北京航空航天大学--工科数学分析_上_--期中试卷-2005年11月答案
1月北京航空航天大学数学分析期末试题答案
北京航空航天大学2005-2006学年第一学期考试统一用答题册考试课程数学分析B班级成绩姓名学号20XX年1月数学分析(上)期终考试试题班级 学号 姓名 日期：2006.1.20一、填空题（每小题4分，共20分）1． sin 0tan 00limx →+⎰⎰= 12． 不定积分dx x ⎰sec = ln sec tan x x C ++3． 设()f x 有一阶连续导数，则'()d f x x ⎰=()f x C +，10'(2)d f x x ⎰=[]1(2)(0)2f f -。
4． 设函数()2xf x xe -=，则()f x 在0=x 处的5阶带Peano 余项的泰勒公式为()3551()2f x x x x o x =-++ 5． 111lim ......12n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭= ln 2 二、单项选择（每小题4分，共20分）1. 设()f x 连续, 220()()d x F x f t t =⎰, 则 '()F x 等于 【 C 】A. 4()f xB. 24()x f xC. 42()xf xD. 22()xf x2．下列命题中正确的是 【 B 】.A 若级数1n nn u v∞=∑收敛，则2211,nnn n uv∞∞==∑∑一定都收敛。
B ．若级数2211,nnn n uv∞∞==∑∑收敛，则1n nn u v∞=∑ 一定收敛 。
.C 若正项级数1n n u ∞=∑发散，则必有 1,1,2,3n u n n>= 。
.D 若1nn u∞=∑收敛，且,1,2,3,.....n n u v n ≥=，则1nn v∞=∑也收敛。
3． 设正项数列{}n a 单调递减 ，()11nn n a ∞=-∑发散，则级数111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ 【 C 】A. 和等于1 B . 发散C . 收敛 D. 收敛性不能确定4. 设 1220011()d d 11xxF x t t t t =+++⎰⎰，则 【 B 】 A ．()0F x ≡ B.()2F x π≡C. ()arctan F x x =D.()2arctan F x x =5. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x x x x f , 则⎰=x dt t f x F 0)()(在x = 0处 【 D 】Ａ．不连续 Ｂ. 连续但不可导Ｃ．连续且可导 D . 导函数连续三、计算题（每小题6分，共24分）1.x x d arctan⎰1arctan 11arctan (1)x x dx x dx x xx C x C=-=+++=+=+⎰⎰ 2. 221d (1)(2)x x x x +++⎰ 2245112(1)24ln 15ln 21dx x x x x C x⎛⎫=-+ ⎪+++⎝⎭=--+++++⎰3.x x xd ln 12⎰∞+221111211ln -1ln 1d ln d d x 11d 1x x x x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞+∞+∞⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭==-=⎰⎰⎰⎰4. 设D 是由曲线 1sin +=x y 与三条直线 0,,0===y x x π 所围成的曲边梯形，求D 绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积。
北航大一上工科数分期中考试试卷
北京航空航天大学2011-2012学年第一学期期中考试工科数学分析试卷（2011.12.25）一、计算(5’*8=40’)1) 用Stolz 定理计算极限41233122123lim n n n nn +→∞++++L .2) 设32()(1)x f x x x x =++,求()f x '.3) 求极限10(1)e lim xx x x→+-. 4)求函数2()(4)f x x x =-的拐点。
5) 设(cos sin )()=(sin cos )x a t t f x y a t t t =+⎧⎨=-⎩,求d d y x. 6) 求函数()ln f x x x =在(0,)+∞上的最值.7) 判断函数211()=e x n f x x-⋅间断点的类型. 8) 求函数2()=ln(1)f x x x ++在0x =处直到四阶的Taylor 展开（Peano 余项形式）.二、证明(15’) 1) 3sin (0)6x x x x >-> 2) 设函数1()=ln ()n f x xx n -+∈¢,证明()(1)!n n y x -=. 三、(10’) 设1110,0,(2),1,2,n n n A x x x Ax n A +><<=-=L ,证明不等式11n n x x A+<<对任意n +∈¢成立，并求出极限lim n n x →∞. 四、(10’)用Cauchy 收敛原理证明数列2sin (sin )n n k kx x k k kx ==+∑收敛. 五、(15’)设()f x 在0x 处二次可导，且()0f x ''≠，由Lagrange 中值定理知存在0()1h θ<<,使得式子000(+)()(())f x h f x f x h h h θ'=++成立，计算或者证明下列结论：1) 写出()f x 和()f x '在0x x =处的Taylor 公式；2) 证明01lim ()2h h θ→=. 六、(10’)设()f x '在(0,]a连续，且极限lim()x x →'存在，证明()f x 在(0,]a 上一致连续.[附加题]七、(10’)以下题目任选其一： 1) 设()[01]f x ∈£，，且()0f x >,令0()max (),[0,1]t x M x f t x ≤≤=∈, 证明：函数()()lim ()n n f x Q x M x →∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦连续的充要条件是()f x 单调递增. 2) 证明开区间套定理1. 设开区间序列(,),n n n I a b n +=∈¥ 满足12121n n n a a a b b b b -<<<<<<<<L L L .2. 区间长度0()n n n I b a n =-→→∞,则存在唯一1(,)n i i i a b ξ==I 满足lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.。
北航2015-2016年工科数分（1）期末_A卷_答案
北航2015-2016年⼯科数分（1）期末_A卷_答案北京航空航天⼤学2015－2016 学年第⼀学期期末考试《⼯科数学分析（Ⅰ）》（A卷）班号学号姓名主讲教师考场成绩2016年01⽉20⽇1. 下列命题中错误的是（D ）A. 若()f x 在区间(,)a b 内的原函数是常数，则()f x 在(,)a b 内恒为0;B. 若],[)(b a x f 在上可积, 则],[)(b a x f 在上必有界；C. 若],[)(b a x f 在上可积, 则()f x 在区间[,]a b 上也可积；D. 若],[)(b a x f 在上不连续，则],[)(b a x f 在上必不可积 . 2. 设()f x 满⾜等式120()2()d f x x f x x =-?，则1()d f x x ?=（ B ）A. 1;B. 1;9C. 1;-D. 1.3-3. 设函数()f x 可导，则（ C ） A.()d ();f x x f x =?B.()d ();f x x f x '=?C. ()d()d ();d f x x f x x=?D.()d ()d ().d f x x f x C x=+?4. 下列⼴义积分中，发散的是（ C ）A.1dx +∞； B.211dx x+∞?； C. 11sin d xx x+∞+?； D. 1sin d .x e x x +∞-?5. 瑕积分 31ln dxx x=?（ C ）A. l n l n 3;B. 0;C. ;+∞D. 1.1.22325x dx x x -++?解：2222223(22)52525(25)152525x x dx dxx x x x d x x dx x x x x -+-=++++++=-++++2221ln(25)512x x dx x =++-++?（） 251ln(25)arctan .22x x x C +?? =++-+建议：拆成两项2分，积分计算各2分。
北航_数分(1)期中考试参考答案(05-10)
北京航空航天大学数学分析(上)期中考试试题2005年11月13日班级 学号 姓名一、填空题 (每小题4分,共20分)1． 设曲线()y f x =在原点与曲线sin y x =相切，则 n2．limn →∞= 03． 设当0→x 时，βα,是等价无穷小，（0αβ>），βααβ+-→1)1(lim 0x = 14． y =则 'y = 1+5． 设函数 )(x y y = 由方程 e xy e y =+2确定， 0x dy dx== 2e-二、单项选择(每小题5分,共20分)1． 与A a n n =∞→lim 不等价的一个命题是 【 C 】.A 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足n N ≥的+∈N n ，都有ε<-||A a n ； .B 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足N n >的+∈N n ，都有2||n a A ε-≤；.C 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足N n >的+∈N n ，都有εn A a n <-||； .D 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足100n N >+的+∈N n ，都有ε100||<-A a n ．2. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 00 1sin )(2x x x x x f , 则在x = 0处 【 C 】Ａ．不连续 Ｂ. 连续但不可导Ｃ．连续且可导 D . 导函数连续3．设()f x 在[,]a b 上连续，且()0f x ≠。
则 【 D 】A ． ()f x 在[,]a b 上恒为正B ． ()f x 在[,]a b 上有正有负C . ()f x 在[,]a b 上恒为负D . ()f x 在[,]a b 上不变号4． 设()f x 在[,]a b 不一致连续， 则在下列表述中正确的一个是 【 B 】.A 00ε∃>，0δ∀>，对[,]a b 中一切满足'''x x δ-<的',''x x ，都有0|(')('')|f x f x ε-≥。
北京航空航天大学 北航 2005年教育学 考研真题及答案解析
北京航空航天大学2005年硕士研究生入学考试试题科目代码811考试科目：教育学一、名词／概念解释（共10题，每题3分，合计30分）l．义务教育2．五段教学法3．高等教育4．教学方法5．教育目的价值取向6．德育的疏导原则7．教育调查法8．教育学9．杜威10．相对性教学评价二、简答题（共5题，每题l0分，合计50分）1．简述教学计划的内涵及其基本内容。
2．简述学校教育制度建立的依据。
3．简述五种教学组织形式的优缺点。
4．我国中小学的教学原则有哪些?5．我国《2003—2007教育振兴行动计划》的两大战略重点是什么?三、论述题（共2题，每题15分，合计30分）l．用教育与社会关系原理，结合现实，说明高等教育与国家竞争力的关系。
2．结合实际，论述学校教学管理过程的基本环节。
四、综合能力考察（共2题，每题20分，合计40分）1．请你谈谈对高等教育大众化与中国高校扩招的认识。
2．你怎样理解高等学校的服务职能。
参考答案北京航空航天大学2005年硕士研究生入学考试试题考试科目：教育学一、名词／概念解释（共10题，每题3分，合计30分）l．义务教育：根据国家法律规定对适龄儿童实施一定年限的普及的、强迫的、免费的学校教育，也称普及义务教育或强迫教育。
这种教育要求社会、学校和家庭予以保证，对儿童既是应享受的权利，又是应尽的义务。
它产生于16世纪欧洲宗教改革运动中。
1986年7月1日颁布的《中华人民共和国义务教育法》规定“国家实行九年制义务教育。
省、自治区、直辖市根据本地区的经济、文化发展状况，确定推行义务教育的步骤。
2．五段教学法：常见的教学方法中的一种，由五个阶段组成。
最早由赫尔巴特提出，后经凯洛夫加以改造完善。
它的具体形式多样，但一般包括导、读、讲、练、测五个教学阶段。
导是指导入新课，在教学的开始就要千方百计地诱发学生的求知欲，调动学生的学习兴趣。
读是指预习阅读，要安排在课内进行。
讲是指释疑解难，着重讲授学生认识模糊的内容。
北京邮电大学2007--2008学年第一学期《工科数学分析》期中考试试题
北京邮电大学2007--2008学年第一学期《工科数学分析》期中考试试题本试卷共20个小题，每小题5分，共100分1. 1ln()(0)y x e x x =+>的斜渐近线方程为 。
解答：1y x e =+2．设()p x 是多项式，且32()lim 2x p x x x →∞-=，0()lim 1x p x x→=，则()p x 。
解答：322x x x ++ 3. 设曲线3()f x x ax =+和2()g x bx c =+都经过点(1,0)-，且在此点有公切线，则 a = ，b = ， c = 。
解答：1,1, 1.a b c =-=-=4. (1) 设5(2)(1)t x f t y f e =+⎧⎨=+⎩，其中f 可导，'(2)0f ≠，则0dy t dx = 。
解答：5(2) 设方程22cos()y xy e x y +=+，则dy dx= 。
解答：222sin().22sin()y y x y xy e y x y ++-+++ 5. (1) 设曲线由参数方程(1cos )a ρθ=+给出，则曲线上任意一点处的切线斜率 。
解答：cos cos 2sin sin 2θθθθ+--(2) 曲线sin 3a ρθ=在6πθ=所对应点处的切线方程为 。
解答：2a y x ⎫-=⎪⎪⎭6. (1) 设()x x ϕ=是单调连续函数()y f x =的反函数，且(2)4f =，'(2)3f =，则 '(4)ϕ= 。
(2) 设()x ϕ在x a =处连续，()(1)()x a F x e x ϕ-=-，则'()F a = 。
解答：()a ϕ7. (1) 设 10a e<<，则方程ln (0)x ax a =>在(0,)+∞上有几个实根 。
解答：2 (2) 设221()(),(0,),x c af x bf x a b x +=≠≠则()f x 的表达式为 。
北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题及参考答案(2012-2013第一学期)
3. 证明下面问题（10 分） 设数列 xn 满足 xn1 xn 4. 证明下面不等式 (10 分)
e x sin x 1
x2 , x 0, p . 2
5. （ 10 分 ） 设 函 数 f x 和 g x 在 a, b 存 在 二 阶 导 数 ， 并 且 g '' x 0 , 且
二、第一次考试题目及答案
1. 计算下面各题（满分 40 分，每个题目 5 分） 1) 2) 计算极限 lim
x 0
1 x sin x 1 e x 1
2
.
求下面无穷小的阶
1 tan x 1 sin x x 0 .
3)
设 f sin x 设
cos x
0 x p
8)
1 x m sin , x 0, 已知 f x m 为正整数. x 0, x 0.
求:
m 满足什么条件，函数在 x 0 连续，
------------------------------------------------------------------------------基金项目： 《北京市精品课程建设》项目和校重点教改项目《工科数学分析开放式教学研究与实践》资助. 作者简介：杨小远(1964-)，女，籍贯：江苏，博士，北京航空航天大学数学与系统科学学院教授.主要研究 方向计算数学、应用调和分析和图像处理,电子邮箱：xiaoyuanyang@.
n P2
........
1 1 1 1 n P2 ........ 1 n P1 2 2 2 2
1 p 1 1 1 2 n 1 2n1 . 2 2
2004-2005学年秋季学期工科数学分析答案
2004-2005学年秋季学期工科数学分析答案哈尔滨工业大学2004 /2005 学年 秋 季学期工科数学分析期末考试试卷 （答案） 试题卷（A ） 考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟） 本卷面成绩占课程成绩70%题号一 二 三 四 五 六 七 八 卷 面 总 分平时 成 绩 课程 总 成绩分数一．选择题（每题2分，共10分）1．下列叙述中不正确者为（D ） （A ）如果数列}{nx 收敛，那么数列}{nx 一得分姓名: 级：4．若sin F(x)=dy ])tdt sin sin[(xa y3⎰⎰，则=)x (F '（D ）（A ）dy ])tdt sin sin[(cos xay3⎰⎰（B ）cosxx 3sin)tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos 2y3xay3⋅⋅⋅⎰⎰⎰（C ）⎰⎰⎰⋅y3xay3)x dx sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos（D ）⎰⎰⎰⋅y3xay3)tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos5．=+∞→)x1e(x1n lim （D ）（A ）e （B ）2e （C ）3e （D ）4e二．填空题（每题2分，共10分）1．)0x (x11y nn lim ≥+=∞→的间断点为：1x =，其类型为：第一类间断点。
得分遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范2．23x )(1x y +=的全部渐近线方程为：2-x y 1,x =-=。
3．摆线2t )cost 1(a y )sint t (a x π=⎩⎨⎧-=-=在处的切线方程为：0a )4(21y x =-+-π。
4．2n 1n )!n (lim ∞→=： 1 。
5．设f(x)在[)+∞,1上可导，23e )1e(f , 0f(1)2x x'+=+=，则=：23-+-三．计算下列各题：（每小题4分，本题满分20分）1．若xy 2e x y = ，求?yx'=解：2xylnx lny =+， 2x 'x 'x y x y y y 2-=⋅则)2x y (x )y x (y y x'-+=2．⎪⎩⎪⎨⎧-==)sint t y 2t cosx ，?yxx''=求 解：2t 4sin2t sin 21cost 1x y y t 't 'x '-=--==，2t4cos2t sin 2112t 2cos yxx''=-⋅-=得分3. ⎰+dx 1x x arctan 解：⎰⎰=⎰⋅⋅=⋅⋅+==sectdt ant t 2tdt sec 2tant sectt dx1x x arctan 2t tan x ttan x 2=c tant sect 2ln -sect 2t sectdt 2-2tsect tdsect 2++⋅==⎰⎰=c )x 1x (2ln 1x x 2arctan +++-+⋅ 4．dx e y x 11x⎰--解： dx y)e -(x dx x)e -(y dx e y x 1yxy1x11x⎰⎰⎰+=--- x1yxy1de y)-(x de x)-(y ⎰⎰+=-dxe y)e -(x dx e x)e -(y 1yx 1x y 1-x 1x⎰⎰-++=-yyyee y y )1(e 2]e y)e -(x []e x)e -(y [y 1x x 1x x +-=-++=-5. 已知dt te c x c x c t ⎰∞-∞→=-+2xx )(lim ，求?=c解：t c c t c de t dt te e xc x cc x c x 222x x x x 21)11()(lim lim ⎰⎰∞-∞-∞→∞→==-+=-+=2c2t 2t e )412c (e [te 21-=-⎰∞-∞-c cdt ，所以2c2ce )412(e-=c 。
工科数学分析(1)期中考试试卷
】
】
≤ bn 。
]
三、（本题共16分）。
得分[
设
p > 1 ，函数
g ( x) =
(1 + x) p 1 + x p ， x ∈ [0,+∞ ) ，
求（1）
g (0), g (1) ， lim x→+∞
g ( x)
； （2）
g ′( x ) ；
（3）求函数
g ( x ) 的单调区间；
file://E:\教学\数学分析\gksxfxjpk\lnst\2008\2008-1-1.htm
xn =
(2n)! lim n +1 = n →∞ x n n n ⋅ n! ，（ n = 1,2,3, " ），则有
sin 2 x x2
x
；
x lim(1 − ) 3 3、 x→0
4、设
=
； 则有
f ( x) = arccos x ， | x |< 1 ，
1 x
f ′′( x) =
；
dy −t 2 y = e sin(cos t ) （2）设 x = t + e ， ，求 dx ；
t
解
（3）求 x→∞ 解
lim( x 2 sin
1 − x) x
。
file://E:\教学\数学分析\gksxfxjpk\lnst\2008\2008-1-1.htm
2009-6-13
2008-1-1
lim x n
存在；
lim x （4）求出 n → ∞ n 。
六、证明题（10分）。得分[ 设函数
]
f
在 [ a , b ] 上可导，
北航2005年数学竞赛试卷试题与解答
2005 年数学竞赛试卷考试统一用答题册(A卷)题号一二三四五六七总分成绩阅卷人签字校对人签字考试课程班级学号姓名成绩200 年月日一、 填空题（本题共40分） 1、函数⎰+=2|cos |)(πx xdt t x f 的值域为2、函数xx x x f πsin )1()(+=，的所有可去间断点是 . 3、曲线θ3sin =r 在3πθ=处的切线方程为_____________.4、极限=--+∞→])12[(lim 5145x x x x .5、级数∑∞=-1)1sin 1(n k n n收敛，则常数k 的范围为_________.6、=++→+∞→yx x y x xy 2)11(lim 2.7、设,arcsin )(x x f =则=+)0()12(n f ____________________.8、可微函数),,(z y x f u =在M 处的梯度是}3,2,1{，向量}2,1,2{=l ，则=∂∂M lu|__________. 9、三次积分=-⎰⎰⎰yxdz zzdy dx 0011sin _______________. 10、=++⎰⎰⎰Ωdv z y x ][222__________.其中2222:π≤++Ωz y x ，][x 为不超过x 的最大整数. 二、（10分）设)(x f 有二阶连续导数，且0)1ln()(2sin lim20=++→x x x xf x x ，求).0("),0(').0(f f f三、（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-000)(21x x ex f x， 求)("x f四、（10分）计算曲线积分⎰+-Lyx ydx xdy 222其中L 是曲线xe x y )1(2-=上从点)0,1(-A 到点)0,1(B 的一段弧.五、（10分）求级数∑∞=--1222)!2()12()1(n nnn n n π的和.六、(10分)设有向曲面2222)1(:r z y x =-++∑，外侧，)(x f 有连续的导数，且,)0(a f = 求极限30)()()(lim rzdxdyxy f dzdx zx f xdydz yz f r ⎰⎰∑+→++.七、（10分）设)(x f 在]1,0[可导，,1)1(,0)0(==f f 证明：（1） 至少存在一点)1,0(∈ξ使得ξξ-=1)(f . （2） 存在),1,0(,∈ηξ使得.1)(')('=ξηf f1、 [0,1] _2、1,0-3、 x y 3=4、525、31>k 6、21e7、!)!2(!)!12()1(n n n -- 8、310 9、211sin +10、48π二、 解：因为)1ln(2x x +在零点处的Taylor 展式为 ++-32543x x x （1） )(2sin x xf x +在零点处的Taylor 展式为3253!2)('')0(')0(!5)2(!3)2(2x f x f x f x x x ξ+++++- 其中x ≤≤ξ0（2）由0)1ln()(2sin lim20=++→x x x xf x x 知当0→x 时（2）式是（1）式的高阶无穷小所以有 2)0(-=f ，0)0('=f , )0(")("lim 0f f x =→ξ，所以38)0("=f三、解：0,2)'1()('312122≠=-=--x x e x ex f xx, 00lim )0()(lim 2100=-=--→→x e x f x f x x x,0,6)2()("221231≠-=--x x e xex f xx 002lim )0(')('lim 31002=-=--→→xx ex f x f x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=--0006)("41)2(12232x x x e e x f x x x四、解：222y x y P +-=， 222y x xQ +=则 )0(,)2(22222222≠+∂∂=+-=∂∂y x y Py x x y x Q 所以在不包含原点的区域内积分与路径无关.设22:22=+y x l 的上半部分，并且它与L 所围区域不包含原点，因此θθθθπcos sin 22sin 22cos 212202222d d y x ydx xdy y x ydx xdy l L -=+-=+-⎰⎰⎰ πθθθπ42)cos (sin 2221022-=+=⎰d五、解n n n n nn n n n x n x n x n n 210221)!2()1())!1(2()1()!2()12()1(∑∑∑∞=∞=∞=----=-- n n n n n n x n x x x n x 212)1(2112)!2()1(1[cos ))!1(2()1(∑∑∞=-∞=--+-=----=x x x x cos cos 22---=所以 2122)2(2)!2()12()1(ππ-=--∑∞=n nn n n n六、 解由高斯公式:⎰⎰⎰⎰⎰++=++∑Vdxdydz xy f zx f yz f zdxdy xy f ydzdx zx f xdydz yz f ))()()(()()()(.当0→r 时有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤→≤→≤++≤Vrx r VVrx r dxdydzx f dxdydz xy f zx f yz f dxdydz x f )(max 3lim ))()()(()(min 3lim 0两边同时除以3r 并取极限得π4))()()((lim3=++⎰⎰⎰→r dxdydzxy f zx f yz f Vr七、证明：(1)1)()(-+=x x f x F ，由,1)1()0(==f f 得1)1(,1)0(=-=F F ，又由于)(x f 在]1,0[可导，故)(x F 在]1,0[连续，由介值性知 存在)1,0(∈ξ，使得 0)(=ξF (2) 由中值定理知存在)1,0(,∈ζη 使得,)(')0()(ξηξf f f =- ○1 )1)((')()1(ξζξ-=-f f f ○2 通过两式可得 1)(')('=ζηf f。
北航数学分析期中考题-答案
北京航空航天大学第一学期期中《工科数学分析(I) 》试卷班号学号姓名成绩一 计算下面各题（满分40分，每个题目5分）1) 计算极限21sin 11x x x x e解：221sin 1sin lim11sin 1x x x x x x x exx x ………….. （3分）=12…………… （2分）2) 求下面无穷小的阶1tan 1sin 0x x x .解：tan sin 1tan1sin 1tan1sin 1sin 1cos 1tan 1sin x xx x x xx x xx………………………（3分）1sin 1cos lim2x x x x 为1阶 (2分)3) 假设cos sin 0xf xx求'f x.解：cos cos ln sin sin xx x fxe ……………….. (2分)2''cos lnsin cosln sin 2cos cos sin lnsin sin cossin sinln sin sinx x x xxx f ee x x xx x x xx……….(3分)4) 假设sin ,cos .x t t y t t 求dy dx.解:dy dy dx dx dtdt(2分)cos sin cos sin t t ttt t(3分)5) 假设223,x f x x xe 求.nfx解:2'10212''22223232323nnx nn xxnnn xnfxx x e C x x e Cxx eCxxe(3分)212221231221112133nx n n xxnxx x en xe n n e ex n xn n(2分)6) 求ln f x x 在2x 的n 阶Taylor 展开,并写出peano 余项.解:2ln ln 22ln 2122ln 2ln 12x f xx x x (2分)1122ln 2ln 1ln 21222knk nk x x o x (3分)7) 假设函数x f xe , 判断函数的凹凸性.解''''x x fx ee (4分)凸函数 (1分)8) 已知1sin ,0,0,0.mx xf xm x x 为正整数.求:m 满足什么条件，函数在0x 连续， m 满足什么条件，函数在0x可导.解:1m ，函数在0x 连续 (2分)2m，函数在0x可导数 (3分)二 证明下面问题（10分）假设1110,0,,2nn n x x xx 证明数列nx .证明: 1) 数列单调递减有下界(5分)1111,21110222nn nn nnn nnnnx x x x x x xx x xx2) (5分)11lim 2nnx bb b b,b三. 证明下面问题（10分） 假设数列nx 满足112nn n x x , 用Cauchy 收敛定理证明n x 收敛.证明 1) (5分)112112121,.......111........22211111112 (1).1222222nPn n Pn P nP n P nnn P n P npn P P nn pN x x x x x x x x2) 柯西定理写正确5分10,ln /ln 21,,,npnN n N pN x x四. 证明下面不等式 (10 分)2sin 1,0,2xx ex x .证明: 1) 下面每个式子2分,共6分2'''1sin ,0,2cos ,0,1sin ,0,x x xx F xe x xF x x e x x F xe x x2) (2分)''0,0,,F xx '00F 因此'0,0,F xx3) (2分)00F ,21sin 0,0,2xx F x ex x五. （10分）假设函数f x 和g x 在,a b 存在二阶导数，并且''0g x,且0f af bg a g b ，证明下面问题:1）在,a b 内0g x ；2） 在,a b内至少存在一点在,满足''''f f g g .证明: 1) 下面每个式子2分,共6分用反证法证明,假设,,0a b g. 则''111''222''''''12312331200,,00,,00,g ag g x a g x x a g b g g x b g x x b g x g x g x x x g x x x x矛盾,结论得证. 2) 令''F xf xg x f x g x …….. ( 2分)'''''F xf xg xf xg x………………(2分)0F a F b '''''0F fg f g…………(1分)六 (10分) 假设函数f x在0,1存在二阶导数,00,11,f f 并''010,f f 求解和证明下面问题.1) 写出f x 在0,1x x 的Lagrange 余项的Taylor 公式;2) 证明在0,1至少存在一点0,1满足''4f .证明 1) 下面每个式子2分'''211100,2f x f f xf x 介于0,x 之间.2'''1211111,2f xf f x f x 介于,1x 之间.2)'''2''2112''11100221112fx f f xf x f x f xf x 2分2''2''112''2''112''''2111111221111221max ,12fx fx f x f x f fxx 2分而221xx 在0,1区间上的最大值12, (2分)因此''''11max , 4.f f七 （10分）证明下面问题假设f x 定义在,a b 上. 如果对,a b 内任何收敛的点列n x 都有lim n nf x 存在, 则f在,a b上一致连续.证明: 1) 写出不一致连续定义3分 如果f在,a b上不一致连续, 则010,,,,,n n n nn ns t a b s t f s f t n2) 写出下面3分(有界数列必存在收敛子列),,,n ns t a b 则存在,,,lim lim k kkkn n n n kks t a b s t3) 下面结论4分构造11,,.......,,..........k k n n n n ns t s t z 数列收敛且极限为, (2分)则有已知条件lim n nf z 存在, 因此lim lim kk n n kkf s f t (2分)与1)矛盾.八 （10分）附加题 (下面两个题目任选其一)1) 假设函数11cos nnfx x, 证明下面问题a) 对于任意的自然数n , 方程12nfx在0,2中仅有一根.b) 设0,,2n x 满足12nnfx , 则lim .2nn x证明: 1) 5分01,02nnf f ,由介值定理10,,22nnnx fx . (3分)1'sin 1cos 0,0,2n nfxn x x x(2分)因此根唯一. 2) 5分由于1111arccos11,lim arccos 1,nn n n f f e nn n（2分）由极限的保号性11,,arccos 211arccos2n nnnN nN f nffxn（2分）单调性1arccos 2nx n和夹逼定理lim .2nnx （1分）2) 用有限覆盖定理证明下面问题 假设函数f x 定义在,a b , 对于0,x a b , 0lim xx f x 都存在, 则f x 在,a b 上有界.证明： 1）4分lim xx f x 存在，根据函数局部有界性,,,,,,xx xx x a b U x t U x f tM2）3分根据有限覆盖定理,,,xx a bU x a b，存在有限个1,,i kx i i U x a b3）3分取1max i x i kMM ，则,xa b ，1,i kx i i xU x ，则f x M 。
北航工科数分第一学期期中历年试卷讲评
本资料基于以下内容：2009年《工科数学分析》第一学期期中试题2010年《工科数学分析》第一学期期中试题年《工科数学分析》第学期期中试题2011年《工科数学分析》第一学期期中试题2012年《工科数学分析》第一学期期中试题年《工科数学分析》第学期期中试题2013年《工科数学分析》第一学期期中试题以上均为公开资料，可在课程中心下载或联系任课教师索取。
教师索取一.数列极限的计算二.数列极限的证明与应用数列极限的证明与应用三.函数极限的计算四.函数极限的证明与应用四函数极限的证明与应用五.导数的计算六.导数的证明与应用六导数的证明与应用*七.泰勒公式试卷基本结构第一大题包含8个小题，主要为极限计算、导数计算、导数的简单应用。
每题5分。
第二题至第七题为解答题，每题10分，可能包含1-2个小问。
主要为证明题。
.数列极限的计算一数列极限的计算很少直接考到。
即便考到，难度也很低，均属于中低难度送分题。
启示：不用太关注技巧性过高的数列极限计算，只需要掌握基本类型即可。
求数列极限的主要方法1.利用初等方法（有理化、恒等变形）2.利用重要极限3.利用单调有界定理，两边取极限4.利用夹逼定理5.利用Stolz定理6.转化为函数极限（Heine定理）例1：（2011年）一1注意定理的使用条件最后步的计算注意：Stolz定理的使用条件、最后一步的计算例2：（2013年）一1二.数列极限的证明与应用二数列极限的证明与应用主要考察：单调有界定理、柯西收敛定理单调有界定理主要涉及递推公式题目，柯西收敛定理直接通过其证明即可。
例1：（2009年）一1（年）例2：（2009年）一3（年）例3：（2009年）四（例4：（2010年）二（应用均值不等式证有界性。
利用有界性证明单调性。
应用均值不等式证有界性利用有界性证明单调性完全相似题目：（2012年）二例5：（2011年）三（重点讲解例6：（2009年）二（年）例7：（2010年）三（例8：（2012年）三（完全相似题目：（2011年）四仅把分母中的cos改为sin例9：（2013年）三（例10：（2013年）二（重点讲解三.函数极限的计算三函数极限的计算通过等价无穷小、洛必达法则、1的无穷次方方法计算函数极限或确定无穷小的阶。
北航工科数分(上) 第一学期期中试题
一、填空题 (每小题4分,共20分)1、=--+∞→)11(lim 42n n n n ；2、=⋅-⋅∞→nn n 242)12(31lim；3、=→xx x x sin 1)(cos lim ；4、设x x y cos =，0>x ， 则='y ；5、当0→x 时，βαx 与32121x x +-+是等价无穷小,则=α ,=β ．二、选择题(每小题4分,共20分，只有一个正确答案)1. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0, 00, 1sin )(x x xx x f n,则能使得)(x f '在0=x 处连续的最小正整数n 为 【 】 （A ）1 ； （B ）2 ； （C ） 3 ； （D ）42．设()f x 在区间),(b a 上连续，则下列结论不正确的是 【 】 （A ）若()f x 在区间),(b a 上导数存在且有界，则()f x 必在),(b a 上一致连续； （B ）()f x 在),(b a 上必能取到最大值和最小值；（C ）若有),(,21b a x x ∈使得,0)()(21<x f x f 则必存在),(b a ∈ξ使得0)(=ξf ； （D ）若)(),(-+b f a f 存在, 则()f x 在),(b a 上有界.3. 下列说法中正确的是 【 】 （A ）若()f x 在0x 取得极值, 则必有0)('0=x f ；（B ）若可导函数()f x 在),(b a 单调, 则)('x f 在),(b a 上不可能为零； （C ）函数()f x 在),(+∞a 上可导, 若A x f x =+∞→)(lim , 则0)('lim =+∞→x f x ；（D ）若对任何介于)(),(b f a f 之间的数c ,都存在一个),(b a ∈ξ，使得c f =)(ξ，则()f x在],[b a 上连续．4. 关于“有界数列}{n a 不收敛到a ”的错误描述是 【 】 （A ）00>∃ε, 对任意大的正整数N ，总存在正整数N m N>，使得 02||ε≥-a x N m ；（B ）00>∃ε，无论正整数N 多么大，总存在正整数N n N>，使得 2||0ε≥-a x Nn ；（C ）00>∃ε，*N ∈∀N ，对于所有满足N n >的*N ∈n ，都有0||ε≥-a x n ； （D ）00>∃ε,存在一个子列}{k n x 收敛到b ，满足0||ε≥-a b ．5．下列命题中正确的是 【 】 （A ）如果数列}{n a 是一个有界数列，则它有且仅有一个收敛子列； （B ）如果单调数列}{n a 有一个收敛子列，则该数列必收敛； （C ）设β是数列}{n a 的上确界，则β是数列}{n a 的极限；（D ）对数列}{n a ，若N n p N >∀∃>∀对和,,0ε,都有ε<-+p n n a a ，则数列收敛.三、（每题５分，共10分）1、求极限)11arctan 11)(arctan1(lim 2+---∞→n n n n . （提示：利用Lagrange 中值定理） 解：2、求极限420sin tan lim x xx x x -→解：四、（10分）设,23,111n n x x x +==+求数列n x 的极限。
2009-2010工科数学分析(2)期末考题
A北京航空航天大学2009－2010 学年第二学期期末《工科数学分析（2）》班号学号姓名成绩一、填空题（每题5分，共40分） 1) 求 ⎰⎰++Ddxdy yx y x 2222)sin(= )cos 12ππ-（其中}0|),{(22π≤+≤=y x y x D 。
2) 计算dxdydz z y x I 2)(++=⎰⎰⎰Ω=54π其中Ω为球体1222≤++z y x 。
3) 求 ⎰=L ds y || ）（12238-.)2,1()2,1(,4:2一段到从其中-=x y L4) 计算 ⎰L xydx = 0的一段弧到，上，从为抛物线其中)1,1()11(2B A x y L -=。
5) 计算曲面积分⎰⎰+SS y z d )(22=π22其中 S 为锥面22y z x += 界于0到1之间的部分。
6) 计算 ⎰⎰Sxydxdy = 81其中S 是球面1222=++z y x 在0,0,0≥≥≥z y x 的部分,取外侧.7) 设),,(z x y z x y F =ρ，则=)(F div ρ ）（222zxy z x y ++- =)(F rot ρ）（xz y 1,1,1- 8) dy y y y x e dx y y y x e r x x Lr )sin cos ()cos sin (1lim2++-⎰→= π2其中L 为圆心在原点半径为r 的圆周，方向沿逆时针方向。
二、（使用Green 公式计算，本题满分１0分） 计算,4.22yx xdyydx L++-⎰其中L 为 ,.42x y -=从点（2,0）到（-2,0）的一段。
解：令 22224,4yx x Q y x y P +=+-=,则当0422≠+y x 时, 有 .)4(422222yPy x x y x Q ∂∂=+-=∂∂--------------- 分2-------- 取椭圆 44:22=+y x ,上半部分记为l ，方向为逆时针，。
北航工科数分期中复习指导
第一章期中考试复习指导1.要求用极限定义、柯西收敛定理、单调有界定理证明数列极限存在，会用夹逼定理求解极限。
实数系6个定价定理能够准确叙述。
2.典型例题1)用极限定义证明：1lim 1nn n →∞=（要求会用极限定义证明问题）2)证明下面问题（这个公式会用）设lim ,n n a a →∞=则12 (i)nn a a a an→∞+++=若120,(1,2,3,......)lim ......n n n n a n a a a a →∞>=⇒=3)222111........,lim 12n nn a a n n n n→∞=++++++4)计算()112lim .....n n n n mn a a a →∞+++5)证明()cos1cos 2cos ......12231n nx n n =+++⋅⋅⋅+6)用单调有界定理下列数列极限存在，并求极限：2,22,222,.......222.....2,......+++++++7)设数列{}n a 满足21321.......,n n a a a a a a M n N --+-++-≤∀∈，则{}n a 收敛。
8)证明定理：（要求会证明这下面定理）定理1：(canchy)设数列{}n a 收敛的充分必要条件是{}n a 是基本列。
第二章期中考试复习指导一、要求：求函数极限、连续的定义，要求会证明海涅定理和康托定理，会求无穷小的阶，正确叙述函数一致连续和不一致连续的定义，掌握闭区间连续函数的性质。
二、典型例题1.计算下面极限1)4123lim 2x x x →⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭解：()()()()()()()()444123123221234lim lim lim 23222123123x x x x x x x x x x x x x →→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++++⎛⎫+- ⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪--+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2)011limmn x x xxαβ→+-+解：由于：()()121........kk k k k a b a b aa b b ----=-+++，k mn=设()()111,1mna xb x αβ=+=+()()()()()()()()()()()110011222222101111lim lim 1...........111lim1...........1.. (i)1...........nmmn nm nm x x m n n mnm nm x m n n mnm x m x x x x x x x x x x x x x n m x C x C x x x αβαβαβαβαβαβαβα--→→--→-→+-++-+=⎛⎫++++ ⎪⎝⎭+-+=⎛⎫++++ ⎪⎝⎭-++++=++()11nm n x n m mnβαβ-⎛⎫++ ⎪⎝⎭-=3)()()33222300sin sin limlim 0sin sin x x x x x x x x x →→==4)22222222200022sin sin1cos 1222lim lim lim 221cos 22sin sin 222x x x x x x x x x x x →→→-===-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5)31313121333332333lim lim 11131313131x x x x x x x x x x x e ----→+∞→+∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=6)()3301tan 1sin tan sin 1limlim 41tan 1sin x x x xx xx xx x→→+-+-==+++7)211021lim 211()22,()x xxxx x xe x u x ev x x++→+⎛⎫- ⎪⎝⎭+=-=解：设2211001111lim 22lim 221x x x xx x x x x e x x ex x x ++→→+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+⎛⎫⎪-== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭又因为2.对定理证明的要求（必须会证明下面两个定理）1)（Heine 定理）函数()0lim x x f x A →=收敛的充分必要条件：{}()00,,1,2,3,.......lim n n n n x x x x n f x A→∞∀→≠==2)有限闭区间上连续函数是一致连续3.求无穷小阶的计算1)()()sin(112)0f x x x =++-→+解：因为()()()()(112)(112)()sin(112)sin(112)111111sinsin (112)(112)11sin(112)11x x f x x x x x x x x x xx x ++-+++=++-=++++-+++-==++++++++=+++++故()()sin(112)11limlimx x xx x f x x x→→+++++=()()()1sin(112)11lim{(112)11}(112)111/42x xx x x x xx x -→+++++=++++++++++=所以为12阶的无穷小。
北京航空航天大学经济学综合2005年考研真题参考答案
北京航空航天大学2005年硕士研究生入学考试试题科目代码814考试科目：经济学综合一、设效用函数为a n i a i xu /11)(∑==，)1,0(∈α；收入水平为E ；i x 的价格为i p ，求i x 的需求函数。
（本题10分）二、试利用市场供求曲线（假设为直线）分析下列问题：（本题15分）1．向买方征税和向卖方征税时的税赋分担是否一致?2．什么条件下税赋完全由买方负担，什么条件下税赋完全由卖方负担?三、设生产函数为ββ-=1L K Q ，资本K 的使用价格为r ，劳动L 的使用价格为w ，试求成本函数。
（本题15分）四、试说明分时段的航空客票价格是一种价格歧视。
（本题10分）五、自然失业率由哪些部分构成?宏观经济政策所能调整的是哪一种失业?中国失业率的构成与发达国家失业率的构成有什么区别?（本题10分）六、试推导总需求曲线。
（本题10分）七、设BP 曲线为完全弹性，利用IS －LM －BP 模型分析浮动汇率和固定汇率条件下的货币政策和财政政策。
（本题15分）八、试推导“哈罗德一多马均衡增长条件”（本题15分）九、请谈谈财政对我国农村及农业发展的影响（20分）十、请谈谈中国分税制改革，并评价其作用。
（15分）十一、试述国债的政策功能。
（15分）参考答案北京航空航天大学2005年硕士研究生入学考试试题科目代码814考试科目：经济学综合一、设效用函数为a n i a i x u /11)(∑==，)1,0(∈α；收入水平为E ；i x 的价格为i p ，求i x 的需求函数。
（本题10分）解：求i x 的需求函数，即求在收入和其他商品价格一定的条件下，使消费者的效用最大化的情况下，该商品的价格和需求量之间的关系。
1/1max ()n a a i i u x ==∑s.t. 1n i i i E p x==∑建立拉格朗日函数，令λ为拉氏因子。
()12,,i n i F x x x x p ＝1/1()n a a i i x =∑＋1()ni i i E p x λ=-∑ 对自变量一阶求导，得1111111()0 1n i i f x x p x αααλ--=∂=-∂∑＝（）式 1112212()0 2n i i f x x p x αααλ--=∂=-∂∑＝（）式1111()0 i n i i i i i f x x p x αααλ--=∂=-∂∑＝（）式1111()0 n n n i n i n f x x p x αααλ--=∂=-∂∑＝（）式1()0 n 1n i i i f E p x λ=∂=-+∂∑＝（）式 由（1）和（i ） 式得1111)(-=αii p p x x 同理可得1122)(-=αi i p p x x ，1133)(-αii p p x x ＝，………… ，11)(-=αi n i n p p x x 将这些式子代入（n+1）式得11111ii nmm Ep x p αα--==∑即为i x 的需求函数。
北航工科数分(2)期中(07-08)
2007－2008学年第二学期期中考试试题数学分析（下） 2008年4月27日一． 填空题(每小题4分, 共20分)1. 级数∑∞=+13)23(n nnn x的收敛域是 .2. 设函数222)(π-=xx f 在],[ππ-上的Fourier 级数为：∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa , 则=0a , n a = , nb = .3. 函数y xe z 2=在点)0,1(P 处，沿着从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 方向的方向导数为 .4. 3221)ln(limyx e x yy x ++→→= .5. 曲线⎩⎨⎧=++=++64222z y x z y x 在点)1,2,1(处的法平面为 .二． 选择题（每小题4分, 共20分）1. 设 )}({x f n 是定义在区间I 上的函数列，与“函数项级数∑∞=1)(n n x f 在区间I上一致收敛”等价的论断是 ………………………………………………..( ) A ．,,0*N N ∈∃>∀ε当N n m >>，对一切I x ∈,都有 ε<-)()(x f x f n m ;B ．,,0*N N ∈∃>∀ε当N n m >>，对一切I x ∈, 都有 ε<∑=|)(|mnk k x f ;C ．函数列)}({x f n 在I 上一致收敛于0;D ．对每一给定的+∈∃>∀∈N N I x ,0,ε，当N n m >>，都有.|)(|ε<∑=mnk k x f2. 设),(y x f 在),(00y x 的某一个邻域内有定义，则下述论断正确的是……...( ) A ．若),(y x f 在),(00y x 处连续，则),(),(00y 00y x f y x f x ，一定存在; B ．若),(),(0000y x f y x f y x ，存在,则),(y x f 在),(00y x 处连续;C ．若),(),(0000y x f y x f y x ，存在,则),(y x f 在),(00y x 处沿任意方向的方向导数一定存在;D ．若),(),(y x f y x f y x ，存在且连续, 则),(y x f 在),(00y x 处连续.3. 设n R E ⊂，下列叙述中不正确的是……………………………………...( ) A ．如果E 是一个列紧集，则E 必是一个有界闭集; B ．开集E F ⊆，则有o E F ⊆;C ．若E 是闭集，则E 中的所有的点都是E 的凝聚点;D ．若E 是开集，则E 中的所有的点都是E 的凝聚点.4. 下列广义积分收敛的是 …………………..………………………..…………( )A ．+∞⎰B ．1+∞⎰; C ．1 1.6dx x⎰; D. 221(ln )dx x x ⎰.5. 方程1212=-+y xx dxdy 的通解为…………………………………….………()A. x x e x C e 121)(+; B. x xe x C e121)(+-;C. x xe x C e 121)(+--; D. xx e x C e 121)(-+.三、（10分）求幂级数∑∞=1n n nx 的和函数并指明其定义域.四、（10分）求方程x xe y y y 322'3''=+-的通解.五、（10分）设广义积分为dx a x x p⎰+∞+0)(cos ，其中0,0>>p a ，试证明（1）当1>p 时，积分绝对收敛， （2）当10≤<p 时, 积分条件收敛.六、（10分）设),(v u f z =具有二阶连续偏导数，且,22y x u +=yx v =, 求22xz ∂∂.七、（10分）要设计一个容量为4的长方形开口水箱，试问水箱的长、宽、高各等于多少时，其表面积最小？并求出其表面积？八、（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222222y x y x yx y x y x f1) 求偏导数),(),,(y x f y x f y x ，并讨论偏导数在)0,0(处的连续性? 2) 讨论函数),(y x f 在)0,0(处的可微性?2007-2008数学分析（下）期中考试参考答案一. 填空1. )3,3[-2. =0a 235π-, 2)1(2na nn -=, n b = 03.22-4. 2ln5. z x =二．选择1．B 2. D 3. C 4. B 5. B三．解：级数∑∞=1n n nx 的收敛半径是1=R ,当1±=x 时级数发散，所以定义域为)1,1(- ………3分 设 =)(x s ∑∞=1n nnx ，∑∞=-==11)()(n n nxx x S x f 逐项积分，得到⎰∑⎰∞=--==xn xn xxdx nxdx x f 011,1)(………7分所以2')1(1)(x x x x x x S -=⎪⎭⎫⎝⎛-= ………10分 四. 解：特征方程 ,0232=+-r r 的特征根为：，，2121==r r ………3分所以对应齐次方程通解为： ,221x x e c e c Y += ………5分,3=λ不是方程的根，设xeB Ax y 3)(*+=为方程的一个特解，带入方程得x B A Ax 2232=++， 所以 ⎪⎩⎪⎨⎧-==231B A 所以 xe x y 3)23(*-= ………8分所以通解为： .)23(3221x x x e x e c e c y -++= ………10分五、解：（1）当1>p 时，axaxx pp+≤+1c os 而⎰+∞+01dxax p收敛，所以原积分绝对收敛。
工科数学分析中的探索类问题及教学案例
（ ）Ｈｅ ｅ ７ ｉ 定理 ： 函数 ， ｚ ｎ 设 （ ）定义在
［ ， ］ 在 这两个 剩 余 区间 中再 去 掉 中间 的 三分 之 １，
。
一
开 区间 ， 下 四个 闭 区 间． 余 如此 重 复 下 去 ， 次 去 每
ｕ。ｚ ； 一 ｛ （ｏ ） ｚ１ ０＜ — ｏ＜ 艿 ， ）
匙 ， 为科 学 的皇后 ” 数 学 被认 为是 科 学 的语 言 和 成 ． 思维 的 工具． 们 的授课 群体是 工科 的学 生 ， 教学 我 在 过程 中如果采 用与 传统数 学 系一样 的教学 模式 显然 是不 行 的． 工科 学 生更 关 心 的 是数 学 能 带 给他 们 什
么， 能解 决什 么 问题 ， 因此教学 的核 心是让 学生 体会
解， 强调 数学 的应用 性 ． 根据 数 学 分 析 的经 典 内容 ， 我 们设 置 了系列探 索类 问题 ， 括 ： 础理 论 问题 ， 包 基
１ 设 置 系列 探 索 类 问题 的 研 究
康 德说“ 自然科 学 的发展 ， 决 于其方 法和 内容 取
与数 学结 合 的程度 ， 学 成 为 打开 知 识 大 门的金 钥 数
下 面 极 限 ｌ ｆ ｘ） Ａ ｉ （ ＝ ｍ
Ｏ 、
掉 上次 区间 中的三分 之 一． 托 集 是 由所 有 区 间 中 康 被 去掉 的三分 之一 区间 以后 在 ［ ， ］ 剩余 的点 ． Ｏ１上 （）证 明被 去 掉 区间的 长度之 和为 １ 但 康 托集 ａ ，
有 无穷 多个 点． ．
断思 考” 这 看似 简单 的 回答却 给 出 了一个 真 理 ： ． 几
乎所 有 的伟 大发 现都 归 功 于不 断 的思 考． 因此 数 学 教育 要为学 生创 造一 种 环 境 ， 学 生 身 临其 境 地 介 使
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2． lim
n
n3 n5 = 0
3． 设当 x
0 时， , 是等价无穷小， （ 0 ） ， lim (1 ) =
x 0
1
1
4． y x x
x , 则 y '=
x x x
1 1 2 x x 2 x
1
北京航空航天大学数学分析(上)期中考试试题
2005 年 11 月 13 日 班级 一 二 学号 三 四 五 姓名 六 加选 总分
一、填空题 (每小题 4 分,共 20 分) 1． 设曲线 y f ( x) 在原点与曲线 y sin x 相切，则 lim n
n
2 f ＝ n
2
n
| f ( sn ) f (tn ) | 0 。 C . 0 0 ， n N ，对 [a, b] 中一切满足 sn tn | f ( sn ) f (tn ) | 0 。 D . 0 0 ，对 [a, b] 中一切满足 lim sn tn 0 的数列 sn , tn ，都有
由罗尔定理，存在 (0,1) ， 使得 F ( ) 0,
此即
3
f ' ( ) f ' (1 ) f ( ) f (1 )
七、加选题（10 分） 设数列 xn a2 a1 a3 a2 an an 1 , 证明：若数列 xn 有界，则数列 an 必定收敛． 证明： （1）因为
1 x （5） lim x 1 e x x
令t
1 t e lim e 1 ， 原式= lim t t 0 0 x t
1 t
1 ln (1 t ) t
e
t
e lim
t 0
e
1 ln (1 t ) 1 t
Ａ．不连续 Ｃ．连续且可导
x0 x0
,
则在 x = 0 处
【 C
】
Ｂ. 连续但不可导
D. 导函数连续
3．设 f ( x) 在 [a, b] 上连续，且 f ( x) 0 。则 A． f ( x) 在 [a, b] 上恒为正 C.
【 D B． f ( x) 在 [a, b] 上有正有负 D.
1
t
ln(1 t ) 1 1 1 ln(1 t ) t t e t 1 t e lim e lim e lim e lim 2 t0 t 0 t t 0 0 t t 2t 2 t (1 t ) 2
四、证明题（10 分） 设数列 {an } 是无穷大， {bn } 是有界数列．用定义证明 证明： （1） n N , M 0, b n M （2） A
5． 设函数 y y ( x) 由方程 e 2 xy e 确定，
y
dy dx
=
x 0
2 e
二、单项选择(每小题 5 分,共 20 分) 1． 与 lim a n A 不等价的一个命题是
n
【 C
】
A . 0 ， N N ，对于所有满足 n N 的 n N ，都有 | a n A | ； B . 0 ， N N ，对于所有满足 n N 的 n N ，都有 | an A | 2 ；
所以
xn p xn
an
也是柯西列，故收敛。
p(0) b 0
x
证明： （1） （2）
lim
p(x) A 0, p( A) 0
ห้องสมุดไป่ตู้
x
lim p ( x ) B 0 , p ( B ) 0
（3） p ( B ) P ( 0 ) 0 ( B , 0 ) , p ( ) 0
（2） y x , 求 y '
x
y ' x x (ln x 1)
（3）设 x 1 t ,
2
y cos t , 求
d2y dx 2
dy sin t dx 2t 2 d y t cos t sin t 1 sin t t cos t dx 2 2t 2 2t 4t 3
n 1, 2,
xn
单调增，有界，所以 xn 收敛。进而可知 xn 是柯西列，即
0,N N
（2）考虑数列 an ：
,n N , p N
, xn
p
xn
a n p a n ( a n p a n p 1 ) ( a n p 1 a n p 2 ) ( a n 1 a n ) a n p a n p 1 a n p 1 a n p 2 a n 1 a n
】
f ( x) 在 [a, b] 上恒为负
f ( x) 在 [a, b] 上不变号
【 B 】
4． 设 f ( x) 在 [a, b] 不一致连续， 则在下列表述中正确的一个是
A . 0 0 ， 0 ，对 [a, b] 中一切满足 x ' x '' 的 x ', x '' ，都有 | f ( x ') f ( x '') | 0 。 B . 0 0 ，在 [a, b] 中存在 lim sn tn 0 的数列 sn , tn ，使得
p ( A ) P ( 0 ) 0 ( 0 , A ) , p ( ) 0
所以， p ( x) 0 至少有两个零点。
六、证明题（10 分） 设 f ( x) 在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 内可导; f (0) 0 ，在 (0, 1) 内 f ( x) 0 .
n
1 的 sn , tn ，都有 n
| f ( sn ) f (tn ) | 0 。
三、计算题（每小题 6 分,本题共 30 分） （1） lim
tan x x x 0 x sin x
sec2 x 1 tan 2 x x2 lim lim lim 2 2 x 0 1 cos x x 0 1 cos x x 0 x 2
bn 0． n an lim
M
0, N N
, n N , an A
bn an M an
M
M A
(3)
0,N N
bn 0 n a n
,n N ,
所以， lim
五、证明题（10 分） 设n
2 为偶数， b 0 ．求证多项式 p( x ) x n x n 1 x b 至少有两个零点．
证明: 存在
(0,1) ， 使得 3
f ' ( ) f ' (1 ) ． f ( ) f (1 )
证明： 令
F ( x) f 3 ( x) f (1 x)
则 F ( x) 在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 内可导，且 F (0) F (1) 0
（4） y x sin 2 x ，求 y
2
(50)
50 49 48 y (50) 250 x 2 sin 2 x 249 50 2 x sin 2 x 248 50 49sin 2 x 2 2 2
C . 0 ， N N ，对于所有满足 n N 的 n N ，都有 | a n A | n ； D . 0 ， N N ，对于所有满足 n N 100 的 n N ，都有 | a n A | 100 ． 1 2 x sin x 2. 设函数 f ( x) 0