甘肃省兰州第一中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷Word版含答案

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甘肃省兰州一中2015届高三上学期期中考试数学(理)试题word版含答案(已解析)

甘肃省兰州一中2015届高三上学期期中考试数学(理)试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．函数y = ( )A. [1,2]B. [1,2)C. 1(,1]2D. 1[,1]2【答案】C【解析】由231log (21)0021112x x x -≥⇒<-≤⇒<≤ 故答案为：C【考点】函数的定义域与值域【难度】 12. 已知向量(1,2)a =- ,(3,)b m = ,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +”的( )A ．充要条件 B.充分不必要条件C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为向量(1,2)a =- ,(3,)b m =,R m ∈,所以()2,2a b m +=+，所以//()a a b +()122206m m ⇔-⨯+-⨯=⇔=-，所以“6m =-”是“//()a a b +”的充要条件，故答案为：A【考点】充分条件与必要条件【难度】 13. 若函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点，则实数m 的取值范围是 ( ) A ． (,0]-∞ B. [0,)+∞ C ． (,0)-∞ D. (0,)+∞ 【答案】A【解析】因为函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点，所以函数()2log ,1y x x =≥，与直线y m =-有交点，所以00m m -≥⇒≤，故答案为：A【考点】函数零点的意义【难度】 14．在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则=+753a a ( ) A ．10 B. 18 C ． 20 D ．28 【答案】C【解析】因为3812910a a a d +=+=，所以=+753a a ()1141822920a d a d +=+=，故答案为：C【考点】等差数列【难度】 15．给出如下四个命题：①若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题；②“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b -≤”； ③“2,1x R x x ∀∈+≥”的否定是“2000,1x R x x ∃∈+≤”； ④“0x >”是 “12x x+≥”的充要条件．其中不正确的命题是 ( ) A ．①② B.②③ C ．①③ D.③④ 【答案】C 【解析】若“p q ∨”为真命题，则p 、q 中至少有一个真命题，故①不正确；命题②显然正确；“2,1x R x x ∀∈+≥”的否定是“2000,1x R x x ∃∈+<”，所以③不正确；显然命题④正确.故答案为：C【考点】命题及其关系;全称量词与存在性量词;充分条件与必要条件【难度】 26．已知函数2()cos f x x x =-，则(0.6),(0),(0.5)f f f -的大小关系是 ( ) A ．(0)(0.6)(0.5)f f f <<- B. (0)(0.5)(0.6)f f f <-< C ．(0.6)(0.5)(0)f f f <-< D. (0.5)(0)(0.6)f f f -<< 【答案】B【解析】易得函数f(x)是偶函数，且()2sin 0f x x x '=+>在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，所以f(x)是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数，所以(0)(0.5)(0.6)f f f <-< 故答案为：B【考点】函数的单调性与最值【难度】27.若G 是ABC ∆的重心，,,a b c 分别是角,,A B C的对边0aGA bGB +=，则角A = ( )A ．90 B.60 C ．45 D.30 【答案】D【解析】因为G 是ABC ∆的重心，所以()()211323AG AB AC AB AC =⨯+=+, 同理，()()()1112333BG BA BC AB AC AB AC AB =+=-+-=-, ()()11233CG CB CA AB AC =+=-.代入已知等式整理得AB AC = ,又因为,AB AC 不共线，所以360330a ba b c a b ⎧=⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪+-=⎪⎩⎩，所以222222cos 22b c a A bc +-===，因为()0,180A ∈,所以A =30 ，故答案为：D【考点】平面向量的线性运算;余弦定理【难度】 28．已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取得极值，则函数3()4y f x π=-是( )A ．奇函数且图象关于点(,0)π对称 B. 偶函数且图象关于点3(,0)2π对称 C ．奇函数且图象关于点3(,0)2π对称 D. 偶函数且图象关于点(,0)-π对称【答案】A【解析】因为函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取得极值，sincos44a b b a ππ=-⇒=-，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3()4y f x π=-3sin sin 44x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故答案为：A【考点】三角函数的图像与性质;恒等变换综合【难度】 2 9．函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的部分图象如图所示,若2||=⋅,则ω等于( ) A ．12πB.4πC ．3πD.6π【答案】D【解析】因为2||AB BC AB =⋅，所以()()0AB BC AB AB BC BA ⋅-=⋅+=,而BC BA BE +=，所以AB BE ⊥(如图)，因为AE=BC=2AB 所以30AEB ∠=,30BAD ∠= ,因为点B所以，从而函数的周期为12，所以2126ππω==，故答案为：D【考点】三角函数的图像与性质;平面向量的几何运算【难度】 210．如图，A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量AB在A 点处与圆O 相切，点P 是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AP ×AB的取值范围是( )A ．(5,5)- B. []5,5- C ．55(,)22- D. []0,5【答案】B【解析】以O 为原点，OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则圆O 的方程为：2225x y +=，A(0,-5),(1,0)AB =,设P(x,y),则(),5AP x y =+，所以()()x,y 51,0AP AB x ⋅=+⋅=[]5,5∈-，所以AP ×AB的取值范围是[]5,5-，故答案为：B【考点】平面向量坐标运算【难度】 211．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是 ( ) A ．②③ B. ①② C ．①③ D. ①②③ 【答案】D【解析】由()()20f x f x ++=(2)(4)0f x f x ⇒+++=()(4)f x f x ⇒=+，所以函数()f x 的周期为4，所以①正确；由(4)()f x f x -=(2)(2)f x f x ⇒-=+，所以()f x 的图象关于直线2x =对称，所以②正确；因为函数()f x 的周期是4，且(4)()f x f x -= 所以()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，所以③正确. 故答案为：D【考点】函数综合【难度】 312．(理)已知函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则++a b c 的取值范围是 ( )A. (1,2014)B. [1,2014]C. (2,2015)D. [2,2015] 【答案】C【解析】设a<b<c 则a,b 的中点是12，所以++a b c =1+c ，因为当01x ≤≤时，[]()0,1f x ∈，(2014)1f =，又,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c == 令()()()f a f b f c ==k =，则()0,1k ∈，由图像易得当k 趋向于0时，c 趋向于1，当k 趋向于1时，c 趋向于2014，所以++a b c 的取值范围是(2,2015) 故答案为：C【考点】函数综合【难度】 3第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.） 13.（理）11(2)1x dx x ++ò=_______________________. 【答案】1ln 2+ 【解析】11(2)1x dx x ++ò()210[ln 1]|ln21x x =++=+ 故答案为：1ln 2+ 【考点】积分【难度】 214. 若将函数sin 2y x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位，得到的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的最小值为_________. 【答案】512π 【解析】将函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ个单位,得sin 2()y x ϕ=-，由这个函数图象关于直线6x π=对称得，2(),62212k k k Z ππππϕπϕ-=+⇒=--∈，因为0ϕ>所以当k=-1时，ϕ有最小值512π故答案为：512π【考点】三角函数图像变换【难度】 2 15．已知tan 4α=，则21cos 24sin sin 2++ααα的值为 .【答案】334【解析】因为tan 4α=，所以21cos 24sin sin 2++ααα22222cos 4sin 12tan 124332sin cos tan 44αααααα+++⨯====故答案为：334【考点】恒等变换综合【难度】 216．以下命题：①若⋅=⋅ a b a b ,则// a b ；②向量(1,1)a =- 在(3,4)b = 方向上的投影为15；③若ABC ∆中, 5,8,7a b c ===,则 BC ×20=CA ；④若非零向量a ,b满足+= a b b ,则22>+ b a b .所有真命题的序号是______________. 【答案】①②④【解析】因为⋅=⋅ a b a b ，所以cos ,1a b =± ，或者,a b中至少有一个零向量，所以// a b ，故①为真命题；因为(1,1)a =- ，(3,4)b =，所以cos ,a b a b a b ⋅==⋅，所以向量(1,1)a =- 在(3,4)b =方向上的投影为1cos ,5a ab == ，故②为真命题；若ABC ∆中, 5,8,7a b c ===,则()cos 40cos BC CA BC CA C C π⋅=⋅-=-=-20，故③为假命题；因为+= a b b ,所以220a a b +⋅=，所以22222240b a b a a b a -+=--⋅=> ，故④为真命题.所以，所有真命题的序号是①②④.故答案为：①②④【考点】平面向量的线性运算【难度】 3三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且2,60c C ︒==. (Ⅰ)求sin sin a bA B++的值；（Ⅱ）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆.【答案】见解析【解析】解：(Ⅰ)由正弦定理可得：2sin sin sin sin 60a b c A B C =====︒，所以sin sin a b A B +==+. （Ⅱ）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2224()3a b ab a b ab =+-=+-，又a b ab +=，所以2()340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去），所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯=【考点】正弦定理;余弦定理【难度】318. （本小题满分12分）已知集合}2|1||{<-=x x A ，()()()4{|0}12x x B x x x -=≤-- ，}012|{2<-+=mx x x C ,m R ∈.（Ⅰ）求,A B A B ⋂⋃；（Ⅱ）若()C A B ⊆⋃，求m 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ） A (1,3)=- ，B [0,1)(2,4]=?，∴A B [0,1)(2,3),⋂=⋃ A B(1,4]?-.（Ⅱ）因为C (1,4]?22mx 10方程x \+-= 小根大于或等于-1，大根小于或等于4，令()221f x x mx =+-，则f (1)1m 0f (4)4m 310,m 144ìïïï-=-?ïïï=+?íïïïï-<-<ïïî解得31m 1.4-＃【考点】集合的运算【难度】319. （本小题满分12分）已知函数1cos 4cos sin 34)(2+-=x x x x f ．（Ⅰ）求函数()f x 在]2,0[π上的值域；（Ⅱ）若对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立，求0sin(2)3x π-．【答案】见解析【解析】解：(Ⅰ)1)2cos 1(22sin 321cos 4cos sin 34)(2++-=+-=x x x x x x f1)62sin(4--=πx ，∵20π≤≤x ，∴65626πππ≤-≤-x ，∴1)62sin(21≤-≤-πx ， ∴3)(3≤≤-x f ，即函数)(x f 在]2,0[π上的值域是[－3，3] ．（Ⅱ）∵对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立， ∴)(0x f 是)(x f 的最大值，∴由Z k k x ∈+=-,22620πππ，解得Z k k x ∈+=,32220ππ ∴233sin )3322sin()32sin(0==-+=-πππππk x ．【考点】三角函数综合【难度】3 20．（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ，且4228S S =+．（Ⅰ）求公差d 的值；（Ⅱ）若11a =，n T 是数列11{}n n a a +的前n 项和，不等式21(5)18n T m m ≥-对所有的*n N ∈恒成立,求正整数m 的最大值.【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵4228S S =+，即11462(2)8+=++a d a d ，化简得：48=d ，解得2=d ．（Ⅱ）由11,2,21===-得n a d a n ， ∴11n n a a +=1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+． ∴=n T 12233411111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+ =11111111(1)2335572121-+-+-+⋅⋅⋅+--+n n=11(1)221n -+≥13，又∵ 不等式≥n T 21(5)18m m -对所有的*n N ∈恒成立 ∴13≥21(5)18m m -，化简得：2560--≤m m ，解得：16-≤≤m ．∴正整数m 的最大值为6．【考点】数列综合应用【难度】321．（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x =+，函数()xg x e =，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x<m 的取值范围；（Ⅲ）当0a =时，对于(0,)x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-．【答案】见解析【解析】解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=+(0)x >． ①当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数.②当0a <时，若1(0,)x a ∈-，()0f x '>,()f x ∴在1(0,)x a∈-上为增函数；若1(,)x a ∈-+∞，()0f x '<,()f x ∴在1(,)x a∈-+∞上为减函数. 综上所述，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上为增函数. 当0a <时，()f x 在1(0,)-a 上为增函数，在1(,)-+∞a上为减函数 . (Ⅱ) (0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x<成立，∴(0,)x ∃∈+∞，使得3m x e <-+成立，令()3h x x e =-，则()1xh x e '=-+，当(0,)x ∈+∞时， 1x e >≥=1x e ∴>，()0h x '∴<，从而()h x 在(0,)+∞上为减函数，()(0)3h x h ∴<=3m ∴<(Ⅲ)当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()ln 2xx e x ϕ=--，∴1()x x e xϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数. 设()0x ϕ'=的根为x t =，则1t e t=，即t t e -=.当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(,)t +∞上为增函数，min ()()ln 2ln 22t t t t x t e t e e e t ϕϕ-∴==--=--=+-(1)10e ϕ'=->，1()202ϕ'=<，1(,1)2t ∴∈由于()2tt e t ϕ=+-在1(,1)2t ∈上为增函数，12min 11()()222022tx t e t e ϕϕ∴==+->+->+-=()()2f x g x ∴<-.【考点】导数的综合运用【难度】4四、选考题（本大题10分.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.） 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知,,,A B C D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，//AC DE ，AC 与BD 相交于H 点.(Ⅰ)求证：BD 平分ABC ∠.(Ⅱ)若4,6,8,AB AD BD ===求AH 的长.【答案】见解析【解析】解：(Ⅰ)ACD CDE AC DE ∠=∠∴,//又DE 切圆O 于点D ，CBD CDE ∠=∠∴CBD ACD ∠=∠∴，而ABD ACD ∠=∠（同弧） ABD CBD ∠=∠∴，所以，BD 平分ABC Ð. (Ⅱ)由（1）知ABD CBD ∠=∠，又CAD CBD ∠=∠ ，CAD ABD ∠=∠∴又ADH ∠ 为公共角，所以DBA ∆与DAH ∆相似.BD ADAB AH =∴，因为AB 4,AD 6,BD 8,=== 所以AH 3\=【考点】圆【难度】323. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C ：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数），2C ：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.(Ⅰ)化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (Ⅱ)若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2,=+⎧⎨=-+⎩x t C y t （t 为参数）距离的最小值. 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1649x y C x y C ++-=+=， 1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆. 2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. （Ⅱ）当2t π=时，(4,4)-P .设(8cos ,3sin )Q θθ，则3(24cos ,2sin )2M θθ-++， 3 C 为直线270x y --=，∴M 到3C的距离|4cos 3sin 13|d θθ=-- 43cos ,sin 55∴==-θθ时，d. 【考点】曲线参数方程【难度】3 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,,,+∈a b c R 且1++=a b c .证明：（Ⅰ）22213++≥a b c ；（Ⅱ）2221++≥a b c b c a. 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）222,+≥ a b ab 222,+≥b c bc 222,+≥c a ac222222222,∴++≥++a b c ab bc ac222222333222∴++≥+++++a b c a b c ab bc ac 2()1=++=a b c22213∴++≥a b c . 2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥ ， 2222()a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++， 222a b c a b c b c a ∴++≥++，2221a b c b c a∴++≥.【考点】不等式证明【难度】3。

甘肃省兰州市第一中学高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

兰州一中2019-2020-1学期期中考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2A =，则满足{}1,2,3A B ⋃=的集合B 的个数是（）A. 1个B. 2个C. 4个D. 8个【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．{}{}A 12A B 123=⋃=，，，，，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个．考点：并集及其运算．2.对于映射{}(|)f A B A B x y x y →∈R ：，＝＝，，，且()()f x y x y x y →-+：，，，则与B 中的元素()31-，对应的A 中的元素为（） A. ()1,2﹣ B. ()1,3C. ()4,2﹣﹣ D. ()3,1﹣ 【答案】A 【解析】【分析】根据已知中映射()():,f x y x y x y →-+，，得到3,1x y x y -=-+=，即可求解．【详解】由题意，:f A B →，且映射()():,f x y x y x y →-+，，令31x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得1,2x y =-=，所以与B 中的元素()3,1-对应的A 中的元素为()1,2-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了映射的定义及应用，其中解答中熟记映射的概念与对应关系，列出方程组是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题． 3. 下列函数中表示同一函数的是（） A. ()44y x y x ==与B. 233x y x y x==与 C. 21y x x y x x =+=⋅+与D. 21y y x x==与【答案】D 【解析】试题分析：的定义域为R ，的定义域是，故A 不正确；的定义是R ，的定义域是，故B 不正确；的定义域是，解得，的定义域是，解得，所以两个函数的定义域不同，故C 不正确；和的定义域都是，并且化简后就是，故D 正确．考点：函数的定义【方法点睛】考察了函数的表示以及函数的三个要素，属于基础题型，函数的三个要素包含定义域，对应关系和值域，只有两个函数的定义域相同，对应法则也相同，才是同一函数，当两个函数的定义域相同时，再看两个函数能否变形为同一个函数解析式． 4.函数()()0231log 32y x x =-+- （）A. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2,13⎛⎤⎥⎝⎦C. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：要使函数()1y x =-有意义，需满足223310{log 1log (32)0x x -≠=-≥，即1{321320x x x ≠-≤->，解得213x <<，所以函数()01y x =-2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，应选D ．考点：求函数的定义域．【方法点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、对数式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性，特别是解对数不等式时，注意真数一定大于0，这时易错点，解决此类问题应从以下几个方面入手1、真数大于0；2、分母不为0；3、被开方数有意义；4、()01x -有意义．5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +＝，若()32f -=，则()7f 等于（） A. 2019 B. 2-C. 2020D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据()()4f x f x +=，求得函数的周期，再利用函数的周期性和奇偶性，即可求解．【详解】由题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，则(7)(421)(1)f f f =⨯-=-，又由函数()f x 上在R 上的奇函数，且()32f -=，所以(1)(1)(413)(3)2f f f f -=-=-⨯-=--=-，即(7)2f =-，故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的周期性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性和周期性，合理利用奇偶性和周期性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 6.已知函数22xxy b a +=+（,a b 是常数，且01a <<）在区间3[,0]2-上有最大值3，最小值52，则ab 的值是（） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】通过换元令2232(1)1,[,0]2u x x x x =+=+-∈-，然后由u y b a =+单调递减，结合u 的范围可列方程解得,a b .【详解】令2232(1)1,[,0]2u x x x x =+=+-∈-，最大值为0，最小值为1-. 则[],1,0uy b a u =+∈-当01a <<时，uy b a =+单调递减.所以10352b a b a -⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得2332a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，有1ab =，故选A.【点睛】本题主要考查了指数型复合函数的最值问题，通常的解题的方法为换元，解题时注意新变元的范围，属于常考题型.7.若32232(),,log 3xa b x c x ===，当x ＞1时，,,a b c 的大小关系是A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D.a cb <<【答案】B 【解析】解：因为3223 2(),,log3xa b x c x===，那么当x>1时，则利用指数函数和对数函数的值域可知，0<a<1,b>1,c<0,因此选B8.已知函数()()1222,1log1,1x xf xx x-⎧-≤⎪⎨-+>⎪⎩＝,且()3f a＝-，则()6f a-＝（）A.74- B.54- C.34- D.14-【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式，求得7a=，进而可求解(6)f a-的值，得到答案．【详解】由题意，函数()()1222,1log1,1x xf xx x-⎧-≤⎪⎨-+>⎪⎩＝，当1a≤时，令1223a--=-，即121a-=-，此时不成立；当1a>时，令()2log13a+=--，解得7a=，所以117(6)(1)224f a f---=-=-=-．故选：A．【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答涉及到对数的运算性质和指数幂的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．9.若函数()()logaf x x b=+的大致图象如图，其中,a b为常数，则函数()xg x a b=+的大致图像是（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()xg x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.10.若函数()()0,1xf x a a a ≠＝＞且在[]1,2-上的最大值为4，最小值m ，且函数()(14g x m x -＝[)0+∞，上是增函数，则a ＝（）A.12 B. 12-C.14D. 4【答案】C 【解析】【分析】利用()f x 在[]1,2﹣上的最大值为4，先确定a 的值，再利用函数()(14g x m x -＝[)0+∞，上是增函数，即可求得实数a 的值，得到答案．【详解】由题意，当1a >时，函数()xf x a =在[1,2]-为单调递增函数，所以()24f =，即24a =，解得2a =，此时最小值11(1)22m f -=-==；当01a <<时，函数()xf x a =在[1,2]-为单调递减函数，所以()14f -=，即14a -=，解得14a =，此时最小值211(2)()416m f ===，又由函数()(14g x m -＝[)0+∞，上是增函数，则140m ->，解答14m <，综上可得14a =，116m =．故选：C.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和幂函数的性质，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及计算能力，属于基础题．11.函数()f x =()()221(01xx ax x a a x ⎧+-≤⎪>⎨->⎪⎩且1a ≠),在()0,∞+上是增函数,则实数a 的取值范围是A. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭B. ()0,1C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】因为()f x 在()0,∞+上是增函数,即当01x <≤时,()f x =22x ax +-单增,即02a-<,解得0a >;当1x >时,()xf x a =-单增,即01,a <<且212a a +-≤-,解得12a ≤;所以102a <≤,即实数a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.选C. 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.12.若对于定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，且存在常数()λλ∈R 使得()()0f x f x λλ++＝对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ～特征函数”．下列结论中正确的个数为（）①()0f x ＝是常数函数中唯一的“λ～特征函数”； ②()21f x x +＝不是“λ～特征函数”； ③“13λ～特征函数”至少有一个零点；④()xf x e ＝是一个“λ～特征函数”．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】利用新定义“λ～特征函数”，对选项逐个进行判定，即可求解，得到答案．【详解】对于①中，设()f x C =，当1λ=-时，函数()f x C =是一个“λ～特征函数”，所以()0f x =不是唯一的一个常值的“λ～特征函数”，所以①不正确；对于②中，函数()21f x x +＝，则()()2()1(21)0f x f x x x λλλλ++=++++=，即2(221)x λλ=-+-，当1λ=-时，()()20f x f x λλ++=-≠，当1λ≠-时，方程2(221)x λλ=-+-由唯一的解，所以不存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，所以函数()21f x x +＝不是“λ～特征函数”，所以②正确．对于③中，令0x =，可得11()(0)033f f +=，所以11()(0)33f f =-，若(0)0f =，显然()0f x =有实数根，若(0)0f ≠，211()(0)[(0)]033f f f ⋅=-<，又因为()f x 的函数图象是连续的，所以()f x 在1(0,)3上必由实数根，因此任意的“λ～特征函数”必有实根，即任意“13λ～特征函数”至少有一个零点，所以③是正确；对于④中，假设()xf x e ＝是一个“λ～特征函数”，则0x x e e λλ++=对任意的实数x 成立，则有0e λλ+=，而此式有解，所以()xf x e ＝是“λ～特征函数”，所以④正确的，所以正确命题共有②③④．故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的基本概念及其应用，其中解答中熟记函数的零点，以及正确理解“λ～特征函数”，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二．填空题（共3小题）13.如果11x f x x⎛⎫⎪-⎝⎭＝，则当0x ≠且1x ≠时，()f x ＝_____．【答案】1()1f x x =- 【解析】【分析】根据函数()1xf x x=-，利用换元法，即可求得函数的解析式，得到答案．【详解】由题意，令1t x =，则1x t=且0t ≠，因为()1x f x x =-，所以11()111t f t t t==--，其中0t ≠且1t ≠，所以1()1f x x =-．故答案为：1()1f x x =-．【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，其中解答中熟练应用换元法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14.若函数()23xf x x --+=的零点为0x ，满足()01x k k ∈+，且k ∈Z ，则k ＝_____．【答案】3【解析】【分析】根据题意，得到函数()f x 为减函数，进而求得()()3,4f f 的值，利用零点的存在定理，即可求解．【详解】由题意，函数()23xf x x --+=，分析可得函数()f x 为减函数，又由()31323308f -=+=>-，()4154243016f --=+=-<，则()()340f f ⋅<，根据零点的存在定理，可得函数()f x 的零点在区间()3,4上，所以3k =．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记函数零点的概念，以及熟练应用零点的存在定理进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．15.设函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,2()(1)g x x f x =-，则函数()g x 的递减区间是________．【答案】[)0,1 【解析】()22,10,1,1x x g x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩,如图所示，其递减区间是[)0,1．16.下列几个命题： ①函数2211y x x =--偶函数，但不是奇函数；②方程()230x a x a +-+＝的有一个正实根，一个负实根，0a ＜；③()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ＜时，()221f x x x =+-，则0x ≥ 时，()221f x x x ++=-④函数3222xx y -=+的值域是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．其中正确命题的序号是_____（把所有正确命题的序号都写上）．【答案】②④ 【解析】【分析】①中，函数()f x 既是奇函数又是偶函数，即可判定；②中，方程有一个正实根，一个负实根，得到0a ∆>⎧⎨<⎩，即可判定；③中，()f x 是定义在R 上的奇函数，则必有()00f =，即可判定；④中，令2(0)xt t =>，原函数可化为35122t y t t -==-+++，即可判定，得到答案．【详解】由题意，对于①中，函数()f x =的定义域为{}1,1-，即()0f x =，所以函数()f x 既是奇函数又是偶函数，所以不正确；对于②中，方程()230x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则满足2(3)40a a ∆=-->且120x x a =<，解得0a <，所以是正确的；对于③中，()f x 是定义在R 上的奇函数，则必有()00f =，而当0x =时，()20200110f =⨯++=≠-，所以不正确；对于④中，令2(0)xt t =>，原函数可化为35122t y t t -==-+++，因为22t +>，所以531122t -<-+<+，即原函数的值域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以是正确的．综上，正确命题的序号为②④．故答案为：②④．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及应用，以及一元二次方程的性质，指数函数的性质和函数的值域的求解等知识点的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．三．解答题（共6小题）17.计算下列各式的值：（1）()()2234116 4.3238⎛⎫++-- ⎪⎝⎭；（2）32221ln lg0.01log 20log 16log 5e ++-+ 【答案】（1）354-；（2）1-. 【解析】【分析】（1）由实数指数幂的运算性质，即可求解；（2）由对数的运算性质和对数的运算公式，即可求解．【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得：()()221123402433441113516() 4.32316()1122()1128224⨯⨯++--=++-=++-=-．（2）根据对数的运算性质，可得32222211ln lg0.01log 20log 16log 32log 204log 55e ++-+=-+-+ 22213(log 20log )3log 43215=-++=-+=-+=-．【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简、求值问题，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．18.己知集合{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|116B x x x =-或（1）若A 为非空集合，求实数a 的取值范围；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]6,+∞；（2）()15,6,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（1）若A ≠∅，那么2135a a +≤-，求解；（2）若A B ⊆，分，或是两种情况讨论．当时，即，当时，即351{2135a a a -<-+≤-或2116{2135a a a +>+≤-，求解．试题解析：解：（1）作出数轴可知若A ≠∅则有2135a a +≤-，解得：6a ≥可得实数a 的取值范围为[]6,+∞ （2）A B ⊆则有如下三种情况：1）A =∅，即3521a a -<+，解得：6a <；2）A ≠∅，(],1A ⊆-∞-，则有351{2135a a a -<-+≤-解得：a 无解；3）A ≠∅，(]16,A ⊆+∞，则有2116{2135a a a +>+≤-解得：152a >．综上可得A B ⊆时实数a 的取值范围为()15,6,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭考点：集合的关系运算【易错点睛】本题主要考察了两个集合的关系，属于基础题型，第一问容易出错在有等号函数没等号上面，这就要求我们做题时要细心，第二问当时，易忽略的情况，以及时，(],1A ⊆-∞-或(]16,A ⊆+∞是一种或的关系，而不是且的关系，做题时切记或是求并集，且求交集． 19.已知幂函数()()22122m f x m m x+=+-在（0，＋∞）上是增函数（1）求()f x 的解析式（2）若(21fa fa -<-，求4a 的取值范围【答案】（1）()3f x x =；（2）(]8,16 【解析】【分析】(1)由幂函数的性质可得，2221m m +-=，再由()f x 在()0,+∞上为增函数，则2m+1＞0，然后，根据以上条件，求解即可.(2)由()f x 为R 上的增函数，可得201021a a a a -≥⎧⎪-≥⎨⎪-<-⎩，求出a 的范围，然后根据4a 单调递增的特性，即可求出4a 的取值范围.【详解】（1）因为()()22122m f x m m x+=+-是幂函数，所以2221m m +-=即32m =-或1m = 因为()f x 在()0,+∞上是增函数，所以2m+1＞0，即m ＞-12，则m=1 故()f x =3x .（2）因为()f x 为R 上的增函数.所以201021a a a a -≥⎧⎪-≥⎨⎪-<-⎩，解得322a <≤. 故4a 的取值范围为(]8,16.【点睛】本题考查幂函数的性质和单调性，注意幂函数的系数为1，难点在于利用函数的单调性转化成不等式求解，属于中等题. 20.函数f （x ）=2ax b4x 1++是定义在R 上的奇函数，且f （1）=1．（1）求a ，b 的值；（2）判断并用定义证明f （x ）在（1,2+∞）的单调性．【答案】（1）a=5，b=0；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，可利用f （1）=1和f （-1）=-1，解方程组可得a 、b 值，然后进行验证即可；（2）根据函数单调性定义利用作差法进行证明．【详解】（1）根据题意，f （x ）=2ax b4x 1++是定义在R 上的奇函数，且f （1）=1，则f （-1）=-f （1）=-1，则有a b15a b 55+⎧=⎪⎪⎨-+⎪=-⎪⎩，解可得a=5，b=0；经检验，满足题意.（2）由（1）的结论，f （x ）=25x4x 1+，设12＜x 1＜x 2， f （x 1）-f （x 2）=1215x 4x 1+-2225x 4x 1+=()()()()12122212514x x x x 4x 14x 1--++，又由12＜x 1＜x 2，则（1-4x 1x 2）＜0，（x 1-x 2）＜0，则f （x 1）-f （x 2）＞0，则函数f （x ）在（12，+∞）上单调递减．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题． 21.已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）3(0,1)(1,)2U ；（2）不存在. 【解析】【分析】（1）结合题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案；（2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数a 的值，得到答案．【详解】（1）由题意，函数()()log 3 (0a f x ax a =->且1)a ≠，设()3g x ax =-，因为当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，即30ax ->对任意[]0,2x ∈时恒成立，又由0a >，可得函数()3g x ax =-在[]0,2上为单调递减函数，则满足()2320g a =->，解得32a <，所以实数a 的取值范围是3(0,1)(1,)2U ．（2）不存在，理由如下：假设存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1，可得()11f =，即log (3)1a a -=，即3a a -=，解得32a =，即()323log (3) 2f x x =-，又由当2x =时，33332022x -=-⨯=，此时函数()f x 为意义，所以这样的实数a 不存在．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题． 22.已知指数函数()y g x =满足()327g =，定义域为R 的函数()()()3n g x f x m g x -=+是奇函数.（1）求函数()(),y g x y f x ==的解析式；（2）若函数()()h x kx g x =-在()0,1上有零点，求k 的取值范围；（3）若对任意的()1,4t ∈，不等式()()230f t f t k -+->恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()3xg x =，113()33xx f x +-=+；（Ⅱ）（3，+∞）；（Ⅲ） [9，+∞）．【解析】试题分析：（1）根据指数函数利用待定系数法求()g x ，利用奇函数用特值法求m,n ，可得到()f x 解析式；（2）根据函数零点的存在性定理求k 的取值范围；（3）分析函数()f x 的单调性，转化为关于t 恒成立问题，利用分离参数法求k 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）设()xg x a=()01a a >≠且,则327a =，∴a=3, ∴()3x g x =，∴()133x x n f x m +-=+，因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，即1012n n m-=⇒=+ , ∴()1133xx f x m+-=+，又()(1)1f f -=-，11133=319m m m --∴-⇒=++；∴()11333x x f x +-=+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()3xg x =，又因()()h x kx g x =-在（0，1）上有零点，从而(0)(1)0h h ⋅<，即(01)(3)0k -⋅-<，∴30k ->， ∴3k >，∴k 的取值范围为(3,)+∞．（Ⅲ）由（Ⅰ）知()113131121··333313331x x x x x f x +--==-=-++++， ∴()f x 在R 上减函数（不证明不扣分）．又因()f x 是奇函数，()()230f t f t k -+->所以()()23f t f t k ->--=()f k t -，因为()f x 减函数，由上式得：23t k t -<-, 即对一切(1,4)t ∈，有33t k -<恒成立，令m(x)=33t -,[1,4]t ∈,易知m(x)在[1,4]上递增，所以max 3439y =⨯-=， ∴9k ≥，即实数k 的取值范围为[)9,+∞．点睛：本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时，注意特殊值的使用，可以使问题简单迅速求解，但要注意检验，在处理恒成立问题时，注意利用分离参数求参数的取值范围，注意分离参数后转化为求函数最值问题．。

2015-2016学年兰州第一中学高一上学期期末考试数学(解析版)

甘肃省兰州第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．（2015一中）下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．（2015一中）如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=错误!未找到引用源。

SA×错误!未找到引用源。

(AB+CD)×AD=错误!未找到引用源。

×2×错误!未找到引用源。

×(2+4)×2=4,故选A.3．（2015一中）下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．（2015一中）如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝错误!未找到引用源。

甘肃省兰州第一中学1516学年度高一上学期期末考试——

甘肃省兰州第一中学2015—2016学年度上学期期末考试高一数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上,交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1. 下列说法中,正确的是()A．幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B．当α＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D．幂函数y＝xα,当α< 0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小2．如图所示,则这个几何体的体积等于()A．4B．6C．8D．123．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为()①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A．0 B．1 C．3 D．44．如图,在三棱锥S﹣ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA ＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°5. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF＝,则下列结论中错误的是()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．直线AB与平面BEF所成的角为定值D．异面直线AE、BF所成的角为定值6. 若函数且)有两个零点,则实数a的取值范围是()A．B．C．D．7. 已知为异面直线,平面α,平面β.直线满足,则()A．α∥β,且l∥αB．,且C．与相交,且交线垂直于D．α与β相交,且交线平行于8. 已知直线（1+k）x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是()A．（3,﹣2）B．（2,﹣3）C．（3,﹣1）D．(1,﹣3）9. 如图,平面⊥平面, , , AB与两平面、所成的角分别为45°和30°．过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为A′、B′,则AB ：A′B′＝()A．2 ：1B．3 ：1C．3 ：2D．4 ：310. 经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为()A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－7＝0第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11. 已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．12. 用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________．13. 已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．14. 已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,求m的取值范围是________．15. 甲、乙、丙、丁四个质点同时从某一点出发向同一个方向运动,其轨迹f i(x) (i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为, , ,,有以下结论：①当x＞1时,甲在最前面；②当x＞1时,乙在最前面；③当0＜x＜1时,丁在最前面,当x＞1时,丁在最后面；④丙不可能在最前面,也不可能在最后面；⑤如果它们一直运动下去,最终在最前面的是甲．其中,正确结论的序号为___________ (把正确结论的序号都填上,多填,错填或少填均不得分)．三、解答题(本大题共5小题,共50分)16. （本小题8分）如图（1）所示,在直角梯形ABCD中, BC∥AP, ABBC,CDAP,AD=DC=PD=2.又E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点,现将△PDC折起,使平面PDC⊥平面ABCD（图（2））．（1）求证：平面EFG∥平面P AB；（2）求三棱锥C-EFG的体积．17.（本小题10分）已知两点, ,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．18.（本小题10分）(1)已知圆C经过,两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程.(2)已知点P (1,1)和圆x 2＋y 2－4y ＝0,过点P 的动直线l 与圆交于A ,B 两点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.19.（本小题12分）如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD , ∠ABC ＝60°, PA ＝AB ＝BC , E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小； (2)证明：AE ⊥平面PCD ； (3)求二面角A -PD -C 的正弦值．20. (本小题10分) 诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后．的基金总额(1999年记为f (1),2000年记为f (2),…,依次类推) (1)用f (1)表示f (2)与f (3),并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据：1.031 29≈1.32)CAPB D E兰州一中2015-2016-1学期期末考试答题卡高一数学答案一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11. 2x -y -4＝0． 12. 82． 13. 3π． 14.． 15. ③④⑤．三、解答题(本大题共5小题，共50分)16．（本小题8分）如图（1）所示,在直角梯形ABCD 中, BC ∥AP , ABBC ,CDAP,AD =DC =PD =2.又 E 、F 、G 分别为线段PC 、PD 、BC 的中点,现将△PDC 折起,使平面PDC ⊥平面ABCD （图（2））．（1）求证：平面EFG ∥平面P AB ；（2）求三棱锥C -EFG 的体积．证明：（1）∵E 、F 分别是PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD 又CD ∥AB ． ∴ EF ∥AB ． ∵EF 平面P AB ，AB 平面P AB ，∴EF ∥平面P AB ．同理，EG ∥平面P AB ， ∵，EF 平面EFG ，EG 平面EFG∴平面EFG ∥平面P AB ．（2）V C －EFG ＝V G －CEF ＝S △CEF ·GC ＝×（×1×1）×1＝．17. （本小题10分）已知两点, ,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．解：设点的坐标为．∵，．∴的中点的坐标为．又的斜率． ∴的垂直平分线方程为，即．而在直线上． ∴． ①又已知点到的距离为2． ∴点必在于平行且距离为2的直线上，设直线方程为，由两条平行直线之间的距离公式得： ∴或．∴点在直线或上． ∴或 ② ∴①②得：，或，． ∴点或为所求的点． 18.（本小题10分）(1)已知圆C 经过,两点,且被直线y =1截得的线段长为.求圆C 的方程.(2)已知点P (1,1)和圆x 2＋y 2－4y ＝0,过点P 的动直线l 与圆交于A ,B 两点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程. 解：(1)设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=.因为点O,Q 在圆上，代入：又由已知，联立：解得：由韦达定理知：1212+,1x x D x x E =-⋅=+. 所以：.即即：.即：. 则 0,44,0D E D E ==-==或者. 所以所求圆方程为：22224040x y x x y y ++=+-=或者.(2)设点M （x ,y ）, 圆的圆心坐标为C （0,2）. 由题意：,又. 所以：化简:所以M 点的轨迹方程为19. （本小题12分）如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD , ∠ABC ＝60°, PA ＝AB ＝BC , E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小；(2)证明：AE ⊥平面PCD ；(3)求二面角A -PD -C 的正弦值．解: (1)解：在四棱锥P —ABCD 中，∵P A ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB .又AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，从而AB ⊥平面PAD ，∴PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而∠APB 为PB 和平面PAD 所成的角．在Rt △PAB 中，AB ＝PA ，故∠APB ＝45°. 所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°.(2)证明：在四棱锥P —ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴ CD ⊥PA .由条件CD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ∵CD ⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ，∴AE ⊥CD .由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA . ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .又PC ∩CD ＝C ，综上得AE ⊥平面PCD . (3)解：过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ，如图所示．由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则可证得AM ⊥PD . 因此∠AME 是二面角A —PD —C 的平面角．由已知，可得∠CAD ＝30°. 设AC ＝a ，可得 PA ＝a ，AD ＝a ，PD ＝a ，AE ＝在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝PA ·AD ，则AM ＝＝. 在Rt △AEM 中，sin ∠AME ＝＝. 所以二面角A —PD —C 的正弦值为.20. (本小题10分) 诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后．的基金总额(1999年记为f (1),2000年记为f (2),…,依次类推) (1)用f (1)表示f (2)与f (3),并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据：1.031 29≈1.32) 解：(1)由题意知：f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－f (1)·6.24%＝f (1)×(1＋3.12%)， f (3)＝f (2)×(1＋6.24%)－f (2)×6.24%C A P B DE＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2，∴f(x)＝19 800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．。

2015-2016学年高一上学期期中数学试卷(普通班)

2015-2016 学年第一学期期中考试一试题高一数学第 I 卷（选择题共60分）说明： 1. 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共120 分。

2.将第 I 卷选择题答案代号用 2B 铅笔填在答题卡上。

一、选择题（ 4分 15 60分）在每题给出的四个选项中只有一项正确1．已知会合 A x log 2 x 0 ,会合Bx 0 x1 ,则AB =（）A ．x x 0B ． x x 1C或． x 0 x 1 x 1 D ．2．已知 a lg x ，则 a 3（）A. lg(3x)B.lg( x 3)C.lg x 3 D.lg(1000 x)3. 若 cos3 ,0, 则 tan 等于（）5A ．4B．4 C．4 D． 333344. 函数 f x1 x lg 1x 的定义域是（） .1A ． ( －∞，－ 1) B．(1，＋∞ ) C． ( －1,1) ∪(1，＋∞ ) D． ( －∞，＋∞ )5．若函数 f (x)x 2 1, x 1,（）lg x, x 则 f [ f (10)]1A. lg 101B.2C. 1D.6. 已知角的终边经过点p m, 3 且 cos4 ）.则 m 等于（5 A ．11B.11C.4D.4447．若 log m 9 log n 9 0 ，那么 m, n 知足的条件是（）A. m n 1B.n m 1 C. 0 n m 1 D.0 m n 18f ( x) 3 x 3x 8，用二分法求方程3x3x 8 0 在 x1,2内近似解的过程中．设得 f (1)0, f (1.5) 0, f (1.25) 0 ，则方程的根落在区间（）A. 1,1.25B. 1.25,1.5C. 1.5,2D.不可以确立9．以下函数中，在0,上为减函数的是（）A．f x3x B． f x log 1 x C． f x x D．f1 x2x 10．若幂函数y(m23m3)x m 2m 2 的图像可是原点，则实数m的取值范围为（）A． 1 m 2B．m 2或m 1 C ．m 2D． m 110.811．若a21.2 , b, c 2 log5 2, ，则a, b,c的大小关系是（）2A．c b a B．c a b C．b a c D．b c a 12．函数f ( x)e x x 2 的零点所在的一个区间是（）（ A）-2,-1（ B）-1,0（ C）0,1（ D）1,2 13．函数的图像大概是（）1 14．已知函数 f ( x) 的图象与函数g ( x)2的单一减区间为（）x的图象对于直线y x 对称，则f (x21)A.,1B. 1,C.0,1D.0,15．已知f ( x)a x 2 , x2是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是（）log a ( x2), x 2A.0,1B.(1,4]C. 1,D.[ 4,)第 II卷（非选择题共 60分）二、填空题（ 5分 420分）将最后结果直接填在横线上。

甘肃省兰州一中高一上学期期中考试数学试题

甘肃省兰州一中高一上学期期中考试数学试题一、选择题：（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的4个选项中只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的序号填入答题卡的表格中.）（交卷只交答题卡） 1.设集合}3{<∈=x R x M ，3=a ,则下列选项正确的是（） A. M a ∉ B. M a ∈}{ C. M a ⊆ D. M a ⊆}{ 2.下列各函数图象中，表示函数31-=x y 的是（）3.已知集合]4,0[=A ，]2,0[=B ，下列从A 到B 的对应关系f ，A x ∈，B y ∈,不是从A 到B 的映射的是（）A.x y x f =→:B. x y x f 32:=→C. x y x f 21:=→D. 281:x y x f =→4.某种细菌在培养过程中，每15min 分裂一次（由1个分裂成2个），这种细菌由1个分裂成4096个需要经过（） A.12h B.4h C.3h D. 2h5.定义在R 上的奇函数在)(x f ),0(+∞上的表达式为,)(x x x f +=上的在则)0,()(-∞x f 表达式为（） A. x x -- B. x x +- C. x x -+- D. x x --- 6. 16log 5log 10log 225log 5444⋅+-的值是（） A. 2 B.－1 C. －2 D. 17.已知函数)1,0(log ≠>=a a x y a 与其反函数的图象有交点,设交点的横坐标为0x ，则（）A. 110>>x a 且B. 10100<<<<x a 且C. 1010<<>x a 且D. 1100><<x a 且8.已知312128.1,2,1.0log ===c b a 则,,a b c 的大小关系是（）A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. b c a <<9.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上为增函数，且0)31(=f ，则不等式0)(log 81>x f 的解集为（）A. ),2()21,0(+∞⋃ B. ),2(+∞C. ),2()1,21(+∞⋃ D. )21,0(10.设函数),0(ln 31)(>-=x x x x f 则函数)(x f y = （）A.在区间),1(),1,1(e e 内均有零点B.在区间),1(),1,1(e e 内均无零点C.在区间)1,1(e 内有零点，在区间),1(e 内无零点D.在区间)1,1(e 内无零点，在区间),1(e 内有零点11.已知)2(log )(ax x f a -=在]1,0[上为减函数，则a 的取值范围为（）A.（0，1）B. （0，2）C. （1，2）D. ),2[+∞12.设奇函数)(x f 在]1,1[-上是增函数，且1)1(-=-f ，若对所有的]1,1[-∈x 及任意的]1,1[-∈a 都满足12)(2+-≤at t x f ，则t 的取值范围是（）A. 022=-≤≥t t t 或或B.02121=-≤≥t t t 或或C. 2121≤≤-t D. 22≤≤-t二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13.函数271312-=-x y 的定义域是 . 14.函数)2(log 231x x y -+=的单调递减区间是 .15.若函数⎩⎨⎧<+≥=)4(,)2()4(,2)(x x f x x f x ，则)3(log 21f 的值为 .16.函数)(x f 对0>x 有意义，且满足1)2(=f ，)()()(n f m f mn f +=,)(x f 为增函数．如果2)3()(≤-+x f x f ，则实数x 的取值范围是 .三、解答题：（写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共48分.）17.(本小题8分)（1）(4分)求值13256)71(027.0143231+-+-----（2）(4分) 设20≤≤x ，求函数524121+-=+-x x y 的最大值和最小值.18. (本小题8分)求实数m 的取值范围，使关于x 的方程22(1)260x m x m +-++= （1）有两个实根，且都大于1.（2）有两个实根α、β，且满足014αβ<<<<.19.(本小题10分)设=A {}{}222|40,|2(1)10,x x x B x x a x a +==+++-= （1）若A B B =，求 a 的值. （2）若A B B =，求 a 的值.20. (本小题10分)已知函数)12lg()(2++=x ax x f .(1)若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的范围.(2)若)(x f 的值域为R ，求实数a 的范围.21. (本小题12分)已知函数)(log )(x a a a x f -=. (1) 当1>a 时，求)(x f 的定义域、值域. (2) 当1>a 时，判断)(x f 的单调性,并用定义证明. （3）解不等式)()2(2x f x f >-.兰州一中2012—2013—1学期高一年级数学期中试卷答案一、选择题：（本大题共12小题,每小题3分,共36分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCBCADBCADCA二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13. ),1[+∞- 14. ]21,1(- 15.36416. ]4,3( 三、解答题：（共48分）17. (本小题8分)（1）解:1918. (本小题8分)（1）0(1)02(1)12f m ⎧⎪∆≥⎪>⎨⎪-⎪->⎩514m ∴-<≤-（2）(0)0(1)0(4)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩7554m ∴-<<-（2）由A B B B A =⇔⊆，又{}0,4A =-，故①当B =∅时，224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得1a <-； ②当{}{}04B =-或时， 224(1)4(1)0a a ∆=+--=，解得1a =-，此时{}0B =，满足B A ⊆；③当{}0,4B =-时，2224(1)4(1)02(1)410a a a a ⎧∆=+-->⎪-+=-⎨⎪-=⎩，解得1a =. 综上所述，实数a 的取值范围是1a =或者1a ≤-.20. (本小题10分)解：(1)若f (x )的定义域为R ，则关于x 的不等式ax 2＋2x ＋1＞0的解集为R ，即⎩⎨⎧<-=>0440a Δa ，解得a ＞1(2)若f (x )的值域为R ，则ax 2＋2x ＋1能取一切正数∴a ＝0或⎩⎨⎧≥-=>0440a Δa ，解得0≤a ≤11log a =0,即f(x 1)＞f(x 2).∴f(x)为减函数.(3) 当1>a 时，x 2－2＜x,即 x 2－x －2＜0,解得－1＜x ＜2.又函数f(x)定义域为(－∞,1),即⎩⎨⎧<-<1212x x 故所求不等式的解为－1＜x ＜1.当10<<a 时， )(log 22--xa a a ＞)(log x a a a -,∴22-xa ＞a x ,∴x 2－2＜x ，解得－1＜x＜2. 又函数f(x)的定义域为(1，+∞)，即⎩⎨⎧>->1212x x 故所求不等式的解为23<<x 综上，当1>a 时，所求不等式的解集为}11{<<-x x当10<<a 时，所求不等式的解集为}23{<<x x。

2015-2016学年兰州第一中学高一上学期期末考试数学试题

兰州一中2015-2016-1学期期末考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上,交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1. 下列说法中,正确的是()A．幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B．当α＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D．幂函数y＝xα,当α< 0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小2．如图所示,则这个几何体的体积等于()A．4B．6C．8D．123．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为()①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A．0 B．1 C．3 D．44．如图,在三棱锥S﹣ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝SA ＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为()A． 30°B． 45°C．60°D．90°5. 如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E 、F ,且EF , 则下列结论中错误的是 ( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．直线AB 与平面BEF 所成的角为定值D ．异面直线AE 、BF 所成的角为定值6. 若函数 ()(0x f x a x a a =-->且1a ≠)有两个零点,则实数a 的取值范围是 ( )A ．(0,1)B ．(1,)+∞C ．)∞D ．0⎛ ⎝⎦7. 已知,m n 为异面直线, m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄, 则 ( ) A ．α∥β,且l ∥α B ．αβ⊥,且l β⊥C ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l8. 已知直线（1+k ）x +y -k -2＝0过定点P ,则点P 关于直线x -y -2＝0的对称点的坐标是( )A ．（3,﹣2）B ．（2,﹣3）C ．（3,﹣1）D ．(1,﹣3）9. 如图,平面α⊥平面β,A α∈,B β∈, AB 与两平面α、β所成的角分别为45°和30°．过A 、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为A ′、B ′,则AB ：A ′B ′＝ ( )A ． 2 ：1B ． 3 ：1C ． 3 ：2D ． 4 ：310. 经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为 ( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11. 已知直线1l : x +(1+m )y +m -2=0与直线2l :mx ＋2y ＋8＝0平行,则经过点A (3,2)且与直线1l 垂直的直线方程为________．12. 用斜二测画法得到的四边形ABCD 是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰则原四边形的面积是________．13. 已知三棱锥A -BCD 则该三棱锥的外接球的表面积为________． 14. 已知关于x 的方程22210x mx m +++=有两根,其中一根在区间(1,0)-内,另一根在区间(1,2)内,求m 的取值范围是________．15. 甲、乙、丙、丁四个质点同时从某一点出发向同一个方向运动,其轨迹f i (x ) (i =1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为1()21x f x =-, 22()f x x =, 3()f x x =, 42()log (1)f x x =+,有以下结论：①当x ＞1时,甲在最前面； ②当x ＞1时,乙在最前面；③当0＜x ＜1时,丁在最前面,当x ＞1时,丁在最后面； ④丙不可能在最前面,也不可能在最后面； ⑤如果它们一直运动下去,最终在最前面的是甲．其中,正确结论的序号为___________ (把正确结论的序号都填上,多填,错填或少填均不得分)．三、解答题(本大题共5小题,共50分)16. （本小题8分）如图（1）所示,在直角梯形ABCD 中, BC ∥AP , AB ⊥BC ,CD ⊥AP, AD =DC =PD =2.又 E 、F 、G 分别为线段PC 、PD 、BC 的中点,现将△PDC 折起,使平面PDC ⊥平面ABCD （图（2））．（1）求证：平面EFG ∥平面P AB ；（2）求三棱锥C -EFG 的体积．17.（本小题10分）已知两点)3,4(-A ,)1,2(-B ,直线0234=-+y x l ：,求一点P 使PB PA =,且点P 到直线l 的距离等于2．18.（本小题10分）(1)已知圆C 经过(0,0)O , (2,2)Q -两点,且被直线y =1截得的线段长为求圆C 的方程.(2)已知点P (1,1)和圆x 2＋y 2－4y ＝0,过点P 的动直线l 与圆交于A ,B 两点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.19.（本小题12分）如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD , ∠ABC ＝60°, PA ＝AB ＝BC , E 是PC 的中点． (1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小； (2)证明：AE ⊥平面PCD ； (3)求二面角A -PD -C 的正弦值．20. (本小题10分) 诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后．的基金总额(1999年记为f (1),2000年记为f (2),…,依次类推)(1)用f (1)表示f (2)与f (3),并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据：1.031 29≈1.32)CA PBDE兰州一中2015-2016-1学期期末考试答题卡高一数学答案一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11. 2x -y -4＝0． 12. 82．13. 3π． 14. 5162m -<<-．15. ③④⑤．三、解答题(本大题共5小题，共50分)16．（本小题8分）如图（1）所示,在直角梯形ABCD 中, BC ∥AP , AB ⊥BC ,CD ⊥AP , AD =DC =PD =2.又 E 、F 、G 分别为线段PC 、PD 、BC 的中点,现将△PDC 折起,使平面PDC ⊥平面ABCD （图（2））．（1）求证：平面EFG ∥平面P AB ；（2）求三棱锥C -EFG 的体积．证明：（1）∵E 、F 分别是PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD 又CD ∥AB ． ∴ EF ∥AB ． ∵EF ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB ．同理，EG ∥平面P AB ， ∵EFEG E =，EF ⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG∴平面EFG ∥平面P AB ．（2）V C －EFG ＝V G －CEF ＝13S △CEF ·GC ＝13×（12×1×1）×1＝16． 17. （本小题10分）已知两点)3,4(-A ,)1,2(-B ,直线0234=-+y x l ：,求一点P 使PB PA =,且点P 到直线l 的距离等于2．解：设点P 的坐标为),(b a P ．∵)3,4(-A ，)1,2(-B ．∴AB 的中点M 的坐标为)2,3(-．又AB 的斜率12413-=-+-=AB k ． ∴AB 的垂直平分线方程为32-=+x y ，即05=--y x ．而),(b a P 在直线05=--y x 上． ∴05=--b a ． ①又已知点P 到l 的距离为2． ∴点P 必在于l 平行且距离为2的直线上，设直线方程为034=++m y x ，由两条平行直线之间的距离公式得：252=+m ∴8=m 或12-=m ．∴点P 在直线0834=++y x 或01234=-+y x 上． ∴0834=++b a 或01234=-+b a ② ∴①②得：1=a ，4-=b 或727=a ，78-=b ．∴点)4,1(-P 或)78,727(-P 为所求的点． 18.（本小题10分）(1)已知圆C 经过(0,0)O , (2,2)Q -两点,且被直线y =1截得的线段长为求圆C 的方程.(2)已知点P (1,1)和圆x 2＋y 2－4y ＝0,过点P 的动直线l 与圆交于A ,B 两点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解：(1)设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=.因为点O ,Q 在圆上，代入：04=0F D E =--又由已知，联立：解得：2+10x Dx E ++=由韦达定理知：1212+,1x x D x x E =-⋅=+.即()21212+412x x x x -⋅= 即：24412D E --=.即：24=0D D -. 则 0,44,0D E D E ==-==或者.所以所求圆方程为：22224040x y x x y y ++=+-=或者. (2)设点M （x ,y ）, 圆2240x y y +-=的圆心坐标为C （0,2）. 由题意：1CM AB k k ⋅=-,又AB PM k k = .化简: 22330x y x y +--+=所以M 点的轨迹方程为 22330x y x y +--+=19. （本小题12分）如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD , ∠ABC ＝60°, PA ＝AB ＝BC , E 是PC 的中点． (1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小； (2)证明：AE ⊥平面PCD ； (3)求二面角A -PD -C 的正弦值．解: (1)解：在四棱锥P —ABCD 中，∵P A ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AB .又AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，从而AB ⊥平面PAD ， ∴PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而∠APB 为PB 和平面PAD 所成的角．在Rt △PAB 中，AB ＝PA ，故∠APB ＝45°. 所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°.(2)证明：在四棱锥P —ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴ CD ⊥PA .由条件CD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ∵CD ⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ， ∴AE ⊥CD .由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA . ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .又PC ∩CD ＝C ，综上得AE ⊥平面PCD .(3)解：过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ，如图所示．由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则可证得AM ⊥PD . 因此∠AME 是二面角A —PD —C 的平面角．由已知，可得∠CAD ＝30°. 设AC ＝a ，可得C APB DEPA ＝a ，AD ，PD a ，AE 在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝PA ·AD ，则AM ＝PA AD PD. 在Rt △AEM 中，sin ∠AME ＝AE AM .所以二面角A —PD —C . 20. (本小题10分) 诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后．的基金总额(1999年记为f (1),2000年记为f (2),…,依次类推) (1)用f (1)表示f (2)与f (3),并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据：1.031 29≈1.32) 解：(1)由题意知：f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－12f (1)·6.24%＝f (1)×(1＋3.12%)， f (3)＝f (2)×(1＋6.24%)－12f (2)×6.24% ＝f (2)×(1＋3.12%)＝f (1)×(1＋3.12%)2， ∴f (x )＝19 800(1＋3.12%)x -1(x ∈N *)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为 f (10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·12·f (10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．兰州一中2015-2016-1学期期末考试答题卡高一数学一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11. ． 12. ． 13. ． 14. ． 15. ．三、解答题(本大题共5小题，共50分) 16．(本小题8分)17.（本小题10分）18．（本小题10分）19．（本小题12分）CAPBDE20．（本小题10分）。

甘肃省兰州第一中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

兰州一中2015-2016-1学期高三年级期中考试试题数学 (理)说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，只交答题卡.第I 卷(共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知集合A ={}{}|1,|12,x x B x x >=-<<则（C R A ）B = ( )A ．{}|1x x >-B ．{}|11x x -<≤C ．{}|12x x -<<D ．{}|12x x <<2．若0.52a =，log 3b π=，22log sin 5c π=，则 ( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．设曲线y ＝11x x +-在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于 ( ) A ．2B ．12C. －2D ．－124. 已知函数f (x )=20082cos(2000)32(2000)x x x x π-⎧≤⎪⎨⎪>⎩，则f = ( ) AB ．C ．1D ． -15．下列说法中，正确的是 ( ) A ．命题“若a 0”的否定是“对任意x ∈R ，x 2-x <0” D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件6. 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A ．12B. －12 C ．－32D.327．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于 ( ) A ．1 B. 12 C. 13 D. 238．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝( ) A ．-1B ．1C ．21e D ．e29．若将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( ) A.16B.14C.13D.1210．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤311. 设函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的图象关于直线x =23π对称,相邻两个对称中心之间的距离为2π,则( )A ．f (x )的图象过点(0,12) B. f (x )在[12π,23π]上是减函数 C. f (x )的一个对称中心是(512π,0)D. 将f (x )的图象向右平移||ϕ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象12．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a 0B ．f (0)f (3)>0C ．f (0)f (2)>0D ．f (0)f (3)<0第Ⅱ卷(共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，则a·b ＝．14．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率是．15．已知0<β<2π<α<π，且cos(α-2β)＝－19，sin(2α-β)＝23，则cos(α＋β)=_____．16．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为_______．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知a sin A -c sin C =(a -b )sin B , △ABC（1）求C ；（2）求△ABC 的面积S 的最大值.18.（本小题满分12分）在三棱锥M -ABC 中,AB =2AC =2，MA =MB，AB =4A N ，AB ⊥AC ，平面MAB ⊥平面ABC ，S 为BC 的中点.(1) 证明：CM ⊥SN ；(2) 求SN 与平面CMN 所成角的大小.19．(本小题满分12分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；(2)从，使 2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4～1:几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线，已知AC =AB .(1) 若CG =1，CD =4，求DEGF的值; (2) 求证：FG //AC .23．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cos,2sinx ty tαα=+⎧⎨=+⎩（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1,2）,设圆C与直线l交于点A，B．求∣PA∣+∣PB∣的最小值．24．（本小题满分10分）选修4～5：不等式选讲设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：111 364a b+<;(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．兰州一中2015-2016-1学期期中考试参考答案高三数学（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知集合A ={}{}|1,|12,x x B x x >=-<<则（C R A）B =( )A ．{}|1x x >-B ．{}|11x x -<≤C ．{}|12x x -<<D ．{}|12x x <<【答案】B【解析】(){1}R A x x =≤ð，所以(){11}R A B x x =-<≤ð.2．若2a =，log 3b π=，22log sin5c π=，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】A 3．设曲线y ＝11x x +-在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于 ( ) A ．2B ．12C. －2D ．－12【答案】C 【解析】因为y ＝x ＋1x －1的导数为y ′＝－2(x －1)2，所以曲线在(3,2)处的切线斜率为k ＝－12，又直线ax ＋y ＋3＝0的斜率为－a ，所以－a ·(－12)＝－1，解得a ＝－2.4.已知函数f (x )=20082cos (2000)32(2000)x x x x π-⎧≤⎪⎨⎪>⎩，则f =( ) AB ．C ．1D ． -1【答案】D 【解析】201320085(2013)2232f -===，所以322[(2013)](32)2cos2cos 133f f f ππ====-. 5．下列说法中，正确的是( )A ．命题“若a 0”的否定是“对任意x ∈R ，x 2-x <0” D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件【答案】B6. 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A ．12B. －12 C ．－32D.32【答案】A【解析】 (1)∵r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.7．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB→＋μBC →，则λ＋μ等于( )A ．1 B. 12 C. 13 D. 23【答案】D【解析】∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →， ∴2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →. 故λ＋μ＝12＋16＝23. 8．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a＝( )A ．-1B ．1C ．21eD ．e2【答案】B【解析】∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x－a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，∴0<1a <2.当x <1a 时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1a )上单调递增；当x >1a 时，f ′(x )<0，f (x )在(1a ，2)上单调递减，∴f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a＝－1，解得a ＝1.9．若将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( ) A.16B.14C.13D.12【答案】D【解析】函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4向右平移π6后得到解析y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋π4. 又因为y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，∴令π4－ωπ6＝π6＋k π，∴π12＝ωπ6＋k π(k ∈Z )，由ω>0得ω的最小值为12.10．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4 C．a ≤2D ．0<a ≤3【答案】A【解析】∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，0<x ≤3，即在(0,3]上f (x )是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2. 11. 设函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的图象关于直线x =23π对称,相邻两个对称中心之间的距离为2π,则( )A ．f (x )的图象过点(0,12) B. f (x )在[12π,23π]上是减函数C. f (x )的一个对称中心是(512π,0) D. 将f (x )的图象向右平移||ϕ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象【答案】C12．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a 0B ．f (0)f (3)>0C ．f (0)f (2)>0D ．f (0)f (3)<0 【答案】B【解析】∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由f ′(x )<0，得1<x <3，由f ′(x )>0，得x <1或x >3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又a 0，y极小值＝f (3)＝－abc <0，∴0<abc <4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a <0，b <0，c >0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图． ∴f (0)<0，∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0，∴正确结论的是B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，则a·b ＝．【答案】52【解析】a ＋2b ＝(－1＋2m ，4)，2a －b ＝(－2－m ，3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52. 14．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率是．【答案】1615．已知0<β<2π<α<π，且cos(α-2β)＝－19，sin(2α-β)＝23，则cos(α＋β)=_____．【答案】－239729【解析】∵0<β<π2<α<π，∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729. 16．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为_______．【答案】 (－1，＋∞)【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .∴f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －xx.(1)若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．(2)若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a .因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a <0.综合(1),(2)得a 的取值范围是 (－1，＋∞). 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知a sin A -c sin C =(a -b )sin B , △ABC （1）求C ；（2）求△ABC 的面积S 的最大值.【解析】 (1)依正弦定理，有()22222,,a c a b b a b ab c -=-+-= 再由余弦定理得12cos ,cos ,2ab ab C C =∴=又C 是三角形△ABC 内角，0,3c C ππ∴<<=.-------------------------------6分(2)S △ABC =211sin sin sin sin sin()2233ab C ab A B A A ππ==+-6A π-------------------------------10分max 3A B S π∴===+当时，-------------------------------12分18.（本小题满分12分）在三棱锥M -ABC 中,AB =2AC =2，MA =MB ，AB =4A N ，AB ⊥AC ，平面MAB ⊥平面ABC ，S 为BC 的中点.(1) 证明：CM ⊥SN ；(2) 求SN 与平面CMN 所成角的大小.【解析】解法一：（1）取AB 中点O ，连接MO 、CO 、SO ∵MA =MB ，∴MO ⊥AB∵平面MAB ⊥平面ABC ，平面MAB ∩平面ABC =AB∴MO ⊥平面ABC -------------------------------2分∵△NOS 和△AOC 都是等腰直角三角形 ∵AB =2AC =2，AB =4AN ， ∴AO =AC ，NO =SO ， ∴∠AOC =45°，∠ONS =45°，∴CO ⊥SN ，∴CM ⊥SN . -------------------------------6分（2）在△MNC 中， MN , CN , CM =32， ∴S △MNC =38-------------------------------10分设S 到平面MNC 的距离为h ，SN 与平面CMN 所成角为θ, ∵V M ﹣NSC =V S ﹣NMC ∴S △NSC .MO =S △MNC .h ∴h =12-------------------------------11分∴sin θ=h SN=2∴SN 与平面CMN 所成角为4π .-------------------------------12分解法二：（1）证明：取AB 中点O ，连接MO 、SO ，∵MA =MB ，∴MO ⊥AB ，∵平面MAB ⊥平面ABC ，平面MAB ∩平面ABC =AB , ∴MO ⊥平面ABC ，又SO ⊥AB ； ∴如图,可以以O 为原点，以OB 为x 轴，以OS 为y 轴，以OM 为z 轴建立空间直角坐标系， -------------------------------2分各点坐标如下：C (-1,1,0)、M (0,0,12)、N (-12,0,0)、S (0,12,0) ∴CM=(1,-1,12)，SN=(-12,-12,0)，-------------------------------5分∴ 0CM SN ⋅=, ∴CM ⊥SN -------------------------------6分（2）由题意知CN =(12, -1, 0), NM =(12, 0, 12)， ------------------------8分设平面CMN 的法向量为n =(x ,y ,z )，则0n CN n NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴02022xy x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令y =1,得平面CMN 的法向量为n =(2,1,-2)，-------------------------------10分设SN 与平面CMN 所成角为θ，则sin θ=|cos<n ,SN >|， ∴SN 与平面CMN 所成角为4π-------------------------------12分 19．(本小题满分12分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： (1)补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；(2)从，使 2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．【解析】(1)∵函数的定义f ′(x )＝-1xax a e +-,域为R ，---------------------------1分1)当a =0时，f ′(x )<0，f (x ) 的单调递减区间是(－∞，＋∞);2)当a <0时，由f ′(x )=0，得x =1a a-; ∴f (x ) 的单调递减区间是(－∞，1a a -),单调递减区间是(1a a -，+∞);3)当0<a <1时，由f ′(x )=0，得x =1a a -;∴f (x ) 的单调递减区间是(1a a -，+∞),单调递减区间是(－∞，1a a-).-----------------------5分(2)假设存在x 1，x 2∈，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，则2min <max . ∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋（1－t ）x ＋1ex，∴φ′(x )＝－x 2＋（1＋t ）x －t e x ＝－（x －t ）（x －1）ex.①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在上单调递减， ∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e2>1.②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0.③当0<t <1时，若x ∈，φ′(x )>0，φ(x )在(t ，1]上单调递增，所以2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2·t ＋1e t<max{1，3－te}，(*), 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1et在上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e ，所以不等式(*)无解．综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪(3－e2，＋∞)，使得命题成立． ----------------------12分22.（本小题满分10分）选修4～1:几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线，已知AC =AB .(1) 若CG =1，CD =4，求DEGF的值; (2) 求证：FG //AC .【解析】(1) 由题意可得：F D E G ,,,四点共圆，CED CFG CDE CGF ∠=∠∠=∠∴,.CGF ∆∴∽CDE ∆. CGCDGF DE =∴. 又4,1==CD CG ，∴GFDE =4.-----------------------4分(2)因为AB 为切线，AE 为割线，AB 2=AD ·AE ，又因为AC =AB ，所以AD ·AE =AC 2，．所以AD ACAC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC △∽ACE △，所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠，所以FG //AC ． ----------------------10分23．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=6sin θ. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若点P （1,2）,设圆C 与直线l 交于点A ，B ．求∣PA ∣+∣PB ∣的最小值．【解析】（1）由ρ=6sin θ得ρ2=6ρsin θ.，化为直角坐标方程为x 2+y 2=6y ，即x 2+(y -3)2=9.-----------------------4分（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(cos sin )70t t αα+--=. 由2(2cos 2sin )470αα∆=-+⨯>，故可设12,t t 是上述方程的两根，所以12122(cos sin ),7,t t t t αα+=--⎧⎨⋅=-⎩又直线l 过点(1,2)，故结合t 的几何意义得||||PA PB +=1212||||||t t t t +=-==所以∣PA ∣+∣PB ∣的最小值为-----------------------10分24．（本小题满分10分）选修4～5：不等式选讲设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：111364a b +<; (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．【解析】(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12，则M ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，12. 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14-----------------------5分(2)由(1)得a 2<14，b 2<14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0，所以|1－4ab |2>4|a －b |2，故|1－4ab |>2|a－b |-----------------------10分。

兰州一中2015-2016学年高一上学期期中数学试题

兰州一中2015-2016-1学期高一年级期中考试试题数学说明：本试卷满分100分，考试时间100分钟．一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填入答题卡的表格中.） 1．已知集合{}3,2,1,0=U ,{},2,1,0=A ,{}3,2=B ,则B A C U )(等于( )．A ． {}3,1 B ．{}3,2 C ．{}3 D ． {}3,12,0 2．如果12log x 0log 21<<y ，那么( )．A ．1<<x yB ．1<<y xC ． 1>>x yD ． 1>>y x3．下列各组函数表示相同函数的是( )． A ．2)(x x f =，2)()(x x g = B ．1)(=x f ，0)(x x g =C ．⎩⎨⎧<-≥=0,0,)(x x x x x f ，2)(x x g = D ．1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g4．若集合{}0122=++∈=x ax R x A 中只有一个元素，则实数a 的值为 ( )． A ．0或1 B ．0 C ．1 D ．0或1- 5．若6.03=a ，2.0log 3=b ，36.0=c ，则( )．A ．b c a >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >> 6．函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递减区间为( )．A ． )1,(-∞B ． ),1(+∞C ． )1,(--∞D ．),3(+∞7．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，对任意R x ∈，都有)()4(x f x f =+，若2)3(=-f ，则)7(f 等于( )．A ．2 012B ．2C ．2 013D ．－2 8．已知函数⎩⎨⎧>≤+-=-7,7,10)31()(7x a x a x a x f x 是定义域),(+∞-∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是( )．A ．)21,31( B ． ]116,31( C ． )32,21[ D ． ]116,21( 9. 函数)1lg()(-=x x f 的大致图象是( )．10．当210≤<x 时，x a xlog 4<，则实数a 的取值范围是( )． A ． )22,0( B ． )1,22( C ．)2,1( D ．)2,2(二．填空题（本大题共5小题,每小题4分，共20分，答案写在答题卡上．） 11．已知函数()2log ,0,3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则18f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ． 12．函数112)(++=x x x f 在区间]4,2[上的值域为． 13．函数()log (23)1a f x x =-+的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是 .14．已知函数34)(2+-=x x x f ，若方程m x f =)(有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是．15．设定义在]2,2[-上的偶函数)(x f 在区间]2,0[上单调递减，若)()1(m f m f <-，则实数m 的取值范围是________．兰州一中2015-2016-1学期高一年级期中考试试题数学答题卡二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．； 12．；13．；14. ； 15．．三．解答题（本大题共5小题，共50分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分8分）计算下列各式的值：（1）2103439)41()2(4)161(-+-⋅--- （2）3log 333558log 932log 2log 2-+-17．（本小题满分8分）已知集合{}72≤≤-=x x A ，{}121-<<+=m x m x B ，若能使A B A = 成立的所有实数m 的集合是C ，求集合C ．18．（本小题满分10分）设20≤≤x ，求函数524121+-=+-x x y 的最大值和最小值及相应x 的值．19．（本小题满分12分）若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，x x x f 2)(2+=．（1）写出函数)(x f )(R x ∈的解析式．（2）若函数22)()(+-=ax x f x g ])2,1[(∈x ，求函数)(x g 的最小值．20．（本小题满分12分）已知函数11)(+-=x x e e x f ．（1）判断)(x f 的奇偶性．（2）判断)(x f 在R 上的单调性，并用定义证明．（3）是否存在实数t ，使不等式0)()(22≥-+-t x f t x f 对一切]2,1[∈x 恒成立？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．兰州一中2015-2016-1学期高一年级期中考试试题数学答题卡二．填空题（每小题4分，共20分．）11．127； 12．]59,35[； 13．)1,2(；14. 0＜m ＜1 ； 15．⎣⎡⎭⎫－1，12．三．解答题（本大题共5小题,共50分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分8分）计算下列各式的值：（1）2103439)41()2(4)161(-+-⋅--- （2）3log 333558log 932log 2log 2-+-解：（1）原式=216（2）原式=1- 17．（本小题满分8分）已知集合{}72≤≤-=x x A ，{}121-<<+=m x m x B ，若能使A B A = 成立的所有实数m 的集合是C ，求集合C ．解: 由A B A = 得A B ⊆当φ=B 时， m ＋1≥2m －1，得m ≤2. 当φ≠B 时， ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是(－∞，4]．18．（本小题满分10分）设20≤≤x ，求函数524121+-=+-x x y 的最大值和最小值及相应x 的值．解：y =421-x －2·2x+5=21(2x )2－2·2x +5令t =2x(0≤x ≤2),则1≤t ≤4 ∴y =21t 2－2t +5=21(t －2)2+3,t ∈［1,4］∴当t =2,即2x =2,x =1时，y 有最小值为当t =4，即2x =4,x =2时，y 有最大值为19．（本小题满分12分）若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，x x x f 2)(2+=．（1）写出函数)(x f )(R x ∈的解析式．（2）若函数22)()(+-=ax x f x g ])2,1[(∈x ，求函数)(x g 的最小值．解：（1）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ＞0)，x 2＋2x (x ≤0). 4分（2）g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a (a ≤0)，－a 2－2a ＋1(0＜a ≤1)，2－4a (a ＞1).8分20．（本小题满分12分）已知函数11)(+-=x x e e x f ．（1）判断)(x f 的奇偶性．（2）判断)(x f 在R 上的单调性，并用定义证明．（3）是否存在实数t ，使不等式0)()(22≥-+-t x f t x f 对一切]2,1[∈x 恒成立？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）R x ∈)(1111)(x f ee e e xf xxxx -=+-=+-=--- )(x f ∴是奇函数． 3分（2）任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则)1)(1()(2)()(212121++-=-x x x x e e e e x f x f ，∵x 1<x 2，∴21xx e e < ，∵0)1)(1(21>++x x e e ， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上是增函数． 4分（3）假设存在实数t 满足条件．由f (x )是R 上的奇函数，不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0可化为f (x －t )≥－f (x 2－t 2)，即f (x －t )≥f (－x 2＋t 2)，又f (x )是R 上的增函数，∴f (x －t )≥f (－x 2＋t 2)等价于x －t ≥－x 2＋t 2，即x 2＋x －t 2－t ≥0对一切]2,1[∈x 恒成立，即t t x x +≥+2min 2)( 即t t +≥22解得12≤≤-t综上所述，存在12≤≤-t 使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切]2,1[∈x 恒成立． 5分。

甘肃省兰州一中—2015学年高一上学期期中考试数学试卷.txt

一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中.） 1．已知集合，，若，则（ C ） A. B. C.或 D.或 2．函数的定义域是（ B　） A．B． C．D． 3．点在映射作用下的象是，则点在的作用下的原象是（ A ） A． B． C． D． 4．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ A ） 5．幂函数的图像经过点，则满足的的值为（ D ）A.3B.C.27D. 6．，则函数f(x)的解析式为（ C ） A．f(x)=x2 B．f(x)=x2＋1(x≥1) C．f(x)=x2－2x＋2 (x≥1) D．f(x)=x2－2x(x≥1) 7．设，则的大小关系是（ C ） A. B. C. D. 8．为定义在R上的奇函数，且在内是增函数，又，的解集为（ B ） A． B． C． D． 9．函数在上的最小值是（ C ） A. B .0 C.2 D.10 10．设函数，则满足的取值范围是（ D ） A. B. C. D. 1．设是关于的方程的两个实根,则(-1)2+(-1)2的最小值是（ B ） A．． 12B．8C．18D． 12．设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当时，，若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是(　D　) A．(1,2) B． C． D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）. 13．函数的单调递减区间是 . 14．函数y＝的值域是___________【答案】 (0，1) 15．已知函数为定义在区间上的奇函数，则________ 【答案】 2 16．定义在R上的函数为奇函数，对于下列命题： ①函数满足；②函数图象关于点（1，0）对称； ③函数的图象关于直线对称；④函数的最大值为； ⑤．其中正确的序号为________．【答案】①②③⑤ 三、解答题：（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分6分）设集合，集合，（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） (2) 18.（本大题共2个小题，每小题4分，共10分）（1）若，化简：（2）若，，试用表示 19. （本小题满分10分）已知. （1）判断的奇偶性；（2）判断在定义域上的单调性并用单调性的定义证明．【答案】：解：（1）若有意义，则，解得定义域为（-1,1），关于原点对称. 又因为所以为奇函数. （2）函数在定义域（-1,1）上单调递减. 证明：任取，因为，所以即所以在区间（-1,1）上为减函数. 20. （本小题满分10分）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．（1）写出函数的解析式；（2）若函数，求函数的最小值. 【答案】 21. （本小题满分12分）已知函数是定义在上的奇函数,且,若, 有. (1)判断的单调性,并加以证明; (2)解不等式; (3)若对所有,恒成立,求实数的取值范围.。

甘肃省兰州第一中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题

兰州一中2015-2016-1学期高三年级期中考试试题数学 (理)第I 卷(共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合A ={}{}|1,|12,x x B x x >=-<<则（C R A ） B = ( )A ．{}|1x x >-B ．{}|11x x -<≤C ．{}|12x x -<<D ．{}|12x x <<2．若0.52a =，log 3b π=，22log sin5c π=，则 ( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．设曲线y ＝11x x +-在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于 ( )A ．2B ．12 C. －2 D ．－124. 已知函数f (x )=20082cos (2000)32(2000)x x x x π-⎧≤⎪⎨⎪>⎩，则f [ f (2015)]= ( ) AB ．C ．1D ． -15．下列说法中，正确的是 ( ) A ．命题“若a 0”的否定是“对任意x ∈R ，x 2-x <0”D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件6. 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为 ( )A ．12 B. －12 C ．－32 D. 327．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO→＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于 ( )A ．1 B. 12 C. 13 D. 238．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝ ( )A ．-1B ．1C ．21e D ．e 29．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( ) A.16B.14C.13D.1210．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤311. 设函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的图象关于直线x =23π对称,相邻两个对称中心之间的距离为2π,则 ( ) A ．f (x )的图象过点(0,12) B. f (x )在[12π,23π]上是减函数C. f (x )的一个对称中心是(512π,0)D. 将f (x )的图象向右平移||ϕ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象12．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a 0B ．f (0)f (3)>0C ．f (0)f (2)>0D ．f (0)f (3)<0第Ⅱ卷(共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，则a·b ＝．14．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率是．15．已知0<β<2π<α<π，且cos(α-2β)＝－19，sin(2α-β)＝23，则cos(α＋β) =_____．16．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为_______．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知a sin A -c sin C =(a -b )sin B , △ABC（1）求C ；（2）求△ABC 的面积S 的最大值.18.（本小题满分12分）在三棱锥M -ABC 中,AB =2AC =2，MA =MBAB =4A N ，AB ⊥AC ，平面MAB ⊥平面ABC ，S 为BC 的中点.(1) 证明：CM ⊥SN ；(2) 求SN 与平面CMN 所成角的大小.19．(本小题满分12分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对 [25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望E (X ).20.(本小题满分12分)己知A 、B 、C 是椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆的中心，且0AC BC ⋅= ，||2||BC AC =.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(0, t )的直线l (斜率存在时)与椭圆C 交于P ，Q 两点，设D 为椭圆C 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =，求实数t 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝1x ax e+ (e 为自然对数的底数)．(1)若a <1，求函数f (x )的单调区间；(2)若a =1,函数φ(x )＝xf (x )＋t f ′(x )＋1xe ，存在实数x 1，x 2∈[0，1]，使 2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4～1:几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线，已知AC =AB .(1) 若CG =1，CD =4，求DEGF的值;(2) 求证：FG //AC . 23．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=6sin θ. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若点P （1,2）,设圆C 与直线l 交于点A ，B ．求∣P A ∣+∣PB ∣的最小值． 24．（本小题满分10分）选修4～5：不等式选讲设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：111364a b +<;(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．兰州一中2015-2016-1学期期中考试参考答案高三数学（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合A ={}{}|1,|12,x x B x x >=-<<则（C R A ）B =( )A ．{}|1x x >-B ．{}|11x x -<≤C ．{}|12x x -<<D ．{}|12x x <<【答案】B【解析】(){1}R A x x =≤ð，所以(){11}R A B x x =-<≤ ð. 2．若0.52a =，log 3b π=，22log sin5c π=，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 【答案】A3．设曲线y ＝11x x +-在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12 C. －2 D ．－12【答案】C【解析】因为y ＝x ＋1x －1的导数为y ′＝－2(x －1)2，所以曲线在(3,2)处的切线斜率为k ＝－12，又直线ax ＋y ＋3＝0的斜率为－a ，所以－a ·(－12)＝－1，解得a ＝－2.4. 已知函数f (x )=20082cos (2000)32(2000)x x x x π-⎧≤⎪⎨⎪>⎩，则f [ f (2015)]= ( ) AB ．C ．1D ． -1【答案】D【解析】201320085(2013)2232f -===，所以322[(2013)](32)2cos2cos 133f f f ππ====-. 5．下列说法中，正确的是 ( )A ．命题“若a 0”的否定是“对任意x ∈R ，x 2-x <0”D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件【答案】B6. 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．12 B. －12 C ．－32 D. 32【答案】A【解析】 (1)∵r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.7．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO→＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于 ( )A ．1 B. 12 C. 13 D. 23【答案】D【解析】∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →， ∴2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →. 故λ＋μ＝12＋16＝23. 8．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最为1，则a ＝ ( )A ．-1B ．1C ．21eD ．e 2【答案】B【解析】∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x－a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，∴0<1a <2.当x <1a 时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1a)上单调递增；当x >1a 时，f ′(x )<0，f (x )在(1a ，2)上单调递减，∴f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a＝－1，解得a ＝1.9．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( ) A.16B.14C.13D.12【答案】D【解析】函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4向右平移π6后得到解析y ＝tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π6＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋π4. 又因为y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，∴令π4－ωπ6＝π6＋kπ，∴π12＝ωπ6＋kπ(k ∈Z )，由ω>0得ω的最小值为12.10．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤3 【答案】A【解析】∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x≤0时，0<x ≤3，即在(0,3]上f (x )是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.11. 设函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的图象关于直线x =23π对称,相邻两个对称中心之间的距离为2π,则 ( ) A ．f (x )的图象过点(0,12) B. f (x )在[12π,23π]上是减函数C. f (x )的一个对称中心是(512π,0)D. 将f (x )的图象向右平移||ϕ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象【答案】C12．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a 0B ．f (0)f (3)>0C ．f (0)f (2)>0D ．f (0)f (3)<0 【答案】B【解析】∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由f ′(x )<0，得1<x <3，由f ′(x )>0，得x <1或x >3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又a 0，y 极小值＝f (3)＝－abc <0，∴0<abc <4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a <0，b <0，c >0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图． ∴f (0)<0，∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0，∴正确结论的是B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，则a·b ＝．【答案】52【解析】a ＋2b ＝(－1＋2m ，4)，2a －b ＝(－2－m ，3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52. 14．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率是．【答案】1615．已知0<β<2π<α<π，且cos(α-2β)＝－19，sin(2α-β)＝23，则cos(α＋β) =_____．【答案】－239729【解析】∵0<β<π2<α<π，∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， ∴cosα＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.16．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为_______．【答案】 (－1，＋∞)【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .∴f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x.(1)若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．(2)若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a .因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a <0.综合(1),(2)得a 的取值范围是 (－1，＋∞). 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知a sin A -c sin C =(a -b )sin B , △ABC （1）求C ；（2）求△ABC 的面积S 的最大值.【解析】 (1)依正弦定理，有()22222,,a c a b b a b ab c -=-+-= 再由余弦定理得12cos ,cos ,2ab ab C C =∴=又C 是三角形△ABC 内角，0,3c C ππ∴<<=. -------------------------------6分(2) S △ABC =211sin sin sin sin sin()2233ab C ab A B A A ππ===+-)+6A π= -------------------------------10分max 3A B S π∴===当时，-------------------------------12分18.（本小题满分12分）在三棱锥M -ABC 中,AB =2AC =2，MA =MB AB =4A N ，AB ⊥AC ，平面MAB ⊥平面ABC ，S 为BC 的中点.(1) 证明：CM ⊥SN ；(2) 求SN 与平面CMN 所成角的大小. 【解析】解法一：（1）取AB 中点O ，连接MO 、CO 、SO ∵MA =MB ，∴MO ⊥AB∵平面MAB ⊥平面ABC ，平面MAB ∩平面ABC =AB∴MO ⊥平面ABC -------------------------------2分∵△NOS 和△AOC 都是等腰直角三角形∵AB =2AC =2，AB =4AN ， ∴AO =AC ，NO =SO ， ∴∠AOC =45°，∠ONS =45°，∴CO ⊥SN ，∴CM ⊥SN . -------------------------------6分（2）在△MNC 中， MN , CN CM =32， ∴S △MNC =38-------------------------------10分设S 到平面MNC 的距离为h ，SN 与平面CMN 所成角为θ, ∵V M ﹣NSC =V S ﹣NMC ∴S △NSC .MO =S △MNC .h ∴h =12-------------------------------11分∴sin θ=h SN∴SN 与平面CMN 所成角为4π . -------------------------------12分解法二：（1）证明：取AB 中点O ，连接MO 、SO ，∵MA =MB ，∴MO ⊥AB ， ∵平面MAB ⊥平面ABC ，平面MAB ∩平面ABC =AB , ∴MO⊥平面ABC ，又SO ⊥AB ；∴如图,可以以O 为原点，以OB 为x 轴，以OS 为y 轴，以OM 为z 轴建立空间直角坐标系， ------2分各点坐标如下：C (-1,1,0)、M (0,0,12)、N (-12,0,0)、S (0,12,0)∴CM =(1,-1,12)，SN =(-12,-12,0)， ----------5分∴ 0CM SN ⋅=, ∴CM ⊥SN ---------------6分（2）由题意知CN =(12, -1, 0), NM =(12, 0, 12)， ---------------8分设平面CMN 的法向量为n =(x ,y ,z )，则0n CN n NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴02022x y x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令y =1,得平面CMN 的法向量为n=(2,1,-2)， ----------------10分设SN 与平面CMN 所成角为θ，则sin θ=|cos<n ,SN >|，∴SN 与平面CMN 所成角为4π-------------12分19．(本小题满分12分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对 [25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望E (X ). 【解析】（1）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：-------------------------------2分第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n ==．第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==．第四组的频率为0.0350.15⨯=,第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=．----------------------6分（2）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人．随机变量X 服从超几何分布．031263185(0)204C C P X C ===，1212631815(1)68C C P X C ===， 2112631833(2)68C C P X C ===，3012631855(3)204C C P X C ===． ------------------------------- 10分∴5153301232468EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． -----------------------------12分 20.(本小题满分12分) 己知A 、B 、C 是椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)上的三点，其中点A的坐标为，BC 过椭圆的中心，且0AC BC ⋅=，||2||BC AC = .(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(0, t )的直线l (斜率存在时)与椭圆C 交于P ，Q 两点，设D为椭圆C 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =，求实数t 的取值范围．【解析】（1）∵||2|BC AC = 且BC 过(0,0)，则||||OC AC =．∵0AC BC ⋅=，∴90OCA ∠=︒，即C ． ………………2分又∵a =m 的方程为22211212x y c +=-，代入C 点坐标得28c =，24b =． ∴椭圆m 的方程为221124x y +=． -------------------------------5分（2）由条件D (0,-2)，当k =0时，显然22t -<<； -------------------------------6分当0k ≠时，设l ：y kx t =+，由221124x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得222(13)63120k x ktx t +++-=由0∆>可得，22412t k <+ ① -------------------------------8分设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点00(,)H x y ，则12023213x x ktx k+-==+，00213ty kx t k =+=+,∴223(,)1313kt tH k k -++． -------------------------------10分由|||DP DQ =，∴DH PQ ⊥，即1DHk k =-. ∴2221133013tk kt k k++=---+，化简得213t k =+……② ∴1t > 将①代入②得，14t <<. ∴t 的范围是(1,4).综上(t ∈-． -------------------------------12分21.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝1x ax e+ (e 为自然对数的底数)．(1)若a <1，求函数f (x )的单调区间；(2)若a =1,函数φ(x )＝xf (x )＋t f ′(x )＋1xe ，存在实数x 1，x 2∈[0，1]，使 2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．【解析】(1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝-1xax a e+-,---------------------------1分1)当a =0时，f ′(x )<0，f (x ) 的单调递减区间是(－∞，＋∞);2)当a <0时，由f ′(x )=0，得x =1a a-; ∴f (x ) 的单调递减区间是(－∞，1a a -),单调递减区间是(1a a -，+∞);3)当0<a <1时，由f ′(x )=0，得x =1a a -;∴f (x ) 的单调递减区间是(1a a -，+∞),单调递减区间是(－∞，1a a-).-----------------------5分(2)假设存在x 1，x 2∈[0，1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，则2[φ(x )]min <[φ(x )]max .∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋（1－t ）x ＋1e x，∴φ′(x )＝－x 2＋（1＋t ）x －t e x＝－（x －t ）（x －1）e x . ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0，1]上单调递减， ∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e2>1.②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在[0，1]上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0.③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上单调递减；若x ∈(t ，1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t ，1]上单调递增，所以2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2·t ＋1e t <max{1，3－t e}，(*),由(1)知，g (t )＝2·t ＋1e t 在[0，1]上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e，所以不等式(*)无解．综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪(3－e 2，＋∞)，使得命题成立． ----------------------12分22.（本小题满分10分）选修4～1:几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线，已知AC =AB .(1) 若CG =1，CD =4，求DEGF的值;(2) 求证：FG //AC .【解析】(1) 由题意可得：F D E G ,,,四点共圆，CED CFG CDE CGF ∠=∠∠=∠∴,.CGF ∆∴∽CDE ∆. CG CDGF DE =∴. 又 4,1==CD CG ，∴GFDE=4. -----------------------4分(2)因为AB 为切线，AE 为割线，AB 2=AD ·AE ，又因为AC =AB ，所以AD ·AE =AC 2，．所以AD ACAC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC △∽ACE △，所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠，所以FG //AC ． ----------------------10分 23．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=6sin θ.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若点P （1,2）,设圆C 与直线l 交于点A ，B ．求∣P A ∣+∣PB ∣的最小值．【解析】（1）由ρ=6sin θ得ρ2=6ρsin θ.，化为直角坐标方程为x 2+y 2=6y ，即x 2+(y -3)2=9. -----------------------4分（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(cos sin )70t t αα+--=. 由2(2cos 2sin )470αα∆=-+⨯>，故可设12,t t 是上述方程的两根，所以12122(cos sin ),7,t t t t αα+=--⎧⎨⋅=-⎩又直线l 过点(1,2)，故结合t 的几何意义得||||PA PB +=1212||||||t t t t +=-=所以∣P A ∣+∣PB∣的最小值为 -----------------------10分24．（本小题满分10分）选修4～5：不等式选讲设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：111364a b +<;(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．【解析】(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12，则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12. 所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14 -----------------------5分 (2)由(1)得a 2<14，b 2<14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0，所以|1－4ab |2>4|a －b |2，故|1－4ab |>2|a －b | -----------------------10分。

【完美排版】甘肃省兰州一中高一上学期期中考试数学试题【含答案】

2) ,
(x 4)
(x
4)
，则
f
(log 1
2
3)
的值为
.
16.函数 f (x) 对 x 0 有意义，且满足 f (2) 1， f (mn) f (m) f (n) , f (x) 为增函数．如果
f (x) f (x 3) 2 ，则实数 x 的取值范围是
.
2
三、解答题：（写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共 48 分.）
一、选择题：（本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分）
题号
123456789
10 11 12
答案
D C B C A D B C A DCA
二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)
13. [1,)
14. (1, 1 ] 2
64
15.
3
三、解答题：（共 48 分）17. (本小题 8 分)（1）解:19
B. {a} M
C. a M
1
2.下列各函数图象中，表示函数 y x 3 的是
D. {a} M （）
3.已知集合 A [0,4]， B [0,2]，下列从 A 到 B 的对应关系 f ， x A ， y B ,不是从 A 到
B 的映射的是
A. f : x y x
C.
f
:x
y
1 x
2
21. (本小题 12 分)已知函数 f (x) loga (a a x ) . (1) 当 a 1 时，求 f (x) 的定义域、值域. (2) 当 a 1 时，判断 f (x) 的单调性,并用定义证明. （3）解不等式 f (x2 2) f (x) .

甘肃省兰州第一中学高三数学上学期期中试题

兰州一中2014-2015-1学期高三期中考试数学试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．函数y = ( )A. [1,2]B. [1,2)C. 1(,1]2 D. 1[,1]22. 已知向量(1,2)a =-r ,(3,)b m =r ,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +r r r”的( )A ．充要条件 B.充分不必要条件C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3. 若函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点，则实数m 的取值范围是 ( )A ． (,0]-∞ B. [0,)+∞ C ． (,0)-∞ D. (0,)+∞ 4．在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则=+753a a ( )A ．10 B. 18 C ． 20 D ．28 5．给出如下四个命题：①若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题；②“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b-≤”；③“2,1x R x x ∀∈+≥”的否定是“2000,1x R x x ∃∈+≤”；④“0x >”是 “12x x +≥”的充要条件．其中不正确的命题是 ( )A ．①② B.②③ C ．①③ D.③④6．已知函数2()cos f x x x=-，则(0.6),(0),(0.5)f f f -的大小关系是 ( )A ．(0)(0.6)(0.5)f f f <<- B. (0)(0.5)(0.6)f f f <-< C ．(0.6)(0.5)(0)f f f <-<D. (0.5)(0)(0.6)f f f -<<7.若G 是ABC ∆的重心，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且303aGA bGB cGC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则角A = ( ) A ．90oB.60oC ．45oD.30o8．已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取得极值，则函数3()4y f x π=-是( )A ．奇函数且图象关于点(,0)π对称B. 偶函数且图象关于点3(,0)2π对称C ．奇函数且图象关于点3(,0)2π对称 D. 偶函数且图象关于点(,0)-π对称9．函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的部分图象如图所示,若2||AB BC AB =⋅,则ω等于( )A ．12π B.4πC ．3π D.6π10．如图，A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量AB u u u r 在A 点处与圆O 相切，点P 是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AP u u u r ×AB u u u r的取值范围是( )A ．(5,5)- B. []5,5- C ．55(,)22- D. []0,5 11．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是 ( )A ．②③ B. ①② C ．①③ D. ①②③12．(理)已知函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则++a b c 的取值范围是 ( )A. (1,2014)B. [1,2014]C. (2,2015)D. [2,2015]（文）已知函数m x x e x f x -+-=)1()(2，若,,a b c R ∃∈，且a b c <<，使得 0)()()(===c f b f a f .则实数m 的取值范围是 ( )A ．)1,(-∞ B. ()31,e C ． )3,1(e D.)()1,(3∞+-∞e Y 第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）13.（理）11(2)1x dx x ++ò=_______________________.（文）已知直线21=+y x 与曲线3y x ax b =++相切于点(1,3)，则实数b 的值为______.14. 若将函数sin 2y x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位，得到的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的最小值为_________.15．已知tan 4α=，则21cos 24sin sin 2++ααα的值为 .16．以下命题： ①若⋅=⋅r r r ra b a b,则//r ra b ；②向量(1,1)a =-r 在(3,4)b =r方向上的投影为15；③若ABC ∆中, 5,8,7a b c ===,则u u u r BC ×20=u u u rCA ；④若非零向量a r ,b r 满足+=r r r a b b ,则22>+r r rb a b.所有真命题的序号是______________.三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且2,60c C ︒==.(Ⅰ)求sin sin a bA B ++的值；（Ⅱ）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABCS ∆.18. （本小题满分12分）已知集合}2|1||{<-=x x A ，()()()4{|0}12x x B x x x -=≤-- ，}012|{2<-+=mx x x C ,m R ∈.（Ⅰ）求B A B A Y I ,；（Ⅱ）若)(B A C Y ⊆，求m 的取值范围． 19. （本小题满分12分）已知函数1cos 4cos sin 34)(2+-=x x x x f ．（Ⅰ）求函数()f x 在]2,0[π上的值域；（Ⅱ）若对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立，求0sin(2)3x π-． 20．（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ，且4228S S =+．（Ⅰ）求公差d 的值；（Ⅱ）若11a =，n T 是数列11{}n n a a +的前n 项和，不等式21(5)18n T m m ≥-对所有的*n N ∈恒成立,求正整数m 的最大值.21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x =+，函数()xg x e =，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x <m 的取值范围；（Ⅲ）当0a =时，对于(0,)x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-．四、选考题（本大题10分.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.） 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知,,,A B C D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，//AC DE ，AC 与BD 相交于H 点.(Ⅰ)求证：BD 平分ABC ∠.(Ⅱ)若4,6,8,AB AD BD ===求AH 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C ：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， 2C ：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. (Ⅰ)化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (Ⅱ)若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2,=+⎧⎨=-+⎩x t C y t （t 为参数）距离的最小值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,,,+∈a b c R 且1++=a b c .证明：（Ⅰ）22213++≥a b c ；（Ⅱ）2221++≥a b c b c a .兰州一中2014-2015-1学期高三期中考试数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）题号 123456789101112答案CAACCBDADBDC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）13. （理）2ln 1+（文）3 14. 512π 15．334 16． ①②④三、解答题（17-21每题12分,共60分.22-24为选考题，10分.）17．解：(Ⅰ)由正弦定理可得：2sin sin sin sin 60a b c A B C =====︒，所以sin sin a b A B+==+. …………………6分（Ⅱ）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2224()3a b ab a b ab =+-=+-，又a b ab +=，所以2()340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去），所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯= …………………12分18．解：（Ⅰ） A (1,3)=-Q ，B [0,1)(2,4]=?，A B [0,1)(2,3),∴=⋃I A B (1,4]=-U . …………………6分（Ⅱ）2C (1,4]2mx 10?\+-=Q x 方程小根大于或等于-1，大根小于或等于4，令()221f x x mx =+-，则[]f (1)1m 031f (4)4m 310,m 1.4m 144ìïïï-=-?ïïïï=+?＃íïïïïï-<-<ïïïî解之得 …………………12分19．解：(Ⅰ)1)2cos 1(22sin 321cos 4cos sin 34)(2++-=+-=x x x x x x f1)62sin(4--=πx ， …………………3分∵20π≤≤x ，∴65626πππ≤-≤-x ，∴1)62sin(21≤-≤-πx ，∴3)(3≤≤-x f ，即函数)(x f 在]2,0[π上的值域是[－3，3] ． …………6分（Ⅱ）∵对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立，∴)(0x f 是)(x f 的最大值，∴由Zk k x ∈+=-,22620πππ，解得Z k k x ∈+=,32220ππ∴233sin )3322sin()32sin(0==-+=-πππππk x ．……12分 20．解：（Ⅰ）∵4228S S =+，即11462(2)8+=++a d a d ，化简得：48=d ，解得2=d ． ………………4分（Ⅱ）由11,2,21===-得n a d a n ，∴ 11n n a a +=1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+． …………………6分 ∴=n T 12233411111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=11111111(1)2335572121-+-+-+⋅⋅⋅+--+n n =11(1)221n -+≥13， ……………………8分又∵ 不等式≥n T 21(5)18m m -对所有的*n N ∈恒成立∴13≥21(5)18m m -，化简得：2560--≤m m ，解得：16-≤≤m ．∴正整数m 的最大值为6．……12分21．解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x '=+(0)x >．①当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数.②当0a <时，若1(0,)x a ∈-，()0f x '>,()f x ∴在1(0,)x a ∈-上为增函数；若1(,)x a ∈-+∞，()0f x '<,()f x ∴在1(,)x a ∈-+∞上为减函数.综上所述，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上为增函数.当0a <时，()f x 在1(0,)-a 上为增函数，在1(,)-+∞a 上为减函数 . ………4分(Ⅱ) Q (0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x <成立，∴(0,)x ∃∈+∞，使得3m x e<-+成立，令()3h x x e =-+，则()1x h x e '=-，当(0,)x ∈+∞时，Q 1xe >，+≥=，1x e ∴>，()0h x '∴<，从而()h x 在(0,)+∞上为减函数，()(0)3h x h ∴<=3m ∴< ………8分(Ⅲ)当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()ln 2xx e x ϕ=--， ∴1()x x e x ϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数.设()0x ϕ'=的根为x t =，则1t e t =，即t t e -=.Q 当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(,)t +∞上为增函数，min ()()ln 2ln 22t t t t x t e t e e e t ϕϕ-∴==--=--=+- Q (1)10e ϕ'=->，1()202ϕ'=-<，1(,1)2t ∴∈由于()2t t e t ϕ=+-在1(,1)2t ∈上为增函数，12min 11()()222022tx t e t e ϕϕ∴==+->+->+-=()()2f x g x ∴<-. …………………12分22．证：(Ⅰ)ACD CDE AC DE ∠=∠∴,//Θ又DE Θ切圆O 于点D ，CBD CDE ∠=∠∴CBD ACD ∠=∠∴，而ABD ACD ∠=∠（同弧） ABD CBD ∠=∠∴，所以，BD 平分ABC Ð. ………5分(Ⅱ)由（1）知ABD CBD ∠=∠，又CAD CBD ∠=∠Θ，CAD ABD ∠=∠∴ 又ADH ∠Θ为公共角，所以DBA ∆与DAH ∆相似.BD ADAB AH =∴，因为AB 4,AD 6,BD 8,===所以AH 3\= ………10分23.解：（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1649x y C x y C ++-=+=，1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆.2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. …5分（Ⅱ）当2t π=时，(4,4)-P .设(8cos ,3sin )Q θθ，则3(24cos ,2sin )2M θθ-++，3Q C 为直线270x y --=，∴M 到3C 的距离4cos 3sin 13|d θθ=--43cos ,sin 55∴==-θθ时，d. .… ………10分24．解：（Ⅰ）222,+≥Q a b ab 222,+≥b c bc 222,+≥c a ac 222222222,∴++≥++a b c ab bc ac 222222333222∴++≥+++++a b c a b c ab bc ac2()1=++=a b c22213∴++≥a b c . ………5分（Ⅱ）22+≥Q a b a b ，22+≥b c b c ，22+≥c a c a ，2222()∴+++++≥++a b c a b c a b c b c a ，222∴++≥++a b c a b c b c a ,2221∴++≥a b c b c a . ………10分。

2015-2016学年高一上学期期中数学试卷

2015-2016 学年上学期中段考试卷高一数学一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1. 设会合M={ x | 0x 2} ，N={ x | x 3 0} ，则M∩N=（）A. { x | 0x 1}B.{ x | 0 x 1}C. { x | 0x 2}D. { x | 0x2}2.若a log 3，b log 76，c logA． a＞b＞ c B． b＞a＞ cC． c＞a＞ b D． b＞c＞ a3．已知f ( x)x 21，则 f ( f (2))x10.8，则()．2=( )A.2B. 0C.-2D.– 44．函数f ( x) a x (a0且 a1) 关于随意的实数x , y 都有（）A. f ( xy) f ( x) f ( y)B. f ( xy) f ( x) f ( y)C. f ( x y) f ( x) f ( y)D. f ( x y) f ( x) f ( y) 5．函数y log3 (x22x) 的定义域是( )A.[ －2， 0]B.( － 2， 0)C.( －∞, － 2)D.( －∞ , －2) ∪ (0,＋∞ )6．函数 f(x)＝ ln(x＋ 1)－2的零点所在的大概区间是() ．xA． (0,1)B． (1,2)C． (2 ， e) D ． (3,4) 7．y (1)|x|的函数图象是（）2(A)(B)(C)(D)8．函数y=lg| x|A. 是偶函数，在区间(- ∞,0) 上单一递加B. 是偶函数，在区间(- ∞,0) 上单一递减C. 是奇函数，在区间(0,+ ∞ ) 上单一递加D. 是奇函数，在区间(0,+ ∞ ) 上单一递减9．假如＞ 1,b ＜－ 1,那么函数f ( x ) axb 的图象在( )aA. 第一、二、三象限B.第一、三、四象限C. 第二、三、四象限D.第一、二、四象限10. 已知函数 f (x) log2( x 22x3)，给定区间 E，对随意x1, x2 E ，当 x1x2时，总有 f ( x1 ) f ( x2 ), 则以下区间可作为E的是( )A. （－ 3，－ 1）B. （－ 1， 0）C.（ 1，2）D.（3，6）11．某学生离家去学校，因为怕迟到，因此一开始就跑步，等跑累了再走余下的行程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则以下图中较切合此学生走法的是() ．12．已知函数f(x)＝log 1 x，则方程2A．1B．2C．3x1 f x 的实根个数是() 2D． 4二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分。

甘肃省兰州第一中学2015届高三12月月考数学试题word版含答案

兰州第一中学2015届高三12月月考数学试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1．已知集合{}|1A x x =<，|{x B =13log 0x >},则A B I =A ．(0,1)B ．(1,1)-C ．(1,)+∞D ．∅ 2．已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=A ．35- B ．45- C ．34 D ．353．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)OA t =-uu r ，(2,2)OB =uu u r，若090ABO ∠=，则实数t 的值为A ．2B ．4C ．5D ．84．设{}n a 是由正数组成的等比数列，且5681a a =，则3132310log log log a a a +++L 的值是 A ．20B ．10C ．5D ．2或45．设m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题中错误．．的是 A ．若m β⊥,m α⊂, 则αβ⊥ B ．若αβ⊥,m α⊄,m β⊥, 则//m α C ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂, 则m n ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β, 则αβ⊥ 6．若关于x 的不等式 |x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是 A ．a ≤1 B ．a <1 C ．a >3 D ．a ≥3 7．把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．4π=x8．已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数z y ax =-取得最大值时333 2的唯一最优解为（1，3），则实数a 的取值范围为A ．(,1)-∞-B ．（0,1）C ．[1,)+∞D ． (1,)+∞9．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中m ，n 均大于0，则nm 21+的最小值为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．数列{}n a 中，*111,(1)2(,1)n n n n a a a n N n +=+=-⋅∈≥,S n 是数列{}n a 的前n 项和，则S 10=A ．682B ．-682C ．62D ．-6211.如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为0120，点C 在»AB上，且030COB ∠=，若OC OA OB λμ=+uuu r uu r uu u r，则λμ+=A ．33B ．3C ．3D ．23 12．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()2,+∞上单调递增. 如果122x x <<，且124x x +<，则()()12f x f x +的值 A ．可正可负B ．恒大于0C ．可能为0D ．恒小于0第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）13．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为． 14．数列{}n a 满足*32132(,1)23n n a a a a n N n n++++=-∈≥L ,则n a =________． 15．如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．16．若直角坐标平面内A ,B 两点满足条件：①点A ,B 都在函数()x f 的图象上；②点A ,B 关于原点对称，则称(,)A B 是函数()x f 的一个“姊妹点对”（ (,)A B 与(,)B A 可看作同一点对）．已知CP ()⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,20,22x e x x x x f x，则()x f 的“姊妹点对”有_____个．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ， b ，c ．4a =，8AB AC ⋅=uu u r uuu r，BAC θ∠=．（Ⅰ）求b c⋅的最大值及θ的取值范围；（Ⅱ）求函数22()()2cos 4f πθθθ=++18.如图，在四棱锥中ABCD P -中，底面ABCD 为菱形， 060BAD ∠=，2===AD PD PA ，点M 在线段上，且MC PM 2=,N 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PNB ；（Ⅱ）（只文科生做．．．．．）若平面⊥PAD 平面ABCD ，求三棱锥P NBM -的体积；（只理科生做．．．．．）若平面⊥PAD 平面ABCD ，求二面角P NB M --的平面角的正切值. 19.已知数列}{n a 满足12a =，11221n n n a a ++=++，(1)21n n n b a n =-+⋅+，其中*,1n N n ∈≥．（Ⅰ）求证：数列{}n b 为等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S . 20．设函数x ax x a x f ln 21)(2-+-=（R a ∈）．（Ⅰ）若曲线()y f x =过点(1,1)P ，求曲线()y f x =在点P 处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[1,2]上的最大值． 21．已知函数()()xf x kx e k R =-∈，xxx g ln )(=．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式()()xf xg x e ≥-在区间（0,+)∞上恒成立，求k 的取值范围；（Ⅲ）（只理科生做．．．．．）*(,2)n N n ∈≥．四、选考题（本大题22．选修4-1：几何证明选讲如图，已知是⊙切点为B，,ADE（Ⅰ）证明：AD⋅（Ⅱ）证明：FG//23. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C （Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若[0,)4πα∈于A B、两点，求弦长24．选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知a和b（Ⅱ）若不等式2(x k x-3 332兰州一中2014-2015-1学期12月月考数学试题答案说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABCACDADCBBD第Ⅱ卷 (非选择题共90分)n a =_11, 123,2n n n n -=⎧⎨⋅≥⎩_______． 15．如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 16π ．16．若直角坐标平面内A ,B 两点满足条件：①点A ,B 都在函数()x f 的图象上；②点A ,B 关于原点对称，则称(,)A B 是函数()x f 的一个“姊妹点对”（ (,)A B 与(,)B A 可看作同一点对）．已知()⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,20,22x e x x x x f x，则()x f 的“姊妹点对”有_2__个．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ．4a =，8AB AC ⋅=uu u r uuu r，BAC θ∠=．ABCD PNM（Ⅰ）求b c ⋅的最大值及θ的取值范围；（Ⅱ）求函数22()23sin ()2cos 34f πθθθ=++-的最小值．解：12分18.如图，在四棱锥中ABCD P -中，底面ABCD 为菱形， 060BAD ∠=，2===AD PD PA ，点M 在线段PC 上，且MC PM 2=,N 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PNB ；（Ⅱ）（只文科生做．．．．．）若平面⊥PAD 平面ABCD ，求三棱锥P NBM -的体积；（只理科生做．．．．．）若平面⊥PAD 平面ABCD ，求二面角P NB M --的平面角的正切值. 证明：（I ）PD PA =，N 为AD 的中点，PN AD ∴⊥，又底面ABCD 为菱形， ︒=∠60BAD ，BN AD ∴⊥ , ∴⊥AD 平面PNB ，Q //AD BC , ∴BC ⊥平面PNB ． ----------------------------6分（II ）（文科．．）．Q 平面⊥PAD 平面ABCD ,平面PAD I 平面AD ABCD =,PN AD ⊥PN ∴⊥平面ABCD ，PN ∴⊥NB ,Q 2===AD PD PA 3PN NB ∴==,32PNB S ∴=V 又⊥BC 平面PNB ,MC PM 2=，∴2211233233323P NBM M PNB C PNB V V V ---===⋅⋅=．------------------12分（理．科．）作//ME BC 交PB 于E 点，作EF NB ⊥于F 点，连结MF ． BC ⊥Q 平面PNB ，ME ∴⊥平面PNB ，EF 是MF 在平面PNB 上的射影MF BN ∴⊥，MFE ∴∠是二面角P NB M --的平面角，Q 平面⊥PAD 平面ABCD ,平面PAD I 平面AD ABCD =,PN AD ⊥PN ∴⊥平面ABCD ，PN ∴⊥NB ,Q 2===AD PD PA 3PN ∴=,在PBC V 中可知2433ME BC ==，在PNB V中13EF PN ==tan MFE ∴∠=． -------------------------12分 19.已知数列}{n a 满足12a =，11221n n n a a ++=++，(1)21n n n b a n =-+⋅+，其中*,1n N n ∈≥．（Ⅰ）求证：数列{}n b 为等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .解：（Ⅰ）11111(2)21221(2)212(1)21(1)21n n n n n n n nn n n b a n a n b a n a n +++++-++++-++===-++-++Q ∴数列{}n b 为等比数列. ---------------------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得111,2n n b b -=-∴=-1(21)21,n n a n -∴=+⋅- ---------------------------6分0121(321)(521)(721)(21)21n n S n -⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅++⨯-⎣⎦0121325272(21)2n n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯- ①11232325272(21)22n n S n n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯- ②由①-②，得12121222(21)2(21)212(12)2 1.n nnn n n S n n n nn n +--=++++-+⨯+=-+⨯+-=-⨯+-L (21)21n n S n n ∴=-⨯-+． ---------------------------12分20．设函数x ax x a x f ln 21)(2-+-=（R a ∈）．（Ⅰ）若曲线()y f x =过点(1,1)P ，求曲线()y f x =在点P 处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[1,2]上的最大值．解：（Ⅰ）曲线()y f x =过点(1,1)P ，则1a =，11()ln ,'()1.x f x x x f x x x-=-=-=Q '(1)0f =，∴曲线()y f x =在点P 处的切线方程为1y =． ---------------4分（Ⅱ）)(x f 的定义域为(0,)+∞21(1)1[(1)1](1)'()(1)a x ax a x x f x a x a x x x -+--+-=-+-==-------------5分当1a =时，11()ln ,'()1.x f x x x f x x x-=-=-=得1x >, [1,2]x ∴∈时()0f x '≥,)(x f 单调递增，max ()(2)2ln 2f x f ==-；当10a ->即1a <时，()0f x '=的两根为11,1a -，且111a >-， [1,2]x ∴∈时()0f x '≥，)(x f 单调递增，max ()(2)2ln 2f x f ==-；当10a -<即1a >时，()0f x '=的两根为11,1a -， ①当 111a ≥-即2a ≥时，[1,2]x ∈时'()0,()f x f x ≤单调递减，max 1()(1)2a f x f +==；② 当111a <-即12a <<时，1(1,)1x a ∈-时()0f x '>,)(x f 单调递增，1(,)1x a ∈+∞-时()0f x '<,)(x f 单调递减．若121a ≥-即312a <≤时，[1,2]x ∈时)(x f 单调递增，max ()(2)2ln 2f x f ==-；若121a <-，即322a <<时，max 121()()ln(1)12(1)a f x f a a a -==+---；综上，max32ln 2,2213()ln(1),22(1)21,22a a f x a a a a a ⎧-≤⎪⎪-⎪=+-<<⎨-⎪⎪+≥⎪⎩ ． ---------------------------12分 21．已知函数()()xf x kx e k R =-∈，xx x g ln )(=．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式()()xf xg x e ≥-在区间（0,+)∞上恒成立，求k 的取值范围；（Ⅲ）（只理科生做．．．．．）求证：444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<L *(,2)n N n ∈≥．解：（Ⅰ）∵ ()x f x k e '=-，x R ∈∴ ()0f x '=得x e k =．当0k ≤时，()0f x '<，)(x f 在R 上单调递减；当0k >时，令()0f x '=得ln x k =由()0f x '>的)(x f 的单调递增区间为(,ln )k -∞；由()0f x '<的)(x f 的单调递减区间为(ln ,)k +∞．----------文科6分理科4分（Ⅱ）不等式()()xf xg x e ≥-在区间（0,+)∞上恒成立,则． -------------文科12分理科8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知分.） CGE 都是22交圆C A11 (直角坐标和极坐标互化亦可) ---------------------------5分（Ⅱ）∵cos ,sin x y ρθρθ==，∴222210x y x y +---=将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得： 22(2cos )(2sin )2(2cos )2(2sin )10t t t t αααα+++-+-+-= 整理得：2(2cos 2sin )10t t αα++-=∴12122cos 2sin ,1t t t t αα+=--⋅=-∴12||||AB t t =-== ∵0,4πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴20,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴||AB∈⎡⎣ ． ----------------10分 24．选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知a 和b 是任意非零实数．证明：224a b a b a ++-≥；（Ⅱ）若不等式1211(1)4x x k x +-+>--恒成立,求实数k 的取值范围. 证明：（Ⅰ）|2||2||22|4||a b a b a b a b a ++-≥++-= ∴224a b a b a++-≥． ---------------------------5分（Ⅱ）记,11()21132,121,2x x h x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=+-+=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩ 若不等式1211(1)4x x k x +-+>--恒成立,则函数()h x 的图象在直线1(1)4y k x =--的上方，数形结合可得1(,1]6k ∈． -----------------10分。

甘肃省兰州高一数学上册期中考试题

兰州一中高一年级期中考试试题数学说明:本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）。

1.设集合{}1>∈=x N x A ，则（）A. A ∉φB. A ∉1C. A ∈1D. {}A ⊆1 2.已知函数23)12(+=+x x f 且2)(=a f ，则a 的值等于（） A. -1 B. 5 C. 1 D. 8 3.三个数0.76，60.7，0.7log 6的大小顺序是( )A ．60.70.70.7log 66<≠且的反函数，且)(x f y =图像经过点)a ，则=)(x f ( )A ．2log xB ．12log x C ．12xD ．2x 5.函数y =log 21(x 2-3x +2)的递增区间是（）A ．（-∞,1）B ．（2,+∞）C ．（-∞,23） D ．( 23, +∞)6.已知y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，当x<0时，f (x )等于（） A ．－x (1－x ) B ．x (1－x ) C ．－x (1＋x )D ．x (1＋x )7.已知函数8)(35+++=cx bx ax x f ，且10)2(=-f ，则函数)2(f 的值是（） A.2- B.6- C.6 D.8 8.1(0,1)xy a a a a=-≠≠函数且的图像可能是（） A ． B ． C ． D ．2.05.0A. a c b >>B. c a b >>C. c b a >>D. a b c >> 10.设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时，)(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是( )A.)52(，B.)02(，-C.[)52()25，，-- D .(](2,0)2,5-第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）. 11.函数2()2(1)2f x x a x =+--在区间[)4+∞，上单调递增,则实数a 的取值范围是 (用区间表示);12.函数12()log f x x =在区间[]2,8上的最大值为 ;13.若方程0x a x a --= (a >0，且a ≠1)有两个实根，则实数a 的取值范围是 ; 14.若14log 3=x ，则xx-+44= .兰州一中2016-2017-1学期高一年级期中考试试题数学答题卡一、选择题（本大题共1个题，共40分）11. ； 12. ; 13. ; 14. .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,把答案填在答题．．．．．．．卷．相应位置．．．．(本大题共5小题，共44分)15.（本题满分8分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,221,1,2)(2x x x x x x x f ,(Ⅰ)求f (f (－2))；(Ⅱ)画出函数f (x )的图象,根据图象写出函数的单调增区间并求出函数f (x )在区间(－4,0)上的值域．16.（本题满分8分）已知函数()()110212xf x x x ⎛⎫=+≠⎪-⎝⎭， (Ⅰ)判断函数()f x 的奇偶性； (Ⅱ)证明()0f x >.17.(本题满分8分)已知函数f (x )＝log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－2x ＋1在区间上恒为正，求实数a 的取值范围．18.(本题满分10分)已知－3≤log 12 x ≤－12，求函数f (x )＝(log 2x 2)(log 2x4)的最大值和最小值，并求出对应的x 的值．19.（本题满分10分）设函数()y f x =且lg(lg )lg3lg(3)y x x =+-. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式及定义域； (Ⅱ)求函数()f x 的值域； (Ⅲ)讨论函数()f x 的单调性.数学答题卡一、选择题（本大题共1个题，共40分）11. (],5-∞； 12. -1 ; 13. ),1(+∞; 14. 310. 三、解答题：在相应位置．．．．．解答．．(本大题共5小题，共44分) 15.（本题满分8分）解:（Ⅰ）(2)220f -=-+=((2))(0)02f f f ∴-==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 (Ⅱ)图略 ………………………4分单调增区间为),0(),1,(+∞--∞（开区间，闭区间都给分 …………………………6分由图可知： (4)2f -=- (1)1f -= ()f x ∴的值域为(2,1]-. …………8分 16.（本题满分8分）解：（Ⅰ）1121()()212221x x x x f x x +=+=⋅-- 2121()()221221x x x x x x f x f x --++-=-⋅=⋅=--，为偶函数...................4分（Ⅱ）21()221x x x f x +=⋅-，当0x >，则210x->，即()0f x >；当0x <，则210x-<，即()0f x >， ∴()0f x > .................8分17.(本题满分8分)解：当a >1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－2x ＋1是减函数，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2·2＋1>1，则a <12，矛盾． ……………………………………4分当0<a <1时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－2x ＋1<1，设y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－2x ＋1，分类讨论1a －2的取值，得12<a <23. …………………………………8分18.(本题满分10分)解：∵log 12 (12)－3≤log 12 x ≤log 12(12)－12， ∴log 12 8≤log 12 x ≤log 122，∴2≤x ≤8. ………………………………………………………3分又f (x )＝(log 2x 2)(log 2x4)＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝(log 2x －32)2＋2－94＝(log 2x －32)2－14.∵log 2x ∈， ∴log 2x ∈[12，3]．令log 2x ＝t ，则f (x )＝(t －32)2－14，t ∈[12，3]． ……………………………6分∴f (x )min ＝－14，此时t ＝32，即log 2x ＝32，∴x ＝2 32＝22； ………………………………………………8分f (x )max ＝(3－32)2－14＝2，此时t ＝3，即log 2x ＝3，∴x ＝8. …………………………………10分19.（本题满分10分）解:(Ⅰ)由已知得lg(lg )lg[3(3)]y x x =-，所以lg 3(3)y x x =-，即3(3)10x x y -= ……………………………………………………2分要使函数有意义，则300330x x x >⎧⇒<<⎨->⎩.所以函数的定义域为(0,3) …………………………………………4分(Ⅱ)令23273(3)3()24u x x x =-=--+. ∵03x <<，∴2704u <≤， ∴27041010y <≤，即274110y <≤ …………………………………7分 33∵10uy =在274(1,10)上是增函数，∴3(3)10x x y -=在3(0,)2上是增函数，在3[,3)2上是减函数. ……10分。

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兰州一中2015-2016-1学期高一年级期中考试试题数学说明：本试卷满分100分，考试时间100分钟．一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填入答题卡的表格中.） 1．已知集合{}3,2,1,0=U ,{},2,1,0=A ,{}3,2=B ,则B A C U )(等于( )． A ． {}3,1 B ．{}3,2 C ．{}3 D ． {}3,12,0 2．如果12log x 0log 21<<y ，那么( )．A ．1<<x yB ．1<<y xC ． 1>>x yD ． 1>>y x3．下列各组函数表示相同函数的是( )． A ．2)(x x f =，2)()(x x g = B ．1)(=x f ，0)(x x g =C ．⎩⎨⎧<-≥=0,0,)(x x x x x f ，2)(x x g = D ．1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g4．若集合{}0122=++∈=x ax R x A 中只有一个元素，则实数a 的值为 ( )． A ．0或1 B ．0 C ．1 D ．0或1- 5．若6.03=a ，2.0log 3=b ，36.0=c ，则( )．A ．b c a >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >> 6．函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递减区间为( )．A ． )1,(-∞B ． ),1(+∞C ． )1,(--∞D ．),3(+∞7．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，对任意R x ∈，都有)()4(x f x f =+，若2)3(=-f ，则)7(f 等于( )．A ．2 012B ．2C ．2 013D ．－2 8．已知函数⎩⎨⎧>≤+-=-7,7,10)31()(7x a x a x a x f x 是定义域),(+∞-∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是( )．A ．)21,31( B ． ]116,31( C ． )32,21[ D ． ]116,21( 9. 函数)1lg()(-=x x f 的大致图象是( )．10．当210≤<x 时，x a x log 4<，则实数a 的取值范围是( )． A ． )22,0( B ． )1,22( C ．)2,1( D ．)2,2(二．填空题（本大题共5小题,每小题4分，共20分，答案写在答题卡上．）11．已知函数()2log ,0,3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则18f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ．12．函数112)(++=x x x f 在区间]4,2[上的值域为． 13．函数()log (23)1a f x x =-+的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是 . 14．已知函数34)(2+-=x x x f ，若方程m x f =)(有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是．15．设定义在]2,2[-上的偶函数)(x f 在区间]2,0[上单调递减，若)()1(m f m f <-，则实数m 的取值范围是________．兰州一中2015-2016-1学期高一年级期中考试试题数学答题卡一．选择题（本大题共10小题，每小题3分,共30分．）二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．； 12．；13．；14. ； 15．．三．解答题（本大题共5小题，共50分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分8分）计算下列各式的值：（1）2103439)41()2(4)161(-+-⋅--- （2）3log 333558log 932log 2log 2-+-17．（本小题满分8分）已知集合{}72≤≤-=x x A ，{}121-<<+=m x m x B ，若能使A B A = 成立的所有实数m 的集合是C ，求集合C ．18．（本小题满分10分）设20≤≤x ，求函数524121+-=+-x x y 的最大值和最小值及相应x的值．19．（本小题满分12分）若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，x x x f 2)(2+=．（1）写出函数)(x f )(R x ∈的解析式．（2）若函数22)()(+-=ax x f x g ])2,1[(∈x ，求函数)(x g 的最小值．20．（本小题满分12分）已知函数11)(+-=x x e e x f ．（1）判断)(x f 的奇偶性．（2）判断)(x f 在R 上的单调性，并用定义证明．（3）是否存在实数t ，使不等式0)()(22≥-+-t x f t x f 对一切]2,1[∈x 恒成立？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．兰州一中2015-2016-1学期高一年级期中考试试题数学答题卡一．选择题（每小题3分,共30分．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDCAADDBBB二．填空题（每小题4分，共20分．）11．127； 12．]59,35[； 13．)1,2(；14. 0＜m ＜1 ； 15．⎣⎡⎭⎫－1，12．三．解答题（本大题共5小题,共50分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分8分）计算下列各式的值：（1）2103439)41()2(4)161(-+-⋅--- （2）3log 333558log 932log 2log 2-+-解：（1）原式=216（2）原式=1- 17．（本小题满分8分）已知集合{}72≤≤-=x x A ，{}121-<<+=m x m x B ，若能使A B A = 成立的所有实数m 的集合是C ，求集合C ．解: 由A B A = 得A B ⊆当φ=B 时， m ＋1≥2m －1，得m ≤2. 当φ≠B 时， ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是(－∞，4]．18．（本小题满分10分）设20≤≤x ，求函数524121+-=+-x x y 的最大值和最小值及相应x的值．解：y =421-x －2·2x+5=21(2x )2－2·2x+5令t =2x(0≤x ≤2),则1≤t ≤4∴y =21t 2－2t +5=21(t －2)2+3,t ∈［1,4］∴当t =2,即2x =2,x =1时，y 有最小值为3 当t =4，即2x =4,x =2时，y 有最大值为5.19．（本小题满分12分）若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，x x x f 2)(2+=．（1）写出函数)(x f )(R x ∈的解析式．（2）若函数22)()(+-=ax x f x g ])2,1[(∈x ，求函数)(x g 的最小值．解：（1）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ＞0)，x 2＋2x (x ≤0). 4分（2）g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a (a ≤0)，－a 2－2a ＋1(0＜a ≤1)，2－4a (a ＞1).8分20．（本小题满分12分）已知函数11)(+-=x x e e x f ．（1）判断)(x f 的奇偶性．（2）判断)(x f 在R 上的单调性，并用定义证明．（3）是否存在实数t ，使不等式0)()(22≥-+-t x f t x f 对一切]2,1[∈x 恒成立？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）R x ∈)(1111)(x f ee e e xf xxxx -=+-=+-=--- )(x f ∴是奇函数． 3分（2）任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则)1)(1()(2)()(212121++-=-x x x x e e e e x f x f ，∵x 1<x 2，∴21xx e e < ，∵0)1)(1(21>++x x e e ， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上是增函数． 4分（3）假设存在实数t 满足条件．由f (x )是R 上的奇函数，不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0可化为f (x －t )≥－f (x 2－t 2)，即f (x －t )≥f (－x 2＋t 2)，又f (x )是R 上的增函数，∴f (x －t )≥f (－x 2＋t 2)等价于x －t ≥－x 2＋t 2，即x 2＋x －t 2－t ≥0对一切]2,1[∈x 恒成立，即t t x x +≥+2min 2)( 即t t +≥22解得12≤≤-t综上所述，存在12≤≤-t 使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切]2,1[∈x 恒成立． 5分。