江苏省苏州市2018届高三第一学期期中调研试卷数学(理)

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苏州市2018届高三上学期期中考试数学试题(完整资料).doc

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【最新整理,下载后即可编辑】苏州市2018届高三第一学期期中调研试卷数 学一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案直接填写在答卷纸...相应的位置) 1.已知集合{1,2,3,4,5},{1,3},{2,3}U A B ===,则()U A B = ▲ .2.函数1ln(1)y x =-的定义域为 ▲ .3.设命题:4p x >;命题2:540q x x -+≥,那么p 是q 的 ▲ 条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”). 4.已知幂函数22*()m m y x m -=∈N 在(0,)+∞是增函数,则实数m 的值是 ▲ .5.已知曲线3()ln f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线的斜率为2,则实数a 的值是▲ .6.已知等比数列{}n a 中,32a =,4616a a =,则7935a a a a -=- ▲ .7.函数sin(2)(0)2y x ϕϕπ=+<<图象的一条对称轴是12x π=,则ϕ的值是 ▲ .8.已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减,且(2)0f =,则不等式()01f x x >-的解集为 ▲ .9.已知tan()24απ-=,则cos2α的值是 ▲ .10.若函数8,2()log 5,2ax x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤(01)a a >≠且的值域为[6,)+∞,则实数a 的取值范围是 ▲ .11.已知数列{},{}n n a b 满足1111,1,(*)21n n n n a a b b n a +=+==∈+N ,则122017b b b ⋅⋅=▲ .12.设ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,D 为AB 的中点,若cos sin b a C c A=+且CD =ABC △面积的最大值是▲ .13.已知函数()sin()6f x x π=-,若对任意的实数5[,]62αππ∈--,都存在唯一的实数[0,]m β∈,使()()0f f αβ+=,则实数m 的最小值是 ▲ . 14.已知函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨+⎩≤,若直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点(,()),(,()),A m f m B n f n(,())C t f t (其中m n t <<),则12n m++的取值范围是 ▲ .二、解答题(本大题共6个小题,共90分,请在答题卷区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分14分)已知函数1())(0,0)42f x ax b a b π=+++>>的图象与x 轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为2π.(1)求,a b 的值;(2)求()f x 在[0,]4π上的最大值和最小值.16.(本题满分14分)在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知sin sin sin ()B C m A m +=∈R ,且240a bc -=.(1)当52,4a m ==时,求,bc 的值;(2)若角A 为锐角,求m 的取值范围.17.(本题满分15分)已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,且满足11a =,*131()n n S S n +=+∈N . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)在数列{}n b 中,13b =,*11()n n n na b b n a ++-=∈N ,若不等式2n n a b n λ+≤对*n ∈N 有解,求实数λ的取值范围.如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是等腰梯形,其中AB 为2米,梯形的高为1米,CD 为3米,上部CmD 是个半圆,固定点E 为CD 的中点.MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计),且滑动过程中始终保持和CD 平行.当MN 位于CD 下方和上方时,通风窗的形状均为矩形MNGH (阴影部分均不通风). (1)设MN 与AB 之间的距离为5(02x x <≤且1)x ≠米,试将通风窗的通风面积S (平方米)表示成关于x 的函数()y S x =;(2)当MN 与AB 之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积S 取得最大值?19.(本题满分16分)已知函数2()ln ,()f x x g x x x m ==--. (1)求过点(0,1)P -的()f x 的切线方程;(2)当0=m 时,求函数()()()F x f x g x =-在],0(a 的最大值;(3)证明:当3m ≥-时,不等式2()()(2)e x f x g x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立(其中e 为自然对数的底数,e 2.718...=).已知数列{}n a 各项均为正数,11a =,22a =,且312n n n n a a a a +++=对任意*n ∈N 恒成立,记{}n a 的前n 项和为n S . (1)若33a =,求5a 的值;(2)证明:对任意正实数p ,221{}n n a pa -+成等比数列;(3)是否存在正实数t ,使得数列{}n S t +为等比数列.若存在,求出此时n a 和n S 的表达式;若不存在,说明理由.2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数学(附加题部分)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题,并在相..........应的答题区域内作答..........若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .(几何证明选讲)(本小题满分10分)如图,AB 为圆O 的直径,C 在圆O 上,CF AB ⊥于F ,点D 为线段CF 上任意一点,延长AD 交圆O于E ,030AEC ∠=. (1)求证:AF FO =; (2)若CF =,求AD AE ⋅的值.BB .(矩阵与变换)(本小题满分10分)已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,42α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,求49αA 的值.C .(极坐标与参数方程)(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为42525x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),以原点O为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为cos()(0)4a ρθπ-≠.(1)求直线l 和圆C 的直角坐标方程;(2)若圆C 任意一条直径的两个端点到直线l,求a的值.D .(不等式选讲)(本小题满分10分)设,x y 均为正数,且x y >,求证:2212232x y x xy y ++-+≥.【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)在小明的婚礼上,为了活跃气氛,主持人邀请10位客人做一个游戏.第一轮游戏中,主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中,让客人依次去摸,摸到数字6,7,…,10的客人留下,其余的淘汰,第二轮放入1,2,…,5五张卡片,让留下的客人依次去摸,摸到数字3,4,5的客人留下,第三轮放入1,2,3三张卡片,让留下的客人依次去摸,摸到数字2,3的客人留下,同样第四轮淘汰一位,最后留下的客人获得小明准备的礼物.已知客人甲参加了该游戏. (1)求甲拿到礼物的概率;(2)设ξ表示甲参加游戏的轮数..,求ξ的概率分布和数学期望()E ξ.23.(本小题满分10分)(1)若不等式(1)ln(1)x x ax ++≥对任意[0,)x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围;(2)设*n ∈N ,试比较111231n ++++与ln(1)n +的大小,并证明你的结论.2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分) 1.{1} 2.(1,2)(2,)+∞3.充分不必要 4.15.136.4 7.3π 8.(2,0)(1,2)-9.45-10.(1,2] 11.12018 12.113.2π14.1(1,e )e+二、解答题(本大题共6个小题,共90分) 15.(本题满分14分)解:(1)∵()f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为2π,∴()f x 的周期为2π,∴202||2a a ππ=>且,······································································2分∴2a =,··················································································································4分此时1())42f x x b π=+++, 又∵()f x 的图象与x 轴相切,∴1||02b b +=>,·······················································6分∴122b =-;··········································································································8分(2)由(1)可得())4f x x π=+∵[0,]4x π∈,∴4[,]444x ππ5π+∈, ∴当444x π5π+=,即4x π=时,()f x 有最大值为;·················································11分当442x ππ+=,即16x π=时,()f x 有最小值为0.························································14分 16.(本题满分14分) 解:由题意得b c ma+=,240a bc -=.···············································································2分(1)当52,4a m ==时,5,12b c bc +==,解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩;································································································6分(2)2222222222()()22cos 23222a ma abc a b c bc a A m a bc bc--+-+--====-,····························8分∵A 为锐角,∴2cos 23(0,1)A m =-∈,∴2322m <<,····················································11分又由b c ma +=可得0m >,·························································································13分∴m <<···········································································14分 17.(本题满分15分)解:(1)∵*131()n n S S n +=+∈N ,∴*131(,2)n n S S n n -=+∈N ≥,∴*13(,2)n n a a n n +=∈N ≥,·························································································2分又当1n =时,由2131S S =+得23a =符合213a a =,∴*13()n n a a n +=∈N ,······························3分∴数列{}n a 是以1为首项,3为公比的等比数列,通项公式为1*3()n n a n -=∈N ; (5)分(2)∵*113()n n n na b b n a ++-==∈N ,∴{}n b 是以3为首项,3为公差的等差数列,····················7分∴*33(1)3()n b n n n =+-=∈N ,·····················································································9分∴2n n a b nλ+≤,即1233n n nλ-⋅+≤,即2133n n n λ--≤对*n ∈N 有解,··································10分设2*13()()3n n nf n n --=∈N ,∵2221(1)3(1)32(41)(1)()333n n nn n n n n n f n f n -+-+---++-=-=, ∴当4n ≥时,(1)()f n f n +<,当4n <时,(1)()f n f n +>, ∴(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f <<<>>>, ∴max 4[()](4)27f n f ==,···························································································14分∴427λ≤.·············································································································15分 18.(本题满分15分)解:(1)当01x <≤时,过A 作AK CD ⊥于K (如上图),则1AK =,122CD AB DK -==,1HM x =-,由2AKMH DKDH ==,得122HM xDH -==,∴322HG DH x =-=+, ∴2()(1)(2)2S x HM HG x x x x =⋅=-+=--+;·······························································4分当512x <<时,过E 作ET MN ⊥于T ,连结EN (如下图),则1ET x =-,22239(1)(1)224MN TN x x ⎛⎫==---- ⎪⎝⎭∴292(1)4MN x =--∴29()2(1)(1)4S x MN ET x x =⋅=---,······································································8分综上:222,01()952(1)(1)142x x x S x x x x ⎧--+<⎪=⎨---<<⎪⎩≤;·································································9分(2)当01x <≤时,2219()2()24S x x x x =--+=-++在[0,1)上递减,∴max ()(0)2S x S ==;································································································11分2︒当512x <<时,229(1)(1)94()2(224x x S x x -+--=-⋅=,当且仅当(1)x -=51(1,)2x +∈时取“=”, ∴max 9()4S x =,此时max 9()24S x =>,∴()S x 的最大值为94,············································14分答:当MN 与AB1+米时,通风窗的通风面积S 取得最大值.····················15分 19.(本题满分16分)解:(1)设切点坐标为00(,ln )x x ,则切线方程为0001ln ()y x x x x -=-, 将(0,1)P -代入上式,得0ln 0x =,01x =, ∴切线方程为1y x =-;·······························································································2分(2)当0m =时,2()ln ,(0,)F x x x x x =-+∈+∞, ∴(21)(1)(),(0,)x x F x x x+-'=-∈+∞,············································································3分当01x <<时,()0F x '>,当1x >时,()0F x '<, ∴()F x 在(0,1)递增,在(1,)+∞递减,·············································································5分∴当01a <≤时,()F x 的最大值为2()ln F a a a a =-+; 当1a >时,()F x 的最大值为(1)0F =;········································································7分(3)2()()(2)e x f x g x x x +<--可化为(2)e ln x m x x x >-+-,设1()(2)e ln ,[,1]2x h x x x x x =-+-∈,要证3m ≥-时()m h x >对任意1[,1]2x ∈均成立,只要证max ()3h x <-,下证此结论成立. ∵1()(1)(e )x h x x x'=--,∴当112x <<时,10x -<,·······················································8分设1()e x u x x=-,则21()e 0x u x x '=+>,∴()u x 在1(,1)2递增, 又∵()u x 在区间1[,1]2上的图象是一条不间断的曲线,且1()202u =<,(1)e 10u =->,∴01(,1)2x ∃∈使得0()0u x =,即01e xx =,00ln x x =-,····················································11分当01(,)2x x ∈时,()0u x <,()0h x '>;当0(,1)x x ∈时,()0u x >,()0h x '<;∴函数()h x 在01[,]2x 递增,在0[,1]x 递减,∴0max 00000000012()()(2)e ln (2)212x h x h x x x x x x x x x ==-+-=-⋅-=--,····························14分∵212y x x=--在1(,1)2x ∈递增,∴0002()121223h x x x =--<--=-,即max ()3h x <-, ∴当3m ≥-时,不等式2()()(2)e xf xg x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立.··························16分 20.(本题满分16分) 解:(1)∵1423a a a a =,∴46a =,又∵2534a a a a =,∴54392a a ==;·······································2分(2)由3121423n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=⎧⎨=⎩,两式相乘得2134123n n n n n n n a a a a a a a ++++++=,∵0n a >,∴2*42()n n n a a a n ++=∈N , 从而{}n a 的奇数项和偶数项均构成等比数列,···································································4分设公比分别为12,q q ,则1122222n n n a a q q --==,1121111n n n a a q q ---==,······································5分又∵312=n n n na a a a +++,∴42231122a a q a a q ===,即12q q =,···························································6分设12q q q ==,则2212223()n n n n a pa q a pa ---+=+,且2210n n a pa -+>恒成立, 数列221{}n n a pa -+是首项为2p+,公比为q的等比数列,问题得证;····································8分(3)法一:在(2)中令1p =,则数列221{}n n a a -+是首项为3,公比为q 的等比数列,∴22212223213 ,1()()()3(1),11k k k k k k k q S a a a a a a q q q---=⎧⎪=++++++=-⎨≠⎪-⎩, 12122132 ,13(1)2,11k k k k k k k q q S S a q q q q ---⎧-=⎪=-=⎨--≠⎪-⎩,·····································································10分且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+,∵数列{}n S t +为等比数列,∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩,即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩(3t =-舍去),·························································································13分∴224121k k k S =-=-,212121k k S --=-, 从而对任意*n ∈N 有21n n S =-, 此时2n n S t +=,12n n S tS t-+=+为常数,满足{}n S t +成等比数列, 当2n ≥时,111222n n n n n n a S S ---=-=-=,又11a =,∴1*2()n n a n -=∈N , 综上,存在1t =使数列{}n S t +为等比数列,此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N . (16)分法二:由(2)知,则122n n a q -=,121n n a q --=,且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+,∵数列{}n S t +为等比数列,∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩,即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩(3t =-舍去),·······················································································11分∴121222n n n a q --==,22212n n a --=,从而对任意*n ∈N 有12n n a -=,····································13分∴01211222222112n n n n S --=++++==--, 此时2n n S t +=,12n n S tS t-+=+为常数,满足{}n S t +成等比数列, 综上,存在1t =使数列{}n S t +为等比数列,此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N . (16)分21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题,并在相..........应的答题区域内作答..........若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .(几何证明选讲,本小题满分10分) 解:(1)证明 :连接,OC AC ,∵030AEC ∠=,∴0260AOC AEC ∠=∠=,又OA OC =,∴AOC ∆为等边三角形, ∵CF AB ⊥,∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线, ∴AF FO =;····························B··········································5分(2)解:连接BE , ∵CF =,AOC ∆是等边三角形,∴可求得1AF =,4AB =,∵AB 为圆O 的直径,∴90AEB ∠=,∴AEB AFD ∠=∠, 又∵BAE DFA ∠=∠,∴AEB ∆∽AFD ∆,∴AD AF ABAE=,即414AD AE AB AF ⋅=⋅=⨯=.··················································································10分 B .(矩阵与变换,本小题满分10分) 解:矩阵A 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----, 令()0f λ=,解得矩阵A 的特征值121,3λλ=-=,····························································2分当11λ=-时特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,当23λ=时特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,·····································6分又∵12432ααα⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦,·························································································。

(精品word)2018-2019学年苏州第一学期高三数学期中调研测试(正题及详细答案)

(精品word)2018-2019学年苏州第一学期高三数学期中调研测试(正题及详细答案)

2018—2019学年第一学期高三期中调研试卷 数学(正题) 2018.11注意事项:1.本试卷共4页.满分160分,考试时间120分钟.2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上,在本试卷上答题无效. 3.答题前,务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案直接填写在答卷纸...相应的位置)1.设全集{}=1,2,3,4,5U ,若集合{}3,4,5A =,则U A =ð ▲ . 2.命题“2,210x R x x ≥∃∈-+”的否定是 ▲ .3.已知向量(2,)m =a ,(1,2)=-b ,且⊥a b ,则实数m 的值是 ▲ . 4.函数()lg(2)2f x x x =-++的定义域是 ▲ .5.已知扇形的半径为6,圆心角为3π,则扇形的面积为 ▲ . 6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,424SS =,则84S S = ▲ .7.设函数()sin()f x A x ωϕ=+(,,A ωϕ为常数, 且0,0,0A ωϕ>><<π)的部分图象如图所示, 则ϕ的值为 ▲ .8.已知二次函数2()23f x x x =-++,不等式()f x m ≥的解集的区间长度为6(规定:闭区间[],a b 的长度为b a -),则实数m 的值是 ▲ .9.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池,其容积为48003m ,深度为3m .如果池底每12m 的造价为150元,池壁每12m 的造价为120元,要使水池总造价最低,那么水池底部的周长为 ▲ m .10.在ABC △中,sin 2sin cos 0A B C +=,则A 的最大值是 ▲ .11.已知函数()2,1,eln ,1,x x f x x x x≥+<=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<,则()13x f x 的取值范围是 ▲ .12.已知数列{}n a 的通项公式为51n a n =+,数列{}n b 的通项公式为2n b n =,若将数列{}n a ,{}n b 中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{}n c ,则6c 的值为 ▲ .13.如图,在平面四边形ABCD 中,AB BC ⊥,AD CD ⊥,60BCD ∠=︒,CB CD ==若点M 为边BC 上的动点,则AM DM uuu r uuu u r⋅的最小值为 ▲ .14.函数()xf x e x a =-在(1,2)-上单调递增,则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题(本大题共6个小题,共90分,请在答题卷区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分14分)已知(2cos23,2sin2)αα=+m ,(sin ,cos )ββ=n . (1)若6βπ=,且()f α=⋅m n ,求()f α在[0,]2π上的取值范围; (2)若//m n ,且αβ+、α的终边不在y 轴上,求tan()tan αβα+的值.16.(本题满分14分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n A , 35a =,636A =.数列{}n b 的前n 项和为n B ,且21n n B b =-.(1)求数列}{n a 和{}n b 的通项公式;(2)设n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和n S .CBADM17 .(本题满分14分)某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示,为了提升荷花池的观赏性,现计划在池塘的中轴线OC 上设计一个观景台D (点D 与点O ,C 不重合),其中AD ,BD ,CD 段建设架空木栈道,已知2AB =km ,设建设的架空木栈道的总长为y km .(1)设(rad)DAO θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式,并写出θ的取值范围; (2)试确定观景台的位置,使三段木栈道的总长度最短.18.(本题满分16分)已知()x xaf x e e =-是奇函数. (1)求实数a 的值;(2)求函数222()x x y e e f x λ-=+-在),0[∞+∈x 上的值域; (3)令()()2g x f x x =-,求不等式32(1)(13)0g x g x ++-<的解集.CBA荷花DO荷花 荷花荷花19.(本题满分16分)已知数列{}n a 的首项为1,定义:若对任意的*n N ∈,数列{}n a 满足13n n a a +->,则称数列{}n a 为“M 数列”.(1)已知等差数列{}n a 为“M 数列”, 其前n 项和S n 满足2S 22n n n <+()*n N ∈,求数列{}n a 的公差d 的取值范围;(2)已知公比为正整数的等比数列{}n a 为“M 数列”,记数列{}n b 满足34n n b a =,且数列{}n b 不为“M 数列,求数列{}n a 的通项公式.20.(本题满分16分)设函数()1ln f x ax x =--,a 为常数.(1)当2a =时,求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程; (2)若12,x x 为函数()f x 的两个零点,12x x >. ①求实数a 的取值范围; ②比较12x x +与2a的大小关系,并说明理由.2018—2019学年第一学期高三期中调研试 数学参考答案与评分标准 2018.11 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1. {}1,22. 2,210x R x x ∀∈-+<3. 14. [)2,2-5. 6π6. 107.3π8. 5- 9. 160 10. π6 11. 2(1,0)e - 12. 256 13. 21414. -1a ≤或3a ≥二、解答题(本大题共6个小题,共90分,请在答题卷区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分14分) 解:(1)因为6βπ=,所以1(2=n .所以3()cos222f ααα=⋅++m n =, ………………2分 即3()2sin(2)62f παα=++, ………………3分 因为[0,]2απ∈,所以72[,]666απππ+∈;所以1sin(2)[,1]62απ+∈-; ………………5分所以()f α的取值范围是17[,]22. ………………7分(2)由//m n ,所以(2cos23)cos 2sin2sin 0αβαβ+-=, ………………9分 所以2cos(2)3cos 0αββ++=, ………………10分 所以2cos()cos 2sin()sin 3cos()cos 3sin()sin 0αβααβααβααβα+-+++++=, 因为αβ+、α的终边不在y 轴上,所以cos(),cos αβα+均不为0,所以5cos()cos sin()sin 0αβααβα+++=, ………………12分 因为所以tan()tan 5αβα+=-. ………………14分 16.(本题满分14分)解:(1)因为{}n a 是等差数列,设{}n a 的公差为d ,由35a =,636A =,得1125,2512,a d a d +=⎧⎨+=⎩ ………………2分所以11a =,2d =,所以21n a n =-; ………………4分 由21n n B b =-可知,当1n =时,11b =; ………………5分 当2n ≥时,1121n n B b --=-,所以1122n n n n B B b b ---=-,从而12(2)n n b b n -=≥, ………………7分 又11b =,所以12(2)nn b n b -=≥,所以{}n b 是等比数列, ………………8分 所以12n n b -=. ………………9分(2)因为n n n c a b =⋅,所以1(21)2n n c n -=-⋅,01221123123252(23)2(21)2n n n n S c c c c n n --=++++=⋅+⋅+⋅++-+-L L ,12312123252(23)2(21)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-+-L , ………………11分所以01212212222222(21)212(21)212nn nn n S n n ---=⋅+⋅+⋅++⋅--=+⨯---L ,所以(23)23n n S n =-+. ………………14分 17. (本题满分14分) 解:(1)由DAO θ∠=,OC AB ⊥,1OA OB ==,则1cos DA DB θ==,tan DO θ=,所以1tan DC θ=-, ………………4分 所以22sin 1tan 1cos cos y DA DB DC θθθθ-=++=+-=+,04πθ<<. ………………7分(注:表达式2分,θ的的取值范围1分)(2) 22sin 1cos y θθ-'=, ………………9分令0y '=,得1sin 2θ=,又04πθ<<,所以6πθ=, ………………10分当06πθ<<时,0y '<,y 是θ的减函数;当64ππθ<<时,0y '>,y 是θ的增函数.………………12分所以,当6πθ=时,min 1y =+,此时tan DO θ==………………13分 答:当D 位于线段AB 的中垂线上且距离AB处时,能使三段木栈道总长度最短. ………………14分18.(本题满分16分) 解:(1)函数的定义域为R ,因为()f x 为奇函数,由()()f x f x -=-可知,(0)0f =,所以10a -=,所以1a =; ………………3分 当1a =时,11()()x xx x f x e e f x e e---=-=-+=-,此时()f x 为奇函数. ………………4分(2)令1x x e t e -=(0t ≥),所以22212xxe t e+=+ 所以2()22h t t t λ=-+,对称轴t λ=, ………………5分 ①当0λ≤时,[)()(0),h t h ∈+∞,所求值域为[)2,+∞; ………………7分②当0λ>时,[)()(),h t h λ∈+∞,所求值域为)22,λ⎡-+∞⎣; ………………9分(3)因为1()x xf x e e =-为奇函数,所以()()2()()2(),g x f x x f x x g x -=---=-+=- 所以()()2g x f x x =-为奇函数,所以32(1)(13)0g x g x ++-<等价于32(1)(31)g x g x +<-, ………………10分 又1()()22220x x g x f x e e''=-=+--=≥当且仅当0x =时,等号成立, 所以()()2g x f x x =-在R 上单调增,所以32131x x +<-, ………………13分 即32320x x -+<,又32232(1)(22)0x x x x x -+=---<,所以1x <-11x <<+ ………………15分所以不等式的解集是(,1(1,1-∞-+U . ………………16分 19.(本题满分16分)解:(1)因为等差数列{}n a 为“M 数列”,所以3d >, ………………2分由 11a =,得 (1)2n n n S n d -=+, 由题意,得2(1)222n n n d n n -+<+对n N *∈均成立,即()142n d n -<+对n N *∈均成立, …………………4分 当1n =时,3d >均成立; …………………5分当2n ≥时,421n d n +<-恒成立,因为4264411n n n +=+>--,所以34d <≤, ………………7分综上可得,数列{}n a 的公差d 的取值范围是34d <≤. …………………8分 (2)设数列{}n a 的公比为q ,则111n n n a a q q --==, 因为公比为正整数的等比数列{}n a 为“M 数列”, 所以1111(1)(1)3n n n n a a a q q q q --+-=-=->,所以q 至少为大于等于2的正整数; …………………9分 又112n nn n a a q a a +--=-≥,所以数列1{}n n a a --单调递增,所以在数列1{}n n a a --中,21a a -为最小项, …………………11分 由{}n a 为“M 数列”,可知只需213a a ->,即 13q ->,所以4q > ………12分 同理,在1{}n n b b --中,“21b b -”为最小项, 因为{}n b 不是“M 数列”,所以存在13m m b b --≤,又“21b b -”为最小项,所以213b b -≤, 即 1(1)4a q -≤,所以5q ≤…………………14分 因为*q N ∈,5q 所以=,15n n a -=. …………………16分 20.(本题满分16分)解:(1)当2a =时,()21ln f x x x =--,得1()2f x x'=-, 所以(1)1f '=,所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为y x =; ………………3分 (2)①()1ln f x ax x =--(0x >),得11()ax f x a x x-'=-=, 当0a ≤时,()0f x '<,()f x 单调递减不满足题意; ………………4分当0a >时,1(0,)x a ∈,()0f x '<;1(,)x a ∈+∞,()0f x '>;所以()f x 在1(0,)a 上单调减,在1(,)a+∞上单调增.因为函数()f x 有两个零点,所以min 1()()0f x f a=<,得01a <<. …………6分下证:在区间1(0,)a 和1(,)a+∞内分别存在一个零点.在1(0,)a 内,因为1()0a f e e =>,而1()0f a<,又()f x 在1(0,)a 上单调减,所以由零点存在性原理可知:在1(0,)a内()f x 有一个零点; ………………9分法一:在1(,)a+∞内,可以证明ln 1x x x ≤-<,所以ln x <,所以211()1ln 1)1f x ax x ax a a a=-->--=--,取202(1)x a =+,得221111)1(1)110a a a a a a a ---=+--=+>, 而1()0f a <,又()f x 在1(,)a +∞上单调递增,所以由零点存在性原理可知:在1(,)a+∞内()f x 有一个零点. ………………12分 法二:在1(,)a +∞内,因为ln 1x x x ≤-<(易证),所以即ln x <,所以()1ln 1f x ax x ax =-->--t =且2()21g t at t =--,因为01a <<,所以存在0t ,使得0()0g t >,所以0()0f t >,而1()0f a<,又()f x 在1(,)a +∞上单调增,所以由零点存在性原理可知在1(,)a+∞内,()f x 有一个零点. ………………12分法三:在1(,)a+∞内取20a x e =,所以2202224()1(2)2a aa f x ae e a a a =--=--,令2(2)t t a=>,2()2t g t e t t =--,可证:2t e t >, 所以22()2(1)0t g t e t t t t t t =-->-=->,所以0()0f x >,而1()0f a<,又()f x 在1(,)a +∞上单调增,所以由零点存在性原理可知在1(,)a+∞内,()f x 有一个零点. ………………12分②122x x a+>. ………………13分 证明如下:由111ln 0ax x --=,221ln 0ax x --=,所以1122()ln xa x x x -=即1212lnx x a x x =-,要证122x x a +>,即证1122122()ln x x x x x x ->+,即证1121222(1)ln 1x x x x x x ->+,令12(1)x t t x =>,令2(1)()ln 1t h t t t -=-+,()()22214(1)()011t h t t t t t -'=-=>++,所以()(1)0h t h >=,所以122x x a+>. ………………16分。

江苏省苏州市2018届第一学期期末高三调研测试数学试卷及参考答案

江苏省苏州市2018届第一学期期末高三调研测试数学试卷及参考答案

苏州市2018届高三调研测试数学Ⅰ试题 2018.1命题指导思想1.数学试卷坚持“原创为主,改编为辅”的命题方式,知识点不超纲,基本题不设障碍,原创题能围绕考生熟悉的情境来设置,改编题基本来自于教材以及通用复习资料,体现平稳中有变化,平和里有创新,坚持能力立意,尊重教学习惯。

2.强化“四基(基础知识、基本技能、基本思想、基本经验积累)”、“四能(发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力)”的新课标理念,彰显数学文化,体现考查学生必备知识与关键能力(数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析)。

3.试题形式朴实大气,重本质而轻外形。

在知识点、思想方法和能力考查等方面科学搭配,落实知识与能力并重、思想与方法同行的高三复习策略。

4.试题起点较低、知识覆盖全面、解题入口宽泛、题目从易到难,遵循考试心理规律,契合考生考试习惯,符合“上手容易深入难”的常规命题思路。

参考公式:球的表面积公式S =4πr 2,其中r 为球的半径.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上......... 1. 已知i 为虚数单位,复数3i 2z 的模为 ▲ . 2. 已知集合{1,2}a A =,{1,1,4}B =-,且A B ⊆,则正整数a = ▲ . 3. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线28y x =-的焦点坐标为 ▲ . 4. 苏州轨道交通1号线每5分钟一班,其中,列车在车站停留0.5分钟,假设乘客到达站台的时刻是随机的,则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为 ▲ .5. 已知42a =,log 2a x a =,则正实数x = ▲ .6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法. 右边的流程图是秦九韶算法的一个实例.若输入n ,x 的值分别 为3,3,则输出v 的值为 ▲ .7. 已知变量x ,y 满足03,0,30,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≤≥≤则23z x y =-的最大值为 ▲ .8. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且63198S S =-,42158a a =--,则3a 的值为 ▲ .9. 鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、 前后完全对称,六根等长的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯 起来.若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为 ▲ .(容器壁的厚度忽略不计,结果保留π)10.如图,两座建筑物AB ,CD 的高度分别是9m 和15m ,从建筑物AB的顶部A 看建筑物CD 的张角45CAD ∠=︒,则这两座建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD = ▲ m .11.在平面直角坐标系xOy 中,已知过点(2,1)A -的圆C 和直线 x + y = 1相切,且圆心在直线 y = -2x上,则圆C 的标准方程为 ▲ .12.已知正实数a ,b ,c 满足111a b +=,111a b c+=+,则c 的取值范围是 ▲ .DCBA13.如图,△ABC 为等腰三角形,120BAC ∠=︒,4AB AC ==,以A 为圆心,1为半径的圆分别交AB ,AC 与点E ,F ,点P 是劣弧EF 上的一点,则PB PC ⋅的取值范围是 ▲ .14.已知直线y =a 分别与直线22y x =-,曲线2e x y x =+交于点A ,B ,则线段AB 长度的最小值为 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)已知函数2()sin )2f x x x x =+-.(1)求函数()f x 的最小值,并写出()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合;(2)若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,求函数()f x 的单调增区间.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,已知E ,F ,G ,H 分别是A 1D 1,B 1C 1,D 1D ,C 1C 的中点.(1)求证:EF ∥平面ABHG ; (2)求证:平面ABHG ⊥平面CFED .17. (本小题满分14分)如图,B ,C 分别是海岸线上的两个城市,两城市间由笔直的海滨公路相连,B ,C 之间的距离为100km ,海岛A 在城市B 的正东方50km 处.从海岛A 到城市C ,先乘船按北偏西θ角(π2αθ<≤,其中锐角α的正切值为12)航行到海岸公路P 处登陆,再换乘汽车到城市C .已知船速为25km/h ,车速为75km/h .(1)试建立由A 经P 到C 所用时间与θ的函数解析式; (2)试确定登陆点P 的位置,使所用时间最少,并说明理由.A 1B 1C 1D 1ABCDEF G HA在平面直角坐标系xOy中,椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>P到一个焦点的距离的最小值为1).(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知过点(0,1)M-的动直线l与椭圆C交于A,B两点,试判断以AB为直径的圆是否恒过定点,并说明理由.已知各项是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S .(1)若2123n n n a S S -++=(n ∈N *,n ≥2),且12a =.① 求数列{}n a 的通项公式;② 若12n n S λ+⋅≤对任意*n ∈N 恒成立,求实数λ的取值范围;(2)数列{}n a 是公比为q (q >0, q ≠1)的等比数列,且{a n }的前n 项积.为10n T .若存在正整数k ,对任意n ∈N *,使得(1)k n knT T +为定值,求首项1a 的值.已知函数32,0,()e ,0.x x x x f x ax x ⎧-+<⎪=⎨-⎪⎩≥(1)当2a =时,求函数()f x 的单调区间;(2)若方程()()e 3x f x f x -+=-在区间(0,+∞)上有实数解,求实数a 的取值范围; (3)若存在实数,[0,2]m n ∈,且||1m n -≥,使得()()f m f n =,求证:1e e 1a-≤≤.2018届高三调研测试数学Ⅱ(附加题)2018.121.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题......,并在相应的.....答题区域....内作答...,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .选修4 - 1:几何证明选讲(本小题满分10分)如图,AB ,AC 与圆O 分别切于点B ,C ,点P 为圆O 上异于点B ,C 的任意一点,PD AB ⊥于点D ,PE AC ⊥于点E ,PF BC ⊥于点F . 求证:2PF PD PE =⋅.B .选修4 - 2:矩阵与变换(本小题满分10分)已知1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ,17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β,求4M β.C .选修4 - 4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为22cos =sin θρθ,若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求△AOB 的面积.AD .选修4 - 5:不等式选讲(本小题满分10分)已知a ,b ,c ∈R ,2221a b c ++=,若2|1||1|()x x a b c -++-+≥对一切实数a ,b ,c 恒成立,求实数x 的取值范围.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)如图,已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ,且AB =BP =2,AD =AE =1,AE ⊥AB ,且AE ∥BP .(1)求平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角的余弦值;(2)线段PD 上是否存在一点N ,使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25?若存在,试确定点N 的位置;若不存在,请说明理由.23.(本小题满分10分)在正整数集上定义函数()y f n =,满足()[(1)1]2[2(1)]f n f n f n ++=-+,且(1)2f =. (1)求证:9(3)(2)10f f -=; (2)是否存在实数a ,b ,使1()13()2nf n a b=+--,对任意正整数n 恒成立,并证明你的结论.苏州市2018届高三调研测试数学试卷参考答案一、填空题(共70分) 12.23.(2,0)-4.1105.126.48 7.9- 8.94 9.30π10.18 11.22(1)(2)2x y -++= 12.4(1,]313.[11,9]--14.3ln 22+ 二、解答题(共90分)15. 解(1)2()sin )2f x x x x =+-223cos cos sin 2x x x x x =++-3(1cos2)1cos2222x xx +-=+ ···················································· 2分cos 222x x =-+2cos(2)23x π=++. ··········································· 4分当223x k π+=π+π,即()3x k k π=π+∈Z 时,()f x 取得最小值0.此时,()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合为,3x x k k π⎧⎫=π+∈⎨⎬⎩⎭Z .····································································································· 7分(注:结果不写集合形式扣1分)(2)因为()2cos(2)23f x x π=++,令2222()3k x k k ππ+π+π+π∈Z ≤≤, ··············································· 8分解得()36k x k k π5π+π+π∈Z ≤≤, ····················································· 10分 又[,]22x ππ∈-,令1k =-,,26x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦,令0k =,,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以函数在[,]22ππ-的单调增区间是,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ························ 14分(注:如果写成两区间的并集,扣1分,其中写对一个区间给2分) 16. 证明:(1)因为E ,F 是A 1D 1,B 1C 1的中点,所以11EF A B ∥, 在正方体1111ABCD A B C D -中,A 1B 1∥AB , (注:缺少A 1B 1∥AB 扣1分)所以EF AB ∥. ········································ 3分 又EF ⊄平面ABHG ,AB ⊂平面ABHG , (注:缺少AB ⊂平面ABHG 不扣分)所以EF ∥平面ABHG . ······························· 6分 (2)在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,CD ⊥平面BB 1C 1C ,又BH ⊂平面11BB C C ,所以BH CD ⊥.① ············································ 8分 设BHCF P =,△BCH ≌△1CC F ,所以1HBC FCC ∠=∠,因为∠HBC +∠PHC =90︒,所以1FCC ∠+∠PHC =90︒.所以90HPC ∠=︒,即BH CF ⊥.② ···················································· 11分 由①②,又DCCF C =,DC ,CF ⊂平面CFED ,所以BH ⊥平面CFED .A 1B 1C 1D 1 A B C DE FG H P又BH ⊂平面ABHG ,所以平面ABHG ⊥平面CFED . ··························································· 14分 (注:缺少BH ⊂平面ABHG ,此三分段不给分)17. 解(1)由题意,轮船航行的方位角为θ,所以90BAP θ∠=︒-,50AB =,则5050cos(90)sin AP θθ==︒-,50sin(90)50cos 50tan(90)cos(90)sin BP θθθθθ︒-=︒-==︒-. 50cos 100100sin PC BP θθ=-=-. ························································· 4分 (注:AP ,BP 写对一个给2分)由A 到P 所用的时间为1225sin AP t θ==, 由P 到C 所用的时间为250cos 10042cos sin 7533sin t θθθθ-==-, ·························· 6分 所以由A 经P 到C 所用时间与θ的函数关系为12242cos 62cos 4()sin 33sin 3sin 3t f t θθθθθθ-==+=++-. ································· 8分 函数()f θ的定义域为(,]2απ,其中锐角α的正切值为12.(2)由(1),62cos 4()3sin 3f θθθ-=+,(,]2θαπ∈,2(13cos )()9si 6n f θθθ-'=,令()0f θ'=,解得1cos 3θ=, ······························· 10分 设θ0∈(0,)π,使01cos θ=····································································································· 12分所以,当0θθ=时函数f (θ)取得最小值,此时BP =0050cos sin θθ≈17.68 km ,答:在BC 上选择距离B 为17.68 km 处为登陆点,所用时间最少.············ 14分(注:结果保留根号,不扣分)18. 解(1)由题意c a =,故a =, ··················································· 1分 又椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为1),所以3a c -=, ····································································································· 2分 解得3c =,a =2229b a c =-=, ········································· 4分所以椭圆C 的标准方程为221189x y +=. ··················································· 6分 (2)当直线l 的斜率为0时,令1y =-,则4x =±,此时以AB 为直径的圆的方程为2(1)16x y ++=. ···································· 7分 当直线l 的斜率不存在时,以AB 为直径的圆的方程为229x y +=, ············ 8分联立222(1)16,9,x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩解得0,3x y ==,即两圆过点(0,3)T . 猜想以AB 为直径的圆恒过定点(0,3)T . ··············································· 9分 对一般情况证明如下:设过点(0,1)M -的直线l 的方程为1y kx =-与椭圆C 交于1122(,),(,)A x y B x y ,则221,218,y kx x y =-⎧⎨+=⎩整理得22(12)4160k x kx +--=, 所以121222416,1212k x x x x k k +==-++. ················································· 12分 (注:如果不猜想,直接写出上面的联立方程、韦达定理,正确的给3分) 因为1122121212(,3)(,3)3()9TA TB x y x y x x y y y y ⋅=-⋅-=+-++121212(1)(1)3(11)9x x kx kx kx kx =+----+-+21212(1)4()16k x x k x x =+-++22222216(1)1616(12)16160121212k k k k k k-+-+=-+=+=+++, 所以TA TB ⊥.所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ,且定点T 的坐标为(0,3). ·············· 16分19. 解(1)①当2n ≥时,由212,3n n n a S S -++= ①则2112,3n n n a S S ++++= ②②-①得22111()3n n n n a a a a ++-=-,即13n n a a +-=,2n ≥···························· 2分 当2n =时,由①知2212123a a a a +++=,即2223100a a --=,解得25a =或22a =-(舍),所以213a a -=,即数列{}n a 为等差数列,且首项13a =,所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =-. ················································· 5分 (注:不验证213a a -=扣1分)②由①知,31n a n =-,所以2(312)322n n n n n S -++==, 由题意可得212322n n n S n nλ+++=≥对一切*n ∈N 恒成立,记2232n n n nc ++=,则2113(1)(1)2n n n n c -+-+-=,2n ≥, 所以21231142n n n n n c c -+-+--=,2n ≥, ················································ 8分 当4n >时,1n n c c -<,当4n =时,41316c =,且31516c =,278c =,112c =,所以当3n =时,2232n n n n c ++=取得最大值1516,所以实数λ的取值范围为15[,)16+∞. ······················································· 11分(2)由题意,设11n n a a q -=(0,1q q >≠),1210n T n a a a ⋅⋅⋅=,两边取常用对数,12lg lg lg n n T a a a +++=.令1lg lg lg lg n n b a n q a q ==+-,则数列{}n b 是以1lg a 为首项,lg q 为公差的等差数列, ····························· 13分若(1)k n knT T +为定值,令(1)k n knT T μ+=,则11(1)[(1)1](1)lg lg 2(1)lg lg 2k n k n k n a qkn kn kn a qμ++-++=-+, 即2221{[(1)]lg }[(1)](lg )lg 0a k k q n k k q qμμ+-++-=对*n ∈N 恒成立,因为0,1q q >≠,问题等价于2221(1)0,(1)0.k k k k a q μμ⎧+-=⎪⎨+-==⎪⎩或将1k k+=(1)0k k μ+-=,解得01μμ==或. 因为*k ∈N ,所以0,1μμ>≠,所以21a q =,又0,n a >故1a =. ························································ 16分20. 解(1)当2a =-时,32,0,()e +2,0,x x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩≥当0x <时,32()f x x x =-+,则2()32(32)f x x x x x '=-+=--,令()0f x '=,解得0x =或23x =(舍),所以0x <时,()0f x '<, 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上为减函数. ··············································· 2分 当0x ≥时,()e 2x f x x =-,()e 2x f x '=-,令()0f x '=,解得ln2x =,当0ln2x <<时,()0f x '<,当ln2x >时,()0f x '>, 所以函数()f x 在区间(0,ln 2)上为减函数,在区间(ln 2,)+∞上为增函数, 且(0)10f =>. ················································································· 4分 综上,函数()f x 的单调减区间为(,0)-∞和(0,ln 2),单调增区间为(ln 2,)+∞.····································································································· 5分 (注:将单调减区间为(,0)-∞和(0,ln 2)写出(,ln 2)-∞的扣1分) (2)设0x >,则0x -<,所以32()()e x f x f x x x ax -+=++-, 由题意,32e e 3x x x x ax ++-=-在区间(0,)+∞上有解, 等价于23a x x x=++在区间(0,)+∞上有解. ············································· 6分 记23()(0)g x x x x x=++>,则322222323(1)(233)()21x x x x x g x x x x x +--++'=+-==, ························ 7分 令()0g x '=,因为0x >,所以22330x x ++>,故解得1x =, 当(0,1)x ∈时,()0g x '<,当(1,)x ∈+∞时,()0g x '>,所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,)+∞上单调递增,故函数()g x 在1x =处取得最小值(1)5g =. ············································· 9分 要使方程()a g x =在区间(0,)+∞上有解,当且仅当min ()(1)5a g x g ==≥, 综上,满足题意的实数a 的取值范围为[5,)+∞. ······································· 10分 (3)由题意,()e x f x a '=-,当0a ≤时,()0f x '>,此时函数()f x 在[0,)+∞上单调递增,由()()f m f n =,可得m n =,与条件||1m n -≥矛盾,所以0a >. ·············· 11分 令()0f x '=,解得ln x a =,当(0,ln )x a ∈时,()0f x '<,当(ln ,)x a ∈+∞时,()0f x '>, 所以函数()f x 在(0,ln )a 上单调递减,在(ln ,)a +∞上单调递增.若存在,[0,2]m n ∈,()()f m f n =,则ln a 介于m ,n 之间, ······················ 12分 不妨设0ln 2m a n <<≤≤,因为()f x 在(,ln )m a 上单调递减,在(ln ,)a n 上单调递增,且()()f m f n =, 所以当m x n ≤≤时,()()()f x f m f n =≤,由02m n <≤≤,||1m n -≥,可得1[,]m n ∈,故(1)()()f f m f n =≤, 又()f x 在(,ln )m a 上单调递减,且0ln m a <≤,所以()(0)f m f ≤.所以(1)(0)f f ≤,同理(1)(2)f f ≤. ··················································· 14分即2e 1,e e 2,a a a -⎧⎨--⎩≤≤解得2e 1e e a --≤≤, 所以1e e 1a-≤≤.·············································································· 16分2018届高三调研测试数学附加题参考答案21B 选修4-2 矩阵与变换解 矩阵M 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----, ··················· 2分令()0f λ=,解得123,1λλ==-,解得属于λ1的一个特征向量为111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α,属于λ2的一个特征向量为211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α. ······· 5分令12m n =+βαα,即111711m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,所以1,7,m n m n +=⎧⎨-=⎩解得4,3m n ==-.····································································································· 7分 所以44441212(43)4()3()=-=-M M M M βαααα44441122113214()3()433(1)11327λλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⨯-⨯-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦αα. ············· 10分 21C 选修4-4 坐标系与参数方程解 由曲线C 的极坐标方程是22cos =sin θρθ,得ρ2sin 2θ=2ρcos θ. 所以曲线C 的直角坐标方程是y 2=2x . ··················································· 2分由直线l 的参数方程1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数),得40x y --=,所以直线l 的普通方程为40x y --=. ················································· 4分 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程y 2=2x ,得2870t t -+=,设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,所以221212122||2()4284762AB t t t t t t =-=+-=-⨯=, ············· 7分 因为原点到直线40x y --=的距离|4|222d -==,所以△AOB 的面积是11(62)(22)1222S AB d =⋅⋅=⨯⨯=. ····················· 10分 21D 选修4-5 不等式选讲解 因为a ,b ,c ∈R ,2221a b c ++=,由柯西不等式得2222()()(111)3a b c a b c -+++++=≤, ·························· 4分因为2|1||1|()x x a b c -++-+≥对一切实数a ,b ,c 恒成立, 所以|1||1|3x x -++≥. 当1x <-时,23x -≥,即32x -≤; 当11x -≤≤时,23≥不成立; 当1x >时,23x ≥,即32x ≥;综上,实数x 的取值范围为33(,][,)22-∞-+∞. ···································· 10分22. 解(1)因为平面ABCD ⊥平面ABEP ,平面ABCD ∩平面ABEP =AB ,BP ⊥AB ,所以BP ⊥平面ABCD ,又AB ⊥BC ,所以直线BA ,BP ,BC 两两垂直,以B 为原点,分别以BA ,BP ,BC 为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P (0,2,0),B (0,0,0),D (2,0,1),E (2,1,0),C (0,0,1),因为BC ⊥平面ABPE ,所以(0,0,1)BC =为平面ABPE 的一个法向量, 2分(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-=,设平面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n , 则0,0,CD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,220,x x y z =⎧⎨-+=⎩令1y =,则2z =,故(0,1,2)=n ,4分设平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角为θ,则225cos ||||15BC BC θ⋅===⋅⨯n n ,显然π02θ<<,所以平面PCD 与平面ABPE 25····· 6分 (2)设线段PD 上存在一点N ,使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25. 设(2,2,)(01)PN PD λλλλλ==-≤≤,(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-. ··· 7分 由(1)知,平面PCD 的一个法向量为(0,1,2)=n , 所以22cos ,55984BN BN BN λλ⋅<>===⋅-+n n |||n |, 即29810λλ--=,解得1λ=或19λ=-(舍去). ·································· 9分 y PNEDA当点N 与点D 重合时,直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25. ··········· 10分 23. 解(1)因为()[(1)1]2[2(1)]f n f n f n ++=-+,整理得4()(1)()2f n f n f n -+=+,由(1)2f =,代入得421(2)222f -==+,1472(3)1522f -==+,所以719(3)(2)5210f f -=-=. 2分 (2)由(1)2f =,1(2)2f =,可得41,55a b =-=. ································· 3分 以下用数学归纳法证明存在实数,41,55a b =-=,使1()1431()525n f n =+---成立.① 当1n =时,显然成立. ································································· 4分 ② 当n k =时,假设存在41,55a b =-=,使得1()1431()525k f k =+---成立,····································································································· 5分那么,当1n k =+时,141431()()4()525(1)1()212431()()525k k f k f k f k ⎡⎤-+⎢⎥---⎢⎥-⎣⎦+==+++--- 11238()11525111232631431()()()525525525k k k k +-+==+=+-------,即当1n k =+时,存在41,55a b =-=,使得11(1)1431()525k f k ++=+---成立.9分由①,②可知,存在实数,41,55a b =-=,使1()13()2n f n a b =+--对任意正整数n 恒成立. ··················································································· 10分。

江苏省苏州市2017-2018学年第一学期高三期中调研试卷数学(理)

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2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷 数学 2017.11注意事项:1.本试卷共4页.满分160分,考试时间120分钟.2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上,在本试卷上答题无效. 3.答题前,务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案直接填写在答卷纸...相应的位置) 1.已知集合{1,2,3,4,5},{1,3},{2,3}U A B ===,则()U A B = ▲ . 2.函数1ln(1)y x =-的定义域为 ▲ .3.设命题:4p x >;命题2:540q x x -+≥,那么p 是q 的 ▲ 条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).4.已知幂函数22*()m m y x m -=∈N 在(0,)+∞是增函数,则实数m 的值是 ▲ . 5.已知曲线3()ln f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线的斜率为2,则实数a 的值是 ▲ . 6.已知等比数列{}n a 中,32a =,4616a a =,则7935a a a a -=- ▲ .7.函数sin(2)(0)2y x ϕϕπ=+<<图象的一条对称轴是12x π=,则ϕ的值是 ▲ . 8.已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减,且(2)0f =,则不等式()01f x x >-的解集为 ▲ .9.已知tan()24απ-=,则cos2α的值是 ▲ .10.若函数8,2()log 5,2ax x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤(01)a a >≠且的值域为[6,)+∞,则实数a 的取值范围是 ▲ . 11.已知数列{},{}n n a b 满足1111,1,(*)21n n n n a a b b n a +=+==∈+N ,则122017b b b ⋅⋅= ▲ .12.设ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,D 为AB 的中点,若cos sin b a C c A =+且CD =则ABC △面积的最大值是 ▲ .13.已知函数()sin()6f x x π=-,若对任意的实数5[,]62αππ∈--,都存在唯一的实数[0,]m β∈,使()()0f f αβ+=,则实数m 的最小值是 ▲ .14.已知函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨+⎩≤,若直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点(,()),(,()),A m f m B n f n(,())C t f t (其中m n t <<),则12n m++的取值范围是 ▲ . 二、解答题(本大题共6个小题,共90分,请在答题卷区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分14分)已知函数1())(0,0)242f x ax b a b π=+++>>的图象与x 轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为2π. (1)求,a b 的值;(2)求()f x 在[0,]4π上的最大值和最小值.16.(本题满分14分)在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知sin sin sin ()B C m A m +=∈R ,且240a bc -=. (1)当52,4a m ==时,求,b c 的值; (2)若角A 为锐角,求m 的取值范围.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,且满足11a =,*131()n n S S n +=+∈N . (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)在数列{}n b 中,13b =,*11()n n n na b b n a ++-=∈N ,若不等式2n n a b n λ+≤对*n ∈N 有解,求实数λ的取值范围.18.(本题满分15分)如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是等腰梯形,其中AB 为2米,梯形的高为1米,CD 为3米,上部CmD 是个半圆,固定点E 为CD 的中点.MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计),且滑动过程中始终保持和CD 平行.当MN 位于CD 下方和上方时,通风窗的形状均为矩形MNGH (阴影部分均不通风). (1)设MN 与AB 之间的距离为5(02x x <≤且1)x ≠米,试将通风窗的通风面积S (平方米)表示成关于x 的函数()y S x =;(2)当MN 与AB 之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积S 取得最大值?已知函数2()ln ,()f x x g x x x m ==--. (1)求过点(0,1)P -的()f x 的切线方程;(2)当0=m 时,求函数()()()F x f x g x =-在],0(a 的最大值;(3)证明:当3m ≥-时,不等式2()()(2)e x f x g x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立(其中e 为自然对数的底数,e 2.718...=).20.(本题满分16分)已知数列{}n a 各项均为正数,11a =,22a =,且312n n n n a a a a +++=对任意*n ∈N 恒成立,记{}n a 的前n 项和为n S .(1)若33a =,求5a 的值;(2)证明:对任意正实数p ,221{}n n a pa -+成等比数列;(3)是否存在正实数t ,使得数列{}n S t +为等比数列.若存在,求出此时n a 和n S 的表达式;若不存在,说明理由.2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数 学 (附加) 2017.11注意事项:1.本试卷共2页.满分40分,考试时间30分钟. 2.请在答题卡上的指定位置作答,在本试卷上作答无效.3.答题前,请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置.21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答....................若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .(几何证明选讲) (本小题满分10分)如图,AB 为圆O 的直径,C 在圆O 上,CF AB ⊥于F ,点D 为线段CF 上任意一点,延长AD 交圆O 于E ,030AEC ∠=. (1)求证:AF FO =;(2)若CF =,求AD AE ⋅的值.B .(矩阵与变换) (本小题满分10分)已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,42α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,求49αA 的值.C .(极坐标与参数方程) (本小题满分10分)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为42525x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为cos()(0)4a ρθπ-≠. (1)求直线l 和圆C 的直角坐标方程;(2)若圆C 任意一条直径的两个端点到直线l,求a 的值.D .(不等式选讲) (本小题满分10分)设,x y 均为正数,且x y >,求证:2212232x y x xy y ++-+≥.【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)B在小明的婚礼上,为了活跃气氛,主持人邀请10位客人做一个游戏.第一轮游戏中,主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中,让客人依次去摸,摸到数字6,7,…,10的客人留下,其余的淘汰,第二轮放入1,2,…,5五张卡片,让留下的客人依次去摸,摸到数字3,4,5的客人留下,第三轮放入1,2,3三张卡片,让留下的客人依次去摸,摸到数字2,3的客人留下,同样第四轮淘汰一位,最后留下的客人获得小明准备的礼物.已知客人甲参加了该游戏. (1)求甲拿到礼物的概率;(2)设ξ表示甲参加游戏的轮数..,求ξ的概率分布和数学期望()E ξ.23.(本小题满分10分)(1)若不等式(1)ln(1)x x ax ++≥对任意[0,)x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围; (2)设*n ∈N ,试比较111231n ++++与ln(1)n +的大小,并证明你的结论. 2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1.{1} 2.(1,2)(2,)+∞ 3.充分不必要 4.1 5.136.4 7.3π8.(2,0)(1,2)- 9.45- 10.(1,2]11.12018 121 13.2π14.1(1,e )e +二、解答题(本大题共6个小题,共90分) 15.(本题满分14分)解:(1)∵()f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为2π, ∴()f x 的周期为2π,∴202||2a a ππ=>且,······································································2分 ∴2a =,··················································································································4分此时1())242f x x b π=+++, 又∵()f x 的图象与x 轴相切,∴1||022b b +=>,·······················································6分∴12b =-;··········································································································8分 (2)由(1)可得())4f x x π=+, ∵[0,]4x π∈,∴4[,]444x ππ5π+∈,∴当444x π5π+=,即4x π=时,()f x有最大值为12;·················································11分 当442x ππ+=,即16x π=时,()f x 有最小值为0.························································14分16.(本题满分14分)解:由题意得b c ma +=,240a bc -=.···············································································2分(1)当52,4a m ==时,5,12b c bc +==, 解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩;································································································6分 (2)2222222222()()22cos 23222a ma abc a b c bc a A m a bc bc--+-+--====-,····························8分 ∵A 为锐角,∴2cos 23(0,1)A m =-∈,∴2322m <<,····················································11分 又由b c ma +=可得0m >,·························································································13分m <<·····································································································14分 17.(本题满分15分)解:(1)∵*131()n n S S n +=+∈N ,∴*131(,2)n n S S n n -=+∈N ≥,∴*13(,2)n n a a n n +=∈N ≥,·························································································2分 又当1n =时,由2131S S =+得23a =符合213a a =,∴*13()n n a a n +=∈N ,······························3分 ∴数列{}n a 是以1为首项,3为公比的等比数列,通项公式为1*3()n n a n -=∈N ;·····················5分 (2)∵*113()n n n na b b n a ++-==∈N ,∴{}n b 是以3为首项,3为公差的等差数列,····················7分 ∴*33(1)3()n b n n n =+-=∈N ,·····················································································9分∴2n n a b n λ+≤,即1233n n n λ-⋅+≤,即2133n n nλ--≤对*n ∈N 有解,··································10分 设2*13()()3n n nf n n --=∈N , ∵2221(1)3(1)32(41)(1)()333n n nn n n n n n f n f n -+-+---++-=-=, ∴当4n ≥时,(1)()f n f n +<,当4n <时,(1)()f n f n +>, ∴(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f <<<>>>,∴max 4[()](4)27f n f ==,···························································································14分 ∴427λ≤.·············································································································15分 18.(本题满分15分)解:(1)当01x <≤时,过A 作AK CD ⊥于K (如上图),则1AK =,122CD AB DK -==,1HM x =-, 由2AK MH DK DH ==,得122HM x DH -==, ∴322HG DH x =-=+,∴2()(1)(2)2S x HM HG x x x x =⋅=-+=--+;·······························································4分 当512x <<时,过E 作ET MN ⊥于T ,连结EN (如下图), 则1ET x =-,22239(1)(1)224MN TN x x ⎛⎫==---- ⎪⎝⎭∴292(1)4MN x =-- ∴29()2(1)(1)4S x MN ET x x =⋅=---,······································································8分 综上:222,01()952(1)(1)142x x x S x x x x ⎧--+<⎪=⎨---<<⎪⎩≤;·································································9分 (2)当01x <≤时,2219()2()24S x x x x =--+=-++在[0,1)上递减, ∴max ()(0)2S x S ==;································································································11分2︒当512x <<时,2229(1)(1)994()2(1)(1)2424x x S x x x -+--=---⋅=≤,当且仅当(1)x -=51(1,)42x =+∈时取“=”, ∴max 9()4S x =,此时max 9()24S x =>,∴()S x 的最大值为94,············································14分 答:当MN 与AB之间的距离为14+米时,通风窗的通风面积S 取得最大值.····················15分 19.(本题满分16分)解:(1)设切点坐标为00(,ln )x x ,则切线方程为0001ln ()y x x x x -=-, 将(0,1)P -代入上式,得0ln 0x =,01x =,∴切线方程为1y x =-;·······························································································2分 (2)当0m =时,2()ln ,(0,)F x x x x x =-+∈+∞, ∴(21)(1)(),(0,)x x F x x x+-'=-∈+∞,············································································3分 当01x <<时,()0F x '>,当1x >时,()0F x '<,∴()F x 在(0,1)递增,在(1,)+∞递减,·············································································5分 ∴当01a <≤时,()F x 的最大值为2()ln F a a a a =-+;当1a >时,()F x 的最大值为(1)0F =;········································································7分 (3)2()()(2)e x f x g x x x +<--可化为(2)e ln x m x x x >-+-,设1()(2)e ln ,[,1]2x h x x x x x =-+-∈,要证3m ≥-时()m h x >对任意1[,1]2x ∈均成立, 只要证max ()3h x <-,下证此结论成立.∵1()(1)(e )x h x x x'=--,∴当112x <<时,10x -<,·······················································8分 设1()e x u x x =-,则21()e 0x u x x '=+>,∴()u x 在1(,1)2递增,又∵()u x 在区间1[,1]2上的图象是一条不间断的曲线,且1()202u <,(1)e 10u =->,∴01(,1)2x ∃∈使得0()0u x =,即001e x x =,00ln x x =-,····················································11分 当01(,)2x x ∈时,()0u x <,()0h x '>;当0(,1)x x ∈时,()0u x >,()0h x '<; ∴函数()h x 在01[,]2x 递增,在0[,1]x 递减,∴0max 00000000012()()(2)e ln (2)212x h x h x x x x x x x x x ==-+-=-⋅-=--,····························14分 ∵212y x x =--在1(,1)2x ∈递增,∴0002()121223h x x x =--<--=-,即max ()3h x <-,∴当3m ≥-时,不等式2()()(2)e x f x g x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立.··························16分 20.(本题满分16分)解:(1)∵1423a a a a =,∴46a =,又∵2534a a a a =,∴54392a a ==;·······································2分(2)由3121423n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=⎧⎨=⎩,两式相乘得2134123n n n n n n n a a a a a a a ++++++=,∵0n a >,∴2*42()n n n a a a n ++=∈N ,从而{}n a 的奇数项和偶数项均构成等比数列,···································································4分 设公比分别为12,q q ,则1122222n n n a a q q --==,1121111n n n a a q q ---==,······································5分 又∵312=n n n n a a a a +++,∴42231122a a qa a q ===,即12q q =,···························································6分 设12q q q ==,则2212223()n n n n a pa q a pa ---+=+,且2210n n a pa -+>恒成立,数列221{}n n a pa -+是首项为2p +,公比为q 的等比数列,问题得证;····································8分 (3)法一:在(2)中令1p =,则数列221{}n n a a -+是首项为3,公比为q 的等比数列,∴22212223213 ,1()()()3(1),11k k k k k k k q S a a a a a a q q q---=⎧⎪=++++++=-⎨≠⎪-⎩, 12122132 ,13(1)2,11k k k k k k k q q S S a q q q q ---⎧-=⎪=-=⎨--≠⎪-⎩,·····································································10分 且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+,∵数列{}n S t +为等比数列,∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩,即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩解得14t q =⎧⎨=⎩(3t =-舍去),·························································································13分∴224121k k k S =-=-,212121k k S --=-,从而对任意*n ∈N 有21n n S =-,此时2n n S t +=,12n n S t S t-+=+为常数,满足{}n S t +成等比数列, 当2n ≥时,111222n n n n n n a S S ---=-=-=,又11a =,∴1*2()n n a n -=∈N ,综上,存在1t =使数列{}n S t +为等比数列,此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N .······················16分 法二:由(2)知,则122n n a q -=,121n n a q --=,且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+,∵数列{}n S t +为等比数列,∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩,即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩(3t =-舍去),·······················································································11分∴121222n n n a q --==,22212n n a --=,从而对任意*n ∈N 有12n n a -=,····································13分 ∴01211222222112n n n n S --=++++==--, 此时2n n S t +=,12n n S t S t-+=+为常数,满足{}n S t +成等比数列, 综上,存在1t =使数列{}n S t +为等比数列,此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N .······················16分21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答....................若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .(几何证明选讲,本小题满分10分)解:(1)证明 :连接,OC AC ,∵030AEC ∠=,∴0260AOC AEC ∠=∠=,又OA OC =,∴AOC ∆为等边三角形,∵CF AB ⊥,∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线,∴AF FO =;······································································5分B(2)解:连接BE ,∵CF ,AOC ∆是等边三角形,∴可求得1AF =,4AB =,∵AB 为圆O 的直径,∴90AEB ∠=,∴AEB AFD ∠=∠,又∵BAE DFA ∠=∠,∴AEB ∆∽AFD ∆,∴AD AF AB AE=, 即414AD AE AB AF ⋅=⋅=⨯=.··················································································10分B .(矩阵与变换,本小题满分10分)解:矩阵A 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----, 令()0f λ=,解得矩阵A 的特征值121,3λλ=-=,····························································2分当11λ=-时特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,当23λ=时特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,·····································6分 又∵12432ααα⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦,······························································································8分 ∴5049494911225031331αλαλα⎡⎤-=+=⎢⎥+⎣⎦A .···········································································10分C .(极坐标与参数方程,本小题满分10分)解:(1)直线l 的普通方程为220x y +-=;··········································································3分圆C 的直角坐标方程为222()()222a a a x y -+-=;·······························································6分 (2)∵圆C 任意一条直径的两个端点到直线l∴圆心C 到直线l|2|a a +-,·······················································8分 解得3a =或13a =-.·······························································································10分D .(不等式选讲,本小题满分10分)证:∵0,0,0x y x y >>->, ∴22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-21()()3()x y x y x y =-+-+=-≥,。

江苏苏州市2018届高三上学期数学期中试卷含解析

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江苏苏州市2018届高三上学期数学期中试卷(含解析)2017-2018学年江苏省苏州市高三上学期期中调研一、填空题:共14题1.已知集合,则_____.【答案】【解析】由题意,得2.函数的定义域为_____.【答案】【解析】x应该满足:,解得:∴函数的定义域为故答案为:3.设命题;命题,那么p是q的____条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).【答案】充分不必要【解析】命题q:x2﹣5x+4≥0&#8660;x≤1,或x≥4,∵命题p:x>4;故p是q的:充分不必要条件,故答案为:充分不必要4.已知幂函数在是增函数,则实数m的值是_____.【答案】1【解析】∵幂函数在是增函数∴,解得:故答案为:15.已知曲线在处的切线的斜率为2,则实数a的值是_____.【答案】【解析】f′(x)=3ax2+,则f′(1)=3a+1=2,解得:a=,故答案为:.点睛:与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略(1)已知切点求切线方程.解决此类问题的步骤为:①求出函数在点处的导数,即曲线在点处切线的斜率;②由点斜式求得切线方程为.(2)已知斜率求切点.已知斜率,求切点,即解方程.(3)求切线倾斜角的取值范围.先求导数的范围,即确定切线斜率的范围,然后利用正切函数的单调性解决.6.已知等比数列中,,则_____.【答案】4【解析】设等比数列的公比是q,由a3=2,a4a6=16得,a1q2=2,a1q3a1q5=16,则a1=1,q2=2,∴,故答案为:4.7.函数图象的一条对称轴是,则的值是_____.【答案】【解析】因为函数图象的一条对称轴是,所以,又因为,则,即,解得8.已知奇函数在上单调递减,且,则不等式的解集为_____.【答案】【解析】∵函数f(x)为奇函数且在(﹣∞,0)上单调递减,∴f(x)在(0,+∞)上也单调递减,又∵函数f(x)为奇函数且f(2)=0,∴f(﹣2)=﹣f (2)=0∴不等式等价于①或②解得:x∈(﹣2,0)∪(1,2),故答案为:(﹣2,0)∪(1,2).9.已知,则的值是_____.【答案】【解析】因为,所以====10.若函数的值域为,则实数a的取值范围是_____.【答案】【解析】当时,,则由题意,得当时,成立,则为增函数,且,即11.已知数列满足,则_____.【答案】【解析】∵,,∴,,∴,,归纳猜想:∴故答案为:12.设的内角的对边分别是,D为的中点,若且,则面积的最大值是_____.【答案】【解析】因为,所以,即,即,即,又因为D为的中点,且,所以,即,即,则,则面积的最大值是点睛:三角形中最值问题,一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,利用基本不等式或函数方法求最值.在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.13.已知函数,若对任意的实数,都存在唯一的实数,使,则实数的最小值是___.【答案】【解析】因为,所以,则,因为对任意的实数,都存在唯一的实数,使,所以在上单调,且,则,则,所以,即实数的最小值是点睛:对于方程任意或存在性问题,一般转化为对应函数值域包含关系,即的值域包含于的值域;的值域与的值域交集非空。

(精品word)2018-2019学年苏州第一学期高三数学期中调研测试(正题及详细答案)

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10.在 △ABC 中,si nA 2s in BcosC 0,则A 的最大值是―▲2018— 2019学年第一学期高三期中调研试卷注意事项:1.本试卷共4页.满分160分,考试时间120分钟.2. 请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上,在本试卷上答题无效.3.答题前,务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内. 、填空题(本大题共14小题,每小题5分,位置)数学(正题)2018. 11共70分,请把答案直接填写在答卷纸 相应的1. 设全集U = 123,4,5,若集合 A 3,4,5 ,则 e U A ―▲2. 命题"x R,x 2 2x 1> 0 ”的否定是3. 已知向量a(2,m), b (1, 2),且a b ,则实数m 的值是—▲4.函数f(x)lg(2 x) 2 x 的定义域是—▲5.已知扇形的半径为 6,圆心角为一,则扇形的面积为 —▲3 6. 已知等比数列 a n 的前n 项和为S n ,鱼4,则色—▲S 2 S 47.设函数 f(x) Asin( (A,,为常数,且A 0, 0,0所示,则的值为&已知二次函数 f (x) x 22x 3,不等式f(x) m 的解集的区间长度为 6(规定:闭区间a,b 的长度为b a ),则实数m 的值是 _______9.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池,其容积为4800 m 3 ,深度为3 m .如果池底每1 m 2 的造价为150元,池壁每1 m 2的造价为120元,要使水池总造价最低,那么水池底部的周长为▲m .10.在△ABC 中,si nA 2s in BcosC 0,则A的最大值是―▲(2)设C n a n b n ,求数列C n 的前n 项和S n .2 x ,x 1, 11.已知函数f xe ,若f X 1 f X 2 f X 3 X 1 X 2 X 3 ,则 x 1 f x 3 的取ln x,X > 1, X值范围是 ▲212•已知数列a n 的通项公式为a n 5n 1,数列b n 的通项公式为b n n ,若将数列a .14•函数f(x) e x x a 在(1,2)上单调递增,则实数 a 的取值范围是 ▲二、解答题(本大题共6个小题,共90分,请在答题卷区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分14分)已知 m (2cos2 3,2sin2 ) , n (sin ,cos ).(1)若 ,且f( ) m n ,求f ()在[0,—]上的取值范围;6 216.(本题满分14分)已知等差数列 a n 的前n 项和为A , a 3 5 , A 6 36 .数列b n 的前n 项和为B n , 且 B n 2b n 1.(1)求数列{a n }和b n 的通项公式;b n 中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列 C n ,贝U C6的值为 ▲ 13.如图,在平面四边形 ABCD 中,AB BC , AD CD ,BCD 60 , CB CD 2.3.若点M 为边BC 上的动点,则uuur uuunAM DM 的最小值为(2)若 m//n ,且的终边不在y 轴上,求tan()tan 的值.17 .(本题满分14分)某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示,为了提升荷花池的观赏性,现计划在池塘的中轴线0C上设计一个观景台D (点D与点O, C不重合),其中AD,BD,CD段建设架空木栈道,已知AB 2 km,设建设的架空木栈道的总长为ykm .(1)设DAO (rad),将y表示成的函数关系式,并写出的取值范围;(2)试确定观景台的位置,使三段木栈道的总长度最短. C18. (本题满分16分)a已知f(x) e x x是奇函数.(3)令g(x) f (x) 2x,求不等式g(x3 1) g(1 3x2) 0 的解集(3)令 g(x) f (x) 2x ,求不等式 g(x 3 1) g(1 3x 2) 0 的解集(1)求实数a 的值;(2)求函数y 2x 2x2 f (x)在x [0, )上的值域;19. (本题满分16分)已知数列{%}的首项为1,定义:若对任意的n N*,数列©}满足a n 1 a n 3,则称数列{a n}为“ M 数列”.(1)已知等差数列{a n}为“ M数列”,其前n项和S n满足S n 2n2 2n n N*,求数列{a n}的公差d的取值范围;(2)已知公比为正整数的等比数列{a n}为“M数列”,记数列{b n}满足b n-a n,且数4列{b n}不为“ M数列,求数列{a n}的通项公式.20. (本题满分16分)设函数f (x) ax 1 In x , a为常数.(1)当a 2时,求f (x)在点(1,f (1))处的切线方程;(2)若x ,x2为函数f (x)的两个零点,為x2.①求实数a的取值范围;2②比较x x2与-的大小关系,并说明理由.a2018— 2019学年第一学期高三期中调研试14. a -1 或 a 3证明过程或演算步骤)(2)由 m//n ,所以(2cos2 3)cos 2si n2 sin0,................... 9分 所以2cos(2 )3cos 0 ,.................... 10分所以2cos( )cos 2sin( )sin3cos()cos 3sin()si n 0,因为、 的终边不在y 轴上,所以 cos(),cos 均不为0,所以5cos( )cos si n()s in 0 ,....................12分 因为所以tan()ta n5.....................14分16.(本题满分 14分)解:(1)因为是等差数万[[a n 是等差数列,设a n 的公差为d ,由a 3 5, A 36,a 1 得c 12d 5,................... 2分)的取值范围是所以 f( 、填空题(本1. 1,2 2. x 7.-38.5数学参考答案与评分标准14小题,每小题5分,共70分)R,x 2 2x 13. 14. 2,25.9. 16010.1 11.( 4,0) e12. 2562018. 116. 1021 13.4二、解答题(本大题共6个小题,共90分,请在答题卷区域内作答, 解答时应写出文字说明、15.(本题满分14分)因为6,所以n(冷.所以f ( n 二 cos2 、3sin 2 -2即f()2Sin(26)因为[。

江苏省苏州市2018届高三期初调研数学试卷及答案

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苏州市2018届高三暑假自主学习测试试卷 数学I (试题) 注意事项: 1.本试卷共4页.满分160分,考试时间120分钟。

2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域,在本试卷上答题无效。

3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置。

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。

请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1.已知集合 A= {xl-2<x<l},B= {-1,0,1},则 A∩B= 。

2.已知),,(32为虚数单位i R b a i ibi a ∈+=-+,则a + b 的值是 . 3.运行如图所示的流程图,则输出的结果S 是 .4.有五条线段,其长度分别为2,3,4,5,7,现任取三条,则这三条线段可以构成三角形的的概率是.5.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据 整理后,画出了频率分布直方图(如图),巳知图中从左到右的前3个 小组的频率之比为1 : 2 : 3,第2小组的频数为12,则报考飞行员的学生人数.6.若双曲线122=-y mx ( m > 0)的右焦点与抛物线y= 8x 的焦点重合,则m 的值是 . 7. 将函数)<<0)(2sin(πϕϕ+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位,得到函数)(x f y =的图象,若函数)(x f y =的图象过原点,则ϕ的值是 .8.已知平面向量a=(2,1), a•b=10,若|a +b|=25,则|b|的值是 .9.如图,正四棱锥P -ABCD 的底面一边AB 的长为32cm ,侧面积为38cm2,则它的体积为 cm 3. 10.已知函数b a abx x x f 2)(2+++=。

若4)0(=f ,则)1(f 的最大值是 .11.等差数列{a n }的前 n 项和为S n ,且 a n -S n = n 2-16n+15(n≥2,n∈N * ),若对任意n∈N *,总有S n ≤S k ,则k 的值是. 12.已知点A(1,0)和点B(0,1),若圆x 2 + y 2 - 4x - 2y + t = 0上恰有两个不同的点P ,使得△PA B 的面积为21,则实数t 的取值范围是 . 13.已知函数x a x x f +=)( (a > 0),当x∈ [1,3]时,函数)(x f 的值域为A ,若A ∈[8,16],则a 的值是 .14.设)(x f 是定义在R 上的偶函数,且当x > 0时,xx f 2)(=,若对任意的x∈ [a,a + 2],不等式)()(2x f a x f ≥+恒成立,则实数a 的取值范围是 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分。

江苏省苏州市2018届高三调研测试数学试题(理)

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苏州市 2018 届高三调研测试数学Ⅰ试题2018. 1注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题第 14 题)、解答题(第15 题第 20 题).本卷满分 160分,考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回.2.答题前,请您务势必自己的姓名、准考据号用 0.5 毫米黑色墨水的署名笔填写在答题卡的规定地点.3.请在答题卡上依据次序在对应的答题地区内作答,在其余地点作答一律无效.作答一定用0.5 毫米黑色墨水的署名笔.请注意字体工整,字迹清楚.4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面洁净,不要折叠、损坏.一律禁止使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.参照公式:球的表面积公式S=4πr2,此中 r 为球的半径.一、填空题:本大题共 14 小题,每题 5 分,合计70 分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应地点上.........1.已知 i 为虚数单位,复数z 3 3i 的模为▲ .2 22.已知会合 A {1,2 a } ,B { 1,1,4} ,且 A B ,则正整数 a ▲.3.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线y2 8x 的焦点坐标为▲.4.苏州轨道交通 1 号线每 5 分钟一班,此中,列车在车站逗留0.5 分钟,假定乘客抵达站台的时辰是随机的,则该乘客抵达站台开始立刻能乘上车的概率为▲.输入 n,x 5.已知4a 2 , log a x 2a ,则正实数 x ▲.v 1, i n- 1v vx+i 6.秦九韶是我国南宋期间的数学家,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,到现在还是比较先进的算法.右侧的流程图是秦九韶算法的一个实例.若输入n, x 的值分别为 3,3,则输出v 的值为▲.i i- 1i<0Y输出 vN结束(第 6 题图)0 ≤x ≤ 3,7.已知变量 x, y 知足x y ≥ 0, 则 z 2x 3y 的最大值为▲.x y 3≤0,S6 19 15▲ .8.已知等比数列{ a n}的前 n 项和为S n,且,a4 a2 ,则 a3的值为S3 8 89.鲁班锁是中国传统的智力玩具,发源于中国古代建筑中开创的榫卯构造,它的外观是以下图的十字立方体,其上下、左右、前后完整对称,六根等长的正四棱柱体分红三组,经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为1,现将该鲁(第 9 题图)班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积起码为▲.(容器壁的厚度忽视不计,结果保存π)10.如图,两座建筑物AB, CD 的高度分别是 9m 和 15m,从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的张角CAD 45 ,则这两座建筑物AB和CD C的底部之间的距离BD ▲m. A 11.在平面直角坐标系xOy 中,已知过点A(2, 1)的圆C和直线 x y 1 相切,且圆心在直线y 2x 上,则圆 C 的 D B 标准方程为▲.(第 10 题图)12.已知正实数 a,b, c 知足1 11,1 1,则 c 的取值范围是▲.a b a b1c13.如图,△ ABC 为等腰三角形,BAC 120 , A AB AC 4 ,以A为圆心,1为半径的圆分E F别交 AB ,AC 与点 E,F ,点 P 是劣弧 EF 上的P一点,则 PB PC 的取值范围是B C ▲.(第 13 题图)14 .已知直线 y= a 分别与直线y 2x 2 ,曲线y 2e x x 交于点A,B,则线段AB长度的最小值为▲.二、解答题:本大题共 6 小题,合计90 分.请在答题卡指定地区内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ( 3 cosx sin x)22 3 sin 2x .(1)求函数 f ( x) 的最小值,并写出f ( x) 获得最小值时自变量x 的取值会合;(2)若 x, ,求函数 f ( x) 的单一增区间. 2 216.(本小题满分 14 分)如图,在正方体 ABCD A 1B 1C 1 D 1 中,已知 E ,F ,G , D 1 H 分别是 A 1D 1, B 1C 1 ,D 1D , C 1C 的中点. E( 1)求证: EF ∥平面 ABHG ; A 1( 2)求证:平面 ABHG ⊥平面 CFED .GDAC 1 FB 1HCB17. (本小题满分 14 分)如图, B, C 分别是海岸线上的两个城市,两城市间由笔挺的海滨C北公路相连, B , C 之间的距离为 100km ,海岛 A 在城市 B 的正东方 50km 处.从海岛 A 到城市 C ,先坐船按北偏西 θ角( ≤ π,东2 P1)航行到海岸公路 P 处登岸,再换乘汽此中锐角的正切值为2θ车到城市 C .已知船速为 25km/h ,车速为 75km/h .BA( 1)试成立由 A 经 P 到 C 所用时间与的函数分析式;( 2)试确立登岸点 P 的地点,使所用时间最少,并说明原因.18.(本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C : x2 y21(aa 2b 2 点 P 到一个焦点的距离的最小值为3( 2 1) .( 1)求椭圆 C 的标准方程;( 2)已知过点M (0, 1)的动直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,试判断以 AB 为直径的圆是否恒过定点,并说明原因.b0) 的离心率为2,椭圆上动2yBO xMA19.(本小题满分 16 分)已知各项是正数的数列 { a n } 的前n项和为S n.( 1)若S n Sn 1 a n22(n N *,n≥2),且a12.3①求数列 { a n } 的通项公式;②若 S n≤ 2 n 1对随意n N *恒成立,务实数的取值范围;( 2)数列{a n } 是公比为(>,q 1)的等比数列,且n 的前n项积为10 T n .若q q 0 { a } .存在正整数 k,对随意 n N*,使得T( k 1) n为定值,求首项a1的值.T kn20. (本小题满分16 分)已知函数x3 x2 , x 0, f ( x)ax, x≥ 0.e x( 1)当a 2 时,求函数 f ( x) 的单一区间;( 2)若方程 f ( x) f ( x) e x 3 在区间 (0,+ )上有实数解,务实数 a 的取值范围;( 3)若存在实数m, n [0,2] ,且 | m n|≥1 ,使得 f (m) f (n) ,求证: 1≤a≤ e .e 1 2018 届高三调研测试数学Ⅱ(附带题)2018. 1注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷只有解答题,供理工方向考生使用.本试卷第21 题有 A 、B 、C 、D 4 个小题供选做,每位考生在 4 个选做题中选答 2 题.若学生选做了3 题或4 题,则按选做题中的前 2 题计分.第 22、23 题为必答题.每题 10 分,共 40 分.考试时间 30 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2. 答题前,请您务势必自己的姓名、调研序列号用0.5 毫米黑色墨水的署名笔填写在答题卡的规定地点.3. 请在答题卡上依据次序在对应的答题地区内作答,在其余地点作答一律无效.作答一定用0.5 毫米黑色墨水的署名笔.请注意字体工整,字迹清楚.4. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.5. 请保持答题卡卡面洁净,不要折叠、损坏.一律禁止使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.21.【 选做题 】此题包含A 、B 、C 、D 四小题,请选定此中两题 ,并在相应的 答题地区...... ..... .... 内作答 ,若多做, 则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . ...A . 选修 4 1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分)如图, AB , AC 与圆 O 分别切于点 B , C ,点 P 为圆 O 上异于点 B , C 的随意一点, PDAB 于点 D , PE AC 于点 E , PF BC 于点 F.求证: PF 2PD PE .DBPF OAB .选修 42:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)CE已知1 2 1 42 1,7 ,求 M.MC . 选修 4 4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分)x 1 t ,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为t ( t 为参数),以原点 O 为y 3极点, x 轴正半轴为极轴成立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为=2cos ,若直线 lsin2与曲线 C 订交于 A ,B 两点,求△ AOB 的面积.D . 选修 4 5:不等式选讲 (本小题满分 10 分)已知 a , b , c ∈ R , a 2 b 2 c 2 1 ,若 | x 1| | x 1|≥ (a b c) 2 对一确实数 a , b , c 恒成立,务实数 x 的取值范围.【必做题 】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,合计 20 分.请在答题卡指定地区 内作答,解....... 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分 10 分)如图,已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平面于直线AB ,且AB BP 2, AD=AE=1, AE ⊥ AB ,且 AE ∥ BP .( 1)求平面PCD 与平面 ABPE 所成的二面角的余弦值;zDCN( 2)线段 PD 上能否存在一点N ,使得直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于2?若存在,试确立5点 N 的地点;若不存在,请说明原因.xABEyP23.(本小题满分 10 分)在正整数集上定义函数 yf ( n) ,知足 f (n)[ f ( n 1) 1] 2[2 f (n 1)] ,且f (1) 2 .( 1)求证: f (3) f (2)9;101( 2)能否存在实数 a , b ,使 f (n)1 ,对随意正整数 n 恒成立,并证3 na() b明你的结论.苏州市 2018 届高三调研测试数学试卷参照答案一、填空题(共 70 分). 3 2 . 2 . ( 2,0). 15 . 1 . 487 .9 8.9.3013410264 910. 18 11. (x 1) 2( y 2) 22 12. (1, 4 ]13. [11, 9]14.3ln 232二、解答题(共 90 分)15. 解( 1) f ( x) ( 3cos xsin x)22 3sin 2x3cos 2x 2 3sin x cos x 22 3sin 2 xsin x3(1cos2x) 1 cos2 x 3sin 2x ···························2 分22cos 2 x3 sin 2 x22cos(2 x) 2 . ·······················4 分3当 2 x3 2k ,即 x k( k Z ) 时, f ( x) 获得最小值 0.3此时, f ( x) 获得最小值时自变量 x 的取值会合为x xk,k Z .3··················································7 分(注:结果不写会合形式扣 1 分) ( 2)由于 f ( x)2cos(2 x) 2 ,3令2k ≤ 2 x3 ≤ 22k (k Z ) , ·······················8 分解得3k ≤ x ≤ 6 k ( k Z ) , ···························10 分又 x [2 , ] ,令 k 1, x, 6 ,令 k 0 , x 3 , ,222因此函数在 [2 , ] 的单一增区间是2,和3 , . ···········14 分262(注:假如写成两区间的并集,扣1 分, 此中写对一个区间给2 分) 16. 证明:( 1)由于 E , F 是 A 1D 1 ,B 1C 1 的中点,因此 EF ∥ A 1B 1 , D 1在正方体 ABCD A 1B 1C 1 D 1 中, A 1B 1∥ AB , E(注:缺乏 A 1B 1∥ AB 扣 1 分)A 1G因此 EF ∥ AB . ···················3 分 又 EF 平面 ABHG , AB 平面 ABHG , D(注:缺乏 AB 平面 ABHG 不扣分)A因此 EF ∥平面 ABHG . ················6 分 ( 2)在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中, CD 平面 BB 1C 1C , C 1 F B 1H PCB又 BH 平面 BB 1 C 1C ,因此 BH CD .① ························8 分设 BHCF P ,△ BCH ≌△ CC 1F ,因此 HBCFCC 1,由于∠ HBC +∠PHC =90 ,因此FCC 1 +∠ PHC=90 .因此 HPC 90 ,即 BH CF .② (11)分由①②,又 DC CF C ,DC , CF 平面 CFED , 因此 BH平面 CFED .又 BH 平面 ABHG ,因此平面 ABHG ⊥平面 CFED . ······························14 分(注:缺乏 BH 平面 ABHG ,此三分段不给分)17. 解( 1)由题意,轮船航行的方向角为θ,因此 BAP 90,AB 50 , 则 AP50 ) 50 , BP 50tan(90) 50sin(90) 50cos .cos(90sincos(90) sinPC 100 BP10050cossin . ····························4 分(注: AP ,BP 写对一个给 2 分)由 A 到 P 所用的时间为 t 1AP2 ,25sin10050cos由 P 到 C 所用的时间为 t 2sin 4 2cos75 3, ············6 分3sin因此由 A 经 P 到 C 所用时间与 θ的函数关系为f ( ) t 1 t 22 4 2cos6 2cos 4. ·················8 分sin3 3sin3sin3函数 f ( ) 的定义域为 ( ,] ,此中锐角 的正切值为 1.2 2( 2)由(6 2cos4,(,],1), f ( )3sin32f ( )6(1 3cos ),令 f ( )0 ,解得 cos1, ···············10 分9si n 23设 θ0 (0, ) ,使 cos132(, 0 )θ0( 0 , )2f ( )f ( ) 减函数极小值 增函数··················································12 分因此,当0 时函数 f(θ)获得最小值,此时 50cos BP=sin252≈17.68 km ,2答:在 BC 上选择距离 B 为 17.68 km 处为登岸点,所用时间最少. ········14 分(注:结果保存根号,不扣分 )18. 解( 1)由题意c 2 2c , ························1 分a,故 a2又椭圆上动点 P 到一个焦点的距离的最小值为 3( 2 1) ,因此 a c 3 2 3 ,··················································2 分解得 c 3, a 3 2 ,因此 b 2 a 2 c 2 9 , ························4 分因此椭圆 C 的标准方程为x 2y 2 1.··························6 分18 9 ,则 x 4 ,( 2)当直线 l 的斜率为 0 时,令 y 1此时以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 ( y 1) 16 . ···················7 分 当直线 l 的斜率不存在时,以AB 为直径的圆的方程为x 2 y 29 , ·······8 分联立x 2 ( y 1) 16,3 ,即两圆过点 T (0,3) .x2y29,解得 x 0, y猜想以 AB 为直径的圆恒过定点 T (0,3) .························9 分 对一般状况证明以下:设过点 M (0, 1) 的直线 l 的方程为 ykx1与椭圆 C 交于 A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ,y kx 1,整理得 (1 2k 224kx16 0 ,则2 2 y 2) xx 18,因此x 1x 24k2, x 1 x 216. ························12 分11 22k2k3 分)(注:假如不猜想,直接写出上边的联立方程、韦达定理,正确的给 由于 TA TB (x 1, y 13) ( x 2 , y 2 3) x 1 x 2 y 1 y 2 3( y 1y 2 ) 9x 1 x 2 (kx 1 1)(kx 2 1) 3(kx 1 1 kx 2 1) 921)x 1 x 2 4 k (x 1 x 2 ) 16(k16( k 2 1) 16k 216 16(1 2k2) 16 0 ,1 2k2 1 2k 2 1 2k 2因此 TA TB .(0,3)因此存在 以 AB 为直径的圆恒过定点 T ,且定点 T 的坐标为 . ········16 分19. 解( 1)①当 n ≥ 2 时,由 S nSn 1a n 2 2 ①3 ,则 S nS na n 2 12 ②13,② -①得a n 1a n1 (a n2 1 a n 2 ) ,即 a n 1 a n3 , n ≥ 2 ············2 分3当 n 2 时,由①知 a 1 a 2a 1 a 22 2 23a 2 10 0 ,,即 a 23解得 a 2 5 或 a 22 (舍),因此 a 2a 1 3,即数列 { a n } 为等差数列,且首项 a 1 3,因此数列 { a n }的通项公式为 a n 3n 1 . ·······················5 分(注:不考证 a 2 a 1 3扣1分)②由①知,3 n1 ,因此Sn(3n1 2) 3n 2nn,an22≥S n n13n 2n对全部 n 由题意可得n 2 N * 恒成立,2 2记 c n3n 2 n 3(n 1)2(n 1)2 n 2 ,则 c n 1 n 1, n ≥ 2 ,2因此 c n c n 13n 2 11n 4 , n ≥ 2 , ·······················8 分2n 2当 n 4 时, c nc n 1 ,当 n 4 时, c 413,且 c 315, c 2 7, c 1 1 ,16168 2因此当 n3时, c n 3n 2 n 获得最大值 15 ,2n 216因此实数的取值范围为 15,) . ···························11 分[16( 2)由题意,设 a n a 1q n 1( q 0, q 1), a 1 a 2a n T n,两边取常用对数,10 T n lg a 1 lg a 2lg a n .令 b nlg a n n lg q lg a 1 lg q ,则数列 { b n} 是以 lg a 1为首项, lg q 为公差的等差数列,13············· 分T( k 1) nT( k 1) n( k 1)n lg a 1 (k1)n[(k 1)n 1] lg q为定值,令,则2,若Tknkn( kn 1)Tknknlg a 1lg q2即 {[( k 1)2k 2 ]lg q} n [( k1) k ](lg a 12 )lg q 0对 n N * 恒成立,q 由于 q0,q 1 ,问题等价于 (k 1)2k 20,(k 1)k 0或 a 12 q.将k1代入 ( k 1)k 0 ,解得0或1 .k由于 k N * ,因此0,1,2q ,又 a n0, 故a1q. ···························16 分因此 a 120. 解( 1)当 a2时, f( x)x 3 x 2 , x 0, e x +2 x,x ≥ 0,当 x 0 时, f ( x) x 3x 2,则 f ( x)3x 22x x(3 x 2) ,令 f ( x)0 ,解得 x 0 或 x2(舍),因此 x 0时, f (x) 0 ,3因此函数 f ( x) 在区间 ( ,0) 上为减函数 . ·······················2 分当 x ≥ 0 时, f ( x) e x2 x , f ( x) e x2 ,令 f ( x) 0 ,解得 x ln2 ,当 0 x ln2 时, f (x) 0,当 x ln2 时, f ( x) 0 ,因此函数 f ( x) 在区间 (0,ln 2) 上为减函数,在区间 (ln 2, ) 上为增函数,且 f (0)1 0 . ······································4 分综上,函数 f (x) 的单一减区间为 (,0) 和 (0,ln 2) ,单一增区间为 (ln 2,) .··················································5 分(注:将单一减区间为 ( ,0) 和 (0,ln 2) 写出 ( ,ln 2) 的扣 1 分)( 2)设 x 0 ,则 x 0 ,因此 f ( x)f ( x) x 3 x 2 e x ax ,由题意, x 3 x 2 e x ax ex3 在区间 (0, ) 上有解,等价于 ax2x 3 在区间 (0, ) 上有解 .························6 分x 记 g ( x) x 2x3( x 0) ,x则 g ( x) 2x13 2x 3x 2 3 ( x 1)(2x 2 3x 3), ···········7 分x2x2x 2令 g (x)0 ,由于 x 0 ,因此 2x 23x3 0 ,故解得 x 1,当 x (0,1) 时, g ( x) 0 ,当 x (1, ) 时, g (x)0 ,因此函数 g( x) 在区间 (0,1) 上单一递减,在区间 (1, ) 上单一递加,故函数 g( x) 在 x 1处获得最小值 g (1) 5 . ·······················9 分要使方程 a g( x) 在区间 (0, ) 上有解,当且仅当a ≥ g( x)min g(1) 5 ,综上,知足题意的实数 a 的取值范围为 [5, ) . ······················10 分( 3)由题意, f ( x)e x a ,当 a ≤0 时, f ( x) 0 ,此时函数 f ( x) 在 [0, ) 上单一递加,由 f ( m)f (n) ,可得 m n ,与条件 | m n |≥ 1 矛盾,因此 a 0 . ·······11 分令 f ( x) 0 ,解得 x ln a ,当 x (0,ln a) 时, f ( x)0 ,当 x (ln a,) 时, f ( x) 0 ,因此函数 f ( x) 在 (0,ln a) 上单一递减,在 (ln a, ) 上单一递加 .若存在 m, n [0,2] , f ( m)f ( n) ,则 ln a 介于 m ,n 之间, ···········12 分不如设 0≤ m ln a n ≤ 2,由于 f ( x) 在 ( m,ln a) 上单一递减,在 (ln a,n) 上单一递加,且 f ( m) f ( n) ,因此当 m ≤ x ≤ n 时, f ( x) ≤ f (m) f (n) ,由 0 ≤ m n ≤ 2 , | m n |≥ 1 ,可得 1 [m, n] ,故 f (1)≤ f (m) f ( n) , 又 f ( x) 在 ( m,ln a) 上单一递减,且 0 ≤ m ln a ,因此 f (m) ≤ f (0) .因此 f (1)≤ f (0) ,同理 f (1)≤ f (2) . ························14 分 e a ≤1,解得 e 1≤ a ≤ e 2 e ,即a ≤ e 2 e 2a,因此 1≤a≤ e . ·······································16 分e 12018 届高三调研测试数学附带题参照答案21A 选修 4- 1 几何证明选讲 PCF, PBD 分别为证明 连 PB , PC ,由于 同弧 BP 上的圆周角和弦切角,因此 PCFPBD . ·············2 分由于 PD BD , PF FC ,因此 △PDB ∽ △PFC ,故PD PB. ·····5 分PBFPCE , PFPC同理, 又 PE EC , PF FB ,因此 △PFB ∽ △ PEC ,故PF PB. ··························8 分PE PC因此PD PF,即 PF 2 PD PE . ···························10 分PFPE21B 选修 4- 2 矩阵与变换解 矩阵 M 的特点多项式为f ( )1 2 223 , ········2 分21令 f ( ) 0 ,解得13,21 ,解得属于 λ的一个特点向量为1 的一个特点向量为11,属于 λ2 2. ····5 分111m 11 1n1m n 1, 解得 m 4,n 3.令n 2 ,即m1 ,因此n 7,71m··················································7 分 因此M4M 4(4 13 2) 4(M 41) 3(M42)41)3(42)4413 41321. ·······10 分4( 123 1 ( 1) 132721C 选修 4- 4 坐标系与参数方程解 由曲线 C 的极坐标方程是2cos 2 2θ=2ρcos θ.= sin 2 ,得 ρsin因此曲线 C 的直角坐标方程是 y 2=2x . ·························2 分由直线 l 的参数方程x 1 t ,为参数 ),得 xy 40 ,y t(t3因此直线 l 的一般方程为 x y 4 0 . ·······················4 分将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的一般方程 y 2 =2x ,得 t 2 8t 7 0 ,设 A , B 两点对应的参数分别为 t 1 , t 2,因此 AB2 | t 1 t 2 |2 (t 1 t 2 )2 4t 1t 2 2 82 4 7 6 2 , ·······7 分由于原点到直线 x y 4 0 的距离 d | 4 | 2 2 ,2因此△ AOB 的面积是 S 1 AB 1 2) (22) 12 . ··········10 分 2 d (621D 选修 4- 5 不等式选讲2解 由于 a , b , c ∈ R , a 2 b 2 c 21,由柯西不等式得 ( a b c)2 ≤ (a 2 b 2 c 2 )(1 1 1) 3 , ············4 分由于 | x 1| | x 1|≥ (a b c)2 对一确实数 a , b , c 恒成立,因此 | x 1| | x 1|≥ 3.当 x1时, 2x ≥ 3 ,即 x ≤ 3;2当 1≤ x ≤1时, 2 ≥3 不可立;当x 1 时, 2 x ≥ 3 ,即 x ≥ 3;2综上,实数 x 的取值范围为 ( ,3 3 , ) . ···················10 分][2222 . 1ABCD ⊥平面 ABEP ,平面 ABCD ∩平面 ABEP AB ,BP ⊥ AB 解( )由于平面,因此 BP ⊥平面 ABCD ,又 AB ⊥ BC ,因此直线 BA , BP ,BC 两两垂直, 以 B 为原点,分别以 BA , BP , BC 为 x 轴, y 轴, z 轴成立以下图的空间直角坐标系 , 则 P 0 2 0 B 0 0 0 ), D ( 2 0 1 E210 ), C 0 0 1( , , ),(, , , , ),(,, ( , , ), 由于 BC ⊥平面 ABPE ,因此 BC (0,0,1) 为平面ABPE 的一个法向量, ············2 分PD (2, 2,1),CD (2,0,0) ,设平面 PCD 的一个法向量为 n ( x, y, z) ,则n CD 0,2 x 0,令 y 1,则n PD即2 x 2 y0,z 0,z2,故 n (0,1,2) , ·············4 分设平面 PCD 与平面 ABPE 所成的二面角为 ,则cosn BC 252 5 ,| n | |BC | 15明显 0π 2 5. ···6分,因此平面 PCD 与平面 ABPE 所成二面角的余弦值25( 2)设线段 PD 上存在一点 N ,使得直线 BN 与平面 PCD 所成角 α的正弦值等于 2.5设 PNPD (2 , 2 , )(0 ≤ ≤1) , BN BP PN (2 ,2 2 , ).···7 分由( 1)知,平面 PCD 的一个法向量为 n (0,1,2) ,因此 cos BN ,nBN n22 ,| BN | | n|5 9 28 45即 9 281 0 ,解得1或1(舍去). ·················9 分9当点 N 与点 D 重合时,直线BN 与平面 PCD 所成角的正弦值为2. ······10 分523. 解( 1)由于f (n)[ f (n1) 1]2[2 f ( n 1)] ,整理得 f (n1)4 f ( n) ,f ( n) 214 2147由 f (1)2 ,代入得 f (2), f (3) 22 22 1,522因此 f (3) f (2)7 1 9····························2 分52.10( 2)由 f (1) 2 , f (2)1,可得 a 4,b 1. ·················3 分 以下用数学概括法证明25 5存在实数, a 4 , b1 ,使 f (n)11 成立.5 54 ( 3 ) n15 25① 当 n1时,明显成立.··································4 分② 当 n k 时,假定存在 a4 ,b 1f ( k)11 成立,5 ,使得435( ) k 15 2 5 ··················································5 分41143 )k14f ( k) ( )(那么,当 nk 1 时, f ( k 1)5 25f ( k ) 211 24)(3 ) k1(12 ( 3)k 85 2 51 15 2 512 ( 3 )k 2 16 ( 3) k 14 ( 3) k 11 1 ,5 255 255 25即当n k 1 时,存在 a 4,b1,使得 f ( k 1) 1 1 成立.35 5 4 k 1 1( )55 2··················································9 分由①,②可知,存在实数,4 1 ,使 f (n) 1 1 对随意正整a,b5 35 a( n b)2数 n 恒成立.··········································10分。

推荐-江苏省苏州中学2018-2018年上学期高三期中试卷数

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江苏省苏州中学2018-2018学年度第一学期期中考试高三数学班级 学号 姓名 成绩一、选择题:1.若a<-1,不等式x 2-(a1+a )x +1<0的解集为 ……( ) (A ){ x |a <x <a 1} (B ){ x |a 1<x < a }(C ){ x |x >a 1或x <a } (D ){ x |x <a1或 x >a }2.函数f (x )=1212-++-x x x 的图象关于 …… ( )(A )原点对称 (B )y 轴对称 (C )x 轴对称 (D )直线y =x 对称 3.函数y =4sin (x +6π)sin (3π-x )的图象是将函数y =2sin 2x 的图象……( ) (A )向左平移3π (B )向右平移3π(C )向左平移6π (D )向右平移6π4.设M 、N 是非空集合,现定义:M -N={x | x ∈M ,且∉x N },按该定义:M -(M -N )等于 …… ( ) (A )M (B )N (C )M ∪N (D )M ∩N 5.设6πα-为锐角,sin (6πα-)=31,则cos α的值为 …… ( ) (A )6162+ (B )6162- (C )4132+ (D )4132- 6.数列1,31,31,31,51,51,51,51,51,71……的前100项之和为 …… ( ) (A )10 (B )19191 (C )11 (D )212097.函数y =log 21(x 2-ax +3a )在[2,+∞)上是减函数,则a 的取值范围是……( )(A )(-∞,4) (B )(-4,4](C )(-∞,-4)∪[2,+∞] (D )[-4,4] 8.在△ABC 中,三边为a 、b 、c ,且三角形面积S ∆≥)(123222c b a ++.则该三角形一定是 ……( )(A )直角三角形 (B )等腰三角形 (C )正三角形 (D )等腰直角三角形9.函数y =f (x +2)-1 的反函数为y =g (x )且f (4)=2,则一定有……( )(A )g (2)= 4 (B )g (3)=1 (C )g (1)=5 (D )g (1)=2 10.设函数f (x )在R 上为奇函数,且满足f (x +2)=-f (x ).当0≤x ≤1时,f (x )=x ,则方程13 f (x )= x 的根有 ……( ) (A )7个 (B )13个 (C )14个 (D )26个二、填空题:11.已知集合A={x |mx +1=0},B={x | x 2-2 x -3=0},且A ⊆B ,则m = . 12.函数y=3x +4x -1的最大值为 .13.某企业的产值从2018年到2018年的年增长率为p ,则月平均增长率为 . 14.对函数f (x )=xxx cos cos 3cos -有下列四个结论中正确的为 .⑴值域为[0,4] ⑵最大值为0⑶最小值为-4 ⑷f (x )>-4恒成立15.设数列{n a },{n b }分别为正项等比数列,T n ,R n 分别为数列{lg n a }与{lg n b }的前n 项和,且12+=n nR T n n ,则log 5b 5a 的数值为 . 三、解答题:16.已知函数f (x )=a )cos (sin x x ++sinxcosx 在R 上的最小值为-1.求a 的值.17.在等比数列{n a }中,6a -4a =24,5a 3a =64 ⑴求数列{n a }的前8项之和.⑵试比较数列{na 21}的前n 项和与32的大小.18.计算:︒+︒︒+︒+︒40cos 170sin )10tan 31(50sin 40cos19.已知数列{n a }满足前n 项和为n S =n 2+1,数列{n b }满足n b =12+n a ,且前n 项和为n T .设n c =n n T T -+12 ⑴求数列{n b }的通项公式; ⑵判断数列{n c }的增减性; ⑶当n ≥2时,n n T T -+12< 51-)1(log 127-a a 恒成立,求a 的取值范围.20.已知二次函数f (x )=a c bx x ++2(a >0),对称轴方程为=x 0x ,方程f (x )=1有一个根为0,方程f (x )=x 有两个根1x ,2x . ⑴如1x <2<2x <4 .求证: 0x >-1.⑵如0<1x <2 ,|2x -1x |=2 .求b 的取值范围.高三数学期中试卷答案一、1、A 2、B 3、C 4、D 5、B 6、A 7、B 8、C 9、D 10、B二、11、11,0,3- 12、5 13、()11211p +- 14、⑵⑷ 15、919三、16、解:令sin cos ,x x t t +=≤≤()212t f x at -∴=+= ()()22111,22t a a +--(ⅰ)当a ≤时,()2111,12a a -+=-=±。

推荐-苏州市2018-2018年上学期高三期中考试六校联考数

推荐-苏州市2018-2018年上学期高三期中考试六校联考数

2018-2018学年第一学期高三期中考试数学试卷命题学校:江苏省木渎中学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.与直线240x y -+=平行的曲线4y x =的切线方程是( )A .3208x y -+= B .3208x y --= C .5208x y -+=D .5208x y --=2.设12()nx x x f n n+++=,其中n 是大于1的正整数,若(1)kk x =-,1,2,,k n =,则()f n 的取值集合是( )A .1{1,}n B .1{1,}n - C .1{0,}n D .1{0,}n - 3.已知2211()11x x f x x --=++,则()f x 的解析式可取为( )A .21x x + B .212x x +-C .212x x + D .21x x +-4.已知数列}{n a 中,114a =,54a =,且满足212nn n a a a ++=(1,2,3,n =),则8a =( )A .16B .16±C .32D .32±5.若011<<b a ,则下列不等式:①||||a b >;②ab b a <+;③2>+b a a b ;④22a a bb <-中,正确的不等式有( )A .1个B .2个C .3个D .4个6.已知a 、b 是非零向量且满足(3)a b a -⊥,(4)a b b -⊥ ,则a 与b 的夹角是( )A .6πB .3πC .32πD .65π7.从4名男生和5名女生中任意选出3人参加一个会议,其中至少有1名男生和一名女生,则不同的选派方案有( ) A .140种 B .84种 C .70种 D .35种 8.铜质的球体由于温度的变化,其半径增加了0.1%,则它的体积约增加了( )A .0.1%B .0.2%C .0.3%D .0.4%9.函数12()2x f x =和函数2()2log g x x =的图像的交点个数为( )A .0B .1C .2D .310.设全集{(,)|,U x y xR y R =∈∈,集合{(,)|2A x y x y m =-+>,集合{(,)|B x y x yn =+-≤,那么点(2,3)P A B ∉的充要条件是( )A .1m >-或5n ≥B .1m >-且5n ≥C .1m ≤-或5n <D .1m ≤-且5n <11.定义在区间[,]a b (b a >)上的函数1()sin 2f x x x =的值域是1[,1]2-,则b a -的最大值M 和最小值m 分别是( )A .,63m M ππ==B .2,33m M ππ==C .24,33m M ππ== D .4,23m M ππ==12.若,x R n N ∈∈,定义:(1)(2)(1)nx M x x x x n =+++-,例如:34(4)(3)(2)24M -=---=-,则函数115()sin x f x M x -=⋅的奇偶性是( )A .是偶函数不是奇函数B .是奇函数不是偶函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数又不是偶函数第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上。

2021届江苏省苏州市2018级高三上学期期中考试数学试卷参考答案

2021届江苏省苏州市2018级高三上学期期中考试数学试卷参考答案
2021届江苏省苏州市2018级高三上学期期中考试数学试卷
提示: ,利用完美区间法代入验证.
10.答案:BC
提示:A错: ;B对: 对称轴为7;
C对: ;D错:由CLeabharlann 知不一定.11.答案:ABD
提示:由题意知 ,故 .
12.答案:ABC
提示:
13.答案:
提示:
14.答案:
提示:
15.答案:40000
提示:
利润为40000.
16.答案:2
提示:根据题意构造 , 为奇函数且单调增,故
2021届江苏省苏州市2018级高三上学期期中考试
数学参考答案
1.答案:C
提示:
2.答案:C
提示:
3.答案:B
提示:
4.答案:B
提示: 定义域为R 故必要不充分.
5.答案:A
提示:① 为奇函数,② ,③
6.答案:B
提示:
7.答案:C
提示: 两式相比得
8.答案:A
提示: 代入验证选A最合适.
9.答案:BC
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江苏省苏州市2018届高三第一学期期中调研试卷数 学 2017.11一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案直接填写在答卷纸...相应的位置) 1.已知集合{1,2,3,4,5},{1,3},{2,3}U A B ===,则()U A B =ðI ▲ . 2.函数1ln(1)y x =-的定义域为 ▲ .3.设命题:4p x >;命题2:540q x x -+≥,那么p 是q 的 ▲ 条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).4.已知幂函数22*()m m y x m -=∈N 在(0,)+∞是增函数,则实数m 的值是 ▲ . 5.已知曲线3()ln f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线的斜率为2,则实数a 的值是 ▲ . 6.已知等比数列{}n a 中,32a =,4616a a =,则7935a a a a -=- ▲ .7.函数sin(2)(0)2y x ϕϕπ=+<<图象的一条对称轴是12x π=,则ϕ的值是 ▲ . 8.已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减,且(2)0f =,则不等式()01f x x >-的解集为 ▲ .9.已知tan()24απ-=,则cos2α的值是 ▲ .10.若函数8,2()log 5,2ax x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤(01)a a >≠且的值域为[6,)+∞,则实数a 的取值范围是 ▲ . 11.已知数列{},{}n n a b 满足1111,1,(*)21n n n n a a b b n a +=+==∈+N ,则122017b b b ⋅⋅=L ▲ . 12.设ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,D 为AB 的中点,若cos sin b a C c A =+且CD =则ABC △面积的最大值是 ▲ .13.已知函数()sin()6f x x π=-,若对任意的实数5[,]62αππ∈--,都存在唯一的实数[0,]m β∈,使()()0f f αβ+=,则实数m 的最小值是 ▲ . 14.已知函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨+⎩≤,若直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点(,()),(,()),A m f m B n f n(,())C t f t (其中m n t <<),则12n m++的取值范围是 ▲ . 二、解答题(本大题共6个小题,共90分,请在答题卷区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)已知函数1())(0,0)42f x ax b a b π=+++>>的图象与x 轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为2π. (1)求,a b 的值;(2)求()f x 在[0,]4π上的最大值和最小值.16.(本题满分14分)在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知sin sin sin ()B C m A m +=∈R ,且240a bc -=. (1)当52,4a m ==时,求,b c 的值; (2)若角A 为锐角,求m 的取值范围.17.(本题满分15分)已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,且满足11a =,*131()n n S S n +=+∈N . (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)在数列{}n b 中,13b =,*11()n n n na b b n a ++-=∈N ,若不等式2n n a b n λ+≤对*n ∈N 有解,求实数λ的取值范围.如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是等腰梯形,其中AB 为2米,梯形的高为1米,CD 为3米,上部CmD 是个半圆,固定点E 为CD 的中点.MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计),且滑动过程中始终保持和CD 平行.当MN 位于CD 下方和上方时,通风窗的形状均为矩形MNGH (阴影部分均不通风). (1)设MN 与AB 之间的距离为5(02x x <≤且1)x ≠米,试将通风窗的通风面积S (平方米)表示成关于x 的函数()y S x =;(2)当MN 与AB 之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积S 取得最大值?19.(本题满分16分)已知函数2()ln ,()f x x g x x x m ==--. (1)求过点(0,1)P -的()f x 的切线方程;(2)当0=m 时,求函数()()()F x f x g x =-在],0(a 的最大值;(3)证明:当3m ≥-时,不等式2()()(2)e x f x g x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立(其中e 为自然对数的底数,e 2.718...=).20.(本题满分16分)已知数列{}n a 各项均为正数,11a =,22a =,且312n n n n a a a a +++=对任意*n ∈N 恒成立,记{}n a 的前n 项和为n S .(1)若33a =,求5a 的值;(2)证明:对任意正实数p ,221{}n n a pa -+成等比数列;(3)是否存在正实数t ,使得数列{}n S t +为等比数列.若存在,求出此时n a 和n S 的表达式;若不存在,说明理由.2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数 学 (附加题部分)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答....................若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .(几何证明选讲) (本小题满分10分)如图,AB 为圆O 的直径,C 在圆O 上,CF AB ⊥于F ,点D 为线段CF 上任意一点,延长AD 交圆O 于E ,030AEC ∠=. (1)求证:AF FO =;(2)若CF =,求AD AE ⋅的值.B .(矩阵与变换) (本小题满分10分)已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,42α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r ,求49αu r A 的值.C .(极坐标与参数方程) (本小题满分10分)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为42525x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为cos()(0)4a ρθπ-≠. (1)求直线l 和圆C 的直角坐标方程;(2)若圆C 任意一条直径的两个端点到直线l,求a 的值.D .(不等式选讲) (本小题满分10分)设,x y 均为正数,且x y >,求证:2212232x y x xy y ++-+≥.B【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)在小明的婚礼上,为了活跃气氛,主持人邀请10位客人做一个游戏.第一轮游戏中,主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中,让客人依次去摸,摸到数字6,7,…,10的客人留下,其余的淘汰,第二轮放入1,2,…,5五张卡片,让留下的客人依次去摸,摸到数字3,4,5的客人留下,第三轮放入1,2,3三张卡片,让留下的客人依次去摸,摸到数字2,3的客人留下,同样第四轮淘汰一位,最后留下的客人获得小明准备的礼物.已知客人甲参加了该游戏. (1)求甲拿到礼物的概率;(2)设ξ表示甲参加游戏的轮数..,求ξ的概率分布和数学期望()E ξ.23.(本小题满分10分)(1)若不等式(1)ln(1)x x ax ++≥对任意[0,)x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围; (2)设*n ∈N ,试比较111231n ++++L 与ln(1)n +的大小,并证明你的结论.2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1.{1} 2.(1,2)(2,)+∞U 3.充分不必要 4.1 5.136.4 7.3π8.(2,0)(1,2)-U 9.45- 10.(1,2]11.12018 121 13.2π14.1(1,e )e +二、解答题(本大题共6个小题,共90分) 15.(本题满分14分)解:(1)∵()f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为2π, ∴()f x 的周期为2π,∴202||2a a ππ=>且,······································································2分 ∴2a =,··················································································································4分此时1())42f x x b π=+++, 又∵()f x 的图象与x 轴相切,∴1||022b b +=>,·······················································6分∴122b =-;··········································································································8分 (2)由(1)可得())4f x x π=+, ∵[0,]4x π∈,∴4[,]444x ππ5π+∈,∴当444x π5π+=,即4x π=时,()f x;·················································11分当442x ππ+=,即16x π=时,()f x 有最小值为0.························································14分16.(本题满分14分)解:由题意得b c ma +=,240a bc -=.···············································································2分(1)当52,4a m ==时,5,12b c bc +==, 解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩;································································································6分(2)2222222222()()22cos 23222a ma abc a b c bc a A m a bc bc--+-+--====-,····························8分 ∵A 为锐角,∴2cos 23(0,1)A m =-∈,∴2322m <<,····················································11分 又由b c ma +=可得0m >,·························································································13分m <<·····································································································14分 17.(本题满分15分)解:(1)∵*131()n n S S n +=+∈N ,∴*131(,2)n n S S n n -=+∈N ≥,∴*13(,2)n n a a n n +=∈N ≥,·························································································2分 又当1n =时,由2131S S =+得23a =符合213a a =,∴*13()n n a a n +=∈N ,······························3分 ∴数列{}n a 是以1为首项,3为公比的等比数列,通项公式为1*3()n n a n -=∈N ;·····················5分 (2)∵*113()n n n na b b n a ++-==∈N ,∴{}n b 是以3为首项,3为公差的等差数列,····················7分 ∴*33(1)3()n b n n n =+-=∈N ,·····················································································9分 ∴2n n a b n λ+≤,即1233n n n λ-⋅+≤,即2133n n nλ--≤对*n ∈N 有解,··································10分 设2*13()()3n n n f n n --=∈N , ∵2221(1)3(1)32(41)(1)()333n n nn n n n n n f n f n -+-+---++-=-=, ∴当4n ≥时,(1)()f n f n +<,当4n <时,(1)()f n f n +>, ∴(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f <<<>>>L , ∴max 4[()](4)27f n f ==,···························································································14分 ∴427λ≤.·············································································································15分 18.(本题满分15分)解:(1)当01x <≤时,过A 作AK CD ⊥于K (如上图),则1AK =,122CD AB DK -==,1HM x =-, 由2AK MH DK DH ==,得122HM x DH -==, ∴322HG DH x =-=+,∴2()(1)(2)2S x HM HG x x x x =⋅=-+=--+;·······························································4分当512x <<时,过E 作ET MN ⊥于T ,连结EN (如下图), 则1ET x =-,2MN TN ==∴MN =∴()(1)S x MN ET x =⋅=-,······································································8分综上:22,01()52(12x x x S x x x ⎧--+<⎪=⎨-<<⎪⎩≤;·································································9分 (2)当01x <≤时,2219()2()24S x x x x =--+=-++在[0,1)上递减, ∴max ()(0)2S x S ==;································································································11分2︒当512x <<时,229(1)(1)94()2(224x x S x x -+--=-⋅=,当且仅当(1)x -=51(1,)2x +∈时取“=”, ∴max 9()4S x =,此时max 9()24S x =>,∴()S x 的最大值为94,············································14分 答:当MN 与AB1+米时,通风窗的通风面积S 取得最大值.····················15分 19.(本题满分16分)解:(1)设切点坐标为00(,ln )x x ,则切线方程为0001ln ()y x x x x -=-, 将(0,1)P -代入上式,得0ln 0x =,01x =,∴切线方程为1y x =-;·······························································································2分 (2)当0m =时,2()ln ,(0,)F x x x x x =-+∈+∞, ∴(21)(1)(),(0,)x x F x x x+-'=-∈+∞,············································································3分 当01x <<时,()0F x '>,当1x >时,()0F x '<,∴()F x 在(0,1)递增,在(1,)+∞递减,·············································································5分 ∴当01a <≤时,()F x 的最大值为2()ln F a a a a =-+;当1a >时,()F x 的最大值为(1)0F =;········································································7分 (3)2()()(2)e x f x g x x x +<--可化为(2)e ln x m x x x >-+-,设1()(2)e ln ,[,1]2x h x x x x x =-+-∈,要证3m ≥-时()m h x >对任意1[,1]2x ∈均成立, 只要证max ()3h x <-,下证此结论成立.∵1()(1)(e )x h x x x'=--,∴当112x <<时,10x -<,·······················································8分 设1()e x u x x =-,则21()e 0x u x x '=+>,∴()u x 在1(,1)2递增,又∵()u x 在区间1[,1]2上的图象是一条不间断的曲线,且1()202u <,(1)e 10u =->,∴01(,1)2x ∃∈使得0()0u x =,即001e x x =,00ln x x =-,····················································11分 当01(,)2x x ∈时,()0u x <,()0h x '>;当0(,1)x x ∈时,()0u x >,()0h x '<; ∴函数()h x 在01[,]2x 递增,在0[,1]x 递减, ∴0max 00000000012()()(2)e ln (2)212x h x h x x x x x x x x x ==-+-=-⋅-=--,····························14分 ∵212y x x =--在1(,1)2x ∈递增,∴0002()121223h x x x =--<--=-,即max ()3h x <-,∴当3m ≥-时,不等式2()()(2)e x f x g x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立.··························16分 20.(本题满分16分)解:(1)∵1423a a a a =,∴46a =,又∵2534a a a a =,∴54392a a ==;·······································2分(2)由3121423n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=⎧⎨=⎩,两式相乘得2134123n n n n n n n a a a a a a a ++++++=,∵0n a >,∴2*42()n n n a a a n ++=∈N ,从而{}n a 的奇数项和偶数项均构成等比数列,···································································4分 设公比分别为12,q q ,则1122222n n n a a q q --==,1121111n n n a a q q ---==,······································5分 又∵312=n n n n a a a a +++,∴42231122a a qa a q ===,即12q q =,···························································6分 设12q q q ==,则2212223()n n n n a pa q a pa ---+=+,且2210n n a pa -+>恒成立,数列221{}n n a pa -+是首项为2p +,公比为q 的等比数列,问题得证;····································8分 (3)法一:在(2)中令1p =,则数列221{}n n a a -+是首项为3,公比为q 的等比数列,∴22212223213 ,1()()()3(1),11k k k k k k k q S a a a a a a q q q---=⎧⎪=++++++=-⎨≠⎪-⎩, 12122132 ,13(1)2,11k k k k k k k q q S S a q q q q ---⎧-=⎪=-=⎨--≠⎪-⎩,·····································································10分 且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+,∵数列{}n S t +为等比数列,∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩,即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩(3t =-舍去), (13)分∴224121k k k S =-=-,212121k k S --=-, 从而对任意*n ∈N 有21n n S =-, 此时2n n S t +=,12n n S tS t-+=+为常数,满足{}n S t +成等比数列,当2n ≥时,111222n n n n n n a S S ---=-=-=,又11a =,∴1*2()n n a n -=∈N ,综上,存在1t =使数列{}n S t +为等比数列,此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N .······················16分 法二:由(2)知,则122n n a q -=,121n n a q --=,且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+,∵数列{}n S t +为等比数列,∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩,即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩(3t =-舍去), (11)∴121222n n n a q --==,22212n n a --=,从而对任意*n ∈N 有12n n a -=,····································13分 ∴01211222222112n n n n S --=++++==--, 此时2n n S t +=,12n n S t S t-+=+为常数,满足{}n S t +成等比数列, 综上,存在1t =使数列{}n S t +为等比数列,此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N .······················16分21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答....................若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .(几何证明选讲,本小题满分10分)解:(1)证明 :连接,OC AC ,∵030AEC ∠=,∴0260AOC AEC ∠=∠=,又OA OC =,∴AOC ∆为等边三角形,∵CF AB ⊥,∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线,∴AF FO =;······································································5分(2)解:连接BE ,∵CF ,AOC ∆是等边三角形,∴可求得1AF =,4AB =,∵AB 为圆O 的直径,∴90AEB ∠=o ,∴AEB AFD ∠=∠,又∵BAE DFA ∠=∠,∴AEB ∆∽AFD ∆,∴AD AF AB AE=, 即414AD AE AB AF ⋅=⋅=⨯=.··················································································10分B .(矩阵与变换,本小题满分10分)解:矩阵A 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----, 令()0f λ=,解得矩阵A 的特征值121,3λλ=-=,····························································2分当11λ=-时特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r ,当23λ=时特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ,·····································6分 又∵12432ααα⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦u ru u r u u r ,······························································································8分 ∴5049494911225031331αλαλα⎡⎤-=+=⎢⎥+⎣⎦u r u u r u u rA .···········································································10分 C .(极坐标与参数方程,本小题满分10分)解:(1)直线l 的普通方程为220x y +-=; (3)B。

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