#黑龙江大庆铁人中学2011-2012学学年高一数学上学期期末考试

黑龙江铁人中学2011—2012学年度上学期期末测试
高一数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

测试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)
1．已知集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}，则A ∩∁N B ＝( ) A ．{1,5,7} B ．{3,5,7} C ．{1,3,9} D ．{1,2,3} 2．方程log 3x ＋x ＝3的解所在区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3，＋∞) 3．若0<x <y <1，则( )
A ．3y <3x
B ．log x 3<log y 3
C ．log 4x <log 4y D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭
⎪⎫14y
4．已知方程|x |－ax －1＝0仅有一个负根，则a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a ≤1 C ．a >1 D ．a ≥1 5.在同一坐标系内，函数1
1()2
,()2x x f x g x +-==的图象关于（ ）
A ．原点对称
B ．x 轴对称
C ．y 轴对称
D ．直线y =x 对称 6．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3
7．点C 在线段AB 上，且AC →
＝ 25
AB →
，若AC →＝λBC →
，则λ等于( ) A.23 B.32 C ．－23 D ．－32
8．要想得到函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，只须将y ＝cos x 的图象( )
A ．向右平移π3个单位
B ．向右平移5π
6个单位
C ．向左平移5π6个单位
D ．向左平移π
3个单位
9．△ABC 中，AB →·BC →<0，BC →·AC →
<0，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定
10．已知0＜α＜π2＜β＜π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－4
5，则sin β＝( )
A ．0
B ．0或2425 C.2425 D ．±24
25
11．若f (x )＝2tan x －2sin 2
x
2－1
sin x 2cos x 2
，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是( )
A ．－433
B ．－4 3
C ．4 3
D ．8
12．设函数f (x )＝2cos 2
x ＋3sin2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－4，那么
a 的值等于( )
A ．4
B ．－6
C ．－3
D ．－4
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．tan24°＋tan36°＋3tan24°tan 36°＝________. 14．已知函数2
()31
x
f x a =
++为奇函数，则a ＝________. 15．若向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π
3
，则|a ＋b |＝________.
16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2；
②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；
③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π24，13π24上单调递减；
其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)
（1）将形如⎪⎪⎪⎪a 11a 21 a 12a 22的符号称二阶行列式，现规定⎪⎪⎪
⎪a 11a 21 a 12
a 22＝a 11a 22－a 12a 21.
试计算二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪cos π
4
1
1 cos
π
3
的值；（5分）
（2）已知的值求ααααπtan 1cos 22sin ,214tan 2+--=⎪⎭
⎫
⎝⎛+。

（5分）
18．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |x 2
＜4}，B ＝{x |1＜
4
x ＋3
}． (1)求集合A ∩B ；
(2)若不等式2x 2
＋ax ＋b ＜0的解集为B ，求a ，b 的值．
19．(本题满分12分)若关于x 的方程x 2
＋2ax ＋2－a ＝0有两个不相等的实根，求分别满足下列条件的a 的取值范围． (1)方程两根都小于1；
(2)方程一根大于2，另一根小于2.
20．(本小题满分12分)设f (x )＝cos x
－x
，
（1）求f (x )＋f (60°－x )（2）求f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)的值 21．(本题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x ＋m )．
(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．
(2)当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，－4<f (x )<4恒成立，求实数m 的取值范围．
22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π
2.
(1)若cos π4cos φ－sin 3π
4
sin φ＝0，求φ的值；
(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π
3，求函数f (x )的
分析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．
参考答案
一、
选择题（本大题共12小题，每题5分，共计60分）
二、
填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）
14 -1 ； 16 ①②③.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分）
17．(本小题满分10分)
（1）将形如⎪⎪⎪⎪a 11a 21 a 12a 22的符号称二阶行列式，现规定⎪⎪⎪
⎪a 11a 21 a 12
a 22＝a 11a 22－a 12a 21.
试计算二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪cos π
4
1
1 cos
π
3
；
解：(1)由题中规定的运算法则得：
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪cos π
4 1
1 cos
π
3
＝cos π4cos π3－1＝2
4－1.............（5分）
（2）已知的值求
ααααπtan 1cos 22sin ,214tan 2+--=⎪⎭
⎫
⎝⎛+。

解：2
5
…………….（5分）
18．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |x 2
＜4}，B ＝{x |1＜
4
x ＋3
}． (1)求集合A ∩B ；
(2)若不等式2x 2
＋ax ＋b ＜0的解集为B ，求a ，b 的值．
解 (1)A ＝{x |x 2
＜4}＝{x |－2＜x ＜2}，
B ＝{x |1＜4x ＋3}＝{x |x －1
x ＋3
＜0}＝{x |－3＜x ＜1}，
A ∩
B ＝{x |－2＜x ＜1}．…………………………………………………………..（6分）
(2)因为2x 2
＋ax ＋b ＜0的解集为B ＝{x |－3＜x ＜1}，
所以－3和1为2x 2
＋ax ＋b ＝0的两根．
故⎩⎪⎨⎪⎧
－a
2＝－3＋1b 2＝－3×1
，所以a ＝4，b ＝－6. …………….（12分）
19．(本题满分12分)若关于x 的方程x 2
＋2ax ＋2－a ＝0有两个不相等的实根，求分别满足下列条件的a 的取值范围．
(1)方程两根都小于1；
(2)方程一根大于2，另一根小于2.
解:设f (x )＝x 2
＋2ax ＋2－a (1)∵两根都小于1，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝4a 2
－4(2－a )>0－2a <2f (1)＝3＋a >0
，解得a >1∴a ∈（1，﹢∞）. ……………………（6分）
(2)∵方程一根大于2，一根小于2，
∴f (2)<0 ∴a <－2. a ∈（－∞，-2） ……….（12分）
20．(本小题满分12分)设f (x )＝cos x
－x
，
（1）求f (x )＋f (60°－x )（2）求f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)的值
解：（1）f (x )＋f (60°－x )＝cos x
－x ＋－x x －＝cos x ＋－x
－x
＝
3
＋x
－x
＝3，………….（6分）
（2）f (x )＋f (60°－x )＝ 3 ∴f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝
[f (1°)＋f (59°)]＋[f (2°)＋f (58°)]＋…＋[f (29°)＋f (31°)]＋f (30°)＝
592
3.……….（12分）
21．(本题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x ＋m )．
(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．
(2)当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，－4<f (x )<4恒成立，求实数m 的取值范围．
解:(1)f (x )＝2cos 2
x ＋3sin2x ＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1. ∴函数f (x )最小正周期T ＝π，
在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6、⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π.……….（6分）
(2)∵当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f (x )递增，
∴当x ＝π
6
时，f (x )的最大值等于m ＋3.
当x ＝0时，f (x )的最小值等于m ＋2. 由题设知⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＋3<4
m ＋2>－4
解之得，－6<m <1. ∴m ∈（-6,1） ……….（12分）
22．(本题满分12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π
2.
(1)若cos π4cos φ－sin 3π
4
sin φ＝0，求φ的值；
(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π
3，求函数f (x )
的分析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．
解: (1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得cos π4cos φ－sin π
4sin φ＝0，
即cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫π4＋φ＝0. ……….（3分） 又|φ|<π2，∴φ＝π
4
；……….（6分）
(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4.依题意，T 2＝π3.
又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋π4………..（9分）
函数f (x )的图象向左平移m 个单位后，所得图象对应的函数为g (x )＝sin ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤3(x ＋m )＋π4，
g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π
4＝k π＋π2
(k ∈Z )，
即m ＝
k π
3＋π
12
(k ∈Z )． 从而，最小正实数m ＝π
12.……….（12分）。