复变函数-前言
《复变函数》第1章
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
2
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4
复变函数技术范文
复变函数技术范文复变函数是数学中重要的分支之一，其应用广泛，包括物理学、工程学、计算机科学等领域。
它是对复数域中的函数进行研究，复数域由实数域和虚数单位$i$构成。
复变函数的基本概念是复数序列和幂级函数，它们具有许多特殊的性质和应用。
复变函数的一个重要应用是解析几何。
在解析几何中，平面上的点可以用复数表示，这样就可以将平面上的点和复平面上的点一一对应起来。
通过复变函数的研究，可以得到平面上的点之间的距离、角度和变换关系等重要几何性质。
例如，将平面上的点表示为复数$z=x+iy$，其中$x$和$y$分别表示实部和虚部，则两个点$z_1$和$z_2$之间的距离可以表示为$，z_1-z_2，$。
利用复变函数的性质，可以推导出两个点之间的距离公式，在实际应用中具有重要意义。
另一个重要应用是电路理论。
在电路理论中，复变函数被广泛应用于解决电路中的相位问题。
相位是电流和电压波形之间的时间差，可以用复数表示，即相角。
通过复变函数的理论分析，可以解决电路中的传输问题，优化电路性能，提高电路的稳定性。
例如，在信号处理领域，复变函数可以用于分析滤波器的频率响应和稳定性，从而提高信号的传输质量。
此外，复变函数在数值计算和数学建模中也有重要应用。
在数值计算中，复变函数可以用于对大量数据进行加权平均，从而得到较为准确的计算结果。
在数学建模中，复变函数可以用于解决复杂的动力学系统问题，从而得到系统的稳定性和动态行为。
例如，在流体力学领域，复变函数可以用于描述流体的输运过程和稳定性分析，从而提高流体力学系统的效率和稳定性。
总之，复变函数是数学中重要的分支之一，具有广泛的应用领域。
通过研究复变函数的性质和应用，可以解决实际问题，提高科学技术水平。
因此，深入研究复变函数的理论与应用是非常有意义的。
第一章 复变函数
积分与路径无关时
,
常取的路径为取的路 ( x0 , y 0 )出发，沿平行x轴 到 ( x, y 0 ),再由 ( x, y 0 )沿平行y轴平行y ( x, y )
v( x, y ) − v( xo , y 0 ) = ∫ P( x, y 0 )dx + ∫ Q(x, y )dy
x0 x y y0 x y
外点: 当z0及其邻域均不属于点集E时,则称z0 为点集E的外点. • 境界点: 当z0及其邻域有部分属于点集E,又有 另外一部分不属于点集E时,则称z0为点集E的境 界点. 境界点的全体称为境界线. • 需要注意的是点集E一般并不一定构成区域,只 有当点集E内的点连续变时才构成区域. 在复变函数范围内一般来说区域满足下列两条 件: • (1)全由内点组成; (2)具有连通性.
sinsincossinsincossin1icefcyevyedydyeydxedyyvdxxvdviceicyixeivufcyyxv常数ycxczxxxxzxx?????????????????????????出发????沿平行y轴平行yx??????????dyyxqdxyxpyxvyxvyxyx再由yx到沿平行x轴yx常取的路径为取的路yo????y?0?x?0000000??????1积分与路径无关时dyyxqdxyxpdv??????????cyecydyeyxvydyeydxedvcdyyxqdxyxpyxvxyo?xxxyy?0xx?0?????????coscoscossin03
(d)乘方 zn=ρne inφ , 需注意的问题是幅角具有多值性, 即复数z绕 原点转一圈又回该点,而幅角增加2π,同样转n圈时幅角增加2nπ,一 般我们把幅角在(-π,π)内的值称为幅角的主值,记argz . (e)开方
第一章 第三节、复变函数
2.单(多)值函数的定义: 如果z的一个值对应着一个w的值, 那末
我们称函数 f ( z )是单值的. 如果z的一个值对应着两个或两个以上
w的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是多值的.
3.定义域和值域:
集合E 称为 f ( z )的定义集合 (定义域) ; 对应于E中所有 z 的一切 w 值所成的集合F , 称为函数值集合.（值域）
例2：考虑映射 w = αz , 其中 α ≠ 0.
解：令 其中 α = Re , z = re , w = ρ e R, θ 0是α的模和辐角，，是z的模和辐角, rθ
iθ iϕ iθ 0
显然，这个映射可以看作 ρ , ϕ 是 w的模和辐角, 是下列函数或映射的复合函数或复合映射：
ω = e z = re , w = α z = Rre = Rω , 于是 w = w( ρ , ϕ ) = ( Rr ,θ + θ 0 ). 这表示一个
ρ = Rr , ϕ = θ + θ 0 .
o
例3：考虑函数 w = z .
显然，映射
w = z = x + iy = x − iy.
y z θ -θ x
w= z
是关于实轴的对称映射
o
z
解：令 z = re , w = ρ e
ϕ
1 例4：考虑映射 w = . z iθ iϕ
则
1 1 −θ 1 w = ρe = θ = e ， 于是，＝ , ϕ = −θ . ρ re r r 其中， =| w |, ϕ = Arg w, r =| z |, θ = Arg z. ρ
| f ( z ) − A |=| (u − a ) + i (v − b) | = (u − a ) + (v − b) <| u − a | + | v − b |< ε
第一章复变函数
一方面， − i = i ⋅ (−1) = i ⋅ (ijk) = (ii) ⋅ ( jk) = − jk, 我们有jk = i 另一方面， ijk = −1 = kk，因此ijkk = kkk = −k，
ii = jj = kk = ijk = −1 约去 −1得ij = k，然后ijj = kj，最后得到kj = −i
2
⎝2⎠ ⎝ 3⎠
即使三次方程的3个根都是实数，求解中也会出现复数。 4 许多结果为实数的表达式中必须出现复数。
例: sin10o有“解析表达式”吗？
由三倍角公式sin 3θ = 3sinθ − 4sin3 θ，可得 1 = 3sin10o − 4sin3 10o 2
令x = sin10o，得三次方程：x3 − 3 x + 1 = 0. 48
18
2/20/2012
常见的复变函数
多项式 a0 + a1z + a2 z2 + ... + an zn
有理分式 a0 + a1z + a2 z2 + ... + an z n
b0 + b1z + b2 z 2 + ... + bm z m
根式
a + bz
初等函数
exp(z) = exp(x + iy) = exp(x)(cos y + i sin y) sin z = 1 [exp(iz) − exp(−iz)]
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2/20/2012
解析函数简介
在复变函数论中主要研究对象是 “解析函数”。复变函数论中的许 多重要结果都要求解析函数的前 提。
解析函数对定义域和函数导数性 质都有要求，其中，定义域不能 是一般的“点集”，而要求为满足 一定条件的点集-- “区域”。而导 数性质方面，则需要满足所谓柯 西-黎曼关系。
复变函数_精品文档
复变函数1. 引言复变函数是复数域上的函数，即将一个或多个复数变量映射到另一个复数。
与实变函数不同的是，复变函数的定义域和值域都是复数集合。
在数学和物理学等领域中，复变函数是非常重要的工具，它们在多个学科中具有广泛的应用。
2. 复数与复变函数的定义复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为z = x + yi，其中x和y 分别为实部和虚部。
复数运算包括加法、减法、乘法和除法，并且复数满足交换律和结合律。
复变函数是将一个或多个复数变量映射到另一个复数的函数。
例如，f(z) = z^2 将复数 z 映射到它的平方。
复变函数可以写为 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中 u(x, y) 和 v(x, y) 分别是实部和虚部函数。
3. 复变函数的性质复变函数具有很多有趣的性质，其中一些是实变函数所不具备的。
以下是复变函数的一些重要性质：3.1 解析性如果复变函数在某个区域内连续，并且它在此区域的每个点都具有导数，那么它在这个区域内是解析的。
解析性是复变函数的重要特征，它使得我们可以使用复变函数进行微积分和解析几何的计算。
3.2 共轭函数对于复变函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其共轭函数定义为 f*(z) =u(x, y) - iv(x, y)。
共轭函数具有一些重要的性质，例如对任何复数z，有 f(z)f*(z) = |f(z)|^2。
3.3 解析函数的性质解析函数具有许多重要的性质，例如通过线积分得到的路径无关性。
这意味着，如果两条路径连接同样的起点和终点，并且它们都位于解析函数的定义域内，那么沿着这两条路径的线积分将得到相同的结果。
4. 复变函数的应用复变函数在数学和物理学中具有广泛的应用。
以下是复变函数的一些主要应用领域：4.1 全纯函数全纯函数是指在其定义域上处处解析的函数。
全纯函数是复变函数领域中的核心概念，它在复分析和几何学等领域中起着重要作用。
4.2 谐函数谐函数是具有某种特定性质的解析函数。
复变函数第一章第1讲
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
z1 z1 例4 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2
解
z1 5 5i (5 5i )( 3 4i ) z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i )
记为 z r x 2 y 2 .
显然下列各式成立
y y
r
o
2
Pz x iy
x z, z x y,
y z,
z z z z2 .
x
x
复变函数与积分变换
西安文理学院物电学院
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
3. 复数的辐角
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
计算共轭复数yi的积是一个实数两个共轭复数西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换的形式将下列复数表示为iy西安文理学院物电学院复变函数与积分变换20152015西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换叫虚轴或纵轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数表示面上的点可以用复平复数西安文理学院物电学院复变函数与积分变换的模或绝对值向量的长度称为z表示可以用复平面上的向量复数opiy西安文理学院物电学院复变函数与积分变换称为为终边的角的弧度数的向量以表示说明0有有无穷有无穷多是其中一个辐角如果特殊地的全部辐角为那么西安文理学院物电学院复变函数与积分变换辐角主值的定义
第一章第二节复变函数
根式： z a
可以证明：
cos(iy) = chy；i.shy = sh(iy)
❖ 几个初等函数的定义式
Sh or sinh: hyperbolic sine Ch or cosh: hyperbolic cosine
ez exiy ex cos y i sin y
sin z 1 eiz eiz 2i
cos z 1 eiz eiz 2
注意：
１、sinz 和cosz有实周期 2
２、sin z 和 cosz 完全可以大于１ (p8)
验 证
３、ez, shz, chz具有纯虚数周期 2i
４、lnz有无限多个值，因为Argz不能被唯一确定
５、负数的对数
5、区域：区域就是宗量z在复数平面上的取值范围，严 格地说，区域是指满足下列两个条件的点集：
(1) 全由内点组成;
(2) 具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折 线连接起来，且折线上的点全都属于该点集。
6、闭区域：
如静电场中的导体
单连通区域
单连通闭区域 复连通区域
区域常用不等式表示。例如，
z r 表示以原点为圆心，r为半径的圆内区域； 0 arg z 2 表示第一象限；
§1.2 复变函数
(一) 复变函数的定义 (二) 区域的概念 (三) 复变函数例 (四) 复变函数可以归结为一对二元实变函数。
(一) 复变函数的定义
若在复数平面(或球面)上存在一个点集E(复数的集合)， 对于E的每一个点(每一个z值)，按照一定的规律，有一 个或多个复数值w与之相对应，则称w为z的函数—复变 函数。z称为w的宗量，定义域为E，记作
sin z 1 eiz eiz , 2i
复变函数 第一章
复数 z x iy 可以用复平 面上的点( x , y ) 表示.
o
x
x
35
2. 复数的模(或绝对值)
复数 z x iy 可以用复平面上的向量 OP 表示,
向量的长度称为z 的模或绝对值,
记为 z r x y .
2 2
y y
显然下列各式成立
r
Pz x iy
x z, z x y,
2 2
(4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ).
以上各式证明略.
32
例2 将下列复数表示为x iy 的形式. 7 1 i i 1 i (1) ( 2) . ; 1 i i 1 i (1 i )2 (1 i )2 1 i i , 解 (1) 2 1 i (1 i )(1 i )
3．复数域还能扩张吗？
• 我们知道，应客观需要以及为了克服某 种运算在某一数系内不能畅通的矛盾， 人们在从自然数到复数的认识过程中共 经历了4次扩张：
17
扩张原则
• (1)扩张的目的：使在旧数系中不能总进 行的某种运算在扩张后的新数系中总能 进行。 • (2)扩张的范围：进行每一次扩张总是要 从一个较小的旧数系扩充到一个较大的 新数系，且使得旧数系是新数系的一部 分。
5
二．复数发展史
• 为了建立解析函数论的理论基础，由它 所研究的对象易知，我们应该首先讨论 复数与复变函数，显然应该首先关注复 数的有关问题。 • 复数理论的产生和发展经历了漫长而又 艰难的岁月。
பைடு நூலகம்
6
7
8
9
• 1777年，数学家欧拉系统地建立了复数 理论，发现了复指数函数和三角函数间 的关系，创立了复变函数论的一些基本 定理，他首创的用i作为虚数单位的符号 一直沿用到今天。
复变函数第一章
z z 2i Im(z) 2iy
z2 z2
(3)z z Re(z)2 Im(z)2 x2 y2
1z z | z |2
2020/12/16
张晓斌编辑(50页)
10
例1 : 设z1 5 5i, z2 3 4i, 求 z1 ,( z1 )及它们的实部 , 虚部 . z2 z2
解:
30
指数表示式为
z
5 i
4e 6
.
(2) z sin i cos
5
5
显然 r z 1,
sin
5
cos
2
5
cos
3 10
,
cos 5
sin
2
5
sin 3 , 10
故三角表示式为 z cos 3 i sin 3 ,
10
10
指数表示式为
z
3 i
e10
.
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5
5
(3)
z
(cos (cos
5 3
i i
sin sin
5 3
)2 )3
.
解 (1) r z 12 4 4, 因为 z 在第三象限,
所以
arctan
2 12
π
arctan
3 5 ,
3
6
故三角表示式为
z
4cos
5 6
i
sin
5 6
,
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张晓斌编辑(50页)
点的表示：z x iy 复平面上的点 P( x，y)
数z与点z同义.
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张晓斌编辑(50页)
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2. 向量表示法
复变函数教学教材
1
2
3
二、有关区域：
§1.2 复变函数
7、复连通区域
一个区域，如果不是单连通区域，就是复连通区域。
问：
1
1 z1i 3
2
表示什么图形？
三、极限、连续性：
§1.2 复变函数
1、定义：
wf(z)： 0 ， 0 ， 当 0z-z0时 有 f(z)-w 0 则 lz im z0f(z)w 0为 极 限
5、界点
若 z 0不属于区域 ,且没有一个邻域不含有
的点 ,则称 z 0为的界点.
边界:全体界点构成区域边界
• z1 • z2
边界正向：沿着边界走，区域总在左方，
• z3
则此走向称为边界的正方向。
闭区域: l, 其中 l为边界。
二、有关区域：
§1.2 复变函数
6、单连通区域：
若在区域内作任何简单的闭曲线，区域内的点 都是属于此区域的，则称该区域为单连通区域。
若 l z im z 0f( z ) f( z 0 ) ， 则 f( z ) 在 z 0 点 连 续
注意：
（1）实函数与复变函数定义的差异
（2）性质 具有与实函数相应的性质
内容小结
§1.2 复变函数
§1.1 复数及其运算 一、复数概念：
1. 定义 ；2. 性质
二、复数的表示：பைடு நூலகம்
1、几何表示： a.点；b.向量；c.极坐标；d.复球表示。
2、内点：
若z0总有一个 N(z邻 0,)全 域含于 • z1
点集 内，则 z0为称 的内点。
问： 1Ο求z+1=1的内点。 2
2Ο求 z+11的 内 点 。
• z2
• z3
[精品]复变函数论文
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浅谈复变函数本学期，我们学习了复变函数这门学科。
相对于事变函数领域来说，复变函数更加的具有多想逻辑思维性，在事变函数没有理解的概念，在复变函数中，我们可以换一种角度去理与思考。
尽管对复变函数的了解十分的浅薄，但是在网上查阅了大量的资料以及耐心的对其思考，对复数来说，我多少也有了一些深入浅出的理解，那么下面我就赖浅谈一下复变函数这门学问吧。
首先，复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。
而对于复变产生的意义，书中是这样给出的：由于解代数方程的需要，人们引出了复数。
复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n次多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。
复数的集合——复平面是一个二维平面，但却并非我们所在的三维世界中的任何一个二维平面。
可以说复平面在现实世界中完全找不到具体的一一对应，是一个纯粹缔造出来的二维平面。
而就在最近我弄清了两个概念：数学与科学。
结论为：数学不是科学。
数学不属于科学的范畴，是一种逻辑学，作为工具的学科；而科学则是理论的集合。
哪怕是假命题如地心说，也是科学。
而区别一个学科是否是科学的，则需要另一门学科作为其判定依据：证伪学。
最终令我信服秉洁说的一个理论是：可被证明或证伪的属于科学；而数学，是不可被证伪的。
这一定程度上说明了数学是一门形而上学的学科，甚至包括几何学在内。
而在数学当中，在我看来复数领域的形而上学兴则更加突出。
“虚数”是人类在发展数学上的解题技术时，以人为定义方式发明的一种虚拟的数，在现实生活中不存在，在实务的商用数学中也用不着。
“复数”可以解决一些物理数学上的问题，解题到最后经过转化所得到的实数解，才有物理上的意义，带有虚数的复数届时没有意义的。
至此，虚数在物理学中不存在的理论在我的认识中仍然是正确的。
可是经过几天在网上的查阅，直到我看到时间的空间矢量代数法则：“时间有空间的方向性，它能做矢量代数。
复变函数第四版(第一章)
练习 求
的所有根.
[解] 因为 z3 8 所以
z 3 8 23 1 23 cos i sin
2cos
2k
3
zi
3sin
8
2k
30
(k 0,1,2)
于是原方程的所有根为
z0
2(cos
3
i sin
)
3
1 i
x1 y1
t ( x2 t( y2
x1 ), y1 ).
( t )
因此, 它的复数形式的参数方程为
z=z1+t(z2z1). (<t<+)
由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成
z=z1+t(z2z1). (0t1)
}
例3 求下列方程所表示的曲线:
1) | z i | 2;
i(i) (1 i)(1 i)
22 22
所以
Re( z) 3 , Im( z) 1 , z z ( 3)2 ( 1 )2 5 .
2
2
2
22
练习 设
z 1 2i 1 i
, 求 Re( z), Im( z)与z.
答案：Re( z) 1 , Im( z) 3，z 1 3 i.
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)
z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
复变函数第一章张建国
π
2
， − z 相当于将 z 所对应的向
量沿逆时针方向旋转 π ； 当 arg z 2 = 0 时， 乘法就变成了仅仅是伸长 （缩 短） ． 公式（1.1.10）说明：两个复数的乘积的模等于它们的模的乘积； 两个复数商的模等于它们模的商． 公式（1.1.11）说明：两个复数乘积的辐角等于辐角的和；两个复 数商的辐角等于辐角的差．注意到由于辐角的多值性，上述关于辐角 的两个等式（1.1.11）应理解为对于左端的任一个值，右端必有一个值 和它相等，并且反过来也一样的． 作为乘积的特例，我们考虑非零复数 z 的正整数次幂 z ．它是 n 个相同因子的乘积，设 z = re
z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) = r1e iθ1 ， z 2 = r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r2 e iθ 2 ，
则乘积
z1 z 2 = r1 r2 [cos(θ1 + θ 2 ) + i sin(θ1 + θ 2 )] = r1 r2 e i (θ1 +θ 2 ) ，(1.1.8)
θ = Argz = arg z + 2kπ ,
k = 0， ± 1, ±2,
（1.1.6）
不难证明， Argz 的主值 arg z 用 Arc tan 示时有如下的关系：
y y 的主值 arctan 来表 x x
y arctan , x π ± , = arg z 2 y arctan ± π , x π,
z0 = e 3 , z1 = eπ i = −1, z2 = e 3 .
三、复数在几何上的应用 下面我们通过例子说明：怎样通过复数所适 合的方程（或不等式）来刻划适合某种几何条件的平面图形，从这些 例子中还可以看出有的平面曲线用复数形式的方程表示时更简明． 例 4 由复数与向量的对应关系， 建立连接复平面上 z1 及 z 2 两点的 线段方程与直线方程． 解 连接 z1 及 z 2 两点的
复变函数第一章
3、复数的模与辐角
模: 复数可以等同于平面中的向量(从原点到z=x+yi所 引向量oz). 向量的长度称为复数的模,定义为：
| z | x2 y2 0 即 | z |2 z z | z | 0 z 0
性质:
| z | Re z z ; | z | Im z z ;
F(1 (z z), 1 (z z)) 0
2
2i
三点z1, z2 , z3共线的充要条件是
z3 z1 t (t为非零实数) z2 z1
例11 试用复数表示圆的方程:
a(x2 y2 ) bx cy d 0
其中，a,b,c,d是实常数。
解：利用 zz x2 y2, z z 2x, z z 2yi
De Moivre公式
(cos i sin )n cos n i sin n
方根 非零复数z的n次方根,是指满足n z的
复数的全体,记为n z
设z rei , ei 则 nein rei
从而 n r, n 2k
从而 n r , 2k
1
bz a bz a
例6 设 z1 , z2是两个复数，求证：
| z1 z2 |2 | z1 |2 | z2 |2 2 Re(z1z2 ),
证明：| z1 z2 |2 （z1 z2）(z1 z2 ) （z1 z2）(z1 z2）
z1z1 z2z2 z1z2 z1z2
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
第01章 复变函数资料
《数学物理方法》（第四版）梁昆淼编刘法缪国庆修订物理科学与电子技术学院姜辉第一篇复变函数论第一章复变函数(6课时)基本要求：1．熟悉复数的基本概念和基本运算；2．了解复变函数的定义，连续性；3．了解多值函数的概念；4．掌握复变函数的求导方法及柯西-黎曼方程；5．了解解析函数的概念，熟悉一些简单的解析函数的表示式；6．了解从实变函数到复变函数的推广过程中的创新思想与方法。
教学内容：§1．1 复数与复数运算。
复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。
§1．2 复变函数。
复变函数的概念，开、闭区域，几种常见的复变函数，复变函数的连续性。
§1．3 导数。
导数，导数的运算，柯西-黎曼方程。
§1．4 解析函数。
解析函数的概念，正交曲线族，调和函数。
§1．5 平面标量场。
稳定场，标量场，复势。
本章重点：复变函数的运算，柯西-黎曼条件，解析函数习题：§l．1 §1．2 §1．4数学发展的历史告诉我们：虚数是在代数运算过程中开始出现的。
早在16世纪，对一元二次、一元三次代数方程求解时就引入了虚数的基本思想。
1545年，卡丹诺（GirolamoCardano，1501-1576，意大利数学家）在他的Ars Magna《大术》书中，给出了虚数的符号和运算法则，但同时也对这种运算的合法性表示怀疑。
卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识。
“虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛卡儿（Descartes）正式取定的。
“虚数”代表的意思是“虚假的数”，“实际不存在的数”，后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界之外。
由此给虚数披上了一层神秘的外衣。
进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称之为”幻想中的数”或”不可能的数”。
他在《对代数的完整性介绍》(1768－1769年在俄国出版，1770年在德国出版)一书中说：因为所有可以想象的数或者比零大，或者比零小，或者等于零，即为有序数。
第一章 复变函数
★当 z 为负实数时，因为 1 e i ，有
ln z ln( z ei 2ni ) ln z i(2n 1)
★所以，复数域，负实数的对数是存在的。 ★根式函数和对数函数可以构成许多初等复变函数！
★复数双曲、指数和对数函数的都是周期函数！ ★对数函数也是多值函数
——详细见§1.6 多值函数讨论；
ez2i eze2i ez[cos(2 ) i sin(2 )] ez
4、对数函数
ln z ln( z eiArg z ) ln z i A rg z
z x iy
z x2 y2 arctg( y x) Arg z Arg z a rg z 2k (k 0, 1, 2 )
1/n i(2 / n)
e 1/n i /n
例2： 3 8 8 e 1/3 i( 2k )/3
k 0 3 8 81/3 ei /3 1 i 3 k 1 3 8 81/3 ei 2 k 2 3 8 81/3 ei5 /3 1 i 3
★讨论与交流：为什么不取k =3了？
基本运算
★性质 z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
★交流与讨论：复数加减法的几何意义是什么？
2、复数的乘法
★代数 z1 z2 (x1 y1i)(x2 y2i)
形式
(x1x2 y1y2 ) i(x1y2 x2 y1)
z1 z2
e e i1
i 2
1
2
★指数
形式
ei(1 2 ) 12
k 0 k 1
n z e 1/ n i / n
z e n
1/ n i( 2 ) / n
k 2
z e n
1/ n i( 4 ) / n
k n
《复变函数》
《复变函数》
《复变函数》是数学中的一个重要分支，复变函数是指定义在
复数域上的函数。
本书主要介绍了复变函数的相关知识，包括复数
的基本性质、复变函数的导数、积分、级数等概念和理论，并以本
书为基础介绍了一些重要的应用，如共形映射、调和函数以及解析
函数等。
本书共分为七章，每章节内容均层层递进，由浅入深地介绍相
关知识。
其中第一章是关于复数的基本知识，通过介绍复数的定义、运算、共轭等概念，为后续章节的理解奠定了坚实的基础。
第二章
到第四章介绍了复变函数的导数、积分和级数等重要概念。
第五章
主要介绍了共形映射相关内容，包括复平面上的正则映射、里昂映射、Schwarz反射原理等。
第六章介绍了调和函数，内容包括基本
解法和调和函数在数学中的重要应用。
最后一章介绍了解析函数和
幂级数，包括解析函数的概念、Laurent级数、Taylor级数等内容。
总的来说，《复变函数》既有理论性的内容，又有一些真实世
界的应用，非常适合作为复变函数领域的入门教材。
读者通过研究
本书，不仅能够掌握复变函数相关的理论知识，还能够深入了解其
在实际问题中的应用。
同时，本书整体难度适中，对于初学者也不失为一本好书。
本书由中国科学院大学数学科学学院编写，编者融合了多年复变函数的教学和科研经验，可以作为复变函数领域的一本参考教辅书，也可以作为有相关基础的读者深入学习的参考资料。
第一章 复变函数微分学
复变函数复变函数是高等工科院校中许多专业重要的一门数学基础课。
其主要内容是讨论复数之间的相互依赖关系，主要研究对象是解析函数。
复变函数论又称复分析，是实变函数在复数域上的推广与发展。
它不仅在内容上与实变函数微积分有许多类似之处，而且在研究问题方面和逻辑结构方面也非常类似。
它的理论和方法在数学、物理等自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题等有力的工具。
复变函数理论的基础是19世纪由三位杰出的数学家Cauchy 、Weierstrass 和Ri emann 奠定的，到现在已经有一百多年的历史，是一门相当成熟的学科。
通常包含Cauchy 的积分理论、Weierstrass 的级数理论和Riemann 的几何理论这三部分内容。
它在数学的其他分支（如常微分方程、积分方程、概率论、解析数论、算子理论及多复变函数论等）中都有重要的应用，而且作为一种强有力的工具，还被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学、自动控制学、信号处理、电子工程等领域。
复变函数是我国数学工作者从事研究最早也最有成效的数学分支之一。
我国老一辈的数学家在单复变函数及多复变函数等方面做过重要工作，不少成果已达到当时的国际水平，著名数学家华罗庚、陈建功、张广厚、杨乐就是其中的杰出代表，在国际数学界也有着极大的影响。
第一章 复变函数微分复变函数研究的主要对象是在某种意义下可导的复变函数，通常称为解析函数。
为了建立这种解析函数的基本理论，在这一掌中，我们首先介绍复数、复数的运算与复变函数的概念；然后讨论复变函数的极限、连续、可导性与解析性；最后给出常见的初等解析函数的性质。
第一节 复数与复变函数1.1复数及其表示早在16世纪初期，数学家们在解二次方程：012=+x 时，发现不存在任何实数，其平方等于-1。
因此，就促使人们引入符号1-或i ，12-=i （但暂时还是形式上的），这是17到18世纪的数学家的想法，并把它带到计算中去，出乎意料地得到了很好的应用。
复变函数(序)
在学习《复变函数》的过程中，本门课程主要 分为两部分，一是复变函数，二是积分变换。学习 复变函数的目的就在于学会用留数法积分以及零、 极点展开（类似泰勒展开），学习积分变换的目的 在于用他来解微分方程（就本课程而言），在学习 中，循着这些目标，自然就不会觉得《复变》是玄 而又玄，空而又空的东西了。
积分变换的理论和方法不仅在某些数学分支 中，而且在其它自然科学和工程技术中都有着广 泛的应用。如在数学上用积分变换可以很容易的 解答一些微分方程和积分方程，还可以研究广义 积分等难以解决的问题；在无线电技术中，当我 们需要设计一个符合要求的放大器时，往往要利 用傅里叶变换对信号进行频谱分析；在控制理论 中，当我们需要进行系统分析时，可以通过拉普 拉斯变换来分析系统的传递特性等。因此，积分 变换已成为现代科学技术领域中不可缺少的运算 工具。
引 言
•16世纪中叶：意大利的卡丹诺（G.Cardano）在求 解三次代数方程时，最先引入：笛卡尔将 1 i 取名为“虚数”（即虚 假的数）区别于“实数”. •18世纪：许多数学家给出了复数的几何解释，将复 数与平面向量对应起来.
•公元1777年：瑞士数学家，欧拉（L.Euler）在总结 前人工作的基础上，系统的提出了复数理论，用 i作 为虚数单位记号，并发现了复指数函数与实三角函 数之间的关系. 给出了复变函数的一些定理. 随后经过许多数学家的工作，使复变函数理论日 趋完善，广泛应用在电磁学、理论力学、流体力学 等许多学科中，成为一个独立的数学分支. 复变函数的研究对象是复变量的复值函数.其中 许多概念、性质与微积分中相应内容在形式上几乎 完全一样，当然也存在着本质的差异。这就要求同 学们学习本门课时注意与已学过的微积分中内容作 联系和对比.
《复变函数与积分变换》是工科学生的一门必 修课，同其他数学课程一样，其学习也是为后续课 程打好数学的基础。 复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程 技术中有着广泛的应用，在流体力学、 电磁学、热 学、工程力学等领域中，都会遇到平面向量场的问 题，对于这类场，复变函数是解决这类问题的有力工 具，借助复变函数的理论和方法，可以较简捷、深 刻、完美地研究这类具体问题
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复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂 的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同 的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个 区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变 函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函 数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了 贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且 在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经 深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科， 对它们的发展很有影响。
学习要点
求同存异： 求同—寻求与数学分析 的相关结论相同的地方 存异—保存与数学分析 相异的地方—重点
主要参考书
《复变函数论》第三版 四川大学钟玉泉编， 高等教育出版社 《复变函教程》 北京大学方企勤编， 北京大学出版社 《复变函数》第四版 武汉大学余家荣编 高等教育出版社 《复变函数》第四版 西安交通大学高等数学教研室编，高等教育出版 社
复 变 函 数
主讲人 李海增
课程简介
复数的概念起源于求方程的根，在二次、三 次代数方程的求根中就出现了负数开平方的 情况。在很长时间里，人们对这类数不能理 解。但随着数学的发展，这类数的重要性就 日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其 中i是虚数单位。 以复数作为自变量的函数就叫做复变函数， 而与之相关的理论就是复变函数论。解析函 数是复变函数中一类具有解析性质的函数， 复变函数论主要就研究复数域上的解析函数， 因此通常也称复变函数论为解析函数论。
复变函数论的内容
复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理 论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的 内容。 如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个 唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数 多项式就是这样的函数。 复变函数也研究多值函数， 黎曼曲面理论是研究多 值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的 一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值 函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示 和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼 曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。
留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数 也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对 于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算 实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线 的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭 合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点 是极点的时候，计算更加简洁。 把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充， 以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析 函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几 何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基 本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函 数。
黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥 梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质 和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究 还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响， 逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。 复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的 内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通 过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导 数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是 共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映 象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电 场理论等方面都得到了广泛的应用。
复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧
拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导
出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗
贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到
了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它
们叫做“达朗贝尔-欧拉程”。到了十九世纪，
上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作 了更详细的研究，所以这两个方也被叫做“柯西 -黎曼条件”。
复变函数论的全面发展是在十九世纪，就 像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那 样，复变函数这新的分支统治了十九世纪的数 学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的 数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也 有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧 拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过 复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先 驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作 的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉 斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进 展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、 法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研 究工作开拓了复变函数论更广阔的研究领域， 为这门学科的发展做出了贡献
广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流 体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体 力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论 发展十分迅速。 从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了 它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个 重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展， 并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题 中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修 课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究 的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多 应用。