例说离心率的计算策略

例说离心率的计算策略

650212 云南省昆明光华学校高中部 廖道忠

一、利用基本参量

在椭圆中，离心率221a b a c e -==，在双曲线中，22

1a

b a

c e +==.

例1（1）已知椭圆上的动点P 到椭圆的一个焦点的距离的最大值与最小值分别为28，，

则该椭圆的离心率为 .（2）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，且两条渐近线的方程为043,043=-=+y x y x ，则双曲线的离心率为 .

解：（1）由椭圆的性质得,2

8⎩⎨⎧=-=+c a c a 3,5==∴c a ，.53=∴e （2）两渐近线即x y 43

±=.

当焦点在x 轴上时，有43=a b ，45122=+=a b e ；当焦点在y 轴上时，有34=a b ，35

122=+=a b e .

故填“

45或3

5

”. 二、利用第二定义

由第二定义，椭圆、双曲线离心率即曲线上的动点到焦点的距离与到对应的准线的距离之比.

例2 已知动点),(y x M 满足23)1()1(22+-=-+-y x y x ，则M 的轨迹曲线的离心

率为 .

解：由23)1()1(2

2

+-=

-+-y x y x 得2

232)1()1(2

2+-⋅

=-+-y x y x ，即动点

),(y x M 到定点)1,1(的距离等于M 到定直线023=+-y x 的距离的2倍，∴M 的轨迹为双

曲线，且离心率为2.

三、利用“焦点三角形”

我们把椭圆或双曲线上的一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形21F PF 称作“焦点三角形”.在椭圆中，2

121PF PF F F e +=

；在双曲线中，2

121PF PF F F e -=

.

例3 右图中多边形均为正多边形，图①中1F 、2F

焦点，M 、N 图②中1F 、2F 为椭圆的焦点，M 、N 、P 、Q 的中点，则双曲线的离心率为 .

解：在椭圆中，连N F 1，设正三角形的边长为2x ，则

x F F 221=，x N F =2，x N F 31=，.131

322121-=+=

+=

∴N

F N F F F e

在双曲线中，连Q F F F 121,，设正六边形的边长为x 2，则x F F 421=，x Q F =2， 四、利用参量关系式

先得到c b a ,,间的关系式，然后利用222c a b -=或222a c b -=化去b ，得到关于c a ,的齐次方程式，进而解出离心率. 例4 如图，椭圆的左焦点F 、上顶点B 与右顶点

A 恰好构成以B

解：FBA ∆为直角三角形，2

22FA BA FB =+∴.

∴2222)()(c a c b a +=++，将222c a b -=代入，整理得022=-+a ac c .两边同除以2a 得

012=-+e e ，251+-=

∴e （2

5

1--=e 舍去）. （650212 云南省昆明光华学校高中部 廖道忠 电子邮箱：）