人教版平行四边形单元同步练习试卷

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人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元同步练习试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元同步练习试卷一、选择题1．如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=2，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．23 2．在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 上的一动点，E 为AD 中点，PE 交CD 延长线于Q ，过E 作EF PQ ⊥交BC 的延长线于F ，则下列结论：①APE DQE ∆≅∆；②PQ EF =；③当P 为AB 中点时，2CF =；④若H 为QC 的中点，当P 从A 移动到B 时，线段EH 扫过的面积为12，其中正确的是（）A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①②③3．如图,矩形ABCD 中,AB=5,AD=4,M 是边CD 上一点,将△ADM 沿直线AM 对折,得△ANM ,连BN ,若DM=1,则△ABN 的面积是（）A ．B ．C ．D ．4．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，P 为边AD 上一动点，连接BP ，把△ABP 沿BP 折叠，使A 落在A′处，当△A′DC 为等腰三角形时，AP 的长为（）A ．2B 23C ．223D ．2435．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（）A ．245B ．4C ．5D ．1256．正方形ABCD ，CEFG 按如图放置，点B ，C ，E 在同一条直线上，点P 在BC 边上，PA PF =，且APF 90∠=︒，连接AF 交CD 于点M ，有下列结论：EC BP =①；BAP GFP ∠∠=②；2221AB CE AF 2+=③；APF ABCD CEFG S S 2S +=正方形正方形④．其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④7．如图，正方形ABCD 的边长为1，顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形1111D C B A ，又顺次连接正方形1111D C B A 四边中点得到第二个正方形2222A B C D ，……，以此类推，则第六个正方形6666A B C D 的面积是（）A ．164B ．116C ．132D ．188．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为边，在AB 的同侧作正方形ABHI ，ACFG ，BCED ．若图中两块阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，则对1S ，2S 的大小判断正确的是（）A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．无法确定9．如图，在ABC 中，AB =AC =6，∠B =45°，D 是BC 上一个动点，连接AD ，以AD 为边向右侧作等腰ADE ，其中AD =AE ，∠ADE =45°，连接CE ．在点D 从点B 向点C 运动过程中，CDE △周长的最小值是（）A ．62B ．626+C ．92D ．926+10．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，D 是AB 上一动点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，连结EF ，则线段EF 的长的最小值是( )A ．2.5B ．2.4C ．2.2D ．2 二、填空题11．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．12．已知：点B 是线段AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 的同侧作等边ABD △和等边BCE ，点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，连接MN ．若AC=6，设BC=2，则线段MN 的长是__________．13．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．14．如图所示，菱形ABCD ，在边AB 上有一动点E ，过菱形对角线交点O 作射线EO 与CD 边交于点F ，线段EF 的垂直平分线分别交BC 、AD 边于点G 、H ，得到四边形EGFH ，点E 在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH ；②可以得到无数个矩形EGFH ；③可以得到无数个菱形EGFH ；④至少得到一个正方形EGFH ．所有正确结论的序号是__．15．如图，在平行四边形ABCD ，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：①∠BCD ＝2∠DCF ；②EF ＝CF ；③S △CDF ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)16．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，点M 为线段AB 的中点．点D 、E 分别在x 轴、y 轴的负半轴上运动，且DE ＝AB ＝10．以DE 为边在第三象限内作正方形DGFE ，则线段MG 长度的最大值为_____．17．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________18．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．19．如图，矩形纸片ABCD ，AB =5，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP =OF ，则AF 的值为______．20．如图所示，已知AB ＝ 6，点C ，D 在线段AB 上，AC ＝DB ＝ 1，P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是_________．三、解答题21．如图，平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时，四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）．22．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由．23．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]① ②24．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.25．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B ,连接AB .(1)求出直线BC 的解析式；(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 以每分钟10个单位的速度运动,过M 作//MN AB 交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值.(3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标；若不存在,请说明理由.26．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：（1）在图1中，连接BD ，且BE DF =①求证：EF 与BD 互相平分；②求证：222()2BE DF EF AB ++=；（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222()2BE DF EF AB ++=是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒，2246B BP PD +=时，求PD 之长.27．（问题情境）在△ABC 中，AB=AC ，点P 为BC 所在直线上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．当P 在BC 边上时（如图1），求证：PD+PE=CF ．图① 图② 图③证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD+PE=CF ．（不要证明）（变式探究）当点P 在CB 延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD 、PE 、CF 之间的数量关系并说明理由.请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）如图4，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF上的任一点，过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；（迁移拓展）在直角坐标系中.直线l 1：y=443x -+与直线l 2：y=2x+4相交于点A ，直线l 1、l 2与x 轴分别交于点B 、点C ．点P 是直线l 2上一个动点,若点P 到直线l 1的距离为1.求点P 的坐标.28．阅读下列材料，并解决问题：如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点D 为AC 边上的动点（不与A 、C 重合），以AD ，BD 为边构造ADBE ，求对角线DE 的最小值及此时AD AC的值是多少．在解决这个问题时，小红画出了一个以AD ，BD 为边的ADBE （如图2），设平行四边形对角线的交点为O ，则有AO BO =．于是得出当OD AC ⊥时，OD 最短，此时DE 取最小值，得出DE 的最小值为6．参考小红的做法，解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当DE的长度最小时，ADAC=_______；（2）如图3，延长DA到点F，使AF DA=．以DF，DB为边作FDBE，求对角线DE的最小值及此时ADAC的值．29．已知三角形纸片ABC的面积为48，BC的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC进行裁剪和拼图：第一步：如图1，沿三角形ABC的中位线DE将纸片剪成两部分．在线段DE上任意．．取一点F，在线段BC上任意．．取一点H，沿FH将四边形纸片DBCE剪成两部分；第二步：如图2，将FH左侧纸片绕点D旋转180°，使线段DB与DA重合；将FH右侧纸片绕点E旋转180°，使线段EC与EA重合，再与三角形纸片ADE拼成一个与三角形纸片ABC 面积相等的四边形纸片．图1 图2（1）当点F，H在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；（3）当325t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AB ，根据三角形中位线定理计算即可.【详解】解：在Rt △ABC 中，∠A=30°，∴AB=2BC=4，∵D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，∴122DE AB ==，故选：D. 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.2．B解析：B【分析】利用正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识依次判断即可；【详解】解：①∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，∠A=∠B=90°，∵∠A=∠EDQ，∠AEP=∠QED，AE=ED，∴△AEP≌△DEQ，故①正确，②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，∴∠PGQ=∠EMF=90°，∵EF⊥PQ，∴∠PEF=90°，∴∠PEN+∠NEF=90°，∵∠NPE+∠NEP=90°，∴∠NPE=∠NEF，∵PG=EM，∴△EFM≌△PQG，∴EF=PQ，故②正确，③连接QF．则QF=PF，PB2+BF2=QC2+CF2，设CF=x，则（2+x）2+12=32+x2，∴x=1，故③错误，④当P在A点时，Q与D重合，QC的中点H在DC的中点S处，当P运动到B时，QC的中点H与D重合，故EH扫过的面积为△ESD的面积=12，故④正确，则正确的是①②④，故选B．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，难度较大．3．D解析：D【解析】【分析】延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=4，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=7.5，AQ=8.5，即可求出△ABN的面积．【详解】解：延长MN交AB延长线于点Q，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=4，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=42+x2，解得：x=7.5，∴NQ=7.5，AQ=8.5，∵AB=5，AQ=8.5，∴S△NAB=S△NAQ=×AN•NQ=××4×7.5=；故选：D．【点睛】本题考查折叠的性质勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．4．C解析：C【解析】【分析】根据△A′DC为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A'D=A'C，②A'D=DC，③CA'=CD，分别求得AP的长，并判断是否符合题意．【详解】①如图，当A′D=A′C时，过A′作EF⊥AD，交DC于E，交AB于F，则EF垂直平分CD，EF 垂直平分AB由折叠得，AB=A'B，∠ABP=∠A'BP ∴△ABA'是等边三角形∴∠ABP=30°∴AP=223333 AB==；②如图，当A'D=DC时，A'D=2由折叠得，A'B=AB=2∴A'B+A'D=2+2=4连接BD，则Rt△ABD中，BD=22222425AB AD+=+=∴A'B+A'D＜BD（不合题意）故这种情况不存在；③如图，当CD=CA'时，CA'=2由折叠得，A'B=AB=2∴A'B+A'C=2+2=4∴点A'落在BC上的中点处此时，∠ABP=12∠ABA'=45°∴AP=AB=2．综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为2332．故选C.【点睛】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．5．D解析：D【分析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．解：连接AP ，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，∴∠BAC=90°，∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF=AP ．∵M 是EF 的中点，∴AM=12AP ，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP ⊥BC 时，AP 最短，同样AM 也最短，∴S △ABC =12BC•AP ＝12AB•AC ， ∴12×10AP ＝12×6×8， ∴AP 最短时，AP=245， ∴当AM 最短时，AM=12AP=125．故选：D ．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．6．D解析：D【分析】①由同角的余角相等可证出EPF BAP ≅，由此即可得出EF BP =，再根据正方形的性质即可得出①成立；②根据平行线的性质可得出GFP EPF ∠=∠，再由EPF BAP ∠=∠即可得出②成立；③在Rt ABP ∆中，利用勾股定理即可得出③成立；④结合③即可得出④成立．【详解】解：①90EPF APB ∠+∠=︒，90APB BAP ∠+∠=︒，EPF BAP ∴∠=∠，在EPF ∆和BAP ∆中，EPF BAP FEP PBA PA PF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EPF BAP AAS ∴∆≅∆，EF BP ∴=，四边形CEFG 为正方形，EC EF BP ∴==，即①成立；②//FG EC ，GFP EPF ∴∠=∠，又EPF BAP ∠=∠，BAP GFP ∴∠=∠，即②成立；③由①可知EC BP =，在Rt ABP ∆中，222AB BP AP +=，PA PF =，且90APF ∠=︒，APF ∴∆为等腰直角三角形，22222AF AP FP AP ∴=+=，22222212AB BP AB CE AP AF ∴+=+==，即③成立； ④由③可知：222AB CE AP +=，2APF ABCD CGFE S S S ∆∴+=正方形正方形，即④成立．故成立的结论有①②③④．故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是逐条分析五条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过证明三角形全等以及利用勾股定理等来验证题中各结论是否成立是关键．7．A解析：A【分析】计算前三个正方形的面积从而得出一般规律求解.【详解】顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形1111D C B A则正方形1111D C B A 的面积为11122⨯= 正方形2222A B C D 的面积为111224⨯= 正方形3333A B C D 的面积为11112228⨯⨯= 正方形n n n n A B C D 的面积为11()22n n= 根据规律可得，第六个正方形6666A B C D 的面积为66111()2264== 【点睛】本题考查了特殊正方形中的面积计算，解题的关键在于找出规律，根据规律求解.8．B解析：B【分析】连接EH ，过点H 作HK ⊥BF 于点K ，令AE 与BH 交于点J ，HL 与BF 交于点L ，根据已知条件易证△BHK ≌△ABC ，继而由全等三角形的性质得S △BHK ＝S △ABC ，BC ＝HK ，∠ABC ＝∠BHK ，再由全等三角形的判定可得△BCJ ≌△HKL ，进而可得S 1＝S △BHK ＝S △ABC ，由正方形的性质和全等三角形的判定可知△ABC ≌△AIG ，继而可得S △ABC ＝S △AIG ＝S 2，等量代换即可求解．【详解】解：连接EH ，过点H 作HK ⊥BF 于点K ，令AE 与BH 交于点J ，HL 与BF 交于点L ，由题意可知：四边形BCED 是正方形，四边形ACFG 是正方形，四边形ABHI 是正方形，∠ACB ＝90°∴∠CEH ＝∠ECK ＝90° ,CE ＝BC∵∠BKH ＝90°,∴四边形CEHK 是矩形，∴ CE ＝HK又∠HBK ＋∠ABC ＝90°, ∠BAC ＋∠ABC ＝90°∴∠HBK ＝∠BAC∴△BHK ≌△ABC （AAS ）∴S △BHK ＝S △ABC ，BC ＝HK ，∠ABC ＝∠BHK ，∵∠ABC ＋∠CBJ ＝90°，∠BHK ＋∠KHL ＝90°∴∠CBJ ＝∠KHL∴△BCJ ≌△HKL （ASA ）∴S △BCJ ＝S △HKL ，∴S 1＝S △BHK ＝S △ABC ，∵四边形ACFG 是正方形，四边形ABHI 是正方形，∴AB ＝AI ，AC ＝AG ，∠G ＝∠ACB ＝90°∴△ABC ≌△AIG （SAS ）∴S △ABC ＝S △AIG ＝S 2，即S 1＝S 2故选：B【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定方法．9．B解析：B【分析】如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得90,62,2BAC DAE BC DE AD ∠=∠=︒==，再根据三角形全等的判定定理与性质可得BD CE =，从而可得CDE △周长为2BC AD +，然后根据垂线段最短可求出AD 的最小值，由此即可得．【详解】在ABC 中，6,45AB AC B ==∠=︒，ABC ∴是等腰直角三角形，2290,62BAC BC AB AC ∠=︒=+=在ADE 中，,45AD AE ADE =∠=︒，ADE ∴是等腰直角三角形，2290,2DAE DE AD AE ∠=︒=+=，90BAD CAD CAE CAD ∴∠+∠=∠+∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴≅，BD CE ∴=，CDE ∴周长为622CD CE DE CD BD DE BC DE AD ++=++=+=，则当AD 取得最小值时，CDE △的周长最小，由垂线段最短可知，当AD BC ⊥时，AD 取得最小值，AD ∴是BC 边上的中线（等腰三角形的三线合一）， 1322AD BC ∴==（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， CDE ∴周长的最小值为62232626+⨯=+，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、三角形全等的判定定理与性质、垂线段最短等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．10．B解析：B【分析】连接CD ，利用勾股定理列式求出AB ，判断出四边形CFDE 是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD ，再根据垂线段最短可得CD ⊥AB 时，线段EF 的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.【详解】如图，连结CD .∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， ∴AB 22AC BC +5.∵DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，∠ACB ＝90°，∴四边形CFDE 是矩形，∴EF ＝CD .由垂线段最短可得CD ⊥AB 时，线段EF 的长最小，此时，S △ABC ＝12 BC ·AC ＝12AB ·CD ，即12×4×3＝12×5·CD ，解得CD ＝2.4，∴EF ＝2.4.故选B .【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD ⊥AB 时，线段EF 的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．二、填空题11．42【分析】首先由对边分别平行可判断四边形ABCD 为平行四边形，连接AC 和BD ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，通过证明△ADF ≌△ABC 来证明四边形ABCD 为菱形，从而得到AC 与BD 相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD 长度.【详解】解：连接AC 和BD ，其交点为O ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴∠ADF=∠ABE ，∵两纸条宽度相同， ∴AF=AE ，∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABE ，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC 与BD 相互垂直平分，∴BD=22242AB AO -=故本题答案为：2【点睛】本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.1221【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得//,4ME AB ME AB ==，再根据平行线的性质可得60FEM C ∠=∠=︒，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得2,23EF MF ==，从而可得3FN =，最后在Rt FMN中，利用勾股定理即可得．【详解】如图，连接ME ，过点M 作MF CE ⊥，交CE 延长线于点F ，ABD △和BCE 都是等边三角形，2BC =，60,2,A CBE C BE CE AD A C B B ∴∠=∠=∠=︒====，//AD BE ∴，6AC =，624AD AB ∴==-=，点M ，N 分别是AD ，CE 的中点， 112,122AM AD EN CE ∴====， AM BE ∴=，∴四边形ABEM 是平行四边形，//,4ME AB ME AB ∴==， 60FEM C ∴∠=∠=︒，在Rt EFM △中，906030EMF ∠=︒-︒=︒，2212,232EF ME MF ME EF ∴===-=， 123FN EN EF ∴=+=+=，则在Rt FMN 中，22223(23)21MN FN MF =+=+=，故答案为：21．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键．13．8个【分析】作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ，可得点H 到点E 和点F 的距离之和最小，可求最小值，即可求解．【详解】如图，作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ， ∵点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝6，∴EC ＝4，FC ＝2＝AE ，∵点M 与点F 关于BC 对称，∴CF ＝CM ＝2，∠ACB ＝∠BCM ＝45°，∴∠ACM ＝90°，∴EM则在线段BC 存在点H 到点E 和点F 的距离之和最小为5，在点H 右侧，当点P 与点C 重合时，则PE ＋PF ＝4＋2＝6，∴点P 在CH 上时，PE ＋PF ≤6，在点H 左侧，当点P 与点B 重合时，∵FN ⊥BC ，∠ABC ＝90°，∴FN ∥AB ，∴△CFN ∽△CAB ， ∴FN CN CF 1===AB CB CA 3，∵AB ＝BC ＝2AC ＝∴FN ＝13AB ，CN ＝13BC∴BN ＝BC －CN ＝，BF ＝，∵AB ＝BC ，CF ＝AE ，∠BAE ＝∠BCF ，∴△ABE ≌△CBF （SAS ），∴BE ＝BF ，∴PE ＋PF ＝∴点P 在BH 上时，PE ＋PF ＜∴在线段BC 上点H 的左右两边各有一个点P 使PE ＋PF ＝5，同理在线段AB ，AD ，CD 上都存在两个点使PE ＋PF ＝5．即共有8个点P 满足PE ＋PF ＝5，故答案为8．【点睛】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．14．①③④【分析】由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE=OF，HO=GO，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF，可得OG=OF，可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，∴GH过点O，GH⊥EF，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，∴△AHO≌△CGO（AAS），∴HO＝GO，∴四边形EGFH是平行四边形，∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形，∵点E是AB上的一个动点，∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，故①③正确；若四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；∵EF ⊥GH ，∴∠GOF ＝90°；∠BOG +∠BOF ＝∠COF +∠BOF ＝90°，∴∠BOG ＝∠COF ；在△BOG 和△COF 中，∵BOG COF BO CO GBO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOG ≌△COF （ASA ）；∴OG ＝OF ，同理可得：EO ＝OH ，∴GH ＝EF ；∴四边形EGFH 是正方形，∵点E 是AB 上的一个动点，∴至少得到一个正方形EGFH ，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．15．①②④【分析】①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断；②延长EF ，交CD 延长线于点M ，首先根据平行四边形的性质证明AEFDFM ≅△△，得出,FE MF AEFM =∠=∠，进而得出90ECD AEC ∠=∠=︒，从而利用直角三角形斜边中线的性质即可判断；③由FE MF =，得出EFC CFM SS =，从而可判断正误； ④设FEC x ∠= ，利用三角形内角和定理分别表示出∠DFE 和∠AEF ，从而判断正误．【详解】①∵点F 是AD 的中点，∴AF FD = ．∵在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ， //,AD BC AF FD CD ∴==，,DFC FCB DFC DCF ∴∠=∠∠=∠ ，FCB DCF ∴∠=∠，∴∠BCD ＝2∠DCF ，故①正确；②延长EF ，交CD 延长线于点M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，A MDF ∴∠=∠，∵点F 是AD 的中点，∴AF FD = ．在AEF 和DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AEF DFM ASA ∴≅△△,FE MF AEF M ∴=∠=∠．CE AB ⊥ ，90AEC ∴∠=︒，90ECD AEC ∴∠=∠=︒，12CF EM EF ∴==，故②正确； ③∵FE MF =，∴EFC CFM S S = ．CFM CDF MDF S S S =+△△△CDF EFC S S ∴<△△，故③错误；④设FEC x ∠= ，则FCE x ∠=，90DCF DFC x ∴∠=∠=︒- ，1802EFC x ∴∠=︒-，9018022703EFD x x x ∴∠=︒-+︒-=︒- ．90AEF x ∠=︒- ，3DFE AEF ∴∠=∠，故④正确；综上所述，正确的有①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这些性质和定理是解题的关键．16．10+55【分析】取DE的中点N，连结ON、NG、OM．根据勾股定理可得55NG=．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG的最大值．【详解】如图1，取DE的中点N，连结ON、NG、OM．∵∠AOB＝90°，∴OM＝12AB＝5．同理ON＝5．∵正方形DGFE，N为DE中点，DE＝10，∴222210555NG DN DG++＝＝＝．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），如图2，由于∠DNG的大小为定值，只要∠DON＝12∠DNG，且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线，此时等号成立，∴线段MG取最大值5故答案为：5【点睛】此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、O、N、G四点共线，则线段MG长度的最大是解题关键．17．22【分析】由正方形ABCD的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=42，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，则EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为DF，由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是△EAG 的中位线，证得∠FDA=45°，则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=12AG=22．【详解】解：连接FD∵正方形ABCD的边长为4，∴AB=BC=4，∠B=90°，∴AC=2，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，∴EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF，∵D是AE的中点，F是EG的中点，∴DF是△EAG的中位线，∴DF∥AG，∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，∴∠BAG=45°，∴∠EAG=135°，∴∠EDF=135°，∴∠FDA=45°，∴F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=12AG=22故答案为：22．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．18．663【分析】==，得到△FEM是等边三角形，根据含30°直通过四边形ABCD是矩形以及CE CB BE角三角形的性质以及勾股定理得到KM，NK，KE的值，进而得到NE的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN，BE即可．【详解】解：如图，设NE交AD于点K，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠MFE=∠FCB，∠FME=∠EBC==，∵CE CB BE∴△BCE为等边三角形，∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，∵∠FEM=∠BEC，∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，∴△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2，∵EN⊥BE，∴∠NEM=∠NEB=90°，∴∠NKA=∠MKE=30°，∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，∴在Rt△KME中，KE=2223-=，KM EM∴NE=NK+KE=6+23，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=30°，∴BN=2NE=12+43，∴BE=22663-=+，BN NE∴BC=BE=663，故答案为：663【点睛】本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．19．207【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由“AAS”可证△OEF ≌△OBP ，可得出OE=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=5-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出AF=2+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，即可得AF 的长．【详解】解：∵将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，∴DC =DE =5，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，90EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩, ∴△OEF ≌△OBP （AAS ），∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE -EF =5-x ，又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC -BP =3-x ，∴AF =AB -BF =2+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，∴（2+x ）2+32=（5-x ）2，∴x =67∴AF =2+67=207故答案为：207 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．20．2【分析】分别延长AE ，BF 交于点H ，易证四边形EPFH 为平行四边形，得出点G 为PH 的中点，则G 的运动轨迹为△HCD 的中位线MN ，再求出CD 的长度，运用中位线的性质求出MN 的长度即可．【详解】解：如图，分别延长AE，BF交于点H，∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF，∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分，∵点G为EF的中点，∴点G为PH的中点，即在P运动的过程中，G始终为PH的中点，∴G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，∵CD=6-1-1=4，∴MN=12CD=2，∴点G移动路径的长是2，故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得出G的运动轨迹为△HCD的中位线MN．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形；②2【分析】（1）证明△FCG ≌△EDG（ASA），得到FG=EG即可得到结论；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形.过A作AM⊥BC于M，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM，证明△MBA≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF是矩形；②根据四边形CEDFCEDF是菱形，得到CD⊥EF，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ CF ∥ED ，∴ ∠FCG ＝∠EDG ，∵ G 是CD 的中点，∴ CG ＝DG ，在△FCG 和△EDG 中，FCG EDG CG DG CGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ △FCG ≌△EDG （ASA ），∴ FG ＝EG ，∵ CG ＝DG ，∴ 四边形CEDF 是平行四边形；（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形，理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ，∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵AB=3，∴BM=1.5，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM ，在△MBA 和△EDC 中，BM DE B CDE AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBA ≌△EDC(SAS)，∴∠CED=∠AMB=90°，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是矩形；②∵四边形CEDFCEDF 是菱形，∴CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，∵∠CDE=∠B=60∘∠B=60∘，∴∠DEG=30°，∴DE=2DG=3，∴AE=AD-DE=5-3=2，故答案为：2.。

人教版数学八年级下册：《平行四边形》单元测试卷(含答案)

26.（1）证明：∵MN 交∠ACB 的平分线于点 E，交∠ACB 的外角平分线于点 F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6， ∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，∴EF=
17.答案为： 3
18.答案为：10
19.解：（1）∵AD2=32+12=10，DC2=32+12=10，CB2=12+12=2， ∴AD2+DC2+CB2=10+10=2=22，故答案为：22；
（2）如图，以 AB 为边做正方形 ABGH，再作平行四边形 HMNG，直线 MN 交 AH 于点 Q，交 GB 于点 P，矩形 ABPQ
三、作图题：
19.如图，将四边形 ABCD 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A．B、C、D 均落在格点上．
（Ⅰ）计算 AD2+DC2+CB2 的值等于
；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以 AB 为一边的矩形，使该矩形的面积等于 AD2+DC2+CB2，并简要说明画图方法（不要求证明）．
ABC,且AB=5,BE=4,则AE=（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
6.如图，在菱形 ABCD 中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F 为垂足，AE=ED ，则∠EBF 等于(
)
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A．75°
B．60°
C．50°
D．45°
7.如图,在△ABC中,AB=5，BC=6,AC=7,点D,E,F分别是△ABC三边的中点，则△DEF周长为（

人教版八年级数学下册平行四边形同步测试题(word版含解析)

人教版八年级数学下册《18-1平行四边形》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题,满分40分）1．平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别相等B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．两条对角线相等2．在平行四边形ABCD中,∠A：∠B：∠C：∠D可以是（）A．2：3：4：5B．3：2：3：2C．2：2：1：1D．2：3：3：2 3．在下列给出的条件中,能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB＝BC,CD＝DA B．AB∥CD,AD＝BCC．AB∥CD,∠A＝∠C D．∠A＝∠B,∠C＝∠D4．如图,在▱ABCD中,AB＝6,BC＝8,∠BCD的平分线交AD于E,交BA的延长线于F,则AF 的长等于（）A．2B．3C．4D．65．如图,过平行四边形ABCD对角线交点O的线段EF,分别交AD,BC于点E,F,当AE＝ED 时,△AOE的面积为4,则四边形EFCD的面积是（）A．8B．12C．16D．326．如图,△ABC的周长为32,点D、E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC＝12,则PQ的长为（）A．3B．4C．5D．67．如图,平行四边形ABCD中,∠BDC＝30°,DC＝4,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,且E、F恰好是BD的三等分点,AE、CF的延长线分别交DC、AB于N、M点,那么四边形MENF的面积是（）A．B．C．2D．28．如图,在平面直角坐标系中,A（1,0）,B（﹣1,3）,C（﹣2,﹣1）,找一点D,使得以点A,B,C,D 为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标不可能是（）A．（2,4）B．（﹣4,2）C．（0,﹣4）D．（﹣3,2）二．填空题（共8小题,满分40分）9．一个三角形的三条中位线的长分别为3,4,5,则三角形的面积为．10．如图,四边形ABCD中,∠A＝90°,AB＝2,AD＝2,点M,N分别为线段BC,AB上的动点（含端点,但点M不与点B重合）,点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为．11．如图,△ABC中,AB＝10,AC＝7,AD平分∠BAC,AE是BC边上的中线,过点C作CG⊥AD 于F,交AB于G,连接EF,则线段EF的长为．12．如图,E是直线CD上的一点．已知平行四边形ABCD的面积为50cm2,在△ABE的面积为cm2．13．如图,在平行四边形ABCD中,BE⊥AC,AC＝24,BE＝5,AD＝8,则两平行线AD与BC间的距离是．14．如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点．若AC+BD ＝24厘米,△OAB的周长是18厘米,则EF＝厘米．15．如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AB≠AD,过O作OE⊥BD交BC于点E,若平行四边形ABCD的周长为20,则△CDE的周长为．16．如图,在等边三角形ABC中,BC＝6cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动,点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发,设运动时间为t（s）当t＝s时,以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．三．解答题（共6小题,满分40分）17．如图,在平行四边形ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E．（1）求证：AF＝DE；（2）若EF＝1,▱ABCD的周长为46,求BC的长．18．如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F（1）求证：AE＝CF；（2）求证：四边形AECF是平行四边形．19．如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AO＝CO,EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F,OE＝OF（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）连接AF,若EF⊥AC,△ABF周长是15,求四边形ABCD的周长．20．如图,矩形ABCD,AB＝5cm,BC＝10cm,动点M从点D出发,按折线DCBAD方向以3cm/s 的速度运动,动点N从点D出发,按折线DABCD方向以2cm/s的速度运动．点E在线段BC上,且BE＝1cm,若M、N两点同时从点D出发,第一次相遇时停止运动．（1）求经过几秒钟M、N两点停止运动？（2）求点A、E、M、N构成平行四边形时,M、N两点运动的时间；（3）设运动时间为t（s）,用含字母t的代数式表示△EMN的面积S（cm2）．21．如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB＝5,AD＝3,E是AB上的一点,F是AD上的一点,连接EO和FO．（1）当点E为AB中点时,求EO的长度；（2）求线段AO的取值范围；（3）当EO⊥FO时,连接EF．求证：BE+DF＞EF．22．在平行四边形ABCD中,E是BC上任意一点,延长AE交DC的延长线与点F．（1）在图中当CE＝CF时,求证：AF是∠BAD的平分线．（2）根据（1）的条件和结论,若∠ABC＝90°,G是EF的中点（如图‚）,请求出∠BDG 的度数．（3）如图 ,根据（1）的条件和结论,若∠BAD＝60°,且FG∥CE,FG＝CE,连接DB、DG,求出∠BDG的度数．参考答案一．选择题（共8小题,满分40分）1．解：平行四边形两组对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分但不相等,所以A、B、C正确,不符合题意,D错误,符合题意,故选：D．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A＝∠C,∠B＝∠D,∴B正确,故选：B．3．解：如图所示,根据平行四边形的判定,A、B、D条件均不能判定为平行四边形, C选项中,由于AB∥CD,∠A＝∠C,所以∠B＝∠D,所以只有C能判定．故选：C．4．解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD＝BC＝8,∴∠F＝∠FCD,∵CE平分∠BCD,∴∠BCE＝∠FCD,∴∠F＝∠BCE,∴BF＝BC＝6,∴AF＝BF﹣AB＝8﹣6＝2；故选：A．5．解：∵ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD＝BC,AO＝CO,OB＝OD∴∠DAC＝∠ACB,∵∠AOE＝∠COF∴△COF≌△AOE（ASA）∵S△AOE＝4,AE＝ED∴S△COF＝S△DOE＝S△AOE＝4,∴S△AOD＝8∵AO＝CO∴S△COD＝S△AOD＝8∴S四边形EFCD＝S△DOE+S△COD+S△COF＝4+8+4＝16；故选：C．6．解：∵BQ平分∠ABC,BQ⊥AE,∴∠ABQ＝∠EBQ,∵∠ABQ+∠BAQ＝90°,∠EBQ+∠BEQ＝90°,∴∠BAQ＝∠BEQ,∴AB＝BE,同理：CA＝CD,∴点Q是AE中点,点P是AD中点（三线合一）,∴PQ是△ADE的中位线,∵BE+CD＝AB+AC＝32﹣BC＝32﹣12＝20,∴DE＝BE+CD﹣BC＝8,∴PQ＝DE＝4．故选：B．7．解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝DC＝4,∵E、F恰好是BD的三等分点,∴DE＝EF＝BF,∵AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,∴AN∥CM,∴AM＝BM＝AB＝2,又∵∠ABD＝30°,则在Rt△BFM中,MF＝BM＝1,BF＝,同理：在Rt△DEN中,EN＝1,∴EN＝MF,∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴MF∥EN,∴四边形MENF是平行四边形,∵E、F恰好是BD的三等分点,∴EF＝BF＝,∴四边形MENF的面积＝1×＝．故选：B．8．解：如图所示：观察图象可知,满足条件的点D有三个,坐标分别为（2,4）或（﹣4,2）或（0,﹣4）,∴点D的坐标不可能是（﹣3,2）,故选：D．二．填空题（共8小题,满分40分）9．解：设中位线DE＝3,DF＝4,EF＝5．∵DE是△ABC的中位线,∴BC＝2DE＝2×3＝6．同理：AC＝2DF＝8,AB＝2EF＝10．∵62+82＝100＝102,∴AC2+BC2＝AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB＝90°,∴S△ABC＝AC•BC＝×6×8＝24．故答案是：24．10．解：连接DN、DB,如图所示：在Rt△DAB中,∠A＝90°,AB＝2,AD＝2,∴BD＝＝＝4,∵点E,F分别为DM,MN的中点,∴EF是△DMN的中位线,∴EF＝DN,由题意得,当点N与点B重合时DN最大,最大值为4,∴EF长度的最大值为2,故答案为：2．11．解：∵AD平分∠BAC,∴∠GAF＝∠CAF,∵CG⊥AD,∴∠AFG＝∠AFC,在△AGF和△ACF中,,∴△AGF≌△ACF（ASA）,∴AG＝AC＝7,GF＝CF,则BG＝AB﹣AG＝10﹣7＝3．又∵BE＝CE,∴EF是△BCG的中位线,∴EF＝BG＝1.5．故答案是：1.5．12．解：根据图形可得：△ABE的面积为平行四边形的面积的一半,又∵▱ABCD的面积为50cm2,∴△ABE的面积为25cm2．故答案为：25．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD＝BC,DC＝AB,在△ADC和△CBA中,∴△ADC≌△CBA（SSS）,∵AC＝24,BE＝5,∴S△ACB＝×24×5＝60,∴S△ADC＝60,∴S平行四边形ABCD＝120,过B作BF⊥AD,∵AD＝8,∴8BF＝120,解得：BF＝15．故答案为：15．14．解：∵▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴点O是AC、BD的中点,∵AC+BD＝24厘米,∴OB+0A＝12厘米,∵△OAB的周长是18厘米,∴AB＝18﹣12＝6厘米,∵▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,∴AB＝2EF,∴EF＝6÷2＝3厘米,故答案为：3．15．解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB＝OD,AB＝CD,AD＝BC,∵平行四边形ABCD的周长为20,∴BC+CD＝10,∵OE⊥BD,∴BE＝DE,∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+BE＝CD+BC＝10．故答案为：10．16．解：①当点F在C的左侧时,根据题意得：AE＝tcm,BF＝2tcm,则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm）,∵AG∥BC,∴当AE＝CF时,四边形AECF是平行四边形,即t＝6﹣2t,解得：t＝2；②当点F在C的右侧时,根据题意得：AE＝tcm,BF＝2tcm,则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm）,∵AG∥BC,∴当AE＝CF时,四边形AEFC是平行四边形,即t＝2t﹣6,解得：t＝6；综上可得：当t＝2或6s时,以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故答案为：2或6．三．解答题（共6小题,满分40分）17．证明：（1）∵四边形ABCD的平行四边形,∴AB＝CD,AD＝BC,AD∥BC,∴∠AFB＝∠CBF,∠DEC＝∠BCE,∵BF平分∠ABC,CE平分∠BCD,∴∠ABF＝∠FBC＝∠AFB,∠DCE＝∠BCE＝∠DEC,∴AB＝AF,DC＝DE,∴AF＝DE；（2）∵▱ABCD的周长为46,∴AD+AB＝23,∵EF＝1,∴2AB﹣AD＝EF＝1,∴AB＝8,AD＝15,∴BC＝15．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD＝CB,AD∥BC,∴∠ADE＝∠CBF,∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AED＝∠CFB＝90°,在△ADE和△CBF中,,∴△ADE≌△CBF（AAS）,∴AE＝CF；（2）证明：∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF,∵AE＝CF,∴四边形AECF是平行四边形．19．证明：（1）∵AO＝CO,OE＝OF,∠AOE＝∠COF ∴△AOE≌△COF（SAS）,∴∠OAE＝∠OCF∴AD∥BC,∴∠EDO＝∠FBO又∵OE＝OF,∠EOD＝∠FOB∴△EOD≌△FOB（AAS）,∴OB＝OD,且OA＝OC∴四边形ABCD是平行四边形（2）∵EF⊥AC,AO＝CO,∴AF＝FC∴AB+BF+AF＝AB+BF+FC＝15即AB+BC＝15∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝15×2＝3020．解：（1）∵矩形ABCD中,AB＝5cm,BC＝10cm,∴M、N两点同时从点D出发,到第一次相遇时共运动了：2（5+10）＝30（cm）,∴t＝30÷（2+3）＝6 （s）答：经过6 s两点相遇．（2）由题意知,当点N在AD边上运动,点M在BC边上运动时,点A、E、M、N才可能组成平行四边形,设经过t秒,四点可组成平行四边形,①当构成▱AEMN时,10﹣2t＝14﹣3t,解得t＝4；②当构成▱AMEN时,10﹣2t＝3t﹣14,解得t＝4.8；答：当点A、E、M、N构成平行四边形时,M、N两点运动的时间为4s或4.8s．（3）如图（1）,当0＜t＜时,S＝S梯形CDNE﹣S△DMN﹣S△CEM＝×（2t+9）×5﹣×2t ×3t﹣×9×（5﹣3t）＝﹣3t2+t；如图（2）,当≤t＜时,S＝S△EMN＝EM•CD＝×（14﹣3t）×5＝35﹣t；如图（3）,当＜t≤5时,S＝S△EMN＝×（3t﹣14）×5＝t﹣35；如图（4）,当5＜t＜6时,S＝S△EMN＝MN•BE＝×（30﹣2t﹣3t）×1＝15﹣t．21．（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC＝AD＝3,OA＝OC,∵点E为AB中点,∴OE为△ABC的中位线,∴OE＝BC＝；（2）解：在△ABC中,∵AB﹣BC＜AC＜AB+BC,而OA＝OC,∴5﹣3＜2AO＜5+3,∴1＜AO＜4；（3）证明：延长FO交BC于G点,连接EG,如图,∵四边形ABCD为平行四边形,∴OB＝OD,BC∥AD,∴∠OBG＝∠ODF,在△OBG和△ODF中,∴△OBG≌△ODF,∴BG＝DF,OG＝OF,∵EO⊥OF,∴EG＝EF,在△BEG中,BE+BG＞EG,∴BE+FD＞EF．22．（1）证明：如图1,∵CE＝CF∴∠CEF＝∠F,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥DC,∴∠F AD＝∠FEC,∠BAF＝∠F,∴∠BAF＝∠F AD,∴AF是∠BAD的平分线；（2）解：如图2,连接CG,BG在平行四边形ABCD中,∠ABC＝90°,∴AD＝BC,∠BCD＝90°,∴∠BCF＝180°﹣90°＝90°,又∵CE＝CF,∴△CEF是等腰直角三角形,即：∠CEF＝∠F＝45°,由（1）可得：∠F AD＝∠CEF＝∠F＝45°,∴AD＝DF＝BC,又∵G是EF的中点,∴CG＝GF,∠ECG＝∠F＝45°,∠CGF＝90°,在△BGC与△DGF中,,∴△BGC≌△DGF（SAS）,∴BG＝DG,∠BGC＝∠DGF,∴∠BGD＝∠CGF＝90°∴△BGD是等腰直角三角形,即：∠BDG＝45°；（3）解：如图3,延长AB,FG相较于H,连接EG,DH．∴GF∥CE,GF＝CE∴四边形EGFC是平行四边形．∵AD∥GF,AB∥DF,∴四边形AHFD为平行四边形由（1）可得：AD＝DF,CE＝CF∴平行四边形EGFC是菱形．平行四边形AHFD是菱形．∵∠BAD＝60°∴△AHD、△FHD是等边三角形,即∠ADH＝∠FDH＝60°,在△BHD与△GFD中,,∴△BHD≌△GFD（SAS）,∠BDH＝∠GDF,∴∠BDG＝60°．。

人教版四年级上册数学第五单元《平行四边形和梯形》同步练习题及答案(易错题)

人教版四年级上册数学第五单元《平行四边形和梯形》同步练习题一.选择题1.把一个长方形框架拉成一个平行四边形, 这个平行四边形的周长比原长方形的周长（）。

A.大B.小C.一样大2.小明画了两条直线, 这两条直线都和同一条直线垂直, 这两条直线（）。

A.互相平行B.互相垂直 C. 相交3.直角梯形中有（）个直角。

A.1B.2C.34.下面说法中, （）不符合等腰梯形的特征。

A.两腰相等B.两腰平行C.两底角相等5.平行四边形有（）条高。

A.1B.2C.无数6.两个完全一样的三角板可以拼成一个（）。

A.平行四边形B.六边形C.五边形二.判断题1.长方形和正方形也是平行四边形。

（）2.同一平面内, 过直线外一点可以画无数条已知直线的垂线。

（）3.不相交的两条直线是平行线。

（）4.梯形只有一条高。

（）5.平行四边形具有容易变形的特性。

（）6.等腰梯的的两个底角一定相等。

（）三.填空题1.小聪和小明都用两根长6厘米和两根长4厘米的小棒摆了一个平行四边形,他们摆的图形的( )一定相等,是( )厘米。

2.从平行四边形一条边上的一点到对边引一条（）, 这点和垂足之间的（）叫做平行四边形的高, （）所在的边叫做平行四边形的底。

3.填上适当的数。

4.在两条平行线之间, 可以画（）条垂直线段, 这些垂直线段的长度都（）。

5.平行四边形一条边长6厘米, 和它相邻的另一条边长4厘米, 平行四边形的周长是（）厘米。

6.平行四边形的一条边是8cm, 另一条边是6cm, 它的周长是（）。

四.作图题1.在沿河大道上的点A处修一条大道通向青年西路, 怎样修路最近？请在图中画出来。

2.亮亮在一个游泳池里的0处游泳.如果亮亮想尽快上岸, 应该怎么游？3.李村离公路还有一段距离,想修一条水泥路连接公路。

请你设计一条最短路线,并在图上画出来。

4.在方格纸分别画一个锐角, 一个直角, 一个钝角, 一个长方形和一个平行四边形。

五.解答题1.等腰梯形上底是4厘米, 下底是上底的3倍, 周长是26厘米。

八年级数学下册 18.1 平行四边形同步练习(含解析)(新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级下

18.1平行四边形同步练习(一)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、中，点、分别是、中点，，，那么的度数是( ).A.B.C.D.2、如图，图，图，图分别表示甲乙丙三人由地到地的路线图（箭头表示行进的方向），其中为的中点，，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A. 甲乙丙B. 乙丙甲C. 丙乙甲D. 甲乙丙3、如果三角形的两条边分别为和，那么连结该三角形三边中点所得的三角形的周长可能是下列数据中的（）.A.B.C.D.4、在四边形中，与相交于点，如果只给出条件“”，那么要判定四边形为平行四边形，给出以下个说法：如果再加上条件“”，那么四边形为平行四边形；如果再加上条件“”，那么四边形为平行四边形；如果再加上条件“”，那么四边形为平行四边形；如果再加上条件“”，那么四边形是平行四边形；如果再加上条件“”，那么四边形为平行四边形；如果再加上条件“”，那么四边形为平行四边形．其中正确的说法有（）.A. 个B. 个C. 个D. 个5、已知在四边形中，对角线、相交于点，给出下列四个条件：①②③④．从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有（）A. 种B. 种C. 种D. 种6、如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，若，，，则的周长为（）.A.B.C.D.7、在直角坐标系中，若以、、三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限8、如图，已知点是的边延长线上一点，点是边上的一动点(不与点重合)，以、为邻边作平行四边形，又，且（点、在直线的同侧）．如果，那么面积与面积之比为( ).A.B.C.D.9、如图，在中，，，，将沿向右平移得到．若四边形的面积等于，则平移距离等于( ).A. 16B.C.D.10、如图，是等边三角形，是三角形内一点，，，，若的周长为，则（）A. 条件不够，不能确定B.C.D.11、如图，在中，，，点分别是直角边的中点，则的长为（）A.B.C.D.12、如图，在平行四边形中，于点，于点．若，，且平行四边形的周长为，则平行四边形的面积为（）A.B.C.D.13、点、、是平面内不在同一条直线上的三点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有（）A. 个B. 个C. 个D. 个14、如图，平行四边形中，平分，若，，则平行四边形的周长是（）A.B.C.D.15、如图，平行四边形的对角线和相交于点，与面积相等的三角形（不包括自身）的个数是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为．17、已知四边形边长分别为，，，，其中与、与为对边，且，则此四边形一定是___________．18、以不在同一直线上的三点、、为顶点画平行四边形，一共可以画个．19、如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，且，若，则的度数是度．20、如图，在平行四边形中，，的角平分线与交于点．若，则度．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、已知：的中线、交于点，、分别是、的中点．求证：四边形是平行四边形．22、如图，已知：，，垂足为点，，垂足为点，并且．求证：四边形是平行四边形．23、如图，平行四边形中，对角线，交于，．(1) 若的周长为，平行四边形的周长为多少?(2) 若，平分，则的度数为________度．18.1平行四边形同步练习(一) 答案部分一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、中，点、分别是、中点，，，那么的度数是( ).A.B.C.D.【答案】B【解析】解：点、分别是、中点，，，又，，，，故答案为：．2、如图，图，图，图分别表示甲乙丙三人由地到地的路线图（箭头表示行进的方向），其中为的中点，，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A. 甲乙丙B. 乙丙甲C. 丙乙甲D. 甲乙丙【答案】D【解析】解：如图，在图中延长、交于点，∵，∴，同理，∴四边形为平行四边形，∴，，∴乙所走的路程为，在和中，根据可证得三角形全等，所以，，∴甲乙；如图，在图中延长、交于点，同理可证明四边形为平行四边形，∴，，∴丙所走的路程为，且，，∴甲丙，故答案为:甲乙丙.3、如果三角形的两条边分别为和，那么连结该三角形三边中点所得的三角形的周长可能是下列数据中的（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】解：设三角形的三边分别是、、，令，，根据三角形三边关系得，，则，∴三角形的周长，故连结该三角形三边中点三角形的周长．故答案为：.4、在四边形中，与相交于点，如果只给出条件“”，那么要判定四边形为平行四边形，给出以下个说法：如果再加上条件“”，那么四边形为平行四边形；如果再加上条件“”，那么四边形为平行四边形；如果再加上条件“”，那么四边形为平行四边形；如果再加上条件“”，那么四边形是平行四边形；如果再加上条件“”，那么四边形为平行四边形；如果再加上条件“”，那么四边形为平行四边形．其中正确的说法有（）.A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】解：，，四边形为平行四边形，故正确；，，四边形为平行四边形，故正确；，，，，，四边形为平行四边形；故正确；若，，此四边形也可以是等腰梯形，不能判定四边形为平行四边形；故错误；，，，在和中，，，，四边形是平行四边形；故正确；，，，，，，，不能判定四边形为平行四边形；故错误；故答案为：个．5、已知在四边形中，对角线、相交于点，给出下列四个条件：①②③④．从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】C【解析】解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形为平行四边形；①③可证明，进而得到，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形为平行四边形；①④可证明，进而得到，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形为平行四边形；∴有种可能使四边形为平行四边形．故答案为：种．6、如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，若，，，则的周长为（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】解：四边形是平行四边形，且，，，，，的周长为：．故答案为：.7、在直角坐标系中，若以、、三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】B【解析】解：如图，当为对角线时，第四个顶点在第二象限；当为对角线时，第四个顶点在第四象限；当为对角线时，第四个顶点在第一象限.故答案应选：第三象限.8、如图，已知点是的边延长线上一点，点是边上的一动点(不与点重合)，以、为邻边作平行四边形，又，且（点、在直线的同侧）．如果，那么面积与面积之比为( ).A.B.C.D.【答案】A【解析】解：过点作交于，连接，，，，四边形是平行四边形，，，四边形是平行四边形，，，即，，，共线，设，，，则，，，，四边形是平行四边形，，，．故正确答案是：.9、如图，在中，，，，将沿向右平移得到．若四边形的面积等于，则平移距离等于( ).A. 16B.C.D.【答案】D【解析】解：在中，，，沿向右平移得到，，，四边形为平行四边形，四边形的面积等于，，即，，即平移距离等于．故正确的答案是：.10、如图，是等边三角形，是三角形内一点，，，，若的周长为，则（）A. 条件不够，不能确定B.C.D.【答案】B【解析】解：延长交于点，延长交与点，，，，四边形、四边形均为平行四边形，，．又为等边三角形，和也是等边三角形，，，．11、如图，在中，，，点分别是直角边的中点，则的长为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：如图，在中，，，．又点、分别是、的中点，是的中位线，．12、如图，在平行四边形中，于点，于点．若，，且平行四边形的周长为，则平行四边形的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：设，则，根据“等面积法”，得，解得，所以平行四边形面积．13、点、、是平面内不在同一条直线上的三点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】解：由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与点恰能构成一个平行四边形，符合这样条件的点有个．14、如图，平行四边形中，平分，若，，则平行四边形的周长是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：四边形是平行四边形，，，，，平分，，，，，平行四边形的周长．15、如图，平行四边形的对角线和相交于点，与面积相等的三角形（不包括自身）的个数是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：在平行四边形中，，，，与面积相等的三角形是个．二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为．【解析】解：，为的中点，，为的中位线，，，故答案为：．17、已知四边形边长分别为，，，，其中与、与为对边，且，则此四边形一定是___________．【答案】平行四边形【解析】解：，，，且，，为对边，，为对边，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，此四边形为平行四边形．故答案：平行四边形．18、以不在同一直线上的三点、、为顶点画平行四边形，一共可以画个．【答案】3【解析】解：已知三点为、、，连接、、，分别以、、为平行四边形的对角线，另外两边为边，可构成的平行四边形有三个：平行四边形，平行四边形，平行四边形．故答案为：．19、如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，且，若，则的度数是度．【答案】45【解析】解：四边形是平行四边形，，，四边形是平行四边形，．20、如图，在平行四边形中，，的角平分线与交于点．若，则度．【答案】51【解析】解：在平行四边形中，，，，，是的角平分线，，，，，，，．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、已知：的中线、交于点，、分别是、的中点．求证：四边形是平行四边形．【解析】证明：∵的中线、相交于点，∴且，∵、分别是、的中点，∴且，∴且，∴四边形是平行四边形．22、如图，已知：，，垂足为点，，垂足为点，并且．求证：四边形是平行四边形．【解析】证明：∵，，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴；∵，，∴，∵，∴四边形是平行四边形．23、如图，平行四边形中，对角线，交于，．(1) 若的周长为，平行四边形的周长为多少? 【解析】解：四边形是平行四边形，．，．故的周长为，根据平行四边形的对边相等得，平行四边形的周长为．(2) 若，平分，则的度数为________度．【解析】解：，，，平分，，，．，．。

人教版平行四边形单元期末复习同步练习试卷

人教版平行四边形单元期末复习同步练习试卷一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由．2．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为．（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．3．如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ．（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；（2）若∠DEF =90°，DE =8，EF =6，当AF 为时，四边形BCEF 是菱形．4．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：（动手操作，归纳发现）（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想（推理探索，尝试证明）为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G则90CGB ∠=90GCB CBG ∴∠+∠= 又四边形ABCD 正方形，AB BC =，90ABC ∠=则90CBG ABO ∠+∠=GCB ABO ∴∠=∠在CBE ∆与ABE ∆中，（类比探究，拓展延伸）（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为．5．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ： ①若522CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =；（2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．6．如图①，已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点(点E ，F 不与端点重合)，且AE=DF ，BE ，AF 交于点P ，过点C 作CH ⊥BE 交BE 于点H ．（1）求证：AF ∥CH ；（2）若AB=23 ，AE=2，试求线段PH 的长；（3）如图②，连结CP 并延长交AD 于点Q ，若点H 是BP 的中点，试求 CP PQ的值． 7．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．（1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数；（3）联结AF ，求证：2DE AF =．8．如图1，在OAB 中，OAB 90∠=，30AOB ∠=,8OB =，以OB 为边，在OAB Λ外作等边OBC Λ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）连接AC ，BE 交于点P ，求AP 的长及AP 边上的高BH ；（3）在（2）的条件下，将四边形OABC 置于如图所示的平面直角坐标系中，以E 为坐标原点，其余条件不变，以AP 为边向右上方作正方形APMN ：①M 点的坐标为．②直接写出正方形APMN 与四边形OABC 重叠部分的面积（图中阴影部分）．9．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD =90°，AB =AD =10cm ，BC =8cm 。

人教版八年级下册《平行四边形》单元测试卷(1)

人教版八年级下册《平行四边形》单元测试卷（1）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）在▱ABCD中，已知∠A﹣∠B＝20°，则∠C＝（）A．60°B．80°C．100°D．120°2．（3分）下列说法中正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形3．（3分）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（）A．5m B．10m C．20m D．40m4．（3分）不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，∠B＝∠DC．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝CD，∠BAC＝∠ACD5．（3分）已知▱ABCD的周长为24，AB＝4，则BC的长为（）A．6B．8C．10D．126．（3分）若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（）A．20B．24C．40D．487．（3分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝1，则AB的长是（）A．1B．2C．D．28．（3分）如图，菱形ABCD的周长为52，对角线AC的长为24，DE⊥AB，垂足为E，则DE的长为（）A．B．C．D．9．（3分）如图的正三角形ABC与正方形CDEF中，B、C、D三点共线，且AC＝10，CF＝8．若有一动点P沿着CA由C往A移动，则FP的长度最小为多少？（）A．4B．5C．4D．510．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则b的值为（）A．3B．2C．﹣3D．﹣2二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）已知一个直角三角的斜边长为12，则其斜边上的中线长为．12．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，则只须补充条件（用字母表示只添加一个条件）就可以判定四边形ABCD是正方形．13．（3分）在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，且AB＝10cm，AC＝12cm．则菱形ABCD的面积是cm2．14．（3分）如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是．15．（3分）如图▱ABCD中，AC与BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①FE＝GE；②AE＝GF；③AE⊥GF；④FE⊥GE；⑤∠ADB＝2∠CBE；⑥GF平分∠AGE，其中正确的有．16．（3分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点P为线段AD垂直平分线上一点，且PD ＝5，则BP的长是．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，求CD的长．18．（6分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．19．（7分）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接DE、BF．（1）求证：BE＝DF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．20．（7分）正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝CF+AE；（2）当AE＝2时，求EF的长．21．（8分）阅读下列材料：如图1，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝CD，则把这样的四边形称之为筝形．（1）如图2，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE＝AF，∠AEC ＝∠AFC．求证：四边形AECF是筝形．（2）如图3，在筝形ABCD中，AB＝AD＝26，BC＝DC＝25，AC＝17，求筝形ABCD 的面积．22．（8分）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．23．（10分）如图1，点O是菱形ABCD对角线的交点，已知菱形的边长为12，∠ABC＝60°．（1）求BD的长；（2）如图2，点E是菱形边上的动点，连接EO并延长交对边于点G，将射线OE绕点O顺时针旋转30°交菱形于点H，延长HO交对边于点F．①求证：四边形EFGH是平行四边形；②若动点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→A→D的方向在BA和AD上运动，设点E运动的时间为t，当t为何值时，四边形EFGH为矩形．。

人教版数学四年级上册第五单元《平行四边形和梯形》同步练习(含答案)

《平行四边形和梯形》（同步练习）四年级上册数学人教版一．填空题（共4小题）1．平行四边形的一个内角是直角，并且相邻的边不相等，这个平行四边形就是，若相邻的边相等，这个平行四边形就是．2．a、b、c、d四条线段围绕了一个平行四边形（如图）．其中和互相平行，还有和互相平行．3．从平行四边形的一个顶点出发作一条高，可以把平行四边形分成一个三角形和一个形．4．黑板上下两条边是互相的，三角尺中的两条直角边是互相的。

梯形中最多有个直角。

二．选择题（共5小题）5．平行四边形的（）一定相等．A．四个角B．对边C．四条边6．从平行四边形一条边上的一点到对边可以画（）条高。

A．1B．2C．4D．无数7．平行四边形的一个角是钝角，与这个角相邻的角一定是（）A．直角B．锐角C．钝角D．平角8．一个平行四边形框架沿对角线拉成一个长方形后，周长（）A．变大B．不变C．变小9．（）只有一组对边平行．A．平行四边形B．梯形C．长方形三．判断题（共4小题）10．学校门口的伸缩门是利用平行四边形的稳定性原理制作的。

11．平行四边形同一条底上的高有无数条，它们的长度都相等。

12．因为梯形有一组对边平行，所以梯形是特殊的平行四边形。

13．梯形有无数条高，且长度都相等。

四．计算题（共2小题）14．一个平行四边形的周长是160分米，其中一条边长26分米，另外三条的长度分别是多少分米？15．计算下面图形的周长．五．操作题（共2小题）16．（1）以O为顶点画一个45°的角。

（2）根据给定的底和高，画一个平行四边形。

17．画出下面平行四边形中底a和b分别对应的两条高。

六．应用题（共4小题）18．用一根217厘米长的铁丝正好围成一个等腰梯形。

梯形的上底是31厘米，下底是66厘米，它的一条腰长多少厘米？19．一根60厘米长的铁丝刚好围成一个平行四边形，其中一条边长12厘米，其他三条边的长度各是多少厘米？请说明理由。

20．王师傅用一根70厘米长的木条做了一个平行四边形框架，其中一条边的长是20厘米，另一条边长是多少厘米？21．一个直角梯形的下底是上底的4倍，如果把梯形的上底延长12厘米，就成为一个正方形，这个梯形的上底和高各是多少厘米？《5.2平行四边形和梯形》（同步练习）四年级上册数学人教版参考答案与试题解析一．填空题（共4小题）1．平行四边形的一个内角是直角，并且相邻的边不相等，这个平行四边形就是长方形，若相邻的边相等，这个平行四边形就是正方形．【解答】解：平行四边形的一个内角是直角，并且相邻的边不相等，这个平行四边形就是长方形，若相邻的边相等，这个平行四边形就是正方形．故答案为：长方形，正方形．2．a、b、c、d四条线段围绕了一个平行四边形（如图）．其中a和c互相平行，还有b和d互相平行．【解答】解：这个平行四边形中a和c是一组对边，它们互相平行；b和d是一组对边，它们互相平行．故答案为：a、c；b、d．3．从平行四边形的一个顶点出发作一条高，可以把平行四边形分成一个三角形和一个梯形．【解答】解：由分析可知，从平行四边形的一个顶点出发做一条高，可以把平行四边形分成一个三角形和一个梯形．故答案为：梯．4．黑板上下两条边是互相平行的，三角尺中的两条直角边是互相垂直的。

人教版《平行四边形》单元练习卷

人教版《平行四边形》单元练习卷一．选择题（共10小题）1．如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠1＝80°，则∠A等于（）A．80°B．120°C．100°D．110°2．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行B．一组对边平行，另一组对边相等C．两组对边分别相等D．一组对边平行且相等3．矩形和菱形都一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线互相平分C．对角线长度相等D．对角线平分一组对角4．直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．55．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O．添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（）A．添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形B．添加“∠BAD＝90°“，则四边形ABCD是矩形C．添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形D．添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形6．▱ABCD中，添加一个条件就成为矩形，则添加的条件是（）A．AB＝CD B．∠B+∠D＝180°C．AC＝AD D．对角线互相垂直7．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（）A．10°B．15°C．20°D．30°8．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（）A．4B．4C．3D．59．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（）A．B．3C．D．10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．①②④D．①②③二．填空题（共4小题）11．已知正方形ABCD的对角线长为6cm，则正方形ABCD的面积为cm2．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝3，AC＝5，则△AOB的周长是．13．如图，两条射线AM∥BN，点C，D分别在射线BN，AM上，只需添加一个条件，即可证明四边形ABCD是平行四边形，这个条件可以是（写出一个即可）．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（5，4）．若四边形OABC是平行四边形，则OABC的周长等于．三．解答题（共6小题）15．如图，点E，F在▱ABCD的对角线BD上，且BE＝DF．求证：AE＝CF．16．已知：如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．求证：四边形ACED是矩形．17．如图，已知E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的两点，且∠CBF＝∠ADE．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）判定四边形DEBF是否是平行四边形？并说明理由．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF．（1）求证：四边形CFBD是菱形；（2）连接AE，若CF＝，DF＝2，求AE的长．19．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的周长．20．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是AD的中点，BE与CF相交于点P，AB＝2．（1）求证：BE⊥CF．（2）求CP的长．（3）连接AP，求证：AP＝AB．。

人教版平行四边形单元期末复习同步练习试题

一、选择题1．已知点A （4，0），B （0，﹣4），C （a ，2a ）及点D 是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD 的长的最小值为（） A ．655B ．1255C ．32D ．422．在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 上的一动点，E 为AD 中点，PE 交CD 延长线于Q ，过E 作EF PQ ⊥交BC 的延长线于F ，则下列结论：①APE DQE ∆≅∆；②PQ EF =；③当P 为AB 中点时，2CF =；④若H 为QC 的中点，当P 从A 移动到B 时，线段EH 扫过的面积为12，其中正确的是（）A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①②③3．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC )的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD )的斜边恰好重合．已知AB =43，P 、Q 分别是AC 、BC 上的动点,当四边形DPBQ 为平行四边形时，平行四边形DPBQ 的面积是（）A ．33B ．63C ．92D ．94．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AC 上的一点，且AB=AE ，过点A 作AF ⊥BE ，垂足为F ，交BD 于点G ，点H 在AD 上，且EH ∥AF.若正方形ABCD 的边长为2，下列结论：①OE=OG ；②EH=BE ；③AH=222-，其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．如图，点P 在长方形OABC 的边OA 上，连接BP ，过点P 作BP 的垂线，交射线OC 于点Q ，在点P 从点A 出发沿AO 方向运动到点O 的过程中，设AP=x ，OQ=y ，则下列说法正确的是（）A ．y 随x 的增大而增大B ．y 随x 的增大而减小C ．随x 的增大，y 先增大后减小D ．随x 的增大，y 先减小后增大6．如图，点O （0，0），A （0，1）是正方形1OAA B 的两个顶点，以1OA 对角线为边作正方形121OA A B ，再以正方形的对角线2OA 作正方形121OA A B ，…，依此规律，则点8A 的坐标是（）A ．（－8，0）B ．（0，8）C ．（0，82）D ．（0，16）7．如图，点P ，Q 分别是菱形ABCD 的边AD ，BC 上的两个动点，若线段PQ 长的最大值为85 ，最小值为8，则菱形ABCD 的边长为( )A ．6B ．10C ．12D ．168．如图，ABCD 的对角线,AC BD 交于点,O DE 平分ADC ∠交BC 于点,60,E BCD ∠=︒2,AD AB =连接OE ．下列结论：ABCDSAB BD =⋅①；DB ②平分ADE ∠；AB DE =③；CDEBOCSS=④，其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE ＝AD ，DF ＝BD ，连接BF 分别交CD ，CE 于H ，G 下列结论：①EC≠2HG ；②∠GDH ＝∠GHD ；③图中有8个等腰三角形；④CDG DHF S S △△＝．其中正确的结论有（）个A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在□ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：（1）∠DCF=12∠BCD ；（2）EF=CF ；（3）S △BEC = 2S △CEF ；（4）∠DFE=3∠AEF ；其中正确的结论是（）A ．（1）（2）B ．（1）（2）（4）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（3）（4）二、填空题11．在平行四边形ABCD 中，30,23,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若OA ＝8，CF ＝4，则点E 的坐标是_____．13．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边CD 的中点，点P 在线段AB 上运动，F 是CP 的中点，则CEF ∆的周长的最小值是____________．14．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．15．已知在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC ==点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，且,AP PQ ⊥当AP PQ =时，AP =________________．16．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在边AD 、BC 上．将该纸片沿EF 折叠，使点A 的对应点G 落在边DC 上，折痕EF 与AG 交于点Q ，点K 为GH 的中点，则随着折痕EF 位置的变化，△GQK 周长的最小值为____．17．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =23，点E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．18．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．19．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AFn BC=，ECm BC=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．20．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB =OB ，E 为AC 上一点，BE 平分∠ABO ，EF ⊥BC 于点F ，∠CAD =45°，EF 交BD 于点P ，BP =5，则BC 的长为_______．三、解答题21．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由；（3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．22．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．23．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC . （1）求证：AEF CGH ∆≅∆（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+24．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（6，6），将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连结CH 、CG ．（1）求证：CG 平分∠DCB ；（2）在正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转的过程中，求线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系；（3）连结BD 、DA 、AE 、EB ，在旋转的过程中，四边形AEBD 是否能在点G 满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE 的解析式；若不能，请说明理由．25．已知正方形ABCD ．（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=︒． ①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形． ②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当13AE CF =时．请直接写出HC 的长________．26．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32，求EG ，MN 的长．27．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,︒得到线段,CQ 连接,BP DQ .()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；()2如图乙，延长BP 交直线DQ 于点E .求证：BE DQ ⊥；()3如图丙，若BCP 为等边三角形，探索线段,PD PE 之间的数量关系，并说明理由.28．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC．（直接写出结果）29．如图．正方形ABCD 的边长为4，点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD 运动，运动时间为t 秒（t ＞0），以AE 为一条边，在正方形ABCD 左侧作正方形AEFG ，连接BF ．（1）当t ＝1时，求BF 的长度；（2）在点E 运动的过程中，求D 、F 两点之间距离的最小值；（3）连接AF 、DF ，当△ADF 是等腰三角形时，求t 的值．30．在正方形中，连接，为射线上的一个动点（与点不重合），连接，的垂直平分线交线段于点，连接，.提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点的两个特殊位置：①当点与点重合时，如图1所示，____________②当时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：__________；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而通过求得点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝42，对比两种情况即可求得CD最小值.【详解】解：如图，由题意点C在直线y＝2x上，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，易知直线AB为y＝x﹣4，∵AF＝FB，∴点F坐标为（2，﹣2），∵CF⊥直线y＝2x，设直线CF为y＝﹣12x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1∴直线CF为y＝﹣12x﹣1，由2112y xy x=⎧⎪⎨=--⎪⎩解得2545xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴点C坐标（25-，45-）．∴CD＝2CF＝2．如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝5，∴CD的最小值为5．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，解本题的关键是找到何时CD最短.2．B解析：B【分析】利用正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识依次判断即可；【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=90°，∵∠A=∠EDQ，∠AEP=∠QED，AE=ED，∴△AEP≌△DEQ，故①正确，②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，∴∠PGQ=∠EMF=90°，∵EF⊥PQ，∴∠PEF=90°，∴∠PEN+∠NEF=90°，∵∠NPE+∠NEP=90°，∴∠NPE=∠NEF，∵PG=EM，∴△EFM≌△PQG，∴EF=PQ，故②正确，③连接QF．则QF=PF，PB2+BF2=QC2+CF2，设CF=x，则（2+x）2+12=32+x2，∴x=1，故③错误，④当P在A点时，Q与D重合，QC的中点H在DC的中点S处，当P运动到B时，QC的中点H与D重合，故EH扫过的面积为△ESD的面积=12，故④正确，则正确的是①②④，故选B．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，难度较大．3．D解析：D【解析】【分析】由于四边形DPBQ为平行四边形，则BC∥DP，即DP⊥AC，P为AC中点，作出平行四边形，再利用平行线的距离相等可知：PC就是□DPBQ的边PD所对应的高，代入面积公式求出面积即可．求得面积．【详解】当点P运动到边AC中点（如图），即CP=3时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上．∵四边形DPBQ为平行四边形，∴BC∥DP，∵∠ACB=90°，∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．而在Rt△ABC中，AB3，BC3∴根据勾股定理得：AC=6，∵△DAC为等腰直角三角形，∴DP=CP=12AC=3，∵BC∥DP，∴PC是平行四边形DPBQ的高，⨯=9．∴S平行四边形DPBQ=DP•CP=33故选D.【点睛】本题是四边形的综合题，考查了一副三角板所形成的四边形的边和角的关系；根据动点P 的运动路线确定其所形成的边和角的关系，利用三角函数和勾股定理求边和角的大小，得出结论．4．D解析：D【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质即可分别求证判断.【详解】在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOG=∠BOE，AC⊥BD∵AF⊥BE，∴∠EAF+∠BEO=∠BEO+∠OBE=90°，∴∠OAG=∠OBE，∴△OAG≌△OBE，故OE=OG，①正确；∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB，∵EH∥AF∴HE⊥BE，∴∠AEF+∠AEH=∠ABE+∠CBE,∴∠AEH=∠CBE又∵AE=AB=CB,∠HAE=∠ECB=45°，∴△AEH≌△CBE，∴EH=BE，②正确；∵△AEH≌△=∴AH=CE=AC-AE=，③正确.故选D【点睛】此题主要考查正方形的性质与线段的证明，解题的关键是熟知正方形的性质定理及全等三角形的判定与性质.5．C解析：C【分析】连接BQ，由矩形的性质，设BC=AO=a，AB=OC=b，利用勾股定理得到222+=，然后得到y与x的关系式，判断关系式，即可得到答案.PQ PB BQ【详解】解，如图，连接BQ，由题意可知，△OPQ ，△QPB ，△ABP 是直角三角形，在矩形ABCO 中，设BC=AO=a ，AB=OC=b ，则OP=a x -，CQ b y =-，由勾股定理，得：222()PQ y a x =+-，222PB x b =+，222()BQ a b y =+-，∵222PQ PB BQ +=，∴222222()()y a x x b a b y +-++=+-，整理得：2by x ax =-+， ∴221()24a a y x b b=--+， ∵10b-<， ∴当2a x =时，y 有最大值24a b； ∴随x 的增大，y 先增大后减小；故选择：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理找到y 与x 的关系式，从而得到答案.6．D解析：D【分析】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°2，可求出从A 到A 3变化后的坐标，再求出A 1、A 2、A 3、A 4、A 5，继而得出A 8坐标即可.【详解】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°2 ∵从A 到3A 经过了3次变化，∵45°×3＝135°，1×32＝2， ∴点3A 所在的正方形的边长为2，点3A 位置在第四象限，∴点3A 的坐标是（2，－2），可得出：1A 点坐标为（1，1），2A 点坐标为（0，2），3A 点坐标为（2，－2），4A 点坐标为（0，－4），5A 点坐标为（－4，－4），6A （－8，0），A 7（－8，8），8A （0，16），故选D.【点睛】本题考查了规律题，点的坐标，观察出每一次的变化特征是解答本题的关键.7．B解析：B【分析】当点P 和点A 重合时，当点C 和点Q 重合时，PQ 的值最大，当PQ ⊥BC 时，PQ 的值最小，利用这两组数据，在Rt△ABQ 中，可求得答案．【详解】当点P 和点A 重合时，当点C 和点Q 重合时，PQ 的值最大，85PQ =当PQ ⊥BC 时，PQ 的值最小，∴PQ=8，∠Q=90°，在Rt △ACQ 中， ()2285816.CQ =-=在Rt △ABQ 中，设AB=BC=x ，则BQ=16-x ，∴AQ 2+BQ 2=AB 2即82+（16-x ）2=x 2解之：x=10.故答案为：B ．【点睛】本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ 最大和最小的情况．8．D解析：D【分析】求得∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD ，即可得到S ▱ABCD ＝AD•BD ；依据∠CDE ＝60°，∠BDE ＝30°，可得∠CDB ＝∠BDE ，进而得出DB 平分∠CDE ；依据Rt △BCD 中，斜边上的中线DE ＝斜边BC的一半，即可得到AD＝BC＝2DE，进而得到AB＝DE；依据OE是中位线，即可得到OE∥CD，因为两平行线间的距离相等，进而得到S△CDE＝S△OCD，再根据OC是△BCD的中线，可得S△BOC＝S△COD，即可得到S△CDE＝S△BOC．【详解】∵∠BCD＝60°，四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝180°－∠BCD＝120°，BC//AD，BC＝AD，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠CED＝60°＝∠BCD，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝CD＝ AD＝ BC，∴E是BC的中点，∴DE＝BE，∴∠BDE＝∠CED＝30°，∴∠CDB＝90°，即CD⊥BD，∴S▱ABCD＝CD•BD＝AB•BD，故①正确；∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，∴∠ADB＝30°＝∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；∵△CDE是等边三角形，∴DE＝CD＝AB，故③正确；∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE是△CBD的中位线，∴OE∥CD，∴S△OCD＝S△CDE，∵OC是△BCD的中线，∴S△BOC＝S△COD，∴S△CDE＝S△BOC，故④正确，故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线、平行线间的距离相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关性质与定理是解题的关键.9．B解析：B【分析】关键结合图形证明△CHG≌△EGD，即可逐项判断求解【详解】解：∵DF=BD，∴∠DFB=∠DBF，∵AD∥BC，DE=BC，∴四边形DBCE 是平行四边形，∠DFB=∠GBC ，∴∠DEC=∠DBC=45°，∴∠DEC=2∠EFB ，∴∠EFB=22.5°，∠CGB=∠CBG=22.5°，∴CG=BC=DE ，∵DE=DC ，∴∠DEG=∠DCE ，∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°，∠DGE=180°-（∠BGD+∠EGF ），=180°-（∠BGD+∠BGC ），=180°-（180°-∠DCG ）÷2，=180°-（180°-45°）÷2，=112.5°，∴∠GHC=∠DGE ，∴△CHG ≌△EGD ，∴∠EDG=∠CGB=∠CBF ，∴∠GDH=90°-∠EDG ，∠GHD=∠BHC=90°-∠CGB ，∴∠GDH=∠GHD故②正确；∴∠GDH=∠GHD又∠EFB=22.5°,∴∠DHG=∠GDH=67.5°∴∠GDF=90°-∠GDH=22.5°=∠EFB,∴DG=GF,∴HG=DG=GF∴HF=2HG,显然CE≠HF=2HG,故①正确；∵△CHG ≌△EGD ，∴CHG EGD S S ∆∆=∴CHG DHG EGD DHG S S S S ∆∆∆∆+=+，即CDG DHGE S S △四边形＝而=EFG DHGE DHF S S S ∆+四边形△，故CDG DHF S S ≠△△故④不正确；结合前面条件易知等腰三角形有△ABD ，△CDB ，△BDF ，△CDE ，△BCG ，△DGH ，△EGF ，△CDG ，△DGF 共9个，∴③错误；故正确的有①②，有2个，故选：B【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．10．B解析：B【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△AEF ≌△DMF （ASA ），利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．【详解】（1）∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠DCF=12∠BCD ，故正确；（2）延长EF ，交CD 延长线于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE=MF ，∠AEF=∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF ，∴EF=CF ，故正确；（3）∵EF=FM ，∴S △EFC =S △CFM ，∵MC ＞BE ，∴S △BEC ＜2S △EFC故S △BEC =2S △CEF 错误；（4）设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，∴∠DCF=∠DFC=90°-x ，∴∠EFC=180°-2x ，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x ，∵∠AEF=90°-x ，∴∠DFE=3∠AEF ，故正确，故选：B ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF ≌△DME ．二、填空题11．43或23【分析】分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过D 作DE AB ⊥于E ，在Rt ADE △中，30A ∠=︒，23AD =， 132DE AD ∴==，33AE AD ==，在Rt BDE △中，2BD =，22222(3)1BE BD DE ∴=-=-=，如图1，4AB ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积4343AB DE ==⨯=，如图2，2AB =，∴平行四边形ABCD 的面积2323AB DE ==⨯=，如图3，过B 作BE AD ⊥于E ，在Rt ABE △中，设AE x =，则23DE x =-，30A ∠=︒，33BE x =，在Rt BDE △中，2BD =， 22232()(23)x x ∴=+-， 3x ∴=，23x =（不合题意舍去），1BE ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积12323AD BE ==⨯=，如图4，当AD BD ⊥时，平行四边形ABCD 的面积43AD BD ==，故答案为：323【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．12．(-10，3)【解析】试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE ，设CE=x ，则BE=8-x ，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x ，根据勾股定理可得2224(8)x x+=-，解得x=3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E的坐标为（-10，3）.故答案为：（-10，3）13．222+【分析】由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=12PD，得到C△CEF=CE+CF+EF=CE+12（CP+PD）=12（CD+PC+PD）=12C△CDP，当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；并作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，进而分析即可得到结论．【详解】解：∵E为CD中点，F为CP中点，∴EF=12 PD，∴C△CEF=CE+CF+EF=CE+12（CP+PD）=12（CD+PC+PD）=12C△CDP∴当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；如图，作D关于AB的对称点T，连接CT，则PD=PT，∵AD=AT=BC=2，CD=4，∠CDT=90°，∴22224442CT CD DT++=∵△CDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC，∵PT+PC≥CT，∴PT+PC≥42∴PT+PC的最小值为2，∴△PDC的最小值为4+42∴C△CEF=12C△CDP=222．故答案为：222．【点睛】本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．14．200m【分析】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M ，则四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形，△ABC 是等边三角形，由此即可解决问题．【详解】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M由题意可知，四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形∵∠A ＝∠B ＝60°∴18060E A B ∠=-∠-∠=∴△ABC 是等边三角形∴ED ＝FM+MK+KH ＝CN+JG+HK ，EC ＝EF+FC ＝JN+KG+DH∴“九曲桥”的总长度是AE+EB ＝2AB ＝200m故答案为：200m ．【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．153223102【分析】根据点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，分两种情况：1.P 、Q 点位于线段上；2.P 、Q 点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.【详解】解：当P 点位于线段BC 上，Q 点位于线段CD 上时:∵四边形ABCD 是矩形,AP PQ ⊥∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC∵AP PQ =∴ABP PCQ ≅∴PC=AB=32，BP=BC-PC=3-32=32 ∴AP=223322+（）（）=322当P 点位于线段BC 的延长线上，Q 点位于线段CD 的延长线上时:∵四边形ABCD 是矩形,AP PQ ⊥∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC∵AP PQ =∴ABP PCQ ≅∴PC=AB=32，BP=BC+PC=3+32=92∴AP=223922+（）（）=3102故答案为：322或3102【点睛】此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题的关键.16．3+35．【分析】取AB 的中点M ，连接DQ ，QM ，DM ．证明QM ＝QK ，QG ＝DQ ，求出DQ ＋QM 的最小值即可解决问题．【详解】取AB 的中点M ，连接DQ ，QM ，DM ．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝6，∠DAM＝∠ADG＝90°，∵AM＝BM＝3，∴DM＝222263AB AM+=+＝35，∵GK＝HK，AB，GH关于EF对称，∴QM＝QK，∵∠ADG＝90°，AQ＝QG，∴DQ＝AQ＝QG，∵△QGK的周长＝GK+QG+QJ＝3+DQ+QM．又∵DQ+QM≥DM，∴DQ+QM≥35，∴△QGK的周长的最小值为3+35，故答案为3+35．【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、最值问题，解题的关键是取AB的中点M，确定QG＋QK＝QD＋QM，属于中考常考题型．17．42a-23【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即a 最小，可计算a的值，从而得结论．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵∠ACB=30°，BC=23，∴AB=2，AC=4，∵AG=a，∴CG=4a-，如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，Rt△CGH中，∠ACB=30°，∴GH=12CG=42a-，则点G到BC边的距离为42a-，∵HM⊥BC，AD∥BC，∴HM⊥AD，∴∠AMG=90°，∵∠B=∠BHM=90°，∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，∴GM=2﹣GH=422a--=2a，∴S△ADG113232222a aAD MG=⋅=⨯⨯=，当a最小时，△ADG的面积最小，如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，∵FG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，∴42aa -=，∴43a=，∴△ADG 34233=，故答案为：42a-23．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．18．16或10【分析】等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C时，作辅助线，构建平行四边形AGHD和直角三角形EGB'，计算EG和B'G的长，根据勾股定理可得B'D的长；∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=16，AD=BC=18．分两种情况讨论：（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形（2）如图3，当B'D=B'C时，过点B'作GH∥AD，分别交AB与CD于点G、H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A=90°又GH∥AD，∴四边形AGHD是平行四边形，又∠A=90°，∴四边形AGHD是矩形，∴AG=DH，∠GHD=90°，即B'H⊥CD，又B'D=B'C，∴DH＝HC＝18CD=，AG=DH=8，3∵AE=3，∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13，EG=AG-AE=8-3=5，在Rt△EGB'中，由勾股定理得：GB′2213512，∴B'H=GH×GB'=18-12=6，在Rt△B'HD中，由勾股定理得：B′D22+=6810综上，DB'的长为16或10．故答案为： 16或10本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论． 19．7【分析】①若m n =，则AF EC =，先根据平行四边形的性质得出//,AD BC AD BC =，再根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边形的性质与判定得出四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形，从而可得11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆==，再根据28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 和1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆=+=+四边形即可得出答案．【详解】四边形ABCD 是平行四边形//,AD BC AD BC ∴=,,AF EC n m BC BCm n === AF EC ∴=AD AF BC EC ∴-=-，即DF BE =∴四边形AECF 、四边形BEDF 都是平行四边形//,//AE CF BF DE ∴∴四边形EGFH 是平行四边形综上，图中共有4个平行四边形如图，连接EF1,,AF EC n m BC B n Cm ==+= AF EC BC AD ∴+==AF DF AD +=EC DF ∴=AF BE ∴=∴四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形 11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆∴== 28ABCD ABEF CDFE S S S =+=1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆∴=+=+四边形 1()4ABEF CDFE S S =+12874=⨯=故答案为：4；7．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键．20．4【分析】过点E作EM∥AD，由△ABO是等腰三角形，根据三线合一可知点E是AO的中点，可证得EM=12AD=12BC，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=12BC，因此可证明△BFP≌△MEP（AAS），则EP=FP=12FC，在Rt△BFP中，利用勾股定理可求得x，即得答案．【详解】过点E作EM∥AD，交BD于M，设EM=x，∵AB=OB，BE平分∠ABO，∴△ABO是等腰三角形，点E是AO的中点，BE⊥AO，∠BEO=90°，∴EM是△AOD的中位线，又∵ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2EM=2x，∵EF⊥BC，∠CAD=45°，AD∥BC，∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，∴△EFC为等腰直角三角形，∴EF=FC，∠FEC=45°，∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，则△BEF为等腰直角三角形，∴BF=EF=FC=12BC=x，∵EM∥BF，∴∠EMP=∠FBP，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF，则△BFP≌△MEP（ASA），∴EP=FP=12EF=12FC=12x ， ∴在Rt △BFP 中，222BP BF PF =+，即：2221(5)()2x x =+，解得：2x =，∴BC=2x =4，故答案为：4．【点睛】考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）能，10；（3）152，理由见解析；【分析】（1）利用题中所给的关系式，列出CD ，DF ，AE 的式子，即可证明．（2）由题意知，四边形AEFD 是平行四边形，令AD=DF ，求解即可得出t 值．（3）由题意可知，当DE ∥BC 时，△DEF 为直角三角形，利用AD+CD=AC 的等量关系，代入式子求值即可．【详解】（1）由题意知：三角形CFD 是直角三角形∵∠B ＝90°，∠A ＝60°∴∠C=30°，CD=2DF ，又∵由题意知CD=4t ，AE=2t ，∴CD=2AE∴AE=DF ．（2）能，理由如下；由（1）知AE=DF又∵DF ⊥BC ，∠B ＝90°∴AE∥DF∴四边形AEFD是平行四边形．当AD=DF时，平行四边形AEFD是菱形∵AC＝60cm，DF=12CD，CD=4t，∴AD=60-4t，DF=2t，∴60-4t=2t∴t=10．（3）当t为152时，△DEF为直角三角形，理由如下；由题意知：四边形AEFD是平行四边形，DF⊥BC，AE∥DF，∴当DE∥BC时，DF⊥DE∴∠FDE=∠DEA=90°在△AED中，∵∠DEA=90°，∠A＝60°，AE=2t∴AD=4t，又∵AC＝60cm，CD=4t，∴AD+CD=AC，8t=60，∴t=152．即t=152时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF为直角三角形．【点睛】本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．22．（1）50°；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出BC∥FG，BC＝12FG，证出AD∥FH，AD∥FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；（3）连接EH，CH，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．【详解】明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，∵∠DCE＝20°，∵AB∥CD，∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC∥FG，BC＝12 FG，∵H为FG的中点，∴FH＝12 FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD∥FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（3）连接EH，CH，∵CE＝CG，FH＝HG，∴CH＝12EF，CH∥EF，∵EB＝BF＝12 EF，∴BE＝CH，∴四边形EBHC是平行四边形，∴OB＝OC，OE＝OH，∵OC＝OH，∴OE＝OB＝OC＝12 BC，∴△BCE是直角三角形，∴∠FEG＝90°，∴EF⊥EG．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．23．（1）证明见解析；（2）62BE （3）证明见解析．【分析】（1）根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质可证明∠E=∠CGH，∠H=∠AFE，再证明四边形ACGE是平行四边形即可证明AE=CG，由此可利用“AAS”可证明全等；（2）证明△AEF ≌△DGF （AAS ）可得△DGF ≌△CGH ，所以可得12AEDG CG CD ，再结合等腰直角三角形的性质即可求得CD ，由此可得结论；（3）利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质结合勾股定理分别把22AC BD +和22AB BC +用2CD 表示即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB//CD ，AD//BC ，∴∠E=∠EGD ，∠H=∠DFG ，∵∠CGH=∠EGD ，∠DFG=∠AFE ，∴∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，∵//EH AC ，AB//CD ，∴四边形ACGE 是平行四边形，∴AE=CG ，∴△AEF ≌△CGH （AAS ）；（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB//CD ，AB=CD ，∴∠E=∠EGD ，∠D=∠EAF ，∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∴△AEF ≌△DGF （AAS ）；由（1）得△AEF ≌△CGH （AAS ）； ∴△DGF ≌△CGH,∴12AE DG CG CD , ∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，8AD =， ∴2422AB CD AD ,∴AE =∴BE AB BE =+=（3）如下图，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD=AB ，AD=BC ，AC=2OC ，BD=2OD ，∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，AC=CD ，∴222222244()AC BD AC OD AC OC CD ++++==2222222(2)446AC A OC CD AC D C CD C ++=++==，且222222223CD AD CD AC CD C AB BC D =+=+++=,∴22222()AC BD AB BC +=+【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质．（1）中解题关键是利用证明四边形ACGE 是平行四边形证明AE=CG ；（2）得出DG CG =是解题关键；（3）中能正确识图，完成线段之间的代换是解题关键．24．（1）见解析；（2） HG ＝OH +BG ；（3）能成矩形，y 3342x =-．【分析】（1）根据旋转和正方形的性质可得出CD ＝CB ，∠CDG ＝∠CBG ＝90，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ，即∠DCG ＝∠BCG ，由此即可得出CG 平分∠DCB ；（2）由（1）的Rt △CDG ≌Rt △CBG 可得出BG ＝DG ，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CHO ≌Rt △CHD ，即OH ＝HD ，再根据线段间的关系即可得出HG ＝HD +DG ＝OH +BG ；（3）根据（2）的结论即可找出当G 点为AB 中点时，四边形AEBD 为矩形，再根据正方形的性质以及点B 的坐标可得出点G 的坐标，设H 点的坐标为（x ，0），由此可得出HO ＝x ，根据勾股定理即可求出x 的值，即可得出点H 的坐标，结合点H 、G 的坐标利用待定系数法即可求出直线DE 的解析式．【详解】（1）∵正方形ABCO 绕点C 旋转得到正方形CDEF ，∴CD ＝CB ，∠CDG ＝∠CBG ＝90°．在Rt △CDG 和Rt △CBG 中，∵CG CG CD CB =⎧⎨=⎩，∴Rt △CDG ≌Rt △CBG （HL ），∴∠DCG ＝∠BCG ，即CG 平分∠DCB ．（2）由（1）证得：Rt △CDG ≌Rt △CBG ，∴BG ＝DG ．在Rt △CHO 和Rt △CHD 中，。

人教版八年级数学下册第18章平行四边形单元同步检测试题

人教版八年级数学下册第18章平行四边形单元同步检测试题第18章平行四边形单元同步检测试题第18《平行四边形》单元测试数学试题考生注意：1、考试时间90分钟、2、全卷共三大题，满分120分、题号一二三总分2122232425262728 分数二、填空题(每小题4分，共24分)1、如图，小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图2(1)所示的菱形，并测得∠B＝60，接着活动学具成为图1(2)所示的正方形，并测得对角线A＝40，则图2(1)中对角线A的长为2、如图，矩形ABD的对角线A与BD相交于点，E∥BD，DE∥A，AD＝23，DE＝2，则四边形ED的面积为3、如图，数轴上点A所表示的数为，点B所表示的数为、4、如图，E，F分别是?ABD的边AD，B上的点，EF＝6，∠DEF＝60，将四边形EFD沿EF翻折，得到四边形EF′D′，ED′交B于点G，则△GEF的周长为5、如图，在矩形ABD中，AB＝8，B＝10，E是AB上一点，将矩形ABD沿E折叠后，点B落在AD边的点F上，则DF的长为、6、如图，矩形ABD的对角线A与BD交于点，过点作BD的垂线分别交AD，B于E，F两点、若A＝23，∠AE＝120，则F的长为、得分评卷人一、选择题(每小题3分，共30分)7、在Rt△AB中，∠＝90，∠A，∠B，∠所对的边分别是a，b，、若a＝5，b＝12，则的长为()A、119B、13、18D、1698、满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是()A、三个内角之比为1∶2∶3B、三条边长之比为1∶2∶3 、三条边长分别为41,40,9D、三条边长分别为41，210，89、在Rt△AB中，斜边B＝10，则B2＋AB2＋A2等于()A、20B、100、200D、14410、人在平地上以1、5/s的速度向西走了80s，接着以2/s的速度向南走了45s，这时他距离出发点()A、180B、150、120D、10011、如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，的面积依次为2,4,3，则正方形D 的面积为()A、9B、8、27D、4512、如图，在正方形网格中，每个正方形的边长为1，则在△AB中，边长为无理数的边数是()A、0B、1、2D、313、我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图13所示)、如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a－b)2的值是( )A、1B、2、12D、1314、[xx?陕西]如图，两个大小、形状相同的△AB和△A′B′′拼在一起，其中点A与点A′重合，点′落在边AB 上，连接B′、若∠AB＝∠A′B′＝90，A＝B＝3，则B′的长为( )A、33B、6、32D、2115、如图，在Rt△AB中，∠AB＝90，AD平分∠BA与B相交于点D，若BD＝4，D＝2，则A的长是()A、4B、3、23D、316、如图，铁路N和公路PQ在点处交会，∠QN＝30、公路PQ上A处距离点240、如果火车行驶时，周围200以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路N上沿N方向以72k/h的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为()A、12sB、16s、20sD、24s三、解答题(共66分)得分评卷人17、(12分)已知△AB中，∠＝90，AB＝，B＝a，A＝b、 (1)如果a＝6，b＝8，求的值； (2)如果a＝12，＝13，求b的值、得分评卷人18、(10分)如图13，某港口P位于东西方向的海岸线上、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里、它们离开港口32h后相距30海里、如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？得分评卷人19、(10分)如图14，四边形ABD中，AB＝20，B＝15，D＝7，AD＝24，∠B＝90，求证：∠A＋∠＝180、得分评卷人20、(10分)有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高、得分评卷人21、(12分)[xx?齐齐哈尔]如图15，在△AB中，AD⊥B于点D，BD＝AD，DG＝D，E，F分别是BG，A的中点、 (1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若A＝10，求EF的长、得分评卷人22、(12分)11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题，小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望、一棵树高是30肘尺(肘尺是古代的长度单位)，另外一棵高20肘尺，两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺、每棵树的树顶上都停着一只鸟、忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标、问这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远？ xx。

人教版八年级数学下册第18章平行四边形单元练习卷含答案

人教版八年级数学下册第18章平行四边形单元练习卷含答案一．选择题（共6小题）1．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）A．两组对边分别平行B．一组对边平行且另一组对边相等C．两组邻边相等D．对角线互相垂直2．如图在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD 于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG．则△BEG的面积为（）A．16B．14C．8D．73．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①2OG＝AB；②与△EGD 全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形，其中正确的是（）A．①④B．①③④C．①②③D．②③④4．在菱形ABCD中，∠A＝110°，E、F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD，垂足为P，则∠EPF＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE ⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．B．C．D．56．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF∥CD，交AD于F，交对角线BD 于G，取DG的中点H，连结AH，EH，FH．下列结论：①FH∥AE；②AH＝EH且AH⊥EH；③∠BAH＝∠HEC；④△EHF≌△AHD；⑤若，则．其中哪些结论是正确（）A．①②④⑤B．②③④C．①②③D．②③④⑤二．填空题（共6小题）7．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线BD上的点，要使四边形AFCE是平行四边形，还需添加的一个条件是（只需添加一个正确的即可）．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，E、F分别为边AC、BC上的点，且AE＝AD，BF＝BD．若DE＝，DF＝2，则∠EDF＝°，线段AB的长度＝．9．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，m）、B（﹣4，0）、C（1，0）、D（a，m），且m＞0，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为．10．如图，在矩形ABCD中，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长线ED至F，使DF＝AC，连接BF交AD于G．若AB＝1，AD＝2，则∠ABG＝，GF＝．11．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．12．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的长是．三．解答题13．如图，平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．（2）已知DE＝2，FN＝1，求BN的长．14．如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，交AC于G，F是AD的中点．（1）求证：四边形ADCE是为平行四边形；（2）若EB是∠AEC的角平分线，请写出图中所有与AE相等的边．15．如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，AC是对角线，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F，连结BF．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．16．如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）①设∠BAC＝α，请用含α的代数式表示∠EDA，∠DAG；②求证：四边形ADEG是平行四边形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由．17．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．（1）求证：四边形MANP是正方形；（2）求证：EM＝BN．18．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．19．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB＝6，F为AB的中点，OF+OB＝9，求PQ的长．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）A．两组对边分别平行B．一组对边平行且另一组对边相等C．两组邻边相等D．对角线互相垂直【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故本选项不符合题意；C、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：A．2．如图在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD 于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG．则△BEG的面积为（）A．16B．14C．8D．7【分析】如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．构建S△BEG＝S△BCE+S ECG﹣S△BCG计算即可；【解答】解：如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．∵BC＝2AB，BH＝CH，∠ABC＝60°，∴BA＝BH＝CH，∴△ABH是等边三角形，∴HA＝HB＝HC，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝30°，∵EC⊥BC，∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠ACE＝60°，∠ECM＝30°，∵BC＝2AB＝8，∴CD＝4，CN＝EN＝2，∴EC＝4，EM＝2，∴S△BEG＝S△BCE+S ECG﹣S△BCG＝×8×4+×2×2﹣S平行四边形ABCD＝16+2﹣4＝14故选：B．3．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①2OG＝AB；②与△EGD 全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形，其中正确的是（）A．①④B．①③④C．①②③D．②③④【分析】由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG ＝CD＝AB，①正确；先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，得出四边形ABDE是菱形，④正确；由菱形的性质得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS证明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正确；证出OG是△ABD的中位线，得出OG∥AB，OG＝AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S四边形ODGF＝S△ABF；③不正确；即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝CD＝AB，∴2OG＝AB，①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△DEG（SAS），△BDG≌△DEG（SAS），在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△DEG（SAS），△BCO≌△DEG（SAS），△CDO≌△DEG（SAS），△AOD≌△DEG（AAS），△ABG≌△DEG（SAS），△BDG≌△DEG（SAS），∴②不正确；∵OB＝OD，AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG＝AB，∴△GOD∽△ABD（ASA），△ABF∽△OGF（ASA），∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，∴S四边形ODGF＝S△ABF；③不正确；正确的是①④．故选：A．4．在菱形ABCD中，∠A＝110°，E、F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD，垂足为P，则∠EPF＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°【分析】延长PF交AB的延长线于点G．根据已知可得∠B，∠BEF，∠BFE的度数，再根据余角的性质可得到∠EPF的度数，从而求得∠FPC的度数，根据余角的定义即可得到结果．【解答】解：如图，延长PF交AB的延长线于点G．在△BGF与△CPF中，，∴△BGF≌△CPF（ASA），∴GF＝PF，∴F为PG中点．又∵∠BEP＝90°，∴EF＝PG＝PF，∴∠FEP＝∠EPF，∵∠BEP＝∠EPC＝90°，∴∠BEP﹣∠FEP＝∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF＝∠FPC，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝（180°﹣70°）＝55°，∴∠FPC＝55°，∴∠EPF＝90°﹣55°＝35°，故选：A．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE ⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．B．C．D．5【分析】连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．【解答】解：连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴PC的最小值为：＝4.8．∴线段EF长的最小值为4.8．故选：B．6．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF∥CD，交AD于F，交对角线BD 于G，取DG的中点H，连结AH，EH，FH．下列结论：①FH∥AE；②AH＝EH且AH⊥EH；③∠BAH＝∠HEC；④△EHF≌△AHD；⑤若，则．其中哪些结论是正确（）A．①②④⑤B．②③④C．①②③D．②③④⑤【分析】①根据正方形对角线互相垂直、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可得结论；②根据矩形的判定和性质、直角三角形的性质，证明三角形全等即可得结论；③根据全等三角形性质、矩形的性质进行角的计算即可得结论；④根据边边边证明三角形全等即可得结论；⑤根据割补法求四边形的面积，再求等腰直角三角形的面积，即可得结论．【解答】证明：①在正方形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°∵EF∥CD∴∠EFD＝90°，得矩形EFDC．在Rt△FDG中，H是DG中点，∴FH⊥BD∵正方形对角线互相垂直，过A点只能有一条垂直于BD的直线，∴AE不垂直于BD，∴FH与AE不平行．所以①不正确．②∵四边形ABEF是矩形，∴AF＝EB，∠BEF＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴BE＝GE，∴AF＝EG．在Rt△FGD中，H是DG的中点，∴FH＝GH，FH⊥BD∴∠AFH＝∠AFE+∠GFH＝90°+45°＝135°∠EGH＝180°﹣∠EGB＝180°﹣45°＝135°∴∠AFH＝∠EGH∴△AFH≌△EGH，∴AH＝EH，∠AHF＝∠EHG∴∠AHF+AHG＝∠EHG+∠AHG即∠FHG＝∠AHE＝90°∴AH⊥EH．所以②正确．③∵△AFH≌△EGH，∴∠FAH＝∠GEH，∵∠BAF＝CEG＝90°∴∠BAH＝∠HEC．所以③正确．④∵EF＝AD，FH＝DH，EH＝AH∴△EHF≌△AHD所以④正确．⑤设EC＝FD＝x，则BE＝AF＝EG＝2x，∴BC＝DC＝AB＝AD＝3x，AH2＝（x）2+（x）2＝x2，S四边形DHEC＝S梯形EGDC﹣S△EGH＝（2x+3x）•x﹣×＝2x2S△AHE＝AH•EH＝AH2＝x2∴＝＝．所以⑤不正确．故选：B．二．填空题（共6小题）7．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线BD上的点，要使四边形AFCE是平行四边形，还需添加的一个条件是BF＝DE（答案不唯一）（只需添加一个正确的即可）．【分析】由平行四边形的判定定理，通过对角线互相平分得出结论．【解答】解：添加的一个条件为BF＝DE；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO、BO＝DO，∵BF＝DE，∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形；故答案为：BF＝DE（答案不唯一）．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，E、F分别为边AC、BC上的点，且AE＝AD，BF＝BD．若DE＝，DF＝2，则∠EDF＝45 °，线段AB的长度＝2．【分析】延长FD到M使得DM＝DF，连接AM、EM、EF，作EN⊥DF于N，先证明∠EDF＝45°，在Rt△EMN中求出EM，再证明△AEM是等腰直角三角形即可解决问题．【解答】解：如图，延长FD到M使得DM＝DF，连接AM、EM、EF，作EN⊥DF于N．∵∠C＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵AE＝AD，BF＝BD，∴∠AED＝∠ADE，∠BDF＝∠BFD，∴2∠ADE+∠BAC＝180°，2∠BDF+∠B＝180°，∴2∠ADE+2∠BDF＝270°，∴∠ADE+∠BDF＝135°，∴∠EDF＝180°﹣（∠ADE+∠BDF）＝45°，∵∠END＝90°，DE＝，∴∠EDF＝∠DEN＝45°，∴EN＝DN＝1，在△DAM和△DBF中，，∴△ADM≌△BDF（SAS），∴BF＝AM＝BD＝AD＝AE，∠MAD＝∠B，∴∠MAE＝∠MAD+∠BAC＝90°，∴EM＝AM，在Rt△EMN中，∵EN＝1，MN＝DM+DN＝3，∴EM＝＝，∴AM＝，AB＝2AM＝2．故答案为：45，2．9．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，m）、B（﹣4，0）、C（1，0）、D（a，m），且m＞0，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为（4，4）或（﹣5，）．【分析】作AM⊥BC于M，由题意得出AD∥BC，OB＝4，OC＝1，OM＝1得出AD＝BC＝5，BM＝3，CM＝2，①当点D在y轴的右侧时，由菱形的性质得出AB＝BC＝5，由勾股定理得出AM＝＝4，得出点D的坐标为（4，4）；②当点D在y轴的左侧时，由菱形的性质得出AB＝BC＝5，由勾股定理得出AM＝＝，得出点D的坐标为（﹣6，）．【解答】解：作AM⊥BC于M，∵A（﹣1，m）、B（﹣4，0）、C（1，0）、D（a，m），且m＞0，∴AD∥BC，OB＝4，OC＝1，OM＝1，∴AD＝BC＝5，BM＝3，CM＝2，分两种情况：①当点D在y轴的右侧时，如图1所示：∵以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，∴AB＝BC＝5，∴AM＝＝＝4，∴点D的坐标为（4，4）；②当点D在y轴的左侧时，如图2所示：∵以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，∴AB＝BC＝5，∴AM＝＝＝，∴点D的坐标为（﹣6，）；综上所述，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为（4，4）或（﹣6，）；故答案为：（4，4）或（﹣6，）．10．如图，在矩形ABCD中，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长线ED至F，使DF＝AC，连接BF交AD于G．若AB＝1，AD＝2，则∠ABG＝45°，GF＝2．【分析】如图，作FH⊥AD交AD的延长线于H．由△ADC≌△FHD（AAS），推出FH＝AD＝2，DH＝CD＝1，由AB∥FH，推出AG：GH＝AB：FH＝1：2，由AH＝AD+DH＝2+1＝3，推出AG ＝1，GH＝2，由此即可解决问题；【解答】解：如图，作FH⊥AD交AD的延长线于H．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，∠ADC＝∠CDH＝∠H＝∠BAD＝90°，∵∠ACD+∠CDE＝90°，∠CDE+∠FDH＝90°，∴∠ACD＝∠FDH，∵AC＝DF，∴△ADC≌△FHD（AAS）∴FH＝AD＝2，DH＝CD＝1，∵AB∥FH，∴AG：GH＝AB：FH＝1：2，∵AH＝AD+DH＝2+1＝3，∴AG＝1，GH＝2，∴AB＝AG＝1，GH＝FH＝2，∴∠ABG＝45°，FG＝＝2，故答案为45°，2．11．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①②③．【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，则四边形MNPQ是平行四边形，故当MQ∥PN，PQ∥MN，四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，则△AMQ≌△DQP，∴AM＝QD，AQ＝PD，∵PD＝BM，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故错误；故答案为：①②③．12．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的长是 6.5 ．【分析】根据三角形中位线定理得到AC＝2DE＝5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD＝AB．【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵AC∥DE，∴∠DEB＝90°，又∵E是BC的中点，∴直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DC＝BD＝AB＝6.5，故答案是：6.5．三．解答题13．如图，平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．（2）已知DE＝2，FN＝1，求BN的长．【分析】（1）欲证明四边形AMCN是平行四边形，只要证明CM∥AN，AM∥CN即可；（2）首先证明△MDE≌△NBF，推出ME＝NF＝1，在Rt△DME中，根据勾股定理即可解决问题；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，∴CM∥AN，AM∥CN，∴四边形AMCN是平行四边形．（2）∵四边形AMCN是平行四边形，∴CM＝AN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF，在△MDE和△NBF中，，∴△MDE≌△NBF，∴ME＝NF＝1，在Rt△DME中，∵∠DEM＝90°，DE＝4，ME＝3，∴BN＝DM＝＝＝．14．如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，交AC于G，F是AD的中点．（1）求证：四边形ADCE是为平行四边形；（2）若EB是∠AEC的角平分线，请写出图中所有与AE相等的边．【分析】（1）首先证明△AFE≌△DFB可得AE＝BD，进而可证明AE＝CD，再由AE∥BC可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形；（2）图中所有与AE相等的边有：AF、DF、BD、DC．理由平行四边形的性质、等腰三角形的判定即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵AE∥BC，∴∠AEF＝∠DBF，在△AFE和△DFB中，，∴△AFE≌△DFB（AAS），∴AE＝BD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形；（2）图中所有与AE相等的边有：AF、DF、BD、DC．理由：∵四边形ADCE是平行四边形，∴AE＝DC，AD∥EC，∵BD＝DC，∴AE＝BD，∵BE平分∠AEC，∴∠AEF＝∠CEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵△AFE≌△DFB，∴AF＝DF，∴AE＝AF＝DF＝CD＝BD．15．如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，AC是对角线，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F，连结BF．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．【分析】（1）由△ABE与△FCE全等，根据全等三角形的对应边相等得到AB＝CF；再由AB与CF平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABFC为平行四边形，（2）根据平行四边形的对角线互相平分得到AE＝EF，BE＝EC；再由∠AEC为三角形ABE 的外角，利用外角的性质得到∠AEC等于∠ABE+∠EAB，再由∠AEC＝2∠ABC，得到∠ABE ＝∠EAB，利用等角对等边可得出AE＝BE，可得出AF＝BC，利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出ABFC为矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，∴∠ABE＝∠ECF，又∵E为BC的中点，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中，∵，∴△ABE≌△FCE（ASA）；∴AB＝CF，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CF，∴四边形ABFC为平行四边形，（2）∵四边形ABFC为平行四边形，∴BE＝EC，AE＝EF，又∵∠AEC＝2∠ABC，且∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC＝∠ABC+∠EAB，∴∠ABC＝∠EAB，∴AE＝BE，∴AE+EF＝BE+EC，即AF＝BC，则四边形ABFC为矩形．16．如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）①设∠BAC＝α，请用含α的代数式表示∠EDA，∠DAG；②求证：四边形ADEG是平行四边形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，（2）由△BDE≌△BAC，可得全等三角形的对应边DE＝AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG＝180°，易证ED∥GA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；（3）由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG＝90°，且AG＝AD．由▱ABDI 和▱ACHG的性质证得，AC＝AB．【解答】（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）①解：∵△BDE≌△BAC，∠ADB＝45°，∴∠EDA＝α﹣45°，∵∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣α＝225°﹣α，②证明：∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）解：结论：当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．理由：由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．17．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．（1）求证：四边形MANP是正方形；（2）求证：EM＝BN．【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形MANP是矩形，再根据角平分线的性质得：PM＝PN，可得结论；（2）证明△EPM≌△BPN，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，（1分）∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴四边形MANP是矩形，（2分）∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN，（3分）∴四边形MANP是正方形；（4分）（2）∵四边形ABCD是正方形，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∵∠EPB＝90°，∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，∴∠MPE＝∠NPB，（5分）在△EPM和△BPN中，∵，∴△EPM≌△BPN（ASA），（6分）∴EM＝BN．（7分）18．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．【分析】（1）利用勾股定理即可得出BH的长，进而运用公式得出△ABE的面积；（2）过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，判定△AME≌△BNG（AAS），可得ME＝NG，进而得出BE＝GC，再判定△AFO≌△CEO（AAS），可得AF＝CE，即可得到DF＝BE＝CG．【解答】解：（1）∵AH＝3，HE＝1，∴AB＝AE＝4，又∵Rt△ABH中，BH＝＝，∴S△ABE＝AE×BH＝×4×＝；（2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠MAC＝∠NGC＝45°，∵AB＝AE，∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM，又∵AE⊥BG，∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM，∴∠MAE＝∠NBG，设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α，∴AB＝BG，∴AE＝BG，在△AME和△BNG中，，∴△AME≌△BNG（AAS），∴ME＝NG，在等腰Rt△CNG中，NG＝NC，∴GC＝NG＝ME＝BE，∴BE＝GC，∵O是AC的中点，∴OA＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO，∴△AFO≌△CEO（AAS），∴AF＝CE，∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE，∴DF＝BE＝CG．19．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB＝6，F为AB的中点，OF+OB＝9，求PQ的长．【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质证明PB＝PE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE＝QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；（2）根据三角形中位线的性质可得AE+BE＝2OF+2OB＝18，设AE＝x，则BE＝18﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得62+x2＝（18﹣x）2，BE＝10，得到OB＝BE＝5，设PE ＝y，则AP＝8﹣y，BP＝PE＝y，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得62+（8﹣y）2＝y2，解得y＝，在Rt△BOP中，根据勾股定理可得PO＝＝，由PQ＝2PO 即可求解．【解答】（1）证明：∵PQ垂直平分BE，∴PB＝PE，OB＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO＝∠QBO，在△BOQ与△EOP中，，∴△BOQ≌△EOP（ASA），∴PE＝QB，又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形，又∵QB＝QE，∴四边形BPEQ是菱形；（2）解：∵O，F分别为PQ，AB的中点，∴AE+BE＝2OF+2OB＝18，设AE＝x，则BE＝18﹣x，在Rt△ABE中，62+x2＝（18﹣x）2，解得x＝8，BE＝18﹣x＝10，∴OB＝BE＝5，设PE＝y，则AP＝8﹣y，BP＝PE＝y，在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2＝y2，解得y＝，在Rt△BOP中，PO＝＝，∴PQ＝2PO＝．。

人教版数学八年级下册：第18章《平行四边形》同步练习含答案

F E D C B A O ED C B A D C B A O D C B A 第十八章平行四边形单元练习题一、选择题（每小题5分，共30分）1.如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A.AB=DC ，AD=BCB.AB ∥DC ，AD ∥BCC.AB ∥DC ，AD=BCD.AB ∥DC ，AB=DC（第1题）（第2题）2.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列结论中不一定成立的是（）A.AB ∥DCB.AC=BDC.AC ⊥BDD.OA=OC3.顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是（）A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形4.如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC.若AC=4，则四边形OCED 的周长为（）A.4B.6C.8D.105.如图，将一个边长分别为4,8的矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为（）6.如图，正方形ABCD 的边长为8，点M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值为（）（第4题）（第5题）（第6题）二、填空题（每小题6分，共24分）7.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC ，BD 相交于点O ，若AC=6，则AO 的长度等于________________.8.如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为□ABCD 的形状，并使其面积变为O F E D C B A D CB A DC B A 矩形面积的一半，则□ABCD 的最小内角的大小为______________.（第7题）（第8题）9.如图，将两条宽度都为3的纸片重叠在一起，使∠ABC=600，则四边形ABCD 的面积为__________10.如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去.则第n 个正方形的边长为________.（第9题）（第10题）三、解答题（第11题14分，第12,13题各16分，共46分）11.如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，BE=DF ；AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F.（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（第11题）（2）若AC 与BD 交于点O ，求证：AO=CO.O D C B AF E D C B A12.如图，在△ABC 中，∠CAB=900，DE ，DF 是△ABC 的中位线，连结EF ，AD.求证：EF=AD.（第12题）∵AE⊥BD,CF ⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90°∵AB =CD,BE=DF ∴ABE≌CDF参考答案：1.C.2.B.3.C.4.C.5.D.6.D7.3. 8.300. 11.（1）证明：（2）提示：证明四边形ABCD 是平行四边形由（1）△ABE ≌△CDF ，可得∠ABE=∠CDF ，AB ∥CD ，可得四边形ABCD 是平行四边形，于是AO=CO.12.提示：由DE ，DF 是△ABC 的中位线，可得四边形EAFD 是平行四边形，又∠CAB=900.可知□EAFD 是矩形，根据矩形对角线相等即可得证.13.提示：（1）证明△AOF ≌△BOE ；（2）结论仍然成立，证明△AOF ≌△BOE.。

人教版八年级下数学同步练习平行四边形单元试题含答案

第六章平行四边形一、选择题1．如图4－161所示，沿虚线EF将ABCD剪开(BF≠AE)，得到的四边形ABFE是( )A．梯形B．平行四边形C．矩形D．菱形2．下列说法中正确的有( )①平行四边形的对角线互相平分；②菱形的对角线互相平分且相等；③矩形的对角线相等；④正方形的对角线互相平分且相等；⑤等腰梯形的对角线相等．A．2个B．3个C．4个D．5个3．五边形的内角和与外角和之比是( )A．5∶2 B．2∶3 C．3∶2 D．2∶54．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A．等腰三角形B．正三角形C．等腰梯形D．菱形5．已知菱形的周长为40,一条对角线长为12，则这个菱形的面积为( )A．190 B．96 C．47 D．406．一个多边形截去一个角(不过顶点)后，所成的一个多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是( )A．13 B．15 C．17 D．197．平面图形的密铺是指在一定范围的平面内，这些图形间( ) A．没有空隙，可以重叠B．既有空隙，又可重叠C．可有空隙，但无重叠D．既无空隙，也不重叠8．若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形( ) A．一定是矩形B．一定是菱形C．一定是正方形D．形状不确定9．如图4－162所示，设F为正方形ABCD中AD边上一点，CE⊥CF交AB的延长线于E，若正方形ABCD的面积为64，△CEF 的面积为50，则△CBE的面积为( )A．20 B．24 C．25 D．2610．如图4－163所示，正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC 上，且CF＝DE，连接BE，AF相交于点G，则下列结论不正确的是( )A．∠DAF＝∠BE C B．∠AF B＋∠BE C＝90°C．BE＝AF D．AF⊥BE二、填空题11．在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠D＝1∶2∶4，∠C＝108°，则∠A＝.12．边长为10 cm的正方形的对角线长是cm，这条对角线和正方形一边的夹角是，这个正方形的面积是cm2．13．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，CE∥DA交AB于E，且△BCE的周长为10 cm，CD＝5 cm，则梯形ABCD的周长是．14．若矩形的一条短边的长为5 cm，两条对角线的夹角为60°，则它的一条较长的边为cm．15．如图4－164所示，在矩形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为.16．菱形的周长为40 cm，如果把它的高增加4 cm，周长不变，那么面积变为原来的11倍，则菱形的原面积是．217．在四边形ABCD中，AB＝CD，要使其变为平行四边形，需要增加的条件是．(只需填一个你认为正确的条件即可)18．如图4－165所示；折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，A对应A′，得折痕DG，若AB ＝2，BC＝1，则AG＝.三、解答题19．如图4－166所示，在ABCD中，E，F在平行四边形的外部，且AE＝CF，BE＝DF，试指出AC和EF的关系，并说明理由．20．如图4－167所示，在△ABC中，O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，交∠BCA的平分线于点正，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)试说明OE＝OF；(2)当点O运动到何处时，四边形A ECF是矩形?说明理由．21．(1)如图4－168(1)所示，你能设法将左图的平行四边形变成与它面积相等的右边的矩形吗?画一画；(2)任意剪一张梯形纸片(如图4－168(2)所示)，与同学们交流、讨论、研究，怎样通过平移、旋转、轴对称以及折纸等方法将梯形剪拼成一个面积与它相等的矩形?并在图(2)中画出设计方案，简述设计的过程．22．矩形的长和宽如图4－169所示，当矩形周长为12时，求a的值．23．如图4－170所示，O为ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE＝OF．(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来；(2)试说明∠MAE＝∠NCF．参考答案1. A 2．C 3．C 4．D 5．B 6．B 7．D 8．D9．B[提示：由全等可知△CEF是等腰直角三角形，又其面积为50，则CF＝CE＝10，因为正方形ABCD的面积为64，所以边长BC＝8，由勾股定理，得BE=6，所以S△CBE＝12BE·BC＝12×6×8＝24．]10．B11．36°12．245°100 13．20 cm14．3515．1016．80 cm 217．AB ∥CD ，或AD ＝BC (答案不唯一)18．12-5[提示：A 对应点A ′，则△A ′DG 和△A ′BG 均为直角三角形，设AG ＝x ，则A ′G ＝x ，A ′B ＝BD －A ′D ＝5－l ，BG ＝AB－AG ＝2－x ，由勾股定理，得A ′G 2＋A ′B 2＝GB 2，所以x 2＋(5－1)2＝(2－x )2，解得x ＝12-5．]19．提示：连接AF ，EC ，可由AE ＝CF ，且AE ∥CF ，得四边形A ECF 是平行四边形，故AC 与EF 互相平分．20．提示：(1)先说明OE ＝OC ，再说明OF ＝OC ． (2)当点O 运动到AC 的中点时，四边形A ECF 是矩形(理由略)．21．解：(1)如图4－171所示。

人教版平行四边形单元同步练习试卷

人教版平行四边形单元同步练习试卷一、解答题1．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ∆沿BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ．（1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由．（2）设()01AB m m AD=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =．②若AE n AD=，用等式表示m n ，的关系． 2．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ．（1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时，①BCF ∠= ；②,,BC CD CF 之间数量关系为．（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，13CD BC =，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．．3．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AE 、AF ．(1)求证：AE ＝AF ；(2)取AF 的中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．则MD ，MN 的数量关系是，MD 、MN 的位置关系是(3)将图2中的直角三角板ECF ，绕点C 旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．4．如图，平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时，四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）．5．正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B ，O ，D 重合），连接CP 并延长，分别过点D ，B 向射线作垂线，垂足分别为点M ，N ．（1）补全图形，并求证：DM ＝CN ；（2）连接OM ，ON ，判断OMN 的形状并证明．6．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠．（1）若点F 在边CD 上，如图1，①求证：CH CG ⊥．②求证：GFC 是等腰三角形．（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ．7．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ．（1）如图①．求证：OE ＝OF ；（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；（3）如图③，若△ABO 是等边三角形，AB ＝4，点F 在BC 边上，且BF ＝4．则CF OF＝（直接填结果）．8．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．（1）直接写出AQH 的面积（用含t 的代数式表示）．（2）当点M 落在BC 边上时，求t 的值．（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．9．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．10．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=30 ，CD=10，F 是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A 向 D 运动，到D 点后停止运动；Q 沿着A B C D →→→ 路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D 点后停止运动．已知动点 P ，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为 t 秒，问：（1）经过几秒，以 A ，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P 为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD 面积的一半？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-【分析】（1）根据BEF BEA ≅得到BF BA =，根据三角形的三边关系得到BC BF BA >=，与已知矛盾；（2）①根据90BFC BFE ∠=∠=︒、DEC FCB ∠=∠和BF=CD ，利用AAS 证得BCF CED ≅，根据全等三角形的性质即可证明；②设1AD =，则可表示出AE 和AB ，然后根据等角对等边证得CE=CB ，然后在Rt CDE ∆中应用勾股定理即可求解．【详解】（1）由折叠知BEF BEA ≅ ，所以90BF BA BFE A =∠=∠=︒，．若点F 在CE 上，则90BFC ∠=︒，BC BF BA >=，与AB AD =矛盾，所以点F 不会落在CE 上．（2）①因为()01AB m m AD=<<，则AB AD < ，因为点F 落在CE 上，所以90BFC BFE ∠=∠=︒ ，所以BF BA CD == ．因为//AD BC ，所以DEC FCB ∠=∠ ，所以BCF CED ≅ ，所以CF DE =．②若AE n AD=，则AE nAD =．设1AD =，则AE n AB m ==，．因为//AD BC ，所以BEA EBC ∠=∠ ．因为BEF BEA ∠=∠ ，所以EBC BEC ∠=∠ ，所以1CE CB AD === ．在Rt CDE ∆中，11DE n CE CD m ===一，，，所以22211()n m -+= ，所以²²20m n n =+-．故答案为（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-．【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键．2．（1）①120°；② BC ＝CD +CF ；（2）不成立，见解析；（3）8，【分析】（1）①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△ACF ≌△ABD ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到CF=BD ，再根据BD+CD=BC ，即可得出CF+CD=BC ；（2）依据△ABD ≌△ACF ，即可得到∠ACF+∠BAC=180°，进而得到AB ∥CF ；依据△ABD ≌△ACF 可得BD=CF ，依据CD-BD=BC ，即可得出CD-CF=BC ；（3）依据≅△△ADB AFC ，即可得到8==+=CF BD BC CD ，利用ABC ∆是等边三角形，AH BC ⊥，可得132===BH HC BC ，即可得出HD 的长度，利用勾股定理即可求出AD 的长度，即可得出结论．【详解】解：（1）在等边△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°∴∠BAD+∠DAC=60°在菱形ADEF 中AD=AF∵∠DAF=∠DAC+∠FAC=60°∴∠CAF=∠DAB又∵AC=AB ，AF=AD∴△ACF ≌△ABD∴∠ACF=∠ABD=60°，CF=BD∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=120°故答案为：120°②∵BC=BD+CD ，BD=CF∴BD=CF+CD故答案为：BC=CD+CF（2）不成立理由：∵ABC ∆是等边三角形∴60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=，AB AC =又∵60DAF ∠=∴BAC BAF DAF BAF ∠-∠=∠-∠∴FAC DAB ∠=∠∵四边形ADEF 是菱形∴AD AF =∴≅△△ADB AFC∴DB FC =，18060120ACF ABD ∠=∠=-=∴1206060BCF ACF ACB ∠=∠-∠=-=∵BC CD BD =-∴BC CD CF =-（3）8=CF ，菱形ADEF 的面积是263∵60BAC DAF ∠=∠=∴BAD CAF ∠=∠又∵AB AC =，AD AF =∴≅△△ADB AFC∴16683CF BD BC CD ==+=+⨯=∴如图，过点A 作AH BC ⊥于点H ，连接FD∵ABC 是等边三角形，AH BC ⊥ ∴116322BH HC BC ===⨯= ∴325HD HC CD =+=+=∵22236927AH AB BH =-=-=∴222725213AD AH DH =+=+=∴13222132132632AFD ADEF S S ∆==⨯⨯⨯⨯=菱形. 【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质的综合运用，利用已知条件判定△DAB ≌△FAC 是解本题的关键．3．(1)见解析；(2)相等，垂直；(3)成立，理由见解析【分析】(1)由等腰直角△ECF 得到CE=CF ，再由正方形ABCD 进一步得到BE=DF ，最后证明△ABE ≌△ADF 即可求解；(2)MN 是△AEF 的中位线，得到AE=2MN ，又M 是直角三角形ADF 斜边上的中点，得到AF=2MD ，再由(1)中的AE=AF 即可得到MN=MD ；由∠DMF ＝∠DAF+∠ADM ，∠FMN ＝∠FAE ，∠DAF ＝∠BAE ，∠ADM ＝∠DAF ＝∠BAE ，由此得到∠DMN ＝∠BAD ＝90°；(3)连接AE ，同(1)中方法证明△ABE ≌△ADF ，进而得到AE=AF ，此时MN 是△AEF 中位线，MD 是直角△ADF 斜边上的中线，证明方法等同(2)中即可求解．【详解】解：(1)证明：如图1中，∵四边形ABCD 是正方形∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠B ＝∠ADF ＝90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C ＝90°，∴CE ＝CF ，∴BC ﹣CE ＝CD ﹣CF ，即BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF （SAS ），∴AE ＝AF ．(2)如图2中，MD ，MN 的数量关系是相等，MD 、MN 的位置关系是垂直，理由如下：∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF＝2DM，∵MN是△AEF的中位线，∴AE＝2MN，由(1)知：AE＝AF，∴DM＝MN；∵∠DMF＝∠DAF+∠ADM，AM＝MD，∵∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，∴∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，∴∠DMN＝∠BAD＝90°，∴DM⊥MN，故答案为：相等，垂直；(3)如图3中，(2)中的两个结论还成立，理由如下：连接AE，交MD于点G，如下图所示，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN＝1AE，2由(1)同理可证，AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF，CE＝CF，又∵BC+CE＝CD+CF，即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM＝1AF，2∴DM＝MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1＝∠2，∵AB∥DF，∴∠1＝∠3，同理可证：∠2＝∠4，∴∠3＝∠4，∵DM＝AM，∴∠MAD＝∠5，∴∠DGE＝∠5+∠4＝∠MAD+∠3＝90°，∵MN∥AE，∴∠DMN＝∠DGE＝90°，∴DM⊥MN．故答案为：仍成立．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形全等几何知识，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．4．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形；②2【分析】（1）证明△FCG ≌△EDG（ASA），得到FG=EG即可得到结论；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形.过A作AM⊥BC于M，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM，证明△MBA≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF是矩形；②根据四边形CEDFCEDF是菱形，得到CD⊥EF，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵ G是CD的中点，∴ CG＝DG，在△FCG和△EDG中，FCG EDG CG DGCGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△FCG ≌△EDG（ASA），∴ FG＝EG，∵ CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵AB=3，∴BM=1.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM ，在△MBA 和△EDC 中，BM DE B CDE AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBA ≌△EDC(SAS)，∴∠CED=∠AMB=90°，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是矩形；②∵四边形CEDFCEDF 是菱形，∴CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，∵∠CDE=∠B=60∘∠B=60∘，∴∠DEG=30°，∴DE=2DG=3，∴AE=AD-DE=5-3=2，故答案为：2.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的性质定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，三角形全等的判定及性质定理，熟练掌握各定理并运用解答问题是解题的关键.5．（1）见解析；（2）MON 为等腰直角三角形，见解析【分析】（1）如图1，由正方形的性质得CB ＝CD ，∠BCD ＝90°，再证明∠BCN ＝∠CDM ，然后根据“AAS”证明△CDM ≌△CBN ，从而得到DM ＝CN ；（2）如图2，利用正方形的性质得OD ＝OC ，∠ODC ＝∠OCB ＝45°，∠DOC ＝90°，再利用∠BCN ＝∠CDM 得到∠OCN ＝∠ODM ，则根据“SAS”可判断△OCN ≌△ODM ，从而得到ON ＝OM ，∠CON ＝∠DOM ，所以∠MON ＝∠DOC ＝90°，于是可判断△MON 为等腰直角三角形．【详解】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD 为正方形，∴CB ＝CD ，∠BCD ＝90°，∵DM ⊥CP ，BN ⊥CP ，∴∠DMC ＝90°，∠BNC ＝90°，∵∠CDM+∠DCM ＝90°，∠BCN+∠DCM ＝90°，∴∠BCN ＝∠CDM ，在△CDM 和△CBN 中DMC CNB CD CBCDM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CDM ≌△CBN ，∴DM ＝CN ；（2）解：△OMN 为等腰直角三角形．理由如下：如图2，∵四边形ABCD 为正方形，∴OD ＝OC ，∠ODC ＝∠OCB ＝45°，∠DOC ＝90°，∵∠BCN ＝∠CDM ，∴∠BCN ﹣45°＝∠CDM ﹣45°，即∠OCN ＝∠ODM ，在△OCN 和△ODM 中CN DM OCN ODM OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OCN ≌△ODM ，∴ON ＝OM ，∠CON ＝∠DOM ，∴∠MON ＝∠DOC ＝90°， ∴MON 为等腰直角三角形．【点睛】本题考查正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．也考查全等三角形的判定与性质．6．（1）①见解析；②GFC 是等腰三角形，证明见解析；（2）4+25或4﹣25．【分析】（1）①只要证明△DAH ≌△DCH ，即可解决问题；②只要证明∠CFG=∠FCG ，即可解决问题；（2）分两种情形解决问题：①当点F 在线段CD 上时，连接DE ．②当点F 在线段DC 的延长线上时，连接DE ．分别求出EC 即可解决问题．【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°，DA ＝DC ，在△DAH 和△DCH 中，DA DC ADH CDH DH DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAH ≌△DCH ，∴∠DAH ＝∠DCH ；∵∠ECG=∠DAH ，∴∠ECG=∠DCH ，∵∠ECG+∠FCG=∠FCE=90°，∴∠DCH+∠FCG=90°，∴CH ⊥CG.②∵在Rt △ADF 中，∠DFA+∠DAF ＝90°，由①得∠DCH+∠FCG=90°，∠DAH ＝∠DCH ；∴∠DFA ＝∠FCG ，又∵∠DFA ＝∠CFG ，∴∠CFG ＝∠FCG ，∴GF ＝GC ，∴△GFC 是等腰三角形（2）BE 的长为 4+25425- ．①如图①当点F 在线段CD 上时，连接DE ．∵∠GFC＝∠GCF，又∵在Rt△FCG中，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∴G是EF的中点，∴GM是△DEF的中位线∴DE＝2MG＝6，在Rt△DCE中，CE＝2264-＝25，-＝22DE DC∴BE＝BC+CE＝4+25．②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝5，在Rt△DCE中，CE22-564-22DE DC∴BE＝BC﹣CE＝4﹣5综上所述，BE的长为4+54﹣25【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（1）见解析；（2）FG=EP，理由见解析；（32【分析】（1）证△ODE ≌△OFB （ASA ），即可得出OE=OF ；（2）连AC ，由（1）可知OE=OF ，OB=OD ，证△AOE ≌△COF （SAS ），得AE=CF ，由折叠性质得AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1，则∠D=∠B 1，证△A 1PE ≌△CGF （AAS ），即可得出FG=EP ；（3）作OH ⊥BC 于H ，证四边形ABCD 是矩形，则∠ABC=90°，得∠OBC=30°，求出AC=8，由勾股定理得BC=CF=，由等腰三角形的性质得BH=CH=12BC=HF=4-，OH=12OB=2，由勾股定理得OF=，进而得出答案．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠ODE=∠OBF ，∠OED=∠OFB ，∵AE=CF ，∴AD-AE=BC-CF ，即DE=BF ，在△ODE 和△OFB 中， ODE OBF DE BFOED OFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ODE ≌△OFB （ASA ），∴OE=OF ；（2）FG=EP ，理由如下：连AC ，如图②所示：由（1）可知：OE=OF ，OB=OD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 过点O ，OA=OC ，∠BAD=∠BCD ，∠D=∠B ，在△AOE 和△COF 中，OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△COF （SAS ），∴AE=CF ，由折叠性质得：AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1，∴∠D=∠B 1，∵∠A 1PE=∠DPH ，∠PHD=∠B 1HG ，∴∠DPH=∠B 1GH ，∵∠B 1GH=∠CGF ，∴∠A 1PE=∠CGF ，在△A 1PE 和△CGF 中，111A PE CGF A FCG A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A 1PE ≌△CGF （AAS ），∴FG=EP ；（3）作OH ⊥BC 于H ，如图③所示：∵△AOB 是等边三角形，∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，OA=OB=AB=4，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵AB=OB=BF=4，∴AC=BD=2OB=8，由勾股定理得：2222=84AC AB --3 ∴CF=43，∵OB=OC ，OH ⊥BC ，∴BH=CH=12BC=23 ∴HF=4-23OH=12OB=2，在Rt △OHF 中，由勾股定理得： 22OH HF +()222423+-2622， ∴43226222CF OF ===- 2【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．8．（1）214t ；（2）22t =；（3）存在，如图2（见解析），当AHQ HBM ≅时，22t =3（见解析），当ADE AHE ≅时，32t =4（见解析），当EGQ HBF ≅时，722t = 【分析】（1）先根据线段中点的定义可得12AQ AP =，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得45HAQ ∠=︒，从而可得AQH 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得AH 的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得；（2）先根据平行四边形的性质可得//HQ MP ，从而可得//HQ BP ，再根据三角形中位线定理可得HQ 是ABP △的中位线，从而可得122AH AB ==，然后与（1）所求的22AH =建立等式求解即可得；（3）分①当点H 是AB 的中点时，AHQ HBM ≅；②当点Q 与点E 重合时，ADE AHE ≅；③当EG HB =时，EGQ HBF ≅三种情况，分别求解即可得．【详解】（1）由题意得：2AP t =，点Q 为AP 的中点，12AQ AP t ∴==，四边形ABCD 是矩形，90B D BAD ∴∠=∠=∠=︒，AE ∵是BAD ∠的角平分线，1452HAQ DAE BAD ∴∠=∠=∠=︒， QH AB ⊥，AQH ∴是等腰直角三角形， 22AH HQ AQ t ∴===，则AQH 的面积为21124AH HQ t ⋅=；（2）如图1，四边形PQHM 是平行四边形，//HQ MP ∴，点M 在BC 边上，//HQ BP ∴，点Q 为AP 的中点，HQ ∴是ABP △的中位线，122AH BH AB ∴===，由（1）知，22AH t =，则22t =，解得22t =；（3）由题意，有以下三种情况：①如图2，当点H 是AB 的中点时，则AHHB =，四边形PQHM 是平行四边形， //HM PQ ∴，HAQ BHM ∴∠=∠，在AHQ 和HBM △中，90HAQ BHM AH HB AHQ HBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()AHQ HBM ASA ∴≅，由（2）可知，此时22 t=；②如图3，当点Q与点E重合时，在ADE和AHE中，9045D AHEDAE HAEAE AE∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ADE AHE AAS∴≅，3AD AH∴==，则232t=，解得32t=；③如图4，当EG HB=时，四边形ABCD是矩形，四边形PQHM是平行四边形，//,//CD AB HM PQ∴，,90 GEQ HAQ BHF EGQ AHQ B ∴∠=∠=∠∠=∠=︒=∠，在EGQ 和HBF 中，GEQ BHF EG HB EGQ B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EGQ HBF ASA ∴≅， 2,42AH t AB ==，242HB AB AH t ∴=-=-，在Rt ADE △中，45,3DAE AD ∠=︒=，Rt ADE ∴是等腰直角三角形，232AE AD ==，32EQ AQ AE t ∴=-=-，在Rt GEQ 中，45GEQ HAQ ∠=∠=︒，Rt GEQ ∴是等腰直角三角形，22622t EG EQ -==，则由EG HB =得：262422t t -=-，解得722t =；综上，如图2，当AHQ HBM ≅时，22t =；如图3，当ADE AHE ≅时，32t =4，当EGQ HBF ≅时，722t =【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图形是解题关键．9．（1）15，8；（2）PE PF CG +=，见解析；（3）534）4【分析】解决问题（1）只需运用面积法：ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，即可解决问题；（2）解法同（1）；（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，由等边三角形的性质得出152BM BC ==，由勾股定理得出2253AM AB BM =-=，得出ABC ∆的面积12532BC AM =⨯=，由ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积1111()2532222BC PE AC PF AB PG AB PE PF PG =⨯+⨯+⨯=++=，即可得出答案；（4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，易证BE BF =，过点E 作EQ BF ⊥，垂足为Q ，由解决问题（1）可得PG PH EQ +=，易证EQ DC =，BF DF =，只需求出BF 即可．【详解】解：（1）∵PE AB ⊥，10AB =，3PE =，∴ABP ∆的面积111031522AB PE =⨯=⨯⨯=， ∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，∵AB AC =，∴358CG PE PF =+=+=.故答案为：15，8.（2）∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，∵AB AC =，∴CG PE PF =+.（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，如图2所示：∵10AB AC BC ===，∴ABC ∆是等边三角形，∵AM BC ⊥， ∴152BM BC ==， ∴222210553AM AB BM =-=-=，∴ABC ∆的面积11105325322BC AM =⨯=⨯⨯=， ∵PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥， ∴ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积111222BC PE AC PF AB PG =⨯+⨯+⨯1()2AB PE PF PG =++ 253=，∴225353PE PF PG ⨯++==. （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，如图3所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，90C ADC ∠=∠=︒，∵8AD =，3CF =，∴5BF BC CF AD CF =-=-=，由折叠可得：5DF BF ==，BEF DEF ∠=∠，∵90C ∠=︒，∴2222534DC DF FC =-=-=，∵EQ BC ⊥，90C ADC ∠=∠=︒，∴90EQC C ADC ∠=︒=∠=∠，∴四边形EQCD 是矩形，∴4EQ DC ==，∵//AD BC ，∴DEF EFB ∠=∠，∵BEF DEF ∠=∠，∴BEF EFB ∠=∠，∴BE BF =，由解决问题（1）可得：PG PH EQ +=，∴4PG PH +=，即PG PH +的值为4.【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．10．（1）254秒或252秒；（2）15秒【分析】(1)Q 点必须在BC 上时，A ，Q ，F ，P 为顶点的四边形才能是平行四边形，分Q 点在BF 和Q 点在CF 上时分类讨论，利用平行四边形对边相等的性质即可求解；(2)分Q 点在AB 、BC 、CD 之间时逐个讨论即可求解．【详解】解：(1)∵以A 、Q 、F 、P 为顶点的四边形是平行四边形，且AP 在AD 上，∴Q 点必须在BC 上才能满足以A 、Q 、F 、P 为顶点的四边形是平行四边形∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=30，AB=CD=10，∵点F 是BC 的中点，∴BF=CF=12BC=15，AB+BF=25，情况一：当Q 点在BF 上时，AP=FQ ，且AP=t ，FQ=35-3t ，故t =25-3t ，解得254t =；情况二：当Q 点在CF 上时，AP=FQ ，且AP=t ，FQ=3t-35，故t =3t -25，解得t=252；故经过254或252秒，以A 、Q 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形； (2)情况一：当Q 点在AB 上时，0<t<103，此时P 点还未运动到AD 的中点位置，故四边形AQFP 面积小于平行四边形ABCD 面积的一半，情况二：当Q 点在BC 上且位于BF 之间时，102533t ，此时AP+FQ=t+35-3t=35-2t ，∵102533t ，∴35-2t ＜30，四边形AQFP 面积小于平行四边形ABCD 面积的一半，情况三：当Q 点在BC 上且位于FC 之间时，254033t 此时AP+FQ=t+3t-35=4t-35∵254033t，∴4t-35＜30，四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况四：当Q点在CD上时，4050 33t<<当AP=BF=15时，t=15，1122 APF ABFP PFQ DCFP S S S S且∴1+2APF PFQ AFPQ ABCDS S S S，∴当t=15秒时，以A、Q、F、P为顶点的四边形面积是平行四边形ABCD面积的一半，故答案为：15秒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据动点的位置不同需要分多种情况分类讨论，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．。

人教版平行四边形单元达标同步练习试卷

人教版平行四边形单元达标同步练习试卷一、选择题1．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E、F分别为BC、CD的中点，AP⊥EF分别交BD、EF于O、P两点，M、N分别为BO、DO的中点，连接MP、NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．若AB＝1，则四边形BMPE的面积是（）A．17B．18C．19D．1102．将个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形对角线的交点，则2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )A．B．C．D．3．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE,则CE的最大值为( ).A5B21C．212+D514．如图，在ABC中，BD，CE是ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F G，分别是，BO CO的中点，连接AO，若要使得四边形DEFG是正方形，则需要满足条件（）A ．AO BC =B ．AB AC ⊥ C ．AB AC =且AB AC ⊥D ．AO BC =且AO BC ⊥5．如图，菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 交于O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD DE =，连结BE 分别交AC ，AD 于点F ，G ，连结OG 则下列结论：①12OG AB =；②与EGD ∆全等的三角形共有5个；③ABF S S ∆>四边形ODGF ；④由点A ，B ，D ，E 构成的四边形是菱形．其中正确的是（）A ．①④B ．①③④C ．①②③D ．②③④6．如图，ABCD 中，点E 是AD 上一点，BE ⊥AB ，△ABE 沿BE 对折得到△BEG ，过点D 作DF ∥EG 交BC 于点F ，△DFC 沿DF 对折，点C 恰好与点G 重合，则AB AD的值为（）A ．12B 3C 2D 37．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，4AB =，8BC =，点E ，F 分别在AD ， BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分DCH ∠；③线段BF 的取值范围为34BF ≤≤；④当点H 与点A 重合时，25EF =．以上结论中，你认为正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．48．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B 的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒9．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 在MON ∠的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是（）A ．222-B ．222+C ．252-D ．22+10．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（）A ．2B ．52C ．332D 5二、填空题11．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．12．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．13．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④BC ﹣CF ＝2HE ；⑤AB ＝HF ，其中正确的有_____．14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF ＝AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____．15．在ABCD 中，5AD =，BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，若线段EF=2，则AB 的长为__________．16．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．17．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．18．如图，矩形纸片ABCD ，AB =5，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP =OF ，则AF 的值为______．19．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AF n BC=，EC m BC=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠BAC ＝45°，则下列结论：①CD ∥EF ；②EF ＝DF ；③DE 平分∠CDF ；④∠DEC ＝30°；⑤AB ＝2CD ；其中正确的是_____（填序号）三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．22．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN 的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．23．如图，平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时，四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）．24．已知正方形ABCD ．（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=︒．①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形．②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当13AE CF =时．请直接写出HC 的长________． 25．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果）26．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ︒∠= ．()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足,90,45,AB AD BAD BCD EAF ︒︒=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．27．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．（1）证明：AG BE =；（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由；（3）当02x <<时，六边形AEFCHG 的面积可能等于53吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．28．如图，四边形ABCD 为正方形.在边AD 上取一点E ，连接BE ，使60AEB ∠=︒.（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ，则60AEB ∠=︒；（2）在前面的条件下，取BE 中点M ，过点M 的直线分别交边AB 、CD 于点P 、Q . ①当PQ BE ⊥时，求证：2BP AP =；②当PQ BE =时，延长BE ，CD 交于N 点，猜想NQ 与MQ 的数量关系，并说明理由.29．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝CD ＝6cm ，BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，以2cm /秒的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为t 秒：（1）PC ＝ cm ．（用t 的代数式表示）（2）当t 为何值时，△ABP ≌△DCP ？（3）当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以vcm /秒的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样v 的值，使得△ABP 与△PQC 全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．30．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC CF 、为邻边作平行四边形ECFG 。

人教版平行四边形单元达标同步练习试卷

人教版平行四边形单元达标同步练习试卷一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积2．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．(1)求证: FCE BOE ≌；(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．3．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由．4．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==．动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________．（2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值．5．在平面直角坐标中，四边形OCNM 为矩形，如图1，M 点坐标为（m ，0），C 点坐标为（0，n ），已知m ，n 满足550n m -+-=．（1）求m ，n 的值；（2）①如图1，P ，Q 分别为OM ，MN 上一点，若∠PCQ ＝45°，求证：PQ ＝OP+NQ ； ②如图2，S ，G ，R ，H 分别为OC ，OM ，MN ，NC 上一点，SR ，HG 交于点D ．若∠SDG ＝135°，55HG =，则RS ＝______；（3）如图3，在矩形OABC 中，OA ＝5，OC ＝3，点F 在边BC 上且OF ＝OA ，连接AF ，动点P 在线段OF 是（动点P 与O ，F 不重合），动点Q 在线段OA 的延长线上，且AQ ＝FP ，连接PQ 交AF 于点N ，作PM ⊥AF 于M ．试问：当P ，Q 在移动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若不变求出线段MN 的长度；若变化，请说明理由．6．如图1，在正方形ABCD （正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB ＝8，P 为线段BC 上一点，连接AP ，过点B 作BQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，将△BQC 沿BQ 所在的直线对折得到△BQC ′，延长QC ′交AD 于点N ．（1）求证：BP ＝CQ ；（2）若BP ＝13PC ，求AN 的长；（3）如图2，延长QN 交BA 的延长线于点M ，若BP ＝x （0＜x ＜8），△BMC'的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．7．在正方形AMFN 中，以AM 为BC 边上的高作等边三角形ABC ，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至点D ，D 点恰好落在NF 上，连接BD ，AC 与BD 交于点E ，连接CD ，(1)如图1，求证：△AMC ≌△AND ；(2)如图1，若DF=3，求AE 的长；(3)如图2,将△CDF 绕点D 顺时针旋转α（090α<<）,点C,F 的对应点分别为1C 、1F ，连接1AF 、1BC ，点G 是1BC 的中点,连接AG ，试探索1AG AF 是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.8．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积；（2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD +=．9．如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG 如图放置，连接AG ，AE ．（1）求证：AG AE =（2）过点F 作FP AE ⊥于P ，交AB 、AD 于M 、N ，交AE 、AG 于P 、Q ，交BC 于H ，．求证：NH =FM10．如图，矩形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线分别交AB ，CD 于点E ，F ．（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；（2）若四边形DEBF 是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）见解析（2）10【分析】（1）先证明AFE DBE ∆≅∆，得到AF DB =，AF CD =，再证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到12AD DC BC ==，即可证明四边形ADCF 是菱形。

人教版平行四边形单元期末复习同步练习试卷

一、选择题 1．已知PA 2PB 4==，，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．当∠APB=45°时，PD 的长是( )；A ．25B ．26C ．32D ．52．如图所示，等边三角形ABC 沿射线BC 向右平移到DCE ∆的位置，连接AD 、BD ，则下列结论：（1）AD BC =（2）BD 与AC 互相平分（3）四边形ACED 是菱形（4）BD DE ⊥，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，点O （0，0），B （0，1）是正方形OBB 1C 的两个顶点，以它的对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 2，再以正方形OB 2B 3C 2的对角线OB 3为一边作正方形OB 3B 4C 3，…，依次进行下去，则点B 6的坐标是（）A ．(42,0)B ．(42,0)-C ．(8,0)-D ．(0,8)-4．如图，P 为ABCD 内一点，过点P 分别作AB ，AD 的平行线，交 ABCD 的四边于E 、F 、G 、H 四点，若BHPE 面积为6，GPFD 面积为4，则APC △的面积为( )A ．23B ．32C ．1D ．25．如图，在正方形ABCD 中，M 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，连接AM 、EM 、CM ，延长EM 交AB 于点F ，若AM =EM ，30E ∠=︒，则下列结论：①MF ME =；②BFDE =；③MC EF ⊥；④2BF MD BC +=，其中正确的结论序号是（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 6．平行四边形的一边长是12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）A ．10和34B ．18和20C ．14和10D ．10和12 7．如图：点E 、F 为线段BD 的两个三等分点，四边形AECF 是菱形，且菱形AECF 的周长为20，BD 为24，则四边形ABCD 的面积为（）A ．24B ．36C ．72D ．1448．如图，在菱形ABCD 中，若E 为对角线AC 上一点，且CE CD =，连接DE ，若5,8AB AC ==，则DE AD=（）A ．104B ．105C ．35D ．459．将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF ．若 AB ＝3，则 BC 的长为（）A ．2B ．2C ．1.5D ．310．如图，正方形ABCD 中，延长CB 至E 使2CB EB =，以EB 为边作正方形EFGB ，延长FG 交DC 于M ，连接AM ，AF ，H 为AD 的中点，连接FH 分别与AB ，AM 交于点,N K ．则下列说法：①ANH GNF △≌△；②DAM NFG ∠=∠；③2FN NK =；④:2:7AFN DMKH S S =△四边形．其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是直线AB 、AC 上的动点，∠EDF ＝90°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连结AM 、MN ，若AC =6，AB =5，则AM -MN 的最大值为________．12．如图，∠MAN=90°，点C 在边AM 上，AC=4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A′B 所在直线于点F ，连接A′E ．当△A ′EF 为直角三角形时，AB 的长为_____．13．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则2020C ______．14．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝OB ，点E ，F 分别是OA ，OD 的中点，连接EF ，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，若∠CEF ＝45°，FN ＝5，则线段BC 的长为_____．15．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝48°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO ＝_____度．16．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设正方形的对称中心为O ，连接AO ，则AO ＝_____．17．如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.18．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．19．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．20．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．三、解答题21．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，8BC AD ==．()1P 为边BC 上一点，将ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处) ①如图1，当点E 落在CD 边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______； ②如图2，若点P 为BC 边的中点，连接CE ，则CE 与AP 有何位置关系？请说明理由； ()2点Q 为射线DC 上的一个动点，将ADQ 沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点'D 处，则DQ =______； 22．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由；（3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．23．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．(1)求证: FCE BOE ≌；(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．24．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．25．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）．（1）求证：AF ∥CE ；（2）当t 为何值时，△ADF 的面积为3cm 2；（3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．26．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．27．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果） 28．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”．（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD 中，BC ≠AB ，BD ⊥CD ，AB =3，BD =4，求BC 的长；（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；（3）如图2，在△ABC 中，AB =AC=2，∠BAC =90°．在AB 的垂直平分线上是否存在点P ，使得以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为“准等边四边形”．若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．29．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.30．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有12CBE ABF ∠=∠．（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；（2）如图2，当32b a =时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________； ②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=；③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】过P 作PB 的垂线，过A 作PA 的垂线，两条垂线相于与E ，连接BE ，由∠APB=45°可得∠EPA=45°，可得△PAE 是等腰直角三角形，即可求出PE 的长，根据角的和差关系可得∠EAB=∠PAD ，利用SAS 可证明△PAD ≌△EAB ，可得BE=PD ，利用勾股定理求出BE 的长即可得PD 的长.【详解】过P 作PB 的垂线，过A 作PA 的垂线，两条垂线相交与E ，连接BE ，∵∠APB=45°，EP ⊥PB ，∴∠EPA=45°，∵EA ⊥PA ，∴△PAE 是等腰直角三角形，∴PA=AE，PE=2PA=2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAP=∠DAB=90°，∴∠EAP+∠EAD=∠DAB+∠EAD，即∠PAD=∠EAB，又∵AD=AB，PA=AE，∴△PAD≌△EAB，∴PD=BE=2224+=25，+=22PE PB故选A.【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质并正确作出辅助线是解题关键.2．D解析：D【分析】先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；再结合①的结论，可判断③正确；根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，再根据平移后对应线段互相平行可得∠BDE=∠COD=90°，进而判断④正确.【详解】解：如图：∵△ABC，△DCE是等边三角形∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD∴∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°∴△ACD是等边三角形∴AD=AC=BC，故①正确；由①可得AD=BC∵AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD=AC=CE=DE故四边形ACED是菱形，即③正确∵四边形ABCD是平行四边形，BA=BC∴.四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AC//DE∴∠BDE=∠COD=90°∴BD⊥DE，故④正确综上可得①②③④正确，共4个.故选：D【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质，以及平移的性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直.3．C解析：C【解析】【分析】根据已知条件如图可得到B1，B2所在的正方形的对角线长为2,B3所在的正方形的对角线长为3,依据规律可得B6所在的正方形的对角线长为6=8，再根据B6在x轴的负半轴，就可得到B6的坐标。

人教版数学平行四边形的性质同步训练卷

人教版数学平行四边形的性质同步训练卷一．选择题（共5小题）1．如图，EF 过▱ABCD 对角线的交点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，则：①OE ＝OF ；②图中共有4对全等三角形；③若AB ＝4，AC ＝6，则2＜BD ＜14；④S 四边形ABFE ＝S △ABC ；其中正确的结论有（）A ．①④B ．①②④C ．①③④D ．①②③2．下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（）A ．B ．C ．D ．3．已知▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，则下列结论一定正确的是（）A ．OA ＝OCB ．AB ＝BC C ．AC ＝BD D ．∠ABD ＝∠CBD4．如图，四边形ABCD 是平行四边形，以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧，交AD 于点F ；分别以点B ，F 为圆心，大于12BF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；连结AG 并延长，交BC 于点E ．连结BF ，若AE ＝8，BF ＝6，则AB 的长为（）A ．5B ．8C ．12D ．155．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，P 是AB 的中点．若OP ＝4，AP ＝3，则平行四边形ABCD 的周长为（）A．12B．14C．22D．28二．填空题（共5小题）6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O与AD、BC相交于点E、F，若AB＝5，BC＝6，OF＝2，那么四边形ABFE的周长是．7．在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为．8．如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，若▱ABCD的面积为16，且AH：HD＝1：3．则图中阴影部分的面积为．9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接P A，以P A，PC为邻边作平行四边形P AQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为．10．如图，在▱ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠D＝°．三．解答题（共5小题）11．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OD，OB的中点，连接AE，CF，求证：AE＝CF．12．平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE ＝CF．求证：∠DP A＝∠DPC．（初二）13．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．（1）求证：AC⊥BD；（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长．14．如图，在▱ABCD中，E，G，H，F分别是AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝DH，AF＝CG．求证：EF＝HG．15．如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；（3）连接BE，若∠DBE＝25°，求∠AEB的度数．。

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一、选择题1．如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DF 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连解FG ，下列结论：（1）∠AGD ＝112.5°；（2）E 为AB 中点；（3）S △AGD ＝S △OCD ；（4）正边形AEFG 是菱形；（5）BE ＝2OG ，其中正确结论的个是（）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝4，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是线段BO 上一动点，F 是射线DC 上一动点，若∠AEF ＝120°，则线段EF 的长度的整数值的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边BC 上一动点(且点P 不与点B 、C 重合)，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点.设AM 的长为x ，则x 的取值范围是( )A ．4≥x ＞2.4B ．4≥x≥2.4C ．4＞x ＞2.4D ．4＞x≥2.44．如图，在平行四边形ABCD 中，272BC AB B CE AB =∠=︒⊥，，于E F ，为AD 的中点，则AEF ∠的大小是( )A ．54︒B ．60︒C ．66︒D ．72︒5．如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，且AB AE =，延长AB 与DE 的延长线交于点F ，连接AC ，CF ．下列结论：①ABC EAD ∆∆≌；②ABE ∆是等边三角形；③AD BF =；④BEF ACD S S ∆∆=；⑤CEF ABE S S ∆∆=中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在ABC ∆中，4BC =，BD 平分ABC ∠，过点A 作AD BD ⊥于点D ，过点D 作//DE CB ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若2EF DF =，则AB 的长为（）A ．10B ．8C ．7D ．67．如图，ABCD 中，点E 是AD 上一点，BE ⊥AB ，△ABE 沿BE 对折得到△BEG ，过点D 作DF ∥EG 交BC 于点F ，△DFC 沿DF 对折，点C 恰好与点G重合，则AB AD的值为（）A ．12B 3C ．22D 38．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，过点E 作EF ∥CD ，交AD 于F ，交对角线BD 于G ，取DG 的中点H ，连结AH ，EH ，FH ．下列结论：①∠EFH ＝45°；②△AHD ≌△EHF ；③∠AEF +∠HAD ＝45°； ④若BE EC ＝2，则1113=BEH AHE S S ．其中结论正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④9．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC 的长为（）A．2B．2 C．1.5 D．310．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=14BC，③BF=2OD，④∠CHF=45°．正确结论的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为CD边上的一个动点，以CE为边向外作正方形ECFG，连结BG，点H为BG中点，连结EH，则EH的最小值为______12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是直线AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连结AM、MN，若AC=6，AB=5，则AM-MN的最大值为________．13．在平行四边形ABCD 中，30,23,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．14．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．15．如图，菱形ABCD 的BC 边在x 轴上，顶点C 坐标为(3,0)-，顶点D 坐标为(0,4)，点E 在y 轴上，线段//EF x 轴，且点F 坐标为(8,6)，若菱形ABCD 沿x 轴左右运动，连接AE 、DF ，则运动过程中，四边形ADFE 周长的最小值是_______．16．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝48°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO ＝_____度．17．已知在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC ==点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，且,AP PQ ⊥当AP PQ =时，AP =________________．18．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．19．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．20．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②S △ABG ＝32S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④AG+DF ＝FG ．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题21．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．22．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．23．如图，平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时，四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）．24．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =132，DB =5，则△ABC 的面积为．（直接写出答案）25．正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B ，O ，D 重合），连接CP 并延长，分别过点D ，B 向射线作垂线，垂足分别为点M ，N ．（1）补全图形，并求证：DM ＝CN ；（2）连接OM ，ON ，判断OMN 的形状并证明．26．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．27．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说明理由；()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.28．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DC AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O . （1）求证：EF DA ⊥.（2）若4,23BC AD ==，求EF 的长.29．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为；（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．30．如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，连接AG，AE．=（1）求证：AG AE⊥于P，交AB、AD于M、N，交AE、AG于P、Q，交BC于（2）过点F作FP AEH，．求证：NH=FM【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】利用翻折不变性可知：AG=GF，AE=EF，∠ADG=∠GDF=22.5°，再通过角度计算证明AE=AG，即可得到答案，具体见详解．【详解】因为∠GAD＝∠ADO＝45°，由折叠可知：∠ADG＝∠ODG＝22.5°．（1）∠AGD＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，故（1）正确；（2）设OG＝1，则AG＝GF2，又∠BAG＝45°，∠AGE＝67.5°，∴∠AEG＝67.5°，∴AE＝AG2，则AC＝2AO＝22+1），∴AB＝22+12（）＝2+2，∴AE≠EB，故（2）错误；（3）由折叠可知：AG＝FG，在直角三角形GOF中，斜边GF＞直角边OG，故AG＞OG，两三角形的高相同，则S△AGD＞S△OGD，故（3）错误；（4）中，AE＝EF＝FG＝AG，故（4）正确；（5）∵GF＝EF，∴BE＝2EF＝2GF＝2•2OG＝2OG，∴BE＝2OG，故（5）正确．故选B．【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，菱形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．C解析：C【解析】【分析】连结CE，根据菱形的性质和全等三角形的判定可得△ABE≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AE＝CE，设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，可得∠ECF＝∠EFC，根据等角对等边可得CE＝EF，从而得到AE＝EF，在Rt△ABO中，根据含30°的直角三角形的性质得到AO＝2，可得2≤AE≤4，从而得到EF的长的整数值可能是2，3，4．【详解】解：如图，连结CE，∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE＝CE，设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，∴∠DEF＝120°﹣（90°﹣a）＝30°+a，∴∠EFC＝∠CDE+∠DEF＝30°+30°+a＝60°+a，∵∠ECF＝∠DCO+∠OCE＝60°+a，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∴AE＝EF，∵AB＝4，∠ABE＝30°，∴在Rt△ABO中，AO＝2，∵OA≤AE≤AB，∴2≤AE≤4，∴AE的长的整数值可能是2，3，4，即EF的长的整数值可能是2，3，4．故选：C．【点睛】考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，根据含30°的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，证明△ABE≌△CBE．3．D解析：D【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四边形AEPF是矩形，求出AM=12EF=12AP，求出AP≥4.8，即可得出答案．【详解】解：连接AP．∵AB=6，AC=8，BC=10，∴AB2+AC2=36+64=100，BC2=100，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP=EF，∵∠BAC=90°，M为EF中点，∴AM=12EF=12AP，当AP⊥BC时，AP值最小，此时S△BAC=12×6×8=12×10×AP，AP=4.8，即AP的范围是AP≥4.8，∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）．∵P为边BC上一动点，当P和C重合时，AM=4，∵P和B、C不重合，∴x＜4，综上所述，x的取值范围是：2.4≤x＜4．故选：D．【点睛】本题考查了垂线段最短，三角形面积，勾股定理的逆定理，矩形的判定的应用，直角三角形的性质，关键是求出AP的范围和得出AM=12 AP．4．A解析：A【分析】过F作AB的平行线FG，由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即Rt△BCE斜边上的中点，由此可得BC＝2EG＝2FG，即△GEF、△BEG都是等腰三角形，因此求∠B的度数，只需求得∠BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得∠EFG＝∠AEF，由此可求得∠FEG的度数，即可得到∠AEG的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG的度数，由此得解．【详解】解：过F作FG∥AB交BC于G，连接EG，∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴FG∥AB∥CD，∵FG∥AB，AD∥BC，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AF＝BG，又∵F为AD中点∴G是BC的中点；∵BC＝2AB，F为AD的中点，∴BG＝AB＝FG＝AF，∵在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，∴BG＝GE＝FG＝12 BC；∴∠BEG＝∠B＝72°，∴∠AEG＝∠AEF＋∠FEG＝180°﹣∠BEG＝108°，∴∠EFG ＝∠AEF ，∵GE ＝FG ，∴∠EFG ＝∠FEG ，∴∠AEF ＝∠FEG ＝12∠AEG ＝54°，故选：A ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出辅助线是解决问题的关键． 5．C解析：C【分析】由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，由AE 平分∠BAD ，可得∠BAE=∠DAE ，可得∠BAE=∠BEA ，得AB=BE ，由AB=AE ，得到△ABE 是等边三角形，②正确；则∠ABE=∠EAD=60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，①正确；由△FCD 与△ABD 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），得出S △FCD =S △ABD ，由△AEC 与△DEC 同底等高，所以S △AEC =S △DEC ，得出S △ABE =S △CEF ，⑤正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠EAD=∠AEB ，又∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE ，∵AB=AE ，∴△ABE 是等边三角形；②正确；∴∠ABE=∠EAD=60°，∵AB=AE ，BC=AD ，在△ABC 和△EAD 中，AB AE ABE EAD BC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△EAD （SAS ）；①正确；∵△FCD 与△ABC 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），∴S △FCD =S △ABC ，又∵△AEC 与△DEC 同底等高，∴S △AEC =S △DEC ，∴S △ABE =S △CEF ；⑤正确；若AD 与AF 相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC ，即EC=CD=BE ，即BC=2CD ，题中未限定这一条件，∴③④不一定正确；故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．6．D解析：D【分析】延长AD 、BC 交于点G ，根据三线合一性质推出ABG ∆是等腰三角形，从而可得D 是AG 的中点，E 是AB 的中点，再利用中位线定理即可得.【详解】如图，延长AD 、BC 交于点G∵BD 平分ABC ∠，AD BD ⊥于点D,90ABD GBD ADB GDB ∴∠=∠∠=∠=︒∴BAD G ∠=∠AB BG ∴=，D 是AG 的中点∵//DE BG∴E 是AB 的中点，F 是AC 的中点，DE 是ABG ∆的中位线，EF 是ABC ∆的中位线 ∴12,22EF BC BG DE === 又∵2EF DF =∴1DF =∴3DE EF DF =+=∴26BG DE ==∴6AB =故选：D.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定定理与性质、中位线定理，通过作辅助线，构造等腰三角形是解题关键.错因分析：容易题.失分原因是对特殊三角形的性质及三角形的重要线段掌握不到位.7．B解析：B【分析】根据平行线的性质和轴对称的性质，利用SAS 证明BEG DEG ≅，进而得到ADG 90∠=︒，设AB=x ，则AG=2x ，CD=x ，2243x x x -，即可求解．【详解】解：在ABCD 中∵DF ∥EG∴∠DEG=∠DFB∵△ABE 沿BE 对折得到△BEG∴∠DEG =2∠A∵∠DFB =∠C +∠CDF∠A=∠C∴∠CDF=∠A∵△DFC 沿DF 对折∴∠BGE=∠DGEBG=DGEG=EG∴BEG DEG ≅∵BE⊥AB∴ADG 90∠=︒ 设AB=x ，则AG=2x ，CD=x ，2243x x x -= ∴33AB AD x==故选：B ．【点睛】此题主要考查平行线的性质、轴对称的性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理，熟练运用平行线的性质和轴对称的性质证明BEG DEG 是解题关键．8．A解析：A【分析】①根据正方形的性质证明∠ADB ＝45°，进而得△DFG 为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一性质得∠EFH ＝12∠EFD ＝45°，故①正确； ②根据矩形性质得AF ＝EB ，∠BEF ＝90°，再证明△AFH ≌△EGH 得EH ＝AH ，进而证明△EHF ≌△AHD ，故②正确；③由△EHF ≌△AHD 得∠EHF ＝∠AHD ，怀AH ＝EH 得∠AEF +∠HEF ＝45°，进而得∠AEF +∠HAD ＝45°，故③正确；④如图，过点H 作MN ⊥AD 于点M ，与BC 交于点N ，设EC ＝FD ＝FG ＝x ，则BE ＝AF ＝EG ＝2x ，BC ＝DC ＝AB ＝AD ＝3x ，HM ＝12x ，AM ＝52x ，HN ＝52x ，由勾股定理得AH 2，再由三角形的面积公式得BEH AHE S S ，便可判断④的正误．【详解】证明：①在正方形ABCD 中，∠ADC ＝∠C ＝90°，∠ADB ＝45°，∵EF ∥CD ，∴∠EFD ＝90°，∴四边形EFDC 是矩形．在Rt △FDG 中，∠FDG ＝45°，∴FD ＝FG ，∵H 是DG 中点，∴∠EFH ＝12∠EFD ＝45° 故①正确；②∵四边形ABEF 是矩形，∴AF ＝EB ，∠BEF ＝90°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBG ＝∠EGB ＝45°，∴BE ＝GE ，∴AF ＝EG ．在Rt △FGD 中，H 是DG 的中点，∴FH ＝GH ，FH ⊥BD ，∵∠AFH ＝∠AFE +∠GFH ＝90°+45°＝135°，∠EGH ＝180°﹣∠EGB ＝180°﹣45°＝135°，∴∠AFH ＝∠EGH ，∴△AFH ≌△EGH （SAS ），∴EH ＝AH ，∵EF ＝AD ，FH ＝DH ，∴△EHF ≌△AHD （SSS ），故②正确；③∵△EHF ≌△AHD ，∴∠EHF ＝∠AHD ，∴∠AHE ＝∠DHF ＝90°，∵AH ＝EH ，∴∠AEH ＝45°，即∠AEF +∠HEF ＝45°，∵∠HEF ＝∠HAD ，∴∠AEF +∠HAD ＝45°，故③正确；④如图，过点H 作MN ⊥AD 于点M ，与BC 交于点N ，设EC ＝FD ＝FG ＝x ，则BE ＝AF ＝EG ＝2x ，∴BC ＝DC ＝AB ＝AD ＝3x ，HM ＝12x ，AM ＝52x ，HN ＝52x ， ∴22225113222AH x x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝， ∴211021132BEH AHE BE HN S =S AH ⋅=，故④错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，这是一道几何综合型题，关键是根据正方形的性质得到线段的等量关系，然后利用矩形、等腰三角形的性质进行求解即可．9．D解析：D【分析】设BC x =，先根据矩形的性质可得90,B AD BC ∠=︒=，再根据折叠的性质可得,,90OA AD x OC BC x COE B ====∠=∠=︒，从而可得OA OC =，又根据菱形的性质可得AE CE =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得90AOE COE ∠=∠=︒，从而可得点,,A O C 共线，由此可得2AC x =，最后在Rt ABC 中，利用勾股定理即可得．【详解】设BC x =，四边形ABCD 是矩形，90,B AD BC x ∴∠=︒==，由折叠的性质得：,,90OA AD x OC BC x COE B ====∠=∠=︒，OA OC x ∴==，四边形AECF 是菱形，AE CE ∴=，在AOE △和COE 中，OA OC AE CE OE OE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()AOE COE SSS ∴≅，90AOE COE ∴∠=∠=︒，即180AOE COE ∠+∠=︒，∴点,,A O C 共线，2AC OA OC x ∴=+=，在Rt ABC 中，222AB BC AC +=，即2223(2)x x +=，解得x =x =即BC =故选：D ．【点睛】本题考查了矩形与菱形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，利用三角形全等的判定定理与性质证出90AOE COE ∠=∠=︒，从而得出点,,A O C 共线是解题关键．10．B解析：B【分析】①只要证明OH 是△DBF 的中位线即可得出结论；②根据OH是△BFD的中位线，得出GH=12CF，由GH＜14BC，可得出结论；③易证得△ODH是等腰三角形，继而证得OD=12 BF；④根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论．【详解】解：∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，∴△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF，∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，∴∠DEH+∠CDF=90°，∴∠BHD=∠BHF=90°，∵BH=BH，∠HBD=∠HBF，∴△BHD≌△BHF，∴DH=HF，∵OD=OB∴OH是△DBF的中位线∴OH∥BF；故①正确；∴OH=12BF，∠DOH=∠CBD=45°，∵OH是△BFD的中位线，∴DG=CG=12BC，GH=12CF，∵CE=CF，∴GH=12CF=12CE∵CE＜CG=12 BC，∴GH＜14BC，故②错误．∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，∵CE=CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），∴∠EBC=∠CDF=22.5°，∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH=CH，∴∠CDF=∠DCH=22.5°，∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故④正确；∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，∴∠OHD=180°-∠ODH-∠DOH=67.5°，∴∠ODH=∠OHD，∴OD=OH=12BF；故③正确．故选：B．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．二、填空题11．2【分析】过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解．【详解】解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示：∵H是BG的中点，且BO与HE平行，∴HE为△BOG的中位线，且BO=2HE，故要使得HE最短，只需要BO最短即可，当E 点位于C 点时，则O 点与C 点重合，当E 点位于D 点时，则O 点与A 点重合，故E 点在CD 上运动时，O 点在AC 上运动，由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO ⊥AC 时，此时BO 最短，∵四边形ABCD 是正方形，∴△BOC 为等腰直角三角形，且BC=4，、 ∴2222BO, ∴122HE BO ，故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE 线段长转移到线段BO 上．12．52【分析】连接DM ，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM ，利用两边之差小于第三边得到AM MN DN -≤，又根据三角形中位线的性质即可求解．【详解】连接DM ，如下图所示，∵90BAC EDF ∠=∠=︒又∵M 为EF 中点∴AM=DM=12EF ∴AM MN DM MN DN -=-≤（当D 、M 、N 共线时，等号成立）∵D 、N 分别为BC 、AC 的中点，即DN 是△ABC 的中位线∴DN=12AB=52∴AM MN -的最大值为52 故答案为52．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM MN -的取值范围．13．43或23 【分析】分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过D 作DE AB ⊥于E ，在Rt ADE △中，30A ∠=︒，23AD =， 132DE AD ∴==，332AE AD ==，在Rt BDE △中，2BD =，22222(3)1BE BD DE ∴=-=-=，如图1，4AB ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积4343AB DE ==⨯=，如图2，2AB =，∴平行四边形ABCD 的面积2323AB DE ==⨯=，如图3，过B 作BE AD ⊥于E ，在Rt ABE △中，设AE x =，则23DE x =，30A ∠=︒，3BE x =，在Rt BDE △中，2BD =，22232()(23)x x ∴=+-， 3x ∴=，23x =（不合题意舍去），1BE ∴=， ∴平行四边形ABCD 的面积12323AD BE ==⨯=，如图4，当AD BD ⊥时，平行四边形ABCD 的面积43AD BD ==，故答案为：323【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．14．4:9【分析】设DP ＝DN ＝m ，则PN 2m ，PC ＝2m ，AD ＝CD ＝3m ，再求出FG=CF=12BC=32m ，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．【详解】根据图形的特点设DP ＝DN ＝m ，则PN 22m m +2m ，∴2m=MC ，22PM MC +，∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ，∵四边形HMPN 是正方形，∴GF ⊥BC∵∠ACB ＝45︒，∴△FGC 是等腰直角三角形，∴FG=CF=12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98m 2， ∴12:S S =12m 2: 98m 2=4:9，故答案为4：9．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．15．18【分析】由题意可知AD 、EF 是定值，要使四边形ADFE 周长的最小，AE ＋DF 的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，此时AE ＋DF 的和即为E 1F 1，再求四边形ADFE 周长的最小值．【详解】在Rt △COD 中，OC ＝3，OD ＝4，CD ＝22OC +OD =5，∵ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ＝5，∵F 坐标为(8,6)，点E 在y 轴上，∴EF ＝8，作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，则E 1（0，2），F 1（3，6），则E 1F 1即为所求线段和的最小值，在Rt △AE 1F 1中，E 1F 1＝22211EE +EF =-+(8-5)=52(62)， ∴四边形ADFE 周长的最小值＝AD ＋EF ＋AE ＋DF ＝ AD ＋EF ＋ E 1F 1＝5＋8＋5＝18．【点睛】本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大． 16．24【分析】由菱形的性质可得OD＝OB，∠COD＝90°，由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可得OH＝12BD＝OB，可得∠OHB＝∠OBH，由余角的性质可得∠DHO＝∠DCO，即可求解．【详解】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°，∠DAB＝∠DCB＝48°，∵DH⊥AB，∴OH＝12BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO＝12∠DCB＝24°，故答案为：24．【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断出OH是BD的一半，和∠DHO＝∠DCO是解决本题的关键．17【分析】根据点P在直线BC上，点Q在直线CD上，分两种情况：1.P、Q点位于线段上；2.P、Q 点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.【详解】解：当P点位于线段BC上，Q点位于线段CD上时:∵四边形ABCD是矩形,AP PQ⊥∴∠BAP=∠CPQ，∠APB=∠PQC∵AP PQ=∴ABP PCQ≅∴PC=AB=32，BP=BC-PC=3-32=32∴当P点位于线段BC的延长线上，Q点位于线段CD的延长线上时:∵四边形ABCD 是矩形,AP PQ ⊥∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC∵AP PQ =∴ABP PCQ ≅∴PC=AB=32，BP=BC+PC=3+32=92∴AP=223922+（）（）=3102故答案为：322或3102【点睛】此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题的关键.18．25【分析】作BE ⊥AD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则四边形BEDF 是矩形，证明△ABE ≌△CBF （AAS ），得出BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，则四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，求出BE=10，即可求得BD 的长．【详解】解：作BE ⊥AD 交DA 延长线于E ，BF ⊥CD 于F ，如图所示：则∠BEA=∠BFC=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形BEDF 是矩形，∴∠EBF=90°，∵∠ABC=90°，∴∠EBF=∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF ，在△ABE 和△CBF 中，BEA BFC ABE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （AAS ），∴BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，∴四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，∴BE=DE ，BE 2=10 cm 2，∴(cm)，∴．故答案为：【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．19．5【分析】过点B 作BD ⊥l 2，交直线l 2于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ．则OABC 是平行四边形，所以OA=BC ，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD ，则可证明△OAF ≌△BCD ，所以OE 的长固定不变，当BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求．【详解】解：过点B 作BD ⊥l 2，交直线x=4于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线l 1与OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线l 2与AB 交于点N ．∵四边形OABC 是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO ，OC ∥AB ，OA=BC ，∵直线l 1与直线l 2均垂直于x 轴，∴AM ∥CN ，∴四边形ANCM 是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM ，∴∠OAF=∠BCD ，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC ，在△OAF 和△BCD 中，FOA DBC OA BCOAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴OB=22OE BE +．由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．20．①②④．【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE ，∠ABG=∠FBG ，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH ，则可得到∠EBG=12∠ABC ，于是可对①进行判断；在Rt △ABF 中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x ，则GH=x ，GF=8-x ，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x 2+42=（8-x ）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②④进行判断；接着证明△ABF ∽△DFE ，利用相似比得到43DE AF DF AB ==，而623AB AG ==，所以AB DE AG DF≠，所以△DEF 与△ABG 不相似，于是可对③进行判断.【详解】解：∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，∴∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，BF ＝BC ＝10，BH ＝BA ＝6，AG ＝GH ，∴∠EBG ＝∠EBF+∠FBG ＝12∠CBF+12∠ABF ＝12∠ABC ＝45°，所以①正确；在Rt △ABF 中，AF 22BF AB -22106-＝8，∴DF ＝AD ﹣AF ＝10﹣8＝2，设AG＝x，则GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，在Rt△GFH中，∵GH2+HF2＝GF2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴GF＝5，∴AG+DF＝FG＝5，所以④正确；∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠BFE＝∠C＝90°，∴∠EFD+∠AFB＝90°，而∠AFB+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠EFD，∴△ABF∽△DFE，∴ABDF＝AFDE，∴DEDF＝AFAB＝86＝43，而ABAG＝63＝2，∴ABAG≠DEDF，∴△DEF与△ABG不相似；所以③错误．∵S△ABG＝12×6×3＝9，S△GHF＝12×3×4＝6，∴S△ABG＝32S△FGH，所以②正确．故答案是：①②④．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．三、解答题21．EF＝13．【分析】首先连接AD ，由△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，可得：AD=DC ，∠EAD=∠C=45°，AD ⊥BC ，即∠CDF+∠ADF=90°，又DE ⊥DF ，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF ，从而可证：△AED ≌△CFD ；根据全等三角形的性质得到AE=CF=5，进而得出BE=AF=12．然后在Rt △AEF 中，运用勾股定理可将EF 的值求出；【详解】解：连接AD ．∵△ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，D 是斜边BC 的中点，∴AD =DC =DB ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠C =45°，∵∠EDA +∠ADF =90°，又∵∠CDF +∠ADF =90°，∴∠EDA =∠CDF ．在△AED 与△CFD 中，EDA FDC AD CDEAD C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AED ≌△CFD (ASA )．∴AE =CF =5．∵AB =AC ，∴BE =AF =12．在Rt △AEF 中，∵∠EAF =90°，∴22222512169EF AE AF =+=+=，∴EF =13．【点睛】本题考查等腰直角三角形, 直角三角形斜边上的中线，掌握等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质为解题关键．22．（1）详见解析；（2）18【分析】（1）根据正方形的性质得出BC=BD ，AB=BF ，∠CBD=∠ABF=90°，求出∠ABD=∠CBF ，根据全等三角形的判定得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠BFC ，AD=FC=6，求出AD ⊥CF ，根据三角形的面积求出即可．【详解】解：（1）四边形ABFG 、BCED 是正方形，AB FB ∴=，CB DB =，90ABF CBD ∠=∠=︒，ABF ABC CBD ABC ∴∠+∠=∠+∠，即ABD CBF ∠=∠在ABD ∆和FBC ∆中，AB FB ABD CBF DB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD FBC SAS ∴∆≅∆；图1 图2（2）ABD FBC ∆≅∆，BAD BFC ∴∠=∠，6AD FC ==，180AMF BAD CNA ∴∠=︒-∠-∠ 180()BFC BNF =︒-∠+∠1809090=︒-︒=︒AD CF ∴⊥-ACD ACF DFM ACM ACDF S S S S S ∆∆∆∆∴=++四边形11112222AD CM CF AM DM FM AM CM =⋅+⋅+⋅-⋅ 1133(6)(6)1822CM AM AM CM AM CM =++---⋅= 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出△ABD ≌△FBC 是解此题的关键．23．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形；②2【分析】（1）证明△FCG ≌△EDG （ASA ），得到FG=EG 即可得到结论；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形.过A 作AM ⊥BC 于M ，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM ，证明△MBA ≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF 是矩形；②根据四边形CEDFCEDF 是菱形，得到CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.【详解】（1）证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ CF ∥ED ，∴ ∠FCG ＝∠EDG ，∵ G 是CD 的中点，∴ CG ＝DG ，在△FCG 和△EDG 中，FCG EDG CG DG CGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ △FCG ≌△EDG （ASA ），∴ FG ＝EG ，∵ CG ＝DG ，∴ 四边形CEDF 是平行四边形；（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形，理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ，∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵AB=3，∴BM=1.5，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM ，在△MBA 和△EDC 中，BM DE B CDE AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBA ≌△EDC(SAS)，∴∠CED=∠AMB=90°，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是矩形；②∵四边形CEDFCEDF 是菱形，∴CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，∵∠CDE=∠B=60∘∠B=60∘，∴∠DEG=30°，∴DE=2DG=3，∴AE=AD-DE=5-3=2，故答案为：2.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的性质定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，三角形全等的判定及性质定理，熟练掌握各定理并运用解答问题是解题的关键.24．（1）BC⊥CF，CF+CD=BC；（2）CF⊥BC，CF﹣CD=BC，证明详见解析；（3）494．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC；（3）先证明△BAD≌△CAF，进而得出△FCD是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF的长，再求出CD，BC即可解决问题．【详解】（1）如图1中，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°，∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ，∵BD +CD =BC ，∴CF +CD =BC ；故答案为：CF ⊥BC ，CF +CD =BC ．（2）结论：CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ．理由：如图2中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°+∠DAC ，∠CAF =90°+∠DAC ，∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°，∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ，∴BC +CD =CF ，∴CF ﹣CD =BC ；（3）如图3中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°﹣∠BAF ，∠CAF =90°﹣∠BAF ，∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴∠ACF =∠ABD ，BD =CF =5，∵∠ABC =45°，∴∠ABD =135°，∴∠ACF =∠ABD =135°，∴∠FCD =135°﹣45°=90°，∴△FCD 是直角三角形．∵OD =OF ，∴DF =2OC =13，∴Rt △CDF 中，CD 2222135DF CF -=-12，∴BC =DC ﹣BD =12﹣5=7，∴AB =AC =722， ∴S △ABC 1272492224=⨯=．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，判断出△BAD ≌△CAF 是解本题的关键．25．（1）见解析；（2）MON 为等腰直角三角形，见解析【分析】。

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