3-正弦定理习题精选精讲

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《正弦定理》教案(含答案)

《正弦定理》教案（含答案）章节一：正弦定理的引入教学目标：1. 让学生理解正弦定理的概念和意义。

2. 让学生掌握正弦定理的数学表达式。

3. 让学生了解正弦定理的应用场景。

教学内容：1. 引入正弦定理的背景和意义。

2. 介绍正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

3. 解释正弦定理的证明过程。

教学活动：1. 通过实际例子引入正弦定理的概念。

2. 引导学生推导正弦定理的数学表达式。

3. 让学生进行小组讨论，探索正弦定理的应用场景。

练习题：1. 解释正弦定理的概念。

2. 给出一个三角形，让学生计算其各边的比例。

章节二：正弦定理的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在三角形中的应用。

2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。

教学内容：1. 介绍正弦定理在三角形中的应用方法。

2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。

教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在三角形中的应用方法。

2. 让学生进行小组讨论，探讨正弦定理在实际问题中的应用。

练习题：1. 使用正弦定理计算一个三角形的面积。

2. 给出一个实际问题，让学生应用正弦定理解决问题。

章节三：正弦定理的证明教学目标：1. 让学生理解正弦定理的证明过程。

2. 让学生掌握正弦定理的证明方法。

教学内容：1. 介绍正弦定理的证明过程。

2. 解释正弦定理的证明方法。

教学活动：1. 通过几何图形的分析，引导学生推导正弦定理的证明过程。

2. 让学生进行小组讨论，理解正弦定理的证明方法。

练习题：1. 解释正弦定理的证明过程。

2. 给出一个三角形，让学生使用正弦定理进行证明。

章节四：正弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在实际问题中的应用。

2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。

教学内容：1. 介绍正弦定理在实际问题中的应用方法。

2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。

教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在实际问题中的应用方法。

正弦定理练习题经典

正弦定理练习题经典正弦定理是解决三角形中的边和角之间关系的重要工具。

它可以帮助我们推导解决各种各样的三角形题目。

为了帮助大家更好地理解和应用正弦定理，下面将给出一些经典的练习题。

练习题一:已知一个三角形ABC，边a=5，边b=9，角C=35°，求边c的长度。

解析:根据正弦定理，我们可以得到以下等式：sinA/a = sinB/b = sinC/c我们已知角C=35°，边a=5，边b=9，将题目中的数值代入等式中，可得：sinA/5 = sinB/9 = sin35°/c由此，我们可以继续推导：sinA = (5/c) * sin35°sinB = (9/c) * sin35°接下来，我们可以利用已知三角函数值表，查找sin35°的近似值为0.574，将其带入以上等式：sinA = (5/c) * 0.574sinB = (9/c) * 0.574由此，我们可以进一步推导：5/c = sinB/0.5749/c = sinA/0.574换算一下：c = 5 / (sinB/0.574)c = 9 / (sinA/0.574)最后，我们可以计算出边c的长度：c = 5 / (sin35°/0.574) ≈ 9.41c = 9 / (sin35°/0.574) ≈ 16.28练习题二:已知一个三角形ABC，边a=7.5，边b=8，角A=48°，求角B的大小。

解析:同样根据正弦定理，我们可以得到以下等式：sinA/a = sinB/b = sinC/c已知边a=7.5，边b=8，角A=48°，将题目中的数值代入等式中，可得：sin48°/7.5 = sinB/8我们可以继续推导：sinB = (8/7.5) * sin48°利用已知三角函数值表，查找sin48°的近似值为0.743，将其带入以上等式：sinB = (8/7.5) * 0.743最后，我们可以计算角B的大小：B = arcsin[(8/7.5) * 0.743] ≈ 71.7°通过以上两个经典的练习题，我们可以看到正弦定理在解决三角形中的边和角之间关系时的应用。

正弦定理

第一章解三角形第一节正弦定理知识讲解考点1 利用正弦定理解三角形【例题精讲1】正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知a，b和A，求B时的解的情况:在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b例1 判断三角形解的个数 A 、7=a ，14=b ，︒=30A ； B 、25=b ，30=c ，︒=150C ； C 、4=b ，5=c ，︒=30B ； D 、6=a ，3=b ，︒=60B 。

【分析】【变式题组】1.在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定2. 在△ABC 中，6,30,;a b A B ===︒求3.在△ABC 中，2,60,;a b A B ===︒求4.在△ABC 中，已知a ＝x ，b ＝2，B ＝60°，如果△ABC 有两解，则x 的取值范围是( )A.x >2B.x <2C.2<x < 4√33D. 2<x ≤ 4√33【正解】例 1 (1) 1 (2)1 (3)2 (4)无解1.C2. 由正弦定理得sin sin 62A B b a =⨯== 又∵0°＜B ＜180°60120B ∴=︒︒或（经检验都符合题意） 3.由正弦定理得sin 1sin 2.2A B b a =⨯== 又∵0°＜B ＜180°30150B ∴=︒︒或∵b ＜a,根据三角形中大边对大角可知B ＜A ， 150B ∴=︒不符合条件，应舍去，30B ∴=︒。

4. 欲使△ABC 有两解，须a sin60°<b <a .即 2<x < 4√33。

正弦定理精讲--陪优

bBABD1、正弦定理（微课1）学习目标：能够利用直角三角形或圆推导一般三角形内的正弦定理。

引语：在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事，毛主席更是在1965年提出“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”宏伟畅想，如今我国载人航天和载人深潜均已实现。

地球到月球遥远的距离该如何测量呢？在数学发展史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动，解三角形的理论得到不断发展。

初中我们学习过，在任意三角形中有“大边对大角、小边对小角”的边角关系。

我们是否能得到任意三角形的边角之间的准确量化关系呢？为了研究一般的情况，可以考虑从特殊情形入手。

关注到在Rt ABC ∆中，90C ∠=。

根据正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，所以sin sin a b c A B==，又因为sin 1C =，所以sin sin sin a b cA B C==。

对于一般的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？（1）当ABC ∆是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD 根据正弦函数的定义sin CD a B =，sin CD b A =，所以sin sin a B b A =，得到sin sin a b A B =，同理sin sin b cB C=。

（2）当ABC ∆是钝角三角形时，90A ∠>，设边AB 上的高是CD ，根据正弦函数的定义sin CD a B =，sin()sin CD b A b A π=-=，所以sin sin a B b A =。

得到sin sin a bA B=，另可证sin sin b cB C=。

通过上述推导，得到结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b cA B C==，称为正弦定理。

上面我们通过分类的方法，推导了正弦定理。

有没有一个统一的证明方法呢？考虑ABC ∆的外接圆，过非直径端点（设为C ）作直径'CB ，则有'90CAB ∠=，设圆直径为2R ，故有2sin 'sin b bR B B==，同理可得2,2sin sin a cR R A C==，所以(2)sin sin sin a b c R A B C===。

正弦定理和余弦定理知识点讲解+例题讲解(含解析)

导数的概念及运算一、知识梳理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：4.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.5.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形.( ) 解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时，不可求三边.(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 不一定为锐角三角形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，由A ∈(0，π)，得A ＝2π3，即∠BAC ＝23π. 答案 C3.在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________. 解析由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案等腰三角形或直角三角形4.(2018·烟台质检)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( ) A.2B.1C. 3D.2解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝bsin π4，∴112＝b22，∴b ＝ 2.答案 D5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A.4 2B.30C.29D.25解析由题意得cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.答案 A6.(2019·荆州一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝22，cos A ＝34，sin B ＝2sin C ，则△ABC 的面积是________. 解析由sin B ＝2sin C ，cos A ＝34，A 为△ABC 一内角，可得b ＝2c ，sin A ＝1－cos 2A ＝74， ∴由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得8＝4c 2＋c 2－3c 2，解得c ＝2(舍负)，则b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×74＝7. 答案 7考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.(2)(2019·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 (a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则A ＝( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3(3)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. (2)∵(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，∴由正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝c (c －b )，即b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3)因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝12ab sin C ，所以tan C ＝1.又C ∈(0，π)，故C ＝π4. 答案 (1)75° (2)B (3)C【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12B.π6C.π4D.π3(2)(2019·北京海淀区二模)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos 2A ＋B2－cos 2C ＝1，4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D.6(3)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定解析 (1)由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin 3π4＝2sin C ，则sin C ＝12，又C ∈(0，π)，得C ＝π6.(2)由2cos 2A ＋B 2－cos 2C ＝1，可得2cos 2A ＋B 2－1－cos 2C ＝0，则有cos 2C ＋cos C ＝0，即2cos 2C ＋cos C －1＝0，解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍)，由4sin B ＝3sin A ，得4b ＝3a ，① 又a －b ＝1，②联立①，②得a ＝4，b ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋9－12＝13，则c ＝13.(3)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个. 答案 (1)B (2)A (3)B 考点二判断三角形的形状【例2】 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析(1)由cb<cos A，得sin Csin B<cos A，又B∈(0，π)，所以sin B>0，所以sin C<sin B cos A，即sin(A＋B)<sin B cos A，所以sin A cos B<0，因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形.答案(1)A(2)B【训练2】若将本例(2)中条件变为“c－a cos B＝(2a－b)cos A”，判断△ABC的形状.解∵c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，∴sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，∴cos A(sin B－sin A)＝0，∴cos A＝0或sin B＝sin A，∴A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC为等腰或直角三角形.考点三和三角形面积、周长有关的问题角度1 与三角形面积有关的问题【例3－1】 (2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 解 (1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0，得tan A ＝－3，又0<A <π，所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3.即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3. 角度2 与三角形周长有关的问题【例3－2】 (2018·上海嘉定区模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________. 解析由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，则(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(当且仅当b＝c＝4时等号成立)，∴△ABC周长＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，即最大值为12.答案12【训练3】(2019·潍坊一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋b cos A＝0.(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋23，求△ABC的面积.解(1)由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin B cos A＝0，(sin A cos B＋sin B cos A)＋2sin C cos B＝0，sin(A＋B)＋2sin C cos B＝0，又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，∴cos B＝－12，∵0<B<π，∴B＝23π.(2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2ac cos B.∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9.∵a＋b＋c＝3＋23，b＝3，∴a＋c＝23，∴ac＝3，∴S△ABC ＝12a a c sin B＝12×3×32＝334.三、课后练习1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝223，b cos A＋a cosB＝2，则△ABC的外接圆面积为()A.4πB.8πC.9πD.36π解析由题意及正弦定理得2R sin B cos A＋2R sin A cos B＝2R sin(A＋B)＝2(R为△ABC的外接圆半径).即2R sin C＝2.又cos C＝223及C∈(0，π)，知sin C＝13.∴2R＝2sin C＝6，R＝3.故△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝9π. 答案 C2.(2019·武汉模拟)在△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( ) A.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3 B.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3 C.23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3D.23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3解析设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin 2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A .于是△ABC 的周长为23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3. 答案 C3.(2019·长春一模)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ，且a ＝23，则△ABC 面积的最大值为________. 解析因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ，所以12b cos A －sin C cos A ＝sin A cosC ，所以12b cos A ＝sin(A ＋C )，所以12b cos A ＝sin B ，所以cos A 2＝sin Bb ，又sin B b ＝sin A a ，a ＝23，所以cos A 2＝sin A 23，得tan A ＝3，又A ∈(0，π)，则A ＝π3，由余弦定理得(23)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时取等号)，从而△ABC 面积的最大值为12×12×32＝3 3. 答案 334.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值.解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a <c ，故cos A ＝27. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437， cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.5.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为________. 解析根据正弦定理及a 2sin C ＝4sin A ，可得ac ＝4，由(a ＋c )2＝12＋b 2，可得a 2＋c 2－b 2＝4，所以S △ABC ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222＝14×（16－4）＝ 3. 答案3。

正弦定理练习题及答案解析

1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则( )A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135°C ．B ＝45°D ．以上答案都不对解析：选 B ＝22，∵a ＞b ，∴B ＝45°. 2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．2解析：选D.由正弦定理6sin 120°＝2sin C ?sin C ＝12，于是C ＝30°?A ＝30°?a ＝c ＝ 2.3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝__________. 解析：在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°， ∴A 为锐角，sin A ＝110，BC ＝1，则根据正弦定理知AB ＝BC ·sin C sin A ＝102. 答案：1024．已知△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，交对边BC 于D ，求证：BD DC ＝AB AC. 证明：如图所示，设∠ADB ＝θ，则∠ADC ＝π－θ.在△ABD 中，由正弦定理得：BD sin A 2＝AB sin θ，即BD AB ＝sin A 2sin θ；① 在△ACD 中，CD sin A 2＝AC sin ?π－θ?， ∴CD AC ＝sin A 2sin θ.② 由①②得BD AB ＝CD AC， ∴BD DC ＝AB AC. 一、选择题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B 的值是( )解析：选A.根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53. 2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c，则C 的值为( ) A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B.∵sin A a ＝cos C c ，∴sin A cos C ＝a c，又由正弦定理a c ＝sin A sin C. ∴cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.3．(2010年高考湖北卷)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223C ．－63解析：选D.由正弦定理得15sin 60°＝10sin B， ∴sin B ＝10·sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a ＞b ，A ＝60°，∴B 为锐角．∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－?33?2＝63. 4．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B.由题意有a sin A ＝b ＝b sin B ，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ．1 B ．2－1解析：选B.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sin π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°. 由a ＞b ，得A ＞B ，∴B ＝30°.故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.6．(2011年天津质检)在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解解析：选B.因c sin A ＝23＜4，且a ＝c ，故有唯一解．二、填空题7．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________.解析：AB ＝sin C sin ABC ＝2BC ＝2 5. 答案：2 58．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________.解析：A ＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3.答案：1∶1∶ 39．(2010年高考北京卷)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________. 解析：由正弦定理，有3sin 2π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12.∵∠C 为钝角， ∴∠B 必为锐角，∴∠B ＝π6，∴∠A ＝π6. ∴a ＝b ＝1.答案：1三、解答题10．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，且a ＋b ＋c ＝30，求a .解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a 2R ∶b 2R ∶c 2R＝a ∶b ∶c ， ∴a ∶b ∶c ＝4∶5∶6.∴a ＝30×415＝8. 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，b ＝2，B ＝120°，解此三角形．解：法一：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝5×322＝534＞1.所以A 不存在，即此三角形无解．法二：因为a ＝5，b ＝2，B ＝120°，所以A ＞B ＝120°.所以A ＋B ＞240°，这与A ＋B ＋C ＝180°矛盾．所以此三角形无解．法三：因为a ＝5，b ＝2，B ＝120°，所以a sin B ＝5sin 120°＝532，所以b ＜a sin B ．又因为若三角形存在，则b sin A ＝a sin B ，得b ＞a sin B ，所以此三角形无解．12．在△ABC 中，a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，判断△ABC 的形状．解：法一：∵a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )， ∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b 2R， ∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．法二：∵a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )， ∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ，∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去)故△ABC 为等腰三角形．。

正弦定理练习题

正弦定理练习题正弦定理练习题正弦定理是解决三角形问题中常用的重要定理之一。

它描述了三角形中边长和角度之间的关系，能够帮助我们求解未知的边长或角度。

在这篇文章中，我们将通过一些练习题来巩固对正弦定理的理解和应用。

练习题一：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。

如果我们知道边长a和角度B，如何求解边长b呢？解答：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC由已知条件可知，边长a和角度B已知，因此可以得到：a/sinA = b/sinB通过交叉相乘，我们可以得到：b = a*sinB/sinA练习题二：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。

如果我们知道边长a和b，如何求解角度C呢？解答：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC由已知条件可知，边长a和b已知，因此可以得到：a/sinA = b/sinB通过交叉相乘，我们可以得到：a*sinB = b*sinA通过移项，我们可以得到：sinC = sin(A+B) = sin(180°-C)由此可得：C = 180° - (A+B)练习题三：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。

如果我们知道边长a、b和角度A，如何求解角度C呢？解答：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC由已知条件可知，边长a、b和角度A已知，因此可以得到：a/sinA = b/sinB通过交叉相乘，我们可以得到：a*sinB = b*sinA通过移项，我们可以得到：sinC = sin(180°-A-B) = sin(A+B)由此可得：C = A + B通过以上的练习题，我们可以看到正弦定理在解决三角形问题中的重要性。

它不仅可以帮助我们求解未知的边长或角度，还能够帮助我们理解三角形的性质和关系。

正弦定理、余弦定理精讲精析(解析版)

正弦定理、余弦定理精讲精析点点突破热门考点01 正弦定理正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B【典例1】（2019·全国高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】34π. 【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ．【典例2】（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C =；（2）2tan 11DAC ∠=.【解析】（1）由余弦定理得22222cos 9223252b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以5b =. 由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =-=. 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅325452555⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【总结提升】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解热门考点02 余弦定理余弦定理：2222cos a b c ab C +-= ， 2222cos b c a ac A +-= ， 2222cos c a b ac B +-=.变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 22ab【典例3】（2020·全国高考真题（理））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，3AB AD ==，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14- 【解析】AB AC ⊥，3AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD =BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 【典例4】（2019·北京高考真题（文））在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B +C ）的值．【答案】（Ⅰ）7,5b c ==；. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==-，因为3a =，所以22390c b c -++=；因为2b c -=，所以解得75b c =⎧⎨=⎩.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3,7,5a b c ===，所以22213cos 214b c a A bc +-==；因为A 为ABC ∆的内角，所以sin A ==.因为sin()sin()sin B C A A +=π-==. 【总结提升】应用余弦定理解答两类问题：热门考点03正弦定理与余弦定理的综合运用【典例5】（2020·北京高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .【解析】选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【典例6】（2019·全国高考真题（理））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22-=-．(sin sin)sin sin sinB C A B C（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C =. 【解析】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈3Aπ（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 0B C A C ==>所以sin C >，故sin C =（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin 63cos C C -=，即3sin 3cos 23sin 66C C C π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭2sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+ 62sin sin()46C ππ+=+=. 【总结提升】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．热门考点04 应用正弦定理、余弦定理判定三角形形状【典例7】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D 【解析】因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ，所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝2π或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形．【规律方法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范对三角函数值的限制．热门考点05 与三角形面积有关的问题【典例8】（2018·全国高考真题（文））△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．. 【解析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=，结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===.【典例9】（2017·上海高考真题）已知函数()221cos sin 2f x x x =-+，()0,x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）[,)2ππ;（2 【解析】（1）函数2211()cos sin cos 2,(0,)22f x x x x x π=-+=+∈ 由222,k x k k Z πππ-≤≤∈，解得,2k x k k Z πππ-≤≤∈1k =时，12x ππ≤≤，可得()f x 的增区间为[,)2ππ（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边b=5，若()0f A =，即有1cos 202A += 解得223A π=，即3A π= 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bc cos A ，化为c 2﹣5c +6=0，解得c =2或3，若c =2，则cos 0B =<即有B 为钝角，c =2不成立，则c =3，△ABC 的面积为11sin 532224S bc A ==⨯⨯⨯=【总结提升】1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．热门考点06 与三角形周长有关的问题【典例10】（2017课标1，理17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】【解析】【典例11】（2019·江西洪都中学高二月考（理））在ABC △中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且cos 4c A =，sin 5a C =．（1）求边长c ；（2）若ABC △的面积20S =．求ABC △的周长．【答案】（141（2）8241+【解析】（1）由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C===，可得sin sin a C c A =，因为sin 5a C =，可得sin 5c A =，所以5sin A c=，又由cos 4c A =，可得4cos A c=，又因为22222516sin cos 1A A c c+=+=，解得c = （2）由题意，ABC ∆的面积1sin 202S ab C ==，sin 5a C =，解得8b =，由余弦定理，可得2222cos 64412841a b c bc A =+-=+-=，解得a =，所以ABC ∆的周长88L a b c =++=+=+【总结提升】应用正弦定理、余弦定理，建立边长的方程，是解答此类问题的基本方法，解答过程中，要注意整体代换思想的应用，如果遇到确定最值问题，往往要结合均值定理求解.热门考点07 三角形中的最值与范围问题【典例12】（2018·江苏高考真题）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9 【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例13】（2020·全国高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴周长的最大值为3+【典例14】（2019·全国高考真题（文））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2). 【解析】 (1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=. 0<B <π，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B =π，所以3B π=. (2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<，故82ABCS <<. 故ABCS的取值范围是【总结提升】三角形中的最值范围问题，往往有三种情况，一是转化成三角函数的值域问题，利用三角函数的图象和性质；二是利用基本不等式求最值，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误；三是利用函数的单调性.热门考点08 应用正弦定理、余弦定理解决实际问题【典例15】（2019·上海市金山中学高一月考）如图，在笔直的海岸线l 上有两个观测点A 和B ，点A 在点B 的正西方向，2AB km =．若从点A 测得船C 在北偏东60°的方向，从点B 测得船C 在北偏东45°的方向，则船C 离海岸线l 的距离为______km ．（结果保留根号）【答案】13+ 【解析】如图所示，过点C 作CD AB ⊥，交AB 的延长线与点D ，设CD x =，45CBD BCD ∴∠=∠=，设BD CD x ==，又2AB =，2AD AB BD x ∴=+=+，30,tan CDCAD CAD AD︒∠=∠=， 323x x ∴=+，解得：13x =+所以船C 离海岸线l 的距离为(13)km ，故答案为：13+【典例16】（2018届山东、湖北部分重点中学高考冲刺（二））我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为__________步.（参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”）【答案】1255步【解析】如图所示，设岛高步，与前标杆相距步，由相似三角形的性质有，解得：，则海岛高度为1255步.【典例17】（2019·海南高一期中）在海岸A 处发现北偏东45︒方向，距A 处()31-海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75︒方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.【答案】缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟. 【解析】如图，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获走私船（在D 点），则3CD t =海里，10BD t =海里，在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅))2212212cos1206=+-⋅⋅⋅︒=，解得=BC 又sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，sin sin2AC BAC ABC BC ⋅∠∴∠===45ABC ∴∠=︒，故B 点在C 点的正东方向上，9030120CBD ∴∠=︒+︒=︒，在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，sin sin BD CBDBCD CD⋅∠∴∠=12==. 30BCD ∴∠=︒，∴缉私船沿北偏东60︒的方向行驶.又在BCD ∆中，120CBD ∠=︒，30BCD ∠=︒，30D ∴∠=︒，BD BC ∴=，即10t =解得t =15≈分钟. ∴缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.【总结提升】1.测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有：（1）两点都不可到达；（2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达. 2. 求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 3. （1）测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．（2）解决角度问题的注意事项①测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． ②求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．③在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．巩固提升1．（2020·全国高考真题（文））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===故选：C2．（2020·全国高考真题（理））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（） A ．19B ．13C ．12 D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.3. （2019·上海市金山中学高一月考）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B 【解析】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件故选：B4．（2016·全国高考真题（文））△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b=（） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.5．（2018·全国高考真题（理））在ABC ∆中，cos 2C =，则AB=（）A ．BCD ．【答案】A 【解析】因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-所以22232cos 125215()325c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴= A.6．（2012·陕西高考真题（理））在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（）A B C ．12D ．12-【答案】C 【解析】2221()2c a b =+，由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”，cos C ∴的最小值为12，选C.7．（2019·吴起高级中学高二期中（文））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a,b,c ，60B =，b =则ABC ∆外接圆的面积是（） A ．2π B ．πC ．34πD ．2π 【答案】B 【解析】设ABC △外接圆的半径r ，则22sin sin 60b r B ===，解得1r =， ∴ABC △外接圆的面积21ππ=⨯=，8．（2019·榆林市第二中学高二期中（文））在ΔABC 中，4a =，5b =，A =45°，则此三角形解的情况是( ) A ．两解 B ．一解C ．一解或两解D ．无解【答案】A 【解析】因为4a =，5b =，A =45°,所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,所以290c -+=,解得2c =或2c =, 所以此三角形解有两解. 故选:A .9．（2019·榆林市第二中学高二期中（文））已知△ABC 中，sin sin sin c b Ac a C B-=-+，则B =( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】C 【解析】因为sin sin sin c b Ac a C B -=-+,利用正弦定理角化边得c b a c a c b-=-+,所以()()()c b c b a c a -+=-, 所以222c b ac a -=-, 所以222a c b ac +-=,所以222122a cb ac +-=,根据余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==,因为0B π<<,所以3B π=.10．（2019·陕西高三（理））在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos cos sin A B Ca b c+=，若22285b c a bc +-=，则tan B 的值为（） A ．13- B ．13C ．3-D ．3【答案】C 【解析】ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，由cos cos sin A B C a b c +=，得：cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C +==，故111tan tan A B+=，若22285b c a bc +-=，则222425b c a bc +-=，即4cos 5A =．3sin 5A ∴=，故3tan 4A =，代入111tan tan A B+=，解得tan 3B =-．故选：C ．11．（2019·四川高三月考（理））已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-，若ABC △的面积为ABC △的周长的最小值为（）A ．B ．3+C ．D ．3+【答案】C 【解析】()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-,∴222a ab c b -=-,∴222a b c ab +-=,∴222cos 122a b c C ab +-==,∴3C π=, 1sin2S ab C ==∴12ab =,222212c a b ab ab ab =+-≥-=（当且仅当c =时取等号）,∴c ≥∴222()3()36c a b ab a b =+-=+-,∴a b +=，∴a b c c ++=设()f c c =()f c 单调递增,c ≥,∴a b c ++≥=故选：C.12．（2019·全国高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 13.（2018·全国高考真题（文））ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C 【解析】由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.14.（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.15．（2019·江苏高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）3c =；（2）25. 【解析】（1）因为23,2,cos 3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)3c c +-=，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b=，由正弦定理sin sin a b A B=，得cos sin 2B Bb b =，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16．（2020·山东海南省高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【解析】解法一：由可得：，不妨设，则：，即.选择条件①的解析：据此可得：，，此时.选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：.选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴, 若选①，,∵,∴,∴c=1; 若选②，,则,;若选③,与条件矛盾.。

第04讲正弦定理和余弦定理 (精讲)(学生版)

第04讲正弦定理和余弦定理 (精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：利用正、余弦定理解三角形角度1：三角形个数问题角度2：利用正弦定理解三角形角度3：利用余弦定理解三角形角度4：正余弦定理综合应用高频考点二：判断三角形的形状高频考点三：三角形面积相关问题角度1：求三角形面积角度2：根据面积求参数角度3：三角形面积的最值第四部分：高考真题感悟1、正弦定理1.1正弦定理的描述①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.②符号语言：在ABC ∆中，若角A 、B 及C 所对边的边长分别为a ，b 及c ，则有sin sin sin a b cA B C==1.2正弦定理的推广及常用变形公式在ABC ∆中，若角A 、B 及C 所对边的边长分别为a ，b 及c ，其外接圆半径为R ，则 ①2sin sin sin a b cR A B C=== ②sin sin a B b A =；sin sin b C c B =；sin sin a C c A =； ③sin :sin :sin ::A B C a b c = ④2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b c a b a c b cR A B C A B C A B A C B C+++++=======+++++ ⑤2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =（可实现边到角的转化） ⑥sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=（可实现角到边的转化） 2、余弦定理2.1余弦定理的描述①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在ABC ∆中，内角,,A B C ，所对的边分别是,,a b c ,则：2222cos a b c bc A =+-； 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-2.2余弦定理的推论222cos 2b c a A bc +-=； 222cos 2a c b B ac +-=； 222cos 2a b c C ab+-=3、三角形常用面积公式①12S =⨯⨯底高； ②111=sin sin sin 222S ab C ac B bc A ==； ③1()2S a b c r =++（其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，r 是三角形ABC 的内切圆半径）； ④4abcS R=(其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，R 是三角形ABC 的外接圆半径). 4、常用结论在三角形中的三角函数关系①sin()sin A B C += ②cos()cos A B C +=- ③tan()tan A B C +=- ④sin()cos 22A B C+= ⑤cos()sin 22A B C+= ⑥若sin sin A B A B =⇔=⑦若sin 2sin 2A B =⇔A B =或2A B π+=一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）在ABC 中，若sin sin A B>，则A B > ( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）在ABC 中，若()()()a c a c b b c +-=+，则60A ∠=( ) 二、单选题3．（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）若在,2cos ABC a B c ⋅=△中，则三角形的形状一定是（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4．（2022·天津市微山路中学高一阶段练习）在ABC 中，a =1b =，60A =︒，则B =（） A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°高频考点一：利用正、余弦定理解三角形角度1：三角形个数问题例题1．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（理））已知△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，“满足2b =，6A π=的ABC 有两个”的必要不充分条件是（） A ．1a > B ．12a << C ．2a > D ．01a <<例题2．（2022·河南宋基信阳实验中学高一阶段练习）下列条件判断三角形解的情况，正确的的个数是（）． ①8a =，16b =，30A =︒，有两解； ②18b =，20c =，60B =︒，有一解； ③15a =，2b =，90A =︒，无解； ④40a =，30b =，120A =︒，有一解．A ．1B ．2C ．3D ．4例题3．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）在ABC ∆中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A ．a =8b =，60A =︒B ．5a =，6b =，120A =︒C ．3a =，4b =，45A =︒D ．4a =，3b =，60A =︒题型归类练1．（2022·山西运城·高一期中）在ABC 中，2AB =，60A =︒，BC m =，若满足条件的三角形有两个，则m 的取值范围为（）A ．12m <<B ．2m <C 2m <<D ．m >2．（2022·重庆一中高一阶段练习）若满足,6,4ABC AC BC k π∠===的ABC 恰有一个，则实数k 的取值范围是（）A ．(]0,6B ．(]{}0,662C ．{D ．(3．（2022·山东省实验中学高一期中）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，30C =，10c =.如果ABC 有两解，则a 的取值范围是（）A ．[]10,20B ．⎡⎣C ．(D ．()10,20角度2：利用正弦定理解三角形例题1．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）在ABC 中，15,10,60BC AC A ===，则cos B =（）A ．BC ．D 例题2．（2022·湖北·华中师大一附中高一期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中2a =，b =，若满足条件的三角形有且只有两个，则角A 的取值范围为（） A ．π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3π,2π4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π0,,2π44⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例题3．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）ABC 中，3A π=，4B π=，BC =ABC 的周长是______．例题4．（2022·河南新乡·高一期中）一艘轮船从A 地开往北偏西30方向上的B 地执行任务，完成任务后开往北偏东45︒方向上的C 地，轮船总共航行了966km ，若C 地在A 地北偏东15︒的方向上，则A ，B 两地相距约为___________km . 1.414）题型归类练1．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin C =2c =,3b =，则cos B 的值为（）A ．BC ．D ．2．（2022·重庆·高一阶段练习）在ABC 中，3cos 5A =-，a =5b =，则B 为（）A ．π4B ．π3C ．π4或34πD ．π3或2π33．（2022·浙江杭州·高一期中）设ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足π3A =，5π12B =，2c =，则=a （）A 1B 1C D 4．（2022·江苏·吴江汾湖高级中学高一期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1,2,60==∠︒=b c C ．若D 是边BC 上一点且B DAC ∠=∠，则AD =（）ABC D5．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中34C π=，c =且1sin sin 8A B =，则ABC 的面积为___________.6．（2022·重庆·高一阶段练习）已知轮船A 和轮船B 同时从C 岛出发，A 船沿北偏东30的方向航行，B 船沿正北方向航行（如图）．若A 船的航行速度为nmile /h ，1h 后，B 船测得A 船位于B 船的北偏东45︒的方向上，则此时A ，B 两船相距____________nmile .角度3：利用余弦定理解三角形例题1．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 4C =，4a =，8b =，则ABC 的周长为（）A ．9B ．10C ．20D ．24例题2．（2022·河北·高一期中）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin cos 1B C B C A +-+=，则A =（）． A ．π6B ．5π6 C ．π3D ．2π3例题3．（2022·四川·成都七中高一期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a A b B c b C =+-，AD 是ABC ∆的角平分线，D 在BC 边上，AD =3b c =，则a 的值为（）A B C D 例题4．（2022·吉林毓文中学高一期中）在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =，60BDA ∠=，120BCD ∠=，则BC 的长为______．题型归类练1．（2022·全国·高一单元测试）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅=，则c 的最小值为（）A ．2B ．4CD ．172．（2022·江苏常州·高一期中）ABC 中，2AB =，3BC =，4AC =，D 为AC 的中点，则BD 长为（）A B ．52C D3．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）已知ABC 中，4AB =，1AC =，BC =ABC 的面积是（）AB ．C ．6D ．4．（2022·湖北·高一阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c （a cos B －b cos A ）＝16，a －b ＝2，∠C ＝60，则c 的值等于___．5．（2022·广东·广州市为明学校高一期中）如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C ，D 两观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45,30︒︒．在水平面上测得120BCD ∠=︒，C ，D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是_______m ．6．（2022·安徽·高一期中）在某个位置测得一旗杆的仰角为θ，对着旗杆在平行地面上前进60米后测得旗杆仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进4倍，则该旗杆的高度为______米．角度4：正余弦定理综合应用例题1．（2022·山西·高一阶段练习）在ABC 中，已知cos A =1tan 2B =，若ABC ，则其最长边长为（）AB C D ．例题2．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））已知在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且60A =，4BC =，则ABC ∆的周长的取值范围为（）A ．(4,12⎤⎦B ．(]8,12C ．)4,12⎡⎣D ．(]10,12例题3．（2022·山东菏泽·高一期中）在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则sin B =（）A ．19B C ．1 D ．3例题4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足222533a b c +=，则sin A 的最大值是__________.例题5．（2022·山东·临沭县教育和体育局高一期中）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S =根据此公式，若()cos 2cos 0a B b c A +-=，且2224b c a ，则ABC 的面积为______.题型归类练1．（2022·江苏·高一课时练习）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于（）A ．)2401mB ．)1801mC ．)1201mD ．)301m2．（2022·天津河北·高一期中）在 ABC 中，120B ∠=，AB =∠A 的角平分线AD |AC |＝（）A．2B ．3C D3．（2022·四川绵阳·高一期中）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC )222a b c +-，则角C ＝（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 4．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园,C D 两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km 的,A B 两点，点B 在点A 的正东方向上，且,,,A B C D 四点在同一水平面上．从点A 处观测得点C 在它的东北方向上，点D 在它的西北方向上；从点B 处观测得点C 在它的北偏东15︒方向上，点D 在它的北偏西75方向上，则,C D 之间的距离为______km.5．（2022·江西萍乡·三模（理））已知,,a b c 分别为锐角ABC 的内角,,A B C 的对边，若in 2s c a A =，则ABC 面积的最大值为_________．高频考点二：判断三角形的形状例题1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）在ABC 中，已知()sin 2sin cos C B C B =+，那么ABC 一定是（）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形例题2．（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）若在,2cos ABC a B c ⋅=△中，则三角形的形状一定是（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形例题3．（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，则（）A ．能制作一个锐角三角形B ．能制作一个直角三角形C ．能制作一个钝角三角形D ．不能制作这样的三角形题型归类练1．（2022·全国·高一单元测试）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a bA B=，222c a b ab =+-，则ABC ∆是（） A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2．（2022·江苏南通·高一期中）在ABC 中，若22cos a b c B -=，cos cos 1A B +=，则ABC 一定是（） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．无法确定3．（2022·天津市第二十一中学高一期中）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则△ABC 的形状是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形4．（2022·安徽·安庆一中高一期中）已知在ABC 中，22cos sin sin cos a A B b A B =，则ABC 的形状为（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．（2022·江苏徐州·高一期中）在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若1111sin sin tan tan c A c B b A a B-=-，则ABC 为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形高频考点三：三角形面积相关问题角度1：求三角形面积例题1．（2022·江西宜春·模拟预测（文））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若56A π=，a ==c ，则ABC 的面积为（）A ．BCD ．例题2．（2022·吉林长春·模拟预测（文））ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a c ac b ++=，且3ac =，则ABC 的面积为（）A ．34B C D ．32例题3．（2022·内蒙古包头·二模（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知135B =︒，a =，b =ABC 的面积为（）A ．9B ．6C ．92D ．72例题4．（2022·全国·高一单元测试）锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若7a =、8b =，1,cos 2m A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(sin n A =，，且m n ⊥，则ABC 的面积为（）AB ．C ．D ．例题5．（2022·江西·模拟预测（文））在ABC 中，3cos ,2,4A AB BC ===ABC 的面积为（）A B C D ．例题6．（2022·新疆·乌市八中高一期中）在ABC 中，21,2,3AB AC B C π==-=，则ABC ∆的面积为（）A BC D 角度2：根据面积求参数例题1．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin sin sin a b A c C b B -=-，若ABC 的面积为c 的最小值为（）A ．B ．C ．2D ．4例题2．（2022·全国·二模（理））ABC ∆中，2172cos cos 20224C C --=，若4AB =，则AB 边上的高的最大值为（）A ．2B ．3C ．D ．例题3．（2022·江苏·东海县教育局教研室高一期中）在ABC ∆中，点D 为边AC 上靠近A 的四等分点，ABD ACB ∠=∠，CB BD ⊥，15ABC S =△，则AB =（）A ．5B ．3C ．D ．例题4．（2022·河南新乡·高一期中）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2,3,3===πa c B ，则AC 边上的高为（）A B C D ．7例题5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且60C =︒，3a =，ABC S =△，则AB 边上的中线长为（） A ．49 B ．7 C ．494 D ．72角度3：三角形面积的最值例题1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2b =，且2cos cos cos a B a C c A a b -=+-，则ABC 面积的最大值是（）AB C ．2 D例题2．（2022·天津·高一期中）设锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2B B +=，2c =，则ABC 面积的取值范围为（）A ．⎝B ．⎝C ．⎝D ．⎝⎭例题3．（2022·江苏·盐城中学高一期中）在四边形ABCD 中，AC AB =，3AD =，1CD =，3ABC π∠=，则四边形ABCD 面积的最大值为（）A B ．3C D ．4例题4．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2cos ,+=⋅=a B b A c A a ABC 的面积的最大值为（）A ．B ．3CD 例题5．（2022·江苏省震泽中学高一期中）ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 4sin sin ,4a A b B C a B c +=+=，则ABC 面积的最大值为（）A ．B ．C ．4D ．例题6．（2022·重庆市第二十九中学校高一期中）在面积为S 的ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2243tan S b c A +=+，且6A π=，则S 的最大值为（）A ．34B ．32C ．D题型归类练1．（2022·山西运城·模拟预测（理））某公同管理处规划一块三角形地块ABC 种植花卉，经测量60,2,9m A AC AB BC =︒==，则该地块的而积为___________2m .2．（2022·湖南·高二阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin c b A A -.(1)求角B ；(2)若4,a b ==ABC 的面积.3．（2022·广东汕头·高二阶段练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2sin )cos B C a A ⋅.(1)求角A 的值：(2)当4,8a b c =+=时，求ABC 的面积.4．（2022·海南·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π4A =，b =．(1)求tan C ；(2)若a =ABC 的面积．5．（2022·全国·模拟预测）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()π2sin πcos tan cos 2C B A B ⎛⎫-++=⋅ ⎪⎝⎭． (1)求A ；(2)若sin b A B ，求△ABC 的面积的最大值．6．（2022·河北·高一期中）如图，在ABC 中，2AB =，1AC =，π6B =，点D 在边BC 上，且cos ADB ∠=．(1)求AD ；(2)求ACD △的面积．1．（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，AC 2AB =，则BC =（） A ．1 B C D ．3 2．（2021·全国·高考真题（理））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60B =︒，223a c ac +=，则b =________．3．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．4．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件②：ABC 的周长为4+条件③：ABC5．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.。

正弦定理经典题型归纳

正弦定理1. 正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即公式适用于任意三角形。

2. 正弦定理的变形3. 判断三角形解的问题 “已知a,b 和A,解三角形”①当sin B >1,无解 ②sin B =1,一解 ③sinB <1,两个解（其中B 可能为锐角也可能为钝角，具体是锐角还是钝角还是两个都可以，要根据“大边对大角”及“三角形内角和等于180”来判断）题型一：已知两角及任意一边解三角形1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D ．2 62．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14变形：题型二：已知两边及一边对角解三角形1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.4 .在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 5．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．6. 判断满足下列条件的三角形个数（1）b=39,c=54,︒=120C 有________组解（2）a=20,b=11,︒=30B 有________组解（3）b=26,c=15,︒=30C 有________组解（4）a=2,b=6,︒=30A 有________组解7.在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.8.在△ABC 中，B=4π,b=2,a=1,则A 等于 .题型三：正弦定理的边角转化1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定2．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 3.在△ABC 中，如果Cc B b A a tan tan tan ==,那么△ABC 是（） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 4. 在△ABC 中，已知b B a 3sin 32=，且cosB=cosC ，试判断△ABC 形状。

正弦定理与余弦定理-讲义(学生版)

正弦定理与余弦定理一、课堂目标1．理解正弦定理与余弦定理并熟记公式，能够利用其公式解决三角形边角问题． 2．熟练掌握利用正余弦定理判断三角形解的个数问题． 3．能够利用边角关系判断三角形的形状．4．熟记三角形面积公式，并能解决相关的面积问题．二、知识讲解1. 三角形中的常用关系式知识精讲（1）角的关系 ①π=++C B A②C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+= ③)sin sin cos (cos )cos(cos C B C B C B A --=+-= ④CB CB C B A tan tan 1tan tan )tan(tan -+-=+-=（2）边的关系 ①两边之和大于第三边 ②两边之差小于第三边（3）边角的关系大边对大角，大角对大边2. 正弦定理知识精讲（1）正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===(R 为三角形外接圆半径）（2）正弦定理变形式： ①C B A c b a sin :sin :sin ::=②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== ③RcC R b B R a A 2sin ;2sin ;2sin ===④R CB A cb a 2sin sin sin =++++（3）正弦定理的应用：①已知两角和任意一边，求另一角和其它的两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求其他的角和边. 经典例题1. 在ABC △中，内角C B A ，，所对的边长分别为b A Bc C B a c b a 21cos sin cos sin ,,,=+且,b a >则=∠B （）．A.6πB.3πC. 32πD.65π 巩固练习2. 在ABC △中，角C B A ，，所对的边长分别为c b a ，，，b A b B A a 2cos sin sin 2=+则ab等于（）． A.32B.22C.3D.2经典例题3. 在ABC △中，已知134==∠=∠AB B A ，，ππ则BC 为（）A.13-B.13+C.36D.2巩固练习4. 在ABC △中，已知︒=︒==75608C B a ，，则b 等于（）．A.64B.5C. 34D.322 5. 在ABC △中，已知41sin ,31)sin(,2==+=A B A a 则=c （）． A.4B.3C. 38D.34经典例题6. 在ABC △中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，若B A 3=，则ba的取值范围是（）．A.）（3,0B.）（3,1C. ）（1,0D.）（2,1巩固练习7. 锐角ABC △中，c b a ，，分别是内角C B A ，，的对边，设A B 2=，则ba的取值范围是（）．A.）（22,33B.）（2,2C. ）（3,2D.）（2,0 8. 在ABC △中，c b a ，，分别为内角C B A ，，所对的边，若3,3π==A a ，则c b +的最大值为（）．A.4B.33C. 32D.23. 余弦定理知识精讲（1）余弦定理：①A bc c b a cos 2222-+= ②B ac a c b cos 2222-+= ③C ab b a c cos 2222-+= （2）余弦定理变形式：①bc a c b A 2cos 222-+=②ac b c a B 2cos 222-+=③abc b a C 2cos 222-+=（3）余弦定理的应用： ①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三条边和其它的两个角； ③已知两边和其中一边的对角，求其它的角和边．经典例题9. 已知ABC △的内角C B A ，，所对的边分别是c b a ，，，且满足ab c b a c b a =++-+))((，则=∠C巩固练习10. 在ABC △中，若)())((c b b c a c a +=-+，则=∠A （）．A.︒90B.︒60C. ︒120D.︒150经典例题11. 在ABC △中，3,4,32cos ===BC AC C 则=B tan （）． A.5B.52C. 54D.58巩固练习12. 在ABC △中，角C B A ，，的对边分别为c b a ，，,且B C A 2=+，若31==b a ，则c 的值为．经典例题13. 在ABC △中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，且6:5:4::=c b a ，则下列结论正确的是（） A.6:5:4sin :sin :sin =C B A B.ABC △是钝角三角形C.ABC △的最大内角是最小内角的2倍D.若6=c ，则ABC △外接圆半径为778 巩固练习14. 在ABC △中，若4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则C cos 的值为． 15已知ABC △的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，．若3,1,2===b a A B ，则=c （）．A.32B.2C.2D.14. 三角形解的个数的判断知识精讲在ABC △中，已知b a ,和A ，以点C 为圆心，边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形的个数．知识点睛经典例题16. 在ABC △中，根据下列条件，分别判断三角形的解的个数．（1）︒=︒==70,45,10C A b （2）︒===60,48,60B c a （3）︒===80,5,7A b a （4）︒===45,16,14A b a 巩固练习17. 在ABC △中，︒===45,100,80A b a 则此三角形解的情况是（）．A. 一解B. 两解C. 一解或两解D. 无解18. 在ABC △中，22,334,45==︒=c b B 则=A （）． A.︒15B.︒75C. ︒︒10575或D.︒︒7515或5. 三角形形状的判断知识精讲要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考.依据已知条件中的边角关系判断时，主要有以下两种途径：①化角为边：利用正、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；②化边为角：利用正、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用“ABC △中，π=++C B A ”这个结论经典例题 19. 若cCb B a A sin sin sin ==，则ABC △的形状是（）． A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形巩固练习20. 在ABC △中，角C B A ，，的对边分别是c b a ，，．若B b A a cos cos =，则ABC △的形状是（）．A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形经典例题21.设ABC △的内角C B A ，，所对的边长分别为c b a ，，，若222)cos cos (2c b a B ac A bc ++=+，则ABC △一定是（）．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形巩固练习22. 在ABC △中，若A b B a cos cos =，判断此三角形的形状．经典例题23. 在ABC △中，已知)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，则ABC △的形状（）．A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形巩固练习24. 若ABC △的三个内角满足13:11:5sin :sin :sin =C B A ，则ABC △（）．A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6. 三角形面积的计算知识精讲设ABC △的三边为c b a ，，，三边所对的三个角分别为C B A ，，，其面积为S .①);,,,,(212121上的高分别表示△c b a h h h ch bh ah S c b a c b a ===②B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===△③)(sin sin sin 22的外接圆半径为△ABC R C B A R S = ④)(4sin 21外接圆半径为△△ABC R Rabc C ab S ==⑤))(21())()((c b a p c p b p a p p S ++=---=⑥已知三角形的三边及内切圆半径，)(21c b a r S ++=△（r 为三角形内切圆半径）．知识点睛三角形面积问题有三类：类型1：求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，沟通角与边；类型2：已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系；类型3：已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形经典例题25. 已知ABC △内角C B A ，，的对边分别是c b a ，，,若A C bB sin 2sin ,3,41cos ===，则ABC △的面积为．巩固练习26.ABC △的内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，．若3,2,6π===B c a b ，则ABC△的面积为．经典例题27. 在ABC △中，角C B A ，，的对边分别是c b a ，，，且ABC b A △,3,32==π的面积为4315．（1）求边a 的边长；（2）求B 2cos 的值．巩固练习28. 已知ABC △中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，且满足23)sin cos 3(sin =+A A A ．（1）求角A ；（2）若c b S a ABC ，求，△,3222==的值．经典例题29. 在ABC △中，内角C B A ，，的对边长分别为c b a ，，，且C a A c b cos cos )2(=-．（1）求角A 的大小（2）若，，c b a 23==求ABC △的面积．巩固练习30. 已知在ABC △中，内角C B A ，，的对边长分别为c b a ，，，且0cos sin =-A b B a ．（1）求角A 的大小（2）若，，252==b a 求ABC △的面积．。

正弦定理习题课ppt课件

1．正弦定理表达了三角形的边和角的关系，是解三角形的重要工具．利用正弦定理可以解以下两类三角形：
(1)已知两角和任一边，求未知边和角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．此类问题有多解、一解、无解的情况，需要进行讨论．
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[精解详析] (1)∵A、B、C 为△ABC 的三个内角，且
B＝π3，cos A＝45，
∴C＝23π－A，sin A＝35
(3 分)
∴sin
C＝sin(23π－A)＝
2．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，
试求c及△ABC的外接圆半径R. 解：∵A＋B＋C＝180°，
∴A＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理，得sina A＝sinc C＝2R，
∴c＝as·isninAC＝10×2
3 2 ＝5
6.
2
∴2R＝sina A＝102＝10 2. 2
(9 分)
∴△ABC 的面积 S＝12absin C＝12×65× 3×3＋140 3＝
36＋9 3 50
(12 分)
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[一点通] 1．求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备．

6.4.3课时3余弦定理正弦定理应用举例(精讲)(原卷版)

6.4.3课时3 余弦定理、正弦定理应用举例重点：正弦定理、余弦定理在解决距离、高度、角度等实际问题中的应用；难点：理解题意，从实际问题中抽象出三角形模型，并综合运用正弦定理和余弦定理解三角形一、基线1、定义：在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。

2、性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量既有较高的精确度，一般来说，基线越长，测量的精确度高越高。

二、实际测量中的有关名称、术语：1、仰角与俯角：（1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角（2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角2、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°）3、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角三、利用解三角形解决实际问题的方法步骤1、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解。

2、应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤（1）分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。

四、测量距离问题常见题型及解决办法1、常见题型与解决方法（1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝a2＋b2－2ab cos γ.（2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.（3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.2、求距离问题的注意事项（1）选角或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若其他量位置，则把未知量放在另一确定的三角形中求解；（2）确定正弦定理还是余弦定理，如都可以，就选便于计算的定理。

初三练习题正弦定理

初三练习题正弦定理解题思路：正弦定理是初中数学中的重要概念，它描述了三角形中角度和边长之间的关系。

在解决初三练习题时，正弦定理可以帮助我们求解未知边长或角度。

正文：正弦定理是指在任意三角形ABC中，三条边的长度a、b、c与对应的对角sin A、sin B、sin C之间满足以下关系：a/sin A = b/sin B = c/sin C其中，a、b、c为三角形三边的长度，A、B、C为对应的内角度数。

正弦定理在解决三角形问题时非常有用，可以较为方便地求解各个未知量。

实际解题时，我们可以根据给出的条件先找到可用的角度和边长，然后利用正弦定理求解其他未知量。

下面我们通过几个具体的练习题来说明正弦定理的应用。

练习题1：已知一个三角形ABC，边长分别为a = 8 cm，b = 6 cm，对应角A= 30°，求角B和边长c。

解题思路：根据已知条件，我们可以利用正弦定理求解未知量。

根据正弦定理，我们有：a/sin A = b/sin B = c/sin C代入已知值，得到：8/sin 30° = 6/sin B = c/sin C解方程，得到：sin B = (6/sin 30°) * sin B = 6 * (sin B / 0.5) = 12由此可得，sin B = 12。

然后可以通过反正弦函数求解角B的值，即得到角B = arcsin(12) ≈ 84.29°。

接下来，根据正弦定理求解边长c。

我们知道c/sin C = a/sin A，代入已知条件，得到：c/sin C = 8/sin 30°解方程，得到：sin C = (8/sin 30°) * sin C = 8 * (sin C / 0.5) = 16同样地，通过反正弦函数求解角C的值，即得到角C = arcsin(16) ≈ 90°。

最后，我们可以通过三角形内角和为180°得出角B = 180° - 30° - 90°= 60°。

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正、余弦定理的五大命题热点正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。

在近年高考中主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．例1(2005年全国高考江苏卷)ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（）A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．解：由正弦定理得：32sin sin sin sin sinsin sin()33b c b c b cB C B C B B ππ++====++-，得b ＋c＝B ＋sin(23π－B )]＝6sin()6Bπ+．故三角形的周长为：3＋b ＋c ＝36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ，故选(D)．评注：由于本题是选择题也可取△ABC 为直角三角形时，即B ＝6π，周长应为33＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)．例2(2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ．解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且36221==AB DE，设BE ＝x在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BDcos 2222⋅-+=，x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去）故BC =2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC，即3212=AC 又630sin =B ，故2sin A =1470sin =A二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．例3(2005年北京春季高考题)在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形解法1：由C B A sin cos sin2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C c A a =，再由余弦定理，得cos B ＝2222a c b ac+-．∴2222a c b ac+-＝2c a，即a 2＝b 2，得a ＝b ，故选(B)．评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．三、解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．例4(2005年全国高考上海卷) 在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________分析：本题只需由余弦定理，求出边AC ，再运用面积公式S ＝21AB •AC sin A 即可解决．解：由余弦定理，得cos A ＝2222254912102AB AC BC AC AB AC AC +-+-==-∙∙，解得AC ＝3．∴ S ＝21AB •AC sin A ＝4315．∴21AB •AC •sin A ＝21AC •h ，得h ＝AB • sin A ＝223，故选(A)．四、求值问题例5(2005年全国高考天津卷) 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b=-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值．分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．解：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ，因此，︒=∠60A 在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理BB BC b c sin )120sin(sin sin 321-︒===+,21cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=︒-︒=B B B B 解得,2cot =B 从而.21tan =B五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。

分析：求河的宽度，就是求△ABC 在AB 边上的高，而在河的一边，已测出AB 长、∠CAB 、∠CBA ，这个三角形可确定。

解析：由正弦定理得sin sin AC ABCBA ACB=∠∠，∴AC=AB=120m ，又∵11sin 22ABCS AB AC CAB AB CD =⋅∠=⋅ ，解得CD=60m 。

点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。

（二.）遇险问题例2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。

若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在A 点处观测到灯塔S 在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后西北南东 A BC30° 15°图2图1ABCD到达B 点，测得S 在东30°北的方向上。

在△ABC 中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S 作SC ⊥直线AB ，垂足为C ，则SC=15sin30°=7.5。

这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。

点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。

（三.）追击问题例3 如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？解析：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。

在△ABC 中，AC=28t ，BC=20t ，AB=9，设∠ABC=α，∠BAC=β。

∴α=180°－45°－15°=120°。

根据余弦定理2222cos AC AB BC AB BC α=+-⋅，()()2212881202920()2t t t =+-⨯⨯⨯-，212860270t t --=，（4t －3）（32t+9）=0，解得t=34，t=932（舍）∴AC=28×34=21 n mile ，BC=20×34=15 n mile 。

根据正弦定理，得15sin 2sin 21BC ACαβ===，又∵α=120°，∴β为锐角，＜14＜2，∴＜4π， ∴甲船沿南偏东4π－的方向用34h 可以追上乙船。

点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ∠ABC 、AB 边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t 有关。

这样根据余弦定理，可列出关于t 的一元二次方程，解出t 的值。

五、交汇问题是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇．例6 (2005年全国高考卷三试题)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，.43cos=B （Ⅰ）求cot A +cotC 的值；（Ⅱ）设32BA BC ⋅= ，求a ＋c 的值.分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等．解：（Ⅰ）由,47)43(1sin ,43cos 2=-==B B得由b 2=ac 及正弦定理得 .s i n s i n s i n 2C A B =则11cos cos sin cos cos sin cotcot tan tan sin sin sin sin A C C A C A A C A C A C A C++=+=+= 图3°22sin()sin 1sin sin sin A C B B B B +====（Ⅱ）由32BA BC ⋅= ，得ca •cos B ＝32，由ㄋB ＝34，可得ac ＝2，即b 2＝2．由余弦定理b 2=a 2+c 2－2a c+cosB ，得a 2+c 2=b 2+2a c ·cosB=5. 3,9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a易错题解析例题1 在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a b c 222<+，求A 的取值范围。

错解：∵ab c b c a 2222220<++->，∴。

则cos A b c a bc=+->22220，由于cosA 在（0°，180°）上为减函数且cos90090°，∴°=<A又∵A 为△ABC 的内角，∴0°＜A ＜90°。

辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。

题设是a 为最大边，而错解中只把a 看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。

正解：由上面的解法，可得A ＜90°。

又∵a 为最大边，∴A ＞60°。

因此得A 的取值范围是（60°，90°）。

例题2在△ABC 中，若a bA B 22=tan tan ，试判断△ABC 的形状。