23等差数列的前n项和(导学案)
等差数列的前n项和导学案
等差数列前n 项和（导学案）制作单位：沙市五中 作者：杨春亮目标定位：1.了解等差数列前n 项和公式的推导过程，掌握等数列的五个基本量之间的关系。
2.掌握等差数列前n 项和公式，性质及其应用。
（重点）3.能熟练应用公式解决实际问题并体会方程思想。
（难点）数列的前n 项和对于数列{a n }，一般地称a 1＋a 2＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和.如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．问题1：共有几层？图形的横截面是什么形状？ 提示：六层，等腰梯形．问题2：假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？提示：(4＋9)×6＝78. 问题3：原来有多少根钢管？ 提示：12×78＝39.问题4：能否利用前面问题推导等差数列前n 项和公式 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n? 提示：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，相加：2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1) ＝n (a 1＋a n )， ∴S n ＝n (a 1＋a n )2.问题5：试用a 1，d ，n 表示S n . 提示：∵a n ＝a 1＋(n －1)d ，∴S n ＝n [a 1＋a 1＋(n －1)d ]2＝na 1＋n (n －1)2d .等差数列的前n 项和公式等差数列前n 项和公式的特点(1)两个公式共涉及到a 1，d ，n ，a n 及S n 五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n 项和．(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．(2012·北京高考)(1)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝__________；S n ＝________.(2)在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .(1) 设公差为d ，则由S 2＝a 3得2a 1＋d ＝a 1＋2d ，所以d ＝a 1＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1，S n＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (n ＋1)4.1n (n ＋1)4(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n 项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．1．已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .解：∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2·d ＝－5，解得n ＝15，n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.已知数列{a n n (1)求{a n }的通项公式； (2)判断{a n }是否为等差数列？ (1)∵S n ＝－2n 2＋n ＋2，∴当n ≥2时，S n －1＝－2(n －1)2＋(n －1)＋2 ＝－2n 2＋5n －1， ∴a n ＝S n －S n －1＝(－2n 2＋n ＋2)－(－2n 2＋5n －1) ＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3， ∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时， a n ＋1－a n ＝－(－4n ＋3)＝－4， 但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．已知数列{a n }的前n 项和公式S n ，求通项公式a n 的步骤： (1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n＝S n －S n －1；如果a 1不满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式要分段表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2(如本例)．2．已知下面各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式． (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n －2.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－3×1＝－1； 当n ≥2时，S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)＝2n 2－7n ＋5， 则a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－(2n 2－7n ＋5) ＝2n 2－3n －2n 2＋7n －5 ＝4n －5.此时若n ＝1，a n ＝4n －5＝4×1－5＝－1＝a 1， 故a n ＝4n －5.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1； 当n ≥2时，S n －1＝3n －1－2，则a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n －1－2)＝3n －3n －1＝3·3n －1－3n －1＝2·3n －1.此时若n ＝1，a n ＝2·3n －1＝2·31－1＝2≠a 1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2·3n －1，n ≥2.(1)(2012·n 4811项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176(2)等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，求S 110.(1) 利用等差数列的性质及求和公式求解．因为{a n }是等差数列，所以a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝2a 6＝16⇒a 6＝8，则该数列的前11项和为S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝88.B(2) ∵数列{a n }为等差数列，∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 110－S 100也成等差数列．设其公差为D ，则S 10＋(S 20－S 10)＋(S 30－S 20)＋…＋(S 100－S 90)＝S 100， 即10S 10＋10×92×D ＝S 100＝10.又∵S 10＝100，代入上式，得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)×D ＝100＋10×(－22)＝－120， ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.等差数列的前n 项和常用的性质(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k …组成公差为k 2d 的等差数列． (2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔数列{S nn }为等差数列．(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ， ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.3．(1)等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝________. 解析：因为a 1＋a 13＝a 2＋a 12＝2a 7， 又a 2＋a 7＋a 12＝24， 所以a 7＝8.所以S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13×8＝104.答案：104(2)在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为( ) A ．9 B.12 C ．16D ．17解析：选A 由等差数列的性质知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…也构成等差数列，不妨设为{b n }，且b 1＝S 4＝1，b 2＝S 8－S 4＝3，于是可求得b 3＝5，b 4＝7，b 5＝9，即a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝b 5＝9.n 1179n 法一：由S 17＝S 9，得25×17＋17×(17－1)2d ＝25×9＋9×(9－1)2d ，解得d ＝－2，∴S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－(n －13)2＋169.由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. 法二：先求出d ＝－2(同法一)，∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0a n ＋1＝25－2n ＜0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ＞1212，即1212＜n ≤1312.∴当n ＝13时，S n 有最大值169.求等差数列的前n 项和S n 的最值通常有两种思路(1)将S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 配方．转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)邻项变号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n 使S n 取最大值．当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n 使S n 取最小值．4．已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值． 解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解得a 1＝3，d ＝－2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5.(2)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 最大，且最大值为4.1．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选B 由S 5＝5a 3＝25，∴a 3＝5. ∴d ＝a 3－a 2＝5－3＝2. ∴a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13.2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B.35 C ．49D ．63解析：选C 法一：设数列{a n }公差为d ，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝3，a 1＋5d ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，于是S 7＝7×1＋7×62×2＝49.法二：由等差数列前n 项和公式及性质知 S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝7×(3＋11)2＝49.3．已知数列的通项公式a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝ ________.解析：∵a n ＝－5n ＋2，∴数列{a n }是等差数列，且a 1＝－3，公差d ＝－5， ∴S n ＝n (－3－5n ＋2)2＝－n (5n ＋1)2.答案：－n (5n ＋1)24．在数列{a n }中，a 1＝32，a n ＋1＝a n －4，则当n ＝________时，前n 项和S n 取最大值，最大值是________．解析：∵d ＝a n ＋1－a n ＝－4， ∴a n ＝－4n ＋36.令a n ＝－4n ＋36≥0，得n ≤9，∴n ＝8或9时，S n 最大，且S 8＝S 9＝144. 答案：8或9 144 5．在等差数列{a n }中，(1)已知：a 6＝10，S 5＝5，求a 8； (2)已知：a 2＋a 4＝485，求S 5.解：(1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝10，S 5＝5得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋5(5－1)2d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝3，所以a 8＝a 1＋7d ＝－5＋7×3＝16(或a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16)．。
等差数列前n项和导学案2
2.3等差数列前n 项和（二）学习目标：①等差数列的前n 项和的性质及应用 ②数列前n 项和n s 与通项n a 的关系学习重点：等差数列的前n 项和的性质及应用；数列前n 项和n s 与通项n a 的关系一、复习回顾1. 数列前n 项和n s 与通项n a 的关系：2. 等差数列的前n 项和的性质：3.等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .4.等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S .二、新课导学问题：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？题型一： 数列前n 项和n s 与通项n a 的关系：例1. 已知数列{}n a 的前n 项和21,2n s n n =+求这个数列的通项公式，并判断此数列是否为等差数列？小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a .练习：数列{}n a 的前n 项和n s 求{}n a 的通项公式()2123n s n n =- ()()121n n s n +=- ()321n n s =- (4)212343n S n n =++题型二：等差数列前n 项和公式的几何意义及最值问题：例2：等差数列{}n a 中，19120,a s s <=求该数列前多少项的和最小？变式1、 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.变式2、等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法. （1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.练习：①等差数列{}n a 的通项公式249n a n =-，当n 为何值时，n s 最小？②等差数列{}n a 中，1583,115,.n a a a s =-=求的最小值题型三：等差数列前n 项和的性质的应用：例3. 等差数列{}n a ， 从第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和练习：①等差数列{}n a ，81624100,392,s s s ==求 ②等差数列{}n a ，48162,6,s s s ==求 ③在等差数列{}n a ，10100110100,10,s s s ==求例3.①等差数列{}n a ，12354,s =前12项中奇数项与偶数项的和之比为27：32，求这个数列的通项公式.②项数为2n+1的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个等差数列的中间项及项数。
高中数学等差数列的前n项和第二课时导学案
教学重点等差数列的性质。
教学难点等差数列前n项和的最值问题。
教学过程：
一、书读万变
证明如下：
二、入木三分
如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？
三、授人以渔
题型一 a n 与S n 的关系
S n的性质
题型二
题型三最值问题
四、课后巩固
1．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋1，则a1＝()
A．0B．1
C．2 D．3
2．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7＝35，则a4＝()
A．8 B．7
C．6 D．5
3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()
A．5 B．4
C．3 D．2
4．若数列a1，a2，…，a10为等差数列，S10＝140，a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝125，求a6.
五、教学反思。
人教版数学高二数学等差数列前n项和 精品导学案
2.3等差数列的前n 项和一、教学目标1、等差数列前n 项和公式．2、等差数列前n 项和公式及其获取思路；3、会用等差数列的前n 项和公式解决一些与前n 项和有关的问题．二、教学重点：等差数列前n 项和公式的理解、推导及应用．教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些有关问题．三、教学过程自主探究（一）：特殊的等差数列前n 项和公式预习课本42页回答以下问题（1）高斯在解决一个什么问题，他的算法妙在哪里？（2）这种算法能否解决一般的等差数列问题？定义：数列}{n a 的前n 项和一般地，我们称 为数列}{n a 的前n 项和，用n S 表示，即 n S =合作探究（二）：一般的等差数列前n 项和公式1.如何求首项为1a ，第n 项为n a 的等差数列的前n 项和？2.如何求首项为1a ，公差为d 的等差数列的前n 项和？总结：用（公式1）2)(1n n a a n S +=，必须已知三个条件： ； 用（公式2）2)1(1d n n na S n -+=，必须已知三个条件： 。
． 公式2又可化成式子： n d a n d S n )2(212-+=，当d≠0，是一个常数项为零的二次式．例题讲解例1、(1)已知等差数列{n a }中, 1a =4, 3S =172,求d a ,3。
(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？例2、教材P43页的例1例3．求集合{}100*,7|<∈==m N n n m m M 且的元素个数，并求这些元素的和．例4、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122084,460S S ==，求28S .练习1：⑴在等差数列{}n a 中，已知399200a a +=，求101S .⑵在等差数列{}n a 中，已知15129620a a a a +++=，求20S .例5．已知等差数列{n a }前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n.例6. 已知数列{n a }的前n 项和为,...)3,2,1(102=-=n n n S n ，求此数列的通项公式。
2.3等差数列的前n和(导学案) - 副本
等差数列的前n项和（一）教学目标：1．掌握等差数列前n项和公式及其推导过程和思想方法．2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题3.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题教学过程：一、复习：1．等差数列的定义：2．等差数列的通项公式：3．几种计算公差d的方法：4．等差数列的性质：二、新课1、创设情景泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。
陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有200层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？2、分组探究（1）数列的前n项和的定义（2）如何计算1+3+5+7+9+11+13=？（3）１+２+３+…+100=？我们能否快速求和？如何求？（4）如何计算１+２+３+…+n=？（5）上面三个式子各自的数字和计算有什么共同点？思考：等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ，如何计算?321=+⋅⋅⋅+++n a a a a结论：3、例题讲解例1：已知{a n }为等差数列（1）a 1=3,a 50=101,求s 50; （2）a 1=3,d=1/2,求s 10 ；例2.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？4、巩固练习根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛a n｝的s n(1)a１=5,a n=95,n=10 (2)a1=100,d=－2,n=50（3）S2=7,S7=775、归纳小结6、课后作业：7、课后思考：若已知{a n}的前n项和S n=3n2+4n能否求出{a n}的通项公式，并判断该数列{a n}是否为等差数列。
2.3等差数列的前n项和 导学案
2.3《等差数列的前n项和》导学案一、【学习目标】1、知识与技能: 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式求和，学会观察、归纳、反思2、经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，二、【本节重点】等差数列前n项和公式的理解、推导及应用.三、【本节难点】灵活运用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题【知识导学】一、复习等差数列的概念、通项公式、等差中项，等差数列的性质二、合作探究1、新知合作探究问题（1）：如何计算1+2+3…+100的值？问题（2）：如何计算1+2+3+…+n的值？问题（3）：如何推导等差数列的前n项公式？2、新知归纳总结1．数列的前n项和定义：2．等差数列的前n项和公式公式1：公式2：例1、一堆钢管共10层，第一层钢管数为1，第十层钢管数为10，且下一层比上一层多一根，问一共有多少根钢管？练习：课本45页练习1例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？例3 已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？例4已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？练习：（课本45页练习2）已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式.小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a . 例5 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.练习：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.三、课堂小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.（1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d d S n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.。
最新高中数学必修⑤23《等差数列的前n项和》学案精品版
2020年高中数学必修⑤23《等差数列的前n项和》学案精品版课题： 2.5等差数列的前n项和编制：苏同安班级姓名学习目标：（1）理解等差数列前项和的定义以及等差数列前项和公式推导的过程，并理解推导此公式的方法——倒序相加法，记忆公式的两种形式；（2）理解等差数列通项公式与前项和的公式涉及的五个字母«Skip Record If...»；已知其中三个量求另两个值；（3）会用等差数列的前«Skip Record If...»项和公式解决一些简单的与前«Skip Record If...»项和有关的问题（包括实际问题），并初步感受解决数列问题常用的三种思想：方程思想，整体思想，函数思想；（4）通过了解历史上有名的高斯求和的方法，发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律，然后体验从特殊到一般的研究方法。
通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。
（5）通过公式的推导过程，感受数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，逐步培养善于观察生活，从生活中发现问题，并运用数学知识和方法科学地解决问题的能力.学习重点：等差数列前项和公式的推导和应用学习难点：公式推导的思路及综合运用学习过程：【双基回眸】★请同学们回顾一下学过的等差数列基本知识和性质：①等差数列定义：即«Skip Record If...» (n≥2)②a，A，b组成的等差数列可看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的。
③等差数列通项公式：«Skip Record If...» (n≥1)④ «Skip Record If...» d⑤在等差数列中，若m + n= p + q 则 «Skip Record If...» «Skip Record If...»【合作探究】★等差数列在现实生活中比较常见，如：建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，10 .问共有多少根圆木？如何用简便的方法呢？当然，若是数少了，即使口算，也能迅速得出，若数多了呢，比如：1+2+3+……+100=？还能不能迅速算出呢？在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出1+2+3+……+100和的好戏。
人教新课标版数学高二必修5导学案 2.3 等差数列的前n项和(一)学生版
2.3 等差数列的前n 项和（一）【学习目标】1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．【学习过程】一、自主学习教材整理 等差数列的前n 项和阅读教材P 42～P 44例2，完成下列问题．1．数列的前n 项和的概念一般地，称 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝2．等差数列的前n 项和公式问题1 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？问题2等差数列{a n }中，若已知a 2＝7，能求出前3项和S 3吗？问题3我们对等差数列的通项公式变形：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下S n ＝na 1＋n (n －1)2d 吗？问题4如果{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 20，a 21＋a 22＋…＋a 30是等差数列吗？探究点1 等差数列前n 项和公式的应用命题角度1 方程思想例1 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？命题角度2 实际应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？探究点2 等差数列前n 项和的性质的应用例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ；(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．三、当堂检测1．在等差数列{a n }中，若S 10＝120，则a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．482．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．73．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________.4．已知等差数列{a n }中：(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1022，求d .四、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?五、学后反思1、我的疑问：2、我的收获：。
《2.3等差数列的前n项和》导学案3
《2.3等差数列的前n项和》导学案3学习目标1•进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3•会利用等差数列通项公式与前口项和的公式研究S n的最值。
学习重点熟练掌握等差数列的求和公式。
学习难点灵活应用求和公式解决问题自主学习回忆：1.等差数列的前口项和公式及其推导是什么？请阅读教材的有关内容，完成下列问题1. 一般地，如果一个数列g n』的前n项和为S n 二pn2 qn r,其中p、q、r为常数，且p=0,那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？n项和公式S结论：（1）由此，等差数列的前n二na j •垃1）d可化成式子:2S n =d n22 当d =0,是一个常数项为零的二次式。
2.(1)若一个等差数列含有2n 1( n • N ”)项，其奇数项的和与偶数项的和之比为多少?⑵若一个等差数列含有2n( n- N )项，其偶数项的和与奇数项的和之比为多少?3•若等差数列”a n、b n冷勺前n项和分别为T n,S n，则也=b m4•已知等差数列江［的前n项和为Sn，求证：亦务- S n, S sn - S?n仍为等差数列。
典型例题例题1.数列 *是等差数列,a =50,d - -0.6.(1)从第几项开始有a n : 0 ；⑵求此数列的前n项和的最大值。
结论：等差数列前n项和的最值问题有两种方法：(1)当a n0,d ：0,前n项和有最大值，可由a n-0,且a n0,求得n的值;当a n ::: 0,d 0,前n项和有最小值，可由a n、0,且a n 1 - 0,求得n的值。
d ( d、⑵由S n n2+ a^d n利用二次函数配方法求得最值时n的值。
2 I 2丿例题2.自学课本课堂练习：1•已知等差数列^n ?,满足a n =40-4n,求前多少项的和最大？最大值是多少?基础题组1•已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15,偶数项之和为30,则其公差是（）A.5B.4C. 3D.22•在等差数列a［中，若a4 a^12，S n是数列厲［的前n项和，贝y S9的值为（A.48B.54C. 60D.663.设S n是等差数列也？的前n项和，若§ :」，则S6 =(S63S123 1 Q 1A. B. C.8 D.-10 3 94.已知数列｛a n｝、｛b n｝都是公差为1的等差数列，其首项分别为a、b1，且a1a 1,b< N.设C n 卞（n N），则数列｛C n ｝的前10项和等于（A . 55B . 70D . 1005.设"n '是公差为正数的等差数列,若aa 2 '-15, a 1 a ?= 80,则為■a '2A.120B.105C.90D.75如果 an =2005,则序号 n 等于（）A.667B.668C.6697. 若等差数列an ‘的前三项和S3 =9 且 a 1 = 1 A.3 B . 4C . 5D . 68. 等差数列 玄'的前n 项和为S n 若 a2= 1,aA.12B . 10C . 8D . 69. 已知数列 Qn '为等差数列，前 30项的和为5 ，前50项的和为30,求前80项的和。
高中数学必修⑤23《等差数列的前n项和》学案
课题： 2.5等差数列的前n 项和编制：苏同安 班级 姓名学习目标：（1）理解等差数列前 项和的定义以及等差数列前 项和公式推导的过程，并理解推导此公式的方法——倒序相加法，记忆公式的两种形式；（2）理解等差数列通项公式与前 项和的公式涉及的五个字母n d a a s n n ,,,,1；已知其中三个量求另两个值；（3）会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题（包括实际问题），并初步感受解决数列问题常用的三种思想：方程思想，整体思想，函数思想；（4）通过了解历史上有名的高斯求和的方法，发现等差数列的第k 项与倒数第k 项的和等于首项与末项的和这个规律，然后体验从特殊到一般的研究方法。
通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。
（5）通过公式的推导过程，感受数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，逐步培养善于观察生活，从生活中发现问题，并运用数学知识和方法科学地解决问题的能力. 学习重点：等差数列前项和公式的推导和应用学习难点：公式推导的思路及综合运用 学习过程：【双基回眸】★请同学们回顾一下学过的等差数列基本知识和性质： ① 等差数列定义：即=--1n n a a (n ≥2)② a ，A ，b 组成的等差数列可看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的 。
③ 等差数列通项公式：=n a (n ≥1) ④ +=m n a a d⑤ 在等差数列中， 若m + n= p + q 则 n m a a + q p a a +【合作探究】★等差数列在现实生活中比较常见，如：建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，10 . 问共有多少根圆木？ 如何用简便的方法呢？ 当然，若是数少了，即使口算，也能迅速得出，若数多了呢，比如：1+2+3+……+100=？还能不能迅速算出呢？在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出1+2+3+……+100和的好戏。
23等差数列的前n项和(导学案)
2.3 等差数列的前n 项和（导学案）（集美中学 杨正国）一、学习目标1、知识与技能: 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题2、经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思二、本节重点等差数列前n 项和公式的理解、推导及应用.三、本节难点灵活运用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题四、知识储备1、 复习：等差数列的概念、通项公式、等差中项，等差数列的性质2、 (1)一般形式：n a a a ,,,21⋯(2)通项公式：)(n f a n =(3)前n 项和：n n a a a S ⋯++=21(4)用n S 表示n a ：⎩⎨⎧∈>-==-).N n ,1n (S S ),1n (S a *1n n 1n 3、等差数列(1)定义：成等差数列}{)2(1n n n a n d a a ⇔≥=--(2)通项公式：B An d n a a n +=-+=)1(1推广：d m n a a m n )(-+=(3)性质：①2b a A A b a +=⇔的的等差中项与 ②q p n m a a a a q p n m +=++=+则若,特别地：p n m a a a p n m 2,2=+=+则若③ 奇数项d a a a 2,,,531成等差数列，公差为⋯偶数项d a a a 2,,,642成等差数列，公差为⋯五、通过预习掌握的知识点1、 1()2n n n a a S +=＝1(1)2n n na d -+ 公式说明:1)n S 的特征,形象理解。
2)推导思想： 倒序相加2、 前n 项和公式n S 与n 的关系:d n n na S n 2)1(1-+= n d a n d )2(212-+= 可知: n S 是关于n 的二次函数,故点),(n S n 落在函数x d a x d y )2(212-+=上的点. 六、知识运用 1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
最新等差数列前n项和公式导学案-2
§2.3等差数列的前n项和(1)一、学习目标1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；2.会用等差数列的前n项和公式解决一些与前n项和有关的问题.二、复习回顾复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？复习2：等差数列有哪些性质？三、课前预习（自学教材P4243）探究：等差数列的前n项和公式一般地，称为数列{a}的前n项的和，用S表示，即S nn n由高斯算法，对于公差为d的等差数列，我们用两种方式表示S S a (a)() (a)(n12n 1S a (a)() (a)(n n n 12n))②①由①+②2S (a a)(a a)() () n 1 n 1 nn个n().由此得到等差数列{a }的前n项的和的公式nSn如果带人公式a a (n 1)d,n1Sn S也可以用首项a与公差d表示，即n1自测（1）计算1+2+ (100)（2）计算1+2+…+n=（用n表示）.四、典型例题题型1. 在等差数列{a}中，a 25，n 1精品文档a 335，求S.5练习1:在等差数列{a}中，n a 4,d113，求S.10P 44例2:在等差数列{a}中，nS10310,S201220,求前n项和S的公式.n练习2:等差数列{a}中，已知a 30，a 50，S 242，求n.n 10 20 n练习3:数列｛a｝是等差数列，公差为3，a＝10，前n项和S＝22，求n和a.n n n3五、总结提升1.用Sn n(a a)1 n ，必须具备三个条件：.22.用S nan 1n(n 1)d2，必须已知三个条件：.3.等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之a,a,q,n,S五个量中任意的三个，1 n n列方程组可以求出其余的两个.六、当堂检测（时量：15分钟满分：10分）计分：1.在等差数列{a}中，S 120，求a an 10 1 10精品文档A.12B.24C.36D.482.在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（）.A．5880B．5684C．4877D．45663.已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，则项数n为（）A.24 B.26 C.27 D. 28§2.3等差数列的前n项和(2)一、学习目标1.已知S，求a；n n2.会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S的最大（小）值.n二、复习回顾复习1：等差数列{a}中，a＝－15，公差d＝3，求S.n 4 5复习2：等差数列{a}中，已知a 1，a 11，求n 3 5和S.8三、课前预习（自学教材P4445）：思考问题如果一个数列a n的前n项和为Snpn2qn r，其中p、q、r为常数，且p 0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？仿照例3完成题型一：已知数列{a }的前n项和为S 3nn n22n，，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？精品文档四、典型例题练习 1：已知数列 {a }的前 n 项为 Snn1 2 n 2 n 3 ，求这个数列的通项公式. 4 3小结：数列通项 a 和前 n 项和 S 关系为nna = n S (n 1)1 S S (n 2) nn 1 ，由此可由 a =. 求出 a ，并验证 nna1。
高中数学《2.3等差数列的前n项和》导学案 新人教A版必修5
2．3等差数列的前n 项和【学习目标】1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；2.会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题 【研讨互动 问题生成】 1.等差数列的前n 项和公式1 2.等差数列的前n 项和公式2 【合作探究 问题解决】1.一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？2.对等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+=可化成式子：n )2d a (n2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式【点睛师例 巩固提高】例1． 一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
例2．差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值。
【要点归纳 反思总结】1．前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，一定是等差数列，该数列的首项是1a p q r =++； 公差是d=2p通项公式是111,12(),2n n n S a p q r n a S S pn p q n -==++=⎧=⎨-=-+≥⎩当时当时2．等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值。
当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值。
（2）由n )2d a (n2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值【多元评价】自我评价: 小组成员评价: 小组长评价: 学科长评价: 学术助理评价: 【课后训练】1．在等差数列{a n }中，S m =S n ,则S m+n 的值为（ ） （A ）0 （B ）S m +S n （C ）2(S m +S n ) （D ）)(21n m S S +2．在等差数列{a n }中，S 4=6,S 8=20,则S 12= 。
高中数学 23等差数列的前n项和1导学案 新人教A版必修5 学案
2.3等差数列的前n 项和第1课时 等差数列的前n 项和公式 预习案【学习目标】1．掌握等差数列的前n 项和公式及推导公式的思想方法和过程，能够熟练应用等差数列的前n 项和公式解决相关问题，提高应用求解能力.2．通过对等差数列的前n 项和公式的推导与应用，使学生掌握倒序相加法、方程思想、划归思想等数学思想和方法.3．激情参与，惜时高效，感受数学思维的严谨性. 【重点】：等差数列的前n 项和公式的推导和应用. 【难点】：应用等差数列的前n 项和公式解决具体问题. 【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握正弦定理及其简单应用;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1.如何求等差数列的通项公式？2. 等差数列具有哪些性质？ Ⅱ.教材助读1. 在等差数列{}n a 中，n m m m a a a a a a a ,...,,,,...,,,21321++的和与首尾两项和有什么关系？2. 如何推导等差数列的前n 项和公式？3. 等差数列{}n a 的前n 项和公式:__________________=n S ,代入等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=，等差数列的前n 项和公式还可以写成__________________=n S【预习自测】1. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3,132==a a ，则4S 等于（ ） A.12 B. 10 C. 8 D. 62. 等差数列{}n a 中，,14,1531=+=a a a 前n 项和100=n S ，则n 等于（ ） A.9 B. 10 C.8 D. 63.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若357=S ，则4a 等于（ ） A.8 B. 7 C.6 D. 54.在等差数列{}n a 中，若4128S S =则da 1= 5. 等差数列的前n 项和n n S n +=22，那么它的通项公式是6. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且11=a ，74=a ，则=5S7. 在等差数列{}n a 中，已知2011=a ，则=21S【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究 探究点 等差数列的前n 项和公式问题1：怎么求等差数列{}n a 的前n 项和n S ？写出公式的推导过程。
《等差数列的前 n 项和》 导学案
《等差数列的前 n 项和》导学案一、学习目标1、掌握等差数列前 n 项和公式的推导过程。
2、理解等差数列前 n 项和公式的特点，能熟练运用公式解决相关问题。
3、体会等差数列前n 项和公式中蕴含的数学思想，如倒序相加法。
二、学习重难点1、重点（1）等差数列前 n 项和公式的推导和应用。
（2）理解等差数列前 n 项和公式与二次函数的关系。
2、难点（1）倒序相加法的理解和应用。
（2）灵活运用等差数列前 n 项和公式解决综合性问题。
三、知识回顾1、等差数列的通项公式：＄a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$，其中$a_1$为首项，＄d$为公差，＄n$为项数。
2、等差数列的性质：（1）若$m ＋ n ＝ p ＋ q$，则$a_m ＋ a_n ＝ a_p ＋ a_q$。
（2）＄a_n a_m ＝（n m)d$。
四、新课导入高斯是德国著名的数学家，他在小学时就表现出了非凡的数学才能。
有一次，老师让同学们计算 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ 100 的和。
高斯很快就得出了答案 5050。
他是怎么算的呢？原来，高斯发现 1 ＋ 100 ＝ 101，2 ＋ 99 ＝ 101，3 ＋ 98 ＝101，……，50 ＋ 51 ＝ 101，一共有 50 组这样的和，所以总和为50×101 ＝ 5050。
这种方法可以推广到求任意等差数列的前 n 项和。
五、等差数列前 n 项和公式的推导方法一：倒序相加法设等差数列$＼｛a_n\｝＄的首项为$a_1$，公差为$d$，前 n 项和为$S_n$。
则$S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＼cdots ＋ a_n$ ①将上式倒序可得：＄S_n ＝ a_n ＋ a_{n 1} ＋ a_{n 2} ＋＼cdots ＋ a_1$ ②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n 1}）＋＼cdots ＋（a_n ＋a_1)＼＼＆＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_1 ＋ a_n) ＋＼cdots ＋（a_1 ＋ a_n)＼＼＆＝n(a_1 ＋ a_n)＼end{align}＼所以$S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＄方法二：通项公式法因为$a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$所以$S_n ＝ a_1 ＋（a_1 ＋ d) ＋（a_1 ＋ 2d) ＋＼cdots ＋ a_1 ＋（n 1)d$＼＼begin{align}S_n&＝na_1 ＋ d(1 ＋ 2 ＋ 3 ＋＼cdots ＋（n 1)）＼＼＆＝na_1 ＋＼frac{n(n 1)｝｛2}d＼end{align}＼又因为$a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$，所以$a_1 ＋ a_n ＝ a_1 ＋ a_1 ＋（n 1)d ＝ 2a_1 ＋（n 1)d$则$S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＄六、等差数列前 n 项和公式的性质1、若数列$＼｛a_n\｝＄是等差数列，＄S_n$为其前 n 项和，则$S_{2n 1} ＝（2n 1)a_n$。
《等差数列的前n项和》导学案
《等差数列的前n项和》导学案（一）1、掌握等差数列前n项和公式及其推导过程；2、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题。
重点：探索并掌握等差数列前n项和公式，学会运用公式。
难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。
（1）阅读教材42---44页，回答预习案中的问题，并完成预习自测.（2）将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.我的疑惑：复习旧知1、等差数列的定义：2、数学表达形式：3、等差数列的通项公式：（1）（2）4、等差数列的性质：二、感受新知1、上下求索路思考：如何计算1+2+3…+100的值？小组合作交流问题（1）：如何计算1+2+3+…+n的值？问题（2）：如何推导等差数列的前n项和公式？2、知识直通车（1）数列的前n项和定义：（2）等差数列的前n项和公式：公式1：公式2：3、实践训练营例1 求等差数列22,24,26,…前30项的和。
例2、已知一等差数列有12项，小试牛刀.,412112Saa求=+（1）已知一等差数列 ，（ ）A.45B.60C.90D.120（2）已知一等差数列 ， ( )A.-11B.-22C.0D.224、温馨回眸情（1）本节课学到了哪些知识？（2）你觉得本节课的难点是什么？5、课后作业必做题：教材 46页 习题2.3 A 组1题和2题 选做题：教材 46页 习题2.3 B 组1题6、拓展应用探究：等差数列前n 项和 与二次函数的关系==95,10s a 则=-=++11963s ,6则a a a n s一般地，如果一个数列 的前n 项 其中p,q,r 为常数，其中 ，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？7、课后反思 {}n ar qn n n ++=2p s 0p ≠。
高一数学必修五《等差数列的前n项和(二)》导学案
等差数列的前n 项和（二）学习目标：1．深入研究等差数列的前n 项和的性质；2．由等差数列前n 项和公式结合二次函数特征，会求前n 项和的最大（小）值.【课前导学】1、复习等差数列}{n a 的前n 项和公式S n = = 。
2、等差数列}{n a 的前n 项和公式S n =1na +()12n n d -化成关于n 的函数，是_______函数.【知识应用】例1、阅读课本P44例3 并回答问题1、已知S n ，如何求S 1n -？2、n a 与S n 的关系式应注意什么条件？练习1、数列}{n a 的前n 项和公式S n =24n +23n +3，求此数列的通项公式；它是等差数列吗？探究与拓展：若数列}{n a 的前n 项和公式S n =2pn +qn +r ，则当常数p 、q 、r 满足什么条件时，数列}{n a 是等差数列？它的首项与公差分别是什么？例2、阅读课本P45例4 并回答问题1、已知什么？如何求S n ？2、如何确定n 使S n 有最大值？3、若S n =21783239+－（n-）,此时n=_____时，S n 有最大值为__________.练习2：等差数列}{n a 中，1a =13，S 3= S 11，求前n 项和S n 的最大值。
【总结提升】【课后作业】1、前n 项和S n =3n —22n 的数列}{n a 的通项公式n a = 。
2、前n 项和S n =2n —9n +2的数列}{n a 的通项公式n a = 。
3、等差数列}{n a 中，1a =24，2d =-，求S n 的最大值。
4、等差数列}{n a 前n 项和为S n ，求证：S 6、S 12—S 6、S 18—S 12也成等差数列。
5、完成课本P47 第4题。
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2.3 等差数列的前n 项和（导学案）
（集美中学 杨正国）
一、学习目标
1、知识与技能: 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题
2、经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，
学会观察、归纳、反思
二、本节重点
等差数列前n 项和公式的理解、推导及应用.
三、本节难点
灵活运用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题
四、知识储备
1、 复习：等差数列的概念、通项公式、等差中项，等差数列的性质
2、 (1)一般形式：n a a a ,,,21⋯
(2)通项公式：)(n f a n =
(3)前n 项和：n n a a a S ⋯++=21
(4)用n S 表示n a ：⎩⎨⎧∈>-==-).
N n ,1n (S S ),1n (S a *1n n 1n 3、等差数列
(1)定义：成等差数列}{)2(1n n n a n d a a ⇔≥=--
(2)通项公式：B An d n a a n +=-+=)1(1
推广：d m n a a m n )(-+=
(3)性质：
①2
b a A A b a +=⇔的的等差中项与 ②q p n m a a a a q p n m +=++=+则若,
特别地：p n m a a a p n m 2,2=+=+则若
③ 奇数项d a a a 2,,,531成等差数列，公差为⋯
偶数项d a a a 2,,,642成等差数列，公差为⋯
五、通过预习掌握的知识点
1、 1()2n n n a a S +=＝1(1)2
n n na d -+ 公式说明:
1)n S 的特征,形象理解。
2)推导思想： 倒序相加
2、 前n 项和公式n S 与n 的关系:
d n n na S n 2
)1(1-+= n d a n d )2(212-+= 可知: n S 是关于n 的二次函数,故点),(n S n 落在函数x d a x d y )2
(212-+=
上的点. 六、知识运用 1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
2．差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值。
3．根据下列各题的条件,求相应等差数列的未知数.
1)31
=a ,12+=n a n ,195=n S 求n d , 2)1662
=+a a ,396=S 求n a d , 3),3=d 72=a ,12=n ,求n S a ,1
七、重点概念总结
1、等差数列的前n 项和公式1：2
)(1n n a a n S += 2、等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+
=
3、对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1） 利用n a :
当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值
当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值
（2） 利用n S ： 由n )2d a (n 2d S 12n -+=
利用二次函数配方法求得最值时n 的值。