高三下学期理科数学第8周周测试卷
高三数学下学期第8周周练试题理(2021学年)
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江西省横峰县2017届高三数学下学期第8周周练试题 理一、单项选择（注释）1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线５ｘ2－ｙ２= ２0的两条渐近线围成的三角形的面积等于54,则抛物线的方程为（ ) A ．y 2=4x B.y 2=8x C ．ｘ２＝4y D.ｘ2=8ｙ 【答案】B【解析】抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴的正半轴上排除C ．D ，设抛物线的方程为)0(22>=p px y ，则抛物线的准线方程为2px -=,双曲线的渐进线方程为x y 5±=，由面积为54可得545221=⨯⨯p p,所以4=p ，答案选Ｂ.2、如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料,其中2和９同色、3和6同色、4和7同色、５和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有（ ）Ａ.３6０种 B.7２0种 C ．780种 Ｄ.840种 【答案】B【解析】由图可知，区域２，３，5，７不能同色，所以2和9同色、3和６同色、4和7同色、5和8同色,且各区域的颜色均不相同，所以涂色方法有720246=⨯A 种,故应选B .考点:１、涂色问题;２、排列组合．3、执行如右图所示的程序框图，则输出的结果是（ ) A.1920 B.2021 C.2122 D.2223【答案】C【解析】４、下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a,b分别为14，1８，则输出的a＝( ）A。
2018届高三数学下学期周练八理
河南省正阳县第二高级中学2017-2018学年下期高三理科数学周练（八）一.选择题：1.若集合{|1}M x x =≤，2{|,1}N y y x x ==≤，则A ．M=NB ．M N ⊆C ．M N =∅D ．N M ⊆2．在复平面内，复数12i+(其中是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.函数()f x 是上奇函数，对任意实数都有3()()2f x f x =--，当13(,)22x ∈时，2()log (21)f x x =-，则(2018)(2019)f f +=（）A ．-2B ． 1C ．D ． 24.在区间[0,1]上随机取两个数，，则函数21()4f x x ax b =++有零点的概率是（） A ．112 B ．23 C ．16 D ．135. x ，y 满足约束条件：则z ＝2x ＋y 的最大值为A ．－3B ．3C ．4D ．6.程序框图如图所示，该程序运行的结果为s ＝25，则判断框中可填写的关于i 的条件是 A ．i ≤4 ? B．i ≤5 ? C．i ≥5 ? D．i ≥4 ?7.二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中的指数为整数的顶的个数为（） A ．3 B ．5 C. 6 D ．78．设，的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（） A ． 1:2 B ． 3:2 C. 5:2 D ． 7:2 9.已知M,N 为椭圆上关于长轴对称的两点，A,B 分别为椭圆的左、右顶点，设分别为直线MA,NB 的斜率，则的最小值为（）A ． 2b:aB ． 3b:a C. 4b:a D ． 5b:a10.若圆与圆相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是A．3 B．4 C．D．811．若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则=A． B．C．D．12.对，设是关于的方程的实数根，（符号表示不超过的最大整数）．则A．1010 B．1012 C．2018 D．2020二.填空题：13.安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．14.已知平面向量的夹角为120°，且．若平面向量满足，则．15.已知抛物线＝4y，斜率为－的直线交抛物线于A，B两点．若以线段AB为直径的圆与抛物线的准线切于点P，则点P到直线AB的距离为___________．16.已知，其中e为自然对数的底数，若，则实数a的取值范围是___三.解答题：17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知a2＋4S＝b2＋c2．（1）求角A；（2）若a＝，b＝，求角C．18.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝0．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．（1）求证：PO⊥平面ABD；（2）当PB与平面ABD所成的角为45°时，求平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值．19.进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”．该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：（1）根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0．001的前提下认为“是否赞同限行与是否拥有私家车”有关：（2）为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出3名进行电话回访，求3人中至少抽到1名“没有私家车”人员的概率．参考答案：DDADBB. DCCBCA 13.30 17.（1）A=45°（2）C=75°或45°18.略19.（1）在犯错误的概率不超过0．001的前提下不能认为二者相关（2）0.8。
高三理科数学试卷(含答案)
理科数学试卷参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集I 是实数集R ， 3{|2}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．2xy = B ． (lg y x =C ． 22xxy -=+ D ． 1lg1y x =+ 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2）4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.422142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．226. 已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．2π+ B．42π+ C．6π+ D．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为AB ．5C．D ．109. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥B ．若b α⊂，b ∥c ，则c ∥αC ．若b α⊂，c ∥α，则b ∥cD ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥10.已知数列{}n x 满足3n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为A ．669B ．670C ．1338D ．134011. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是俯视图正视图侧视图（第7题图）A ．B ．C ．D ．12．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ． ()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所示，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___1___．14．在ABC ∆中，已知41AB AC ==，，ABCS AB AC ∆=⋅则的值为 ±2 ．15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=，204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵2()sin cos f x x x x =+)12sin cos cos 212x x x =⋅++（第13题图）1sin 2cos 2222x x =++ ……………3分sin 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………9分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤++≤= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为0．……………12分 18．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，∴ BC AD BC AD 21//=且. …… 2分∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥. …… 6分 （Ⅱ）法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．PCADBR(第18题图)∵ 1==AD RA ,∴ RC AF ⊥.又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PA AF= ∴ ⊥RC 平面PAF .∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分 在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ∴ 332622cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ………………12分 （Ⅱ）法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.∴=（－1，1，0）， =（1，0，1）, ……8分 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩……10分 令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n.FR ADBCP （第18题图）R（第18题图）显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．∴ cos<n ，33131=⨯=． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是33. ………………12分 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈．（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *∈得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+即 n n b b 21=+(,2)n N n*∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列 ∴ n n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知321nn a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232nn =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分（Ⅱ）法二由已知125n n S S n +=++()n N *∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 11612232n n n S n -+++=⋅=⋅∴ 1326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分20．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米∵AMDC ANDN =，∴()32x AM x+=， ……………………2分∴ ()232AMPN x S AN AM x+=⋅=由32>AMPN S 得()23232x x+> ，(第20题图)又0x >，得 2320120x x -+>，解得：2063x x <<> 或 即DN 长的取值范围是2(0)(6)3∞ ，，+ ……………………7分（II ）矩形花坛AMPN 的面积为()22323121212312x x x y x xx x+++===++1224≥= ……………………10分 当且仅当1232x x ,x==即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24． 故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+== ………7分① 当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．………10分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aa a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩ 解得 21a c =⎧⎨=⎩∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-= 由题意：△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① ……7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+………………… 8分 由已知，AM AN ⊥ ， 且椭圆的右顶点为A (2,0) ∴()()1212220x x y y --+=………………… 10分即 ()()()2212121240kx x km x x m++-+++=也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 2271640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 12分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．……………………… 14分。
2021年高三下学期周练(八)数学试题 含解析
2021年高三下学期周练（八）数学试题含解析一、选择题：共12题每题5分共60分1．以下四个命题中，正确的个数是（）①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；②命题“存在”的否定是“对于任意”；③在中，“”是“”成立的充要条件；④若函数在上有零点，则一定有.A． B． C． D．2．若，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（）A． B． C． D．3．函数的部分图象如图所示，则的值为（）A． B． C． D．4．已知函数，把函数的零点从小到大的顺序排成一列，依次为，则与大小关系为（）A． B． C． D．无法确定5．已知函数为自然对数的底数），函数满足，其中分别为函数和的导函数，若函数在上是单调函数，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．6．设向量是两个互相垂直的单位向量，且，则（）A． B． C． D．7．设函数，则使得成立的x的取值范围是A．B．C．D．8．函数若是方程三个不同的根，则的范围是（）A． B． C． D．9．函数的零点所在的大致区间是 ( )A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）10．已知定义在上的偶函数满足，且在区间 [0，2]上，若关于的方程有三个不同的根，则的范围为（）A． B． C． D．11．函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是( )A．(－2，－1) B． (0,1) C． (－1,0) D．(1,2)12．已知曲线：（），下列叙述中正确的是（）A.垂直于轴的直线与曲线存在两个交点B.直线（）与曲线最多有三个交点C.曲线关于直线对称D.若为曲线上任意两点，则有二、填空题：共4题每题5分共20分13．下列叙述：①函数的一条对称轴方程为；②函数是偶函数；③函数，，则的值域为；④函数，有最小值，无最大值.则所有正确结论的序号是 .14．已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为____个.15．已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______.16．若实数满足不等式组，则的最大值为 .三、解答题：共8题共70分17．已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：对任意的，.18．设函数，其中为实数.（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.19．如图，在四棱锥中，平面，且，点在上.（1）求证：；（2）若二面角的大小为45°，求与平面所成角的正弦值.20．如图所示，为以为直径的圆的切线，为切点，为圆周上一点，，直线交的延长线于点.（1）求证：直线是圆的切线；（2）若，，求线段的长.21．某网络营销部门为了统计某市网友2015年11月11日在某网店的网购情况，随机抽查了该市100名网友的网购金额情况，得到如下频率分布直方图.（1）估计直方图中网购金额的中位数；（2）若规定网购金额超过15千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过15千元的顾客定义为“非网购达人”；若以该网店的频率估计全市“非网购达人”和“网购达人”的概率，从全市任意选取3人，则3人中“非网购达人”与“网购达人”的人数之差的绝对值为，求的分布列与数学期望.22．已知各项均不为0的等差数列前项和为，满足，，数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.23．已知函数.（1）求的单调区间；（2）存在且，使成立，求的取值范围.24．的内角的对边分别为，已知，且.（1）求的值；（2）求的值.参考答案1．B【解析】试题分析：对于①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若不是周期函数，则不是三角函数”，①错；对于②,命题“存在”的否定是“对于任意” ,②错；对于③，在中，当时，由正弦定理有，由大边对大角有,当时,得，由正弦定理有，所以“”是“”成立的充要条件, ③正确；对于④，举例函数，在上有零点，但不符合.故只有个正确. 考点：1.四种命题的形式；2.特称命题的否定形式；3.充分条件与必要条件的判断；4.函数零点存在定理.【易错点晴】本题分为个小题,都是对平时练习中易错的知识点进行考查,属于基础题.在①中,注意命题的否定与否命题的区别；在②中,是对特称命题的否定,已知,否定；在③中,注意正弦定理和大边对大角、大角对大边的运用；对于④,是考查零点存在定理,要说明这个命题是错误的,只需举出一个反例即可.2．D【解析】试题分析：当，满足,所以,输出结果为,故选D.考点：程序框图.3．A【解析】试题分析：由图象可知，由此可知，所以，又，所以，，所以()17502sin 2sin 21232f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A. 考点：正弦函数的图象与性质.4．B【解析】试题分析：因为函数，所以()()()()()()()112,3213,4314,5415,f f f f f f f +==+==+==+=函数的零点即是的根，所以，故选B.考点：1、分段函数的解析式；2、函数的零点与方程的根之间的关系.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、函数的零点与方程的根之间的关系，属于难题判断函数零点个数的常用方法：(1)直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个数；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数,本题就利用了方(1)直接求解方程根的.5．B【解析】试题分析： xx x x e ax ax e e ax axe x f 12)()1(2)(222--=+-='，所以函， 因为在上是单调函数，则当时，恒成立或恒成立.又因为，所以当时，恒成立必定无解.所以必有当时，恒成立，设，当时，成立；当时，由于在上是单调递增，所以得；当时，由于在在上是单调递减，所以得. 综上：. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合；③讨论最值或恒成立；④讨论参数. 本题是利用③求解实数的取值范围为的.6．B【解析】试题分析：因为,所以,()()()222221212221222442424545a b a b a a b b e e e e e e e e +=+=+⋅+=-+-⋅+=+⋅=．考点：向量的数量积运算．7．A【解析】试题分析：由已知函数的定义域为函数为偶函数，且当时，函数单调递增，则根据偶函数的性质可知要使，则221()(21)21(21)13f x f x x x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<<，选A 考点：函数恒成立问题【名师点睛】考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于中档题．解题时根据偶函数的性质得到是解题的关键8．B【解析】试题分析：作出函数图像（略），方程有三个互不相等的实根等价于函数与直线图像有三个交点，由图像易知.当方程存在三个不等的实根时，其中有两根在区间内，关于对称；一个根在区间内，故的取值范围是，故选B.考点：分段函数的概念；指数函数、正弦函数的图象；数形结合思想；函数方程的概念.9．B【解析】试题分析：∵，而，∴函数的零点所在区间是 （1，2），故选B ．考点：函数的零点的判定定理.10．D【解析】试题分析：因为所以此函数为周期函数，且周期为4；因为在区间[0，2]上，且函数为定义在上的偶函数，则在区间上；当时函数图像如图所示；要使方程有三个不同的根则有，解得.故选D.考点：函数的奇偶性和单调性.11．B【解析】试题分析：因为，，所以函数零点在区间.故选B.考点：函数零点的判定定理.12．B【解析】试题分析：由题去绝对值的得：22222222222222221,111x ya bx ya by xb ax ya b⎧-=⎪⎪⎪+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎪⎪+=⎪⎩第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，结合方程可得图像，则易得：B正确。
2021年高三理科数学第8周周考试题(附答案详解)
2021年高三理科数学第8周周考试题（附答案详解）一、选择题1．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )A．26 B．29C．212 D．215解析：∵{a n}是等比数列，且a1＝2，a8＝4，∴a1·a2·a3·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212.∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，∴f′(0)等于f(x)中x的一次项的系数．∴f′(0)＝a1·a2·a3·…·a8＝212.答案：C2．(2011年高考湖南卷)由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为()A.12B．1C.32 D. 3解析：根据定积分的定义，所围成的封闭图形的面积为∫π3－π3cos x d x＝sinx|π3－π3＝sinπ3－sin(－π3)＝ 3.答案：D3.⎠⎛241x d x等于()A．－2ln 2 B．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2解析：⎠⎛241x d x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D4．已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3解析：∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，∴f (2－x )＝2f (x )－(2－x )2＋8(2－x )－8.∴f (2－x )＝2f (x )－x 2－4x ＋4.将f (2－x )代入f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8得f (x )＝4f (x )－2x 2－8x ＋8－x 2＋8x －8.∴f (x )＝x 2.∴y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.∴函数y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.答案：A5．曲线y ＝x 2x －1在点(1,1)处的切线方程为( ) A ．x －y －2＝0 B ．x ＋y －2＝0C ．x ＋4y －5＝0D ．x －4y －5＝0解析：∵y ＝x 2x －1＝12(2x －1)＋122x －1＝12＋12(2x －1)， ∴y ′＝－[2(2x －1)]′[2(2x －1)]2＝－1(2x －1)2.∴y ′|x ＝1＝－1.∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.答案：B二、填空题(24分)6．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________． 解析：如图所示，设剪成的两块中是正三角形的那一块边长为x m ，则梯形的周长为x ＋(1－x )＋(1－x )＋1＝3－x ，梯形的面积为34－34x 2， ∴s ＝(3－x )234(1－x 2)＝433·x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)， 对s 求导得s ′＝433·－2(3x 2－10x ＋3)(1－x 2)2. 令s ′＝0，得x ＝13或x ＝3(舍去)． ∴s min ＝s (13)＝3233. 答案：32337．(2011年高考陕西卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________.解析：由题意知f (1)＝lg1＝0，∴f (0)＝0＋a 3－03＝1，∴a ＝1.答案：18．(2011年高考广东卷)函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．解析：由f (x )＝x 3－3x 2＋1得f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，当x ∈(－∞，0)和x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，故当x ＝2时，函数f (x )取得极小值．答案：29．(2011年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．解析：设点P (x 0，e x 0)，则f ′(x 0)＝e x 0(x 0>0)．所以f (x )＝e x (x >0)在P 点的切线l 的方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)．所以M (0，e x 0－x 0e x 0)．过P 点的l 的垂线方程为y －e x 0＝－1e x 0(x －x 0)， 所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e x 0＋x 0e x 0. 所以2t ＝e x 0－x 0e x 0＋e x 0＋x 0e x 0＝2e x 0－x 0e x 0＋x 0e －x 0(x 0>0)． 则(2t )′＝2e x 0－e x 0－x 0e x 0＋e －x 0－x 0e －x 0＝(1－x 0)(e x 0＋e －x 0)．因为e x 0＋e －x 0>0，所以当1－x 0>0，即0<x 0<1时，(2t )′>0，2t 在x 0∈(0,1)上单调递增；当1－x 0<0，即x 0>1时，(2t )′<0，2t 在x 0∈(1，＋∞)上单调递减．所以当x 0＝1时，2t 有最大值e ＋1e ，即t 的最大值为12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e .答案：12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e 三、解答题10．已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋c )e x 在点P (0，f (0))处的切线方程为2x ＋y －1＝0.(1)求b ，c 的值；(8分)(2)若方程f (x )＝m 恰有两个不等的实根，求m 的取值范围．(8分)解析：(1)f ′(x )＝[x 2＋(b ＋2)x ＋b ＋c ]·e x ，∵f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为2x ＋y －1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝－2f (0)＝1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝－2c ＝1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－3c ＝1.(2)由(1)知f (x )＝(x 2－3x ＋1)·e x ，f ′(x )＝(x 2－x －2)·e x＝(x －2)(x ＋1)·e x .由上可知f (x )极大值＝f (－1)＝5e ，f (x )极小值＝f (2)＝－e 2，但当x →＋∞时，f (x )→＋∞；又当x ＜0时，f (x )＞0.则当且仅当m ∈(－e 2,0]∪{5e}时，方程f (x )＝m 恰有两个不等的实根． 11．高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台．当笔记本电脑销售价为6 000元/台时，月销售量为a 台；市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x (0<x <1)，那么月销售量减少的百分率为x 2.记销售价提高的百分率为x 时，电脑企业的月利润是y 元．(1)写出月利润y 与x 的函数关系式；(8分)(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．(8分) 解析：(1)依题意，销售价提高后变为6 000(1＋x )元/台，月销售量为a (1－x 2)台，则y ＝a (1－x 2)[6 000(1＋x )－4 500]，即y ＝1 500a (－4x 3－x 2＋4x ＋1)(0<x <1)．(2)由(1)知y ′＝1 500a (－12x 2－2x ＋4)，令y ′＝0，得6x 2＋x －2＝0，解得x ＝12或x ＝－23(舍去)．当0<x <12时，y ′>0；当12<x <1时，y ′<0.故当x ＝12时，y 取得最大值．此时销售价为6 000×32＝ 9 000元．故笔记本电脑的销售价为9 000元时，该公司的月利润最大．12．(2011年高考安徽卷)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(9分)(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．(10分)解析：对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.① (1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0，知1＋ax 2－2ax ≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.所以a 的取值范围为{}a |0＜a ≤1.H_22872 5958 奘v:34843 881B 蠛24743 60A7 悧24296 5EE8 廨 22426 579A 垚28592 6FB0 澰 8。
高三理科数学每周一考(8)每周一练
周考（8）1.已知全集U=R ，已知 那么集合 ( ) A. B. C. D.2. “1x >”是“ ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，是7S 的值为（ ）A ．14B ．28C ．42D ．564．下列函数既是偶函数，在 上又是减函数的是 A.y=sin2x B.5. 已知角α的顶点与直角坐标的原点重合，始边为x 的正半轴，终边落在直线y=kx 上，此直线过（k –1,k 2+1） 则cos2α的值为（ ）A ．0B ．6.已知一个几何体的三视图和尺寸大小如下，则它的体为7．由曲线y=x 2+2和直线y=3x 所围成的平面图形的面积为( )A ． A.6B ．16C.13D ．128.设{a n }为公比q>1的等比数列，若 是方程4x 2—8x +3 =0的两根，则等于( ) A ．6 B ．18 C.54 D ．9.在ABC V 中，若 ，则b = 。
10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，则四棱锥 11A BB D D -的体积为 cm 3．11.若函数()11+=-x mx f (0,1m m >≠且)恒过定点A ，而点A 恰好在直线220ax by +-=上 ，则式子ba41+的最小值为12. 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k (A>0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的部分图象如图所示，则该函数表 达式为13.设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n(n ∈＋)均在函数y ＝2x －1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2n －1+a n ，T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n .14.已知A 、B 、C 是三角形ABC 的三个内角，向量m=1(2-，n=（cosA ，sinA ），且m ·n = （I ）求角A ；（II ）若sin2B +3cos2B=-1，求tanC ．15. 如图（一），在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AD= 2AB= 2BC ，E 为AD 中点，沿CE 折叠，使面DEC ⊥面ABCE ，在图（二）中． （1）证明：AC ⊥BD（2）求DE 与面ACD 所成角的余弦值．.D y ||.x C y e =cos 2y x =.12(1)C π+.12(10)D π+.12(30)A π+.12(20)B π+78a a +45a a 和{}{}2340,28x A x x x B x =-->=>()U C A B ⋂={34}x x <<{4}x x >{34}x x <≤{34}x x ≤≤11x<(,0)2π-12,7,cos 4a b c B =+==- D ABC 1C 1D1A1B3cm AB AD ==12cm AA =，(0,0)a b >>1.2。
陕西省西安市第一中学2023-2024学年高三下学期高考考前模拟考试理科数学试题
陕西省西安市第一中学2023-2024学年高三下学期高考考前模拟考试理科数学试题一、单选题1．已知集合{}17A x x =-<<，{}09B x x =<<，则A B ⋃=（ ） A ．()1,0- B ．()1,9-C ．()0,7D ．()0,92．若复数10i3i 13iz =+-，则z =（ ） ABC ．5D ．103．已知直线0Ax By C ++=与直线23y x =-垂直，则（ ） A ．20A B =-≠ B ．20A B =≠ C ．20B A =-≠D ．20B A =≠4．若0,a b ≥∈R，则化简2log 322+ ） A ．3a b ++ B ．3a b ++ C ．2a b ++D ．2a b ++5．在(92的展开式中，第8项的系数为（ ） A ．144-B ．144C ．1D ．18-6．若x ，y 满足约束条件0,30,20,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+得取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[)3,+∞C ．[]0,5D ．[)5,+∞7．已知函数()()cos 2210f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，则()f x 的图象的一个对称中心为（ ） A ．π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭8．小李到长途客运站准备乘坐客车去某地，有甲、乙两个公司的客车可以选择，已知甲公司的下一趟客车将在15分钟内的某个时刻发车，乙公司的下一趟客车将在20分钟内的某个时刻发车，则他等车时间不超过8分钟的概率为（ ）A ．35B ．1625C ．1825 D ．459．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AC 与平面11ADD A 所成的角为1,AC α与AB 所成的角为β，则（ ）A ．αβ=B ．παβ+=C ．π2αβ+=D ．π4αβ-=10．如图所示，在六面体ABEDC 中，22CB CD CA ===，AB DE BE AD ===BD AE == ）A ．4πB ．9πC ．12πD ．16π11．已知双曲线22:1169x y C -=的左､右顶点分别为12,,A A P 是C 右支上一点，直线12,PA PA 与直线2x =的交点分别为,M N ，记12,PA A PMN V V 的外接圆半径分别为12,R R ，则12R R 的最大值为（ ）ABCD12．下列不等式中正确的是（ ）A ．11πeπe >B．1eπ>C ．2e2ππe<⋅D ．2π2e ln π>二、填空题13．已知椭圆C ：()222104x y a a +=>的焦距为C 的离心率为.14．已知向量(),a m m =r，m ∈R ，()0,2b =r ，则a b +r r 的最小值为.15．如图，在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60,45,3B A c a ==-=o o ，B ∠的平分线BD 交边AC 于点,D AB 边上的高为,CF BC 边上的高为,AE BD CF P ⋂=，,AE CF R BD AE Q ⋂=⋂=，则PQR ∠=；PQ =.16．已知(),,0,1x y z ∈，且x y z xy xz yz k ++---<，则k 的最小值为.三、解答题17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知315S =，535S =. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．多年统计数据表明如果甲､乙两位选手在决赛中相遇，甲每局比赛获胜的概率为23，乙每局比赛获胜的概率为13.本次世界大赛，这两位选手又在决赛中相遇.赛制为五局三胜制（最先获得三局胜利者获得冠军）.(1)现在比赛正在进行，而且乙暂时以1:0领先，求甲最终获得冠军的概率；(2)若本次决赛最终甲以3:2的大比分获得冠军，求甲失分局序号之和X 的分布列和数学期望.19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2AD DC CB ===， 4AB =，PAD V 为正三角形.(1)证明：D 在平面PAC 上的射影H 为PAC △的外心（外接圆的圆心）； (2)当二面角P AD C --为120o 时，求直线AD 与平面APB 所成角ϕ的正弦值.20．已知1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为抛物线C ：()220y px p =>上的一点，直线x my n =+交C 于A ，B 两点，且直线PA ，PB 的斜率之积为2. (1)求C 的准线方程；(2)求34m n ⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值.21．已知函数()()()()22cos 4sin ,4sin 8cos f x ax x a x x g x a x x x x =--=--.(1)如果16a =，求曲线()()y f x g x =+在πx =处的切线方程；(2)如果对于任意的π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都有()0f x >且()0g x >，求实数a 满足的条件.22．已知平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,22x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. (1)求l 的极坐标方程以及C 的参数方程；(2)已知直线m 的倾斜角为锐角α，m 与l 交于点M ，m 与C 交于O ，N 两点，若3OM ON ⋅=，求α.23．已知函数()263f x x x =-++. (1)求不等式()10f x >的解集；(2)记()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 为正数且1a b c ++=，。
安徽省滁州市定远县第二中学2022届高三下学期高考模拟检测理科数学试题(含答案解析)
药物浓度，D 正确.
故选：D．
5．B
【分析】根据三视图画出直观图，利用三棱锥的体积公式计算.
【详解】根据三视图画出直观图如图所示：该几何体为三棱锥 P ABC ,
其中 P 到底面 ABC 的距离为 PD 3 ,底面三角形 ABC 的面积为 2 4 4 , 2
∴体积为V 1 4 4 16 ，
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10
10
10
2
10
参考数据： xi 220 ， yi 720 ， xi x 272 ， xi x yi y 429
i 1
i 1
i 1
i 1
n
参考公式： b i1
xi x
n
yi y
2
， $a y $bx
xi x
i 1
(1)已知这些品牌食品的所含热量的百分比 xi 与美食家以百分制给出的对此种食品口味
的评价分数 yi 具有相关关系.试求出回归方程（最后结果精确到 0.1）；
(2)某人只能接受食品所含热量的百分比为 20 及以下的食品.现在他想从这些食品中随
机选取两种购买，求他所选取的两种食品至少有一种是美食家以百分制给出的对此种食
品口味的评价分数为 75 分以上的概率.
20．已知抛物线
C
:
y2
2 px
点），且 AM MN .求证：直线 l 过定点.
21．已知函数
f
x
ex
x
a
a
1
R
．
(1)若函数 f x 的图象在点 P 0, f 0 处的切线 l 与直线 3x－y－6＝0 平行，求切线 l 的
方程；
(2)若函数
g
x
ln x x
2017-2018学年度高三第八次周练数学试卷(理普)
高三年级第八次周练数学试卷（理）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合}1|{},0lg |{2<=≤=x x B x x A ，则（ ）A ．)1,0(B ．]1,0(C ．)1,1(-D ．]0,1(-2.已知向量)3,0(),2,1(=-=b a ，如果向量b a 2+与b x a -垂直，则实数x 的值为（ ） A ．1B ．－1C ．2417D ．2417-3．已知等比数列}{n a 中，25932a a a =，且23=a ，则=5a （ ）A ．－4B ．4C ．－2D ．24．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤,1,1,2y x y x y 则y x z +=3的最小值为（ ）A ．－1B ．1C ．0D ．115．已知B A,3,|AB |=分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OB OA OP 3231+=，则动点P 的轨迹方程是（ ）A ．1422=+y x B ．1422=+y x C ．1922=+y x D ． 1922=+y x 6．已知l n m ,,为三条不同的直线，βα,为两个不同的平面，给出下面4个命题： ①由,,,//βαβα⊂⊂n m 得m 与n 平行或异面；②由;//,,,///ααl l n m n m 得⊥⊥ ③由;//,//,//ααn m n m 得④由.//,,,,n l m l n m 得⊥⊥⊥⊥βαβαA ．①B ．②④C ．①②D ．①②④7．17世纪日本数学家们对这个数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“V ＝k D 3”中的常数k 称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D 为直径，类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱）、正方体也有类似的体积公式V ＝k D 3，其中，在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长．假设运用此“会玉术”，求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么，k 1：k 2：k 3＝（ ） A ．1:6:4ππ B ．2:4:6ππC ．π12:3:1D ．π6:23:1 8．已知双曲线C 的两个焦点与抛物线y x 42=的焦点之间的距离都为2，且离心率为3，则双曲线C 的标准方程为（ ）A ．1222=-y xB ．1222=-y xC ．12122222=-=-y x y x 或D ．13422=-x y9．如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，俯视图是平行四边形，则该几何体的体积是（ ） A ．3158 B ．158C ．3154 D ．15410. 设双曲线13422=-y x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|+|AF 2|的最小值为( ) A.219B.11C.12D.1611．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为A ，右焦点为F ，若以A 为圆心，过点F 的圆与直线043=-y x 相切，则双曲线的离心率为（ ） A ．47B ．57 C ．58 D ．212．定义在R 上的奇函数f (x )，当0≥x 时，⎩⎨⎧+∞∈--∈+=),,3[,2|5|2),3,0[,1(log )(2x x x x x f ）则关于x 的函数)20()()(<<+=a a x f x g 的所有零点之和为（ ） A ．10B ．21－2aC ．0D ．1－2a二、填空题13．已知圆)0(1)()(:22<=-+-a b y a x C 的圆心在直线)1(3+=x y 上，且圆C 上的点到直线x y 3-=距离的最大值为31+，则2a =+2b ．14．直线x y 4=与曲线2x y =围成的封闭区域面积为 ． 15．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是,,,c b a ，若c ＝,sin 3sin ,2A B a =则B＝ .16．已知数列{a n }是首项为32的正项等比数列，n S 是其前n 项和，且413557=--s s s s ，),12(4-⋅≤k k s 若则正整数k 的最小值为 ．三、解答题17． （本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的分别为a ，b ，c ，且2a cosA=c cosB+b cos C. (1)求角A ；(2)若△ABC 为锐角三角形，求sin B+ sin C 的取值范围.18．已知各项都为正数的数列}{n a 满足n n n n a a a a a -+==+)1(2,1121．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设141log 2121-==+nn n n b c a b ，，求数列}{n c 的前n 项和n T ．19．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1CC 平面=AC ABC ,,6,5==AB BC ，M 是1CC 中点，1CC ＝8．（1）求证：平面⊥M AB 1平面11ABB A ；（2）求平面M AB 1与平面ABC 所成二面角的正弦值．20．(本小题满分12分) 已知椭圆C ：x 2+2y 2=4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为坐标原点，若点A 在直线y=2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：)0(12222＞＞b a by a x =+的一个顶点为A(2，0)，离心率为22，直线y ＝k(x 一1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N ．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为310时，求k 的值．22．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)1,2(，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点)0,1(-的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，试问在x 轴上是否存在一个定点M ，使得MB MA ⋅恒为定值？若存在，求出该定点值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2018届高三年级第八次周练数学答题卡（理）学号姓名得分一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题13. 14.15. 16.三、计算题17.（10分）18.（12分）19.（12分）20.（12分）22.（12分）21.（12分）。
南海中学分校2014届高三第一学期理科数学每周一测(5)答案
南海中学分校2014届高三第二学期理科数学每周一测(8)参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分题号 1 2 3 4 5678答案ADAACCBA二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分 9.34π 10.4 11.32- 12.43π 13. 233ππ，- 14.cos 2ρθ= 15.94 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤16.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，且2,60c C ==︒(Ⅰ) 求sin sin a bA B++的值；(Ⅱ)若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆．解：（1）由正弦定理可得：2243sin sin sin sin 60332a b c A B C =====︒，所以4343sin ,sin 33a A b B ==，所以43(sin sin )433sin sin sin sin 3A B a b A B A B ++==++ …………………6分 （2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2224()3a b ab a b ab =+-=+-，又a b ab +=，所以2()340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去），所以113sin 43222ABC S ab C ∆==⨯⨯= …………………12分 17. (本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共10只，其中有8只合格品，2只次品。
(Ⅰ) 某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率； (Ⅱ)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数X 的分布列和数学期望．解：设一次取次品记为事件A ，由古典概型概率公式得：51102==）（A P ……2 分 有放回连续取3次，其中2次取得次品记为事件B ，：1251254.51C 223==）（）（B P …4分 （2）依据知X 的可能取值为1.2.3………5分且541081===）（x P ………6分 458822210=⨯==A x P ）（ (745132102)2===A A x P ）（………8分 则X 的分布列如下表： X 123p54458 451 ……10分911455545345164536==++=EX ………12分 18.(本小题满分14分)如图5，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．（Ⅰ）求证：1BC A D ⊥；（Ⅱ）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ；（Ⅲ）求二面角C BD A --1的余弦值． 证明：（Ⅰ）∵ 1A 在平面BCD 上的射影O 在CD 上，∴ 1A O ⊥平面BCD ， ………………………1分 又BC ⊂平面BCD ,∴ 1BC A O⊥………………………2分又1,BC CO AO CO O ⊥=I ，∴ BC ⊥平面1ACD ，………………………3分 又11A D ACD ⊂平面，∴ 1BC A D ⊥. …………………………4分 （Ⅱ）∵ ABCD 为矩形 ，∴ 11A D A B⊥,…………………………5分由（Ⅰ）知11,A D BC A B BC B ⊥=I ,∴1A D ⊥平面1A BC ，………………6分又1A D ⊂平面1A BD ……………………7分 ∴ 平面1A BC ⊥平面1A BD …………………8分 （Ⅲ）∵1A D ⊥平面1A BC ，∴11A D AC ⊥，在1Rt A BD ∆中，由16A D =，10CD =,得18A C =,1245AO =. ……………………9分 过点O 作OE BD ⊥，垂足为E ，连结1A E . 由1A O ⊥平面B C D ，1A O ⊥BD ∴BD ⊥平面1A E O ,BD ⊥1A E , ……………………11分∴1A EO ∠为二面角C BD A --1的平面角. ……………………12分 又:Rt DEO Rt DBC ∆∆,⋅BC OD 54EO ==BD 534,13034A E =, ……13分 ∴119cos 25EO A EO A E ∠==. ……………………14分 另解：以点D 为坐标原点,以DA 方向为x 轴,以DC 方向为y 轴，以平行1OA 方向为z 轴，建立空间直角坐标系， …………9分知()0,0,0D ，()6,10,0B ,118240,,55A ⎛⎫⎪⎝⎭,得()DB=6,10,0 ,118240,,55⎛⎫= ⎪⎝⎭DA …………10分设平面1A BD 的法向量为()1,,= n x y z ，由61001824055x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()120,12,9=- n …………11分 而平面BDC 的法向量为()20,0,1=n ……………………12分∴()12222200120919cos ,2520129n n ⨯-⨯+⨯==+-+， …………13分由图可知，二面角C BD A --1的余弦值为925.……………………14分19.（本小题满分14分）在数列{}n a 中， 3,121==a a ,n n n ka a a -=++123()0k ≠对任意*∈N n 成立，令n n n a a b -=+1， 且{}n b 是等比数列.（Ⅰ）求实数k 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）求证：11113421123n +++...+a a a a < ． 解：（1）∵11=a ,32=a ,k a -=93,ka 6274-=, …………1分∴21=b ,k b -=62,k b 5183-=. ………………2分∵{}n b 成等比数列，∴22b =31b b ⋅,即()()262185-=⨯-k k . ………………3分解得 k=2或k=0（舍） ………………4分当k=2时，2+n a =n n a a 231-+即 ()n n n n a a a a -=-+++1122， ……………5分∴21=+nn b b ∴ k=2时满足条件. ………………6分 （2）∵21=b ,{}n b 成等比数列,∴nn b 2= ………………7分 ∴21a -a =2，232a -a =2，... n-1n n-1a -a =2 ……………８分 ∴2n-1n 1a -a =2+2+...+2，2n 1n a 1222-=++++L …………………９分∴nn a 21=- ……………………10分 （3）法一：（构造等比数列） 当123n =，，时，1231111342121212121n ++++<---- 显然成立． ……11分 当4n ≥时，3333218217221720nn n n n -----=⋅-=⋅+->⋅>故31112172nn -<⋅-．从而 ……12分 123233311111111111()2121212137722211(1)1111111111342211(1)1137737723772112n n n n ---++++<++++++-----=+++⋅=+++⋅-<+++=- ……14分 20．（本小题满分14分）已知点()()1,0,1,0,A B -直线,AM BM 相交于点M ，且2MA MB k k ⨯=-. （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过定点（0,1）作直线PQ 与曲线C 交于P,Q 两点，且322PQ =，求直线PQ 的方程.（1）解：设(,)M x y , 1分则(),,111MA Mb y y k k x x x ==≠±+- 3分∴211y y x x ⨯=-+- 4分∴2212y x +=()1x ≠± 6分（条件1分） （2）（2）当直线PQ 的斜率不存在时，即PQ 是椭圆的长轴，其长为22，显然不合，即直线PQ 的斜率存在， 设直线PQ 的方程是1y kx =+,()()1122,,,,P x y Q x y 则1212()y y k x x -=-， 8分联立22121y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222210k x kx ++-= 9分 ∵()()()222442810kkk ∆=++=+>，∴k R ∈, 10分12122221,22k x x x x k k +=-=-++222212121212(x x )(y y )(1k )[(x x )4x x ]PQ =-+-=++-221222k k +=+， 12分∴322PQ =221222k k +=+，22,2k k ==±， 13分所以直线PQ 的方程是y=2±x+1。
高三数学周测试卷(理科)
高三数学周测试题（理数）第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z −的虚部是( ) A. i B. −i C. 1 D. −1 2. 集合A ={x|x 2>2x}，B ={−2,−1,0,1,2}，则(∁R A)∩B =( ) A. {−1,0,1}B. {−1,1}C. {0,1,2}D. {1,2}3. 设x ∈R ，则“sinx =1”是“cosx =0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 在△ABC 中，已知AB =5，BC =3，CA =4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 16 B. 9 C. −9 D. −16 5. 已知数列{a n }满足a n+1=2a n (n ∈N ∗)，S n 为其前n 项和．若a 2=2，则S 5=( )A. 20B. 30C. 31D. 626. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0))的焦距为2√5，且实轴长为2，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. y =±12xB. y =±2xC. y =±√5xD. y =±√52x7. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为( )A. 16B. 14C. 13D. 128. 先将函数f(x)=sin(x −π3)图象上各点的横坐标缩短为原来的12，再把所得函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法错误的是( )A. 函数g(x)是奇函数B. 函数g(x)的最小正周期是πC. 函数g(x)图像关于直线x =π4+kπ(k ∈Z)对称 D. 函数g(x)在(−π6,π3)上单调递增9. 已知随机变量X ～N(2,1)，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为( )附：若随机变量ξ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9973A. 0.1359B. 0.7282C. 0.8641D. 0.9320510. 己知F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点M 在椭圆E上，MF 1与x 轴垂直，sin∠MF 2F 1=12，则椭圆E 的离心率为( ) A. √33B. √53C. 2√33D. √3211. 已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA ⊥平面ABC ，SA =4，∠BAC =2π3，AB =2√3，M 是边BC 上一动点，则直线SM 与平面ABC 所成的最大角的正切值为( )A. 3B. 4√33C. √3D. 3212. 已知函数f(x)=xlnx ，若关于x 的方程[f(x)]2+af(x)+a −1=0有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( )A. (−2e,1−e)B. (1−e,0)C. (−∞,1−e)D. (1−e,2e)第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A 表示选出的三种药方中至少有一药，事件B 表示选出的三种药方中至少有一方，则P(A|B)=______．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足bcosAcosB +a =2c ，则角B =______． 15. 已知(1+x)n 的展开式中，唯有x 3的系数最大，则(1+x)n 的系数和为______．16. 在等腰梯形ABCD 中，已知AB//CD ，AB =4，BC =2，∠ABC =60∘，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =19λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当λ=______时，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值为______. 三、解答题（本大题共4小题，共50.0分。
江苏省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析
江苏省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}22,0,1,2,3A x x x B =-≥=，则()RBA =（ ）A ．{0}B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．设复数z 的共轭复数为z ，若()()1i i z z -=∈C ，则z 对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．在ABC ∆中点N 满足2AN NC =，记BN a =，NC b =那么BA =（ ） A ．2a b -B ．2a b +C ．a b -D ．a b +4．将正弦曲线向右平移π4个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到下列哪个函数的图象（ ） A ．π2sin()4x + B ．π2sin()4y x =- C ．1πsin()24y x =+D ．1πsin()24y x =-5．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ）A ．3B ．14C ．28D ．426．如图，一个底面半径为2a 的圆锥，其内部有一个底面半径为a 的内接圆柱，3a ，则该圆锥的体积为（ ）.A 3a B 3a C ．3a D ．3a7．已知函数f (x )满足f (2x )＝log 2x ，则f (16)＝（ ） A ．﹣1 B ．1C ．2D ．48．记i A d 为点i A 到平面α的距离，给定四面体1234A A A A -，则满足()122,3,4i A A d d i ==的平面α的个数为（ ） A ．1B ．2C ．5D ．8二、多选题9．已知正四棱锥的侧面积为 ）A B ．侧棱与底面所成的角为60︒ C ．棱锥的每一个侧面都是等边三角形D ．棱锥的内切球的表面积为(8π- 10．已知,,0x y x y ∈<<R 且，则（ ） A ．sin sin x y <B <C ．21x y -<D ．11x y x y <++ 11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，左，右焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PF F △的周长为6，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆C 的焦距为1B ．椭圆C 的短轴长为C ．12PF F △D ．椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=12．以下命题正确的是（ ）A ．设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若()()()()1212f x f x g x g x +≥+恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数B ．若对任意1x ，2x ∈R 都有()()()()1212f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上单调递增，则()()f xg x +在R 上也单调递增C ．已知0a >，1a ≠函数(),1,,1,x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭三、填空题13．若(6x 的展开式中4x 的系数为30，则=a ______.14．点P 为抛物线y 2＝x 上的动点，过点P 作圆M ：(x －3) 2＋y 2＝1的一条切线，切点为A ，则PA ·PM 的最小值为________．15．若直线y x m =+与曲线2y ax =和ln y x =均相切，则=a __________.16．设点O 是面积为4的ABC 内部一点，且有340OA OB OC ++=，则BOC 的面积为__________.四、解答题17．在凸四边形ABCD 中(1)若=45ABC ∠︒，求CD ；(2)若BCD ∠的角平分线交对角线BD 于点E ，求BC CE CD ++的最大值． 18．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中(1)求证：平面1A BC ⊥平面11ABB A ； (2)若AC 与平面1A BC 所成的角为π6，点E 为线段1A C 的中点，求平面AEB 与平面CEB 夹角的大小． 19．古人云:“腹有诗书气自华.”现在校园读书活动热潮正在兴起，某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取200名学生，获得了他们一周课外读书时间（单位:h ）的数据如表所示:(1)求,a b 的值;如果按读书时间0,6],6,12],1(((2,18]分组，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取20人，再从这20人中随机选取3人，求恰有2人一周课外读书时间在(12,18]内的概率.(2)若将样本频率视为概率，从该校学生中随机选取3人，记X 为一周课外读书时间在(12,18]内的人数，求X 的分布列和数学期望，并估计该校一周人均课外读书的时间. 20．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n b a a +=-，其中*N n ∈.(1)若12a =和2nn b =.①求证：{}n a 为等比数列； ②试求数列{}n n a ⋅的前n 项和.(2)若2n n b a +=，数列{}n a 的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？ 21．已知点A 是抛物线x 2＝2py （p ＞0）上的动点，过点M （－1，2）的直线AM 与抛物线交于另一点B ． (1)当A 的坐标为（－2，1）时，求点B 的坐标；(2)已知点P （0，2），若M 为线段AB 的中点，求PAB 面积的最大值．22．记()f x '，()g x '分别为函数()f x ，()g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足()()00f x g x =，且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．已知()ln f x x ax =+和()2g x bx =．(1)若1b =，()f x 和()g x 存在“S 点”，求a 的值；(2)对任意0a >，是否存在实数0b >，使得()ln f x x ax =+，()2g x bx =存在“S 点”？请说明理由．参考答案与解析1．B【分析】求出A 及其补集，通过交集运算求得结果.【详解】集合{}{221A x x x x x =-≥=≤-或2}x ≥R {|12}A x x ∴=-<<又{}0,1,2,3B = 所以()RBA ={}0,1故选：B ． 2．C【分析】利用复数除法运算求得z ，从而求得z ，进而确定正确答案. 【详解】依题意()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+ 所以11i 22z =--，对应点为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限.故选：C 3．A【分析】根据向量的线性运算将BA 分解为BA BN NA =+，再转化为a ，b 表示即可. 【详解】22BA BN NA BN NC a b =+=-=-. 故选：A. 4．B【解析】左右平移变换是横坐标x 改变，原则简记为 “左加右减”；伸缩变换是相应变量乘以对应倍数即可.【详解】sin y x =向右平移π4个单位长度得sin(4)πy x =-，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得π2sin()4y x =-. 故选：B.【点睛】本题考查图象的平移和伸缩变化，要牢记每一种变换对解析式系数的影响，方可解决此类题. 5．D【分析】根据等差数列的性质得7982a a a +=，则可由已知等式求8a 的值，从而利用求和公式和等差数列性质求158S a -得值.【详解】解：正项等差数列{}n a ，则0n a >若28793a a a --=，则28798323a a a a =++=+，解得83a =或81a =-（舍）则()115815888815215144222a a a S a aa a +⨯⨯-=-=-==. 故选：D. 6．B【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积. 【详解】作出该几何体的轴截面如图示：AB 为圆锥的高设内接圆柱的高为h ，而2,BC a BD r a ===3a ，即23πa h a =则h =由于AB ED ∥,故CAB CED △∽△，则h DCAB BC=即22a aa-=，故AB =所以圆锥体积为231π(2)3V a a =⨯⨯=故选：B 7．C【分析】根据16＝24，代入求解即可．【详解】∵函数f (x )满足f (2x )＝log 2x ，且f (16)＝f (24) ∴f (16)＝f (24)＝log 24＝2 故选：C ． 8．D【分析】分类讨论，当平面α与平面234A A A 平行时，分析可得2个，当平面α经过234A A A △的中位线时分析可得6个，从而得解．【详解】到点23,A A 和4A 的距离相等的平面α有两种类型，与平面234A A A 平行或者经过234A A A △的某一条中位线．当平面α与平面234A A A 平行时，如下图1设121314,,A A A A A A 的三等分点分别为234,B B B ,（靠近1A ） 对于平面234B B B ，利用三角形相似可知1212222A A d A B d A B ==，平面234B B B 符合题意． 在线段1i A A 的延长线上取i C 使得()12,3,4i i i A A AC i == 对于平面234C C C ，利用三角形相似可知1212222A A d AC d A C ==，平面234C C C 符合题意 即平面α与平面234A A A 平行时，满足条件的平面有2个； 设232434,,A A A A A A 的中点分别为,,E F G 当平面α经过234A A A △的中位线EF 时 如下图2：对于平面2B EF ，2B 在线段12A A 上且12222A B A B =利用三角形相似可知1212222AAd A Bd A B==又34//EF A A，EF⊂平面2B EF，34A A⊄平面2B EF，可得34A A//平面2B EF且E、F分别为2324,A A A A的中点则到平面2B EF的距离相等因此平面2B EF符合题意．如下图3：对于平面34B B FE，3B在线段13A A上，4B在线段41A A上且131433442A B A BA B A B==，利用三角形相似可知1313332AAd A Bd A B==又34//EF A A，EF⊂平面34B B FE，34A A⊄平面34B B FE，可得34A A∥平面34B B FE且E、F分别为2324,A A A A的中点则到平面34B B FE的距离相等因此平面34B B FE符合题意．对于中位线EG GF、，也有类似结论,即平面α经过234A A A△的某条中位线时，满足条件的平面有6个综上所述，符合题意的平面共有8个． 故选：D ．【点睛】难点点睛：本题判断满足条件的平面的个数时，难点在于要发挥空间想象能力，明确满足条件的平面的位置，作图分析，说明平面所处的位置是怎样的，加以说明，解决问题. 9．ACD【分析】设底面边长为2a ，侧棱长为b ，求出棱锥体积，通过构造函数，求导可知当1a =，及2b =时棱锥体积最大，然后再逐项判断即可.【详解】设底面边长为2a ，侧棱长为b ，则14242a S =⨯⨯=侧面即=而21(2)3V a =⨯=故243a V ==设26()3(0f a a a a =-<<，则()()()542666161(1)()'1a a a a a f a a a a =-=-=++-易知函数()f a 在()0,1单调递增，在单调递减∴当1a =时，()f a 取得最大值，此时棱锥的体积最大，且2b = ∴底面边长为2，侧棱长为A 正确；侧棱与底面所成的角为PBO ∠，而sin OP PBO PB ∠=45PBO ∠=︒，选项B 错误； 由于底面边长与侧棱长均为2，故侧面为等边三角形，选项C 正确；设内切球的半径为r ，由于P ABCD V -=1442242S ⎛=+⨯⨯⨯=+ ⎝⎭表∴3V r S ===表∴4(8S ππ==-内，选项D 正确.故选：ACD .10．BCD【分析】取特殊值可说明A 错；根据指数函数以及幂函数的单调性，可判断B,C 的对错；利用作差法可判断D 的对错.【详解】对于A ，取2,33x y ππ==满足,,0x y x y ∈<<R 且，但sin sin x y =，故A 错；对于B ，12y x =是定义域上的增函数，故,,0x y x y ∈<<R 且B 正确； 对于C, 0x y -<,故0221x y -<=，故C 正确； 对于D ，011(1)(1)x y x y x y x y --=<++++故11x y x y <++，故D 正确 故选：BCD. 11．BC 【分析】根据12e =，226a c +=解得,,a b c 可判断AB ；设()00,P x y ，由1212012PF F S F F y =知当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆C 上存在点P ，设12,PF m PF n ==，求出m n +、mn ，,m n 可看作方程2460x x -+=，求出判别式∆可判断D. 【详解】由已知得12c e a ==，226a c +=解得2,1a c == 2223b a c =-= 对于A ，椭圆C 的焦距为22c =，故A 错误；对于B ，椭圆C 的短轴长为2b =B 正确； 对于C ，设()00,P x y ，12120012==PF F SF F y c y 当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时0==y b 12PF F △C 正确；对于D ，假设椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，设12,PF m PF n == 所以24m n a +==，22216244m n mn c +=-==和6mn =所以,m n 是方程2460x x -+=，其判别式16240∆=-<，所以方程无解，故假设不成立，故D 错误. 故选：BC. 12．ABD【分析】A 选项，利用赋值法及()f x 的奇偶性推导出()g x 的奇偶性；B 选项，利用定义法和()f x 在R 上单调递增证明出结论；C 选项，对a 分类讨论，由单调性求出最值，列出方程，求出a 的值；D 选项，由函数的对称性求解.【详解】令21x x =-，则()()()()1111f x f x g x g x +-≥+-，因为()f x 为奇函数，所以()()()()1111f x f x g x g x -≥+-恒成立，即()()110g x g x ≥+-，所以()()110g x g x +-=，即()()11g x g x -=-，所以则()g x 也是奇函数，A 正确；设12x x <，因为()f x 在R 上单调递增，所以()()12f x f x <，因为()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，所以()()()()()()121221f x f x g x g x f x f x -<-<-，从而()()()()11220f x g x f x g x +-+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 令()()()h x f x g x =+，则()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x -=+--<，所以()()12h x h x <，故()()()h x f x g x =+在R 上也单调递增，B 正确；当1a >时，(),1,,1,x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩在[]0,2上的最大值为()1f a =，最小值为()01f =或()22f a =-，当512a -=时，解得：72a =此时()3212f =>，满足题意；当()522a a --=时，522=无解，舍去； 当01a <<时，在[]0,1x ∈上，()xf x a =是减函数，(]1,2x ∈上，()f x x a =-+是减函数，因为()011f a =>-+，所以函数最大值为()01f =，而()()2211f a a f =-+<-+=，所以函数的最小值为()22f a =-+，因此()5122a --+=，解得：()10,12a =∈符合题意； 综上：实数a 的取值集合为1,272⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C 错误；由()()2f x f x -+=可得：()f x 关于()0,1中心对称，()1x g x x+=也关于()0,1中心对称，从而()f x 与()g x 的图象的交点关于()0,1中心对称，从而1280x x x ++⋅⋅+=⋅与128248y y y ++⋅⋅⋅+=⨯=，D 正确. 故选：ABD【点睛】抽象函数的对称性有以下结论：若()()f a x f b x c -++=，则()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称； 若()()f a x f b x -=+，则()f x 关于2a bx +=对称.13．2【分析】利用二项展开式的通项公式，列式求a .【详解】二项展开式的通项公式616rr rr T C x-+=⋅⋅当2r =时，4x 的系数是2630C a ⋅=解得：2a = 故答案为：214．74【分析】求出22||||1PA PM PA PM ⋅==-，设点2(,)P y y ，化简表达式，利用二次函数的性质，求解最小值即可．【详解】解：由已知易得22||||1PA PM PA PM ⋅==-设点2(,)P y y ，则()22224222577||13158()244PM y y y y y -=-+-=-+=-+当252y =时，2||1PA PM PM ⋅=-取得最小值74． 故答案为：7415．14##0.25【分析】先根据直线和ln y x =相切求出m ，再利用直线和2y ax =相切求出a . 【详解】设直线y x m =+与ln y x =相切于点()00,ln x x 1y x'= 因为直线y x m =+与ln y x =相切，所以011x =，且00ln x x m =+； 解得01,1x m ==-；因为直线1y x =-与曲线2y ax =相切联立得210ax x -+=，0a ≠且140a ∆=-=，即14a =. 故答案为：1416．12##0.5【分析】根据340OA OB OC ++=确定点O 的位置，然后将面积比转化为边长比即可.【详解】340OA OB OC ++= 371747OA OB OC ∴=-+；设17OA OD -=；则：3477OD OB OC =+,即B,C,D 三点共线；所以||18||BOC ABCS OD AD S==； 11482BOCS∴=⨯=；故答案为：12 17．； ．【分析】（1）运用差角公式求得sin DBC ∠，再运用正弦定理求得CD 即可.（2）运用余弦定理及基本不等式求得BC CD +的范围，由等面积法求得CE ，将问题转化为求关于BC CD +的二次型函数在区间上的最值. 【详解】（1）连接BD ，如图所以35,sin5BD ABD=∠=4cos5ABD∠=所以43sin sin(45)()55DBC ABD∠=︒-∠-BCD△中sin sinCD BDDBC DCB=∠∠；∴sinsinBDCD DBCDCB=⋅∠==∠（2）BCD△中2222cos120BD BC CD BC CD=+-⋅⋅︒∴2222()325()()()44BC CDBC CD BC CD BC CD BC CD+=+-⋅≥+-=+，当且仅当BC CD=时取等号∴2100()3BC CD+≤，即：0BC CD<+∵BCD BCE CDES S S=+△△△∴111sin120sin60sin60222BC CD BC CE CD CE⋅⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒∴BC CD BC CE CD CE⋅=⋅+⋅∴2()25BC CD BC CDCEBC CD BC CD⋅+-==++∴2()25BC CDCE CD BC BC CDBC CD+-++=+++令t BC CD=+∴225252tCE CD BC t tt t-++=+=-0t<∵252y tt=-在（上单调递增∴当t y取得最大值为2.∴BC CE CD++.18．(1)证明见解析；(2)π3.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面11ABB A ，再由面面垂直的判定定理得证； （2）利用线面角求出边长，再建立空间直角坐标系，利用向量法求夹角. 【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C 中1A A BC ⊥ 又AB BC ⊥，1A AAB A =和1,A A AB ⊂平面11ABB A所以BC ⊥平面11ABB A ，又BC ⊂平面1A BC 所以平面1A BC ⊥平面11ABB A . （2）设11A BAB M =，连接CM ，如图则1A B 中点为M ，且1AM A B ⊥∵平面1A BC ⊥平面11ABB A 且交线为1A B ，AM ⊂平面11ABB A ∴AM ⊥平面1A BC所以直线AC 与平面1A BC 所成的角为π6ACM ∠=又12AA AB ==，则2AM AC BC = 以B 为原点，1,,BA BC BB 分别为x ，y ，z 轴正方向建立坐标系 则(2,0,0),(0,2,0),(1,1,1)A C E 设平面AEB 的法向量为(,,)n x y z =20n BA x n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1y =，则0,1x z ==-，故(0,1,1)n =- 设平面CEB 的法向量为()111,,m x y z =111120m BC y m BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令11x =，则10y =，11z =-故(1,0,1)m =- 设平面AEB 与平面CEB 的夹角为θ ∴1cos 2||||n m n m θ⋅==⋅，又π02θ<≤ π3θ∴=.19．(1)1224，a b ==；读书时间在(12,18]内的概率为91190； (2)分布列见解析，()E X =3920；该校一周人均课外读书的时间为12.32h.【分析】（1）由频数÷总数=频率可得,a b 的值；由分层抽样可知20人中在]((0,6],6,12中的有7人，在(12,18]中的有13人，据此可得答案；（2）由题可得X 的可能取值为0，1，2，3，且13~3,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，由此可得分布列及期望；结合表格数据可估计该校一周人均课外读书的时间.【详解】（1）由频数÷总数=频率可得2000.0612,2000.1224a b =⨯==⨯=. 由题意知，从样本中抽取20人，抽取比例为110，所以从(](](]0,6,6,12,12,18三组中抽取的人数分别为2，5，13，从这20人中随机抽取3人，恰有2人一周课外读书时间在(]12,18内的概率12713320C C 91C 190P ==.（2）由题意得，总人数为200，一周课外读书时间在(]12,18内的人数为130，因此从该校任取1人，一周课外读书时间落在区间(]12,18内的概率是1320. X 的可能取值为0，1，2，3，且13~3,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以33137()C (0,1,2,3)2020kkk P X k k -⎛⎫⎛⋅⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以X 的分布列为数学期望1339()32020E X =⨯=. 该校一周人均课外读书时间的估计值为10.0230.0350.0570.0690.07110.1213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.25150.23170.1712.32(h)+⨯+⨯=.20．(1)①证明见解析；②1(1)22+=-⋅+n n S n(2)20241849=T【分析】（1）①，利用累加法求解n a 即可；②由①得2n n a =,令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S ,利用错位相减法求解数列的和即可；（2）推出数列{}n a 是一个周期为6的周期数列,然后求解数列{}n a 的任意连续6项之和为0，然后利用其周期和相关值求出12,a a ，则得到答案.【详解】（1）①证明：12nn n a a +-=，当2n ≥时累加得()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+1212222n n --=++++()12122212n n --=+=-11222n n n n a a ++∴== ()2n ≥ 又211212,2,4,2a a b a a ===∴=所以{}n a 为首项为2，公比为2的等比数列.②由①得2n n a =，令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S则2311231122232(1)22n nn n n S c c c c c n n --=+++⋯++=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，A23412122232(1)22n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，BA B -得23122222n n n S n +-=+++⋯+-⋅()211121222(1)2212n n n n n -++-=+-⋅=-⋅--1(1)22n n S n +∴=-⋅+（2）若21n n n n b a a a ++==-，则32163n n n n n n n a a a a a a a +++++=-=-⇒=-= 所以数列{}n a 是周期为6的周期数列，设1a m = 2a t =1234560a a a a a a ∴+++++=设数列{}n a 的前n 项和为n T ，则60n T =. 所以629110486332221926963T T T a a ⨯+====⇒= 7712655377T T T a ⨯+====，所以123886a a a =-=所以2024337622128869631849T T T a a ⨯+===+=+=. 21．(1)()6,9 (2)2【分析】（1）将A 的坐标代入抛物线方程可得抛物线的方程为：24x y = 再根据直线AM 的方程，联立抛物线方程可得B 的坐标；（2）设直线AB 的方程：()21y k x -=+ 联立抛物线的方程，结合韦达定理与M 为线段AB 的中点可得1pk =-再代入PAB 的面积可得S =进而根据二次函数的最值求解即可 (1)当A 的坐标为()2,1-时，则2221p =⋅，所以24p = 所以抛物线的方程为：24x y = 由题意可得直线AM 的方程为：()211212y x --=+-+，即3y x代入抛物线的方程可得24120x x --=解得2x =-（舍）或6 所以，B 的坐标为()6,9 (2)法一：设直线AB 的方程：()21y k x -=+ 即2y kx k =++设直线AB 与y 轴的交点为Q ，()11,A x y 和()22,B x y由222y kx k x py=++⎧⎨=⎩ 可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk +=和1224x x pk p =-- 因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==- 令0x =，2y k =+即()0,2Q k +，所以PQ k = 则PAB 的面积12111222S PQ x x k k =⋅-=⋅=⋅12k =⋅把1pk =-代入上式，S当2k =时，则max 2S =，所以PAB 的面积的最大值为2．（2）法二：222y kx k x py =++⎧⎨=⎩可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk +=，1224x x pk p =-- 因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==- 设点P 到直线AB 的距离为d，则d =AB ==1122S AB d k =⋅=⋅把1pk =-代入上式 S所以，当2k =时，ABC 的面积的最大值为2 22．(1)1(2)存在，理由见解析【分析】（1）设“S 点”为0x ，然后可得200000ln 12x ax x a x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，然后解出即可；（2）假设对任意0a >，存在实数0b >，使得()y f x =与()y g x =有“S 点”， 设为1x ，然后可得2111ln x ax bx +=，1112a bx x +=，消去b 得1112ln 0x ax -=>，然后可得10x <消去a 得1211ln x b x -=，然后证明对任意0a >，方程1112ln x ax -=在(有解即可. 【详解】所以200000ln 12x ax x a x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去a 得200ln 1x x +=记()2ln h x x x =+，显然()h x 在()0,+∞上是增函数，而()11h =因此200ln 1x x +=只有一个解01x =，所以211a =-=．（2）假设对任意0a >，存在实数0b >，使得()y f x =与()y g x =有“S 点” 设为1x ()2g x bx '= 所以2111ln x ax bx +=①，1112a bx x +=②，由②得21112ax bx +=③ ①③消去b 得1112ln 0x ax -=>，11ln 2x <和10x < ①③消去a 得1211ln x b x -=，在10x <<1211ln 0x b x -=> 下面证明对任意0a >，方程1112ln x ax -=在(有解设()(0l 1n 2x H x ax x =--<<，函数()H x在定义域(上是减函数0x →时 ()H x →+∞0H=-<，图像连续不断，所以存在10x <使得()10H x =．综上，任意0a >，存在实数1211ln 0x b x -=>，使得()y f x =与()y g x =有“S 点”。
陕西省西安市西北工业大学附属中学2023届高三下学期第八次适应性训练理科数学试题
陕西省西安市西北工业大学附属中学2023届高三下学期第八次适应性训练理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．己知集合(){}ln 20A x x =+，集合()(){}N130B x x x =∈+-≤∣，则A B =I （ ） A ．{}0,1,2,3 B ．{}1,2,3 C ．{}0,1,2,3,4 D ．{}1,0,1,2,3-2．“22m -<<”是“210x mx -+>在(1,)x ∈+∞上恒成立”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A ．若,,,m m n n αβαβ∥∥∥∥，则αβ∥ B ．若,,m n m n αβ⊥⊥∥，则αβ⊥ C ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥ D ．若,,m n m n αβ⊥⊥∥，则αβ∥4．中国象牙雕刻中传统雕刻技艺的代表“象牙鬼工球”工艺被誉为是鬼斧神工．“鬼工球”又称“牙雕套球”，是通过高超的镂空技艺用整块象牙雕出层层象牙球，且每层象牙球可以自由转动，上面再雕有纹饰，是精美绝伦的中国国粹．据《格古要论》载，早在宋代就已出现三层套球，清代的时候就已经发展到十三层了．今一雕刻大师在棱长为6的整块正方体玉石内部套雕出一可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体，若不计各层厚度和损失，最内层的正四面体棱最长为（ ）．A ．B ．6C ．D ．5．已知平面向量a r 、b r 、c r 满足0a b ⋅=r r ，1a b ==r r ，()()12c a c b -⋅-=r r r r ，则c a -r r 的最大值为（ ）A B ．1C ．32D ．26．已知在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且24,sin 0b a C B ==-=，则能将ABC V 全部覆盖的所有圆中，最小的圆的面积为（ ）AB ．4πC ．D ．7．下列说法正确的是（ ）A ．已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8；B ．已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，10x 的方差为2，则12x +，22x +，32x +，…，102x +的方差为4；C ．具有线性相关关系的变量x ，y ，其线性回归方程为0.2y x m =-，若样本点的中心为(),3.2m ，则4m =；D ．若随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()30.64P X ≤=，则()120.14P X ≤≤=8．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式i e cos isin x x x =+（x ∈R ，i 为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结果中不成立的是（ ）A ．i πe 10+=B ．2022112⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭C ．i i e e 2xx -+≤D ．i i 2e e 2x x --≤-≤9．若()()44log 2log 21x y x y ++-=，则x y -的最小值是（ ）AB ．2C ．D ．10．已知数列{}n a 满足：212n n n a a a +++=对*n ∈N 恒成立，且981a a <-，其前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的最大的n 的值是（ ） A ．10B ．12C ．15D ．1711．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的下、上焦点分别为12,F F ，点M 在C 的下支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为D .若122||MD F F MF >-恒成立，则C 的离心率的取值范围为（ ） A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12．定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式23(2cos )2sin22x f x +>的解集为（ ） A ．4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题13．61x ⎛⎝的展开式中的常数项为______________．14．将8张连号的门票分给5个家庭，甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张门票随机分给其余的3个家庭，并且甲乙两个家庭不能连排在一起（甲乙两个家庭内部成员的顺序不予考虑），则这8张门票不同的分配方法有______________种．15．已知函数()()()sin cos cos sin f x x x =+，给出下列4个结论，其中结论正确的个数有__________个. ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；③()f x 的周期是π； ④()f x 的最大值为216．已知函数()(32e log e 1xx f x x =++在[](),0k k k ->上的最大值与最小值分别为M 和m ，则函数()()()31g x M m x M m x -=+++-⎡⎤⎣⎦的图象的对称中心是___________.三、解答题17．已知数列{an }满足a 1＝1，a 2＝3，数列{bn }为等比数列，且满足bn (an ＋1－an )＝bn＋1.(1)求数列{an }的通项公式；(2)数列{bn }的前n 项和为Sn ，若________，记数列{cn }满足cn ＝,,,,n n a n b n ⎧⎨⎩为奇数为偶数求数列{cn }的前2n 项和T 2n ．在①2S 2=S 3-2，②b 2，2a 3， b 4成等差数列，③S6＝126这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．18．如图1，四边形ABCD 为矩形，BC =2AB ，E 为AD 的中点，将V ABE 、V DCE 分别沿BE 、CE 折起得图2，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面DCE ⊥平面BCE .（1）求证：平面ABE ⊥平面DCE ；（2）若F 为线段BC 的中点，求直线F A 与平面ADE 所成角的正弦值.19．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在[)70,80内的学生获三等奖，得分在[)80,90内的学生获二等奖，得分在[)90,100内的学生获得一等奖，其他学生不得奖，为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；(2)若该市所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中15σ≈，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：（i ）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；（ii ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望． 附参考数据，若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈．20．如图，椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F抛物线2C ：24x by =焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，当7||4MF =时，M 点在x 轴上的射影为1F ，连接,)NO MO 并延长分别交1C 于,A B 两点，连接AB ，OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为OMN S ∆，OAB S ∆，设λ=OMNOABS S ∆∆.（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程； （2）求λ的取值范围.21．已知函数()()ln 20f x a x x a =-≠. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，不等式()()22cos eax x f x f x ⎡⎤-≥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是2x y ϕϕ⎧⎪⎨+⎪⎩（ϕ为参数）．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为π2cos 103ρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 分别交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值． 23．已知0a >，0b >，1a b +=. （1（2）若不等式111x m x a b+-+≤+对任意x R ∈及条件中的任意,a b 恒成立，求实数m 的取值范围.。
高三数学理科第8次周测试题
2022-2022学年度高三数学第八次周测试卷〔理科〕 姓名：___________班级：_________命题教师：谢梅2022-10-24一、选择题〔每题5分，共30分〕〔 〕1.如图,在复平面内,点A 表示复数z ,那么图中表示z 的共轭复数的点是A. AB. BC. CD. D( )2. 在ABC ∆中, 3,45,75AB A C ===,那么BC =A. 33-B. 2C. 2D. 33+( )3. 设向量()0,1=a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,21b ,那么以下结论中正确的选项是 A 、b a = B 、22=⋅b a C 、b a // D 、垂直与b b a -( )4. 函数()()sin f x A x ωϕ=+ (A 、ω、ϕ均为正的常数)的最小正周期为π,当23x π=时,函数()f x 取得最小值,那么以下结论正确的选项是 A. ()()()220f f f <-< B. ()()()022f f f <<-C. ()()()202f f f -<<D. ()()()202f f f <<-( )5. 在ABC ∆中,假设2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅,那么ABC ∆是A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形( )6.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数, 例如:他们研究过图1中的1,3,6,10,···,由于这些数能表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,将图2中的1,4,9,16,···这样的数称为正方形数.以下数中既是三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.1378二、填空题〔每题5分，共20分〕7. 平面向量(1,2),(2,)a b m ==-, 且//a b , 那么b =__________8. 函数()32,0{tan ,02x x f x x x π<=-≤<,那么4f f π⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________. 9.化简:-11221log +log =4⎡⎛⎫⎢ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦__________. 10.函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f 的最小正周期为π，那么当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时函数()x f 的一个最值点是______________.三、解答题〔每题25分，共50分〕11.向量()()θθcos ,12,sin =-=b a 与互相垂直，其中⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ. 〔Ⅰ〕求和的值；〔Ⅱ〕假设()20,cos 53cos 5πϕϕϕθ<<=-，求ϕcos 的值．12. n S 为数列{}n a 的前n 项和,且0n a >,2243n n n a a S +=+.〔1〕求{}n a 的通项公式;〔2〕设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和。
2020届高三数学下学期第8次周练卷理
2020届高三数学下学期第8次周练卷理姓名：___________班级：___________评分：___________一、单选题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．如果集合，，那么=A． B．C． D．2．已知、，是虚数单位，若与互为共轭复数，则A．B．C．D．3．设等比数列的前项和为，若，且，则等于（）A．B．C．D．4．已知向量，若，则在向量上的投影为（）A．B．C．D．5．函数其中的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度向 D．左平移个单位长度6．已知函数是奇函数，当时，，且，则点的值为（）A． B．C． D．7．若二项式展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为（）A．B．1 C．27 D．8．设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，有下列命题：①如果，，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果平面内有不共线的三点到平面的距离相等，那么；其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．②③④9.中，角A，B，C所对的边长分别为，已知，，则（）A．B．C．D．10．已知为双曲线：（，）的右焦点，，为的两条渐近线，点在上，且，点在上，且，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或11．如图，ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，S－ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的体积为( )A．B．C．D．12．定义在上的函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，则的值等于__________．14．曲线在点处的切线的斜率为，则________．15．设抛物线（）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足.若，且三角形的面积为，则的值为_________．16．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；…；第n 次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt,2.并记an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，则数列{an}的通项公式an＝________.参考答案一、单选题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．D 2．A 3．A 4．C 5．C 6．A 7．A 8．B 9．B10．D设，则，与联立方程组解得，再由得或，选D.11．C设与交于,根据已知条件可得,球心在上,在中利用勾股定理,求出球半径 ,即可求得答案.如图所示，设与交于,球心在上,设,则球的半径，同时由正方体的性质可知，则在中，即解得，所以球的半径，所以球的表面积.故选:C.12．D【解析】由于定义在上的函数的图象关于轴对称，则函数为偶函数.，原不等式化为：偶函数在上单调增，则在上单调减，图象关于轴对称，则：，， ,故，，设，，易知当时，，则；令，，，，在上是减函数，，则，综上可得：，选D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.14．15．设，因为直线过焦点，所以（不妨设在第一象限），又由，所以，即，所以，，，所以，解得．16．由an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，得an＋1＝log2(1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·x2·…·xt·(xt·2)·2)＝log2＝3an－1，设an＋1＋k＝3(an＋k)，即an＋1＝3an＋2k，可得k＝－，则数列是首项为，公比为3的等比数列，故an－＝·3n－1，所以an＝.2020届高三数学下学期第8次周练卷理姓名：___________班级：___________评分：___________一、单选题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．如果集合，，那么=A． B．C． D．2．已知、，是虚数单位，若与互为共轭复数，则A．B．C．D．3．设等比数列的前项和为，若，且，则等于（）A．B．C．D．4．已知向量，若，则在向量上的投影为（）A．B．C．D．5．函数其中的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度向 D．左平移个单位长度6．已知函数是奇函数，当时，，且，则点的值为（）A． B．C． D．7．若二项式展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为（）A．B．1 C．27 D．8．设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，有下列命题：①如果，，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果平面内有不共线的三点到平面的距离相等，那么；其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．②③④9.中，角A，B，C所对的边长分别为，已知，，则（）A．B．C．D．10．已知为双曲线：（，）的右焦点，，为的两条渐近线，点在上，且，点在上，且，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或11．如图，ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，S－ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的体积为( )A．B．C．D．12．定义在上的函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，则的值等于__________．14．曲线在点处的切线的斜率为，则________．15．设抛物线（）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足.若，且三角形的面积为，则的值为_________．16．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；…；第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt,2.并记an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，则数列{an}的通项公式an＝________.参考答案一、单选题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．D 2．A 3．A 4．C 5．C 6．A 7．A 8．B 9．B10．D设，则，与联立方程组解得，再由得或，选D.11．C设与交于,根据已知条件可得,球心在上,在中利用勾股定理,求出球半径 ,即可求得答案.如图所示，设与交于,球心在上,设,则球的半径，同时由正方体的性质可知，则在中，即解得，所以球的半径，所以球的表面积.故选:C.12．D【解析】由于定义在上的函数的图象关于轴对称，则函数为偶函数.，原不等式化为：偶函数在上单调增，则在上单调减，图象关于轴对称，则：，， ,故，，设，，易知当时，，则；令，，，，在上是减函数，，则，综上可得：，选D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.14．15．设，因为直线过焦点，所以（不妨设在第一象限），又由，所以，即，所以，，，所以，解得．16．由an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，得an＋1＝log2(1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·x2·…·xt·(xt·2)·2)＝log2＝3an－1，设an＋1＋k＝3(an＋k)，即an＋1＝3an＋2k，可得k＝－，则数列是首项为，公比为3的等比数列，故an－＝·3n－1，所以an＝.。
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高三下学期理科数学第8周周测试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z满足z（1+i）=2，i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i2．已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=M B．M∪（∁U N）=U C．M∩（∁U N）=∅D．M⊆∁U N3．已知x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．3 B．﹣1 C．1 D．﹣34．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=xsinx C． D．f（x）=﹣x|x|5．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣3，6]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣6，﹣2] 6．下列说法中不正确的个数是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的必要不充分条件②命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是“∂x0∈R，cosx0≥1”③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．A．3 B．2 C．1 D．07．若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知f（x）=2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=9．已知⊥，||=，||=t，若P点是△ABC所在平面内一点，且=+，当t变化时，的最大值等于（）A．0 B．﹣2 C．2 D．410．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．11．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）12．已知函数f（x）=x3﹣6x2+9x，g（x）=x3﹣x2+ax﹣（a＞1）若对任意的x1∈[0，4]，总存在x2∈[0，4]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（）A．（1，]B．[9，+∞）C．[，]∪[9，+∞）D．（1，]∪[9，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．若等比数列{a n}的前n项和为S n，，则公比q=．14．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为．15．已知tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，则tan（α+β）=．16．若偶函数y=f（x），x∈R，满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=2﹣x2，则方程f（x）=sin|x|在[﹣10，10]内的根的个数为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=﹣1+2a n（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log2a n+1，且数列{b n}的前n项和为T n，求+…+．19．（12分）某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N（168，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；（Ⅱ）求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数；（Ⅲ）在这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ﹣N（μ，ς2），则p（μ﹣ς＜ξ≤μ+ς）=0.6826，p（μ﹣2ς＜ξ≤μ+2ς）=0.9544，p （μ﹣3ς＜ξ≤μ+3ς）=0.9974．20．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O．（Ⅰ）证明：PC⊥BD（Ⅱ）若E是PA的中点，且△ABC与平面PAC所成的角的正切值为，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明x1+x2＜0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=2（Ⅰ）直接写出C1的普通方程和极坐标方程，直接写出C2的普通方程；（Ⅱ）点A在C1上，点B在C2上，求|AB|的最小值．高三下学期理科数学第8周周测答案ABCD ABCD ABCD 1或 1 10三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2017•肇庆二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（Ⅰ）由已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）利用正弦定理，得a（a﹣b）=（c﹣b）（c+b），即a2+b2﹣c2=ab．再利用余弦定理即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2+b2﹣c2=ab．变形为（a+b）2﹣3ab=c2=7，又S=sinC=ab=，可得ab=6，可得a+b=5．即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）由正弦定理，得a（a﹣b）=（c﹣b）（c+b），（2分）即a2+b2﹣c2=ab．（3分）所以cosC==，（5分）又C∈（0，π），所以C=．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2+b2﹣c2=ab．所以（a+b）2﹣3ab=c2=7，（8分）又S=sinC=ab=，所以ab=6，（9分）所以（a+b）2=7+3ab=25，即a+b=5．（11分）所以△ABC周长为a+b+c=5+．（12分）【点评】本题考查了正弦定理余弦定理三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•肇庆二模）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=﹣1+2a n（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log2a n+1，且数列{b n}的前n项和为T n，求+…+．=﹣1+2a n﹣1，与原递推式联立可【分析】（Ⅰ）由数列递推式求出首项，进一步得当n≥2时，S n﹣1得a n=2a n﹣1（n≥2），即{a n}是2为公比，1为首项的等比数列，再由等比数列的通项公式求得{a n}的通项公式；（Ⅱ）把数列通项公式代入b n=log2a n+1，求出数列{b n}的前n项和为T n，再由裂项相消法求+…+．【解答】解：（Ⅰ）由已知，有S n=﹣1+2a n，①当n=1时，a1=﹣1+2a1，即a1=1．=﹣1+2a n﹣1，②当n≥2时，S n﹣1①﹣②得a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1（n≥2）．∴{a n}是2为公比，1为首项的等比数列，即．（Ⅱ）由（Ⅰ），得，∴．∴==2．【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．19．（12分）（2017•肇庆二模）某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N（168，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；（Ⅱ）求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数；（Ⅲ）在这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ﹣N（μ，ς2），则p（μ﹣ς＜ξ≤μ+ς）=0.6826，p（μ﹣2ς＜ξ≤μ+2ς）=0.9544，p （μ﹣3ς＜ξ≤μ+3ς）=0.9974．【分析】（I）高三男生的平均身高用组中值×频率，即可得到结论；（II）首先理解频数分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即：每组中包含个体的个数．我们可以依据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数．（III）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在172cm以上，这50人中172cm以上的有2人，确定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望．【解答】解：（Ⅰ）由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为，高于全市的平均值168（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72，比较接近全市的平均值168）．…（4分）（Ⅱ）由频率分布直方图知，后三组频率为（0.02+0.02+0.01）×4=0.2，人数为0.2×5=10，即这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人数为10人．…（6分）（Ⅲ）∵P（168﹣3×4＜ξ≤168+3×4）=0.9974，∴，0.0013×100 000=130．所以，全市前130名的身高在180 cm以上，这50人中180 cm以上的有2人．随机变量ξ可取0，1，2，于是，，，∴．…（12分）【点评】此题主要考查了正态分布，考查随机变量的定义及其分布列，并考查了利用分布列求其期望．正确理解频数分布直方图横纵轴表示的意义，由频数分布直方图可以得到什么结论是学习中需要掌握的关键．20．（12分）（2017•肇庆二模）在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O．（Ⅰ）证明：PC⊥BD（Ⅱ）若E是PA的中点，且△ABC与平面PAC所成的角的正切值为，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．【分析】（Ⅰ）证明BD⊥AC，BD⊥PO，推出BD⊥面PAC，然后证明BD⊥PC．（Ⅱ）说明OE是BE在面PAC上的射影，∠OEB是BE与面PAC所成的角．利用Rt△BOE，在Rt △PEO中，证明PO⊥AO．推出PO⊥面ABCD．方法一：说明∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角．通过求解三角形求解二面角A﹣EC﹣B的余弦值．方法二：以建立空间直角坐标系，求出平面BEC的法向量，平面AEC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）因为底面是菱形，所以BD⊥AC．（1分）又PB=PD，且O是BD中点，所以BD⊥PO．（2分）PO∩AC=O，所以BD⊥面PAC．（3分）又PC⊂面PAC，所以BD⊥PC．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，OE是BE在面PAC上的射影，所以∠OEB是BE与面PAC所成的角．（5分）在Rt△BOE中，，BO=1，所以．在Rt△PEO中，，，所以．所以，又，所以PO2+AO2=PA2，所以PO⊥AO．（6分）又PO⊥BD，BD∩AO=O，所以PO⊥面ABCD．（7分）方法一：过O做OH⊥EC于H，由（Ⅰ）知BD⊥面PAC，所以BD⊥EC，所以EC⊥面BOH，BH⊥EC，所以∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角．（9分）在△PAC中，，所以PA2+PC2=AC2，即AP⊥PC．所以．（10分），得，（11分），，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值为．（12分）方法二：如图，以建立空间直角坐标系，，B（0，1，0），，，，，．（9分）设面BEC的法向量为，则，即，得方程的一组解为，即．（10分）又面AEC的一个法向量为，（11分）所以，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值为．（12分）【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．21．（12分）（2017•肇庆二模）已知函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明x1+x2＜0．【分析】（Ⅰ）求出f'（x）=xe x+2ax=x（e x+2a），通过（i）当a＞0时，判断函数的单调性，判断零点个数；（ii）若a=0，判断f（x）只有一个零点．（iii）若a＜0，利用单调性判断零点个数即可．（Ⅱ）不妨设x1＜x2．推出x1＜﹣x2．利用函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，证明f（﹣x2）＜0．令g（x）=（﹣x﹣1）e﹣x+（1﹣x）e x，x∈（0，+∞）．利用g'（x）=﹣x（e﹣x+e x）＜0，转化证明即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）f'（x）=xe x+2ax=x（e x+2a）（1分）（i）当a＞0时，函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2分）∵f（0）=﹣1＜0，f（2）=e2+4a＞0，取实数b满足b＜﹣2且b＜lna，则f（b）＞a（b﹣1）+ab2=a（b2+b﹣1）＞a（4﹣2﹣1）＞0，（3分）所以f（x）有两个零点．（4分）（ii）若a=0，则f（x）=（x﹣1）e x，故f（x）只有一个零点．（5分）（iii）若a＜0，由（I）知，当，则f（x）在（0，+∞）单调递增，又当x≤0时，f（x）＜0，故f（x）不存在两个零点；当，则函数在（ln（﹣2a），+∞）单调递增；在（0，ln（﹣2a））单调递减．又当x≤1时，f（x）＜0，故不存在两个零点．（6分）综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．（7分）证明：（Ⅱ）不妨设x1＜x2．由（Ⅰ）知x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，+∞），﹣x2∈（﹣∞，0），则x1+x2＜0等价于x1＜﹣x2．因为函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，所以x1＜﹣x2等价于f（x1）＞f（﹣x2），即证明f（﹣x2）＜0．（8分）由，得，，（9分）令g（x）=（﹣x﹣1）e﹣x+（1﹣x）e x，x∈（0，+∞）．（10分）g'（x）=﹣x（e﹣x+e x）＜0，g（x）在（0，+∞）单调递减，又g（0）=0，所以g（x）＜0，所以f（﹣x2）＜0，即原命题成立．（12分）【点评】本题考查函数的极值，函数的单调性以及函数的零点个数的问题，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•肇庆二模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=2（Ⅰ）直接写出C1的普通方程和极坐标方程，直接写出C2的普通方程；（Ⅱ）点A在C1上，点B在C2上，求|AB|的最小值．【分析】（Ⅰ）把圆C1的参数方程变形，两式平方作和可得普通方程，进一步求得极坐标方程，展开两角和的正弦，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的普通方程；（Ⅱ）由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，可得直线和圆相离，由点到直线的距离减去圆的半径求得|AB|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方作和得：（x+2）2+y2=4，C1的极坐标方程为ρ=﹣4cosθ，由ρsin（θ+）=2，得，即，得x+y﹣4=0．（Ⅱ）C1是以点（﹣2，0）为圆心，半径为2的圆，C2是直线．圆心到直线C2的距离为＞2，直线和圆相离．∴|AB|的最小值为．【点评】本题考查解得曲线的极坐标方程，考查参数方程和普通方程的互化，训练了直线与圆位置关系的应用，是中档题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•普宁市校级学业考试）设复数z满足z（1+i）=2，i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+i）=2，得，∴复数z的虚部是﹣1．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）（2016•普宁市校级学业考试）已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=M B．M∪（∁U N）=U C．M∩（∁U N）=∅D．M⊆∁U N【分析】根据题意求出集合M，化简集合N，再判断选项是否正确．【解答】解：全集U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，N={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}≠M，A正确；∁U N={x|x≤0或x≥1}，M∪（∁U N）=R=U，B正确；M∩（∁U N）={x|x≤0}≠∅，C错误；M⊆∁U N不成立，D错误．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．3．（5分）（2016•普宁市校级学业考试）已知x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点B时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，由，解得，即B（2，1），此时z min=2﹣1=1．故选：A【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．4．（5分）（2016•普宁市校级学业考试）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=xsinx C． D．f（x）=﹣x|x|【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质和定义进行判断即可．【解答】解：A中f（x）非奇非偶；B中f（x）是偶函数；C中f（x）在（﹣∞，0）、（0，+∞）分别是减函数，但在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不是减函数；D中f（x）=是奇函数且在R上是减函数．故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．5．（5分）（2014•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础．6．（5分）（2016•普宁市校级学业考试）下列说法中不正确的个数是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的必要不充分条件②命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是“∂x0∈R，cosx0≥1”③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．A．3 B．2 C．1 D．0【分析】利用充要条件判断①的正误；命题的否定判断②的正误；四种命题的逆否关系判断③的正误；【解答】解：对于①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，不是必要不充分条件，所以①不正确；对于②命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是“∂x0∈R，cosx0≥1”，不满足命题的否定形式，所以②不正确；对于③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．满足四种命题的逆否关系，正确；故选：B．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件以及命题的否定，四种命题的逆否关系，是基础题．7．（5分）（2017•肇庆二模）若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A．3 B．4 C．5 D．6=C n r（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方【分析】二项式的通项公式T r+1程求出n的最小值．=C n r（x6）n﹣r（）r=C n r=C n r【解答】解：由题意，（x6）n的展开式的项为T r+1令6n﹣r=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5故选：C．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．8．（5分）（2016•普宁市校级学业考试）已知f（x）=2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【分析】由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：f（x）=2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x﹣）+）]=2sin（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ+，k∈z，求得x=+，故函数的图象的一条对称轴的方程为x=，故选：C．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．（5分）（2016•普宁市校级学业考试）已知⊥，||=，||=t，若P点是△ABC所在平面内一点，且=+，当t变化时，的最大值等于（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【分析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，推导出B（，0），C（0，t），P（1，1），从而=（，﹣1），=（﹣1，t﹣1），由此能求出的最大值．【解答】解：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，∵⊥，||=，||=t，∴B（，0），C（0，t），∵P点是△ABC所在平面内一点，且=+，∴=（1，0）+（0，1）=（1，1），即P（1，1），∴=（，﹣1），=（﹣1，t﹣1），∴=﹣+1﹣t+1=2﹣（），∵=2，∴的最大值等于0，当且仅当t=，即t=1时，取等号．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．10．（5分）（2016•普宁市校级学业考试）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】几何体为不规则放置的四棱锥，做出棱锥的直观图，利用作差法求出棱锥的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体为直三棱柱切去一个三棱锥得到的四棱锥，直观图如图所示：其中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，AB=BC=2，AB⊥BC，直三棱柱的高AA1=2，∴四棱锥B﹣ACC 1A1的体积V=V﹣V=﹣=．故选A．【点评】本题考查了空间几何体的三视图，空间几何体的体积计算，属于中档题．11．（5分）（2017•肇庆二模）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【分析】根据题意，首先求出X=1、2、3时的概率，进而可得EX的表达式，由题意EX＞1.75，可得p2﹣3p+3＞1.75，解可得p的范围，结合p的实际意义，对求得的范围可得答案．【解答】解：根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p，即P（X=1）=p，发球次数为2即二次发球成功的概率P（X=2）=p（1﹣p），发球次数为3的概率P（X=3）=（1﹣p）2，则Ex=p+2p（1﹣p）+3（1﹣p）2=p2﹣3p+3，依题意有EX＞1.75，则p2﹣3p+3＞1.75，解可得，p＞或p＜，结合p的实际意义，可得0＜p＜，即p∈（0，）故选C．【点评】本题考查期望的计算，注意解题的最后要结合概率的意义对求出的答案范围进行取舍．12．（5分）（2016•普宁市校级学业考试）已知函数f（x）=x3﹣6x2+9x，g（x）=x3﹣x2+ax ﹣（a＞1）若对任意的x1∈[0，4]，总存在x2∈[0，4]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（）A．（1，]B．[9，+∞）C．（1，]∪[9，+∞） D．[，]∪[9，+∞）【分析】求出f（x）的导数，可得极值点，分别求出f（0），f（1），f（3），f（4），可得值域；再求g（x）的导数，可得极值点，求出g（0），g（1），g（a），g（4），讨论a的范围，分a＞4，1＜a＜3，3≤a≤4，比较可得值域，再由题意可得f（x）的值域包含于g（x）的值域，得到不等式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣6x2+9x，导数为f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），可得f（x）的极值点为1，3，由f（0）=0，f（1）=4，f（3）=0，f（4）=4，可得f（x）在[0，4]的值域为[0，4]；g（x）=x3﹣x2+ax﹣（a＞1），导数为g′（x）=x2﹣（a+1）x+a=（x﹣1）（x﹣a），当1＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＜1或x＞a时，g′（x）＞0，g（x）递增．由g（0）=﹣，g（1）=（a﹣1），g（a）=a3﹣a2﹣＞﹣，g（4）=13﹣4a，当3≤a≤4时，13﹣4a≤（a﹣1），g（x）在[0，4]的值域为[﹣，（a﹣1）]，由对任意的x1∈[0，4]，总存在x2∈[0，4]，使得f（x1）=g（x2），可得[0，4]⊆[﹣，（a﹣1）]，即有4≤（a﹣1），解得a≥9不成立；当1＜a＜3时，13﹣4a＞（a﹣1），g（x）在[0，4]的值域为[﹣，13﹣4a]，由题意可得[0，4]⊆[﹣，13﹣4a]，即有4≤13﹣4a，解得a≤，即为1＜a≤；当a＞4时，可得g（1）取得最大值，g（4）＜﹣3为最小值，即有[0，4]⊆[13﹣4a，（a﹣1）]，可得13﹣4a≤0，4≤（a﹣1），即a≥，且a≥9，解得a≥9．综上可得，a的取值范围是（1，]∪[9，+∞）．故选：C．【点评】本题考查任意性和存在性问题的解法，注意运用转化思想，转化为值域的包含关系，考查导数的运用以及分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2017•肇庆二模）若等比数列{a n}的前n项和为S n，，则公比q=1或．【分析】根据等比数列的前n项和建立等式，利用a3和q表示出a1与a2，然后解关于q的一元二次方程，即可求出所求．【解答】解：∵∴a1+a2+a3=则a1+a2=3∴化简得2q2﹣q﹣1=0解得q=1或故答案为：1或【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和，以及等比数列的通项，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．：1或 1 1014．（5分）（2017•肇庆二模）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为．【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=．故答案为．【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）（2017•肇庆二模）已知tanα，t anβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，则tan（α+β）=1．【分析】由条件利用一元二次方程根与系数的关系可得tanα+tanβ和tanα•tanβ的值，从而求得tan （α+β）的值．【解答】解：由题意lg（6x2﹣5x+2）=0，可得6x2﹣5x+1=0，tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，∴tanα+tanβ=，tanα•tanβ=，∴tan（α+β）===1．故答案为：1．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，两角和的正切公式的应用，属于中档题．16．（5分）（2017•肇庆二模）若偶函数y=f（x），x∈R，满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=2﹣x2，则方程f（x）=sin|x|在[﹣10，10]内的根的个数为10．【分析】由题意可得偶函数y=f（x）为周期为4的函数，f（x）=sin|x|是偶函数，作出函数的图象，的交点的个数即为所求．【解答】解：∵函数y=f（x）为偶函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），∴偶函数y=f（x）为周期为4的函数，由x∈[0，2]时f（x）=3﹣x2可作出函数f（x）在[﹣10，10]的图象，同时作出函数y=sin|x|在[﹣10，10]的图象，交点个数即为所求．数形结合可得交点个为10，故答案为：10．【点评】本题考查函数的周期性和零点，数形结合是解决问题的关键，属中档题．。