在(0,1)是增函数,所以无最小值,排除A 、C. 当12a =时, 21()32f x x ⎛⎫=- ⎝'⎪⎭,令'()0f x =，2x =∴当2x ⎛∈ ⎝⎭时, '()0f x <,()f x 是减函数;当2x ⎫∈⎪⎪⎝⎭时, '()0f x >.()f x 时增函数, ∴当22x =时, ()f x 有最小值,排除D,故选C.8答案及解析： 答案：A解析：9答案及解析：答案：D解析：由题意可知存在唯一的整数x,使得000e(21)x x ax a-<-,设()e(21),()xg x x h x ax a=-=-,由'()e(21)xg x x=+可知()g x在1(,)2-∞-上单调递减,在1(,)2-+∞上单调递增,作出()g x与()h x的大致图象如图所示,故(0)(0)(1)(1)h gh g>⎧⎨-≤-⎩,即132eaa<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩,所以312ea≤<,故选D.10答案及解析：答案：C解析：11答案及解析：答案：1m≥解析：12答案及解析：答案：-3解析：2'()622(3)(R)f x x ax x x a a=-=-∈,当0a≤时,'()0f x>在(0,)+∞上恒成立,则()f x在(0,)+∞上单调递增,又(0)1f=,所以此时()f x在(0,)+∞内无零点,不满足题意.当0a>时,由'()0f x>,得3ax>,由'()0f x<,得03ax<<,则()f x在(0,)3a上单调递减,在(,)3a+∞上单调递增.又()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点,所以3()10327a a f =-+=,得3a =,所以32()231f x x x =-+,则'()6(1)f x x x =-,当(1,0)x ∈-时,'()0,()f x f x >单调递增,当(0,1)x ∈时,'()0,()f x f x <单调递减,则max ()(0)1,(1)4,(1)0f x f f f ==-=-=,则min ()4f x =-,所以()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为-3.13答案及解析： 答案：(,4]-∞ 解析：14答案及解析： 答案：[]e 2,2-解析：因为函数()ln f x x =与1()mx g x x -=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“比邻函数”,所以对任意的1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有()()1f x g x -≤,即1ln 1x m x +-≤,从而11ln 1m x m x-≤+≤+.令11()ln (e)e h x x x x =+≤≤,则22111'()x h x x x x -=-=,从而()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在[]1,e 上单调递增,所以()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为(1)1h =,又1()(e)e h h >,最大值为1()e 1e h =-,所以11m -≤且1e 1m +≥-,解得e 22m -≤≤.15答案及解析：答案：解：（1）()()ln 0a f x g x x a x ≥⇔+-≥ 令()ln ,()a x ah x x a h x x x-'=+-= 当0a ≤时，()0,(1)0h x h '>=，则(0,1)x ∈，()0h x <，不符合题意，舍去. 当0a >时，(0,)a 是减区间，(,)a +∞是增区间所以，min ()()ln 1h x h a a a ==+- 令1()ln 1,()xF x x x F x x-'=+-=()F x 在0,1（）递增，(1,)+∞递减 max ()(1)0F x F ==()0F x ≤，在1x =取等号，即：1a =. （2）()ln ()1ln f x x x f x x '=⇔=+()f x 在1(0,)e 递减；在1(,)e +∞递增，(1)0f =由12()()f x f x =可知12101x x e<<<<由121122()()ln ,ln f x f x k x x k x x k ==⇒== 12211221121221122112ln ln ln ln ln ln ln ln x x x x k x x x x x x x x x x x x x x kx x -⎧-=⎪⋅--⎪⇒=⎨+++⎪+=⎪⋅⎩要证0f '<成立 只需证：121221ln ln 2x x x x e ⋅<⇔+<-由(*)可知：即证22121121ln 1x x x x x x ->+令21x t x =，即证：21ln (1)1t t t t ->>+令2(1)21()ln (1),()01(1)t t h t t t h t t t t --'=->=>++ 所以，21()(1)0,ln (1)1t h t h t t t ->=>>+ 所以，12ln ln 2x x +<-所以，0f '<. 解析：。
高二数学寒假作业 专题14 导数在研究函数中的应用(二)(练)(含解析)
专题14 导数在研究函数中的应用（二）【练一练】一．选择题1．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】试题分析：∵)(xf'=3x2+2ax+3，又f（x）在x=﹣3时取得极值，∴f′（﹣3）=30﹣6a=0，则a=5．2. 若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A.2B.3C.6D.93. 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数)(xf'在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A4. 函数)(xf=1+3x﹣x3有（）A. 极小值﹣1，极大值1B. 极小值﹣2，极大值3C. 极小值﹣2，极大值2D. 极小值﹣1，极大值3 【答案】D【解析】试题分析：)(x f '=3（1+x ）（1﹣x ）．令)(x f '=0得x1=﹣1，x2=1．当x ＜﹣1或x ＞1时，)(x f '＜0，)(x f 是减函数；当﹣1＜x ＜1时，)(x f '＞0，)(x f 是增函数；∴当x=﹣1时，)(x f 有极小值﹣1；当x=1时，)(x f 有极大值3．5. 函数f(x)＝x3－3x －m 在[0,2]上有零点，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．以上都不对二、填空题6. 函数f(x)＝x3＋ax2－3x －9，已知f (x)在x ＝－3时取到极值，则a ＝________.【答案】4【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋2ax －3，由已知得f′(－3)＝27－6a －3＝0，∴a ＝4，经检验a ＝4为所求．7. 函数y ＝12x ＋cosx ，x ∈]2,2[ππ-的最大值为________．三．解答题8.已知函数f(x)＝x3－12x2－2x. (1) 求f(x)的极值；(2) 当x ∈[－1,2]时，f(x)＜m 恒成立，求实数m 的取值范围．。
高二数学寒假作业 专题13 导数在研究函数中的应用(一)(练)(含解析)(1)
专题13 导数在研究函数中的应用（一）【练一练】一．选择题 1．函数f(x)＝x ＋e lnx 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R【答案】A【解析】试题分析：函数定义域为(0，＋∞)，)(x f '＝1＋e x>0，故单调增区间是(0，＋∞)． 2．若f(x)＝lnx x，e<a<b ，则( ) A ．f(a)>f(b) B ．f(a)＝f(b) C ．f(a)<f(b) D ．f(a)f(b)>13. 若函数f(x)＝x2＋ax ＋1x 在),21(+∞是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞)4. 已知函数f （x ）=x2+2x+a lnx ，若函数f （x ）在（0，1）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. a ＜﹣4B. a ≥0C. a ≤﹣4D. a ＞0【答案】B 【解析】x a x x f ++='22)(（x ＞0）．有题意知)(x f '≥0在（0，1）上恒成立．∴022≥++x a x ，x ∈（0，1）⇔a ≥（﹣2x2﹣2x ）max ，x ∈（0，1）．令g （x ）21)21(22++-=x ，则g （x ）在（0，1）单调递减．∴g （x ）＜g （0）=0．∴a ≥0．5．设函数f(x)的定义域为R ，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f(x)≤f(x0)B ．－x0是f(－x)的极小值点C ．－x0是－f(x)的极小值点D ．－x0是－f(－x)的极小值点二、填空题6. 函数f(x)＝x3－15x2－33x ＋6的单调减区间为________．【答案】(－1,11)【解析】)(x f '＝3x2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)．由(x －11)(x ＋1)<0，得单调减区间为(－1,11)．7. 已知函数f(x)＝－12x2＋blnx 在区间(1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．【答案】(－∞，1]【解析】)(x f '＝－x ＋b x ≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b ≤x2在(1，＋∞)上恒成立．三．解答题 8.设f(x)＝a(x －5)2＋6lnx ，其中a ∈R ，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．。
导数在研究函数中的应用基础训练
导数在研究函数中的应用基础训练一．选择题（共17小题）1．曲线在点（0，0）处的切线的方程为（）A．y＝﹣x B．y＝3x C．y＝0D．y＝4x2．设函数f（x）＝alnx+bx2，若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x，则函数y＝f（x）的增区间为（）A．（0，1）B．（0，）C．（，+∞）D．（，1）3．函数，若a＝f（4），b＝f（5.3），c＝f（6.2），则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c4．已知函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．﹣4是函数f（x）的极小值点B．﹣1是函数f（x）的极小值点C．函数f（x）在区间（﹣4，1）上单调递减D．函数f（x）在区间（﹣4，﹣1）上先增后减5．设f（x）的定义在R上的函数，其导函数为f'（x），且满足f（x）+xf'（x）＞0，若a＝f （1），b＝2f（2），c＝3f（3），则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．c＞a＞b6．若定义在R上的函数y＝f（x）的图象如图所示，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式（x+2）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣3，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣3，﹣1）∪（0，1）D．（﹣3，﹣2）∪（﹣1，1）7．函数f（x）＝﹣lnx+2x2的递增区间是（）A．和B．C．D．8．若函数f（x）＝x3﹣ax2（a＞0）的极大值点为a﹣2，则a＝（）A．1B．2C．4D．69．函数f（x）＝x3﹣12x在区间[﹣3，1]上的最小值是（）A．﹣10B．﹣11C．﹣15D．﹣1810．已知函数，则其单调增区间是（）A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（0，1]D．[0，1]11．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．12．若函数在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2] 13．已知函数，则下列选项正确的是（）A．f（e）＜f（π）＜f（2.7）B．f（π）＜f（e）＜f（2.7）C．f（e）＜f（2.7）＜f（π）D．f（2.7）＜f（e）＜f（π）14．函数f（x）＝sin|x|+cos x在x∈[﹣π，π]上的单调增区间为（）A．和B．C．和D．和15．已知函数f（x）＝lnx﹣x+a﹣1，若存在x∈（0，+∞），使得f（x）≥0成立，则实数a 的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，2]16．若函数y＝f（x）的导函数图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能为（）A．B．C．D．17．若a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c导数在研究函数中的应用基础训练参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．曲线在点（0，0）处的切线的方程为（）A．y＝﹣x B．y＝3x C．y＝0D．y＝4x【分析】求出函数的导数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解切线方程．【解答】解：曲线，可得，f'（0）＝3，则切线方程为y＝3x．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．2．设函数f（x）＝alnx+bx2，若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x，则函数y＝f（x）的增区间为（）A．（0，1）B．（0，）C．（，+∞）D．（，1）【分析】求出原函数的导函数，再由已知列关于a，b的方程组，求得a与b的值，代入导函数解析式，由导函数大于0可得函数f（x）的增区间．【解答】解：由f（x）＝alnx+bx2，得f′（x）＝，又函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x，∴，则a＝﹣1，b＝1．∴f′（x）＝，由f′（x）＝＞0，得x2＞，又x＞0，∴x＞，即函数y＝f（x）的增区间为（，+∞）．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，是中档题．3．函数，若a＝f（4），b＝f（5.3），c＝f（6.2），则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，判断函数值的大小即可．【解答】解：，定义域是（0，+∞），f′（x）＝，（x＞0），令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，故f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，∵e＜4＜5.3＜6.2，∴f（4）＞f（5.3）＞f（6.2），即a＞b＞c，故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是基础题．4．已知函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．﹣4是函数f（x）的极小值点B．﹣1是函数f（x）的极小值点C．函数f（x）在区间（﹣4，1）上单调递减D．函数f（x）在区间（﹣4，﹣1）上先增后减【分析】结合导函数的图象，求出函数的单调区间，从而判断各个选项．【解答】解：结合导函数的图象，可知f（x）在（﹣∞，﹣4）单调递减，在（﹣4，+∞）单调递增，所以﹣4是函数f（x）的极小值点，故A正确；﹣1不是f（x）的极值点，故B错误；函数f（x）在区间（﹣4，1）上单调递增，故C错误；函数f（x）在区间（﹣4，﹣1）上单调递增，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用以及数形结合思想，属于基础题．5．设f（x）的定义在R上的函数，其导函数为f'（x），且满足f（x）+xf'（x）＞0，若a＝f （1），b＝2f（2），c＝3f（3），则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．c＞a＞b【分析】令g（x）＝xf（x），根据函数的单调性判断a，b，c的大小即可．【解答】解：因为f（x）满足f（x）+xf'（x）＞0，令g（x）＝xf（x），则g'（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，所以g（x）在R上是增函数，所以g（1）＜g（2）＜g（3），即f（1）＜2f（2）＜3f（3），故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查函数值的大小比较，是基础题．6．若定义在R上的函数y＝f（x）的图象如图所示，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式（x+2）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣3，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣3，﹣1）∪（0，1）D．（﹣3，﹣2）∪（﹣1，1）【分析】根据f（x）的图象，求出函数的单调区间，求出f′（x）＞0以及f′（x）＜0时的x的范围，解不等式组，求出不等式的解集即可．【解答】解：根据函数f（x）的图象，f（x）在（﹣∞，﹣3）递减，在（﹣3，﹣1）递增，在∪（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增，故x∈（﹣∞，﹣3），（﹣1，1）时，f′（x）＜0，x∈（﹣3，﹣1），（1，+∞）时，f′（x）＞0，由（x+2）f′（x）＞0，得，解得：x＜﹣3或﹣2＜x＜﹣1或x＞1，故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．7．函数f（x）＝﹣lnx+2x2的递增区间是（）A．和B．C．D．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝﹣+4x＝，令f′（x）＞0，解得：x＞，故f（x）在（，+∞）递增，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是基础题．8．若函数f（x）＝x3﹣ax2（a＞0）的极大值点为a﹣2，则a＝（）A．1B．2C．4D．6【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值推出结果．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣2ax．当x＜0或时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0．所以f（x）的极大值点为0，则a﹣2＝0，解得a＝2．故选：B．【点评】本题考查导数的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养，是基础题．9．函数f（x）＝x3﹣12x在区间[﹣3，1]上的最小值是（）A．﹣10B．﹣11C．﹣15D．﹣18【分析】求导数f′（x），利用导数判断f（x）的单调性，由单调性求极值，再与端点处函数值作比较，可得函数最值．【解答】解：f′（x）＝﹣12+3x2＝3（x+2）（x﹣2），当﹣3≤x＜﹣2时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣2＜x≤1时，f′（x）＜0，f（x）递减，所以当x＝﹣2时f（x）取得极大值，即最大值，为f（﹣2）＝16，又f（﹣3）＝9，f（1）＝﹣11，所以f（x）的最小值为f（1）＝﹣11．故选：B．【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，属中档题．10．已知函数，则其单调增区间是（）A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（0，1]D．[0，1]【分析】对f（x）求导，令f′（x）＞0，即可求得结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），f′（x）＝x﹣＝，令f′（x）＞0，解得x＞1，所以f（x）的单调增区间为（1，+∞）．故选：A．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．11．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在点处的导数，再由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由，得，∴＝，则曲线在点处的切线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣），即2x+y﹣．故选：D．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是中档题．12．若函数在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]【分析】求出导函数f′（x），由题意可得f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，即可求解k的取值范围．【解答】解：由，得f′（x）＝k﹣﹣（x＞0），由函数f（x）＝kx﹣lnx+在区间（1，+∞）单调递增，得f′（x）＝k﹣﹣≥0在（1，+∞）上恒成立，即k≥+在（1，+∞）上恒成立，令t＝，0＜t＜1，则g（t）＝t+t2＝（t+）2﹣，∴g（t）＜g（1）＝2，∴k≥2．即k的取值范围是[2，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想的应用，属于中档题．13．已知函数，则下列选项正确的是（）A．f（e）＜f（π）＜f（2.7）B．f（π）＜f（e）＜f（2.7）C．f（e）＜f（2.7）＜f（π）D．f（2.7）＜f（e）＜f（π）【分析】求出函数的导数，得到函数的单调性求出答案即可．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），∵f′（x）＝+＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，∵2.7＜e＜π，∴f（2.7）＜f（e）＜f（π），故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题．14．函数f（x）＝sin|x|+cos x在x∈[﹣π，π]上的单调增区间为（）A．和B．C．和D．和【分析】求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调递增区间即可．【解答】解：∵f（x）＝sin|x|+cos x，x∈[﹣π，π]，∴f（x）＝，∴f′（x）＝，在[0，]上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在[﹣π，﹣]上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故选：A．【点评】本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是基础题．15．已知函数f（x）＝lnx﹣x+a﹣1，若存在x∈（0，+∞），使得f（x）≥0成立，则实数a 的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，2]【分析】对f（x）求导，判断f（x）的单调性，求出f（x）最大值，根据存在x∈（0，+∞），使得f（x）≥0成立，得到f（x）max≥0，再求出a的取值范围．【解答】解：由f（x）＝lnx﹣x+a﹣1，得f'（x）＝，令f'（x）＝0，则x＝1，∴当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减，∴f（x）max＝f（1）＝a﹣2，∵存在x∈（0，+∞），使得f（x）≥0成立，∴只需f（x）max＝a﹣2≥0，∴a≥2，∴a的取值范围为[2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，不等式有解问题，考查了转化思想，属基础题．16．若函数y＝f（x）的导函数图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能为（）A．B．C．D．【分析】根据f′（x）的图象，分别判断函数的单调性即可．【解答】解：设f′（x）＝0的两个根分别为a，b，0＜a＜b，则当x＜a时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，排除选项A和D；当a＜x＜b时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，当x＞b时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，∵0＜a＜b，∴选项B不成立，选项C成立，则对应的图象为C，故选：C．【点评】本题主要考查函数单调性与导数之间的关系，结合图象判断函数的单调性是解决本题的关键，是基础题．17．若a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【分析】设f（x）＝，利用导数求得函数的单调区间，从而可比较函数值的大小．【解答】解：设f（x）＝，f′（x）＝，令f′（x）＞0，可得0＜x＜e，令f′（x）＜0，可得x＞e，所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，因为e＜4＜5.3＜6，所以f（4）＞f（5.3）＞f（6），即＞＞，即a＞b＞c．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于中档题．。
(完整版)导数在研究函数中的应用(含标准答案)
5
hing at a time and All things in their being are good for somethin
导数在研究函数中的应用
A．
1 2
,
3 2
B．
1,
5 4
C．
1,
3 2
D．
1,
3 2
2.若函数 y x3 2ax a 在 0,1内无极值，则实数 a 的取值范围是（ ）
________． 5．设 x1，x2 是函数 f(x)＝x3－2ax2＋a2x 的两个极值点，若 x1<2<x2，则实数 a 的取值范围是
________． 6．若函数 f(x)＝x2－ex－ax 在 R 上存在单调递增区间，则实数 a 的取值范围是________．
三、解答题
a 7．已知函数 f(x)＝x－2ln x－x＋1，g(x)＝ex(2ln x－x)．
称点 x0 x0 为函数 y＝f(x)的极小值点，其函数值 f( x0 )为函数的极小值．极大值与极小值统
称为_______，极大值点与极小值点统称为极值点．
5．函数的最值与导数
1．函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值点 x0 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 _________f( x0 )． 2．函数 y＝f(x)在[a，b]上的最小值点 x0 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 _________f( x0 )． 二、自我查验
(1)若函数 f(x)在定义域上是增函数，求 a 的取值范围；(2)求 g(x)的最大值．
8．设函数 f(x)＝(x－1)ex－kx2(其中 k∈R)． (1)当 k＝1 时，求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)当 k∈[0，＋∞)时，证明函数 f(x)在 R 上有且只有一个零点．
(全国通用)高考数学2.11导数在研究函数中的应用练习
（全国通用）高考数学2.11导数在研究函数中的应用练习导数在研究函数中的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·厦门模拟)函数f(x)=xln x,则()A.在(0,+∞)上递增B.在(0,+∞)上递减C.在(0,1e)上递增 D.在(0,1e)上递减【解析】选D.因为函数f(x)=x ln x,所以f′(x)=ln x+1,f′(x)>0,解得x>1e,则函数的单调递增区间为(1e,+∞),又f′(x)<0,解得0<x<1e,则函数的单调递减区间为（0,1e）,故选D.2.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1既有极大值又有极小值,则a的取值范围为()A.a<-1或a>2B.-3<a<6C.-1<a<2D.a<-3或a>6【解题提示】求导,令导数等于零,转化为方程在R上的实数根的情况求解.【解析】选 D.由已知得:f′(x)=3x2+2ax+a+6=0在R上有两个不相等的实根,所以Δ=(2a)2-12(a+6)>0,解得:a<-3或a>6,故选D.【加固训练】设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x),f′(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),若在(a,b)上,f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知当m≤2时,f(x)=16x3-12mx2+x在(-1,2)上是“凸函数”,则f(x)在(-1,2)上()A.既有极大值,也有极小值B.既有极大值,也有最小值C.有极大值,没有极小值D.没有极大值,也没有极小值【解析】选C.由题设可知:f″(x)<0在(-1,2)上恒成立,由于f′(x)=12x2-mx+1,从而f″(x)=x-m,所以有x-m<0在(-1,2)上恒成立,故知m≥2,又因为m≤2,所以m=2;从而f(x)=16x3-x2+x,令f′(x)=12x2-2x+1=0得2∈2∉(-1,2);且当x∈2)时f′(x)>0,当x∈2,2)时f′(x)<0,所以在(-1,2)上f(x)在2处取得极大值,没有极小值.3.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是()A.-2B.0C.2D.4 【解析】选C.f ′(x)=3x2-6x=3x(x-2),因为-1≤x ≤1,所以令f ′(x)>0得-1≤x<0,令f ′(x)<0得0<x ≤1,所以函数f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减.所以x=0时函数f(x)取得极大值同时也是最大值,即f(x)max=f(0)=2,故C 正确.4.若函数f(x)=x2+ax+1x 在(12,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是( )A.[-1,0]B.[-1,+∞)C.[0,3]D.[3,+∞)【解题提示】由函数f(x)=x2+ax+1x 在(12,+∞)上是增函数,可得f ′(x)=2x+a-21x ≥0在(12,+∞)上恒成立,进而可转化为a ≥21x -2x 在(12,+∞)上恒成立,构造函数求解. 【解析】选D.因为f(x)=x2+ax+1x 在(12,+∞)上是增函数,故f ′(x)=2x+a-21x ≥0在(12,+∞)上恒成立,即a ≥21x -2x 在(12,+∞)上恒成立,令h(x)= 21x -2x,则h ′(x)=32x-2.当x ∈(12,+∞)时,h ′(x)<0,则h(x)为减函数, 所以h(x)<h 1()2=3,所以a ≥3,故选D.5.(2015·兰州模拟)设函数f(x)在R 上可导,其导函数为f ′(x),且函数y=(1-x)f ′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( ) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)【解析】选D.由图象知,f ′(-2)=f ′(2)=0,且当x<-2时,f ′(x)>0,-2<x<1, 1<x<2时,f ′(x)<0,当x>2时,f ′(x)>0,故f(-2)是极大值,f(2)是极小值. 二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数f(x)=(ax2+x)-xln x 在[1,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 . 【解题提示】求导利用导数大于等于0转化为恒成立问题,再构造函数求解.【解析】由题意知:f ′(x)=2ax+1-(ln x+1)≥0,即a ≥lnx2x 在x ∈[1,+∞)上恒成立;设g(x)= lnx2x,令g′(x)=21lnx2x-=0,解得x=e,当x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,当x∈[1,e)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,故g(x)的最大值为g(e)=12e,即a≥12e.答案:a≥1 2e7.(2015·银川模拟)函数f(x)=x(x-m)2在x=1处取得极小值,则m=.【解析】f′(1)=0可得m=1或m=3.当m=3时,f′(x)=3(x-1)(x-3),1<x<3时,f′(x)<0;x<1或x>3时,f′(x)>0,此时x=1处取得极大值,不合题意,所以m=1.答案:1【误区警示】本题易出现求出m值后不进行验证能否在x=1处取得极小值,导致解题错误.8.(2015·湖南十二校联考)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表:x -1 0 2 4 5f(x) 1 2 0 2 1f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则f(x)的极小值为.x (-1,0) 0 (0,2) 2 (2,4) 4 (4,5) f′(x) + 0 - 0 + 0 -f(x) ↗极大值↘极小值↗极大值↘答案:0三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·东北三省四市联考)已知函数f(x)=ln x,g(x)=(x-a)2+(ln x-a)2.(1)求函数f(x)在A(1,0)处的切线方程.(2)若g′(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f′(x)=1x,所以f′(1)=1,故切线方程为y=x-1.(2)g′(x)=a lnx2(x a)x x-+-,令F(x)=x-a lnxx x+-a,则y=F(x)在[1,+∞)上单调递增,F′(x)=22x lnx a1x-++,则当x≥1时,x2-ln x+a+1≥0恒成立,即当x≥1时,a≥-x2+ln x-1恒成立.令G(x)=-x2+ln x-1,则当x≥1时,G′(x)=212xx-<0,故G(x)=-x2+ln x-1在[1,+∞)上单调递减,从而G(x)max=G(1)=-2,故a≥G(x)max=-2,即a的取值范围为a≥-2.10.(2014·安徽高考)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性.(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时x的值. 【解析】(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=1+a-2x-3x2,令f′(x)=0得x1=143a3-+,x2=143a3-++,x1<x2,所以f′(x)=-3(x-x1)(x-x2), 当x<x1或x>x2时f′(x)<0; 当x1<x<x2时f′(x)>0.所以f(x)在143a(,3--+-∞和143a()3-+++∞内单调递减,在143a143a(33-+-++内单调递增.(2)因为a>0,所以x1<0,x2>0.①当a≥4时,x2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.②当0<a<4时,x2<1,由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减.所以f(x)在x=x2=143a3-+处取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所以当0<a<1时,f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时,f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值;当1<a<4时,f(x)在x=0处取得最小值.【加固训练】(2014·马鞍山模拟)已知函数f(x)=ln x-ax2+(a-2)x.(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值.(2)求函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值.【解析】(1)因为f(x)=ln x-ax2+(a-2)x,所以函数的定义域为(0,+∞),所以f′(x)=()()()()212ax a2x2x1ax1 12ax a2. x x x-+---+-+-==因为f(x)在x=1处取得极值,即f′(1)=-(2-1)(a+1)=0,所以a=-1.当a=-1时,在(12,1)内f′(x)<0,在(1,+∞)内f′(x)>0,所以x=1是函数f(x)的极小值点,所以a=-1.(2)因为a2<a,所以0<a<1,f′(x)=()()()()212ax a2x2x1ax1 12ax a2. x x x-+--+-+-==-因为x∈(0,+∞),所以ax+1>0,所以f(x)在（0,12）上单调递增;在（12,+∞）上单调递减.①当0<a≤12时,f(x)在[a2,a]上单调递增,所以f(x)max=f(a)=ln a-a3+a2-2a.②当21a,21a,2⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即12a22<<时,f(x)在21(a,)2上单调递增,在1(,a)2上单调递减,所以f(x)max=f(12)=a a2aln21ln2424---+=--;③当12≤a2,即22≤a<1时,f(x)在[a2,a]上单调递减,所以f(x)max=f(a2)=2ln a-a5+a3-2a2.综上所述,当0<a≤12时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是ln a-a3+a2-2a;当12a22<<时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是a4-1-ln 2;当22≤a<1时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是2ln a-a5+a3-2a2.(20分钟40分)1.(5分)若函数f(x)=3211x ax32-+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2]B.[5,7]C.[4,6]D.(-∞,5]∪[7,+∞)【解题提示】求出原函数的导函数,求得导函数的零点1,a-1,然后讨论1与a-1的大小,分析导函数在不同区间内的符号,从而得到原函数在不同区间内的单调性,最后借助已知条件得到a-1与4和6的关系,则答案可求.【解析】选B.由函数f(x)=3211x ax32-+(a-1)x+1,得f′(x)=x2-ax+a-1.令f′(x)=0,解得x=1或x=a-1.当a-1≤1,即a≤2时,f′(x)在(1,+∞)上大于0,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意;当a-1>1,即a>2时,f′(x)在(-∞,1)上大于0,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,f′(x)在(1,a-1)内小于0,函数f(x)在(1,a-1)内为减函数,f′(x)在(a-1,+∞)内大于0,函数f(x)在(a-1,+∞)上为增函数.依题意应有:当x∈(1,4)时,f′(x)<0,当x∈(6,+∞)时,f′(x)>0,所以4≤a-1≤6,解得5≤a≤7,所以a的取值范围是[5,7],故选B.2.(5分)(2015·安阳模拟)函数f(x)=ax3+bx2+cx-34(a,b,c∈R)的导函数为f′(x),若不等式f′(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤3},且f(x)的极小值等于-115,则a的值为()A.-8122 B.13 C.2 D.5【解析】选C.由已知可知f′(x)=3ax2+2bx+c,由3ax2+2bx+c≤0的解集为{x|-2≤x≤3}可知a>0,且-2,3是方程3ax2+2bx+c=0的两根,则由根与系数的关系知2b c1,6,3a3a=-=-所以3ab2=-,c=-18a,此时f(x)=ax3-3a2x2-18ax-34,当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;当x∈(-2,3)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当x∈(3,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,所以f(3)为f(x)的极小值,且f(3)=27a-27a2-54a-34=-115,解得a=2,故选C.3.(5分)(2014·辽宁高考)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.[-5,-3]B.[-6,-9 8]C.[-6,-2]D.[-4,-3]【解析】选C.当x∈(0,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0⇒a≥23x4x3x--,x∈(0,1]恒成立.令g(x)= 23x 4x 3x --,x ∈(0,1], 则g ′(x)=24x 8x 9x -++,x ∈(0,1],设h(x)=-x2+8x+9,h(x)在(0,1]上为增函数,h(x)>h(0)=9>0,所以x ∈(0,1]时,g ′(x)= 24x 8x 9x -++>0, 则g(x)= 23x 4x 3x --在(0,1]上为增函数,g(x)= 23x 4x 3x --,x ∈(0,1]的最大值g(x)max=g(1)=-6,从而a ≥-6.当x=0时,a ∈R.当x ∈[-2,0)时,不等式ax3-x2+4x+3≥0⇒a ≤23x 4x 3x --,x ∈[-2,0)恒成立.()24x 8x 9g x 0,x x [2,0)⎧-++'=>⎪⎨⎪∈-⎩⇒-1<x<0, ()24x 8x 9g x 0,x x [2,0)⎧-++'=<⎪⎨⎪∈-⎩⇒-2≤x<-1.所以g(x)= 23x 4x 3x --在[-2,-1)上为减函数,在(-1,0)上为增函数,故g(x)min=g(-1)=-2,则a ≤-2.综上所述,-6≤a ≤-2.4.(12分)(2015·兰州模拟)已知函数f(x)=ax +ln x-2,g(x)=ln x+2x.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切?请说明理由.【解题提示】(1)对函数f(x)求导,当导数f ′(x)大于0时可求单调增区间,当导数f ′(x)小于0时可求单调减区间.(2)先表示出过点(2,5)与曲线y=g(x)相切的直线,进而假设函数,可求得切线的条数.【解析】(1)由题意得,函数的定义域为(0,+∞),f ′(x)=221a x a x xx --=.当a ≤0时,f ′(x)>0恒成立,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),当a>0时,令 f ′(x)>0,x>a,令f ′(x)<0,0<x<a.故f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a).(2)设切点为(m,n),g ′(x)=1x +2, 所以1n 52mm 2-+=-,n=ln m+2m, 所以ln m+2m -2=0,令h(x)=ln x+2x -2,所以h ′(x)=212x x -, 由导数为0可得,x=2,所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,因为h(12)>0,h(2)=ln 2-1<0,所以h(x)与x 轴有两个交点,所以过点(2,5)可作2条曲线y=g(x)的切线.5.(13分)(2014·山东高考)设函数f(x)=x 2e 2k(lnx)x x -+ (k 为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数).(1)当k ≤0时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k 的取值范围. 【解析】(1)函数y=f(x)的定义域为(0,+∞).f ′(x)=2x x 42x e 2xe 21k()x x x ---+ ()()()xx x 323x 2e kx k x 2xe 2e .x x x ----=-=由k ≤0可得ex-kx>0,所以当x ∈(0,2)时,f ′(x)<0,函数y=f(x)单调递减, x ∈(2,+∞)时,f ′(x)>0,函数y=f(x)单调递增.所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞). (2)由(1)知,k ≤0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减, 故f(x)在(0,2)内不存在极值点;当k>0时,设函数g(x)=ex-kx,x ∈(0,+∞). 因为g ′(x)=ex-k=ex-eln k,当0<k ≤1时,当x ∈(0,2)时,g ′(x)=ex-k>0,y=g(x)单调递增, 故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点;当k>1时,x ∈(0,ln k)时,g ′(x)<0,函数y=g(x)单调递减,x∈(ln k,+∞)时,g′(x)>0,函数y=g(x)单调递增. 所以函数y=g(x)的最小值为g(ln k)=k(1-ln k), 函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,当且仅当()()g00,g(lnk)0,g20,0lnk 2.>⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩解得e<k<2e2.综上所述,函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k的取值范围为（e,2e 2）.。
高二数学导数在研究函数中的应用试题
高二数学导数在研究函数中的应用试题1.函数在区间上是（）A．单调增函数B．单调减函数C．在上是单调减函数，在上是单调增函数D．在上是单调增函数，在上是单调减函数【答案】Ｃ【解析】主要考查导数在研究函数的单调性等方面的应用。
解：函数定义域为。
由得，所以函数在区间上是“在上是单调减函数，在上是单调增函数”，故选C。
2.已知函数的图象与轴相切于极大值为，极小值为（）A．极大值为，极小值为0B．极大值为0，极小值为C．极大值为0，极小值为D．极大值为，极小值为0【答案】Ａ【解析】主要考查导数在研究函数的单调性、极值、导数的几何意义等方面的应用。
结合选项可知，只有A符合题意，故选A。
3.函数在上取最大值时，的值为（）A．0B．C．D．【答案】Ｂ【解析】主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值等方面的应用。
解：由=0得，所以选B。
4.函数的极值点为，，则，．【答案】【解析】主要考查导数在研究函数的单调性、极值等方面的应用。
解：即，时，的导数为0. 而，所以，解得。
5.函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】4【解析】主要考查导数在研究函数的单调性等方面的应用。
函数中没有，是一道错题。
6.函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】【解析】主要考查导数在研究函数的单调性等方面的应用。
解：即的导数在恒成立。
显然0，所以，解得，故实数的取值范围是。
7.函数在上的值域为．【答案】【解析】主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值等方面的应用。
利用导数求函数的最大值、最小值，确定得到值域为。
8.在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图所示．当为时，正三棱柱的体积最大，最大值是．【答案】【解析】主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值等方面的应用。
解：依题意知，正三棱柱的底面边长为，高为，所以其体积为，令其导数为0，所以为时，体积最大为。
9.已知，证明不等式．【答案】见解析【解析】主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值、不等式证明等方面的应用。
高二数学寒假作业 专题13 导数在研究函数中的应用一测含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校专题13导数在研究函数中的应用〔一〕【测一测】一．选择题1．设函数f(x)＝＋lnx，那么()A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点2．函数f〔x〕=x3﹣mx2+4x在[1，3]上是单调增函数，那么实数m的取值范围是〔〕A.5≤m B.313≤mC.4≤m D.316≤m3.函数f〔x〕的定义域为〔﹣2，2〕，其导函数)(xf'=2x+2cosx且f〔0〕=0，那么关于实数x的不等式f〔x﹣2〕+f〔x2﹣2x〕＞0的解集为〔〕A.〔0，1+〕B.〔2，4〕C.〔﹣∞，﹣1〕∪〔2，+∞〕D.〔2，1+〕【答案】D【解析】试题分析：)(xf'=x2+2cosx知f〔x〕=31x3+2sinx+c而f〔0〕=0，∴c=0，即f〔x〕=x3+2sinx易知，此函数是奇函数，且在整个区间单调递增，因为f'〔x〕=x2+2cosx在x∈〔0，2〕恒大于0根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的f〔x﹣2〕+f〔x2﹣2x〕＞0，f〔x﹣2〕＞﹣f〔x2﹣2x〕，即：f〔x﹣2〕＞f〔2x﹣x2〕∴⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-2222222222xxxxxx，解得：x∈〔2，1+〕4.假设函数f〔x〕=3x+ax﹣2在区间〔1，+∞〕内是增函数，那么实数a的取值范围是〔〕A.[﹣3，+∞〕B.〔﹣3，+∞〕C.[0，+∞〕D.〔0，+∞〕5.假设函数f〔x〕的导函数)(xf'=2x﹣4x+3，那么函数f〔x+1〕的单调递减区间是〔〕A.〔﹣∞，2〕B.〔﹣∞，1〕C.〔1，3〕D.〔0，2〕6．定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为)(xf'，当x∈(－∞，0]时，恒有x)(xf'<f(－x)，令F(x)＝xf(x)，那么满足F(3)>F(2x－1)的实数x的取值范围是()A．(－1,2)B.)21,1(-C.)2,21(D．(－2,1)7．定义在R上的函数f(x)，其导函数)(xf'的大致图像如下列图，那么以下表达正确的选项是()f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e) C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d)8.奇函数f〔x〕的定义域为〔﹣1，1〕，且满足)(xf'＜0，f〔a﹣2〕＜﹣f〔2a﹣3〕，那么a的取值范围是〔〕A. B.〔1，2〕C. D.【答案】D【解析】7题试题分析：由)(xf'＜0，得函数f〔x〕在定义域内为减函数，又f〔x〕为定义域为〔﹣1，1〕上的奇函数，所以f〔a﹣2〕＜﹣f〔2a﹣3〕⇔f〔a﹣2〕＜f〔﹣2a+3〕⇔⎪⎩⎪⎨⎧+->-<+-<-<-<-3221321121aaaa，解得．9.定义在R上的函数f〔x〕满足f〔4〕=1．)(xf'为f〔x〕的导函数，函数y=)(xf'的图象如右图所示．假设两正数a，b满足f〔2a+b〕＜1，那么的取值范围是〔〕A. B.〔〕C.〔，3〕D.〔3，+∞〕【答案】C【解析】10.函数f〔x〕=x3+ax2+bx+c，假设f〔x〕在区间〔﹣1，0〕上单调递减，那么a2+b2的取值范围〔〕A. B. C. D.二、填空题11．函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，那么实数m的取值范围是__________．9题【答案】(－∞，－3)∪(6，＋∞)【解析】试题分析：f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m2－12×(m＋6)>0.所以m>6或者m<－3.12.假设a＝，b＝，c＝，那么a、b、c的大小关系为________(用“>〞连接)．【答案】a>b>c【解析】试题分析：构造函数y＝(x>0)，由y′＝，令y′＝0，x＝e，且当x∈(e，＋∞)时，y′<0，即函数在(e，＋∞)上为减函数，∵e<3<5<8，∴a>b>c.13．以下列图是函数y＝f(x)的导函数的图像，给出下面四个判断．①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；13题③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；④x＝3是f(x)的极小值点．其中，所有正确判断的序号是__________．【答案】②③【解析】试题分析：由函数y＝f(x)的导函数的图像可知：(1)f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2)f(x)在x＝－1处获得极小值，在x＝2处获得极大值．14.函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行．假设f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，那么实数t的取值范围是________．三．解答题15.函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．答案：(1)a＝4，b＝4；(2)f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减，f(x)的极大值为4(1－e－2)．解析：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由得f(0)＝4，f′(0)＝4.16.函数f(x)＝x3－ax－1.(1)假设a＝3时，求f(x)的单调区间；(2)假设f(x)在实数集R上单调递增，务实数a的取值范围；(3)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？假设存在，求出a的取值范围；假设不存在，说明理由．。
高三数学 15.导数在研究函数中的应用专项训练 理 试题
卜人入州八九几市潮王学校导数在研究函数中的应用1.函数的单调性.设函数y=f〔x〕在某个区间内可导,假设f′〔x〕＞0,那么f〔x〕为;假设f′〔x〕＜0,那么f〔x〕为.2.求可导函数f〔x〕极值的步骤.①求.②求方程的根.③检验f′〔x〕在方程f′〔x〕=0的根的左右的符号,假设在根的左侧附近为,右侧附近为,那么函数y=f〔x〕在这个根处获得极大值;假设在根的左侧附近为,右侧附近为,那么函数y=f〔x〕在这个根处获得极小值.设y=f〔x〕是定义在区间［a,b］上的函数,y=f〔x〕在〔a,b〕内有导数,求函数y=f〔x〕在［a,b］上的最大值与最小值,可分两步进展.①求y=f〔x〕在〔a,b〕内的极值.②将y=f〔x〕在各极值点的极值与、比较,其中的一个为最大值,的一个为最小值.练习11．函数33xxy-=的单调增区间是．2．函数xxy1+=的极大值是．3．函数)(xf的导数为,)(2xxxf-='那么当=x时，函数，)(xf获得极大值．4．函数xxxf cos2)(+=的单调递减区间是.5．函数axxy-=3在R上单调递增，那么a的取值范围是．6．函数axxxy+--=123223在[0，2]上的最大值是5，那么实数=a.7．函数)0(ln)(>-=xxxxf的单调减区间是.8．函数)0(42>+=xxxy的单调增区间是．9．函数xexxf-=)(在区间［0，1]上的最小值为．1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S=梯形的周长）梯形的面积,那么S的最小值是________。
例题精讲例1：求以下函数的单调区间：例2：函数.3)(23xaxxxf+-=(1)假设)(xf在),1[+∞∈x上是增函数，务实数a的取值范围；(2)假设3=x是)(xf的极值点，求)(xf在∈x],1[a上的最小值和最大值．例3：a为实数，2()(4)() f x x x a=--〔1〕求导函数'()f x；〔2〕假设'(1)0f-=，求()f x在[2,2]-上的最大值和最小值。
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导数在研究函数中的应用【达标训练】
一．选择题（共30小题）
1．（2011•临海市校级模拟）已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）
＜1，则的取值范围是（）
X ﹣2 0 4
f（x） 1 ﹣1 1
A．B．C．D．
2．（2011•番禺区校级模拟）已知函数
，那么下面结论正确的是
（）
A．f（x）在[0，x0]上是减函数B．f（x）在[x0，π]上是减函数
C．∃x∈[0，π]，f（x）＞f（x0）D．∀x∈[0，π]，f（x）≥f（x0）
3．（2011•江西三模）设，若对于任意x1∈[0，1]，
总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．[1，4]D．
4．（2011•雅安三模）下列命题中：①函数，f（x）=sinx+（x∈（0，π））的最小值是
2；②在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；③如果正实数a，b，c满足a+b＞c则+＞；④如果y=f（x）是可导函数，则f′（x0）=0是函数
y=f（x）在x=x0处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是（）
A．①②③④B．①④C．②③④D．②③
5．（2011•桃城区校级一模）设函数f（x）=e x（sinx﹣cosx），若0≤x≤2012π，则函数f（x）的各极大值之和为（）
A．B．
C．D．
6．（2011•宝安区校级模拟）已知函数的两个极值分别为f（x1），
f（x2），若x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内，则b﹣2a的取值范围是（）A．（﹣4，﹣2）B．（﹣∞，2）∪（7，+∞）C．（2，7）D．（﹣5，2）
7．（2011•万州区一模）已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值是（）
A．﹣37B．﹣29C．﹣5D．以上都不对
8．（2011•太原校级模拟）已知函数f（x）=lnx+m﹣2f′（1），m∈R．函数f（x）的图象过点（1，﹣2）且函数g（x）=+af（x）在点（1，g（1））处的切线与y轴垂直，则g（x）的
极小值为（）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
9．（2010•河东区一模）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（2）=0，当x＞0时有，则不等式x2•f（x）＞0的解集是（）
A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，2）∪（2，+∞）
10．（2010•惠州模拟）给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′，若f″
（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上不是
凸函数的是（）
A．f（x）=sinx+cosxB．f（x）=lnx﹣2xC．f（x）=﹣x3+2x﹣1D．f（x）=﹣xe﹣x
11．（2010•黄冈模拟）已知f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，则（）
A．f（2）＞e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）B．f（2）＜e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）C．f（2）＞e2f（0），f（2010）＜e2010f（0）D．f（2）＜e2f（0），f（2010）＜e2010f（0）
12．（2010•东港区校级二模）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d在区间[﹣1，2]上是减函数，那么b+c（）
A．有最大值B．有最大值﹣C．有最小值D．有最小值﹣
13．（2010•龙岩二模）已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，f′（x）g（x）+f（x）g′
（x）＜0，f（x）g（x）=a x，f（1）g（1）+f（﹣1）g（﹣1）=．在区间[﹣3，0]上随机取一个数x，f（x）g（x）的值介于4到8之间的概率是（）
A．B．C．D．
14．（2010•成都一模）已知函数在区间（1，2）内是增函数，则实数m的取值范围是（）
A．B．C．（0，1]D．
15．（2010•抚顺校级二模）已知函数f（x）=x2+mx+lnx是单调递增函数，则m的取值范围是（）
A．m＞﹣2B．m≥﹣2C．m＜2D．m≤2
16．（2009•陕西）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n的值为（）
A．B．C．D．1
17．（2008•福建）如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（）
A．B．C．D．
18．（2008•福建）已知函数y=f′（x），y=g′（x）的导函数的图象如图，那么y=f（x），y=g （x）的图象可能是（）
A．B．C．D．
19．（2008•天河区校级模拟）某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中，较符合该学生的走法的是（）
A．B．C．D．
利用导数求比区间上函数的最值
一．解答题（共8小题）
1．（2015•张家港市校级模拟）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．
2．（2015•衡阳县校级三模）已知函数f（x）=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c﹣16．（1）求a、b的值；
（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最大值．
3．（2015•天水校级一模）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在x=﹣与x=1时都取得极值．求：
（1）求a、b的值
（2）若对x∈[﹣1，2]，有f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．
4．（2015•商丘三模）已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，f（x）＜恒成立，求实数m的取值范围．
5．（2015•朝阳区模拟）已知函数，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x+2，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值．
6．（2015•宝鸡一模）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g （x2），求实数a的取值范围．
7．（2015•朝阳区模拟）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣2）x．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值．
8．（2015•兰州模拟）定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=x3﹣2x+m．
（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[﹣4，4]恒成立，求实数m的取值范围．
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