精品：【全国百强校】山西省朔州市右玉县第一中学2016届高三下学期高考冲刺压轴卷四文数试题(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设复数
21i
i z -=+，则z =（ ） A ．1322i + B ．1322i - C ．3122i + D ．3122
i -
【答案】A
考点：复数的概念和运算.
2.已知集合{}{}22,1,0,1,2,|1log 2A B x x =--=-<<，则A
B =（ ）
A ．{}1,0,1-
B ．{}0,1,2
C ．{}0,1
D ．{}1,2 【答案】D 【解析】
试题分析：因}42
1
|{<<=x x B ,故}2,1{=B A ,故应选D. 考点：集合的运算.
3.在区间()0,4上任取一数x ，则1
224x -<<的概率是（ ）
A ．
12 B ．13 C ．14 D ．34
【答案】C 【解析】 试题分析：因1
22
4x -<<,故211<-<x ,即32<<x ,故4,1==D d ,所以4
1
=
P ,应选C. 考点：几何概型公式及运算.
4.已知函数()f x 是奇函数，当0x >时()()01x
f x a x a =>≠且，且12lo
g 43f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，则a 的
值为（ ）
A B ．3 C ．9 D ．32
【答案】A 【解析】
试题分析：因12
log 43f ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
,即3)2(-=-f ,也即3)2(=f ,故32
=a ,3=
a ,应选A.
考点：函数的基本性质及对数的运算.
5.平面向量a 与b 的夹角为30°，已知(1,22a b =-=，则a b +=（ ）
A ．． C ． 【答案】D 【解析】
试题分析：因1342
3
2323)(2
=+⨯⨯⨯+=+,故13||=+,故应选D. 考点：向量的有关运算.
6.等比数列{}n a 中，56a =，则数列{}6log n a 的前9项和等于（ ）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．16 【答案】B
考点：等比数列和对数运算性质. 7.设0,0a b >>．若1a b +=，则
11
a b
+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．14
【答案】B 【解析】 试题分析：因
11a b +4222=+≥++=+++=b
a
a b b b a a b a (当且仅当b a =取等号),故应选B. 考点：基本不等式及运用.
8.如图所示的程序框图，若输出的41S =，则判断框内应填入的条件是（ ）
A ．3?k >
B ．4?k >
C ． 5?k >
D ．6?k > 【答案】B
考点：算法流程图的识读和理解.
9.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积是（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10 【答案】B 【解析】
试题分析：从三视图所提供的图形信息可知该几何体是一个上下底分别为2,1高为2的梯形为底,高为2的一个三棱柱,其体积622)21(2
1
=⨯⨯+⨯=
V ,故应选B. 考点：三视图的识读和理解. 10.若将函数()2sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的 最小正值是（ ）
A ．
512π B ．3π C ．23π D ．56
π- 【答案】A
考点：三角函数的图象和性质.
【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三角函数的图象平移为背景设置了一道求ϕ的最小正值的问题.函数()2sin 23f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
平移后的函数解析表达式为)3
22sin(2)(π
ϕ+-=x x f ,借助对称性可得1)3
20sin(±=+
-π
ϕ,即6
2π
πϕ+
=-k ,
从而122ππϕ--
=k ,当1-=k 时, 求得12
5min π
ϕ=
,进而使得问题获解. 11.下列推断错误的个数是（ ）
①命题“若2
320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠则2
320x x -+≠” ②命题“若2
1x =，则1x =”的否命题为：若“2
1x =,则1x ≠” ③“1x <”是“2
320x x -+>”的充分不必要条件
④命题“x R ∃∈，使得2
10x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有2
10x x ++<”．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B 【解析】
试题分析：由于①③的推断是正确的,②④的推断是错误的,故应选B. 考点：命题的真假的判定.
12.F 是双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点，过点F 向C 一条渐近线引垂线，垂足为A ，
交另一条渐近线于点B ．若3AF FB =，则C 的离心率是（ ）
A B ．2 C 【答案】C
考点：双曲线的几何意义及运用.
【易错点晴】双曲线是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用双曲线的几何性质和题设中的条件建立方程,通过解方程求得其离心率.求解时充分运用题设条件3AF FB =,进而联立方程c y a b x +-
=和x a
b
y -=,求得点),(22222b a abc b a c a B --,算出22
22
222)()(b a abc c b a c a BF -+--=,运用3AF FB =建立方程22
22
222)()(3b
a abc c
b a
c a b -+--=,从而求得双曲线的离心率26=e . 第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若345S =，则249a a a ++=____________． 【答案】15 【解析】
试题分析:因249a a a ++=513123a d a =+,又由459=S 可得453691=+d a ,即541=+d a ,所以
249a a a ++=15,故应填15.
考点：等差数列的有关知识及运用．
14.已知圆()2
2
4x a y -+=截直线4y x =-所得的弦的长度为a 等于____________．
【答案】2或6
考点：圆的弦心距半径及弦长之间的关系及运用.
【易错点晴】直线和圆的位置关系是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题是一道典型的而普通的圆的弦心距与半径弦长之间的关系及运用的问题.依据直线与圆的位置关系可得圆
()2
24x a y -+=的圆心为)0,(a C ,运用点到直线的距离公式可得圆心)0,(a C 到直线4y x =-的距离
2
|4|-=
a d ,故由弦长半径弦心距之间的关系可得42)2
|4|(
2=+-a ,解之得2=a 或6,使得问题简捷巧
妙获解.
15.已知不等式组022020x x y kx y ≤≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
，所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为______________．
【答案】1 【解析】
试题分析:画出不等式组022020x x y kx y ≤≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
表示的区域,如图,借助图形可得)0,2(),2,0(),22,2(C B k A +,由于
22+=k BC ,所以4222)22(2
1
=+=⨯+⨯=
∆k k S ABC ,所以21=+k ,即1=k ,故应填1.
考点：线性规划的知识及运用．
【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的运用概率问题,解答时先构建平面直角坐
标系,准确的画出满足题设条件的不等式组022020x x y kx y ≤≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
表示的平面区域,然后再确定平面区域所表示的
图形的形状为直角三角形,进而借助图形可得)0,2(),2,0(),22,2(C B k A +,由于22+=k BC ,所以
4222)22(2
1
=+=⨯+⨯=
∆k k S ABC ,所以21=+k ,即1=k . 16.设a 为实数，函数()()3
2
3f x x ax a x =++-的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线
()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为____________．
【答案】9160x y --=
考点：导数的几何意义及运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先运用求导法则对函数()()3
2
3f x x ax a x =++-进行求
导,先借助题设求得0=a ,再依据导数的几何意义,求出切线的斜率,运用点斜式写出切线的方程为
9160x y --=.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
设ABC ∆是锐角三角形，三个内角,,A B C 所对的边分别记为,,a b c ，并且
()()sin sin sin sin sin sin 33B C B C C C π
π⎛⎫⎛⎫
-+=-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． （1）求角B 的值；
（2）若12,BC BA b ==，求,a b （其中)c a <． 【答案】(1)3
B π
=
；(2)4,6c a ==.
试题解析： （1）由已知得，
()2222
1
3133sin sin cos sin sin cos sin 2244B C C C C C C C ⎫⎛⎫=+-+=+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎭
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
∴sin B =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∴3
B π
=
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）cos 12BC BA a B ==，∴24ac =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
又()2
2
2
2
2cos 3b c a ac B a c ac =+-=+-，∴10a c +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
∵c a <，∴4,6c a ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：三角变换和余弦定理及三角形的面积公式等有关知识的综合运用． 18.（本小题满分12分）
为检验寒假学生自主学生的效果，年级部对某班50名学生各科的检测成绩进行了统计，下面是物理成绩 的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100
.
（1）求图中的x 值及平均成绩； （2）从分数在[)70,80中选5人记为125,,
,a a a ，从分数在[)40,50中选3人，记为123,,,8b b b 人组成一
个学习小组现从这5人和3人中各选1人做为组长，求1a 被选中且1b 未被选中的概率． 【答案】(1)0.018，74；(2)2
15
P =
.
（1）由()0.00630.010.054100.018x ⨯+++⨯=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
平均成绩为()0.064555950.1650.54750.188574⨯+++⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）从这5个和3人中各随机选1人，所有结果有：
()()()()()()()()()()()()()()()
111213212223313233414243515253,,,,,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b
共15个．
事件A 为“1a 被选中，1b 未被选中”包含的基本事件有：()()1212,b ,,a a b 共2 个． 所以1a 被选中，1b 未被选中的概率215
P =
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：频率分布直方图和列举法古典概型公式等有关知识的综合运用． 19.（本小题满分12分）
如图所示，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与CDE ∆所在的平面交于CD ，且AE ⊥平面
,1CDE AE =．
（1）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ； （2）求几何体A BDE -的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)
3
3.
（2）由（1）知，CD ⊥面,ADE AB 平行CD ，
∴AB ⊥平面ADE ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 在Rt ADE ∆中，2,1AD AE ==，
∴DE =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
∴111232A BDE B ADE V V --==
⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：面面垂直的判定定理和三棱锥的体积公式等有关知识的综合运用．
20.（本小题满分12分） 已知椭圆()22
2:10x y C a b a b
2+=>>离心率为12，且原点到过椭圆C 的上顶点与右顶点的直线的距离为
． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设()4,0,,P A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证 明：直线AE 与x 轴相交于定点Q ．
【答案】(1)22
143
x y +=；(2)证明见解析
.
（2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为()4y k x =-，由()22414
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()2222433264120k x k x k +-+-=，①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
设点()()1122,,E ,B x y x y ，则()11,A x y -，
直线AE 的方程为()212221
y y y y x x x x +-=--，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
令0y =得，()221221
y x x x x y y -=-+． 将()()11224,4y k x y k x =-=-代入整理得，
得()121212248
x x x x x x x -+=+-，②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 由①得22121222326412,4343
k k x x x x k k -+==++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 代入②整理得1x =，所以直线AE 与x 轴相交于定点()1,0Q ．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：椭圆的标准方程和直线与椭圆位置关系等有关知识的综合运用．
【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件21=e 可得2243a b =,
=建立方程组,然后求得椭圆的标准方程为22143x y +=.第二问的求解过程中,先将直线PB 的方程为()4y k x =-与椭圆方程22
143
x y +=联立方程组,消去变量y 求得()2222433264120k x k x k +-+-=,由此可得
22121222326412,4343
k k x x x x k k -+==++,再求得直线AE 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--.进而推证得直线AE 过定点()1,0Q .从而使得问题获解.
21.（本小题满分12分）
设函数()2
ln f x x x ax =-+． （1）若函数()f x 在(]0,e 上单调递增，试求a 的取值范围；
（2）设函数()f x 在点()()1,1C f 处的切线为l ，证明：函数()f x 图象上的点都不在直线l 的上方． 【答案】(1)12a e e
≥-；(2)
证明见解析.
（2）因为()1121f a a '=-+=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
所以切点()1,1C a -，故切线l 的方程为()()()111y a a x --=--，
即()()()1111y a x a a x =--+-=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
令()()()1g x f x a x =--，则()2
ln g x x x x =-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 则()()1211221x x g x x x x
⎛⎫--+ ⎪⎝⎭'=-+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以当x 变化时，()(),g x g x '的关系如下表：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
因为()()10g x g ≤=，所以函数()f x 图象上不存在位于直线l 上方的点．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：导数的知识和不等式等有关知识的综合运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的函数解
析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求解时借助题设中单调性建立含参数a 的不等式12a x x
≥-在(]0,e 上恒成立,从而求得12a e e
≥-；第二问中先构造函数()()()1g x f x a x =--,然后再借助导数,运用导数的知识推证出()()10g x g ≤=,从而证得所以函数()f x 图象上不存在位于直线l 上方的点,使得问题简捷巧妙获解. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于D ，E 两点，BC DE ⊥，垂足为C ，030CBD ∠=.
（1）证明：030DBA ∠=；
（2）若BC =AE ．
【答案】(1)证明见解析；(2)62=AE .
（2）由（1）知BD 平面CBA ∠，则
BA AD BC CD =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
由0,30BC DE CBD DBA ⊥∠=∠=，知030A ∠=，∴2AB BC AC ====，
又2AD BA DC BC ===，∴23AD AC ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
由切割线定理得2
AB AD AE =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
∴2
AB AE AD
==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：圆幂定理和三角形等有关知识的综合运用．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为
4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线的参数方程为121x t y t =-⎧⎨=-⎩
（t 为参数），直线和圆C 交于,A B 两点，P 是圆C 上不同于,A B 的任意一点．
（1）求圆心的极坐标；
（2）求PAB ∆面积的最大值．
【答案】(1)34π⎫⎪⎭
；(2)562152+.
（1）由圆C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=-
⎪⎝⎭， ∴22sin 2cos ρρθρθ=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
∴2222x y y x +=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
圆C 的普通方程为()()22112x y ++-=，圆心坐标为()1,1C -，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
化为极坐标为34π⎫⎪⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由直线l 的参数方程121x t y t =-⎧⎨=-⎩
（t 为参数）消去参数t ，可得直线l 的普通方程：210x y -+=．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
∴圆心到直线l 的距离
d =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
∴AB ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
点P 直线AB 距离的最大值为r d +=
=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
max 12S ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：极坐标和参数方程等有关知识的综合运用．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()23,f x x x x R =-++∈．
（1）求不等式()5f x x ≤+的解集；
（2）如果关于x 的不等式()2
4f x a a ≥+在R 上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1){}|04x x ≤≤；(2)[]5,1-.
（2）()()23235f x x x x x =-++≥--+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 由2
45a a +≤，得51a -≤≤，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
实数a 的取值范围为[]5,1-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
考点：绝对值不等式的性质等有关知识的综合运用．。