经典中值定理与导数的应用(学习指导
第四章中值定理与导数应用
嘉兴学院
27 March 2024
第四章 中值定理与导数应用
第10页
定理 如果函数 f (x) 在区间I 上的 导数恒为零,那末 f (x) 在区间I 上 是一个常数.
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第四章 中值定理与导数应用
第11页
例3 验证Lagrange中值定理对函数 f (x) x3在区间[ 0,1]上的正确性，
并求满足定理的值. 例4 证明 arcsin x arccos x
2 (1 x 1).
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——证明恒等式的一般方法
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第四章 中值定理与导数应用
第12页
例5 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
例6 设 Lim f (x) K , 求 x＋
罗尔定理条件.
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第四章 中值定理与导数应用
备用题
第25页
1. 设 f (x) 在 [0,1] 连续，(0,1) 可导，且 f (1) 0 ,
求证存在 (0,1),使
证: 设辅助函数 (x) xn f (x)
显然 (x) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件,
因此至少存在 (0,1) , 使得 ( ) n n1 f ( ) n f ( ) 0
Lim [ f (x a) f (x)].(a 0)
x＋
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第四章 中值定理与导数应用
三、柯西(Cauchy)中值定理
第14页
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x)满
足(1)在闭区间[a, b]上连续,
(2)在开区间(a, b) 内可导,
中值定理与导数的应用
中值定理与导数的应用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
而中值定理则是导数的重要应用之一，它揭示了函数在某一区间内必然存在某一点，使得该点的斜率等于该区间的平均斜率。
在实际问题中，中值定理具有广泛的应用，可以帮助我们解决各种与变化率相关的问题。
让我们来了解一下中值定理的基本原理。
根据中值定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少存在一点c，使得函数在c处的导数等于函数在[a, b]上的平均斜率。
换句话说，函数在区间内的某一点的瞬时变化率与整个区间的平均变化率相等。
中值定理的一个重要推论是拉格朗日中值定理。
根据拉格朗日中值定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少存在一点c，使得函数在c处的导数等于函数在[a, b]上的斜率。
换句话说，拉格朗日中值定理给出了函数在某一区间内某一点的瞬时变化率与该区间的斜率之间的对应关系。
中值定理的应用非常广泛。
一个常见的应用是求函数在某一区间内的最大值和最小值。
根据极值存在定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，那么它在该区间内必然存在最大值和最小值。
根据中值定理，我们可以通过求函数在该区间内的导数为0的点，来确定函数的极值点。
另一个常见的应用是求函数的单调性。
根据中值定理，如果一个函数在某一区间内的导数恒大于0（或恒小于0），那么该函数在该区间内必然是递增的（或递减的）。
因此，我们可以通过求函数的导数来确定函数在某一区间内的单调性。
中值定理还可以用来解决一些与速度和加速度相关的问题。
例如，在物理学中，我们经常需要计算物体在某一时间段内的平均速度和瞬时速度。
根据中值定理，我们可以通过求物体在该时间段内的位移与时间的比值，来确定物体在某一时刻的瞬时速度。
中值定理是导数的重要应用之一，它可以帮助我们解决各种与变化率相关的问题。
中值定理及导数应用笔记
中值定理及导数应用笔记中值定理是微积分学中一个重要的定理，它的主要内容是，若在定义域上的某个闭区间上存在函数f(x)，其满足f（a）=f（b）且f 第一次导数在区间内存在，则必有存在一个定点c，使得f（c）=f （a）=f（b）以及f（c）=0，这个定点c就是中值定点。
中值定理的应用非常广泛，在定理的基础上我们可以对函数的最大值、最小值、极值点，以及函数的单调性、函数的奇偶性等等特性进行讨论、分析。
首先，我们来讨论二次函数的性质。
知函数f(x)=ax2＋bx＋c（a ≠0），利用中值定理，可以知道f(x)=2ax+b=0，解得x=-b/2a，即为函数的极值点。
者，我们可以利用中值定理来判断函数是否在某个区间内单调，即在定义域上的某个闭区间上用f(x)>0或f(x)<0来判断函数是否在该区间是单调递增或单调递减。
此外，中值定理还可以用来判断函数是否是奇函数或偶函数。
知函数f（x），如果f(-x)=f(x)，则定义为偶函数，此时f（x）在全定义域上的值都为0；如果f(-x)=-f(x)，则为奇函数，此时f（x）在任意定义域上均有值，且f(0)=0。
另外，中值定理还可以用于分析多元函数的极值点的性质及其存在的条件，以及在不同情况下求解极值点的方法。
多元函数中，若某个极值点对所有变量都满足偏导数为0，则此极值点为极大值点；如果有变量的偏导数大于0，则此极值点为极小值点。
最后，中值定理作为微积分的重要定理，在微积分的诸多数学问题的求解过程中发挥着至关重要的作用，它也被广泛用于物理学和工程学中的各种应用领域，以帮助人们求解多变量函数的极值点问题。
本文就以中值定理为主题，介绍了它的定义特性，原理及其应用，以期为大家带来一些有用的指导，同时帮助大家在实际应用中更加得心应手，从而掌握微积分的精髓。
第四章.中值定理与导数的应用
第四章．中值定理与导数的应用要求掌握的内容：1、理解罗尔定理和拉格朗日中值定理2、会用洛必达法则求函数极限3、掌握函数单调性的判别方法4、了解函数极值的概念，掌握函数极值、最值的求法及应用5、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数的拐点和渐近线。
6、会描绘简单函数的图形一、罗尔定理如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；其中a不等于b；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0.罗尔定理的三个已知条件的直观意义是：f(x)在[a,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；f(x)在内(a,b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；f(a)=f(b)表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴.罗尔定理的结论的直观意义是：在(a,b)内至少能找到一点ξ，使f'(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，也就平行于x轴.二、拉格郎日中值定理定义：如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)，上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理几何意义：若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直与x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行.三、罗比达法则洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
第四章 中值定理与导数的应用
3）在（a,b）内任一点 x 处
都不等于零.
则在区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得等式
（柯西公式） 成立. 在柯西定理中，当 F(x)=x 时，则有
，于是定理的结论变成
而这正是拉格朗日值定理的结论.因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，或者 说柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.
我们先看一下柯西中值定理的几何意义，然后再证明这个定理.
7
解：1）f(x)在[0，1]上连续：
2）f(x)在(0,1)内可导（
在
(0,1)内有定义)，故 f(x)满足拉格朗日中值定理的条件.
，
设
由此解得
（负根不在所给的区间内，舍去）
故取 =
，则有
成立.
即验证了拉格朗日中值定理对 f(x)=arctanx 在[0，1]上正确.
三、柯西中值定理
如果函数 f(x)和 F(x)满足条件： 1）在闭区间[a,b]上连续； 2）在开区间（a,b）内可导；
(图四) 因此它不满足条件 2），虽然满足条件 1）和 3），但定理结论不成立.从图形上看，显然没有水平 切线.
例 3． (x)=x,x∈[0,1]
函数 f(x)满足条件 1）和 2），但 f(0)≠f(1)(见图五)
(图五) 3
因此不满足条件 3），所以在（0，1）内不存在ξ，使
,也即定理的结论不成立.从图形上
看，显然也没有水平切线. （2）罗尔定理的三个条件是充分的，而不是必要的。即如果定理的三个条件不完全满足或
都不满足时，定理的结论也有可能成立.
例 4．
因为函数 f(x)在点
处不连续、不可导，
且
（见图六），
(图六) 所以 f(x)不满足罗尔定理的全部条件，但是我们可以在区间
中值定理及导数的应用(一)
的极大值点
中值定理及应用
2、若对于该邻域内任意的x(x x0 )
总有f (x) f (x0). 则称 f (x0)为函数
f (x) 的极小值，并称点 x0是 f (x)
的极小值点 函数的极大值与极小值统称为函 数的极值，极大值点与极小值点统
称为函数的极值点。
D、若函数 f (x)在点 x0 连续，则 f (x0)
一定存在
中值定理及应用
四、函数的最大值与最小值
定义
设函数y f (x) 在闭区间[a,b]上有定
义，设 x0 [a,b], 若对于任意 x [a,b], 恒有f (x) f (x0)[或f (x) f (x0) ]，则称 f (x0)
为函数f (x)在闭区间[a,b]上的最大(小) 值。称 x0为f (x) 在闭区间[a,b]上的最
x (x0, x0 )时，f (x) 0, 则函数
f (x)在点 x0处取得极大值 f (x0 );
2、若当 x (x0 , x0)时，f (x) 0, x (x0, x0 )时，f (x) 0, 则函数
f (x)在点 x0处取得极小值 f (x0 );
中值定理及应用
3、若当x (x0 , x0 ) 和 x (x0, x0 ) 时，f (x) 的符号相同，则函数 f (x)
故函数 y x 4 的单调区间是
x (2,0),(0,2)
应选D
中值定理及应用
用函数的单调性证明不等式是一种 常用的方法。
一般步骤为： 假设证明 f (x) g(x)(x D)成立。
1、设 F(x) f (x) g(x) 2、求导数F ( x)并根据已知条件
判断F ( x)的正负。 从而判断 F ( x)的增减性。
第三章中值定理与导数的应用
lim
x
正确做法：
x sin x sin x lim lim(1 ) 1 x x x x
三、其它不定型 0 1 0
0 0
例8： lim x ln x
n x 0
( x 0)
0 型
1 ln x n x 解： lim ln x lim lim x x 0 x 0 1 x 0 n x xn lim 0 x 0 n
几何意义：在 (a, b)内存在平行于 x轴的切线
y
a
f ( x)
o
a
x
b
注：三个条件缺一个时，定理不一定成立
x 0 x 1 例：f ( x) x 1 0
在(0,1)可导，在x 1处不连续
y
f (0) 0 f (1)
f ' ( x) 1 0 x (0,1)
例 10：求 lim (sin x)
x 0
x
0型
解：y (sin x)
x
ln y x ln(sin x)
ln sin x lim ln y lim x ln sin x lim x 0 x 0 x 0 1 x cos x
x sin x lim lim ( ) x cos x 0 x 0 1 x0 sin x 2 x
例1：验证罗尔定理对函数y ln sin x在区间
5 [ , 的正确性 6 6 ] 5 解： y ln sin x在[ , ]上连续 6 6
y ln sin x在(
5
6 , 6
)上可导
1 5 且f ( ) ln f ( ) 6 2 6
中值定理及导数应用笔记
中值定理及导数应用笔记中值定理是数学中的一个重要定理，它是求函数在某一区间内的最大值或最小值的一种方法。
中值定理：设f(x)在[a, b]内可导，且f’(x)在(a,b)内存在，则存在c∈(a, b)，使得f’(c)=0。
中值定理的应用：1.求函数在某一区间内的极值：由中值定理可知，如果函数f(x)在[a, b]内可导，且f’(x)在(a, b)内存在，则存在c∈(a,b)使得f’(c)=0。
因此，我们可以通过求解f’(x)=0的方程来求出函数在[a, b]内的极值。
2.求函数的泰勒公式：利用中值定理可以得出泰勒公式，即对于函数f(x)在x0处的泰勒展开式：f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+O((x-x0)^2)。
导数是数学中的一个概念，它表示函数在某一点处的斜率。
导数的应用：1.求函数的单调性：如果函数f(x)在点x处的导数大于0，则函数在点x处单调递增；如果函数f(x)在点x处的导数小于0，则函数在点x处单调递减。
2.求函数的极值：如果函数f(x)在点x处的导数等于0，则函数可能在点x处取得极值。
通过对函数的二阶导数进行分析，可以判断函数在点x处的极值是最大值还是最小值。
1.求函数在某一点的切线：切线是函数在某一点的切线的图像。
切线的斜率等于函数在这个点的导数。
因此，我们可以通过求解函数在某一点的导数来求出函数在这个点的切线。
2.求函数在某一区间内的最小值和最大值：当函数在某一区间内单调递增或单调递减时，可以通过求解函数在区间端点处的导数来求出函数在该区间内的最小值和最大值。
以上是中值定理和导数的应用笔记。
通过对中值定理和导数的学习，可以帮助我们更好地理解函数的性质，并运用到数学和其他领域中。
需要注意的是，中值定理和导数的应用是有一定条件的，在使用这些工具时要注意满足这些条件。
此外，中值定理和导数是高等数学中的基础概念，在深入学习数学和其他科学领域之前，要先扎实地掌握这些概念。
高等数学-第三章微分中值定理与导数的应用
增量y的精确表达式. 注 由(3)式看出, 它表达了函数增量和某点的
导数之间的直接关系. 这里 ,未定, 但是增量、
导数是个等式关系. 这是十分方便的. 拉格朗日中值公式又称 有限增量公式.
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理.
微分中值定理
f ( x)在[1,2]上连续, 在(1, 2)内可导,
f (1) 0 f (2) (2) 结论正确
方程f ( x) 0, 即3x2 8x 7 0有实根
1 x1 3 (4
1
37),
x2
(4 3
37)
其中 x2 (1,2), 符合要求.
罗尔定理肯定了 的存在性, 一般没必要知道
c0
c1 2
cn n1
0.
试证方程
证设
c0 c1 x cn xn 0在(0,1)内存在一个实根.
f
(x)
c0 x
c1 2
x2
cn n1
x n1 ,
f ( x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
f (0) 0 f (1)
罗尔定理
在(0,1)内至少存在一个实根 , 使得f ( ) 0,
即 c0 c1 cn n 0 即x 为所求实根.
微分中值定理
拉格朗日 Lagrange (法) 1736-1813
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日中值定理 若函数f ( x)满足 : (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2)在开区间(a, b)内可导;
g( ) f ( ) f (b) f (a) 0.
导数与函数的中值定理解析与归纳
导数与函数的中值定理解析与归纳导数和函数的中值定理是微积分中非常重要的概念和定理。
导数可以理解为函数在某一点上的切线斜率，而函数的中值定理则描述了函数在某个区间内的平均斜率与某一点的瞬时斜率相等的关系。
本文将详细解析导数和函数的中值定理的数学原理，并进行归纳总结。
一、导数的定义和性质1. 导数的定义导数的定义是函数微分学中的基本概念，它表示函数在某一点上的切线斜率。
设函数f(x)在点x0附近有定义，若极限lim┬(x→x0)〖(f(x)−f(x0))/(x−x0) 〗存在，则称这个极限为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或dy/dx|x=x0。
2. 导数的性质导数具有以下几个基本性质：- 可导函数必定连续，但连续函数不一定可导；- 常数函数的导数为0；- 对于可导函数f(x)，导数f'(x)代表了函数在该点的瞬时改变率。
二、函数的中值定理函数的中值定理是微积分中的重要定理，它描述了函数在某个区间内的平均斜率与某一点的瞬时斜率相等的关系。
根据中值定理，我们可以得出导数的几何意义和丰富的性质。
1. 平均值定理设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且f(a)和f(b)不相等。
则在开区间(a, b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)−f(a))/(b−a)。
这一定理表明了函数在某个区间内的平均斜率与某一点的瞬时斜率相等。
2. 罗尔定理设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且f(a)=f(b)。
则在开区间(a, b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。
这一定理说明了函数在某个区间内存在至少一个驻点（导数为0的点）。
3. 拉格朗日中值定理设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则在开区间(a, b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)−f(a))/(b−a)。
第三章 中值定理与导数的应用
第一节第三节 函数单调性的判别法
第四节
函数的极值及其求法
2019/10/10
第五节 函数的最大值与最小值
第六节 曲线的凹凸性与拐点
第七节
函数图形的描绘
第一节 中值定理
微分学中有三个中值定理应用非常广泛，它们 分别是罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定 理.
从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系，自 然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理.但在拉 格朗日中值定理中，函数f(x)不一定具备f(a)=f(b)这个 条件，为此我们设想构造一个与f(x)有密切联系的函数 φ(x)(称为辅助函数)，使φ(x)满足条件φ(a)=φ(b).然后对 φ(x)应用罗尔定理，再把对φ(x)所得的结论转化到f(x) 上，证得所要的结果.
一、0/0型未定式
第三节 函数单调性的判定法
如图3-4所示，如果函数y=f(x)在区间［a，b］上 单调增加，那么它的图像是一条沿x轴正向上升的曲线 ，这时，曲线上各点切线的倾斜角都是锐角，它们的 切线斜率f′(x)都是正的，即f′(x)＞0.同样地，如图3-5所 示，如果函数y=f(x)在［a，b］上单调减少，那么它的 图像是一条沿x轴正向下降的曲线，这时曲线上各点切 线的倾斜角都是钝角， 它们的斜率f′(x)都是负的，即 f′(x)＜0.由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密 切的联系.下面，我们给出利用导数判定函数单调性的 定理.
根据上面三个定理,如果函数f(x)在所讨论的区间内各点处 都具有导数,我们就以下列步骤来求函数f(x)的极值点和 极值:
(1) 求出函数f(x)的定义域;
(2) 求出函数f(x)的导数f′(x);
(3) 求出f(x)的全部驻点(即求出方程f′(x)=0在所讨论的区 间内的全部实根)以及一阶导数不存在的点；
中值定理与导数的应用学习指导
第三章 中值定理与导数的应用一、知识脉络理定值中分微 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧)(21麦克劳林公式泰勒公式柯西定理推论推论拉格朗日定理罗尔定理⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞∞求方程的近似解渐屈与渐伸线曲率和曲率半径弧微分其它应用函数作图求凹凸区间与拐点凹凸性判别定义凹凸性与拐点求单调区间单调性判定定义单调性函数性态题最大值与最小值应用问极值的应用极值点的判定件函数取得极值的必要条定义概念函数极值型型洛必达法则导数应用:0二、重点与难点1．重点：拉格朗日中值定理，函数增调区间、函数的凹凸区间，求函数的极值，求具体问题的最大最小值。
2．难点：柯西定理、泰勒展式、不等式证明、函数作图。
三、问题与分析1．学习洛尔定理、拉格朗日定理与柯西定理应注意的问题：①洛尔定理是一个函数满足3条，拉格朗日定理一个函数满足2条，柯西定理是两个函数满足2条，才有相应结论； ②定理的条件是充分的，但不是必要的；③三个定理都是存在性定理，只肯定了有ξ存在，而未指出如何确定该点。
2．学习罗必塔法则应注意问题：①罗必塔法则仅仅用于00型和∞∞型未定式； ②如果()()x g x f ''lim不存在（不包括∞），不能断言()()x g x f lim 不存在，只能说明罗必塔法则在此失效，应采用其它方法求极限； ③∞⋅0，∞-∞，00，∞1，0∞也叫未定型，必须转化为00型或∞∞型之后，方可用罗必塔法则求极限；思路“：∞⋅0型转化为∞⋅∞1或010⋅型；∞-∞可通分转化为00型或∞∞型；0型转化为0ln 00ln 0⋅=e e，其中指数是∞⋅0型；∞1型转化为1ln 1ln ⋅∞=∞e e ，其中数是0⋅∞； 0∞型转化为∞∞=ln 0ln 0e e ，其中指数是∞⋅0型。
第三章 中值定理与导数的应用(1-6节)
证明：不妨设
证毕
4
二、罗尔定理（ R - Th）
若f ( x)满足
1在a,b上连续
2在a,b内可导 3 f a f b 则至少一点 a,b f 0
5
R-Th 的几何意义：
y
A
B
0
x
6
证：∵ f (x) 在 闭区间[ a, b ]上连续， ∴f (x)在[ a, b ]上必有最大值M及最小值m, 有两种情况: (1) M = m ; (2) M > m . (1) 若 M = m ， 则 m = f (x) = M ,
且a b 0
由R Th至少一点 a,b，使 0
f
f F
b b
f F
a a
F
0
36
注 : 在C Th中令F( x) x即为L Th, 可见C Th是L Th的推广, 或L Th是C Th的一个特例.
其逆命题成立
若f ( x)在(a, b)上恒为常数，则f ( x) 0
19
推论2 若 f ( x) 和 g( x) 在区间I 上有 f ( x) g( x) 则 f (x)与 g(x) 在 I上相差一个常数
证：令F( x) f ( x) g( x) F ( x) 0 由推论1 F( x) C 即 f ( x) g( x) C
第三章 微分中值定理与导数的应用
1
罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理 统称微分学中值定理，它们在理论上和应用上都有 着重大意义，尤其是拉格朗日中值定理，它刻划了 函数在整个区间上的变化与导数概念的局部性之间 的联系，是研究函数性质的理论依据。
第三章中值定理与导数的应用
第三章中值定理与导数的应用教学目的：1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
6、知道方程近似解的二分法及切线性。
教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。
教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。
§3 , 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点X。
的某邻域U(x o)内有定义.并且在X。
处可导.如果对任意x U(x o).有f(x)兰f(x o)(或f(x)可(X o)).那么 f (x。
) =o ,罗尔定理如果函数y#(x)在闭区间［a, b］上连续.在开区间(a, b)内可导.且有f(a)=f(b).那么在(a, b)内至少在一点「使得f ( ) =0 .简要证明：(1)如果f(x)是常函数.则「(x)P .定理的结论显然成立,(2)如果f(x)不是常函数.则f(x)在(a . b)内至少有一个最大值点或最小值点.不妨设有一最大值点工(a .b),于是f()=口)= im f(x)—f()_0IJ x_.仁)“()訓空严_0 所以 f (x)=0.罗尔定理的几何意义：二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间［a b］上连续.在开区间(a b)内可导.那么在(a b)内至少有一点(a< <b).使得等式f(b)-f(a)f(々b-a)成立.拉格朗日中值定理的几何意义：f(b)—f(a)f ()二 b -a定理的证明：引进辅函数f(b)-f (a)令(x)孑(x) _f(a) — b —a (x^),容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件：：(a)V (b)d O . ：(x)在闭区间［a.b ］上连续在开区间(a b)内可导.且f(b)-f (a)申(x)=f "(x) — b~a ,根据罗尔定理.可知在开区间(a b)内至少有一点•.使「()=0 .即f (b) - f ⑻ f ()_ b-a =0f(b)-f(a) 由此得b —a 二f ()即 f(b)_f(a)=f ( )(bv). 定理证毕，f(b)-f(a)f ( )(b-a)叫做拉格朗日中值公式 .这个公式对于b<a 也成立 拉格朗日中值公式的其它形式 ：设x 为区间［a . b ］内一点.x ： =x 为这区间内的另一点 (.：x>0或.：x<0).则在［x. x7x ］ C x>0)或［x i x x ］ (. x<0)应用拉格朗日中值公式 .得f(x+心x) -f(x)甘 lx 说x) ‘ Z (0< 日<1), 如果记f(x)为y .则上式又可写为L y f (x n ：x) L X (0< T <1),试与微分dyf (x)x 比较：dy=f(x) 是函数增量冷的近似表达式.而 f(x-，x) 是函数增量：y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用 .我们证明如下定理：定理 如果函数f(x)在区间I 上的导数恒为零.那么f(x)在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点X 1.X 2(X 1<X 2).应用拉格朗日中值定理.就得f(X 2)斗(X 1)斗"(9(X 2 — x i ) (x i < -< X 2). 由假定 f ( ) =0 .所以 f(X 2) _f(X i )=0 .即f(X 2)=f(X l ),因为X i X 2是I 上任意两点.所以上面的等式表明:f(x)在I 上的函数值总是相等的.这就是说 f(x)在区间I 上是- -个常数，证 设f(x)=ln(1 x).显然f(x)在区间［0 . x ］上满足拉格朗日中值定理的条件 就有f(x)—f(0)=f (勺(x-0) . 0<®x 。
中值定理导数的应用知识点
一、四个中值定理பைடு நூலகம்关系
推 广 推 广
罗 拉格朗日定理 柯
尔 特例 推 特例 特例 西
定 广 定
理 理
泰勒定理
二、微分中值定理
名称
条件
结论
罗尔定理
在 内存在
使得
拉格朗日定理
在 内存在
使得
推论1
在定理条件下，若
则 （ 为常数）
推论2
若 都满足定理条件，
且
则
（ 为常数）
柯西定理
、
、 在 内存在
使得
三、洛比达法则
类型
条件
结论
或
型
1若 时， （或 ）；
2在 内， 和 都存在，且
③ （有限或 ）（ 可以是 ）
四、其他不定型转化为 或
不定型
转 化 过 程.
；或
五、泰勒公式
分 类
定 理
泰勒公式
设 在含有 的某开区间 内具有直到 阶的导数，则 其中 。
麦克劳林公式
六、可导函数单调性的判定
若 ，又 存在，则
是 的一条斜渐近线
九、弧微分
1. 时，
2. 时，
3. 时，
定理（判别法）
设 ，在 内可导，则
① 上单调递增
② 上单调递减
七、曲线凹凸性的判定定理
定理
补充说明
设 ， 在 上存在， 为凹弧
设 ， 上可导， 为凹弧 在 内上升。
曲线为凹弧 切线斜率
单调递增
八、曲线的渐近线
铅直渐近线
若 或 ，则 是
的铅直渐近线（ 可以是 ）
水平渐近线
若 或 ，则 是
的水平渐近线
斜渐近线
第三章中值定理与导数的应用
第三章 中值定理与导数的应用一、基本要求（1）深刻理解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，会利用微分中值定理做一些证明题。
（2）熟练掌握洛必达法则。
（3）掌握函数单调性的判别法。
（4）理解函数极值的概念，并掌握其求法。
（5）理解函数最值得概念，并掌握其求法，能解决较简单的最值应用问题。
（6）理解曲线凹凸性和拐点的概念，会判断曲线的凹凸性，会求拐点。
（7）能描绘函数的图形（包括渐近线）。
（8）知道弧微分概念，并会求弧微分。
（9）了解曲率、曲率半径的概念。
二、重点与难点重点：微分中值定理的应用；洛必达法则；函数最值及其求法。
难点：微分中值定理的应用；泰勒公式。
三、释疑解难问题 罗尔定理中“函数()f x 在闭区间[,]a b 连续，在开区间(,)a b 可导”这两个条件，是否可以合并成“函数()f x 在闭区间[,]a b 可导”这一条件，这样不是更简便吗答 ()f x “在[,]a b 可导”不仅包含了()f x “在[,]a b 连续，在(,)a b 可导”，而且包含了()f a +'与()f b -'都存在。
这样，条件增强了，必然引起罗尔定理适用范围的缩小。
例如，()f x =满足“在[1,1]-连续，在(1,1)-可导”，(1)(1)0f f -==，于是，存在(1,1)ξ∈-，使得()0f ξξ='===，可以看出，0(1,1)ξ=∈-，但是，()f x =1x =±不可导，不满足“在[1,1]-可导”。
在进行数学研究时，应力求将命题的条件减弱，以扩大其适用范围。
问题 罗尔定理的结论为存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=，那么，ξ是否一定是()f x 的极值点答 罗尔定理中的ξ在(,)a b 可以有多个，其中有的ξ可以是()f x 的极值点，有的ξ可以不是()f x 的极值点。
例如，3()(53)4x f x x =-，在[1,2]-满足罗尔定理的条件。
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第三章微分中值定理与导数的应用3.1 中值定理及其应用1 学习指导1. 基本要求⑴掌握罗尔定理、拉格朗日定理，理解柯西定理，了解泰勒定理；会用中值定理的结论解决一些问题，如证明方程根的存在性、证明不等式等。
⑵掌握函数()()ax x1lncos,,的麦克劳林公式，会用泰勒sin,,xxx+1e+公式做近似计算和估计误差。
⑶掌握洛必达法则的条件和结论，熟练运用洛必达法则求未定式的极限。
2. 重点与难点重点：罗尔定理，拉格朗日定理，洛必达法则。
难点：中值定理的证明和应用，特殊类型未定式极限的求法。
3. 学习方法⑴微分中值定理揭示了函数与其导数之间的内在联系，它们是利用导数研究函数的理论根据，其中拉格朗日定理为核心，罗尔定理是它的特殊情形，而柯西定理与泰勒定理是它的不同形式的推广。
⑵四个中值定理具有以下共性：①建立了函数在一个区间上的增量（整体性）与函数在该区间内某点处的导数（局部性）之间的联系，从而使导数成为研究函数性态的工具。
② 它们都只是中值ξ的存在性定理且定理本身未提供ξ在区间内的准确位置，而仅显示ξ介于区间的两个端点a 与b 之间，注意不能将中值理解为区间的中点2b a +。
一般来讲，除了较简单的函数能求出中值ξ的精确值外，通常ξ的值很难确定，但它的存在性在理论和实际中仍有广泛的应用。
③ 中值定理的条件都是充分而非必要的。
这就是说，当条件满足时，结论一定成立；但当条件不满足时，结论也可能成立。
④ 如果用条件“()x f 在[]b a ,上可导”去代替条件“()x f 在()b a ,内可导”，定理的结论仍然成立，但适用范围将相应缩小，如()21x x f -=在[]1,1-上满足罗尔定理条件，故存在()1,10-∈=ξ，()0'=ξf ，但()2'1x xx f --=在1±=x 都不存在。
⑤ 罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理三个中值定理具有相同的几何意义：对于()b a ,内处处有非铅直切线的曲线()x f y =来说，其上至少有一点处的切线与联结两个端点()()a f a A ,与()()b f b B ,的弦AB 平行。
⑶ 通常称拉格朗日中值定理的结论为拉格朗日中值公式，常用的拉格朗日中值公式有下列形式：①()()()ab a f b f f --=ξ' （ξ介于a 与b 之间）； ②()()()()a b f a f b f -=-ξ' （ξ介于a 与b 之间）；③()()()()()a b a b a f a f b f --+=-θ' ()10<<θ；④()()()x f x f x x f ∆=-∆+ξ' （ξ介于x 与x x ∆+之间）；⑤()()()()x x x x f x f x x f ∆∆+=-∆+θ' ()()10<<x θ；⑥()()()h x hf x f h x f θ+=-+' ()10<<θ；⑦()()()1212'x x x f x f f --=ξ （ξ介于1x 与2x 之间）。
其中[]21,,,,,x x b a h x x x x ∈+∆+是()b a ,内任意两点且21x x ≠.⑷ 求函数()x f 的泰勒公式有两种方法：直接法：求出函数在0x 处的各阶导数()()()()()00''0'0,,,,x f x f x f x f n 及()()()θ001x x x f n -++ ()10<<θ，代入公式即得。
间接法：利用已知函数的麦克劳林公式，通过四则运算、复合运算或变量代换等，得所求函数的泰勒公式。
几个常用的初等函数的麦克劳林公式为： ①()()()()1212153!12cos 1!121!5!3sin +--+-+--+-+-=n n n n x n x n x x x x x θ ()10<<θ ②()()()()221242!22sin 1!21!4!21cos +++-+-+-+-=n n n n x n x n x x x x θ ()10<<θ ③()12!1!!2!11+++++++=n x n xx n e n x x x e θ ()10<<θ ④()()()()()111321111321ln ++-++-+-+-+-=+n n n n n x n x n x x x x x θ ()10<<θ ⑤()=+n x 1()()()()()()()1121!11!11!21!11++-++--++--++-++n a n n x x n n a a a x n n a a a x a a ax θ (a ,10<<θ为实数），这里，余项()()()()11!1+++=n n n x n x f x R θ()10<<θ为柯西型余项。
⑸ 求未定式极限的洛必达法则是柯西中值定理的一个应用，它是求极限的一个重要方法，应注意只有“00”型、“∞∞”型的极限才可以直接用洛必达法则，而对“∞•0”型等其他未定式极限，必须通过通分、取对数等变形方法将其转化为“00”型或“∞∞”型后，才能使用洛必达法则。
⑹ 中值定理的应用非常广泛，有关中值定理的计算题与证明题是其重要的组成部分，掌握这方面的解题方法和技巧是高等数学的基本要求，中值定理的主要应用为：① 求极限与中值定理有关的求极限的方法主要有：利用洛必达法则求未定式的极限；当极限式中出现()x f 的增量形式时，可考虑利用拉格朗日中值公式；利用麦克劳林公式()()()()n k n k k x x k f x f 0!00+=∑=.在利用麦克劳林公式求极限时，一般要用到如下的性质：当0→x 时，有()()()n m n x x x 000=+ ()m n <<0，()()()m n m n x x x +=000 ()0,0>>m n ； ② 研究函数或导数的性态由于微分中值定理都是以某种形式表示函数与导数之间的联系，所以它们是由函数性质去研究导数性质或是由导数性质去研究函数性质的理论依据，如利用拉格朗日中值定理研究函数的单调性（见3.2节）等。
③ 证明恒等式设()x f 在区间Ⅰ上可导，C 是任意常数，则在Ⅰ上有()()0'=⇔=x f C x f由此便可证明恒等式，方法是构造函数()x f ，将欲证等式表为()0=x f ，求()x f '得()0'=x f ，从而知()x f 是常数，此常数恒等于它在Ⅰ上的任一函数值，故任取∈0x Ⅰ，计算()0x f ，便得()0x f C =，从而()()0x f x f =.有时为求导数简便，也可利用结论()()()()x g x f C x g x f ''=⇔+=进行证明，其中()()x g x f ,在Ⅰ上可导且C 为常数。
④ 证明不等式将中值定理结论所得等式的一端放大或缩小，便得到不等式，一般地，将欲证不等式经过简单变形，如果不等式一端形如()()a b a f b f --，可利用拉格朗日定理；如果不等式一端形如()()()()a gb g a f b f --，可利用柯西定理；如果不等式中有一部分是n 次多项式，或题设条件中函数具有二阶或二阶以上的导数且最高阶导数有界或大小可知，可利用泰勒定理证明。
⑤ 证明方程根的存在性或惟一性微分中值定理的共同特点之一，就是指出在某个区间内至少有一点ξ=x ，使某个等式成立，这就为判断方程根的存在性提供了理论依据，特别是罗尔定理的结论，换种说法就是，某个方程在指定区间内至少有一个实根，因此它在判别方程根的存在性问题中应用最多。
一般地，研究含有导数的方程在某区间上存在实根，如果方程中仅含有一阶导数，常用罗尔定理，有时也用拉格朗日定理或柯西定理；如果方程中有二阶及二阶以上的导数，则用罗尔定理或泰勒定理。
研究方程根的惟一性，一般是利用函数的单调性讨论，有时也利用中值定理采用反证法讨论。
⑥ 讨论中值的存在性讨论中值存在性的一般方法是：先用逆向分析法寻求辅助函数，再验证该辅助函数满足某个微分中值定理的条件，从而由该定理结论导出欲证结果。
通常，能用拉格朗日定理或柯西定理证明的命题，也可以用罗尔定理证明。
证题时选用哪种方法，以简便为原则。
⑦ 利用泰勒公式或麦克劳林公式做近似计算或误差估计。
⑺ 利用辅助函数是求解数学证明题的一个重要方法，难点是构造辅助函数。
构造辅助函数的基本思想是，从欲证问题的结论入手，通过逆向分析，去寻找一个满足题设条件和结论要求的函数。
辅助函数不是惟一的，证题时只要找到一个即可，证明与微分中值定理有关的命题，做辅助函数的常用方法有以下两种。
原函数法：用原函数法做辅助函数的一般步骤为，将欲证结论中的ξ换为x ，通过恒等变形将结论化为某函数的微分形式并且用()0=x f 表示，观察或求不定积分（第4章内容）得()x f 的一个原函数()x F ，使()()x f x F ='，如果()x F 已满足要求，则()x F 为所找辅助函数；如果()x F 不满足题设要求，则对()x F 作恒等变形直至所做函数满足要求。
常数k 值法：这种方法适用于常数可分离出的命题，构造辅助函数的步骤为：① 将常数部分令为k .② 做恒等变形，使等式一端为a 及()a f 构成的代数式，另一端为b 及()b f 构成的代数式。
③ 分析所得表达式是否为关于端点()()a f a A ,与()()b f b B ,的对称式或轮换对称式。
若是，则换a （或b ）为x ，()a f （或()b f ）为()x f ，于是变换后的表达式即为所寻求的辅助函数。
3 解题指导1. 求极限例1 求下列极限： ⑴⎪⎭⎫ ⎝⎛--→11ln 1lim 1x x x ； ⑵x x x ln sin lim 0+→ ； ⑶x x x ln 1arctan 2lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→π ； ⑷()x x x -→22tan lim ππ ； ⑸()xx x e x 1101lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+→ ； ⑹⎪⎭⎫ ⎝⎛-→2201tan 1lim x x x . 分析 洛必达法则是求未定式极限的一种常用方法，但必须注意使用的条件，且当条件满足时可连续使用。
解 ⑴ 这是“∞-∞”型的极限，求解方法是通分或有理化因式将其化为“00”型或“∞∞”型极限后用洛必达法则。
对本题，通分后化为“00”型可两次使用洛必达法则。
()xx x x x x x x x x x x x 1ln 11lim ln 1ln 1lim 11ln 1lim 111-+-=---=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→→ 2111ln 1lim 1ln 1lim 11=++=-+-=→→x x x x x x x . ⑵ 这是“∞•0”型的极限，求这类极限的方法是将部分函数取倒数变形为“00”型或“∞∞”型极限后用洛必达法则，变形时应注意对函数求导数时运算相对简便。