二次函数与几何综合类存在性问题

第42讲┃二次函数与几何综合类存在性问题
例题分层分析 (1)图中已知抛物线上几个点？ 将B、C的坐标代入求抛物线的解析式； (2)画出四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，那么P点必 在OC的垂直平分线上，由此能求出P点坐标吗？ (3)由于△ABC的面积为定值，求四边形ABPC的最大面积，即 求△BPC的最大面积． 解题方法点析 求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四边形面 积转化为三角形面积的和或差．
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解
(1)将 B、C 两点的坐标代入 y＝x ＋bx＋c，
2
9＋3b＋c＝0， b＝－2， 得 解得 c＝－3， c＝－3.
∴这个二次函数的解析式为 y＝x2－2x－3.
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(2)假设抛物线上存在点 P(x，x －2x－3)，使得四边 形 POP′C 为菱形． 连接 PP′交 CO 于点 E.∵四边形 POP′C 3 为菱形，∴PC＝PO，PE⊥CO，∴OE＝EC＝ ，∴P 点的纵坐 2 3 3 2＋ 10 2 标为－ ，即 x －2x－3＝－ ，解得 x1 ＝ ，x2 ＝ 2 2 2 2－ 10 2＋ 10 3 (不合题意，舍去)．∴存在点 P( ，－ )， 2 2 2 使得四边形 POP′C 为菱形．
然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；
若推出合理结论，则可肯定假设．
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探究一 二次函数与三角形的结合
例1 [2013²重庆] 如图42－1，对称轴为直线x＝－1的抛 物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点为A、B两点，其中点A 的坐标为(－3，0)． (1)求点B的坐标； (2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点． ①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC， 求点P的坐标； ②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x 轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值． 图42－1
3 15 ，－ ，四边形 2 4
75 ABPC 的最大面积为ห้องสมุดไป่ตู้. 8
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探究三
例3

二次函数与相似三角形的结合
[2013²凉山] 如图 42－3，抛物线 y＝ax －2ax
2
＋ca≠0交 x 轴于 A、B 两点，A 点坐标为(3，0)，与 y 轴交 于点 C(0，4)，以 OC、OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G. (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴 l 在边 OA(不包括 O、A 两点)上平行 移动，分别交 x 轴于点 E，交 CD 于点 F，交 AC 于点 M，交抛 物线于点 P，若点 M 的横坐标为 m，请用含 m 的代数式表示 PM 的长；
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(3)①若△PFC∽△AEM，此时△PCM 是直角三角形且∠PCM ＝90°. PF CF PF AE 则 ＝ ，即 ＝ . AE ME CF ME
AE ME AE AO 又∵△AEM∽△AOC，∴ ＝ ，即 ＝ ， AO CO ME CO PF AO 3 ∴ ＝ ＝ . CF CO 4 4 2 8 4 2 8 ∵PF＝PE－EF＝－ m ＋ m＋4－4＝－ m ＋ m， ＝OE＝m， CF 3 3 3 3
探究四 二次函数与圆的结合
例4 [2013²巴中] 如图42－4，在平面直角坐标系中， 坐标原点为O，A点坐标为(4，0)，B点坐标为(－1，0)， 以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的正半轴交于 点C. (1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式； (2)设M为(1)中抛物线的顶点，求 直线MC对应的函数解析式； (3)试说明直线MC与⊙P的位置关系， 并证明你的结论．
2
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(3)过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 Q，交 OB 于点 F，设 P(x， x2－2x－3)．由 x2－2x－3＝0 得点 A 的坐标为(－1，0)．∵B 点的坐 标为(3，0)，C 点的坐标为(0，－3)，∴直线 BC 的解析式为：y＝x－ 2 3，∴Q 点的坐标为(x，x－3)，∴AB＝4，CO＝3，BO＝3，PQ＝－x ＋ 1 1 1 1 3x.∴S 四边形 ABPC＝S△ABC＋S△BPQ＋S△CPQ＝ AB² ＋ PQ² ＋ PQ² ＝ AB² CO BF FO CO 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 ＋ PQ²(BF＋FO)＝ AB²CO＋ PQ²BO＝ ³4³3＋ (－x ＋3x)³3＝ 2 2 2 2 2 32 75 3 2 9 3 － x ＋ x＋6＝－ x－ ＋ . 2 2 2 2 8 3 ∴当 x ＝ 时，四边形 ABPC 的面积最大．此时 P 点的坐标为 2
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(1)∵A(4，0)，B(－1，0)， 5 5 3 ∴AB＝5，半径是 PC＝PB＝PA＝ ，∴OP＝ －1＝ ， 2 2 2
解
在△CPO 中，由勾股定理得：OC＝ CP －OP ＝2， ∴C(0，2)． 设经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式是 y＝a(x－4)(x＋1)， 把 C(0，2)代入得：2＝a(0－4)(0＋1)， 1 ∴a＝－ ， 2 1 1 2 3 ∴y＝－ (x－4)(x＋1)＝－ x ＋ x＋2， 2 2 2 1 2 3 故经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式是 y＝－ x ＋ x＋2. 2 2
第42讲┃二次函数与几何综合类存在性问题
解题方法点析 以二次函数、三角形为背景的有关点存在性问题是 以二次函数的图象和解析式为背景，判断三角形满足某 些关于点的条件时，是否存在的问题，这类问题有关于 点的对称点、线段、三角形等类型之分．这类试题集代 数、几何知识于一体，数形结合，灵活多变．
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解题方法点析 此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函 数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质， 直角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是当相似三 角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏 解．
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4 2 8 同理，PF＝－ m ＋ m，CF＝OE＝m， 3 3 4 2 8 － m＋ m 3 3 4 ＝ . 3
∴
m
∵m≠0，∴m＝1. 综上可得，存在这样的点 P 使以 P、C、F 为顶点的三角形与△ AEM 相似， 23 此时 m 的值为 或 1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形． 16
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图42－4
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例题分层分析
(1)已知抛物线上的哪两个点？设经过A、B、C三点的抛 物线解析式是y＝a(x－4)(x＋1)，如何求出C点坐标？ (2)怎么求出顶点M的坐标？ (3)若直线MC与⊙P相切，如何去求证？
解题方法点析 用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定 理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数 的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运 用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
解
(1)由题意知：点 A 与点 B 关于直线 x＝－1 对 称，A(－3，0)， ∴B(1，0)． 2 (2)①当 a＝1 时，则 b＝2，把 A(－3，0)代入 y＝x ＋ 2x＋c 中得 c＝－3， ∴该抛物线解析式为 y＝x2＋2x－3. 1 1 3 ∵S△BOC＝ ²OB²OC＝ ³1³3＝ ， 2 2 2 3 ∴S△POC＝4S△BOC＝4³ ＝6. 2 1 xp＝6， 又 S△POC＝ ²OC² 2
二次函数与几何综合类存在性 问题
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二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在
一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与 “形”结合起来，互相渗透．存在探索型问题是指在给定条件 下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问 题．解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，
4 2 8 － m＋ m 3 3 3 23 ∴ ＝ .∵m≠0，∴m＝ . m 4 16
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②若△PFC∽△MEA，此时△PCM 是等腰三角形且 PC＝CM.
PF FC PF ME 则 ＝ ，即 ＝ . ME EA FC EA AO AE 3 OC 4 PF OC 4 由①得 ＝ ＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝ ＝ . CO ME 4 OA 3 FC OA 3
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∴xp＝4， ∴xp＝±4. 当 xp＝4 时，yp＝42＋2³4－3＝21； 当 xp＝－4 时，yp＝(－4)2＋2³(－4)－3＝5. ∴点 P 的坐标为(4，21)或(－4，5)． ②∵A(－3，0)，C(0，－3)，则直线 AC 的解析式为 y ＝－x－3. 2 设点 Q 为(a，－a－3)，点 D 为(a，a ＋2a－3)， ∴QD＝yQ－yD＝－a－3－(a2＋2a－3)＝－a2－3a. －3 3 当 a＝－ ＝－ 时，QD 有最大值，其最大值 2³（－1） 2
图42－3
第42讲┃二次函数与几何综合类存在性问题
例题分层分析 (1)将____________代入y＝ax2－2ax＋c，求出抛物线的解 析式； (2)根据________的坐标，用待定系数法求出直线AC的解 析式； (3)根据抛物线和直线AC的解析式如何表示出点P、点M的 坐标和PM的长？ (4)由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、 C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行 讨论：①△PFC∽________，②△PFC∽________．
2 解 (1)∵C(0，4)，A(3，0)在抛物线 y＝ax －2ax＋ ca≠0上， 4 c＝4， a＝－ ， 3 ∴ 解得 9a－6a＋c＝0， c＝4. 4 2 8 ∴所求抛物线的解析式为 y＝－ x ＋ x＋4. 3 3 (2)设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋bk≠0， ∵A(3，0)，C(0，4)在直线 AC 上， 4 3k＋b＝0， k＝－ ， 3 ∴ 解得 b＝4， b＝4. 4 ∴直线 AC 的解析式为 y＝－ x＋4， 3
第42讲┃二次函数与几何综合类存在性问题
4 4 2 8 ∴Mm，－ m＋4，Pm，－ m ＋ m＋4. 3 3 3
∵点 P 在 M 的上方，
4 4 2 8 ∴PM＝－ m ＋ m＋4－－ m＋4 3 3 3
4 2 8 4 ＝－ m ＋ m＋4＋ m－4 3 3 3 4 2 ＝－ m ＋4m. 3
3 3 9 2 为－－ －3³－ ＝ . 2 4 2

第42讲┃二次函数与几何综合类存在性问题
探究二 二次函数与四边形的结合
例2 [2013²枣庄] 如图42－2，在平面直角坐标系中， 二次函数y＝x 2 ＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，B点 的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，－3)，点P是直线BC下 方抛物线上的动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形 POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？ 若存在，求出此时点P的坐标；若 不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时， 四边形ABPC的面积最大？求 出此时P点的坐标和四边形A 图42－2 BPC的最大面积．
第42讲┃二次函数与几何综合类存在性问题
例题分层分析 (1)抛物线的解析式未知，不能通过解方程的方法确定 点B的坐标，根据二次函数的对称性，能求出B点的坐标吗？ (2)要求抛物线解析式应具备哪些条件？ 由a＝1，A(－3，0)，B(1，0)三个条件试一试； (3)根据S△POC＝4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值； (4)如何用待定系数法求出直线AC的解析式？ (5)D点的坐标怎么用x来表示？ (6)QD怎样用含x的代数式来表示？ (7)QD与x的函数关系如何？是二次函数吗？如何求出最大 值？