全等三角形中常见辅助线的添加方法
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A
连结AC、AD
构造全等三角形
B
E
C MD
二.倍长中线法
如何利用三角形的中线来构造全等三角形？
可以利用 倍长中线法 ，即把中线 A
延长一倍，来构造全等三角形。
如图，若 AD为△ABC 的中线，
1
延长AD到E，使DE=AD ， 连结BE（也可连结 CE ）。
必有结论： △ABD≌△ECD ，
B
D
2C
A
D
B
C
1 2 3 *
一题多解
典例3：如图，已知在四边形 ABCD中，BD是∠ABC的 角平分线， AD=CD，求证：∠ BAD+∠BCD=180 °
A
D
1 2
B
34
E
C
在BC上截取BE，使BE=AB ，连结DE。
1 2 3 *
一题多解
典例3：如图，已知在四边形 ABCD中，BD是∠ABC的 角平分线， AD=CD，求证：∠ BAD+∠BCD=180 ° F
BE+BD+DE
C D
BE+BD+CD
BE+BC
A
B E
BE+AC
BE+AE
AB
五.“周长问题”的转化借助“垂直平分 线性质”
2.如图,△ABC中, D在AB的垂直平分线上 , E在AC的垂直平分线上 .若BC=6cm, 求△ADE的周长.
AD+AE+DE
A
BD+CE+DE
BC
B
D
E
C
线段与角求相等，先找全等试试看。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段计算和与差，巧用截长补短法。 三角形里有中线，延长中线至两倍。 想作图形辅助线，切莫忘记要双添。
角平分线， AD=CD，求证：∠ BAD+∠BCD=180 °
ຫໍສະໝຸດ Baidu
A
如果题中“ BD 是∠ABC 的
D
角平分线”；
“AD=CD”；
“∠BAD+∠BCD=180°” B
C
其中两个作为条件，另 一个作为结论，能构成 几个真命题？。
五 、周长问题转化
五.“周长问题”的转化借助“角平分线性质”
1.如图,△ABC中,∠C=90 o,AC=BC,AD 平分∠ACB, DE⊥AB.若 AB=6cm, 则△DBE的周长=
EF
M
A
N
DB
南通市第一初级中学 宗式芬
注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添加方法
2
一.连结法
一.连结法
典例1:如图,AB=AD,BC=DC, 求证:∠B=∠D.
B
1.连结AC
构造全等三角形
A
C 2.连结BD
构造两个等腰三角形
D
一.连结法
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, 求证:点M是CD的中点.
∠1=∠ E ，∠B= ∠2 ，
EC=AB ，CE ∥AB。
E
已知如图 AD是△ABC的中线，
求证：AD ? 1 ( AB ? AC) 2
A 延长AD到点E，使DE=AD ， 连结 CE.
B
思考：若AB=3,AC=5 求AD的取值范围？
D E
倍
长
中 C线
三.用角平分线的性质构造全等
三.用角平分线的性质构造全等
A 4
3
D
1 2
B
C
延长BA到F，使BF=BC，连结DF。
一题多解
典例3：如图，已知在四边形 ABCD中，BD是∠ABC的
角平分线， AD=CD，求证：∠ BAD+∠BCD=180 °N
A
4
3
D
1 2
B
MC
作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。
1 2 3 *
拓展研究：
典例3：如图，已知在四边形 ABCD中，BD是∠ABC的
F
过点E作EF⊥BC
E
构造全等的 直角三角形
C
还有其他的方法吗？
D
四、截长与补短
四、截长与补短
典例1、已知在△ ABC中， AD是∠BAC 的角平分线 ，
∠C=2∠B, 求证 :AB=AC+CD
A
E
12
B
D
C
在AB 上取点E使得AE=AC ，连接DE
F
在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90 o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,则点D到AB的距离等于 4 .
过点D作DE⊥AB
A
构造全等的 直角三角形
E
B
D
C
三.用角平分线的性质构造全等
典例2:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o,
BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.
B
A
四、截长与补短
变题：已知在△ ABC中， AD是∠BAC的角平分线 ，
AB=AC+CD, 求证:∠C=2∠B
A
E
12
B
D
C
在AB 上取点E使得AE=AC ，连接DE
F
在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
一题多解
典例3：如图，已知在四边形 ABCD中，BD是∠ABC的 角平分线， AD=CD，求证：∠ BAD+∠BCD=180 °
连结AC、AD
构造全等三角形
B
E
C MD
二.倍长中线法
如何利用三角形的中线来构造全等三角形？
可以利用 倍长中线法 ，即把中线 A
延长一倍，来构造全等三角形。
如图，若 AD为△ABC 的中线，
1
延长AD到E，使DE=AD ， 连结BE（也可连结 CE ）。
必有结论： △ABD≌△ECD ，
B
D
2C
A
D
B
C
1 2 3 *
一题多解
典例3：如图，已知在四边形 ABCD中，BD是∠ABC的 角平分线， AD=CD，求证：∠ BAD+∠BCD=180 °
A
D
1 2
B
34
E
C
在BC上截取BE，使BE=AB ，连结DE。
1 2 3 *
一题多解
典例3：如图，已知在四边形 ABCD中，BD是∠ABC的 角平分线， AD=CD，求证：∠ BAD+∠BCD=180 ° F
BE+BD+DE
C D
BE+BD+CD
BE+BC
A
B E
BE+AC
BE+AE
AB
五.“周长问题”的转化借助“垂直平分 线性质”
2.如图,△ABC中, D在AB的垂直平分线上 , E在AC的垂直平分线上 .若BC=6cm, 求△ADE的周长.
AD+AE+DE
A
BD+CE+DE
BC
B
D
E
C
线段与角求相等，先找全等试试看。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段计算和与差，巧用截长补短法。 三角形里有中线，延长中线至两倍。 想作图形辅助线，切莫忘记要双添。
角平分线， AD=CD，求证：∠ BAD+∠BCD=180 °
ຫໍສະໝຸດ Baidu
A
如果题中“ BD 是∠ABC 的
D
角平分线”；
“AD=CD”；
“∠BAD+∠BCD=180°” B
C
其中两个作为条件，另 一个作为结论，能构成 几个真命题？。
五 、周长问题转化
五.“周长问题”的转化借助“角平分线性质”
1.如图,△ABC中,∠C=90 o,AC=BC,AD 平分∠ACB, DE⊥AB.若 AB=6cm, 则△DBE的周长=
EF
M
A
N
DB
南通市第一初级中学 宗式芬
注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添加方法
2
一.连结法
一.连结法
典例1:如图,AB=AD,BC=DC, 求证:∠B=∠D.
B
1.连结AC
构造全等三角形
A
C 2.连结BD
构造两个等腰三角形
D
一.连结法
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, 求证:点M是CD的中点.
∠1=∠ E ，∠B= ∠2 ，
EC=AB ，CE ∥AB。
E
已知如图 AD是△ABC的中线，
求证：AD ? 1 ( AB ? AC) 2
A 延长AD到点E，使DE=AD ， 连结 CE.
B
思考：若AB=3,AC=5 求AD的取值范围？
D E
倍
长
中 C线
三.用角平分线的性质构造全等
三.用角平分线的性质构造全等
A 4
3
D
1 2
B
C
延长BA到F，使BF=BC，连结DF。
一题多解
典例3：如图，已知在四边形 ABCD中，BD是∠ABC的
角平分线， AD=CD，求证：∠ BAD+∠BCD=180 °N
A
4
3
D
1 2
B
MC
作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。
1 2 3 *
拓展研究：
典例3：如图，已知在四边形 ABCD中，BD是∠ABC的
F
过点E作EF⊥BC
E
构造全等的 直角三角形
C
还有其他的方法吗？
D
四、截长与补短
四、截长与补短
典例1、已知在△ ABC中， AD是∠BAC 的角平分线 ，
∠C=2∠B, 求证 :AB=AC+CD
A
E
12
B
D
C
在AB 上取点E使得AE=AC ，连接DE
F
在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90 o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,则点D到AB的距离等于 4 .
过点D作DE⊥AB
A
构造全等的 直角三角形
E
B
D
C
三.用角平分线的性质构造全等
典例2:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o,
BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.
B
A
四、截长与补短
变题：已知在△ ABC中， AD是∠BAC的角平分线 ，
AB=AC+CD, 求证:∠C=2∠B
A
E
12
B
D
C
在AB 上取点E使得AE=AC ，连接DE
F
在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
一题多解
典例3：如图，已知在四边形 ABCD中，BD是∠ABC的 角平分线， AD=CD，求证：∠ BAD+∠BCD=180 °