组合导航系统非线性滤波算法综述_赵琳

第17卷第1期中国惯性技术学报V ol.17 No.1 2009年2月 Journal of Chinese Inertial Technology Feb. 2009 文章编号：1005-6734(2009)01-0046-07
组合导航系统非线性滤波算法综述
赵 琳，王小旭，丁继成，曹 伟
（哈尔滨工程大学 自动化学院，哈尔滨 150001）
摘要：总结了组合导航系统具有非线性及模型不确定性的特点，指出了现阶段工程中的卡尔曼滤波及扩展卡尔曼滤波无法真正满足组合导航系统的实际应用要求；然后，以组合导航系统为背景，详细介绍近20年来非线性滤波理论所取得的成果，且阐述了它们的优缺点及在组合导航系统中的应用情况；接着分析了现阶段组合导航系统中滤波算法的新发展，最后对组合导航系统滤波算法进行展望，指明其进一步的可能研究方向。

关 键 词：组合导航系统；滤波算法；非线性；模型不确定性；综述
中图分类号：U666.1 文献标志码：A
Overview of nonlinear filter methods applied in
integrated navigation system
ZHAO Lin, WANG Xiao-xu, DING Ji-cheng
(College of Automation, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)
Abstract: Firstly, the paper summarized that the integrated navigation system is nonlinear and has the character of mode uncertainty, while the Kalman filter(KF) and the extended Kalman filter(EKF) in the integrated navigation system don’t completely meet the practical application demands at present. Then some classically nonlinear filter methods in the past two decades are all introduced in detail. Their advantages and disadvantages, and their application situation in integrated navigation system are summed up. Some new developments of the filter methods in integrated navigation system nowadays is analyzed. Finally, further research directions in this field are pointed out.
Key words: integrated navigation system; filter method; nonlinear; model uncertainty; overview
所谓组合导航系统就是将两种或两种以上导航子系统按某种适当方式组合为一种导航系统，以达到提高系统精度和改善系统可靠性等目的。

它通过发挥各种导航子系统的优势，取长补短，最后提供给用户具有高精度和高可靠性的速度、位置、姿态等导航信息。

组合导航系统具有如下优点：①能有效利用各子系统的导航信息，提高组合系统定位精度；②允许在子系统工作模式间进行自动转换，从而进一步提高系统工作可靠性；③可实现对各子系统及其元件的校准，从而放宽了对子系统技术指标的要求。

因此组合导航系统已成为当前及未来导航技术的重点发展方向之一，也是各国国防技术研究的重点。

组合导航系统实现的关键是数据融合技术，特别是各种滤波算法的出现，为组合导航系统提供了理论基础和数学工具。

应用滤波算法设计组合导航系统的基本原理是：首先建立组合导航系统的状态方程和测量方程；然后采用相应的滤波算法对系统状态进行最优估计，以去除噪声的干扰，得到尽量准确的状态估计值；最后利用这些状态估计值去修正系统的导航误差，进而获得准确的导航参数信息，达到提高导航精度的目的。

1组合导航系统基本特性
通常情况下，要描述一个实际系统，必须首先对其进行建模，即建立系统的状态方程和测量方程。

对于组合导航系
收稿日期：2008-11-11；修回日期：2008-01-05
基金项目：国家自然科学基金（60474046）；高等学校博士学科点专项科研基金资助（20040217008）
作者简介：赵琳（1968—），男，教授，博士生导师，主要研究方向有惯性导航及定位技术、卫星导航技术、组合导航技术、捷联技术及数字控制、信息处理与计算机仿真等。

E-mail：zhaolin@
第1期赵琳等：组合导航系统非线性滤波算法综述47 统，要进行滤波计算也必须建立其数学模型，且组合导航系统的数学模型具有如下一些特点。

1.1 非线性
系统的线性化数学模型，在某些特定情况下，的确能够反映出实际系统或过程的实际性能和特点。

但是，任何实际系统总是存在不同程度的非线性，其中有些系统可以近似看成线性系统，而大多系统则不能仅用线性数学模型来描述，存在于这些系统中的非线性因素不能忽略。

为了更好地全面地分析实际系统，必须应用能准确反映实际系统的非线性数学模型。

组合导航系统本质上是非线性系统，有时为了减少计算量及提高系统实时性，在某些假设条件下组合导航系统的非线性因素可以忽略，其可以用线性化的数学模型来近似描述。

但当假设条件不满足时，组合导航系统就必须采用能反映自身实际特性的非线性模型来描述。

因此可以这样说，非线性是组合导航系统内在的、本质的特性。

1.2 模型不确定性
任何一个实际系统都具有不同程度的不确定性，这些不确定性有时表现在系统内部，有时表现在系统外部。

从系统内部来讲，描述被控对象的数学模型的结构和参数，设计者事先并不一定能确切知道。

作为外部环境对系统的影响，可以等效地用许多扰动来表示，这些扰动通常是不可预测的，它们可能是确定性的，也可能是随机性的。

此外，还有一些测量噪声从不同的测量反馈回路进入系统，并且这些随机扰动噪声的统计特性常常是未知的。

组合导航系统处于实际运行环境当中时，受系统本身以及外部应用环境不确定性因素的影响，系统实际模型与建立的理论模型不能完全匹配，即组合导航系统具有模型不确定性。

造成系统模型不确定性的主要原因有以下几点： 1）模型简化。

即采用较少的状态变量来描述系统的主要特征，忽略掉实际系统某些不重要的状态特征。

这些未建模状态在某些特殊条件下有可能被激发起来，造成模型与实际不匹配。

2）系统噪声统计不准确。

即所建模型的噪声统计特性与实际系统的噪声统计特性有较大的差异。

3）对实际系统初始状态的统计特性建模不准确。

4）由于实际系统运行中会出现器件老化、损坏等原因，系统参数发生了变动，造成模型与实际系统不匹配。

2 现有KF及EKF滤波理论的局限性
目前，工程上组合导系统采用的滤波方法主要是卡尔曼滤波（Kalman Filter，KF）和扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）。

KF要求系统数学模型必须为线性，当组合导航系统模型具有非线性特性时，仍然采用线性模型描述组合导航系统及使用KF进行滤波，将会引起线性模型近似误差。

以INS/GPS组合导航系统为例，通常所采用的线性误差状态方程是在假定惯导系统姿态误差（失准角）为小量的条件下导出的。

当惯性器件精度较差或载体作大机动运动时，惯导系统的失准角会很大，INS/GPS组合导航系统中的非线性因素不能忽略。

传统的线性小误差方程就无法与实际系统相匹配，继续采用传统线性KF对系统线性小误差模型进行滤波，将会导致滤波状态发散。

尽管EKF在组合导航系统非线性滤波中得到了广泛应用，但它仍然具有理论局限性，具体表现在：
1）当系统非线性度较严重时，忽略Taylor展开式的高阶项将引起线性化误差增大，导致EKF的滤波误差增大甚至发散。

2）雅可比矩阵的求取复杂、计算量大，在实际应用中很难实施，有时甚至很难得到非线性函数的雅可比矩阵。

3）EKF将状态方程中的模型误差作为过程噪声来处理，且假设为高斯白噪声，这与组合导航系统的实际噪声情况并不相符；同时，EKF是以KF为基础推导得到的，其对系统初始状态的统计特性要求严格。

因此EKF关于系统模型不确定性的鲁棒性很差。

3 组合导航系统中的非线性滤波算法
近20年来，基于非线性模型的滤波算法取得了很大的发展，出现了一些经典的非线性滤波方法，包括模型预测滤波、粒子滤波及Unscented卡尔曼滤波等，下面将逐一介绍它们的特点及在组合导航系统中应用。

3.1 模型预测滤波
基于线性最小方差准则产生的传统KF及EKF，在滤波状态估计过程中，将状态方程中存在的模型误差作为过程噪声来处理，而且通常将模型误差假设为协方差已知的零均值高斯白噪声，在很多情况下这种做法会降低滤波状态估计的精确度，影响滤波器的最优性；而且在实际中，系统模型一般为非线性，很难建立准确的模型，噪声也非绝对的高斯白噪声。

为解决上述问题，Mook与Junkins等人[1]提出了一种新的最优估计准则，即最小模型误差（Minimum Model Error，MME）
48 中国惯性技术学报第17卷准则。

基于MME准则和Lu所建立的预测控制理论[2]，Crassidis等人提出了一种实时的非线性滤波技术，即模型预测滤波器（Models Predictive Filter，MPF）[3]。

MPF的基本思想是：基于MME准则对系统状态进行估计，模型误差在估计过程中被确定并用于修正系统的动态模型。

这种滤波器能够有效地解决存在显著动态模型误差情况下的非线性系统状态估计问题。

EKF将模型误差作为过程白噪声来处理，因此当真实的模型误差不是白噪声时，EKF就无能为力了，而MPF对系统模型误差没有任何限制，因此可以采用MPF方法来实时估计系统实际的模型误差；同时，EKF主要是利用观测量值得到新息序列来滤波的，其滤波误差受到测量误差的影响很大。

相比之下，MPF的滤波效果要好，这是因为MPF主要通过估计模型误差来实时调整系统模型，受测量误差影响较小。

刘百奇等人[4]将MPF用于机载SINS/GPS组合导航系统的空中自对准，通过MPF对SINS中惯性器件所引起的模型误差进行估计，不仅实现了SINS/GPS的空中自对准，大大缩短了飞机的地面准备时间，而且提高了姿态角的对准精度，使姿态角的误差被有效控制在1°以内。

曹娟娟等人[5]将基于模型误差预测的EKF用于大失准角下的MIMU/GPS空中对准，取得了优于EKF的方位角估计精度。

3.2 粒子滤波
粒子滤波（Particle Filter，PF）算法是一种基于贝叶斯采样估计的顺序重要采样（Sequential Importance Sampling，SIS）滤波方法。

Hammersley等人在20世纪50年代末就提出了基本的SIS方法[7]，并在60年代使其得到了进一步发展[8]，但上述研究始终未能解决粒子数匮乏现象和计算量制约等问题，因此未引起人们的重视。

直到1993年由Gordon等人[6]提出了一种新的基于SIS的Bootstrap非线性滤波方法，从而奠定了PF算法的基础。

PF算法的基本思想是：通过寻找一组在状态空间中传播的随机样本对概率密度函数(/)
p x z进行近似，以样本均值代替积分运算，从而获得状态最小方差估计的过程，
k k
这些样本即称为“粒子”。

PF适用于非线性非高斯系统的状态估计，尤其对强非线性系统的滤波问题有独特的优势，摆脱了解决非线性滤波问题时随机量必须满足高斯分布的制约条件。

即使采用SIS算法来实现粒子滤波，PF的计算量依然很大，实时性差，且其易出现粒子匮乏问题。

但PF在处理非线性非高斯时变系统的参数估计和状态滤波问题等方面具有独特的优势，不要求系统状态必须满足高斯分布，因此随着计算机技术的进步，其必将获得广泛应用。

PF算法为解决组合导航定位系统中的非线性非高斯滤波问题提供一种很好的思路。

Gustafsson和Ha11等人[9，10]研究了PF在车辆组合定位中的应用，给出了车辆定位中地图匹配的PF算法。

Bergman等人[11]将PF应用于组合导航系统中地形匹配。

Carvalho等人[12]将PF方法应用于伪距组合的SINS/GPS组合导航系统，使用非线性的伪距观测方程来代替传统的线性化观测方程，仿真比较了非线性的伪距组合与速度、位置组合对定位精度的影响。

Babak等人[13]将PF应用于GPS的整周模糊度求解以及伪距组合的INS/GPS组合导航系统，得到了较好的效果。

Thomas等人[14]为解决PF算法计算量随系统状态维数增加而成级数增大的缺点，提出了边缘化粒子滤波算法，并将其用于飞行器组合导航系统当中。

这种边缘化PF算法通过仅对组合导航系统中的非线性部分进行粒子选取，大大降低了PF的计算量，为PF工程实用提供了一定的理论参考。

3.3 Unscented卡尔曼滤波
为了能够以较高的精度和较快的计算速度处理非线性系统的滤波问题，Juliter等人提出了基于Unscented变换的卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）[15]。

Unscented变换（Unscented Transformation，UT）的核心思想是：近似非线性函数的概率分布比近似非线性函数要容易。

因此，UT变换不需要对非线性系统进行线性化近似，而是通过特定的采样策略选取一定数量的Sigma采样点，这些采样点具有同系统状态分布相同的均值和协方差，这些Sigma采样点经过非线性变换后，可以至少以二阶精度（泰勒展开式）逼近系统状态后验均值和协方差。

将UT变换应用于卡尔曼滤波算法，就形成了UKF。

UKF适用于非线性高斯系统的滤波状态估计问题，尤其对于强非线性系统其滤波精度及稳定性较EKF明显提高。

UKF是对非线性系统的概率密度函数进行近似，而不是对系统非线性函数进行近似，因此不需求导计算雅可比矩阵，计算量仅与EKF相当；且由于UKF采用确定性采样，仅需要很少的Sigma点来完成UT变换，而非PF的随机采样，需要大量的粒子点来近似非线性函数的概率分布，因此UKF计算量明显小于PF，且避免了粒子匮乏衰退的问题。

由于UKF的上述特点，UKF日益得到关注，广泛应用于组合导航系统当中。

Julier等人[16]用UKF处理车辆导航中状态方程的强非线性。

Merwe等人[17]将UKF应用于水下机器人INS/GPS组合导航系统，取得了优于EKF的估计效果，UKF算法相对于EKF可使系统状态估计误差降低30%；chapelle[18]将UKF用于INS/GPS组合导航系统的位置及姿态估计，得到
第1期赵琳等：组合导航系统非线性滤波算法综述49 了比EKF更好的估计精度。

Farid等人[19]首先基于四元数法得到SINS的姿态、速度、位置误差状态方程，然后辅以GPS得到系统的观测方程，最后将UKF用于SINS/GPS组合导航系统的状态估计，仿真结果得到了高精度的导航信息，UKF有益于低精度低成本IMU的推广使用。

3.4 EKF，UKF及PF三种算法比较
1）非线性非高斯随机系统大量存在于实际应用当中，解决非线性非高斯滤波问题的最优方案就是得到系统条件后验概率的完整描述。

然而这种精确的描述需要无尽的参数及大量的运算，因而实际应用非常困难，为此学者提出了大量次优的近似方法[8,11,29]，以此来近似描述非线性非高斯系统的后验分布。

对于非线性系统滤波问题的次优近似，有两大途径：①非线性函数近似，即将非线性环节线性化，对高阶项采用忽略或逼近的方法。

EKF及对EKF的众多改进方法都属于此类。

②用采样方法近似非线性分布。

由于近似非线性函数的概率密度分布比近似非线性函数更容易，因此使用采样方法近似非线性分布来解决非线性滤波问题的途径得到了广泛关注。

UKF和PF就属于此类。

2）在滤波算法实现上，EKF和UKF都是针对非线性系统的线性卡尔曼滤波方法的变形和改进形式，因此受到线性卡尔曼滤波算法的条件制约，即系统状态应满足高斯分布。

对于非高斯分布的系统状态模型，若仍简单地采用均值和方差表征状态概率分布，将导致滤波性能变差。

故EKF和UKF一般不适用于状态非高斯分布的系统模型。

而PF不需要对状态变量的概率密度作过多的约束，其不受模型非线性及高斯假设的限制，适用于任何非线性非高斯的随机系统，从这个意义上讲，相比于EKF和UKF，PF是非高斯非线性系统状态估计的“最优”滤波器。

4 组合导航系统非线性滤波算法的新发展
4.1 多种滤波算法综合应用
鉴于一种滤波方法只能解决组合导航系统中的某一类问题，往往是顾此失彼，国内外的学者提出将两种或更多的滤波方法综合应用于组合导航系统当中，并取得了一定的理论成果。

宫晓琳等人[20]提出将MPF与EKF相结合的方法应用于机载SAR运动补偿SINS/GPS组合系统中，其采用MPF将惯性器件误差作为模型误差来对组合导航系统建模，有效解决了EKF在系统模型不确定时滤波精度下降的问题，增强了SINS/GPS系统的鲁棒性。

通过飞行试验结果说明：这种方法的收敛速度和滤波精度明显优于目前工程中单独使用的KF和EKF，特别是大大提高了组合导航系统的定位精度；同时MPF和EKF相结合的滤波方法与线性KF的计算量相当，满足工程上导航精度和实时性的要求。

Merwe等人[21]在PF基础之上，提出了一种通过UKF方法来获得PF重要性函数的UPF算法（Unscented Particle Filter，UPF），这种滤波方法既能避免UKF 需假设系统状态后验概率为高斯分布，又可大大降低PF出现粒子匮乏的机率，作者通过两个例子说明了UPF方法的估计精度及鲁棒性明显强于单独使用的UKF或EKF。

Aggarwal.P[22]提出一种将EKF和PF相组合的HEPF算法（Hybrid Extended Particle Filter，HEPF），并将其应用在基于低成本MEMS的INS/GPS组合导航系统，仿真结果证明，当GPS信号变弱而无法被捕获时，HEPF算法估计精度明显高于EKF。

4.2 基于交互式多模型的融合滤波算法
以上所讲的MPF-EKF、UPF及HEPF等组合滤波算法虽然在组合导航系统非线性滤波方面取得一定的成果，但这种组合只是一种粗略的结合，没有特定的数学理论作为其理论基础，无法对其进行深入的理论分析，从而限制了这种组合滤波算法的应用。

交互式多模型（Interacting Multiple Models，IMM）[23]算法在1984年首先由H.A.PBlom提出，主要用于机动目标的跟踪，其基本思想在于使用不同的运动模型来匹配系统不同的运动状态，这样就克服了使用单模型时一旦系统运动状态与模型不符时所引起的误差，各种运动模型间的转换则使用马尔可夫链。

IMM算法都是以滤波器为基础的，即每个运动模型都有相应的滤波器与之匹配。

组合导航系统处于实际运行环境当中时，具有模型不确定性和非线性，故采用单个系统模型以及在此模型基础上所进行的滤波运算，并不能完全反映组合导航系统运行的全过程。

为了减少或者克服组合导航系统中因模型误差而使状态估计值产生偏差的现象，自然而然地可将IMM理论应用于组合导航系统中，构成以交互式多模型为基础的融合滤波算法。

其基本思路是：设计一系列的模型来代表组合导航系统可能的行为方式或结构（称为系统模型），基于每个模型的非线性滤波器并行工作，不同模型的各个滤波器的输入不是他们各自上一时刻的滤波输出，而是由实际模型条件转移概率修正后的交互值；同时，利用每个滤波器输出的残差信息以及各模型的先验信息，得到每个滤波器所对应的模型为
50 中国惯性技术学报 第17卷 当前时刻实际系统匹配模型的概率（称为模型概率），系统的状态估计是各个模型滤波器估计的概率加权融合。

基于交互式多模型的融合滤波算法可以提高组合导航系统对于客观实际系统以及外部环境变化的适应性，进而提高导航滤波估计的精度和稳定性。

藏荣春等人[24]设计了一种基于IMM 的UKF 滤波算法，用来解决GPS/DR 组合导航系统中的非线性和噪声不确定等问题，相比于单个UKF 滤波方法，其具有估计精度高，模型切换速度快，适用于动态系统等优点。

Seong [25]将IMM 算法与UKF 相结合提出了一种自适应融合滤波算法，
该方法对模型不确定性、瞬时干扰噪声及初始状态误差具有鲁棒性。

作者将此算法应用于INS /GPS 组合导航系统中，仿真及实验结果表明：当INS /GPS 组合导航系统惯性器件误差模型在实际环境中发生变化时，该自适应融合算法滤波精度明显优于UKF 及EKF ；同时此算法对组合导航系统初始状态统计特性没有严格要求。

Rafael [26]提出了一种基于IMM 算法的EKF 滤波方法，简称IMM-EKF ，并将其用于陆地车辆组合导航系统。

与EKF 及UKF 相比，IMM-EKF 算法能够有效克服EKF 及UKF 因模型不确定性而产生的滤波发散，估计精度高于EKF 及UKF 。

4.3 交互式多模型算法简介
设系统可用如下状态方程和量测方程描述：
(1)(,())()(,())()(,())()(,())
k k k k k k k k k k k k +=+⎧⎪⎨=+⎪⎩x m x w m z H m x v m Φ （1）
式中，()k x 为系统状态向量，(,())k m k Φ为状态转移矩阵，()k z 是量测向量，(,())k k H m 为观测矩阵，(,())k k w m 和(,())k m k v 分别为系统噪声和测量噪声。

这里，()k m 是指k 采样时刻有效的模型，所有可能的系统运动行为方式称 为系统模型集，表示为12{,,,}n m m m ="M ，在无条件约束下，模型转换过程符合一阶马尔可夫过程，从()j m k 到 (1)i m k +的转移概率{(1)/()}i j p m k m k +记为ji π，ji π由先验知识获得。

模型之间的实际转移概率（即模型预测概 率）{()/(1),}k j i p m k m k z +记为|(/)j i k k µ是基于上述ji π和测量组合{}k z 的极大后验概率。

模型i m 在k 时刻为 系统匹配模型的概率称为模型概率{()/}k
i p m k z ，记为()i k µ，其也是基于滤波器输出的残差信息以及各模型先验信息 ji π的极大后验概率，其中{(1),(2),,()}k z z z z k ="表示系统k 时刻的测量信息。

IMM 算法是将状态的条件均值沿模型空间做贝叶斯全概率展开，也就是在模型集覆盖系统运动模式且模型间相互独立条件下的最优估计。

IMM 是一种递推算法，它假设模型的数目是有限的，算法的每一个循环包括4步：输入交互，滤波计算，模型概率更新及输出融合。

设模型之间的初始马尔可夫链状态转移矩阵为：
1112121
22212()n n ji n n n n nn ππππππππππ×⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭
""#
#%#" （2） 其中ji π为初始马尔可夫转移概率，且满足如下条件：
1
{(1)/()},,1,1,2,,ji i j i j n ji i p m k m k m m M j n ππ==+∈⎧⎪⎨==⎪⎩∑" （3） 一般情况下，式（3）中：对于ji π，i j =时其值较大；i j ≠时其值较小。

最终的融合输出结果对这些转移概率并 不十分敏感。

IMM 算法最突出的优点是：通过输出残差来不断更新模型概率，使得融合输出尽可能接近，那个基于最能反映实际系统客观行为方式的模型的滤波输出。

4.3.1 输入交互
当获得测量信息后，模型条件转移概率（即模型预测概率）|()j i k µ的计算公式为：
|1(){()/(1),}()()n k j i j i ji j ji j j k p m k m k z k k µπµπ
µ==+=∑ （4）
第1期 赵琳等：组合导航系统非线性滤波算法综述 51 则基于每个模型{()},1,2,,i m k i n ="的滤波器，在1k +时刻的输入状态0ˆ()i k x
及估计误差协方差阵0()i k P 为： 0|1ˆˆ()()()n
i j j i j k k k µ==∑x x （5）
0|1()(){()n
i j i j j k k k µ==+∑P P T 00ˆˆˆˆ[()()][()()]}j i j i k k k k −−x x x x （6）
0ˆ()i k x
和0()i k P 分别表示基于模型()i m k 的滤波器经输入交互之后的状态估计及误差协方差阵。

4.3.2 滤波计算
在IMM 算法中，基于每个模型的滤波器并行工作，各个滤波器的输入由式（62）和（63）计算得到。

经过滤波计算
之后，k 时刻基于模型()i m k 的滤波器的状态及协方差输出分别为ˆ()i k x
和()i k P 。

4.3.3 模型概率更新
模型概率的计算就是假设检验过程，采用贝叶斯假设检验方法来检测基于不同模型的各个滤波器的残差。

已知系统的测量信息()k z ，则k 时刻基于模型()i m k 的滤波残差矢量为：
ˆ()()(,())(/1)i i k k k m k k k =−−εz H x
（7） 残差的协方差矩阵为： (){()()}i i i k E k k Τ=S εε （8）
由KF 理论可知：如果滤波模型与实际模型完全匹配时，滤波残差为零均值方差为()k S 的高斯白噪声。

因此k 时刻模型()i m k 为匹配模型的似然函数()i k Λ表达式如下：
()[(),0,()]i i i k N k k Λ==S ε121[2|()|]exp{()()()}2
i i i i k k k k πΤ−εεS S （9）
则模型概率更新方程为： 111()(1)(){()/}=()(1)
n
i ji j j k i i n n i
ji j i j k k k m k k k ΛπµµΛπµ===−=−∑∑∑P z （10） 4.3.4 输出融合
IMM 最终的状态估计输出ˆ()k x
，是将基于各个模型{()}1,2,,i m k i n ="，的滤波状态估计ˆ()i k x 进行加权融合 之后得到的，即为各模型的状态估计值ˆ()i k x 和相应模型概率()i k µ的乘积： 1
ˆˆ()()()n i i i k k k µ==∑x
x （11） 同时IMM 状态估计误差协方差矩阵()k P 为：
1()(){()n
i i i k k k µ==+∑P P T ˆˆˆˆ[()()][()()]}i i k k k k −−x
x x x （12）
5 展望与结论
近期所出现的MPF 、PF 及UKF 等非线性滤波方法以及交互式多模型算法，在处理组合导航系统中非线性滤波问题及克服模型不确定等方面，都有各自独到的优势。

目前虽然它们在组合导航系统应用方面取得了一定的理论成果，但尚有以下几方面内容值得关注：
1）目前，非线性滤波算法本身在理论上并不十分成熟，当将其应用于组合导航系统中时，无法从理论上对这些滤波算法进行性能分析，从而使得这些算法在实际应用中的稳定性无法得到保证。

以PF 及UKF 为例进行说明。