课外练习2_二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(第二课时)-优质公开课-华东师大9下精品
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》(第2课时)课件
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y ＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．
解：由题意，得aa＋－bb＋＋cc＝＝06，，解得ab＝＝2－，3，
c＝1，
c＝1，
∴二次函数的解析式为y＝2x2－3x＋1
知识点2：利用“顶点式”求二次函数的解析式 4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式 为( D ) A．y＝2(x＋1)2＋8
B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝29(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8
5．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y轴交于点(0，3)，求 这条抛物线的解析式．
解：由题意，设二次函数的解析式为y＝a(x－4)2－1，把(0，3)代入 得3＝a(0－4)2－1，解得a＝14，∴y＝14(x－4)2－1 知识点3：利用“交点式”求二次函数的解析式 6．如图，抛物线的函数表达式是( D )
A．y＝12x2－x＋4 B．y＝－12x2－x＋4 C．y＝12x2＋x＋4 D．y＝－12x2＋x＋4
7．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1， 0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析 式．
解：由题意，设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，把(0，－2) 代入得－2＝－2a，∴a＝1，∴y＝(x＋1)(x－2)，即y＝x2－x－2
8．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能 是( D )
A．y＝x2－x－2 B．y＝－12x2－12x＋2 C．y＝－12x2－12x＋1 D．y＝－x2＋x＋2
9．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c
九年级数学上册-二次函数y=ax2 bx c的图象和性质第2课时教案新版新人教版
第2课时用待定系数法求二次函数的解析式【知识与技能】利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式.【过程与方法】通过介绍二次函数的三点式,顶点式,交点式,结合已知的点,灵活地选择恰当的解析式求法.【情感态度】经历用待定系数法求解二次函数解析式的过程,发现二次函数三点式、顶点式与交点式之间的区别及各自的优点,培养学生思维的灵活性.【教学重点】待定系数法求二次函数的解析式.【教学难点】选择恰当的解析式求法.一、情境导入,初步认识问题我们知道,已知一次函数图象上两个点的坐标,可以用待定系数法求出它的解析式,试问:要求出一个二次函数的表达式,需要几个独立的条件呢？【教学说明】对于问题,教师应与学生一起交流,明确确定一个一次函数表达式为什么需要两个独立的条件的原因,进而获得确定一个二次函数表达式需要三个独立的条件.二、思考探究,获取新知在前面的情境导入中,同学们已经知道确立一个二次函数需要三个条件.事实上,求二次函数y=ax2+bx+c的解析式,关键是求出待定系数a、b、c的值.由已知条件（如二次函数图象上的三个点的坐标）列出关于a、b、c的方程组,并求出a、b、c,就可以写出二次函数表达式.回顾前面学过的知识,已知学过y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k等几种形式的二次函数,所以在利用待定系数法求二次函数解析式时,一般也可分以下几种情况: （1）顶点在原点,可设为y=ax2;（2）对称轴是y轴（或顶点在y轴上）,可设为y=ax2+k;（3）顶点在x轴上,可设为y=a(x-h)2;（4）抛物线过原点,可设为y=ax2+bx;(5)已知顶点（h,k）时,可设顶点式为y=a(x-h)2+k;（6）已知抛物线上三点时,可设三点式为y=ax2+bx+c;（7）已知抛物线与x 轴两交点坐标为（x 1,0）,(x 2,0)时,可设交点式为y=a(x-x 1)(x-x 2).【教学说明】教师在教学时,可由浅入深进行讲解.对每一种情形,可先让学生自主思考探索交流想法后,再共同总结出各情况的设法,学生在思考中加深对知识的理解、记忆与掌握.三、典例精析,掌握新知例根据下列条件,分别求出对应的二次函数解析式.（1）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点（1,0）,（-5,0）,顶点的纵坐标为92,求这个二次函数的解析式.（2）已知二次函数的图象经过（-1,10）,（1,4）,（2,7）；（3）已知二次函数的图象的顶点为（-1,3）,且经过点（2,5）.分析:(1)由已知的两点（1,0）,（-5,0）的纵坐标知,这两点是关于对称轴对称的两个点,即对称轴为直线x=-2,由此可知顶点坐标为（-2,9/2）,可用交点式和顶点式两种方法求解.(2)已知三点坐标,即直接给出了三组对应关系,可通过设三点式用待定系数法求解.（3）由条件初看起来似显不足,因为只给出经过图象上的两点的坐标,但若注意到顶点坐标实际上存在着两个独立等式,即有2b a-=-1, 244ac b a -=3,因此仍可求出相应二次函数解析式.这时可利用一般式,代入求值得到结果,也可设这个二次函数解析式为y=a （x-h ）2+k,其中h,k 可直接由顶点坐标得到,即h=-1,k=3,再把（2,5）代入求出a 值,可快速获得该二次函数表达式.解:（1）方法一:设这个二次函数的解析式为y=a(x-1)(x+5),则a(-2-1)(-2+5)=9/2,∴a=-1/2,y=-1/2(x-1)(x+5)=-1/2x 2-2x+5/2,即这个二次函数解析式为y=-1/2x 2-2x+5/2.方法二:∵图象过（1,0）,（-5,0）,则对称轴为直线x=-2,设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)2+9/2,则a(1+2)2+9/2=0,解得a=-1/2.∴y=-1/2(x+2)2+9/2=-1/2x 2-2x+5/2,即这个二次函数解析式为y=-1/2x 2-2x+5/2.（2）设所求的二次函数解析式为y=ax 2+bx+c （a ≠0),由题意,有: 104427a b c a b c a b c -+=++=++⎩=⎧⎪⎨⎪，，， 解这个方程组,得235.a b c =⎧⎪=⎩=-⎪⎨，，故所求二次函数解析式为y=2x 2-3x+5；（3）方法一:设所求的二次函数表达式为y=ax 2+bx+c （a ≠0）,由题意,有:242512434a b c b a ac b a ++=-=--=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，，， 解得:294929.9a b c ⎧⎪⎪==⎪⎨=⎪⎪⎪⎩，， 故所求二次函数解析式为y=2/9x 2+4/9x+29/9；方法二:设所求的二次函数表达式为y=a （x-h ）2+k(a ≠0),由题意,有:h=-1,k=3,即y=a （x+1）2+3.把（2,5）代入,得5=a ×9+3.∴a=2/9.故所求二次函数解析式为y=2/9(x+1)2+3,即y=2/9x 2+4/9x+29/9.【教学说明】可让学生先独立思考,求出解析式,并交流结果,让快速完成的同学体验成功的喜悦；对出现的问题,让他们自查并反思,加深印象,在学生完成后,师生共同探索,总结收获.教师给出完整解答,规范学生的答题过程,最后教师引导学生做教材第40页练习.四、运用新知,深化理解1.抛物线y=ax 2+bx-3过点（2,4）,则代数式8a+4b+1的值为（ ）A.3B.9C.15D.-152.抛物线y=mx 2-3x+3m-m2过原点,则m=_____,该抛物线的关系式为________.3.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的解析式:（1）已知二次函数的图象经过点A （0,-1）,B （1,0）,C （-1,2）；（2）二次函数的图象顶点为（3,-2）,且图象与x 轴两个交点间的距离为4；（3）抛物线的对称轴为直线x=2,且经过点（1,4）和（5,0）.【教学说明】1、2两题较为简单,可让学生自主完成,第2题注意抛物线解析式中的二次项系数不能为0.解第3题时,应注意关注学生是否能根据不同条件设二次函数的解析式.【答案】1.C 2.3 y=3x 2-3x3.（1）y=2x 2-x-1;(2)y=1/2(x-3)2-2,即y=1/2x 2-3x+5/2.【解析】依题意,可设此二次函数表达式y=a(x-3)2-2,又它的对称轴为x=3,且图象与x 轴两交点间距离为4,可知图象与x 轴的交点坐标应分别为(1,0)和(5,0),从而可求出二次函数表达式;(3)∵对称轴为直线x=2,且过点（5,0）,则必过点（-1,0）.故可设抛物线的解析式为y=a(x-5)(x+1).又抛物线过点(1,4),∴4=a(1-5)(1+1),∴a=-1/2.故抛物线的解析式为y=-1/2(x-5)(x+1),即y=-1/2x2+2x+5/2.五、师生互动,课堂小结求解析式时,要灵活运用待定系数法设出适当的解析式,师生一起回忆设二次函数解析式的几种情况.1.布置作业:教材习题22.1第8、10、12题.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业“部分。
《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(^2)》名师课件
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：确定含a,b,c的相关代数式的符号
重点、难点知识★▲
活动2 合作归纳，获取新知
2.4a+2b+c的符号：由x=__2__时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方 4a+2b+c__＞__0 点在x轴下方 4a+2b+c__<__0 点在x轴上 4a+2b+c__=__0
综上所述，正确的结论有2个．故选：B．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究三：应用本节所学知识解题
活动2 提升型例题
例3 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个 结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2， 其中正确的结论有（ B ）
1 例4 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为 x 2 .
下列结论中，正确的是（ ）
A.abc>0 B.a+b=0
C.2b+c>0 D.4a+c<2b
【解题过程】
解：观察图形知，抛物线的开口方向向上，a＞0,
对称轴是直线 所以b＞0,
x
1 2
，代人对称轴公式得：a=b,
例1 如图，若a<0，b>0，c>0，则二次函数y=ax²+bx+c的图象 大致是( A )
【解题过程】 解：∵a<0，∴图象开口向下；由a<0，b>0，得对称轴 x b ＞0，∴图象对称轴在y轴右侧；∵c>0，∴图象交y轴正半 2a 轴，故选A.
26.1 二次函数y=ax2的图象与性质 精品作业课件(课程配套练习) 公开课一等奖课件
1 2 解：(1)y＝ x (2)图略 (3)抛物线；当 x＞0 时，y 随 x 4 的增大而增大 (4)有最小值为 0
18． (10 分)如图所示， 某桥洞的截面是抛物线形， 在图中 建立的直角坐标系中，抛物线所对应的二次函数的关系式为 1 2 y＝－ x ，当桥洞中水面宽 AB 为 12 米时，求水面到桥拱顶 4 点 O 的距离．
解：水面到桥拱顶点 O 的距离为 9 米
【综合运用】 19．(12 分)已知点 A(－3，－9)是顶点在原点的抛物线上 的一点 ，点 P(x，y)是抛物线上的一个动点 ，且在第四象限 内．点 B 在 x 轴正半轴上，且 OB＝4，△OPB 的面积为 S. (1)求抛物线的函数关系式； (2)分别求 S 和 y，S 和 x 之间的函数关系式，并判断它们 是什么函数，直接写出自变量的取值范围．
)
3．(4分)某课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，分别做了四种不 同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是( D ) A．在某个公园调查了1 000名老年人的健康状况 B．在医院调查了1 000名老年人的健康状况 C．调查了10名老年邻居的健康状况 D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况 4．(4分)下列调查的样本缺乏代表性的是( C ) A．在大学生中调查大学生课余时间娱乐的主要方式 B．调查学号为3的倍数的学生，以了解学生对学校某项新举措的意见和建议 C．在老年活动中心调查市民对春节联欢会的喜好程度 D．在某校九年级中调查全市九年级学生的身体发育情况
解： (1)y＝－x2 (2)S＝－2y， 它是一次函数， 自变量 y＜ 0；S＝2x2，它是二次函数，自变量的取值范围为 x＞0.
抽样调查时 ， 所选取的样本要有 __ 代表性 __ ， 样本容量要足够 __大__．仅仅增加调查人数不一定能够提高调查质量 ，开展调查 之前，要仔细检查总体中的每个个体是否都有可能成为 _调查对象 __．
22.1.2-二次函数y=ax2的图象和性质(公开课)
R· 九年级上册
新课导入
问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
列表、描点、连线 一条直线
问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们画最简单 的二次函数y=ax2的图象.
x · · · -3 1 y x2 · · · 3 3 x · · · -3 -2 4 3 -1 1 3 0 0 0 1 1 3 2 4 3 3 3 3 · · · · · ·
y
y
1 2 x 3
O
x
-2 -1 4 1 1 y x2 · · · -3 3 3 3
1 2 1 4 0 3 3
· · ·
y 1 2 x 3
-3 · · ·
综合应用 5. 已知一次函数y=ax+b和二次函数是y=ax2，其中a≠0， b<0，则下面选项中，图象可能正确的是（ C ）
× × y=ax+b与y轴交点（0，b）
b<0 y=ax+b单调递增 a>0，
y=ax2开口向上
√
交点在y轴负半轴，故B、D错； y=ax+b单调递减 a<0， 故A错； y=ax2开口向下
2. ④y =-4x2；⑤y = 4x2.
a>0
已知下列二次函数①y=-x2；②y=
3 2 x ；③y=15x2； 5
② ③ ⑤ （填序号）； （1）其中开口向上的是________ ① （填序号）； （2）其中开口向下且开口最大的是______ ① ④ （填序号）. （3）有最高点的是_______
-1
2.2第2课时二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质(教案)
3.数学思维能力：激发学生运用数学思维，通过对比、归纳、推理等方法，探索二次函数图象与性质的一般规律，提升数学素养。
4.实践应用能力：将所学知识应用于解决实际问题，培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力，增强数学与现实生活的联系。
-二次函数y=ax2+c的图象与性质：掌握图象与y=ax2的图象之间的关系，理解c对图象的影响，即上下平移的规律。
-举例：通过图象比较，让学生直观感受c值对图象的影响，明确平移的规律；引导学生发现平移前后顶点坐标的关系。
2.教学难点
-对称轴、顶点概念的理解：对称轴是二次函数图象的关键特征，而顶点是图象的最值点，学生对这些概念的理解可能存在困难。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
《二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质》教案 (公开课)2022年湘教版数学
1．2 二次函数的图象与性质第1课时 二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质1．会用描点法画二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象，理解抛物线的概念；(重点)2．掌握形如y ＝ax 2(a >0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)一、情境导入自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象y ＝(k ＋2)xk 2＋k 是二次函数． (1)求k 的值；(2)画出函数的图象．解析：根据二次函数的定义，自变量x 的最高次数为2，且二次项系数不为0，这样能确定k 的值，从而确定表达式，画出图象．解：(1)∵y ＝(k ＋2)xk 2＋k 为二次函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k ＝2，k ＋2≠0，解得k ＝1；(2)当k ＝1时，函数的表达式为y ＝3x 2，用描点法画出函数的图象．列表：x －1－12121…y ＝3x 2 3 34 0 343 … 描点：(－1，3)，(－12，34)，(0，0)，(12，34)，(1，3)． 连线：用光滑的曲线按x 的从小到大的顺序连接各点，图象如下列图．方法总结：列表时先取原点(0，0)，然后在原点两侧对称地取四个点，由于函数y ＝ax 2(a ≠0)图象关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以先计算y 轴右侧的两个点的纵坐标，左侧对应写出即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第7题探究点二：二次函数y ＝ax 2(a >0)的性质点(－3，y 1)，(1，y 2)，(2，y 3)都在函数y ＝x 2的图象上，那么y 1、y 2、y 3的大小关系是________．解析：方法一：把x ＝－3，1，2分别代入y＝x2中，得y1＝9，y2＝1，y3＝2，那么y1>y3>y2；方法二：如图，作出函数y＝x2的图象，把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y1>y3>y2；方法三：∵该图象的对称轴为y轴，a>0，∴在对称轴的右边，y随x的增大而增大，而点(－3，y1)关于y轴的对称点为(3，y3)．又∵3>2>1，∴y1>y3>y2.方法总结：比较二次函数中函数值的大小有三种方法：①直接把自变量的值代入解析式中，求出对应函数值进行比较；②图象法；③根据函数的增减性进行比较，但当要比较的几个点在对称轴的两侧时，可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点，转化到同侧后，然后利用性质进行比较．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第2题探究点三：二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质的简单应用函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数．(1)求满足条件的m的值；(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x 的增大而增大？解析：由二次函数的定义知：m2＋m －4＝2且m＋2≠0；抛物线有最低点，那么抛物线开口向上，即m＋2>0.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m2＋m－4＝2，m＋2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m＝2或m＝－3，m≠－2，∴当m＝2或m＝－3时，原函数为二次函数；(2)假设抛物线有最低点，那么抛物线开口向上，∴m＋2>0，即m>－2，∴取m ＝2.∴这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)．当x>0时，y随x的增大而增大．方法总结：二次函数必须满足自变量的最高次数是2且二次项的系数不为0；函数有最低点即开口向上．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第9题三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.第2课伟大的历史转折1教学分析【教学目标】知识与能力知道中共十一届三中全会召开时间；了解它的背景，理解其重大意义；了解拨乱反正加强了民主与法制建设，推动了社会主义现代化建设；学会在历史开展的进程中认识历史人物、历史事件的地位和作用过程与学会运用原因与结果、联系与综合等概念，理解中共十一届三中全会的召开方法背景与历史意义情感态度与价值观认同中国共产党完全有能力领导中国人民取得社会主义建设事业的成功识改革开放是我国的强国之路【重点难点】教学重点：中共十一届三中全会教学难点：中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2教学过程一、导入新课“文化大革命〞时期，我国教育遭到了很大破坏，高考中断了十年。
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(第二课时)(课件)九年级数学上册(人教版)
C. y=(x-2)2-1
D. y= 1 (x-2)2-1 2
分层作业
3．一抛物线的形状、开口方向与抛物线 y= 1 x2-2x+3 相同，顶点为(-2，1)，则此抛物线的解析式为( )
2
A. y= 1 (x-2)2+1
2
B. y= 1 (x+2)2-1
2
C. y= 1 (x+2)2+1
2
D. y= 1 (x-2)2-1
分层作业
【拓展延伸作业】
6.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC. (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点 D 是抛物线的顶点，求△BCD 的面积.
分层作业
解：(1)：抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC， ∴OC=OB=3. ∴C(0.3), 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)，将 C(0，3)代入得， -3a=3. ∴a=-1, ∴抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3；
∴DE=4-2=2，
∴S△CDB= 1 DE·OB= 1 ×2×3=3
2
2
分层作业
7. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点(0，-1)和(2，7)
(1)求二次函数解析式及对称轴
(2)若点(-5，y1)(m，y2)是抛物线上不同的两个点，且 y1+y2=28，求 m 的值
解：把（0，-1)和(2，7)分别代入 y=x2+bx+c 可得： (2)把 x=-5 代入二次函数得：y1=14，
《二次函数的图像和性质》公开课教案 (省一等奖)2022年人教版1
二次函数y=ax 2的图像和性质教学目标知识与技能 1会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象，了解抛物线的有关概念。
2通过观察图象探索二次函数y=ax 2的图象特征和性质过程与方法 经历、探索二次函数y=ax 2的图象性质的过程，养成观察、思考、归纳的思维习惯。
情感态度与价值观注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯。
重点 观察二次函数y=ax 2的图象，探索它的图像特征和性质 难点 分段讨论二次函数y=ax 2的增减性 教法、学法 引导、启发 自主学习、合作交流 课型新授课教学准备 直尺、导学案 教学流程教师活动学生活动 二次备课 一、自主学习 知识回忆用描点法画函数图象的一般步骤是什么？ 我们是如何研究一次函数的图象和性质的？二次函数的一般形式是什么？对各项系数有何要求？ 你认为最简单的二次函数形式是什么？ 回忆出示学习目标1、会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象，了解抛物线的有关概念。
2、通过观察图象探索二次函数y=ax 2的图象特征和性质。
明确目标出示自学提纲1、在同一直角坐标系中，画出函数y=x 2 、y=2x2、y ＝12x 2 的图象2、观察并比拟三个图象，答复以下问题。
⑴图象形状是一条________，⑵图象是轴对称图形，对称轴为______。
⑶图象与对称轴的交点坐标是_______.此点也是抛物线的最_____点。
⑷图象的开口方向________.⑸当x ＞0时，y 的值随着x 的增大而______，当x ＜0时，y 随着x 的增大而________.⑹三个图象中________开口最大，________开口最小。
3、归纳：当a ＞0时，二次函数y=ax 2的图象和性质。
x … －3 －2 －10 1 2 3 …y=x 2… 9 4 1 0 1 4 9 …y=2x 2… … y ＝12x 2… … 阅读提纲， 〔1〕~〔4〕y=ax 2开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 a ＞0a 越大，抛物线的开口越______.4、在同一直角坐标系中，画出函数y=－x 2、y=－2x2y ＝－12x 2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点? x … -2 -1 0 1 y=-x 2… y=-2x 2 … y ＝-12x 2…5、归纳：当a ＜0时，二次函数y=ax 2的图象和性质。
二次函数的图象与性质(第二课时)课件
当c＜ 0 时,向下平移-c个单位长度得到；
规律：上加下减
课堂小结
图
象
抛
物
线
开口方向
性 质
对称轴:轴
增 减 性
与y=ax 2
的关系
轴对称图形
随堂训练
1.填表：
函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
有最高（低）点
向下
（, ）
y轴
有最高点
向上
(, )
y轴
有最低点
−
=
为
.
4.从＝ −3的图象上可以看出，当− ≤ ≤ 时，的取值范围是 − ≤ ≤ .
5.在同一坐标系中，函数 = + 与 = + 的图象的相对位置可以是（ A
O
O
A
B
O
C
O
D
6.已知二次函数＝ + ,当x取，（ ≠ ）时，函数值相等，则当x＝x1+x2
向下
(, −)
y轴
有最高点
2
x +2的顶点坐标是 (, ) ，对称轴是
y轴
2.抛物线 = −
，在对
称轴的左侧，随的增大而 增大 ；当 =
时，有最 大 值
是 .它可以由抛物线 = − x2向 上 平移 个单位得到.
3.已知二次函数 = − 的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的解析式
图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
?
y=3x2-1
2022年初中数学《二次函数y=ax2的图象和性质1》精品教案》公开课教案
21．2二次函数的图象和性质1．二次函数y＝ax2的图象和性质1．正确理解抛物线的有关概念；(重点)2．会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，概括出图象的特点；(重点)3．掌握形如y＝ax2的二次函数图象的性质，并会应用；(难点)4．通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力．一、情境导入我们都见过篮球运发动投篮，你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗？它是如何画出来的？我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线，你还能举出一些抛物线的例子吗？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2的图象【类型一】画二次函数y＝ax2的图象在同一平面直角坐标系中，画出以下函数的图象：①y＝12x2；②y＝2x2；③y＝－12x2；④y＝－2x2.根据图象答复以下问题：(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？解析：要画出四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表．解：列表：描点、连线，函数图象如以下图．(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y 轴；(2)函数y ＝2x 2和y ＝12x 2的图象有最低点，函数y ＝－12x 2和y ＝－2x 2的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是(0，0)．方法总结：(1)画形如y ＝ax 2(a ≠0)的图象时，x 的值应从最低(或最高)点起左右两边对称地选取．(2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起来，一定注意连线要平滑，不能画成折线．(3)抛物线的概念：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象是抛物线，简称为抛物线y ＝ax 2.(4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点．抛物线的顶点也是它的最低点或最高点．【类型二】同一坐标系中两种不同图象的判断当ab >0时，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝ax ＋b 在同一直角坐标系中的图象大致是( )解析：根据a、b的符号来确定．当a>0时，抛物线y＝ax2的开口向上．∵ab>0，∴b>0.∴直线y＝ax＋b过第一、二、三象限．当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向下．∵ab>0，∴b<0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、四象限．应选D.方法总结：本例综合考查了一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析．探究点二：抛物线y＝ax2的开口方向、大小与系数a的关系如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，那么a、b、c、d的大小关系为()A．a>b>c>dB．a>b>d>cC．b>a>c>dD．b>a>d>c答案：A方法总结：抛物线y＝ax2的开口大小由|a|确定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．探究点三：二次函数的图象与几何图形的综合应用二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求：(1)a，b的值；(2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标；(3)△AMB的面积．解析：直线与二次函数y＝ax2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB的面积，一般应画出草图进行解答．解：(1)∵点A (1，b )是直线y ＝2x －3与二次函数y ＝ax 2的图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ×12，b ＝2×1－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1； (2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)．由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)；(3)如以下图，作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C 、D ，根据点的坐标的意义，可知MD ＝3，MC ＝1，CD ＝1＋3＝4，BD ＝9，AC ＝1，∴S △AMB ＝S 梯形ABDC －S △ACM －S △BDM ＝12×(1＋9)×4－12×1×1－12×3×9＝6.方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题．探究点四：二次函数y ＝ax 2的性质【类型一】二次函数y ＝ax 2的增减性作出函数y ＝－x 2的图象，观察图象，并利用图象答复以下问题：(1)在y 轴左侧图象上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使x 2<x 1<0，试比拟y 1与y 2的大小；(2)在y 轴右侧图象上任取两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，使x 3＞x 4＞0，试比拟y 3与y 4的大小．解析：根据画出的函数图象来确定有关数值大小比拟，是一种比拟常用的方法．解：(1)图象如以下图，由图象可知y 1＞y 2；(2)由图象可知y 3<y 4.方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图，进行观察和分析以免解题时产生错误．【类型二】二次函数y ＝ax 2的最值函数y ＝(1－n )xn 2＋n －4是关于x 的二次函数，当n 为何值时，抛物线有最低点？并求出这个最低点的坐标．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？解：∵函数y ＝(1－n )xn 2＋n －4是关于x 的二次函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋n －4＝2，1－n ≠0.解得n ＝2或n ＝－3.∵抛物线有最低点，∴1－n >0，即n <1.∴n ＝－3.∴当x >0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：抛物线有最低点或最高点是由抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的二次项系数a 的符号决定的；当a >0时，抛物线有最低点；当a <0时，抛物线有最高点．而此题常错误地认为n >0时，抛物线有最低点．正确的答案应为1－n >0，即n <1时，抛物线有最低点，因为二次项系数是(1－n )．探究点五：利用二次函数y ＝ax 2的图象和性质解题 【类型一】利用二次函数y ＝ax 2的性质解题当m 为何值时，函数y ＝mxm 2－m 的图象是开口向下的抛物线？当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？解：由题意，得m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m 2－m ＝2，解得m ＝－1.当x <0时，y 随x 的增大而增大．这个函数有最大值，最大值是0.方法总结：此题主要考查函数y ＝ax 2(a ≠0)的有关性质．当a >0时，图象开口向上，函数有最小值0；当a <0时，图象开口向下，函数有最大值0.当a <0且x <0时，y 随x 的增大而增大．【类型二】二次函数y ＝ax 2的图象和性质的实际应用如图，是一座抛物线形拱桥的示意图，在正常水位时，水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m ，水面CD 的宽为10m.(1)建立如以下图的坐标系，求此抛物线的函数表达式；(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶了1h 时，突然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时的速度持续上涨(货车接到通知时，水位在CD 处，当水位涨到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行)．问：如果货车按原来速度行驶，能否平安通过此桥？假设能，请说明理由；假设不能，要使货车平安通过此桥，速度应超过每小时多少千米？解：(1)设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2(a ≠0)，拱桥最高点O 到水面CD 的距离为h m ，那么D (5，－h )，B (10，－h －3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧25a ＝－h ，100a ＝－h －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－125，h ＝1.∴抛物线的函数表达式为y ＝－125x 2； (2)水位由CD 处涨到最高点O 的时间为h ＝＝4(h)，货车按原来速度行驶的路程为40×1＋40×4＝200<280，∴货车按原来速度行驶不能平安通过此桥．设货车速度提高到x km/h ，即当4x ＋40×1＝280时，x ＝60.∴要使货车平安通过此桥，货车的速度应超过60km/h.方法总结：一般地，求二次函数y ＝ax 2的表达式时，只需一个点(坐标原点除外)的坐标即可．而此题由于点B ，D 的纵坐标未知，故需设出CD 到桥顶的距离h 作为辅助未知数．三、板书设计二次函数y ＝ax 2的图象和性质⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧图象⎩⎪⎨⎪⎧画y ＝ax 2图象y ＝ax 2图象的形状、特点性质⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a >0⎩⎪⎨⎪⎧当x <0时，函数y 随x 的增大而减小当x >0时，函数y 随x 的增大而增大当x ＝0时，函数取得最小值，y 最小值＝0，且y 没有最大值，即y ≥0a <0⎩⎪⎨⎪⎧当x <0时，函数y 随x 的增大而增大当x >0时，函数y 随x 的增大而减小当x ＝0时，函数取得最大值，y 最大值＝0，且y 没有最小值，即y ≤0教学过程中，强调学生的自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象和性质，体会数学建模的数形结合的思想方法．第2课时用科学记数法表示较小的数1．理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法；(重点)2．能将用科学记数法表示的数复原为原数．一、情境导入同底数幂的除法公式为a m÷a n＝a m－n，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m＝n或m＜n时，情况怎样呢？二、合作探究探究点：用科学记数法表示较小的数【类型一】用科学记数法表示绝对值小于1的数2021年6月18日中商网报道，一种重量为千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人用科学记数法可表示为()A×10－4×10－5×10－5D．106×10－6解析：×10－4.应选A.方法总结：绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，其中1≤a<10，n为正整数．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数前面的0的个数所决定．【类型二】将用科学记数法表示的数复原为原数用小数表示以下各数：(1)2×10－7; ×10－5；×10－3; ×10－1.解析：小数点向左移动相应的位数即可．解：(1)2×10－7×10－5＝0.0000314；×10－3＝0.00708；×10－1＝0.217.方法总结：将科学记数法表示的数a×10－n复原成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．三、板书设计用科学记数法表示绝对值小于1的数：一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10n，其中1≤a<10，n是负整数．从本节课的教学过程来看，结合了多种教学方法，既有教师主导课堂的例题讲解，又有学生主导课堂的自主探究．课堂上学习气氛活泼，学生的学习积极性被充分调动，在拓展学生学习空间的同时，又有效地保证了课堂学习质量。
数学北师大版九年级下册《二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质》课件公开课(2)
我们已经认识了形如y=a（x-h）2+k a≠0)的二次函数的图象和性质。
你知道二次函数y 2x2 的8图x 象7 和性质吗？
化成y = a(x-h)2 +k的形式！
配方： y 2x2 8x 7
2( x2 4x) 7 二次项系数化为1
2、对称轴是：直线 x b 2a
3、顶点坐标是：
b 2a
,
4ac 4a
b2
4、当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称 轴的右侧，y随x的增大而增大。
当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴 的右侧，y随x的增大而减小。
例题学习:
确定下列二次函数的对称轴和顶点坐标 y 3x2 6x 7
400 10
y/m 10
桥面 -5 0 5
x/m
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
解：（1）1米 （2）40米
课后小结
1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的画法 2、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的性质
（1）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点
解： a 3,b 6, c 7
b 6 1 2a 23
4ac b2 4 3 7 62
4
4a
43
因此，二次函数的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，4）。
随堂练习
确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标：
(1)
y
九年级数学下册二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第2课时课件华东师大
【规律总结】 函数y=a(x-h)2图象的左右平移规律
函数y=a(x-h)2图象的左右平移中a是不变的,向左平移m个单位 则为y=a(x-h+m)2,向右平移m个单位则为y=a(x-h-m)2,简记为 “左加右减”．
【跟踪训练】
1.(2011·乐山中考)将抛物线y=-x2向左平移2个单位后,得到的
2
是( )
【解析】选A.∵y=-x-1的图象过第二、三、四象限, y 3 (x 1)2
2
的开口向下,顶点为点(1,0),∴同时符合上述条件的图象只有选 项A．
3.抛物线y=-10(x+9)2由y=-10x2向_________平移______个单位 可以得到． 【解析】抛物线y=-10(x+9)2的顶点坐标为(-9,0)，抛物线 y=-10x2的顶点坐标为(0,0)，由(0，0)到(-9,0)是向左平移9个 单位，所以抛物线y=-10(x+9)2由y=-10x2向左平移9个单位可以 得到. 答案：左 9
4.函数 y 1 x 32的图象是由 y 1 x2 的图象向____平移____
2
2
个单位得到的，顶点坐标是_______.当x____时,函数值y随x的增
大而减小；当x____时,函数值y随x的增大而增大；当x____时,函
数取得____值,其值为______．
【解析】函数 y 1 的x 图3象2 是由
式为y=2(x-3)2.
2.(2011·兰州中考)抛物线y=x2-2x+1的顶点坐标是( )
(A)(1,0)
(B)(-1,0)
(C)(-2,1)
(D)(2,－1)
【解析】选A.配方得y=(x-1)2,得顶点为(1,0)．
北师大版九年级数学下册《二次函数的图象与性质 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象与性质》公开课教案_6
北京师范大学出版社 九年级 下册第二章 二次函数 §2.2 二次函数的图象与性质第二课时：二次函数2ax y =与c ax y +=2的图象与性质一、教材分析本课时的内容是九年级数学下册北师大版，2014年7月第1版，第二章第二节。
函数是中学数学中极为重要的版块，函数综合不仅作为压轴题在中考中出现，它还贯穿着整个中学阶段，甚至高中、大学的学习，以及和其它学科之间也有着紧密的联系。
因此，学好函数及其性质是势在必得的。
与一次函数和反比例函数相比较之下，二次函数更为复杂，利用数形结合的思想我们知道，从函数的图象可以直观的得出函数的有关性质。
因此，掌握二次函数的图象和性质便成为了重中之重。
本节课主要介绍二次函数2ax y =和c ax y +=2（其中，0≠a ）的图象与性质，为后面学习左右平移、顶点式和一般式等内容做铺垫。
一、教学目标<一>知识与技能：1、会用描点法画形如2ax y =和c ax y +=2的二次函数的图象；2、能根据函数图象总结出相应的函数性质，并会熟练运用其性质解决有关问题。
<二>过程与方法：1、经历利用描点法作函数图像的过程，让学生体会动手操作的乐趣，感受函数图象的美；2、经历探索和发现函数2ax y =和c ax y +=2图象的特点和性质的过程，体会数形结合的数学思想在数学中的应用。
<三>情感态度与价值观：1、能力层面：经历作图、观察和总结等过程，获得研究问题与合作交流的方法与经验，同时培养学生的观察、归纳总结等能力；通过分组合作，可培养学生的团结协作能力；2、情感层面：经历利用数形结合的思想方法探索函数图象与性质的过程，让学生体验数学活动中的探索性和创造性，从而提高学生学数学、用数学的兴趣；3、法律层面：经历欣赏图片（灯光下的喷泉、拱桥等）的过程，向学生渗透有关节约能源法、环境保护法等相关法律知识，从而提高学生的法律意识，让学生做一个知法、懂法、守法的好公民。
《第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质2》教案 (公开课)2022年北师大版数学
2.2 二次函数的图象与性质第2课时二次函数y=ax2+c的图象与性质教学目标：1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
重点难点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。
正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。
教学过程：一、提出问题1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。
2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?二、分析问题，解决问题问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究?(画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比拟)问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。
问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。
教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。
2.2 二次函数的图象与性质 第2课时(教案)-北师大版数九年级下册
第2课时二次函数y=ax2+c的图象与性质1.会画y=ax2和y=ax2+c的图象,并能比较它们与y=x2的图象的异同,理解a与c对二次函数图象的影响.2.能说出y=ax2+c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.1.经历探索二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的画法和性质的过程,进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验.2.通过画图活动,体验数形结合的数学思想.1.通过图象的对称和平移发现数学的规律美.2.在探究活动中,体验获得成功后的喜悦感.【重点】二次函数y=ax2,y=ax2+c的图象和性质以及两种函数图象的关系.【难点】由函数图象概括出y=ax2,y=ax2+c的性质,由性质来分析函数图象的形状和位置.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习y=±x2的图象和性质.导入一:观察下面的二次函数表达式:(1)y=x2;(2)y=-x2;(3)y=-2x2;(4)y=3x2;(5)y=x2.它们有什么共同点和不同点(3)(4)(5)与我们学习过的(1)(2)又有什么不同点?【学生活动】观察后,独立思考,分析相同点和不同点,并猜想未学的函数的图象和性质.[设计意图]通过对比二次函数表达式的不同点,引出新的问题,造成学生认知上的冲突,提高了学生探究新知的学习兴趣.导入二:有研究表明,晴天在某段公路上行驶时,速度为v(km/h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s=v2确定;雨天行驶时,这一公式为s=v2.问题刹车距离s与速度v之间的关系是二次函数吗?它们的图象与y=x2,y=-x2的图象一样吗?学生分析得出:s=v2和s=v2与y=x2,y=-x2它们都是二次函数,且都是只含二次项的二次函数,所以它们有相同之处.又因为它们中的a值的不同,所以它们肯定还有区别.[设计意图]通过学生生活中常见的汽车行驶的图片引出本节学习内容,由这些问题引发学生的思考,使知识间的过渡自然、轻松、直观.探究活动一:画二次函数y=2x2的图象【师生活动】回忆:画二次函数y=±x2的图象的步骤.【学生活动】(1)完成下表:xy(2)在课本图2-4中画出y=2x2的图象.【师生活动】要求学生独立完成,同伴相互检查.教师巡视,对基础比较薄弱的学生进行指导,等学生完成后出示下列问题:(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?【师生活动】学生观察后分析,师生共同小结:1.二次函数y=2x2的图象是抛物线.2.二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的相同点:(1)开口方向相同,都向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小;在y 轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5)都有最低点,即原点.函数都有最小值.3.二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的不同点:两个函数图象的开口大小不同,y=2x2的图象在y=x2的图象的内侧,开口较小,它的函数值的增长速度较快.【想一想】在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=-2x2的图象,会是什么样?探究活动二:画出y=x2的图象【想一想】在课本图2-4中画出y=x2的图象.【师生活动】要求学生独立完成,同伴相互检查.教师巡视,对基础比较薄弱的学生进行指导,师课件出示y=x2的图象供学生参考.【问题】它与二次函数y=x2,y=2x2的图象有什么相同和不同?【学生活动】生观察后小结:1.相同点:(1)开口方向相同,都向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小;在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5)都有最低点,即原点.函数都有最小值.2.不同点:y=x2的图象在y=2x2和y=x2的图象的外侧,开口较大.y=x2中函数值的增长速度较慢.【讨论】通过观察,你能总结出二次函数y=ax2(a≠0)中,二次项系数a的作用吗?【师生活动】学生独立思考后,小组讨论,师参与到学生的讨论当中去.【教师点评】二次函数y=ax2(a≠0)中,二次项系数a的作用:(1)a确定了抛物线的开口方向:①a>0时,开口向上;②a<0时,开口向下.(2)a确定了抛物线的开口大小:①︱a︱越大,开口越小,函数值变化得越快;②︱a︱越小,开口越大,函数值变化得越慢.[设计意图]在探究过程中采用猜想、比较、方法选择等方法引导学生探究问题,从而提高学生分析问题、解决问题的能力.理解二次函数中二次项系数a的作用,领会研究二次函数图象的方法,培养学生运用数形结合与转化等数学思想方法解决问题的能力,提高运算和作图能力.[知识拓展]二次函数y=ax2的图象和性质:1.当a>0时:(1)开口向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y=0.轴左侧,y值随x值的增大而减小;在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5)当x=0时,y最小2.当a<0时:(1)开口向下.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y 轴左侧,y值随x值的增大而增大;在y轴右侧,y值随x值的增大而减小.(5)当x=0时,y=0.最大二、二次函数y=ax2+c的图象与性质【做一做】画二次函数y =2x 2+1的图象,你是怎样画的?与同伴进行交流.【师生活动】要求学生在同一直角坐标系内作出函数y =2x 2与y =2x 2+1的图象.学生独立完成,课件展示图象如下:结合图象解决下面的问题:【议一议】二次函数y =2x 2+1的图象与二次函数y =2x 2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?【学生活动】学生观察思考后小结:二次函数y =2x 2+1的图象与二次函数y =2x 2的图象的关系:1.相同点:(1)它们的图象都是抛物线,且形状相同,开口方向都向上.(2)它们都是轴对称图形,且对称轴都是y 轴.(3)在y 轴左侧,y 随x 的增大而减小;在y 轴右侧,y 随x 的增大而增大.(4)都有最低点,y 都有最小值.2.不同点:(1)它们的顶点不同:y =2x 2的顶点在原点,顶点坐标为(0,0);y =2x 2+1的顶点在y 轴上,顶点坐标为(0,1).(2)最小值不同,y =2x 2的最小值为0,y =2x 2+1的最小值为1.【师生活动】二次函数y =2x 2-1的图象与二次函数y =2x 2的图象有什么关系?学生类比y =2x 2+1的图象的性质进行小结,师生共同订正.【师生小结】二次函数y =2x 2,y =2x 2+1,y =2x 2-1的图象之间的关系:二次函数y =2x 2,y =2x 2+1,y =2x 2-1的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同.将函数y =2x 2的图象向上平移1个单位长度,就得到函数y =2x 2+1的图象;将函数y =2x 2的图象向下平移1个单位长度,就得到函数y =2x 2-1的图象.[设计意图]让学生作出完整的二次函数图象,通过类比学习,进一步体验二次函数的系数对图象的影响.初步完成对二次函数性质的巩固与拓展,从图象直观理解函数图象之间的平移关系,培养学生的动态思维和自觉学习的意识,顺其自然地完成本节课的学习任务.[知识拓展]1.二次函数图象的平移规律:y =ax 2+c 的图象可以看成是由y =ax 2的图象整体上下移动得到的,当c >0时,向上移动|c |个单位长度;当c <0时,向下移动|c |个单位长度.简记为:“上加下减”.2.二次函数y =ax 2和y =ax 2+c 的性质:函数开口方向对称轴顶点坐标增减性最值y =ax 2a >0时,开口向上;a <0时,开口向下y 轴(0,0)(1)a >0:x >0时,y 随x 的增大而增大;x <0时,y 随x 的增大而减小;(2)a <0:x >0时,y 随x 的增大而减小;x <0时,y 随x 的增大而增大a >0,y 最小=0;a <0,y 最大=0y =ax 2+c a >0时,开口向上;a <0时,开口向下y 轴(0,c )a >0,y 最小=c ;a <0,y 最大=cy=ax2+c与y=ax2的图象的关系y=ax2+c的图象可以看成是由y=ax2的图象整体上下移动得到的,当c>0时,向上移动|c|个单位长度,当c<0时,向下移动|c|个单位长度1.二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象及性质.2.二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的平移规律:“上加下减”.1.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的是()A.y=-x+1B.y=x2-1C.y=D.y=-x2+1解析:A,y=-x+1,一次函数,k<0,故y随着x的增大而减小,错误;B,y=x2-1(x>0),故图象在对称轴右侧,y随着x的增大而增大,而在对称轴左侧(x<0),y随着x的增大而减小,正确.C,y=,k=1>0,在每个象限里,y随x的增大而减小,错误;D,y=-x2+1(x>0),故图象在对称轴右侧,y随着x的增大而减小,而在对称轴左侧(x<0),y随着x的增大而增大,错误.故选B.2.抛物线y=-2x2+1的对称轴是()A.直线x=B.直线x=-C.y轴D.直线x=2解析:抛物线y=-2x2+1的对称轴是y轴(或直线x=0).故选C.3.如果抛物线y=(2-a)x2的开口方向向下,那么a的取值范围是.解析:因为抛物线y=(2-a)x2的开口方向向下,所以2-a<0,即a>2.故填a>2.4.抛物线y=4x2与抛物线y=-4x2的图象关于轴对称.解析:抛物线y=4x2与抛物线y=-4x2的图象形状、大小、顶点坐标都一样,只是开口方向相反,所以它们关于x轴对称.故填x.5.在同一个直角坐标系中作出y=x2,y=x2-1的图象,比较它们的异同,并找出它们的关系.解:列表:x…-2-1012…y=x2…202…x…-2-1012…y=x2-1…1--1-1…描点、连线,图象如图所示.由图象可知两个函数图象的开口大小、方向和对称轴相同,只有顶点的位置不同.第2课时二次函数y =ax 2和y =ax 2+c 的图象及性质.函数开口方向对称轴顶点坐标增减性最值y =ax 2a >0时,开口向上;a <0时,开口向下y 轴(0,0)(1)a >0:x >0时,y 随x 的增大而增大;x <0时,y 随x 的增大而减小;(2)a <0:x >0时,y 随x 的增大而减小;x <0时,y 随x 的增大而增大a >0,y 最小=0;a <0,y 最大=0y =ax 2+c a >0时,开口向上;a <0时,开口向下y 轴(0,c )a >0,y 最小=c ;a <0,y 最大=c y =ax 2+c 与y =ax 2的图象的关系y =ax 2+c 的图象可以看成是由y =ax 2的图象整体上下移动得到的,当c >0时,向上移动|c |个单位长度,当c <0时,向下移动|c |个单位长度一、教材作业【必做题】1.教材第36页随堂练习第1,2题.2.教材第36页习题2.3第1,2,3题.【选做题】教材第36页习题2.3第4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.(2015·锦州中考)在同一坐标系中,一次函数y =ax +2与二次函数y =x 2+a 的图象可能是()2.如果将抛物线y=x2+2的图象向下平移1个单位长度,那么所得新抛物线的表达式是()A.y=x2-1B.y=x2+2C.y=x2+1D.y=x2+33.如图所示,四个函数图象对应的解析式分别是:①y=ax2,②y=bx2,③y=cx2,④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系是.4.已知正方形的面积为y cm2,周长为x cm.(1)请写出y与x的函数关系式;(2)判断y是否为x的二次函数.【能力提升】5.(2015·宁夏中考)函数y=与y=-kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是()6.已知抛物线y=ax2+c(a>0)过A(-3,y1),B(-7,y2),C(4,y3)三点,把y1,y2,y3按从小到大的顺序排列为.7.已知抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的形状相同,且其图象上与x轴最近的点到x轴的距离为3.(1)求a,n的值;(2)在(1)的情况下,指出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴及顶点坐标.8.已知函数y=(m+2)-1是关于x的二次函数,求:(1)满足条件的m值;(2)m为何值时,抛物线的开口向下?并求出此时抛物线的对称轴;(3)m为何值时,抛物线有最低点?并求出这个最低点的坐标.【拓展探究】9.抛物线y =2x 2+n 与直线y =2x -1交于点(m ,3).(1)求m 和n 的值;(2)y =2x 2+n 与y =2x -1的图象还有其他交点吗?若有,请求出来;若没有,说明理由.【答案与解析】1.C (解析:当a <0时,二次函数图象的顶点在y 轴负半轴,且开口向上,一次函数图象经过第一、二、四象限;当a >0时,二次函数图象的顶点在y 轴正半轴,且开口向上,一次函数图象经过第一、二、三象限.故选C .)2.C (解析:∵抛物线y =x 2+2的图象向下平移1个单位长度,∴所得抛物线的解析式为y =x 2+2-1,即y =x 2+1.故选C .)3.a >b >c >d (解析:由图易知a ,b >0,c ,d <0,由图象的开口大小知a >b ,c >d ,所以a >b >c >d.)4.解:(1)∵正方形的周长为x cm ,∴正方形的边长为x cm ,∴y 与x 的函数关系式为y =x ×x =x 2.(2)利用二次函数的定义得出y 是x 的二次函数.5.B (解析:由解析式y =-kx 2+k 可得抛物线对称轴为直线x =0.A ,由双曲线的两支分别位于第二、四象限,可得k <0,则-k >0,抛物线开口方向向上、抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上,本图象与k 的取值相矛盾,故A 错误;B ,由双曲线的两支分别位于第一、三象限,可得k >0,则-k <0,抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上,本图象符合题意,故B 正确;C ,由双曲线的两支分别位于第一、三象限,可得k >0,则-k <0,抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上,本图象与k 的取值相矛盾,故C 错误;D ,由双曲线的两支分别位于第一、三象限,可得k >0,则-k <0,抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上,本图象与k 的取值相矛盾,故D 错误.故选B .)6.y 1<y 3<y 2(解析:抛物线y =ax 2+c 的对称轴为y 轴,∵a >0,∴抛物线开口向上,∵点A ,B ,C 到对称轴的距离分别为3,7,4,∴y 1,y 2,y 3从小到大的排列顺序为y 1<y 3<y 2.)7.解:(1)∵抛物线y =ax 2+n 与抛物线y =-2x 2的形状相同,∴a =±2.∵抛物线y =ax 2+n 与抛物线y =-2x 2的形状相同,且其图象上与x 轴最近的点到x 轴的距离为3,∴n =±3.(2)当a =2时,抛物线为y =2x 2,开口向上,对称轴是直线x =0,顶点坐标是(0,0);当a =-2时,抛物线为y =-2x 2,开口向下,对称轴是直线x =0,顶点坐标是(0,0).8.解:(1)∵函数y =(m +2)-1是关于x 的二次函数,∴m 2+m -4=2,m +2≠0,∴m 1=-3,m 2=2.(2)当m =-3时,抛物线的开口向下,对称轴为y 轴.(3)当m =2时,抛物线有最低点,这个最低点为(0,-1).9.解:(1)∵抛物线y =2x 2+n 与直线y =2x -1交于点(m ,3),∴将点(m ,3)代入y =2x -1,得3=2m -1,解得m =2,则将(2,3)代入y =2x 2+n ,得3=8+n ,解得n =-5.(2)根据(1)得出y =2x 2-5,将y =2x -1与y =2x 2-5组成方程组,得解得故y =2x 2+n 与y =2x -1的图象还有其他交点,为(-1,-3).本节课首先借助晴天和雨天刹车距离的不同,引出本节课所要探究的二次函数,让学生感受到数学就在我们身边,激起学生探究新知的兴趣.并且本节课以几个探究活动的形式出现,利用数形结合思想探究对比了y =x 2与y =2x 2的图象的相同点与不同点,了解了y =ax 2+c 的图象可以看成是由y =ax 2的图象整体上下移动得到的,突出重点、分散难点.大量使用多媒体辅助教学,既能体现知识的背景材料,又能一下子引起学生的注意力,有效地节省了时间,增大了课堂容量.生动形象的动画演示,动感强,直观性好,既加深了学生的理解,又培养了学生的抽象思维能力,同时也向学生渗透了归纳类比、数形结合的数学思想方法.由于部分学生的作图能力比较差,作图所用时间较多,导致课堂时间分配没能按计划进行,前松后紧.再教时,不要求学生把所有的二次函数图象都画出来,老师可以利用课件进行展示.随堂练习(教材第36页)1.解:二次函数y=3x2的图象与二次函数y=3x2-的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同.将二次函数y=3x2的图象向下平移个单位长度就得到二次函数y=3x2-的图象.是轴对称图形,它的开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标为.2.解:二次函数y=-2x2-的图象与二次函数y=-2x2+的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同.将二次函数y=-2x2+的图象向下平移1个单位长度就得到二次函数y=-2x2-的图象.习题2.3(教材第36页)1.解:相同之处:两个函数图象都是抛物线,开口都向上,对称轴都是y轴,顶点坐标都是(0,0).不同之处:它们的开口大小不同,函数y=3x2的图象在函数y=x2的图象的内侧,说明y=3x2函数值的增长速度较快.2.解:二次函数y=-3x2的图象与二次函数y=3x2的图象都是抛物线,并且形状相同,函数y=-3x2的图象与函数y=3x2的图象关于x轴对称;二次函数y=-3x2的图象是轴对称图形,它的开口向下,对称轴是y 轴,顶点坐标为(0,0).二次函数y=-x2的图象与二次函数y=x2的图象都是抛物线,并且形状相同,函数y=-x2的图象与函数y=x2的图象关于x轴对称;二次函数y=-x2的图象是轴对称图形,它的开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,0).3.解:二次函数y=5x2-3的图象与二次函数y=5x2的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同;将二次函数y=5x2的图象向下平移3个单位长度,就得到二次函数y=5x2-3的图象.二次函数y=5x2-3的图象是轴对称图形,它的开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,-3).二次函数y=-5x2-2的图象与二次函数y=-5x2+3的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同;将二次函数y=-5x2-2的图象向上平移5个单位长度,就得到二次函数y=-5x2+3的图象.4.答案不唯一.如:y=4x2与y=-4x2,y=4x2与y=-4x2-1等.5.答案不唯一.如:y=x2和y=x2+1,y=x2和y=2x2等.1.利用类比画二次函数y=x2的图象的方法画出y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1的图象.2.再利用数形结合思想,从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值这五个方面去掌握其性质.3.及时总结二次项系数a的作用以及二次函数y=ax2的图象与二次函数y=ax2+c的图象之间的平移规律.将二次函数y=2x2-1的图象沿y轴向上平移2个单位长度,所得图象对应的函数表达式为.〔解析〕∵二次函数y=2x2-1的图象沿y轴向上平移2个单位长度,∴所得图象对应的函数表达式为y=2x2-1+2=2x2+1.故填y=2x2+1.[解题策略]此题主要考查了二次函数与几何变换,熟练掌握平移规律是解题关键.。