高数阶段练习第三章参考答案

第三章 微分中值定理及导数的应用
一、选择题
1. 若30sin(6)()lim 0x x xf x x →+= ，则206()lim x f x x
→+为（ ） A. 0 B. 6 C. 36 D. ∞
2. 设在][1,0上，0)(>''x f ，则下列不等式成立的是（ ）
A . )0()0()1()1(f f f f '>->' B. )0()1()0()1(f f f f ->'>'
C . )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->'
3. 设2()()lim 1()
x a f x f a x a →-=--，则在x a =处（ ） A. ()f x 的导数存在 B. ()f x 取得极大值
C . ()f x 取得极小值 D. ()f x 的导数不存在
4． 设k 为任意实数，则方程33x x k -+在[1,1]-上( )
A. 一定没有实根
B. 最多只有一个实根
C. 最多有两个互异实根
D. 最多有三个互异实根
5. 设(),()f x g x 在0x 的某个去心邻域内可导，()0g x '≠，且适合0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=,则0()lim ()
x x f x g x λ→=是0'()lim '()x x f x g x λ→=的： A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分又非必要条件。

6. 设()f x 在区间(a,b)内二阶可导，0(,)x a b ∈，且00()0,()=0f x f x '''≠，则()f x （ ）
A. 在0x x =处不取极值， 但00(,())x f x 是其图形的拐点
B. 在0x x =处不取极值，但00(,())x f x 可能是其图形的拐点
C. 在0x x =处可能取极值， 00(,())x f x 也可能是其图形的拐点
D. 在0x x =处不取极值00(,())x f x 也不是其图形的拐点。

7. 设()f x 在0x =的某个邻域内可导，且0'()1(0)0,lim sin 2
x f x f x →'==-,则（ ） A . (0)f 一定是()f x 的一个极大值； B. (0)f 一定是()f x 的一个极小值
C. ))0(,0(f 一定是曲线)(x f y =的拐点；
D. ABC 都不对
8. 设()f x 在0x x =的某邻域内连续，且1)
()(20lim 0-=-→x x x f x x ，则（ ） A. 0()1f x '=- B. ()f x 在的某个邻域内单调递减
C. 0()f x 是()f x 的极小值 D . 0()f x 是()f x 的极大值
9. 设()g x 在()+∞∞-,严格单调减少，()f x 在0x x =处取极大值，则0(())g f x x x =在处（ ）
A. 取极大值 B . 取极小值
C. 一定不取极值
D. 是否取极值不能判定
10. 设()2
()f x x ϕ'=⎡⎤⎣⎦，而()0>x ϕ，)('x ϕ单调减少0)('0=x ϕ，则（ ） A. ))(,(00x f x 是曲线)(x f 的拐点； B. 0x x = 为)(x f 的极大值点；
C. 曲线)(x f 在()+∞∞-,内为凹弧；
D. )(0x f 为)(x f 在()+∞∞-,上的最小值。

二、解答题
1. 求极限
（1）0tan lim
sin x x x x x →-- （2）x x x x cos 110sin lim -→⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）()x e x e e x x x x -+-→3sin 0sin ln lim (4) 1lim(23)x x x x x e →∞++
(5) 用拉格朗日中值定理解 x →∞
2. 设()f x 在有限区间(,)a b 内可导，且0
0lim ()lim ()x a x b f x f x A →+→-==（A 为有限值），试证至少存在一点ξ使 ()0f ξ'=.
3.试证：若()f x 满足条件（1）在0x 点连续， （2）在0x 的某去心邻域内可导， （3）0lim ()x x f x A →'=（或∞）
，则0()=f x A '（或∞）
4.设()f x 在区间(,)-∞+∞内连续可导，且x a >时()1f x '>， 证明： 若()0f a <则方程()0f x =在(,())a a f a -内有且仅有一个实根
5.若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，且123()()()f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ''=
6.证明下列不等式
（1） 当b a e >>时，ln ln a a b b
<
（2） 当0x >时，1ln(x x +>（3） 当02x π
<<时，31tan 3
x x x >+ 7.求曲线33cos ,sin x a t y a t ==在0t t =相应点处的曲率。

8.设10021n a a a n +++=+，证明多项式01()n n f x a a x a x =+++在内(0,1)至少有一个零点.
9. 设()f x 在[0,]a 上连续，在（0，a ）内可导，且()=(0)0f a f =，证明：存在一点 ξ∈（0，a ），使()()0f f ξξ'+=.
(令g (x ) = e x f (x ) )
三、选作题
1. 设函数()f x 具有二阶导数，且(0)0,(0)1,(0)2f f f '''===，求2
0()lim x f x x x →-. 2. 设在上连续，在(,)a b 内二阶可导，若连接(,())(,())a f a b f b 、
两点的直线和曲线()y f x =相交于(,())()c f c a c b <<点，证明()0f x ''=在至少有一个实根。

3. 设f (x )在[],a b 上连续，(a,b ) 内除仅有的一点外都可导，证明存在,(,)(0,1)c d a b k ∈∈且 使得
()()()(()(1)())f b f a b a kf c k f d ''-=-+-
证明：设x=m 是f(x)在(a,b)内唯一不可导的点，在［a,m ］和［m,b ］上分别用拉格朗日定理，知存在c,d ∈(a,b),使得 f(m)-f(a)=f ´(c)(m-a) , f(b)-f(m)=f ´(d)(b-m) ,
两式相加，
f(b)-f(a)=f ´(c)(m-a)+f ´(d)(b-m)，
两边除b-a ，得
()()()()f b f a m a b m f c f d b a b a b a
---''=+--- 令m a k b a
-=-，显然0<k<1，代入上式整理即可。

4. 设()f x 在[0,]a 上可导，且4b a -≥，证明存在一点(,)a b ξ∈，使
2()1()f f ξξ'<+.
证明：设g(x)=arctanf(x)，则由拉格朗日定理知，存在ξ∈(a,b)，使得
2()arctan ()arctan ()()1()f f b f a b a f ξξ'-=
-+ 又因 arctan ()22f x π
π
-<<
所以 arctan ()arctan ()f b f a π-<
又由已知4b a -≥，得
22()(1())1()4f f f πξξξ'<
+<+
5. 设()0,(0)0,f x f ''<= 证明：120,0,x x >> 都有1212()()()f x x f x f x +<+
注：其他题目课上都讲过！。