专题02 函数的图象和性质-高考数学试题探源与变式(解析版)
高考数学最新真题专题解析—函数的图象及性质
高考数学最新真题专题解析—函数的图象及性质考向一 由函数图像求解析式【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）A. 3231x x y x -+=+B. 321x x y x -=+C. 22cos 1x x y x =+D.22sin 1x y x =+ 【答案】A【试题解析】设()321x x f x x -=+，则()10f =，故排除B; 设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x x h x x x =<≤++，故排除C;设()22sin 1x g x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D.故选：A. 【命题意图】本类题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等规律性质，属于中档题目.【命题方向】这类试题命题形式主要有由函数的性质及解析式选图，试题难度不大，多为中低档题，函数图像是历年高考的热点，其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现．常见的命题角度有：（1）由函数的图像来研究函数的性质；（2）由函数图像求解析式；（3）由解析式判断大致图像．【得分要点】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1) 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2) 从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3) 从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4) 从函数的周期性，判断图像的循环往复.(5) 从函数的特征点，排除不合要求的图象．考向二 由解析式判断图像【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】A【试题解析】令()()33cos ,,22x x f x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 则()()()()()33cos 33cos x x x x f x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A. 【命题意图】本类题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等规律性质，属于中档题目.【命题方向】这类试题命题形式主要有由函数的性质及解析式选图，试题难度不大，多为中低档题，函数图像是历年高考的热点，其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现．常见的命题角度有：（1）由函数的图像来研究函数的性质；（2）由函数图像求解析式；（3）由解析式判断大致图像．【得分要点】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势．（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性．（4）从函数的周期性，判断图像的循环往复.（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象．真题汇总及解析1．函数()22cos6x x y x -=-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】利用排除法求解，先判断函数的奇偶性，再利用函数的变化情况判断即可【详解】定义域为R ，因为()()()22cos(6)22cos6()x x x x f x x x f x ---=--=--=-，所以函数为奇函数，所以排除AB ， 当012x π<<时，062x π<<，则cos60x >，因为当012x π<<时，220x x -->，所以当012x π<<时，()22cos60x x y x -=->，所以排除D ，故选：C 2．从函数y x =，2y x ，2x y -=，sin y x =，cos y x =中任选两个函数，记为()f x 和()g x ，若()()()h x f x g x =+或()()()h x f x g x =-的图象如图所示，则()h x =（ ）A ．2sin x x -B ．cos x x +C ．2sin x x -+D ．cos x x -【答案】C【解析】【分析】 根据图象可知函数()h x 过定点(0,1)，当0x <时()1h x >，为减函数；当0x >时()0h x >或()0h x <交替出现，结合排除法和选项中函数的图象与性质，即可得出结果.【详解】由图象可知，函数()h x 过定点(0,1)，当0x <时，()1h x >，为减函数；当0x >时，()0h x >或()0h x <交替出现.若2()sin h x x x =-，则()00h =，不符合题意，故A 错误；若()cos h x x x =+，则(0)1h =，即函数()h x 过定点(0,1)，又1cos 1x -≤≤，当1x <-时，()cos 0h x x x =+<，不符合题意，故B 错误；若()cos h x x x =-，则(0)1h =-，不符合题意，故D 错误.故选：C3．函数()2cos sin ln 2cos x f x x x-=⋅+的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先判断函数的奇偶性得函数为奇函数，进而排除AB 选项，再根据0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时的函数符号排除D 选项得答案.【详解】解：由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，因为2cos()2cos ()sin()ln sin ln ()2cos()2cos x x f x x x f x x x----=-=-⋅=-+-+， 所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，B ；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,2cos 2cos 0x x x >+>->，所以2cos 012cos x x -<<+， 所以2cos ()sin ln02cos x f x x x-=⋅<+，排除D. 故选：C.4．已知R α∈，则函数()e x x f x α=的图象不可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】 令12α=、2α=、1α=-，结合导数研究()f x 的单调性及值域判断可能的图象，即可得答案.【详解】 当12α=时，()e x x f x =且0x ≥，则12()e x x f x x-'=， 所以1(0,)2上 ()0f x '>，()f x 递增；1(,)2+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，且(0)0f =， 所以A 图象可能；当2α=时，2()0ex x f x =≥且R x ∈，则(2)()e x x x f x '-=， 所以(,0)-∞上()0f x '<，()f x 递减，(0,2)上 ()0f x '>，()f x 递增，(2,)+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，所以B 图象可能；当1α=-时，1()e xf x x =且0x ≠，则21()e x x f x x +'=-， 所以(,1)-∞-上()0f x '>，()f x 递增，(1,0)-上 ()0f x '<，()f x 递减，(0,)+∞上 ()0f x '>，()f x 递增，又0x <时()0f x <，而0x >时()0f x >，所以D 图象可能；综上，排除A 、B 、D.故选：C5．函数()2222x xx x f x -+=+的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【分析】先判断()f x 的奇偶性，可排除A ，再由单调性、特值点排除选项C 、D ，即可得出答案.【详解】函数的定义域为R ，因为()()2222x x x x f x f x -+-==+，所以()f x 是偶函数，排除选项A ；当x →+∞时，考虑到22y x x =+和22x x y -=+的变化速度，知x →+∞时，()0f x →，故排除选项C ，D ．故选：B ．6．函数()22x f x x -=⋅在区间[]22-,上的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；【详解】解：∵()()22x f x x f x --=⋅=，∴()f x 是偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除A ，B 选项；∵()()122f f ==，∴()f x 在[0,2]上不单调，排除D 选项．故选：C7．下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）A ．112x y -=-B ．112xy =-- C ．12x y -=-D ．21x y =--【答案】A【解析】【分析】 根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，1y =-，故排除B 、D 两项； 当1x >时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，12x y -=-单调递减，故排除C 项.故选：A.8．函数()x b f x a -=的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b >D ．01a <<，0b <【答案】D【解析】【分析】 由函数的单调性得到a 的范围，再根据函数图像平移关系分析得到b 的范围.【详解】由函数()x b f x a -=的图像可知，函数()x b f x a -=在定义域上单调递减，01a ∴<<，排除AB 选项；分析可知：函数()x b f x a -=图像是由x y a =向左平移所得，0b ∴->，0b ∴<.故D 选项正确. 故选：D9．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】由函数()f x ax b =+的图象可得1a >，1b <-，从而可得()x g x a b =+的大致图象．【详解】由()f x ax b =+的图象可得(0)1f b =<-，(1)0f a b =+>，所以1a >，1b <-，故函数()x g x a b =+为增函数，相对x y a =向下平移大于1个单位故选：B10．设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是（ ）A ．y ＝f (|x ）B ．y ＝－|f (x )| ）C ．y ＝－f (－|x ）D ．y ＝f (－|x ）【答案】C【解析】 由题意结合指数函数的图象及函数图象的变换可得函数图象对应的函数解析式，即可得解.【详解】由图象可知函数图象对应的函数解析式是||2x y -=-，所以函数图象对应的函数解析式是y ＝－f (－|x |).故选：C .【点睛】本题考查了指数函数的图象及函数图象变换的应用，属于基础题.11．函数()cos f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先根据函数奇偶性的概念可知()()f x f x -=-，即函数()f x 为奇函数，排除选项D ；再利用三角函数的性质排除BC 即得.【详解】()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，∴函数()f x 为奇函数，排除选项D ； 当(0,)2x π∈时，0x >，0cos 1x <<， 0()f x x ∴<<，排除选项BC ． 故选：A ．12．下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（ ）①||()e sin x f x x = ②()ln ||=-g x x x ③2()sin =t x x x ④2e ()xh x x =A ．④②①③B ．②④①③C ．②④③①D ．④②③①【答案】A【解析】【分析】先通过函数定义域和奇偶性进行判断，再利用导数对①求导，求其在()0,π上的最大值．【详解】()f x ，()t x 的定义域为R ，()g x ，()h x 的定义域为{}|0x x ≠2e ()0xh x x =>在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④②当()0,πx ∈时，则()e sin x f x x =()π()e sin cos 2e sin 4x x f x x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，令()0f x '>，则30π4x <<()f x 在30,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则3π432()(π)e 542f x f ≤=>①对应的为第三个函数故选：A ．。
新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳 第4讲 函数的图象与性质(解析版)
第4讲函数的图象与性质函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．函数的性质与图象【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点P'(－x，－f(x))都在其图象上．又点P与点P'关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量∆x＝x2－x1＞0，则当∆y＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数；当∆y＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．3．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．4．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每一个值时，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．【复习要求】1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性．3．了解函数周期性的含义．4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．函 数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．记作f ：A →B ，其中x 叫原象，y 叫象．2、设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种映射叫做集合A 上的一个函数．记作y ＝f (x )，x ∈A ．其中x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y ｜y ＝f (x )，x ∈A }叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f (x )(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．【教材回归】1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．(2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a >0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a <0时，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a ；③反比例函数y ＝k x (k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}．【例题分析】1.函数f （x ）＝+的定义域为（ ） A ．[0，2）B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D ．[0，2）∪（2，+∞）【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】D【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：， 故x ∈[0，2）∪（2，+∞），故选：D ．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是基础题．2.函数的定义域为（ ） A ．[﹣2，0] B ．（﹣2，0） C ．（﹣2，0] D ．（﹣2，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】C【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则1﹣log 2（x +2）≥0得log 2（x +2）≤1，即0＜x +2≤2，得﹣2＜x ≤0，即函数的定义域为（﹣2，0]，故选：C ．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合根式成立的条件进行转化是解决本题的关键，是基础题．3.下列各函数中，值域为（0，+∞）的是（ ）A ．y ＝B ．C ．y ＝2﹣2x +1D ．【考点】函数的值域．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】C【分析】根据函数的性质分别求出函数的值域进行判断即可．【解答】解：x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4≥﹣4，∴y＝的值域是R，不满足条件．∵0≤1﹣2x＜1，则函数的值域为[0，1），不满足条件．y＝2﹣2x+1＞0，即函数的值域为（0，+∞），满足条件．y＝∈（0，1）∪（1，+∞），不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数值域的求解和判断，结合函数的性质求出函数的值域是解决本题的关键，是基础题．2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．【例题分析】1.下列函数中，是奇函数且在其定义域内单调递增的是（）A．y＝e x B．y＝x3C．y＝sin x D．y＝tan x【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】B【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足条件即可．【解答】解：A．函数是非奇非偶函数，不满足条件．B．y＝x3是奇函数，在R上是增函数，满足条件．C．y＝sin x是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件．D．y＝tan x是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．2.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数为（）A．y＝cos x B．y＝﹣log2x C．y＝2x D．y＝x﹣2【考点】函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】D【分析】可看出选项A的函数在（0，+∞）上没有单调性，选项B，C的函数都是非奇非偶函数，从而只能选D．【解答】解：y＝cos x在（0，+∞）上没有单调性；y＝﹣log2x和y＝2x都是非奇非偶函数；y＝x﹣2是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数．故选：D．【点评】本题考查了偶函数和减函数的定义及判断，偶函数图象的对称性，考查了计算能力，属于基础题．3.下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x2+1 B．C．y＝3|x|D．【考点】函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】AC【分析】判断每个选项函数的奇偶性，以及在（0，+∞）上的单调性即可．【解答】解：y＝x2+1和y＝3|x|都是偶函数，在（0，+∞）上都单调递增，∴AC正确；和都不是偶函数，∴BD错误．故选：AC．【点评】本题考查了偶函数的定义，二次函数和指数函数的单调性，考查了计算和推理能力，属于基础题．4.写出一个最小正周期为2的奇函数f（x）＝．【考点】奇函数、偶函数；函数的周期性．【专题】开放型；函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】sinπx【分析】先考虑熟悉的基本初等函数，再结合周期性和奇偶性即可得到答案．【解答】解：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的是y＝sin x，又最小正周期为2，故函数可为f（x）＝sinπx．故答案为：f（x）＝sinπx．【点评】本题属于开放性问题，主要考查的是函数的奇偶性和周期性的应用，解题的关键了解基本初等函数的性质并能够进行灵活的应用．5.设函数f （x ）是定义在R 上的以5为周期的奇函数，若，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣2，3）B ．（﹣3，2）C ．（﹣∞，3）∪（2，+∞）D ．（﹣2，0）∪（3，+∞） 【考点】函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．【专题】计算题；函数的性质及应用．【答案】A【分析】根据函数是以5为周期的奇函数，得f （2）＝f （﹣3），结合函数为奇函数，得f （﹣3）＝﹣．由此结合f （2）＞1建立关于a 的不等式，解之可得a 的取值范围． 【解答】解：∵函数f （x ）以5为周期，∴f （2）＝f （﹣3），又∵函数是奇函数 ∴f （﹣3）＝﹣因此，f （2）＝f （﹣3）＝＞0，即（a +2）（a ﹣3）＜0，解之得﹣2＜a ＜3．故选：A ．【点评】本题在已知函数为奇函数且是周期函数的情况下，解关于a 的不等式，考查了函数的奇偶性和周期性，以及不等式的解法等知识，属于基础题．3．关于函数周期性、对称性的结论(1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期； ②若函数f (x )满足f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期； ③若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期．(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (b －x )，则函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称． 【例题分析】 1.函数y ＝f （x ）与函数y ＝f （﹣x ）的图象关于（ ）对称A ．x 轴B ．y 轴C ．坐标原点D ．不能确定【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用图象关于x ＝0的对称特点分别判断．【解答】解：因为函数y ＝f （x ）关于x ＝0对称的函数为y ＝f （﹣x ），所以函数y ＝f （x ）与函数y ＝f （﹣x ）的图象关于y 轴对称．故选：B ．【点评】本题主要考查几种常见函数的对称关系，要求熟练掌握这些对称对应函数的变化．2.下列函数中，其图象与函数y ＝ln （x +1）的图象关于直线x ＝1对称的是（ ）A ．y ＝ln （1﹣x ）B ．y ＝ln （3﹣x ）C ．y ＝ln （1+x ）D ．y ＝ln （3+x ）【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】根据题意，设y ＝g （x ）的图象与函数y ＝ln （x +1）的图象关于直线x ＝1对称，分析可得g （x ）＝f （2﹣x ），结合f （x ）的解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，设y ＝g （x ）的图象与函数y ＝ln （x +1）的图象关于直线x ＝1对称，则有g （x ）＝f （2﹣x ），即g （x ）＝ln [（2﹣x ）+1]＝ln （3﹣x ），故选：B ．【点评】本题考查函数图象的对称性，注意关于直线x ＝1对称的函数的性质．3.函数f （x ）＝的图象关于（ ） A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称【考点】奇偶函数图象的对称性． 【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】A【分析】根据条件判断函数的奇偶性即可判断函数的图象关系．【解答】解：∵函数f （x ）＝，定义域为：{x |x ≠±1}关于原点对称，且f （﹣x ）＝＝＝f （x ），∴函数f （x ）＝为偶函数，图象关于y 轴对称，故选：A ． 【点评】本题主要考查函数图象的对称，根据函数奇偶性和图象之间的关系是解决本题的关键．4．函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．①单调性的定义的等价形式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1≠x 2，那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f (g (x ))的单调性．【例题分析】1.若a ＝3e ，b ＝e 3，c ＝π3，其中e 为自然对数的底数，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a【考点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质与判断．【专题】计算题；方程思想；转化思想；函数的性质及应用；数学运算．【答案】A【分析】根据题意，由幂函数＝x 3的单调性可得b ＜c ，对于，求出其导数，分析可得在[1，+∞）单调递减，由此可得，变形得a ＜b ，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以b ＜c ；对于，其导数y ′＝，在区间（1，+∞）上，y ′＜0，则在[1，+∞）单调递减，故，即3e＜e3，从而得a＜b，故a＜b＜c，故选：A．【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意常见函数的单调性，属于基础题．2.已知函数f（x）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），则实数a的取值范围是（）A．B．[2，6）C．D．（0，6）【考点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质与判断．【专题】计算题；方程思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】C【分析】由函数的定义域和单调性可得2≤2a2﹣5a+4＜a2+a+4，再求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），则2≤2a2﹣5a+4＜a2+a+4，解得0＜a≤或2≤x＜6，所以实数a的取值范围为（0，]∪[2，6），故选：C．【点评】本题考查了根据函数的单调性求参数的范围，考查了转化思想，属于基础题．3若函数f（x）对∀x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，则称f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（）A．f（x）＝﹣2x+1 B．f（x）＝x2+2x+1C．f（x）＝x2﹣log2x D．f（x）＝x2﹣x+【考点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质与判断．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】ACD【分析】根据题意，设g（x）＝f（x）﹣x2，分析可得g（x）在[1，+∞）为减函数与f （x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”等价，据此分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣x2，若f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，则对∀x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，则有﹣1＝＝×＝＜0，则有＜0，则函数g（x）＝f（x）﹣x2在[1，+∞）为减函数，反之，若函数g（x）＝f（x）﹣x2在[1，+∞）为减函数，则有＝（x1+x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，分析选项：对于A，f（x）＝﹣2x﹣1，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣x2﹣2x﹣1，为开口向下，对称轴为x＝﹣1的二次函数，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；对于B，f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝f（x）﹣x2＝2x+1，g（x）在区间[1，+∞）为增函数，则f（x）在（1，+∞）上不是“平方差减函数”；对于C，f（x）＝x2﹣log2x，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣log2x，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；对于D，f（x）＝x2﹣x+，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣x+，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；故选：ACD．【点评】本题考查函数的单调性的判断，注意分析“平方差减函数”的定义，属于基础题．5.函数的图象1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．【例题分析】1.函数（e为自然对数的底数）的部分图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象的变换．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象．【答案】A【分析】根据条件判断函数的奇偶性，结合函数值的符号，即可排除错误选项．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除BD，当0＜x＜1时，f（x）＞0，排除C，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，通常利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用排除法解决此类题目，是基础题．2.托马斯说：“函数是近代数学思想之花．”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合M＝{﹣1，2，4}到集合N＝{1，2，4，16}的函数的是（）A．y＝2x B．y＝x+2 C．y＝x2D．y＝2x【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】C【分析】根据函数的定义，分别进行判断即可．【解答】解：A．当x＝﹣1时，y＝﹣2，没有对应值，不满足条件．B．当x＝4时，y＝x+2＝6，没有对应值，不满足条件．C．满足条件D．当x＝﹣1时，y＝，没有对应值，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数的概念，利用函数的对应性是解决本题的关键，是基础题．【易错点】1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．。
函数的概念与性质(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第1讲函数的概念与性质【考点分析】1.函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单的基本方法.2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点，每年都会考一道选择或者填空题，分值5分，一般与指数，对数结合起来命题【题型目录】题型一：函数的定义域题型二：同一函数概念题型三：函数单调性的判断题型四：分段函数的单调性题型五：函数的单调性唯一性题型六：函数奇偶性的判断题型七：已知函数奇偶性，求参数题型八：已知函数奇偶性，求函数值题型九：利用奇偶性求函数解析式题型十：给出函数性质，写函数解析式题型十一：()=x f 奇函数+常数模型（()()常数⨯=+-2x f x f ）题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，()()()中f x f x f 2min max =+，中指定义域的中间值）题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题题型十四：值域包含性问题题型十五：函数性质综合运用多选题【典型例题】题型一：函数的定义域【例1】（2021·奉新县第一中学高一月考）函数()f x =的定义域为（）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4答案：C解析：对于函数()f x =，有1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 1f x -=的定义域为()1,4.故选：C.【例2】函数()21log (3)f x x =-的定义域为【答案】()()3,44,⋃+∞【详解】由题意知()230log 30x x ->⎧⎨-≠⎩，得()223log 3log 1x x >⎧⎨-≠⎩，所以331x x >⎧⎨-≠⎩，所以()()3,44,x ∈⋃+∞．【例3】(2020·集宁期中)已知函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，则函数)21(x f -的定义域（）A ．]12[，-B ．]21[，C ．]32[，-D ．]31[，-【答案】C【详解】因为函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，所以41≤≤-x ，所以5325≤-≤-x ，函数)(x f 的定义域为]55[，-，令5215≤-≤-x ，解得32≤≤-x 【例4】若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。
高考数学专题复习《函数的图象》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)
（1） 当 时，函数 与 的图象相同.( )
×
（2） 函数 与 的图象相同.( )
×
（3） 函数 与 的图象关于原点对称.( )
×
（4） 若函数 满足 ，则函数f（x）的图像关于x=1对称.( )
×
（5） 将函数 的图象向右平移1个单位得到函数 的图象.( )
×
注意：左右平移，是针对自变量x的变化，与x前面的系数无关
区分：
2.设函数 ，则如图所示的函数图象对应的函数是( )
A. B. C. D.
√
思路：把握图像特征：（1）函数图像过（0，-1）;（2）函数为偶函数
图像的变换小结
584589 专 用 版
考点一 作图
例1 作出下列函数的图象：
【教材梳理】
1.利用描点法作图的步骤
（1）确定函数定义域；
（2）化简函数解析式；
（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、最值等）；
（4）描点并作出函数图象.
2.6 函数的图象 2023.9.4请拿出草稿纸，直尺做好准备
2.利用图象变换法作图的步骤
当 时， ，排除B .故选A.
√
Step1：定义域→Step2：奇偶性→Step3：特殊值排除法→
命题角度2 给出图象确定函数
例3 （1） 已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式可能是 ( )
（a）
（b）
（c）
不变
口诀：f(x)→|f(x)|：上不动，下折上 f(x)→f(|x|)：右不动，右折左
② 的图象作法：作出 在 轴右边的图象，以 轴为对称轴将其翻折到左边得 在 轴左边的图象，右边的部分______，如图 和图 所示.
高三数学最新高考第二轮复习《函数图像及其性质》试题研究专题讲解
函数图像及其性质高考考点打破例 1.设函数 f ( x) x2 bx c( x0)若 f ( 4) f (0), f ( 2) 2 ,求对于x的方程 f ( x)x 的解得2个数 .[ 剖析 ]: 由两个条件可求出[ 分析 ]: 解法一 :由f (4)(x 0)b, c ,再利用图像或解方程求解.f (0), f ( 2) 2 可得 b 4, c2,f (x) x2 4x 2 (x 0),x 0 , 或x 0.2 ( x 0)方程等价于x2x f ( x) 2 4x 2 x即 x 2, 或 x 1,或 x 2, 即 f ( x) x 由3个解.y 解法二 : 由f ( 4) f (0), f ( 2) 2 可得 b 4, c 2,x2 4x 2 (x 0) 4f (x)2 ( x 0) ,图像如下图.方程 2 C f ( x) x 的解得y=f(x)个数 ,即y f ( x) 与 y x 的交点个数.由图知两图像有A,B,C -5B O x 5 三个交点10,故方程15由三个解 .-2[ 启示 ]: 函数的图像从形式上很好的反应出了函数的性质,所y=x A 以在研究函数时, 注意联合图像,在解方程和不等式等问题时,借助图像能起到-4 十分快捷的成效, 但要注意 ,利用图像求交点个数或解得个数问题时,作图要十分正确 ,不然简单解错 .b5E2RGbCAP[ 变式训练 ]: 已知函数f (x) x2 4x 3 .(1)求函数 f ( x) 的单一区间,并指出其增减性;(2) 求会合 M={m︱使方程f (x) mx 有四个不等的实根}.( x 2) 2 1, x ,1 3, 解 : f (x)2)2 1, x 作出图像如下图 .(x 1,3(1) 递加区间为1,2 , 3, ,递减区间为,1 , 2,3 .(2) 由图像可知y f ( x) 与 y mx 图像有四个不同的交点,直线 y m x应介于x轴与切线l1之y mxx2 (m 4)x 3 0.间 .( x 2)2 1y由0 得 m 4 2 3 . m 4 2 3 时, x 3 1,3 舍去.m 4 2 3 , l1方程 y (4 2 3) x . m 0,4 2 3会合 M m 0 m 4 2 3 .例 2.设函数f ( x) x2 1 ax, 求证:当a 1时,函数 f ( x) 在区间0, 是减函数 .[ 剖析 ]: 利用定义 ,经过作差变形判断符号.常用的变形方法有通分,配方 ,因式分解 ,有时还可利用分子有理化或分母有理化 .p1EanqFDPw取值作差变形定号作答[ 分析 ]: 设x1, x20,,且x1x2,则f ( x 1) f ( x 2 )x 12 1 ax 1x 22 1 ax 2x 12 1x 221 a x 1 x 2x 12 x 22a x 1 x 2 x 1 x 2x 1 x 2 ax 12 1x 22x 12 1x 22110 x 1x 2 ,x 1 x 21.x 12 1x 22 1又a 1,x 1 x 2ax 12x 2211f (x 1) f (x 2 ) 0, 即 f ( x 1 ) f (x 2 ) .因此函数 f ( x) 在区间 0,是减函数 .[ 启示 ]: 用单一性定义证明函数单一系时,分析过程要谨慎清楚,此中变形是重点 ,此题采纳的分子有理化要用心领会 ,合时加以运用 .DXDiTa9E3d[ 变式训练 ]: 设函数 f (x)x a( a b 0), 求 f (x) 的单一区间 ,并证明 f ( x) 在单一区间上的单一性 .x x x b解 :在定义域内任取.则12f ( x 1) f ( x 2 ) x 1 a x 2 a (x 1 a)( x 2 b) (x 1 b)( x 2 a) (b a)( x 1 x 2 ). x 1 b x 2 b( x 1 b)( x 2 b) ( x 1 b)( x 2 b) a b 0, b a 0, 又 x 1 x 2 0 ,当 x 1x 2 b 或 b x 1 x 2 时函数才单一 ,且当 x 1 x 2b 或 b x 1 x 2 时 , f (x 1 ) f ( x 2 ) 0 ,f ( x) 在 ( b, ),( , b) 上是单一函数 .例 3 已知定义域为R 的函数 f ( x)2x b是奇函数 .x 1a2(1) 求 a,b 的值 ;(2) 若对随意的 t R ,不等式 f (t 2 2t ) f (2t 2 k) 0 恒建立 ,求 k 的取值范围 .[ 剖析 ]: 联合奇函数的定义或特值法求参数a, b 的值 ,对于 (2)要想法进行等价转变 .[ 分析 ]:(1) 由于 f ( x) ,f (0) 0 , 1 b 0 解得 b 1.是奇函数 因此即 2 a进而有 f ( x)2x1 . 2x 1a12 11 又由 f (1)f ( 1), 知2 ,解得 a 2.4 a1 a故 a2, b1.(2) 解法一 :由 (1)知 f ( x)2x 111 . 由上式易知 f ( x) 在 R 为减函数 .又由于 f ( x) 是奇函数 . 2x 122 2x1进而不等式f (t 2 2t ) f (2t 2k ) 0 等价于 f (t 2 2t )f (2t 2 k) f (k 2t 2 ).由于 f ( x) 是减函数 , 由上式推得 t 22t k 2t 2. 即对全部 t R 有 3t 2 2t k0. 进而鉴别式4 12k 0, 解得 k1 .t 22 t2t 2k3x121 2 1解法二 :由 (1)知 f ( x)2.又由题设条件得0.2x 1 22t22 t 12 22t2k 12即 (22t 2 k 1 2)( 2t 22t 1)(2t22t 12)( 22t2k1)0 整理得 23t22t k1,故 3t 2 2t k 0 .上式对一切 tR 均建立 , 进而鉴别式4 12k 0, 解得 k1 .3[ 启示 ]:(1)已知函数的奇偶性 ,单一性和参数 ,注意利用以下关系: f ( x) 为奇 (或偶 )函数 ,则定义域对于原点对称 ,且对定义域内随意的 x ,恒有 f ( x) f ( x) (或 f ( x) f (x) )建立 . f ( x) 为单一增 (或减 )函数 ,则 f (x) 在定义域内对随意的x 1 , x 2 ,当 x 1 x 2 时 ,不等式 f (x 1) f (x 2 ) (或 f (x 1) f ( x 2 ) )恒建立 RTCrpUDGiT;(2) 对此题中 (1)可利用“ f ( x) 是奇函数 ,则 f ( x) f ( x) 恒建立”作转变 ,但较繁琐 ;(3) 对此题 (2)波及不等式恒建立问题 ,解答中是采纳数形联合的方法,也可用分别参数 k 与变量 t 转变为对于 t的函数的最值 ,即 k 3t 2 2t 对全部 tR 恒建立 ,当 t R 时 ,有 (3t 22t) min1 , k 1 . 5PCzVD7HxAx a33[ 变式训练 ]: 已知 f ( x)是奇函数 .x 2 bx1(1) 求 a,b 的值 ;(2) 求 f ( x) 得单一区间 ,并加以证明 .解 :(1) f (x)f ( x) 0 恒建立 ,即x ax ax 2bx 1 x 20恒建立 ,b) x 2bx 1则2(a 2a 0 对随意的实数 x 恒建立 . a b 0.(2)f ( x) x ( x R) 是奇函数 ,x 21只要研究0,上 f ( x) 的单一性即可 .任取 x 1, x 20,,且 x 1 x 2 ,则f ( x 1) f ( x 2 )x 1 x 2 ( x 2 x 1)( x 1x 2 1).x 12 1 x 22 1 ( x 12 1)(x 22 1)x 12 1 0, x 22 1 0, x 2 x 1 0,而x 1 , x 2 0,1 时, x 1 x 2 1 0, x 1 , x 2 1, 时 , x 1 x 2 1 0,当 x 1 , x 2 0,1 时 , f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 ,函数 y f ( x) 是增函数 ;当 x 1 , x 21,时 , f ( x 1) f ( x 2 ) 0 ,函数 yf ( x) 是减函数 .又 f (x) 是奇函数 , f ( x) 在 1,0 上是增函数 ,在, 1是减函数.又 x0,1 , u1,0 时 ,恒有 f ( x)f (u), 等号只在 xu 0 时取到 ,故 f ( x) 在1,1 上是增函数 .高考阅卷在线（ 2009 年海南省高考理科第２１题）已知函数f (x)(x 3 3x 2 ax b)e x（ I ） 如 ab 3 ,求 f ( x) 的单一区间；（ II ）若 f ( x) 在 ( , ),(2, ) 单一增添 ,在 ( ,2),(, ) 单一减少，证明＜ 6．分析：（Ⅰ）当 a b3 时， f (x) ( x 3 3x 2 3x 3)e x ，故f '(x)( x 3 3x 2 3x 3)e x (3x 2 6x 3)e xe x ( x 3 9 x)x (x 3 ) (xx e 当 x 3或 0 x 3时， f '(x) 0;当3 x 0或x 3时， f '(x) 0.3，0），（3， ）进而 f ( x)在(, 3),(0,3) 单一增添，在（单一减少 .(Ⅱ ) f '(x)(x 3 3x 2 ax b)e x (3x 2 6x a)e x e x [ x 3 ( a 6)x ba].由条件得： f'(2) 0,即23 2(a 6) b a 0,故b 4 a,进而高三数学最新高考第二轮复习《函数图像及其性质》试题研究专题讲解f '(x)e x [ x 3 (a 6) x4 2a].由于 f '( )f '( ) 0, 因此x 3 (a 6)x4 2a ( x2)(x )( x)( x 2)( x 2 () x).将右侧睁开，与左侧比较系数得，2,a 2. 故()2412 4a.又( 2)(2) 0,即2() 4 0. 由此可得 a6.于是6. ． w.评论：此题主要考察函数单一性，利用函数性质来进行不等式的证明．智能提高操练1.右图图像所表示的函数的分析式为()jLBHrnAILgA. y3 x1 (0 x 2) y2 B. y3 3x 1 (0 x 2) 32 2 2C. y3x 1 (0 x 2)12 O2xD. y 1 x 1 (0 x2)答案： B2. 已知 y f ( x) 是定义在 R 上的奇函数 ,当 x0 时 , f (x)x 22x, , 则 f ( x) 在 R 上的表达式为()xHAQX74J0XA.x(x 2)B.x( x2)C. x( x2)D.x ( x 2)答案： B3.函数 f (x)x( x 1 1) 的奇偶性是 ()LDAYtRyKfE2 12A.奇函数B.偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数Zzz6ZB2Ltk 答案： B4. 若 (x), g (x) 均为奇函数 f ( x) a ( x) bg ( x) 2 在 0,上有最大值5, 则 f ( x) 在 ,0 上有( )dvzfvkwMI1A.最小值 -5B.最大值 -5y 8C.最小值 -1 D,最大值 -3l答案： C65.已知 x 2y 225, 过坐标原点但不与 x 轴重合的直线 l 与4x 轴 的 正 半 轴p及圆围成了两个地区如下图 , 他们的面积分别为 p 和 q ,则2以下图中p 对于q 的函数图像的大概形状为( )rqyn14ZNXI-5O q5x101520 253035-2-4pppp-6-8-10-12O qO qO qA.B.C.OqD.答案： B6.设函数 y f (x) 定义在实数集上 ,则函数 y f (x 1) 与 y f (1 x) 的图像对于 ()A.直线 y 0 对称B.直线 x 0 对称C.直线 y 1对称D.直线 x 1对称答案： D7.已知函数 f (x) a1., 若 f (x) 是奇函数 ,则 a2x1答案：128.函数 f ( x) 对随意实数 x 知足条件 f ( x 1)15, 则 f [ f (5)]., 若 f (1)f ( x)答案： -5 9.已知以下曲线 :yyyyOxO x O xO xA.B. C.D.以及编号为①②③④的四个方程 : ①x y 0 ; ② xy0 ; ③ x y0 ; ④ xy 0 . 请按曲线A,B,C,D 的次序 ,一次写出与之对应的方程的编号 .EmxvxOtOco答案：④②①③10 对 a,bR, 记 max a,ba, a b f ( x)m a xx1x ,x2 的(R 最 小 )值b, a , 函 数b是.答案：32f ( x)( x 0)2f ( 1)0 , 且对随意实数 x 均有11. 已知函数f ( x) axbx 1( a 0), F ( x)若f ( x)( x.0)f ( x ) 0建立 .(1) 求 F (x) 的表达式 ;(2) 当 x2,2 时 , g( x)f ( x) kx 是单一函数 ,求 k 的取值范围 .答案：分析 :(1)f ( 1)0, a b1 0, ba 1. f (x)ax 2 (a 1)x 1.f (x) 0 ,a 0, (a 1)20.(a 1)24aa 1,进而b 2, f ( x) x 22 x 1,F (x)x 22x 1(x0) .x 2 2x 1( x0)(2) g ( x)x 22x 1 kxx 2 (2 k) x 1.g( x) 在2,2 上是单一函数 , k 2 2或 k 2 2, 或 k6.2 22, 解得 k因此所求 k 的取值范围是 k2, 或 k 6.12.已知 f ( x)x 2 2x a, x1,.x(1) 当 a 4 时,求 f (x) 的最小值 ;1 (2) )当 a 时 ,求 f ( x) 的最小值 ;2(3).若 a 为正常数 ,求 f ( x) 的最小值 .答 案 ：解 析 :(1) 当 a4 时 , f ( x) x4 f ( x) 在 1,2上是减函数 ,在 2,上是增函数,2, 易知f ( x)minf (2) 6.x(2) 当 a1 时, f ( x) x1 2, 易知 f ( x) 在 1,上为增函数 , f (x)minf (1) 7 .2 a2x22,在 0, a 上是减函数 ,在 a ,是增函数 .(3) 函数 f ( x) xx若a 1 ,即 a 1,则 f ( x) 在区间 1, 上先减后增 ,f ( x) min f ( a ) 2 a2;若a 1 ,即 0 a 1,则 f ( x) 在区间 1,是增函数 ,f ( x) min f (1) a 3.规律方法提炼1.作函数图像的一般步骤:(1) 求出函数的定义域 ;(2) 化简函数式 ;(3) 议论函数的性质 (如奇偶性 ,周期性 )以及图像上的特别点 ,线 (如渐近线 ,对称轴等 ). (4) 利用基本函数的图像画出所给函数的图像.2.函数的图像和分析式是函数关系的主要表现形式 ,它们的本质是同样的 ,在解题时常常要相互转变 .在解决函 数问题 , 尤 其是 较为繁琐 的 ( 如 分类 议论 , 求参数 的范围 等 ) 问题时 要注意 充足发 挥图 像的直 观作 用 .SixE2yXPq53.证明函数图像的对称性或利用图像的对称性确立函数分析式时 ,只要取图像上随意一点来达成 .4.函数图像的很多问题简单与分析几何中的曲线方程知知趣互联系形成综合题 ,应惹起重视 .5.函数定义域的求法(1) 已知函数的分析式求定义域当函数分析式给出时 ,求函数的定义域 ,就是使函数的分析式中全部式子都存心义的自变量x 构成的不等式(组 )的解集 ;当函数是由详细问题给出时,则不单要考虑使分析式存心义,还应试虑它的本质意义 .6ewMyirQFL (2) 求抽象函数的定义域①已知函数 f ( x) 的定义域为 a,b , 则函数 f [ g(x)] 的定义域是指知足不等式 a g( x) b 的 x 的取值范围 .②已知函数 f [ g( x)] 的定义域是 a, b ,则函数 f (x) 的定义域是指 x a,b 时 g( x) 的值域 .6.函数分析式的求法f ( x)(1)凑配法 如已知f ( x1) x 2 x, 求.,(2) 换元法 ,如已知 f (2x 1) 2x23x 1, 求 f (x) . (3) 待定系数法 ,如已知 f ( x) 是一次函数 ,且 f [ f (x)] 4x 1 ,求 f ( x) . (4) 结构法 ,如已知 f (x) 3 f (x) 3x 1,求 f (x) .(5) 利用函数的性质求分析式 ,如已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数 ,且当 x0 时 , f ( x) x 2 2x, 求 f (x) .7.函数值域的求法 x 2(1) 配方法 ,如 y3x 1.(2) 分别常数法 ,如 y3x 2.x 1(3) 换元法 ,如 y x x1 x 1 .(4) 鉴别式法 ,如 yx .x 21(5) 不等式法 ,如 yx1 ( x 1).x 1(6) 利用函数的性质 (单一性 ,j 奇偶性 ,有界性 ),如 ysin x 1, 利用 sin x1,1 .x 3sin x 2(7) 导数法 ,如 y12x 8, x 3,3 .8.奇函数 ,偶函数的性质①②③④(1) 奇函数①图像对于原点对称 ;②在对于原点对称的区间上的单一性同样;③若在 x 0 处有定义 ,则 f (0) 0.(2) 偶函数①图像对于 y 轴对称 ;②在对于原点对称的区间上的单一性相反 ;③f ( x) f ( x) f ( x ).9.一些常用结论(1) 函数 ycxd的定义域为 x x b ,值域为 y y c ,图像对于点 b , c对称 . ax b a a a a(2) 对于函数 y f ( x) ,若 f (a x) f ( a x) 恒建立 ,则函数 y f ( x) 的图像对于直线 x a 对称 .(3) 若 f (a x) f ( x)(a 0), 则 f ( x 2a) f (x); 若 f ( x a) 10), 则 f ( x 2a) f ( x) .(a f ( x)。
高考数学(理科)二轮复习【专题2】函数、基本初等函数的图象与性质(含答案)
第1讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读(1)高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一识图，二用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一 函数的性质及应用例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝________. 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f (3)和f (－32)的值．答案 (1)(－1,3) (2)－14解析 (1)∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减， 则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. (2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t ) ＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. 思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·重庆改编)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝________.(2)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________________________________________________________________________． 答案 (1)3 (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 (1)lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. (2)易知f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知， f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0， 令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2<0，g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23.热点二 函数的图象例2 (1)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是________．(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．(2)考虑函数f (x )的单调性． 答案 (1)③ (2)b >a >c解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，其图象可由y ＝10ln|x |x 的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，y ＝10ln|x |x 为奇函数，图象关于原点对称，所以，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)成中心对称．所以①④不可能是；又x >0时，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1>0，所以②不可能是，图象③可能是．(2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f (－12)＝f (52)，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)(2013·课标全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a的取值范围是________．(2)形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg |x |图象的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 (1)[－2,0] (2)4解析 (1)函数y ＝|f (x )|的图象如图．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立． 比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，所以a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0. (2)由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1)，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．热点三 基本初等函数的图象及性质例3 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是________．①α>β；②α＋β>0；③α<β；④α2>β2.思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性．答案 (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)④解析 (1)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )． 方法二 对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0.(2)设f (x )＝x sin x ，x ∈[－π2，π2]，∴y ′＝x cos x ＋sin x ＝cos x (x ＋tan x )， 当x ∈[－π2，0]时，y ′<0，∴f (x )为减函数，当x ∈[0，π2]时，y ′>0，∴f (x )为增函数，且函数f (x )为偶函数，又αsin α－βsin β>0， ∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．(1)设15<(15)b <(15)a <1，那么a a ，b a ，a b 的大小关系式是________．(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 (1)a b <a a <b a (2)0解析 (1)因为指数函数y ＝(15)x 在(－∞，＋∞)上是递减函数，所以由15<(15)b <(15)a <1，得0<a <b <1，所以0<ab<1.所以y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝(a b )x 在(－∞，＋∞)上都是递减函数，从而a b <a a ，(ab )a <1得b a >a a ，故a b <a a <b a .(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a . (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较． 6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．真题感悟1．(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案516解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316.∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12. 又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎫416＝12－316＝516.2．(2014·福建改编)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是________．答案 ②解析 由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.图象①中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；图象②中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；图象③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；图象④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故图象②正确． 押题精练1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为________．答案 ①解析 据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e－ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x (0<x ≤1)，eln x－⎝⎛⎫x －1x ＝1x(x >1)，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．答案 (4，＋∞)解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )的最小值为________． 答案 －1解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )，－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )的最小值为－1.4．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________． 答案 ①②④解析 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确； 根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，②正确； 根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确； 由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.(推荐时间：40分钟)1．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 答案 －9解析 令g (x )＝f (x )－1＝x 3cos x ，∵g (－x )＝(－x )3cos(－x )＝－x 3cos x ＝－g (x )， ∴g (x )为定义在R 上的奇函数．又∵f (a )＝11， ∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10. 又g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.2．(2014·浙江改编)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是________．答案 ④解析 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，图象①不正确；②由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故②错；图象③中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故③错．图象④是正确的．3．(2014·朝阳模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值为________． 答案 －lg 2解析 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )． 又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )， 所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )． 所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 4．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 答案 －1解析 因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则f (x －2)>0的解集为________．答案 {x |x <0或x >4}解析 由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0，即f (|x －2|)>0，f (|x －2|)＝2|x －2|－4>0， |x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4.∴f (x －2)>0的解集为{x |x <0或x >4}．6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，cos πx ，x <0的图象上关于y 轴对称的点共有________对． 答案 3解析 因为y ＝cos πx 是偶函数，图象关于y 轴对称．所以，本题可转化成求函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 图象的交点个数的问题．作函数图象如图，可知它们有三个交点，即函数f (x )图象上关于y 轴对称的点有3对．8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，2解析 由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在[0，＋∞)上递增．∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13e x (x ≥2)，f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝________. 答案 e解析 f (ln 3)＝f (ln 3＋1)＝13eln 3＋1＝e ，故填e. 10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 {a |a ≤2}解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥a ，－x (x －a )，x <a ，由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0知，函数y ＝f (x )在[2，＋∞)单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤2.11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43， 所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．① 又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________．答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析 由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)， f (7)＝f (4＋3)＝f (3)，f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)． 又f (x )在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论： ①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2 ＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x 2＝1，③正确． 14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________．①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln 5－x 5＋x； ③f (x )＝tan x 2；④f (x )＝4x 3＋x . 答案 ②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x 2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x 2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。
高中数学函数的图象与性质考试题(含答案解析)
函数的图象与性质试题课程名称高考数学二轮复习模拟考试教研室___________________ 高三数学组_________________复习时间年月日时分至适用专业班级成绩开卷A卷闭卷_±B卷班级_______________________ 姓名______________________ 学号___________________ 考生注童：舞弊万莫償，那祥要退学，自爱当守诺，最怕錯上第，若真不及格，努力下次过。
答案耳在答题娥上，耳在试题妖上无效。
一、选择题一、选择题1. （2017-高考山东卷）设函数y=\/4二x2的定义域为A,函数y=\n（\~x）的定义域为b则AHB=（）A・(1, 2) B. (1, 2C・(一2, 1) D. -2, 1)[log4 工.工＞0 •2・（2017-沈阳模拟）已知函数f（x）= \则师4））的值为（）A. —£B. —99D.3. （2017-湖南东部六校联考）函数y=\M（）A・是偶函数，在区间0）上单调递增B.是偶函数，在区间（一8, 0）上单调递减C.是奇函数，在区间(0, +8)上单调递增 D ・是奇函数，在区间(0, +8)上单调递减5. (2017-西安模拟)对于函数y=f(x),部分x 与y 的对应关系如下表:上，则 Xl+X2~\ ----- X2 017 = ( ) A. 7 554B. 7 540C. 7 561D. 7 5646. 已知/(x)是定义在R 上的奇函数，且在[0, +8)上单调递增，若/(lgx)<0, 则x 的取值范围是() A. (0, 1) B ・(1, 10) C. (1, +8)D. (10, +8)7. (2016-福州质检)已知偶函数/⑴满足：当xi, x 2e(0, +8)时,(x!-x2)[/(xi) -Ax2)]>0 恒成立.设 “=/(一4), b=/(l), c=/(3),则 d, h, c 的大小关系为( ) A. a<b<c B ・ h<a<c C. b<c<aD. c<b<a8. 函数/W 的定义域为R.若/(x+2)为偶函数，且血)=1,则/⑻+/(9)=( )A. —2B. —1C. 0试 题 共页 第页.V1 2 3 4 5 6 7 8 9 y375961824D. 1数列｛忌｝满足：xi = 1,且对于任B 点3,亦1)都在函数y=f(x)的图象9. （2017-高考山东卷）设/⑴=心,0<x<l, 1 U H）,Q.若何％+】）'©=（）A. 2 C. 6B. 4 D. 810. （2017•山西四校联考）已知函数/W满足：①定义域为R；®VxeR,都有/U+2）=/U）；③当A-G［-1, 1］时，/W=—Lrl+1.则方程/W=*log2lxl在区间［一3, 5］内解的个数是（）A. 5 C. 7B. 6 D. 811.（2017.天津模拟）已知函数爪）的图象如图所示，则/⑴的解析式可能是（）A. x2cos xC. xsin x12・已知定义在R上的奇函数几兀）满足/（A—4）=-/«,且在区间［0, 2］上是增函数，贝|J（）A.X-25)<All)</(80)B./(80)</(ll)</(-25)C.几11)勺(80)勺(一25)D・人一25)彳80)今(11)二、填空题13. (2017-高考全国卷II)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当兀丘(一8, 0)时,X A)=2A3+A2,则f(2)= _____________ ・试题共页第页14.若函数f(x) = 2x+a^x为奇函数，则实数4= ____________ ・215・已知函数几丫)=苑丁+sin卅则人一2 017)+几一2 016)+用))土A2 016)+/(2 017)= ________ .16.已知定义在R上的函数/U)满足：①函数y=f(x-V)的图象关于点(1, 0)对称；②VxeR,石一"=石+寸：③当炸(一扌，一弓时，_/W = log2( — 3卄1).则/(2 017)= _______ ・（-log., T>0,且何一厶则曲「） = （）B.-扌5C・-42.（2017-高考北京卷）已知函数妙=3'—（分，则金）（）A. 是奇函数, 且在R上是增函数B. 是偶函数, 且在R上是增函数C.D.3.4.A.C.是奇函数,是偶函数,且在R上是减函数且在R上是减函数函数劝2站的图象大致是（函数y=kl（l—x）在区间4上是增函数，那么区间4是（）B •卜 I](―°°,0)[0, +oo) D.伶 +8)A. — log377D・_4函数/(x)的上确界.则函数用・)=是奇函数，则实数。
高考数学_三角函数的图像和性质问题(解析版)
[高考地位]近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查,因为函数的性质是研究函数的一个重要内容,是学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决生产实际问题的工具,因此三角函数的性质是高考的重点和难点。
要充分运用数形结合的思想,把图象与性质结合起来,同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法。
在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中档题.[方法点评]类型一 求三角函数的单调区间使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步 先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意参数,A ω的正负；第二步 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数,且在同一单调区间； 第三步 运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.例1 函数cos(2)4y x π=-的单调递增区间是〔 A ．[k π＋8π,k π＋85π] B ．[k π－83π,k π＋8π]C ．[2k π＋8π,2k π＋85π]D ．[2k π－83π,2k π＋8π]〔以上k ∈Z[答案]B.考点：三角函数单调性. [点评]本题解题的关键是将24x π-作为一个整体,利用余弦函数的图像将函数cos(2)4y x π=-的单调递增区间转化为24x πθ=-在区间[]2,2k k πππ-+上递减的.[变式演练1]已知函数),0)(62sin()(>+=ωπωx x f 直线21,x x x x ==是)(x f y =图像的任意两条对称轴,且21x x -的最小值为2π．求函数)(x f 的单调增区间； [答案]Z k k k ∈++-],6,3[ππππ.[解析]试题分析：根据两条对称轴之间的最小距离求周期,根据周期求ω,根据公式求此函数的单调递增区间. 试题解析：由题意得,π=T 则1,()sin(2).6f x x πω=∴=+由222,262k x k πππππ-+≤+≤+解得.,63Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ故)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],6,3[ππππ.考点：1．()ϕω+=x A y sin 的单调性；[变式演练2]已知函数()sin()+(00 )2f x A x B A πωϕωϕ=+>><，，的一系列对应值如下表：x6π-3π 56π 43π 116π73π 176πy2-42-4〔1根据表格提供的数据求函数()f x 的解析式； 〔2求函数()f x 的单调递增区间和对称中心； [答案]〔1()3sin 13f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭〔252 2()66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，+ 1(3k k ππ∈Z)（，）. 〔2当22()232k x k k πππππ-≤-≤+∈Z ,即52 ()266x k k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦∈Z ，时,函数()f x 单调递增．令=(3x k k ππ-∈Z),得=+(3x k k ππ∈Z),所以函数()f x 的对称中心为+ 1(3k k ππ∈Z)（，）． 考点：1．三角函数解析式及基本性质；2．数形结合法类型二 由sin()y A x ωϕ=+的图象求其函数式使用情景：一般函数sin()y A x ωϕ=+求其函数式解题模板：第一步 观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与x 轴交点坐标等；第二步 利用特殊点代入函数解析式计算得出参数,,A ωϕ中一个或两个或三个； 第三步 要从图象的升降情况找准第一个零点的位置,并进一步地确定参数； 第四步 得出结论.例2 已知函数sin()y A x ωϕ=+),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的图象如图所示,则该函数的解析式是〔〔A )48sin(4π-π-=x y 〔B )48sin(4π-π=x y 〔C )48sin(4π+π=x y 〔D )48sin(4π+π-=x y[答案]D考点：()ϕω+=x A y sin 的图像[点评]本题的解题步骤是：首先根据已知图像与x 轴的交点坐标可得其周期为T ,进而可得ω的大小；然后观察图像知其振幅A 的大小；最后将图像与x 轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到φ的大小. [变式演练3]已知函数()()sin f x A x ωϕ=+〔其中0,0,2A πωϕ>><的部分图象如图所示,则()f x 的解析式为〔 A ．()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭[答案]B [解析]考点：由)sin(ϕω+=x A y 的部分图像确定解析式。
高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析
高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在数学的众多知识点中，函数的性质与图像变换一直是重点和难点。
在高考冲刺阶段，对这部分内容进行全面、深入的复习和理解，将有助于我们在考试中取得更好的成绩。
一、函数的基本性质1、单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，函数值随自变量的增大而增大或减小的性质。
判断函数单调性的方法通常有定义法、导数法等。
定义法：设函数$f(x)＄的定义域为$I$，对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，＄x_2$，当$x_1 ＜ x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就说函数$f(x)＄在区间$D$上是增函数（或减函数）。
导数法：若函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内可导，当$f'（x) ＞0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递增；当$f'（x) ＜ 0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递减。
2、奇偶性奇偶性是函数的另一个重要性质。
若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为偶函数；若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为奇函数。
判断函数奇偶性的一般步骤为：首先确定函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；如果对称，再判断$f(x)＄与$f(x)＄的关系。
3、周期性对于函数$f(x)＄，如果存在一个不为零的常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，＄f(x ＋ T) ＝ f(x)＄都成立，那么就把函数$y＝ f(x)＄叫做周期函数，周期为$T$。
常见的周期函数如正弦函数、余弦函数等。
4、对称性函数的对称性包括轴对称和中心对称。
三次函数图像与性质(解析版)
专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
专题02 函数的概念与基本初等函数(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(通用)
专题02函数的概念与基本初等函数I 考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：已知奇偶性求参数2023年全国Ⅱ卷2023年全国乙卷（理）2024年上海卷2022年全国乙卷（文）2023年全国甲卷（理）从近三年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查．考点2：函数图像的识别2022年天津卷2023年天津卷2024年全国甲卷（理）2024年全国Ⅰ卷2022年全国乙卷（文）2022年全国甲卷（理）考点3：函数模型及应用2022年北京卷2024年北京卷2023年全国Ⅰ卷考点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性2023年全国乙卷（理）2022年北京卷2023年北京卷2024年全国Ⅰ卷2024年天津卷2023年全国Ⅰ卷考点5：分段函数问题2022年浙江卷2024年上海夏季考点6：函数的定义域、值域、最值问题2022年北京卷2022年北京卷考点7：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用2023年全国Ⅰ卷2022年全国I卷2024年全国Ⅰ卷2022年全国II卷考点8：指对幂运算2022年天津卷2022年浙江卷2024年全国甲卷（理）2023年北京卷考点1：已知奇偶性求参数1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （）．A ．1-B ．0C ．12D ．1【答案】B【解析】因为()f x 为偶函数，则1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+，，解得0a =，当0a =时，()21ln21x x x f x -=+，()()21210x x -+>，解得12x >或12x <-，则其定义域为12x x ⎧⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭，关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭-，故此时()f x 为偶函数.故选：B.2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选：D.3．（2024年上海夏季高考数学真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．【答案】0【解析】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x -+=即()330x a x a ++-+=，故0a =，故答案为：0.4．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b =．【答案】12-；ln 2．【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x+≠-1x ∴≠且11x a≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=-，解得12a =-，由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ．[方法二]：函数的奇偶性求参111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+---1()1ax a f x lnbx++-=++ 函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=-1222241,22b ln b ln a b ln ln -==-⇒=∴=-=[方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211xf x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意．故答案为：12-；ln 2．5．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．【答案】2【解析】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭，则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++，所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-==，又定义域为R ，故()f x 为偶函数，所以2a =.故答案为：2.考点2：函数图像的识别6．（2022年新高考天津数学高考真题）函数()21x f x x-=的图像为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数()21x f x x-=的定义域为{}0x x ≠，且()()()2211x x f x f x xx----==-=--，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；又当0x <时，()210x f x x -=≤，C 选项错误；当1x >时，()22111x x f x x xx x--===-函数单调递增，故B 选项错误；故选：D.7．（2023年天津高考数学真题）已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．25e 5e 2x xx --+B ．25sin 1x x +C ．25e 5e 2x xx -++D ．25cos 1x x +【答案】D【解析】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且(2)(2)0f f -=<，由225sin()5sin ()11x xx x -=--++且定义域为R ，即B 中函数为奇函数，排除；当0x >时25(e e )02x x x -->+、25(e e )02x x x -+>+，即A 、C 中(0,)+∞上函数值为正，排除；故选：D8．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.9．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =，函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C10．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x x y x =+D ．22sin 1x y x =+【答案】A【解析】设()321x x f xx -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++，故排除C;设()22sin 1xg x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D.故选：A.11．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.考点3：函数的实际应用12．（2022年新高考北京数学高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】当220T =，1026P =时，lg 3P >，此时二氧化碳处于固态，故A 错误.当270T =，128P =时，2lg 3P <<，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.当300T =，9987P =时，lg P 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C 错误.当360T =，729P =时，因2lg 3P <<,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确.故选：D13．（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数1ln S d N-=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（）A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N =D ．3221N N =【答案】D 【解析】由题意得12112.1, 3.15ln ln S S N N --==，则122.1ln 3.15ln N N =，即122ln 3ln N N =，所以3221N N =.故选：D.14．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．A ．12p p ≥B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p ≤【答案】ACD【解析】由题意可知：[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈=，对于选项A ：可得1212100220lg 20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为12p p L L ≥，则121220lg 0p p p L L p =-⨯≥，即12lg 0pp ≥，所以121p p ≥且12,0p p >，可得12p p ≥，故A 正确；对于选项B ：可得2332200320lg20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为2324010p p p L L L -=-≥，则2320lg10p p ⨯≥，即231lg 2p p ≥，所以2310p p ≥且23,0p p >，可得2310p ≥，当且仅当250p L =时，等号成立，故B 错误；对于选项C ：因为33020lg 40p p L p =⨯=，即30lg 2pp =，可得3100p p =，即30100p p =，故C 正确；对于选项D ：由选项A 可知：121220lg p p p L L p =-⨯，且12905040p p L L ≤-=-，则1220lg 40p p ⨯≤，即12lg2p p ≤，可得12100pp ≤，且12,0p p >，所以12100p p ≤，故D 正确；故选：ACD.考点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是.【答案】512⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】由函数的解析式可得()()()ln 1ln 10xx f x a a a a '=+++≥在区间()0,∞+上恒成立，则()()1ln 1ln xxa a a a ++≥-，即()1ln ln 1xa a a a +⎛⎫≥-⎪+⎝⎭在区间()0,∞+上恒成立，故()01ln 1ln 1a a a a +⎛⎫=≥- ⎪+⎝⎭，而()11,2a +∈，故()ln 10a +>，故()ln 1ln 01a a a ⎧+≥-⎨<<⎩即()1101a a a ⎧+≥⎨<<⎩，故5112a ≤<，结合题意可得实数a 的取值范围是512⎫-⎪⎪⎣⎭.故答案为：512⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭.16．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=【答案】C【解析】()()1121112121212x x x x xf x f x --+=+=+=++++，故A 错误，C 正确；()()11212121121212122121x x x x x x x xf x f x ----=-=-==-++++++，不是常数，故BD 错误；故选：C ．17．（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．()ln f x x =-B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=【答案】C【解析】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为1112213332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C.18．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞【答案】B【解析】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤，即a 的范围是[1,0]-.故选：B.19．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的是（）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x x y +=【答案】B【解析】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141e ϕ+=，()sin141eϕ---=，则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误.故选：B.20．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】D【解析】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选：D考点5：分段函数问题21．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数()22,1,11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若当[,]x a b ∈时，1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是．【答案】37283333+【解析】由已知2117(2224f ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，77437()144728f =+-=，所以137()228f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当1x ≤时，由1()3f x ≤≤可得2123x ≤-+≤，所以11x -≤≤，当1x >时，由1()3f x ≤≤可得1113x x≤+-≤，所以123x <≤+1()3f x ≤≤等价于123x -≤≤[,][1,23]a b ⊆-，所以b a -的最大值为33故答案为：3728，3322．（2024年上海夏季高考数学真题）已知(),0,1,0x x f x x >=≤⎪⎩则()3f =．3【解析】因为()0,1,0x x f x x >=≤⎪⎩故()33f =3考点6：函数的定义域、值域、最值问题23．（2022年新高考北京数学高考真题）函数1()1f x x x=-的定义域是．【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】因为()11f x x x =-100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃24．（2022年新高考北京数学高考真题）设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为；a 的最大值为．【答案】0（答案不唯一）1【解析】若0a =时，21,0(){(2),0x f x x x <=-≥，∴min ()0f x =；若a<0时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，故()f x 没有最小值，不符合题目要求；若0a >时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递减，2()()1f x f a a >=-+，当x a >时，min 20(02)(){(2)(2)a f x a a <<=-≥∴210a -+≥或2212a a -+≥-（），解得01a <≤，综上可得01a ≤≤；故答案为：0（答案不唯一），1考点7：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用25．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点【答案】ABC 【解析】方法一：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，不妨令()0f x =，显然符合题设条件，此时()f x 无极值，故D 错误.方法二：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，当220x y ≠时，对22()()()f xy y f x x f y =+两边同时除以22x y ，得到2222()()()f xy f x f y x y x y=+，故可以设2()ln (0)f x x x x =≠，则2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，当0x >肘，2()ln f x x x =，则()212ln (2ln 1)x x x x xf x x =+⋅=+'，令()0f x '<，得120e x -<<；令()0f x ¢>，得12e x ->；故()f x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在12,0e -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在12,e -⎛⎫ ⎪⎝∞⎭-上单调递减，显然，此时0x =是()f x 的极大值，故D 错误.故选：ABC .26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确；对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222fx f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．27．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <【答案】B【解析】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.28．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【解析】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=，所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x xπ=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；29．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D考点8：指对幂运算30．（2022年新高考天津数学高考真题）化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】B【解析】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=，故选：B31．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．53【答案】C【解析】因为25a=，821log 3log 33b ==，即323b=，所以()()22323232452544392a aa b b b -====．故选：C.32．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知1a >且8115log log 42a a -=-，则=a ．【答案】64【解析】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.33．（2023年北京高考数学真题）已知函数2()4log x f x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【答案】1【解析】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为：1。
新高考数学导数专题讲义第02讲 函数图象(学生版+解析版)
第2讲 函数图象1．已知函数32()f x ax bx c =++，其导数()f x '的图象如图所示，则函数()f x 的极大值是( )A ．a b c ++B ．84a b c ++C ．32a b +D ．c2．设函数()y f x =可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x ='可能为( )A ．B ．C ．D ．3．函数sin 21cos xy x=-的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．4．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．()2||xf x ln x =B ．2()||f x ln x x =-C ．1()||f x ln x x=+ D ．||()||xln x f x x =5．函数2||()1xln x f x x =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．函数22,01()(),01xlnxx x f x xln x x x ⎧>⎪⎪+=⎨-⎪<⎪+⎩的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．7．函数||()||xln x f x x =的大致图象是( ) A ． B ．C ．D ．8．函数1()()cos (f x x x x xππ=--且0)x ≠的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．9．已知21()sin()42f x x x π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是( ) A ． B ．C ．D ．10．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④11．已知R 上的可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式(2)()0x f x '->的解集为( )A ．(-∞，2)(1-⋃，)+∞B ．(-∞，2)(1-⋃，2)C ．(-∞，1)(2⋃，)+∞D ．(1-，1)(2⋃，)+∞12．函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象如图所示，则2212x x +等于( )A ．89B ．109C ．169D ．28913．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则12(x x += )A ．23B ．109 C ．89D ．28914．函数2()()ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0a <，0b >，0c <B ．0a >，0b <，0c <C ．0a >，0b <，0c >D ．0a <，0b >，0c >15．函数2()()ax bf x x c +=+的图象大致如图所示，则下列结论正确的是()A ．0a >，0b >，0c >B ．0a <，0b >，0c <C ．0a <，0b <，0c >D．0a>，0b>，0c<16．函数32()f x ax bx cx d=+++的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．0a>，0b<，0c>，0d>B．0a>，0b<，0c<，0d> C．0a<，0b<，0c>，0d>D．0a>，0b>，0c>，0d<17．函数22||(2)sinxxy x ex=-在[2-，2]的图象大致为()A．B．C．D．18．函数2||=-+在区间[2-，2]上的图象大致为()y x e2xA．B．C．D ．19．函数2||22x y x =-在[2-，2]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．20．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．2()||f x ln x x =-B ．()||||f x ln x x =-C ．2()2||f x ln x x =-D ．()2||||f x ln x x =- 21．已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．1()||f x ln x x =-B ．1()||f x ln x x =+C ．1()||f x ln x x=- D ．1()||||f x ln x x =+22．函数()f x 的图象如图所示，则它的解析式可能是( )A ．21()2x x f x -=B ．()2(||1)x f x x =-C ．()||||f x ln x =D ．()1x f x xe =-23．已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．||()xln x f x e = B ．()||x f x e ln x = C ．||()ln x f x x=D ．()(1)||f x x ln x =-24．已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是( )A ．2()||xf x ln x =B ．2||()||x f x ln x =C ．21()1f x x =- D ．1()1||||f x x x =-25．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．||()cos x f x e x =B ．()||cos f x ln x x =C ．||()cos x f x e x =+D ．()||cos f x ln x x =+26．已知函数()f x 的局部图象如图所示，则()f x 的解析式可以是( )A ．1||()sin2x f x ex π= B ．1||()cos2x f x ex π= C ．()||sin 2f x ln x x π=D ．()||cos2f xln xxπ=第2讲函数图象1．已知函数32=++，其导数()()f x ax bx cf x的极大值是()f x'的图象如图所示，则函数()A．a b ca b+D．ca b c++C．32++B．84【解析】解：由导函数的图象知，f x在(1,2)递增；在(2,)+∞上递减()所以当2x=时取得极大值，极大值为：f（2）84=++a b c则函数()f x的极大值是84++a b c故选：B．2．设函数()y f x=的图象如图所示，则导函数()='可能为() y f xy f x=可导，()A．B．C．D．【解析】解：根据()x x≠，y f x=的图象可知其定义域为{|0}故其导函数的定义域也为{|0}x x≠，又从原函数()=的单调性是：y f xy f x=的图象可知，函数()函数()y f x =在(,0)-∞，(0,)a 上是增函数，在(,)a b 上是减函数，在(,)b +∞是增函数，即()y f x =是先增后减再增，得出导函数是先正后负再正，根据选项中的函数()f x 的单调性知选D ．故选：D ．3．函数sin 21cos x y x=-的部分图象大致为( ) A ．B ．C ．D ．【解析】解：函数sin 21cos x y x =-， 可知函数是奇函数，排除选项B ， 当3x π=时，2()1312f π==-A ， x π=时，()0f π=，排除D ．故选：C ．4．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．()2||x f x ln x =B ．2()||f x ln x x =-C ．1()||f x ln x x=+ D ．||()||xln x f x x = 【解析】解：函数图象关于原点对称，函数为奇函数，排除B ，C ，又f （1）0=，则()2||x f x ln x =无意义，排除A ， 故选：D ．5．函数2||()1xln x f x x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ． 【解析】解：因为2||()()()1xln x f x f x x ---==--+，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ， 因为f （1）0=，01x <<时，()0f x <，所以排除B ．故选：A ．6．函数22,01()(),01xlnx x x f x xln x x x ⎧>⎪⎪+=⎨-⎪<⎪+⎩的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【解析】解：若0x >，则0x -<， 则2()()1xlnx f x f x x --==-+， 若0x <，则0x ->， 则2()()()1xln x f x f x x ---==-+， 综上()()f x f x -=-，即()f x 是奇函数，图象关于圆的对称，排除C ，D ，当0x >，且0x →时，()0f x <，排除B ，故选：A ．7．函数||()||xln x f x x =的大致图象是( ) A ． B ．C ．D ． 【解析】解：|()|||()()||||x ln x xln x f x f x x x ----===--，()f x ∴是奇函数，图象关于原点对称，故A ，C 错误；又当1x >时，||0ln x lnx =>，()0f x ∴>，故D 错误，故选：B ．8．函数1()()cos (f x x x x x ππ=--且0)x ≠的图象可能为( )A ．B ．C ．D ． 【解析】解：11()()cos()()cos ()f x x x x x f x x x -=-+-=--=-，∴函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 的图象关于原点对称，故排除A ，B ，当x π=时，11()()cos 0f ππππππ=-=-<，故排除C ，故选：D ．9．已知21()sin()42f x x x π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是()A ．B ．C ．D ．【解析】解：由2211()sin()cos 424f x x x x x π=++=+， 1()sin 2f x x x ∴'=-，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ． 又1()cos 2f x x ''=-，当33x ππ-<<时，1cos 2x >，()0f x ∴''<， 故函数()y f x ='在区间(3π-，)3π上单调递减，故排除C ． 故选：A ． 10．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④【解析】解：根据()0f x '>时，()f x 递增；()0f x '<时，()f x 递减可得：①中函数的图象从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；②中函数的图象也是从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；所以①②可能正确．而③中函数的图象从左向右先减后增，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0，大于0；④中函数的图象从左向右先增后减后，对应的导函数也是小于0，大于0，再小于0，大于0；所以③④可能错误．故选：B ．11．已知R 上的可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式(2)()0x f x '->的解集为( )A ．(-∞，2)(1-⋃，)+∞B ．(-∞，2)(1-⋃，2)C ．(-∞，1)(2⋃，)+∞D ．(1-，1)(2⋃，)+∞【解析】解：由函数()f x 的图象可得，当(,1)x ∈-∞-，(1,)+∞时，()0f x '>，当(1,1)x ∈-时，()0f x '<． 由()0(2)()020f x x f x x '>⎧-'>⇔⎨->⎩①或()020f x x '<⎧⎨-<⎩② 解①得，2x >，解②得，11x -<<，综上，不等式(2)()0x f x -'>的解集为(1-，1)(2⋃，)+∞， 故选：D ．12．函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象如图所示，则2212x x +等于( )A ．89B ．109C ．169D ．289【解析】解：32()f x x bx cx d =+++，由图象知，10b c d -+-+=，0000d +++=，8420b c d +++=， 0d ∴=，1b =-，2c =-22()32322f x x bx c x x ∴'=++=--．由题意有1x 和2x 是函数()f x 的极值点，故有1x 和2x 是()0f x '=的根，1223x x ∴+=，1223x x =-． 则2221212124416()2939x x x x x x +=+-=+=， 故选：C ．13．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则12(x x += )A ．23B ．109C ．89D ．289【解析】解：32()f x x bx cx d =+++，由图象知，10b c d -+-+=，0000d +++=， 8420b c d +++=，0d ∴=，1b =-，2c =-22()32322f x x bx c x x ∴'=++=--． 由题意有1x 和2x 是函数()f x 的极值，故有1x 和2x 是()0f x '=的根，1223x x ∴+=， 故选：A ．14．函数2()()ax b f x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0a <，0b >，0c <B ．0a >，0b <，0c <C ．0a >，0b <，0c >D ．0a <，0b >，0c >【解析】解：依题意，函数()f x 的定义域为{|}x x c ≠-，从函数图象上看，0c ->，故0c <， 当0x =时，()0f x <，所以20b c<，所以0b <， 根据函数图象，当x →∞时，0ax b +>，故0a >，故选：B ．15．函数2()()ax b f x x c +=+的图象大致如图所示，则下列结论正确的是( )A ．0a >，0b >，0c >B ．0a <，0b >，0c <C ．0a <，0b <，0c >D ．0a >，0b >，0c < 【解析】解：函数2()()ax b f x x c +=+， x c ∴=-时，函数值不存在，结合函数图象得0c >，排除B 和D ； 当0x =时，(0)f b =，结合函数图象得0b >，排除C ． 故选：A ．16．函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a <，0b <，0c >，0d >D ．0a >，0b >，0c >，0d < 【解析】解：由图可知，(0)0f d =>， 32()f x ax bx cx d =+++，2()32f x ax bx c '∴=++， 从图象可知，()f x 先递增，后递减，再递增，且极大值点和极小值点均大于0， 其导函数的图象大致如下：0a ∴>，03ba ->，△2(2)430b ac =->，(0)0f '>，0a ∴>，0b <，0c >．故选：A ．17．函数22||(2)sin x x y x e x =-在[2-，2]的图象大致为() A ．B ．C ．D ．【解析】解：根据题意，函数22||(2)sin x x y x e x=-在[2-，2]中，必有0x ≠；又由222||2||()()[2()](2)()sin()sin x x x x f x x e x e f x x x ---=--=--=--，函数为奇函数，排除B ，f （1）12(2)1sin1sin1e e -=-=≈-，排除D ， f （2）224(22)2sin 2e =⨯-≈，排除C ； 故选：A ．18．函数2||2x y x e =-+在区间[2-，2]上的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：根据题意，函数2||()2x y f x x e ==-+，有f （2）280e =-+<，排除A ，又由(0)1f =，11()122f =-+>，f （1）21e =-+<，排除C 、D ，故选：B ．19．函数2||22x y x =-在[2-，2]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：函数2||22x y x =-在[2-，2]是偶函数，排除选项B 、D ， 当2x =时，f （e ）40=>，排除选项A ． 故选：C ．20．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．2()||f x ln x x =-B ．()||||f x ln x x =-C ．2()2||f x ln x x =-D ．()2||||f x ln x x =- 【解析】解：由图可知，函数()f x 为偶函数，于是只需考查0x >的情况即可， 且当0x >时，()f x 的极大值点小于1．选项A ，2()f x lnx x =-，1()2f x x x'∴=-，令()0f x '=，则x =，当x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当x ∈，)+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()f x ∴在(0,)+∞上的极大值点为1x =<，符合题意； 同理可得，选项B 中函数对应的极大值点为1x =， 选项C 中函数对应的极大值点为1x =，选项D 中函数对应的极大值点为21x =>，均不符合题意， 故选：A ．21．已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．1()||f x ln x x =-B ．1()||f x ln x x =+C ．1()||f x ln x x=- D ．1()||||f x ln x x =+【解析】解：选项A ，f （1）1=-与图象矛盾，故A 错误； 选项C ，1()10f e e=-<与图象矛盾，故C 错误；选项D ，(1)1f -=与图象矛盾，故D 错误． 故选：B ．22．函数()f x 的图象如图所示，则它的解析式可能是( )A ．21()2x x f x -=B ．()2(||1)x f x x =-C ．()||||f x ln x =D ．()1x f x xe =-【解析】解：由图象可知，函数的定义域为R ，故排除C ； 由f （1）0=可知，故排除D ； 当x →-∞时，()0f x →，故排除A ； 故选：B ．23．已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．||()x ln x f x e = B ．()||x f x e ln x = C ．||()ln x f x x=D ．()(1)||f x x ln x =-【解析】解：由图象可知，当x →+∞时，()0f x →，当x →-∞时，()f x →+∞ 对于A ：满足要求，对于B ：当x →+∞时，()||x f x e ln x =→+∞，不满足， 对于C ：当x →-∞时，()||0x f x e ln x =→，不满足， 对于D ：当x →-∞时，()(1)||f x x ln x =-→+∞，不满足， 故选：A ．24．已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是( )A ．2()||xf x ln x =B ．2||()||x f x ln x =C ．21()1f x x =- D ．1()1||||f x x x =-【解析】解：由函数的图象可知函数是偶函数，选项A 函数是奇函数不成立．0x =，函数没有意义，所以选项C 的函数不成立； 1x >时，11()11||||f x x x x x==--，函数是减函数，所以选项D 不成立；故选：B ．25．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．||()cos x f x e x =B ．()||cos f x ln x x =C ．||()cos x f x e x =+D ．()||cos f x ln x x =+【解析】解：由图可知()02f π>，故可排除A ，B ；对于||:()cos x C f x e x =+，当(0,1)x ∈时()0f x >，故可排除C ． 故选：D ．26．已知函数()f x 的局部图象如图所示，则()f x 的解析式可以是( )A ．1||()sin2x f x ex π= B ．1||()cos2x f x ex π= C ．()||sin2f x ln x x π= D ．()||cos2f x ln x x π=【解析】解：由图可知，函数()f x 为偶函数，可排除选项A 和C ； 对于选项B 和D ，都有f （1）0=， 当(0,1)x ∈时，1||()cos02x f x e x π=>，与函数图象不符；()||cos02f x ln x x π=<，与函数图象符合，所以选项B 错误． 故选：D ．。
高考数学微专题系列2-函数的图像
x
x 2
的图像经过平移生成，当a<0时向右平移-2a个单位，当a>0时向左平移2a个单位。 在平移的过程中必须保证函数 y | a |的图像始终在函数f(x)图像 的“下方” ，不难发现f(x)的图像的“左段”与函数 y | a |的图像的
a） 左支相切时极限状态，此时方程x2 -x+3= （ 与唯一解，由△=0 2 x
1 3 ，再由周期为2得 （- ， ） 4 4
1 3 2 k , 2 k 其所有单调递减区间为 4 4
， k Z ，故选D.
1 5 （ ， 0 ）和（ ， 0）得 方法点睛：此法简洁，要点是抓住相邻两个零点 4 4
2 - ） 2 ，先确定一个单调递减区间。若是填空题，则 周期为 （ 4 4 难度加大，选择题最好是用最值点检验。 5 1
1 1 解析：事实上由 f (2) 8 e2 >0，排除选项A，f ' ( ) 1 e 4 <0, 4
高考数学微专题系列
：函数的图像
新疆博湖县博湖中学
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本课件按《中学数学教学参考》2018年1～ 3期“2018年高考复习微专题创新设计--------思想方法与典型问题”稿件编制的PPT课件， 为方便一线教师教学，研究而作，版权归 于《中学数学教学参考》或作者本人。
一：专题知识网络
函数图像的定位
其中，若存在实数b，使得关于x的
方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是 m>3 .
(2)“一静一动”两个函数,以静制动
解析：本题考察分段函数及两个函数的交点个数问题，训 练数形结合，函数与方程的思想。作出函数f(x)“左段” 的图像，视为“静”，作出函数“右段”的图像，是以 （m,4m-m2)为顶点的抛物线的右半支，作为“动”。考虑 点（m,m)与（m,4m-m2)的位置关系的不确定性，如图，只 有第三种位置状态符合题意，从而有 4m-m2<m,解得m>3.
高考数学二轮复习 第一部分 专题一 第二讲 函数的图象与性质 第二讲 函数的图象与性质教案
第二讲函数的图象与性质[考情分析]1．函数的性质是本部分考查的热点，其中函数的奇偶性、单调性和值域(最值)问题依然是命题重点，多以选择、填空题形式出现；2.函数图象的识别是考查的热点，多与性质隐含结合命题，注意方法的选择与识别的技巧.1．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：由题意，令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin －2x 1－cos －x ＝－sin 2x 1－cos x＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x 1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (π2)＝sin π1－cos π2＝0， f (3π4)＝sin 3π21－cos 3π4＝－11＋22<0，所以排除A ；f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，排除D.故选C.答案：C2．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1x i＝( ) A ．0B ．mC ．2mD ．4m 解析：∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称， ∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，m i ＝1x i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，m i ＝1x i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.答案：B 3．(2016·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x 解析：函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D. 答案：D函数及其表示[方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[题组突破]1．(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >03x ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是( ) A.109B.19 C ．－19D ．－109 解析：由题意可得：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >03x ＋1，x ≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109.故选A.答案：A2．函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln x －1的定义域为( ) A ．[1,10]B ．[1,2)∩(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋9x ＋10≥0x －1>0x －1≠1，解得1<x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln x －1的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选D.答案：D3．(2017·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2e x －1，x <1x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2) 解析：因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2ex －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.答案：B[误区警示]分段函数易被误认为是多个函数，其实质是一个函数，其定义域为各段的并集，其最值是各段函数最值中的最大者与最小者，求值时要注意判断自变量的取值，否则要分类讨论．函数图象及应用[典例] (1)函数y ＝e cos x (－π≤x ≤π)的大致图象为( )解析：当x ＝0时，则y ＝ecos 0＝e ；当x ＝π时，则y ＝e cos π＝1e.可排除A ，B ，D ，选C.答案：C (2)函数f (x )＝ln(x －1x)的图象是( )解析：因为f (x )＝ln(x －1x )，所以x －1x ＝x ＋1x －1x >0，解得－1<x <0或x >1，所以函数的定义域为(－1,0)∪(1，＋∞)，可排除A ，D.因为函数u ＝x －1x在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，函数y ＝ln u 在(0，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f (x )在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，选B. 答案：B(3)已知三次函数f (x )＝2ax 3＋6ax 2＋bx 的导函数为f ′(x )，则函数f (x )与f ′(x )的图象可能是( )解析：因为f ′(x )＝6ax 2＋12ax ＋b ，则函数f ′(x )的图象的对称轴为x ＝－1，故可排除A ，D ；由选项C 的图形可知，当x >0时，f ′(x )>0，故函数f (x )＝2ax 3＋6ax 2＋bx 在(0，＋∞)上单调递增，但图象中函数f (x )在(0，＋∞)上不具有单调性，故排除C.选B. 答案：B(4)已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )解析：函数f (x －1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f (x )的图象；因为函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A ，C ，D ，选B.答案：B[类题通法]函数图象的识别与判断技巧方法1 特殊点法用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项．在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断．如本例中(1)．方法2 性质检验法已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破．如本例中(2)．方法3 导数法判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．如本例中(3)．方法4 图象变换法有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可顺利破解此类问题．如本例中(4)．[演练冲关]1．(2017·长沙模拟)函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( ) 解析：令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln |x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x－2x ，当x ∈(0，22)时，y ′＝1x－2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.选A.答案：A2．(2017·惠州模拟)函数f (x )＝(x －1x)cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )解析：函数f (x )＝(x －1x)cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝(π－1π)cos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D.答案：D函数的性质及应用[方法结论]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．3．记住几个周期性结论(1)若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )(a ＞0)，则f (x )为周期函数，且2a 是它的一个周期．(2)若函数f (x )满足f (x ＋a )＝1f x (a ＞0)，则f (x )为周期函数，且2a 是它的一个周期．[典例] (1)(2016·湖南六校联考)已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )>f (2)，则x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)解析：通解：不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ≥0lg x <2或⎩⎪⎨⎪⎧ lg x <0－lg x <2，解得1≤x <100或1100<x <1， 所以x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100.优解：由偶函数的定义可知，f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，故不等式f (lg x )>f (2)可化为|lg x |<2，即－2<lg x <2，解得1100<x <100，故选C. 答案：C(2)(2017·安徽六安一中测试)已知函数y ＝3－|x |3＋|x |的定义域为[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域为[0,1]，则满足条件的整数对(a ，b )共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个解析：函数y ＝3－|x |3＋|x |＝63＋|x |－1，易知函数是偶函数，x >0时是减函数，所以函数的图象如图所示，根据图象可知，函数y ＝3－|x |3＋|x |的定义域可能为[－3,0]，[－3,1]，[－3,2]，[－3,3]，[－2，3]，[－1,3]，[0,3]，共7种，所以满足条件的整数对(a ，b )共有7个．故选B.答案：B[类题通法]1．数学思想转化在函数性质的应用，主要是已知偶函数时注意f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．2．求解函数性质的综合问题时注意数形结合思想化抽象为直观．3．注意特殊值、特殊点法在性质中的应用．[演练冲关]1．(2017·甘肃会宁一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a x ＋3a ，x <1ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，12) B ．(－1，12) C ．(－∞，－1] D ．(0，12) 解析：通解：当x ≥1时，ln x ≥0，要使函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a x ＋3a ，x <1ln x ，x ≥1的值域为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >01－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a <12，故选A. 优解：取a ＝－1，则函数f (x )的值域为R ，所以a ＝－1满足题意，排除B 、D ；取a ＝－2，则函数f (x )的值域为(－∞，－1)∪[0，＋∞)，所以a ＝－2不满足题意，排除C ，故选A.答案：A2．已知函数f (x )＝2×4x－a 2x 的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x ＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12 D.14 解析：由题意得f (0)＝0，∴a ＝2.∵g (1)＝g (－1)，∴ln(e ＋1)－b ＝ln(1e ＋1)＋b ，∴b ＝12，∴log 2 12＝－1. 故选B.答案：B3．(2017·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f (52)<f (72) B ．f (72)<f (1)<f (52) C ．f (72)<f (52)<f (1) D ．f (52)<f (1)<f (72) 解析：因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又因为函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f (72)<f (3)<f (52)，即f (72)<f (1)<f (52)，故选B.答案：B新定义下的函数问题[方法结论]新定义函数问题主要包括两类：(1)概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；(2)性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力．[题组突破]1．对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数：(ⅰ)对任意的x∈[0,1]，恒有f(x)≥0；(ⅱ)当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，总有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．则下列3个函数中不是M函数的个数是( )①f(x)＝x2②f(x)＝x2＋1 ③f(x)＝2x－1A．0 B．1C．2 D．3解析：在[0,1]上，3个函数都满足f(x)≥0. 当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时：对于①，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(x1＋x2)2－(x21＋x22)＝2x1x2≥0，满足；对于②，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[(x1＋x2)2＋1]－[(x21＋1)＋(x22＋1)]＝2x1x2－1<0，不满足；对于③，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(212＋－1)－(21x－1＋22x－x x1)＝21x22x－21x－22x＋1＝(21x－1)(22x－1)≥0，满足．故选B.答案：B2．(2017·哈尔滨四校联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 21－x ，0≤x ≤1，x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝f {f [f …fn 个 (x )]}，那么f 2 016(2)的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，f 4(2)＝f (2)＝1，∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3，∴f 2 016(2)＝f 3×672(2)＝f 3(2)＝2，故选C.答案：C。
【高考数学大题精做】专题02 三角函数的图象问题(解析版)
【高考数学大题精做】第一篇 三角函数与解三角形专题02 三角函数的图象问题【典例1】【2020届浙江省宁波市高三上学期期末数学试题】已知函数()()()sin 0f x x ωϕϕπ=+<<图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）若()y f x =的图象过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且部分图象如图所示，求函数()f x 的解析式； （2）若函数()y f x =是偶函数，将()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，得到()y g x =的图象，求函数()222x y f g x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【思路引导】（1）由题意得2ω=，再由()102f =，进而可得解析式；（2）由()y f x =是偶函数，得2ϕπ=，从而()cos2f x x =，经过平移得()g x ，再表示出()222x y fg x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用余弦型函数即可得最值. 解析：由题意得，2T ππω==，所以2ω=，()()sin 2f x x ϕ=+.（1）由于()102f =，则1sin 2ϕ=，又0ϕπ<<， 则56πϕ=或6π=ϕ（舍去），故()5sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由于()()sin 2y f x x ϕ==+是偶函数，则()0sin 1f ϕ==±， 又0ϕπ<<，所以2ϕπ=，()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，将()cos2y f x x ==的图象向左平移6π个单位长度， 得到()cos 23x y g x π=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故()2222cos cos 223x y fg x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦131cos 2cos 221cos 222222x x x x x =++-=+-112sin 21226x x x π⎫⎛⎫=-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72666x πππ≤+≤，所以()()max 502f x f ==，()min 5112x f f π⎛⎫= ⎪⎭=-⎝【典例2】【2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试题】已知函数()222sin f x x x =+（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移12π个单位，再向下平移1个单位后得到函数()g x 的图象，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域．【思路引导】利用倍角公式降幂后，再由两角差的正弦公式化简．（1）由相位在正弦函数的增区间内求得x 的取值范围，可得函数()f x 的单调增区间；（2）由函数的伸缩和平移变换求得()g x 的解析式，结合x 的范围求得相位的范围，进一步求得函数()g x 的值域．【解析】()222sin f x x x =+21cos 2x x =+-122cos 212x x ⎫=-+⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （1）由222262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，解得63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈．∴函数()f x 的单调增区间为,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈； （2）将函数()f x 的图象向左平移12π个单位，得2sin 212sin 21126y x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 再向下平移1个单位后得到函数()2sin 2g x x =，由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴sin 22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()g x 的值域为2⎡⎤⎣⎦【典例3】【2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖北卷)】 某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 【典例4】【福建省莆田第一中2019-2020期中考试数学试题】 函数()()10,06f x Asin x A πωω⎛⎫=-+>> ⎪⎝⎭的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式和当[]0,x π∈时()f x 的单调减区间； (Ⅱ)()f x 的图象向右平行移动12π个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到()g x 的图象,用“五点法”作出()g x 在[]0,π内的大致图象.【思路引导】(Ⅰ) 由函数()()10,06f x Asin x A πωω⎛⎫=-+>> ⎪⎝⎭的最大值为3,可求得A 的值，由图象相邻两条对称轴之间的距离为2π可求得周期，从而确定ω的值，然后利用正弦函数的单调性解不式可得单调减区间，k 取特殊值即可得结果；(Ⅱ)利用函数图象的平移变换法则，可得到()g x 的解析式，列表、描点、作图即可得结果. 【解析】(Ⅰ)∵函数f (x )的最大值是3,∴A +1=3,即A =2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π,∴最小正周期T =π, ∴ω=2.所以f (x )=2sin(2x -6π)+1令2π+2kπ≤2x−6π≤32π+2kπ,k ∈Z, 即3π+kπ≤x≤56π+kπ,k ∈Z,∵x ∈[0,π],∴f (x )的单调减区间为[3π,56π].(Ⅱ)依题意得g (x )=f (x -12π)-1=2sin(2x -3π), 列表得：描点连线得g (x )在[0,π]内的大致图象.【典例5】【宁夏回族自治区银川市第二中学2019-2020学年高三上学期统练】函数f （x ）＝6cos 22xω﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形（1）求ω的值及函数f （x ）的表达式；（2）若f （x 0）=，且x 0∈（10233-，），求f （x 0+1）的值【思路引导】（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，根据题意求得BC 的长，进而求得三角函数的最小正周期，则ω可得．求得f （x ）的表达式，根据三角函数的性质求得函数f （x ）的值域．（2）由010233x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，，知 4πx 03π+∈（2π-，2π），由f （0x ）=，可求得即sin （043x ππ+）45=，利用两角和的正弦公式即可求得f （0x +1）． 【解析】（1）函数f （x ）＝6cos 22xω+﹣3＝3cosωx ＝（ωx 3π+），由于△ABC 为正三角形，所以三角形的高为BC ＝4．所以函数f （x ）的最小正周期为T ＝4×2＝8，所以ω4π=，故得到f （x ）＝43x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭．（2）由于若f （x 0）5=，所以0435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理得04435sin x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由于x 0∈（10233-，）所以04322x ππππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，，所以03435cos x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以f （x 0+1）＝000443434434x sin x cos cos x sin πππππππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦4355==⎭【典例6】【云南省玉溪市玉溪第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学】已知向量()2cos ,sin a x x =r ,()cos ,b x x =-r ,且()1f x a b =⋅-rr ．(1)求()f x 的单调递增区间；(2)先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移12π个单位,得到函数()y g x =的图象,求方程()1g x =在区间0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上所有根之和． 【思路引导】()1化函数()f x 为余弦型函数,再求它的单调增区间；()2由三角函数图象平移法则,得出()g x 的思路引导式,再求()1g x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦内的实数解即可．【解析】()1函数()22122223f x cos x cos x x cos x π⎛⎫=--=-=+⎪⎝⎭, 2223k x k ππππ-+≤+≤，k Z ∈,236k x k ππππ-+≤≤-+，k Z ∈； ()f x ∴的单调增区间为2,36k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈； ()2由题意,()224241233g x cos x cos x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 又()1g x =,得21cos 432x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得：24233x k πππ+=±,k Z ∈, 即212k x ππ=-或24k x ππ=-，k Z ∈, 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ,512x π∴=，或4x π=，故所有根之和为521243πππ+=．【典例7】【山东省临沂市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考】将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象. （1）若()f x 为偶函数，tan 2α>，求()f α的取值范围.（2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围. 【思路引导】（1）化简得到()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，得到()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据偶函数得到6π=ϕ，化简得到24()31tan f αα=-+，代入数据得到答案.（2）计算2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，根据单调性得到26202ππϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，计算得到答案.【解析】（1）1()4sin cos sin 2(1cos 2)2sin 21226g x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭又()f x 为偶函数，则2()62k k ππϕπ+=+∈Z ，∵02πϕ<≤，∴6π=ϕ ∴()()2222222cos sin 21tan ()2sin 212cos 21112cos sin 1tan x x x f x x x x x x π--⎛⎫=+-=-=-=- ⎪++⎝⎭ ∵tan 2α>，∴224411()331tan 125f αα=-<-=-++ 又24()331tan f αα=->-+，∴()f α的取值范围为113,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（2）∵7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭∵02πϕ<≤，∴72,666πππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，32,222πππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦∵()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，∴26202ππϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩∴,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【典例8】【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019-2020学年高三上学期一模】 将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象. （1）写出函数()f x 的解析式； （2）若对任意x ∈ ,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ()()210f x mf x --≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[]0,n π上恰有2019个零点. 【思路引导】（1）利用三角函数()sin()f x A wx ϕ=+的图象变换，即可求得函数的解析式；（2）令()[0,1]t f x =∈，则()210g t t mt =--≤恒成立，再根据二次函数的图象与性质，即可求解；（3）由题意可得()f x 的图象与y a =在[]0,n π上有2019个交点，分类讨论，即可求得a 和n 的值. 【解析】（1）把函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数sin 2y x =的图象，再向左平移6π个单位长度后得到函数()sin[2()]sin(2)63f x x x ππ=+=+的图象， 故函数()f x 的解析式为()sin(2)3f x x π=+.（2）若对于任意[,]612x ππ∈-，则2[0,]32x ππ+∈，所以()sin(2)[0,1]3f x x π=+∈，又由()()210fx mf x --≤恒成立，令()[0,1]t f x =∈，则()210g t t mt =--≤恒成立， 则()()010,10g g m =-≤=-≤，解得0m ≥.（3）因为()()F x f x a =-在[]0,n π上恰有2019个零点， 故函数()f x 的图象与y a =在[]0,n π上有2019个交点， 当[0,]x π∈时，72[,]333x πππ+∈， ①当1a >或1a <-时，函数()f x 的图象与y a =在[]0,n π上无交点； ②当1a =或1a =-时，函数()f x 的图象与y a =在[]0,π上仅有一个交点， 此时要使得函数()f x 的图象与y a =在[]0,n π上有2019个交点，则2019n =；③当12a -<<或12a <<时，函数()f x 的图象与y a =在[]0,π上2个交点， 此时要使得函数()f x 的图象与y a =在[]0,n π上的交点个数，不能是2019个；④当a =()f x 的图象与y a =在[]0,π上3个交点， 此时要使得函数()f x 的图象与y a =在[]0,n π上有2019个交点，则1009n =；综上可得，当1a =或1a =-时，2019n =；当2a =时，1009n =.1. 已知函数()()0f x x ωω=>的部分图像如图所示，P Q 、分别是图像上相邻的一个最高点和最低点，R 为图像与x 轴的交点,且四边形OQPR 为矩形.(1)求点P 的坐标并求()f x 解析式；(2)将()y f x =的图像向右平移12个单位长度后,得到函数()y g x =图像,已知:()3522g αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，求()fα的值.【思路引导】（1）先设函数()()0f x x ωω=>的最小正周期为T ，得到4⎛ ⎝T P ，3,4⎛ ⎝T Q ，根据四边形OQPR 为矩形，得到0⋅=u u u r u u u rOQ OP ，求出4T =，得出2πω=，从而可求出结果；（2）先由题意得到()24ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭g x x ，求出1sin 243ππα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得到cos 243ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再由()2244ππππααα⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦f，根据两角和的正弦公式，即可求出结果.【解析】（1）设函数()()0f x x ωω=>的最小正周期为T ，由题意可得：4⎛⎝T P ，3,4⎛ ⎝T Q ， 因为四边形OQPR 为矩形，所以⊥OQ OP ，因此0⋅=u u u r u u u rOQ OP ，即233016-=T ，解得4T =，由24πω==T 得2πω=；所以(P ，()2f x x π=；（2）由（1），将()y f x =的图像向右平移12个单位长度后，得到()12224πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g x x x ，因为()α=g 24ππα⎛⎫-= ⎪⎝⎭1sin 243ππα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；又3522，α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,242πππαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因此cos 243ππα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，所以()2244ππππααα⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦fcos sin 244244ππππππαα⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13⎛== ⎝⎭2. 【安徽省五校2019-2020学年高三联考数学试题】 把正弦函数函数图象沿x 轴向左平移6π个单位，向上平移12个单位，然后再把所得曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来1ω()0ω>，所得曲线是()f x .点,,P Q R 是直线()0y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，且123PQ QR π==. （1）求()f x 解析式； （2）求m 的值. 【思路引导】（1）根据平移变换和伸缩变换得出解析式，结合几何意义即可求出()f x ； （2）根据函数性质123PQ QR π==，求出,,P Q R 三点横坐标之间关系，代入函数即可求解. 【解析】（1）由题意可得()()1sin 062f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭， T PQ QR π=+=， ∵2T πω=，且0>ω，∴2ω=.()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （2）设()0,P x m ，0,3Q x m π⎛⎫+⎪⎝⎭，则0011sin 2sin 262362x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即005sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则005222,66x x k k Z ππππ+++=+∈ 解得02k x π=()k Z ∈，则1sin 62m k ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵0m >∴1m =.3. 已知函数()()()sin 0,0f x A x B A ωϕω=++>>的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数()()0y f kx k =>周期为23π，当[0,]3x π∈时，方程()f kx m = 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围. 【解析】 (1)绘制函数图象如图所示：设()f x 的最小正周期为T ，得11266T πππ=-=．由2T πω=得1ω=． 又31B A B A +=⎧⎨-=-⎩解得21A B =⎧⎨=⎩, 令5262k ππωφπ⋅+=+，即5262k ππφπ+=+，k Z ∈， 据此可得：23k πϕπ=-，又2πφ<，令0k =可得3πφ=-．所以函数的解析式为()213f x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． (2)因为函数()213y f kx sin kx π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的周期为23π，又0k >，所以3k =． 令33t x π=－，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．sint s =在2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解的条件是2s ⎫∈⎪⎪⎣⎭，所以方程()f kx m =在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恰好有两个不同的解的条件是)1,3m ∈，即实数m 的取值范围是)1,3．4. 下图为函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象，M 、N 是它与x 轴的两个交点，D 、C 分别为它的最高点和最低点，()0,1E 是线段MD 的中点，且OME ∆为等腰直角三角形.（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()f x 图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移12个单位长度得到()g x 的图象，求()g x 的解析式及单调增区间，对称中心. 【思路引导】（1）由点E 的坐标可得出A 的值，再根据OEM ∆为等腰直角三角形，可得出点E 、D 的坐标，从而求出ω、ϕ的值，由此可得出函数()y f x =的解析式；（2）根据三角函数变换规律求出函数()2cos2xg x π=，然后利用余弦函数的单调性和对称性可求出函数()y g x =的单调增区间和对称中心的坐标.【解析】（1）由已知点()0,1E 为线段MD 的中点，则2A =， 又OME ∆为等腰直角三角形，且2MOE π∠=，OM OE ∴=，则点()1,0M -，则()1,2D ，()121124πω∴⋅=--=，解得4πω=，()2sin 4f x x ϕπ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭. 将点D 的坐标代入函数()y f x =的解析式得2sin 24πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，sin 14πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭. 02πϕ<<Q ，3444πππϕ∴<+<，42ππϕ∴+=，解得4πϕ=， 因此，()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）将函数()y f x =图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，得出函数2sin 24x y ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，再向左平移12个单位长度，得到函数()12sin 2cos 2242x g x x πππ⎡⎤⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由()222xk k k Z ππππ-≤≤∈，得()424k x k k Z -≤≤∈.令()22xk k Z πππ=+∈，解得()21x k k Z =+∈.因此，函数()y g x =的单调增区间为[]()42,4k k k Z -∈，对称中心为()()21,0k k Z +∈. 5. 【2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷)】 设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.试题思路引导：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =)3x πω=-由题设知()06f π=及03ω<<可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-从而()))4312g x x x πππ=+-=-.根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值. 解析：（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()cos cos 22f x x x x ωωω=--3cos 22x x ωω=-13(sin )2x x ωω=)3x πω=- 由题设知()06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈.故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=-. 因为3[,]44x ππ∈-，所以2[,]1233x πππ-∈-， 当123x ππ-=-，即4πx =-时，()g x 取得最小值32-. 6. 【重庆南开中学2019-2020学年高三上学期第四次教学质量检测数学】已知向量(sin ,m x =r，(1,cos )n x =r，且函数()f x m n =⋅r r.（1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()23f x =，求sin x 的值； （2）若将函数()f x 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得图像向左平移4π个单位，得到()g x 的图像，求函数()g x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域. 【思路引导】（1）先根据已知条件求出函数解析式，再根据条件以及角的范围即可求出结论； （2）先求出()g x 的解析式，再根据三角函数的单调性即可求解． 【解析】（1）由条件可得：()sin 2sin()3f x x x x π==-； 2()2sin()33f x x π=-=Q ；1sin()33x π∴-=．因为[0,]2x π∈，[,]336x πππ∴-∈-，cos()3x π∴-==． sin sin[()]sin()cos cos()sin 333333x x x x ππππππ∴=-+=-+-1132=⨯+=（2）函数()f x 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12， 得()2sin(2)3g x x π=-，再将所得图像向左平移4π个单位， 得()2sin[2()]2sin(2)436g x x x πππ=+-=+； ∴当[0,]2x π∈时，72[,]666x πππ+∈．当7266x ππ+=时，()1g x =-；当262x ππ+=时，()2g x =，∴所以函数()g x 在[0,]2x π∈的值域是[1,2]-．7. 【河南省南阳市第一中学2018-2019学年高一下学期第四次月考】函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域 （2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值. 【思路引导】（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭求得ϕ的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由此求得17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围，由此求得m 的最大值. 【解析】（1）根据图象可知171,4123A T ππ==- 2,2,()sin(2)T f x x Tππωϕ∴=∴===+ 代入7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈⎪⎝⎭， ||,0,23k ππϕϕ<∴==Q()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设26t x π=-，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时sint⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以值域为1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭()()3[4,2]F x f x =-∈--对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立令()[4,2]t F x =∈--，2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上则max ()0h t ≤恒成立,而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)2016(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩，解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以265m ≤-，则m 的最大值为265-. 8. 【河南省南阳市第一中学2019届高三考试数学】已知函数()sin()(,0,0,0)2f x A x x R A πωφωφ=+∈>><<的部分图象如图所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点，若3Q 0=（1）求函数()y f x =的解析式，（2）将函数()y f x =的图象向右平移2个单位后得到函数()y g x =的图象，当(1,2)x ∈-时，求函数()()()h x f x g x =⋅的值域.【思路引导】（1）设P 点的横、纵坐标为00,x y ，根据,OQ 4OP PQ ===，在OPQ ∆中，建立关于00,x y 方程组220022005(4)13x y x y ⎧+=⎨-+=⎩解出00,x y ，从而解出函数的解析式；（2）由（1）可得函数()2sin()63f x x ππ=+，向右平移2个单位后得到函数()sin()g x 2x 6π=，则()sin()sin()h x 4x x 663πππ=•+，通过三角变换后，可得()sin()h x 2x 136ππ=-+，再由定义域可解出函数()y h x =的值域。
高中数学(理)知识清单-专题02 函数的图像与性质(考点解读)(原卷+解析版)
关于直线 x＝a 对称
y＝f(x)
――→
y＝f(2a－x)，
关于原点对称
y＝f(x) ――→ y＝－f(－x)．
高频考点一 函数表示及定义域、值域
例 1、【2019 年高考江苏】函数 y 7 6x x2 的定义域是
。
【举一反三】（2018 年江苏卷）函数
的定义域为______ _
_。
【变式探究】 (1)已知函数 f(x)的定义域为(－1,0)，则函数 f(2x＋1)的定义域为( )
②存在 x0∈I，使 f(x0)＝M，那么称 M 是函数 y＝f(x)的最大值(或最小值)．
知识点 3．函数图象
(1)函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的
要求：
①会画各种简单函数的图象；
②能依据函数的图象判断相应函数的性质；
③能用数形结合的思想以图辅助解题．
知识点 1．函数 对应法则 f
(1)映射：集合 A(A 中任意 x) ――→ 集合 B(B 中有唯一 y 与 A 中的 x 对应)． (2)函数：非空数集 A―→非空数集 B 的映射，其三要素：定义域 A、值域 C(C⊆B)、对应法则 f. ①求函数定义域的主要依据： (Ⅰ)分式的分母不为零； (Ⅱ)偶次方根被开方数不小于零； (Ⅲ)对数函数的真数必须大于零； (Ⅳ)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1； (Ⅴ)正切函数 y＝tanx 中，x 的取值范围是 x∈R，且 x≠kπ＋π2，k∈Z. ②求函数值域的方法：无论用什么方法求值域，都要优先考虑定义域，常用的方法有基本函数法、配 方法、换元法、不等式法、函数的单调性法、函数的有界性法、导数法． ③函数图象在 x 轴上的正投影对应函数的定义域；函数图象在 y 轴上的正投影对应函数的值域． 知识点 2．函数的性质 (1)函数的奇偶性 如果对于函数 y＝f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)(或 f(－x)＝f(x))，那么函数 f(x)就叫做 奇函数(或偶函数)． (2)函数的单调性 函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间 D 上的函数 f(x)，若对于任意 x1、x2∈D，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)(或 f(x1)>f(x2))，则称 f(x)在区间 D 上为单调增(或减)函数．反映在图象上，若函数 f(x)是
【最高考】高考数学二轮专名师讲义：第2讲-函数、图象及性质(含答案)
a x在 [2
，＋∞
)
上为增函数．当
a＞ 0 时，
同解法 1.
a ( 解法 3)f ′(x) ＝ 2x－ x2≥ 0 对 x∈[2 ，＋∞ ) 恒成立． ∴ a ≤ 2x3 而 y＝ 2x3 在 [2 ，＋∞ ) 上单调递增，最小值为
16 ，
∴ a ≤ 16.
点评：本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题．
为偶函数． 当 a≠ 0 时，f(x) ＝ x 2＋ a(a ≠0，x ≠ 0) ，取 x ＝± 1，得 f( － 1) ＋ f(1) ＝2≠0，f( － 1) － f(1) ＝－ 2a≠0， x
∴ f( －1) ≠－ f(1) ， f( －1) ≠ f(1) ，
∴ 函数 f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数．
10
10
－ 10) ．当 x∈ 0， 3 时，h′ (x) ＜ 0，h(x) 是减函数； 当 x∈ 3 ，＋∞ 时，h′ (x) ＞ 0，h(x) 是增函数． ∵ h(3)
10
1
10 10
＝ 1＞ 0， h 3 ＝－ 27＜ 0，h(4) ＝ 5＞ 0，∴ 方程 h(x) ＝ 0 在区间 3， 3 ， 3 ， 4 内分别有唯一实数根，而在
区间 (0 ， 3) ， (4 ，＋∞ ) 内没有实数根，所以存在唯一的自然数
37 m＝ 3，使得方程 f(x) ＋ x ＝ 0 在区间 (m， m＋ 1)
内有且只有两个不同的实数根．
已知 f(x) 为定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时， f(x) 为二次函数，且满足 f(2) ＝ 1，f(x) 在 (0 ，＋∞ ) 上的两 个零点为 1 和 3.
的定义域为 ________．
2024年高考数学三轮冲刺专题02函数的图像和性质专项讲解与训练
第2讲 函数图象与性质函数及其表示[核心提炼]求函数值时的三个关注点(1)求形如f (g (x ))的函数值时，应遵循先内后外的原则．(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必需依据条件精确地找出利用哪一段求解． (3)对于利用函数性质的求值问题，必需依据条件找到函数满意的性质，利用该性质求解．(1)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满意f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是__________．【答案】(－14，＋∞)【解析】当x ≤0时，由f (x )＋f (x －12)＝(x ＋1)＋(x －12＋1)＝2x ＋32>1，得－14<x ≤0；当0<x ≤12时，f (x )＋f (x －12)＝2x ＋(x －12＋1)＝2x ＋x ＋12>1，即2x ＋x －12>0，因为2x＋x －12>20＋0－12＝12>0，所以0<x ≤12；当x >12时，f (x )＋f (x －12)＝2x＋2x －12>212＋20>1，所以x >12.综上，x 的取值范围是(－14，＋∞)．函数的图象考向1 识图函数图象识辨的常用方法(1)由函数的定义域推断图象的左右位置；由函数的值域推断图象的上下位置；(2)由函数的单调性推断图象的改变趋势；(3)由函数的奇偶性推断图象的对称性；(4)由函数的周期性识辨图象；(5)由函数的特征点解除不合要求的图象．(1)函数y＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( ) 【答案】C(2)某地一年的气温Q (t )(单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C (t )表示时间段[0，t ]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C (t )与t 之间的函数关系的是( )【答案】A【解析】 若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10 ℃，所以当t ＝12时，平均气温应当为10 ℃，故解除B ；因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应当大于10 ℃，解除C ；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不行能出现先减小后增加的状况，故解除D ，故选A.考向2 用 图 函数图象的应用 (1)判定函数的性质．(2)判定方程根的个数及不等式的解．(2024·东北四市模拟)对∀x ∈(0，13)，8x≤log a x ＋1恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，23)B ．(0，12]C ．[13，1)D ．[12，1)【答案】 C【解析】 令f (x )＝8x，g (x )＝log a x ＋1，由x ∈(0，13)时f (x )≤g (x )恒成立，知x ∈(0，13)时，f (x )的图象肯定在g (x )的图象的下方，则0＜a ＜1，作图如下：由图可知：⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1log a 13＋1≥2，解得13≤a ＜1.(1)由函数解析式识别函数图象的步骤(2)利用函数图象解决问题的关键是依据题意，正确画出函数的图象．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 【对点训练】 1．(2024·武昌调研)已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝2－x22xB ．f (x )＝cos xx2C ．f (x )＝－cos 2xxD ．f (x )＝cos x x【答案】D.【解析】A 中，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与题图不符，故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当x 由＋∞→0时，f (x )＜0，与题图不符，故不成立．选D.2．(2024.泰安模拟)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于随意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】：[－1，＋∞)【解析】：如图，要使f (x )≥g (x )恒成立，则－a ≤1， 所以a ≥－1.函数的性质及应用[核心提炼]1．与函数周期性有关的5条结论(1)若f (x ＋T )＝f (x )，则T 是f (x )的一个周期； (2)若f (x ＋T )＝1f （x ），则2T 是f (x )的一个周期； (3)若f (x ＋T )＝－1f （x ），则2T 是f (x )的一个周期； (4)若对于R 上的随意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a ＜b )，则y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数．(5)若对于定义域内的随意x 都有f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，则函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.2．与函数对称性有关的3条结论 (1)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )；特例：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )； 函数y ＝f (x )关于x ＝0对称⇔f (x )＝f (－x )(即为偶函数)．(2)函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b ； 特例：函数y ＝f (x )关于点(a ，0)对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝0⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝0； 函数y ＝f (x )关于点(0，0)对称⇔f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)； (3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；y ＝f (x ＋a )是奇函数⇔函数y ＝f (x )关于(a ，0)对称．(1)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满意－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－1，1]C ．[0，4]D ．[1，3]【答案】D【解析】因为函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且f (1)＝－1，所以f (－1)＝－f (1)＝1，由－1≤f (x －2)≤1，得－1≤x －2≤1，所以1≤x ≤3，故选D.(2)(2024·高考山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________．【答案】6【解析】因为f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f (x )的周期为6，因为919＝153×6＋1， 所以f (919)＝f (1)．又f (x )为偶函数，所以f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6.(1)推断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(增＋增得增、减＋减得减及复合函数的同增异减)、定义法和导数法． (2)推断函数是奇(偶)函数的关注点必需对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )(f (－x )＝f (x ))，而不能说存在x 0，使f (－x 0)＝－f (x 0)(f (－x 0)＝f (x 0))．(3)函数三特性质的应用①奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系亲密，探讨问题时可转化到只探讨部分(一半)区间上．尤其留意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． ②单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．③周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解． 【对点训练】1．(2024·成都第一次检测)已知定义在R 上的奇函数f (x )满意f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈[0，32)时，f (x )＝－x 3，则f (112)＝( )A ．－18B ．18 C ．－1258D.1258【答案】B.【解析】由f (x ＋3)＝f (x )知函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f (112)＝f (－12)＝－f (12)＝(12)3＝18.2．(2024·成都其次次检测)已知函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[－2，2]时，f (x )单调递减，且函数f (x ＋2)为偶函数．则下列结论正确的是( ) A ．f (π)＜f (3)＜f (2) B ．f (π)＜f (2)＜f (3) C ．f (2)＜f (3)＜f (π) D ．f (2)＜f (π)＜f (3)【答案】C.【解析】因为函数f (x ＋2)为偶函数，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又当x ∈[－2，2]时，f (x )单调递减，所以当x ∈[2，6]时，f (x )单调递增，f (2)＝f (4－2)，因为2＜4－2＜3＜π，所以f (2)＜f (3)＜f (π)．课时作业 [基础达标]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |【答案】B.【解析】A 中函数y ＝1x不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满意题意，故B 正确；C中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满意在(0，＋∞)上单调递增，故选B.2．(2024·广州市综合测试(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤01－log 2x ，x ＞0，则f (f (3))＝( )A.43 B ．23 C ．－43D ．－3【答案】A.【解析】因为f (3)＝1－log 23＝log 223＜0，所以f (f (3))＝f (log 223)＝2log 223＋1＝2log 243＝43，故选A.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤0，－log 3x ，x ＞0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )A ．－log 37B ．－34C ．－54D ．－74【答案】D.【解析】当a ≤0时，2a－2＝－2无解；当a ＞0时，由－log 3a ＝－2，解得a ＝9，所以f (7－a )＝f (－2)＝2－2－2＝－74，故选D.4．(2024·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满意f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝－2x ，则f (1)＋f (4)等于( )A.32 B ．－32C ．－1D ．1【答案】B.【解析】由f (x ＋4)＝f (x )知f (x )是周期为4的周期函数，又f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (4)＝f (0)＝－1，f (1)＝f (－1)，又－1∈[－2，0]，所以f (－1)＝－2－1＝－12，所以f (1)＝－12，f (1)＋f (4)＝－32，选B. 5．(2024·陕西质量检测(一))奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋2)为偶函数，则f (8)＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－2 【答案】B.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋1，x ＞0，cos 2x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域是[－1，＋∞) 【答案】D.【解析】由f (－x )≠f (x )知f (x )不是偶函数，当x ≤0时，f (x )不是增函数，明显f (x )也不是周期函数．故选D.7．(2024·长沙模拟)函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( )【答案】A.【解析】令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln |x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，解除B ，D ；当x ＞0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x－2x ，当x ∈(0，22)时，y ′＝1x－2x ＞0，y ＝ln x －x 2单调递增，解除C.选A. 4．(2024·云南第一次统考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （1＋x 2＋x ），x ≥0ln （1＋x 2－x ），x ＜0，若f (x －1)＜f (2x ＋1)，则x 的取值范围为________．【答案】：(－∞，－2)∪(0，＋∞)【解析】：若x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln(1＋（－x ）2＋x )＝ln(1＋x 2＋x )＝f (x )，同理可得，当x ＜0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )是偶函数．因为当x ＞0时，函数f (x )单调递增，所以不等式f (x －1)＜f (2x ＋1)等价于|x －1|＜|2x ＋1|，整理得x (x ＋2)＞0，解得x ＞0或x ＜－2. 5．已知二次函数f (x )＝ax2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0.若f (－1)＝0，且对随意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 【解析】：(1)因为f (－1)＝0， 所以a －b ＋1＝0， 所以b ＝a ＋1，所以f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. 因为f (x )≥0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝（a ＋1）2－4a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，（a －1）2≤0. 所以a ＝1，从而b ＝2， 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)由(1)知，g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. 因为g (x )在[－2，2]上是单调函数， 所以k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.所以k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．6．已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.设f (x )＝g （x ）x. (1)求a ，b 的值；(2)若不等式f (2x )－k ·2x≥0在x ∈[－1，1]上有解，求实数k 的取值范围． 【解析】：(1)g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a ，因为a >0， 所以g (x )在区间[2，3]上是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g （2）＝1，g （3）＝4， 即⎩⎪⎨⎪⎧4a －4a ＋1＋b ＝1，9a －6a ＋1＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. (2)f (x )＝x ＋1x －2，所以f (2x )－k ·2x ≥0可化为2x ＋12x －2≥k ·2x，即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2·12x ≥k ，令t ＝12x ，则k ≤t 2－2t ＋1， 因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， 记h (t )＝t 2－2t ＋1， 则h (t )max ＝h (2)＝1， 所以k ≤1.故k 的取值范围是(－∞，1]．11。
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专题二 函数的图象和性质【母题原题1】【2019浙江，6】在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【母题原题2】【2018浙江，5】函数y =sin2x 的图象可能是A.B.C.D.【答案】D 【解析】 令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C ，选D.【母题原题3】【2019浙江，9】已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >-> D. 1,0a b >-<【答案】D 【解析】原题可转化为()y f x =与y ax b =+，有三个交点.当BC AP λ=时，2()(1)()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，且(0)0,(0)f f a ='=，则（1）当1a ≤-时，如图()y f x =与y ax b =+不可能有三个交点（实际上有一个），排除A ，B（2）当1a >-时，分三种情况，如图()y f x =与y ax b =+若有三个交点，则0b <，答案选D下面证明：1a >-时，BC AP λ=时3211()()(1)32F x f x ax b x a x b =--=-+-，2()(1)((1))F x x a x x x a '=-+=-+，则(0)0 ,(+1)<0F >F a ，才能保证至少有两个零点，即310(1)6b a >>-+，若另一零点在0<【母题原题4】【2019浙江，16】已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t +-=∙++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需113a -≤，即43a ≤，即a 的最大值是43【母题原题5】【2018浙江，15】已知λ∈R ，函数f (x )=，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1). (1,4) (2).【解析】 由题意得或，所以或，即，不等式f (x )<0的解集是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【母题原题6】【2016浙江，理18】已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x −1|，x 2−2ax+4a −2}， 其中min{p ，q}=,>p p q q p q.≤⎧⎨⎩，，（Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a −2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）；（ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.【答案】（Ⅰ）[]2,2a ；（Ⅱ）（ⅰ）()20,3242,2a m a a a a ⎧≤≤⎪=⎨-+->+⎪⎩（ⅱ）()348,342,4a a Μa a -≤<⎧=⎨≥⎩． 【解析】（Ⅰ）由于3a ≥，故当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->， 当1x >时，()()()22422122x ax a x x x a -+---=--．所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()2,3242,2a m a a a a ⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩（ⅱ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=．所以，()348,342,4a a M a a -≤<⎧=⎨≥⎩．【命题意图】1.关于函数图象的考查：（1）考查函数图象的辨识与变换；（2）考查函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）运用数形结合思想分析与解决问题的能力.2.关于函数性质的考查：以考查能力为主，重点考查分段函数、绝对值的概念、基本函数的性质、不等式的解法，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.【命题规律】1.高考对函数图象的考查形式多样，命题形式主要有由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、利用数形结合解决问题等，其重点是基本初等函数的图象以及函数的性质在图象上的直观体现．往往与导数结合考查.2.高考对函数性质的考查，往往以常见函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等.由于导数的加入，除将函数与导数相结合考查外，仍有对函数独立的考查题目，趋向于稳定在选择题、填空题，难度基本稳定在中等或以下.【答题模板】1.关于函数图象问题的解答，一般考虑如下四步：第一步：确定图象的范围.即根据解析式，确定函数的定义域、值域，以确定图象的大体位置；第二步：研究图象的对称性.根据函数的奇偶性，确定图象的对称性；第三步：研究图象的变化趋势.根据函数单调性定义或导数，研究函数的单调性，明确图象的变化趋势.第四步：研究图象上的特殊点.根据函数解析式，计算函数值，函数的特征点，排除不合要求的图象.2.求解函数性质问题，一般考虑：第一步：化简函数，明确函数的构成特点.当呈现方式含绝对值式时，要利用绝对值的概念化简函数；第二步：根据函数特征，联想函数的性质，确定求解方法.根据函数的构成特点，结合题目要求，联想函数的单调性、零点的概念、不等式的解法、不等式恒成立问题的解法等；第三步：运算求解.【方法总结】1.给定函数的解析式识别图象，一般从五个方面排除、筛选错误或正确的选项：（1）从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的周期性，判断函数的循环往复；（5）从特殊点出发，排除不符合要求的选项.2.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.3.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．4.确定函数最值的方法：（1）单调性法：考查函数的单调性，确定函数的最值点，便可求出函数相应的最值. （2）图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.（3）分段函数的最值：将每段函数的最值求出，比较大小确定函数的最值.（4）导数法：对于一般的可导函数，可以利用导数求出函数的极值，并与端点值进行大小比较，从而确定函数的最值.5.分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数问题时应注意以下三点：(1)明确分段函数的分段区间．(2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系．(3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内．6.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．1．【浙江省杭州市八校联盟2018-2019学年高一上期中】已知，且，则函数与函数的图象可能是（）A． B．C． D．【解析】 由函数与函数互为反函数，则图像关于对称，从而排除A,C,D.易知当时，两函数图像与B 相同.故选B.2．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】在下面四个[,]x ππ∈-的函数图象中，函数sin 2y x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-，即()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除,B D ，当x π=时，()sin 20f πππ==，排除A . 故选：C ．3．【浙江省七彩联盟2018-2019学年第一学期高三11月期中】已知函数，且，则不等式的解集为A ．B ．C ．D ．【答案】C函数，可知时，，所以，可得解得．不等式即不等式，可得：或，解得：或，即故选：C．4．【浙江省2019年高考模拟训练卷数学（三)】设函数.已知对任意的，若，，恒有，则正实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为==,∴为偶函数且在上单调递增，由对称性得在上单调递减，∴，又>，只需-（，即，即在上恒成立，∴，则正实数的取值范围是.故选D.5．【山东省实验中学等四校2019届高三联考】已知函数()2,0223,0xe xf x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪---≤⎩，当0a <时，方程()()220fx f x a -+=有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．158a -≤<B ．2154e a e -≤≤-C ．158a -<<-D ．2154e a e -≤≤-【答案】A 【解析】令()t f x =， 则方程()()220fx f x a -+=可转化为220tt a -+=，设方程220t t a -+=的解为1t t =，2t t =， 则方程()()220fx f x a -+=有4个不相等的实数根等价于()t f x =的图象与直线1t t =，2t t =的交点共4个，由函数()t f x =的图象与直线1t t =，2t t =的位置关系可得： 132t -≤<-,22et >， 设()22g t t t a =-+，则()()302002g g eg ⎧⎪-≥⎪⎪-<⎨⎪⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：158a -≤-<， 故选：A ．6．【百校联盟2018届TOP202018届三月联考】已知()()22,0,{23,0,x a x f x x x a x --≥=---+<若x R ∀∈， ()()0f x f ≤恒成立，则a 的取值范围为（ ）A. []2,1-B. ()3,1-C. []2,0-D. [)2,0- 【答案】C【解析】当0x ≥时， ()()2f x x a =--，则()0f 是()f x 的最大值， 0a ∴≤，当0x <时， ()()2122f x x a a =-+-+≤-，当1x =-时取等号，要满足()(),0x R f x f ∀∈≤，需()220a f a -≤=-，即220a a +-≤，解之得，得21,a a -≤≤∴的取值范围是[]2,0-，故选C. 二、填空题7．【浙江省台州市2019届高三上学期期末】已知则____；不等式的解集为____．【答案】【解析】，等价于或者， 解得或，故填．8．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知函数，则__________，若实数，且，则的取值范围是__________．【答案】 4【解析】),因为，且，所以,,因此.9．【北京市房山区2019年第二次高考模拟检测】已知函数2221,30,()2,0 3.x x a x f x x x a x ⎧++--≤≤=⎨-+-<≤⎩ 当0a =时，()f x 的最小值等于____；若对于定义域内的任意x ，()f x x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是____． 【答案】3- 1[,1]4【解析】当0a =时，2221,30,()2,0 3.x x x f x x x x ⎧+--≤≤=⎨-+<≤⎩，－3≤x≤0时，f(x)＝（x ＋1）2－2，得：当x ＝－1时，f （x ）有最小值为－2， 0＜x≤3时，f(x)＝－（x －1）2＋1，得：当x ＝3时，f （x ）有最小值为－3，所以，当0a =时，()f x 的最小值等于－3， 定义域内的任意,()||x f x x ≤恒成立， ①－3≤x≤0时，有221x x a x ++-≤-， 即：231a x x ≤--+恒成立，令2()31g x x x =--+＝2313()24x -++， 在－3≤x≤0时，g （x ）有最小值：g （0）＝g （－3）＝1， 所以，1a ≤，②0＜x≤3时，有22x x a x -+-≤， 即：2a x x ≥-+恒成立，令2()h x x x =-+21124x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 在0＜x≤3时，g （x ）有最大值：g （12）＝14， 所以，14a ≥， 实数a 的取值范围是1[,1]410．【2018届江苏省扬州树人学校模拟四】已知函数的最小值为，则实数的取值集合为__________．【答案】.【解析】分析：通过讨论与0,1的大小关系化简函数解析式，判断出函数在两区间和上的最小值，然后根据题意得到关于的方程，求解可得结果．详解：①若，即时，则，∴在上单调递减，最小值为；在上的最小值为．∵函数最小值为，∴．②当，即时，则，∴在上上先减后增，最小值为；在上的最小值为．∵函数最小值为，∴，解得，不合题意，舍去．③当，即时，则，∴在上上先减后增，最小值为；在上的最小值为．∵函数最小值为，∴，解得或（舍去）．综上可得或，∴实数的取值集合为．11．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】定义在上的偶函数满足：当时有，且当时，，若方程恰有三个实根，则的取值范围是____．【答案】【解析】因为当时，，设，则，所以，又，所以，可作出函数在上的图象，又函数为偶函数，可得函数在的图象，同时作出直线，如图：方程恰有三个实根即与图象有三个交点，当时，由图象可知，当直线过，即时有4个交点，当直线过，即时有2个交点，当时有3个交点，同理可得当时，满足时，直线与有3个交点.故填.三、解答题12．【浙江省温州市十五校联合体2017-2018学年高二下期中联考】已知函数（1）若在上恒成立，求a的取值范围；（2）求在[-2,2]上的最大值M(a).【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）先根据绝对值定义去掉绝对值，并分离变量得当x>1时，；当x<1时，，当x=1时，a∈R；再根据函数最值得a的取值范围；（2）先根据图像得函数最大值只能在f(1)，f(2)，f(-2)三处取得，再根据三者大小关系以及对应对称轴确定最大值取法，最后用分段函数书写.详解：（1）即（*）对x∈R恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；当x≠1时，（*）可变形为，令②当x>1时，，③当x<1时，，所以，故此时.综合①②③，得所求实数a的取值范围是.（2）得：f(1)=0，f(2)=3-a，f(-2)=3-3a①当时，∵，，∴，；②当时，∴，，即③当时，∵，，∴，即所以。